一号楼三楼厕所的墙上竟然有大神演算高数题，谁干的，速速招来【兰州理工大学吧】_百度贴吧
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&签到排名：今日本吧第个签到，本吧因你更精彩，明天继续来努力！
本吧签到人数：0成为超级会员，使用一键签到本月漏签0次！成为超级会员，赠送8张补签卡连续签到：天&&累计签到：天超级会员单次开通12个月以上，赠送连续签到卡3张
关注：147,096贴子：
一号楼三楼厕所的墙上竟然有大神演算高数题，谁干的，速速招来收藏
奶奶的 学霸 啊
学霸一个，牛人
登录百度帐号&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-73a9d46b6a9d8aa4a9f5_b.jpg& data-rawwidth=&352& data-rawheight=&220& class=&content_image& width=&352&&&/figure&经过现代数学训练的人看待函数是通过“映射”来看的，但是在20世纪初，希尔伯特的那个年代，大家还是默认函数=公式，也就考虑函数的时候更多的是去想那个函数的具体取值而不是现在的把函数看成一个集合映射到另外一个集合的映射，也就说有一个显示的公式表达是很重要的。而考虑“函数的函数”的时候，这种表达就变得模糊了。这也是Hilbert和Fredholm在考虑积分方程这个问题时异常困难的点。上一篇文章大家估计看得云里雾里，因为那个时候泛函分析也是在云里雾里，&b&这篇文章主要是介绍泛函分析的“起源”，泛函分析的“定义”&/b&。&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-0a748f22a03ee91bf600ba4653333ccf_b.jpg& data-rawwidth=&150& data-rawheight=&150& class=&content_image& width=&150&&&/figure&&br&&p&
对于一条曲线&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y%3Df%28x%29%2C+f%28a%29%3D0%2C+f%28b%29%3D1& alt=&y=f(x), f(a)=0, f(b)=1& eeimg=&1&&, 我们计算&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&绕着x轴围成的物体的&b&表面积&/b&，它的表达式为&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%28f%29%3D2%5Cpi%5Cint_a%5Eb+f%28x%29%5Csqrt%7B1%2Bf%27%28x%29%5E2%7Ddx& alt=&A(f)=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx& eeimg=&1&&。&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-5b7ae060a113c_b.jpg& data-rawwidth=&425& data-rawheight=&268& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&425& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-5b7ae060a113c_r.jpg&&&/figure&我们想要找到使得这个曲面最小的那个函数。 这是一个典型的“函数的函数”，输入一个函数，得到一个值。 学过一点微积分的知道，一般的函数求最小值的方法是求导，找出让导数等于0的点。如果按照这个思路，我们必须去定义这种 “函数的函数”的微分。 &/p&&p&
其实找到一个“函数的函数”的最值问题就是“变分法”的核心问题。 另一个比较出名的问题是等周问题：周长固定的情况下什么曲线围成的面积最大。Volterra称呼这类函数是“曲线的函数”，它们的变量是曲线。 Hadamard给了一个不同的名字：fonctionelle。后面这个名字变成了functional (泛函)，而它把这个分析泛函的学科(变分法)叫做“泛函分析”。
Hadamard的影响是巨大的，有一个学生叫Frechet &/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-b76a450ae98de5976919f_b.jpg& data-rawwidth=&268& data-rawheight=&326& class=&content_image& width=&268&&&/figure&没错，就是这个人，这个人给出泛函（函数的函数）的求导方法。 &/p&&p&同时，两个意大利人：G. Ascoli 和C. Arzela 考虑了如下一个问题：对于一列连续函数列&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bf_n%28x%29%5C%7D& alt=&\{f_n(x)\}& eeimg=&1&&, 下面积分和极限可交换的一个充分条件是： 一致收敛。&br&&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clim_%7Bn%5Cto+%5Cinfty%7D%5Cint_a%5Eb+f_n%28x%29dx%3D%5Cint_a%5Eb+%5Clim_%7Bn%5Cto+%5Cinfty%7D+f_n%28x%29+dx+++& alt=&\lim_{n\to \infty}\int_a^b f_n(x)dx=\int_a^b \lim_{n\to \infty} f_n(x) dx
& eeimg=&1&&&br&&p&所以，他们就考虑什么时候一列连续函数列&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bf_n%28x%29%5C%7D& alt=&\{f_n(x)\}& eeimg=&1&&是一致收敛的（或者说，至少存在一个子列是一致连续的）。 之所以提这个是因为他们第一次把集合论引入了函数研究，他们研究了&b&“函数的集合”&/b&，之前虽然康托尔已经开始研究集合了，他关注的是数的集合。&/p&&br&&h2&&b&Frechet的抽象公理化：&/b&&/h2&&p&无可置疑的是在分析的公理化这件事情上Frechet的贡献是最大的，他关注一个问题：如果不使用坐标去定义微分。之前定义微分是需要坐标这个概念的，这一点限制了对泛函求导，因为它们没有坐标（或者说它们是无限维的）。&/p&&p&这里我们论述一下希尔伯特处理无限维空间的思路，&b&具体的会在下面展开&/b&。希尔伯特用一串无限的数列（广义的傅立叶系数）来替换函数，然后他去处理那些数列而不是函数本身。&b&这本质上是“坐标”这一概念的遗留。&/b&下面是他在1928年的原话：&/p&&br&&blockquote&We believe that this method has played an important role in seconding intuition,
but that its time has ended. It is a useless artifice to substitute for a function
an infinite sequence of numbers which, moreover, may be chosen in a variety of
fashions. This is quite evident, for example, in the theory of integral equations
where the solutions of Fredholm and Schmidt are much simpler and more elegant
than those of Hilbert, which is not to take away from the latter the essential merit
of having obtained a great number of new results &/blockquote&&p&他提倡一种“广义分析”或者说“泛函分析”，他认为这种分析要基于两个要素：&/p&&p&&b&1. 集合论&/b&&/p&&p&&b&2. 集合（空间）中极限（本质上就是今天的拓扑）&/b&&/p&&p&他提倡的东西用现代的语言来看就是&b&点集拓扑&/b&。 他定义了度量空间：也就是一个函数的集合，其中任何两个函数之间都可以定义“距离”（比现在的度量狭隘一点）。 &b&最关键的他意识到，光有集合是不够的，我们需要附加一个结构，使得这个集合中元素之间可以相互比较差异。&/b&这个想法是革命性的，因此他也不断的推销这个想法，即使到了1950年。 &/p&&p&比较倒霉的是虽然这位老哥的想法长留于世，但是他作出的结果在今天看来都太简单了。所以泛函分析的书上很少有定理是用他的名字命名的，留下来的是用他的名字命名的概念。不过，他写出了第一本泛函分析的教程，这个教程影响了一大批人，包括Hausdorff。&/p&&p&下一篇：&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/?group_id=543168& class=&internal&&泛函分析简史（三）： 继承者们！ - 知乎专栏&/a&&/p&
经过现代数学训练的人看待函数是通过“映射”来看的，但是在20世纪初，希尔伯特的那个年代，大家还是默认函数=公式，也就考虑函数的时候更多的是去想那个函数的具体取值而不是现在的把函数看成一个集合映射到另外一个集合的映射，也就说有一个显示的公式表…
代数学科加点&br&线性代数:高等代数简明教程&br& 丘维声习题书&br&本科抽象代数:Rotman基础，科大教材，Jacobson BA1,Lang字典&br&研究生抽象代数:Jacobson BA2，Lang,Hungerford,Ash&br&本科交换代数:Reid&br&研究生交换代数:Eisenbud,Serre local algebra,松村英之&br&本科代数几何:Reid,Smith，Kenji&br&研究生代数几何:52,刘青，Vakil&br&同调代数:Rotman，Weibel，Gelfand&Manin&br&本科表示论:Etingof,Serre&br&代数拓扑:Hatcher,Switzer,胡世桢，May&br&&br&注明:上述带有答主强烈的偏见，非常不完全，参考时务必小心。但谨记:一入代数神似海，快退纯数保平安。
代数学科加点 线性代数:高等代数简明教程 丘维声习题书 本科抽象代数:Rotman基础，科大教材，Jacobson BA1,Lang字典 研究生抽象代数:Jacobson BA2，Lang,Hungerford,Ash 本科交换代数:Reid 研究生交换代数:Eisenbud,Serre local algebra,松村英之 本科代数…
&p& 数学，是中国学生出国不管是本科还是研究生都很喜欢读的一个专业，或许是出于对数学的喜爱，也或许是因为本身对于数学的擅长，数学成为中国学生出国的大热专业之一。另一方面，出国读书，大家很关心的就是就业问题，那么数学是不是一个对于就业很好的专业呢？这个答案是肯定的，数学作为典型的基础学科，给学生们提供的是“硬知识”和“硬技能”，数学计算能力和数学逻辑思考的能力，这些技术和能力在未来工作之中很多都是必要的，特别是跟数字打交道的工作，例如经济，科学，计算机，商业，工程和物理等领域。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-dfbda2ff5f327b2fdf716271_b.png& data-rawwidth=&620& data-rawheight=&300& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&620& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-dfbda2ff5f327b2fdf716271_r.png&&&/figure&&br&&p&总的来说，数学专业的就业面非常宽，美国圣道大学和麻州大学Amherst分校的官网对数学专业的就业方向做过统计和分析，数学专业的就业方向大致包含以下几个方向：&/p&&p&1. 精算领域（包括经济，金融业，保险和统计）&/p&&p&2. 大数据处理，统计&/p&&p&3. 计算机，信息技术&/p&&p&4. 商科管理和咨询&/p&&p&5. 教职&/p&&p&6. 与数学，统计相关的研究生学习&/p&&p&7. 运筹学&/p&&p&8. 密码学，解码学&/p&&p&美国一日一专业网站曾经给出过三个数学专业就业职位的平均薪资标准，看起来也非常诱人
&/p&&p&1. 精算领域（金融等）年薪中位数是84000美金&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-bdfbd5f9bad956_b.png& data-rawwidth=&1752& data-rawheight=&820& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1752& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-bdfbd5f9bad956_r.png&&&/figure&&br&&p&2. 物流师 年薪中位数77000美金&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-cb7fb7f3a4c4b756cb5845e_b.png& data-rawwidth=&1762& data-rawheight=&1216& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1762& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-cb7fb7f3a4c4b756cb5845e_r.png&&&/figure&&br&&p&3. 市场分析师 年薪中位数60000美金&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-fa1ecfabc8ec7a31b7b0c4f8_b.png& data-rawwidth=&1699& data-rawheight=&579& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1699& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-fa1ecfabc8ec7a31b7b0c4f8_r.png&&&/figure&&p&大家可以很清楚的看到，数学作为基础专业，和英语专业在就业面上其实存在相似性，学生在学习中锻炼的能力和学到的知识都是通用性的，也就是说很多行业和职业都需要此类的能力。但是这不代表着仅仅数学专业就能在上述的行业领域中拿到一个职位，在基础学科上再修一门专业是大部分学生的做法，也是我推荐大家的做法：如果本科学习的数学专业，可以在研究生选择以数学为基础的另一个实践性较强的专业就读，如果不打算读研究生，那么可以在本科以数学为专业然后再辅修一个二专业。麻省大学Amherst分校给想就读数学专业的同学一下5点建议，来提升自己的综合竞争力，让自己在找工作的时候竞争力更强&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-c094a454d5c68b840b904f8e4e5cf1cd_b.png& data-rawwidth=&2082& data-rawheight=&553& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2082& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-c094a454d5c68b840b904f8e4e5cf1cd_r.png&&&/figure&&p&在学习数学的同时一定要加修一定量的统计课&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-e5abeb436c670c852d59_b.png& data-rawwidth=&2077& data-rawheight=&425& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2077& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-e5abeb436c670c852d59_r.png&&&/figure&&p&广泛学习计算机技术和编程技术&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-6cfa02e37b0f9_b.png& data-rawwidth=&2103& data-rawheight=&432& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2103& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-6cfa02e37b0f9_r.png&&&/figure&&p&根据自己的就业目标和个人兴趣爱好，在校期间自选与数学相关的专业课程，如计算机，吉荣，经济学，物理，化学，生物，公共健康或者是工程&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-f3b924ea9ff3d04aa67c_b.png& data-rawwidth=&2039& data-rawheight=&598& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2039& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-f3b924ea9ff3d04aa67c_r.png&&&/figure&&p&数学和统计是“硬”技术，一定要注意同时增强自己的“软”实力，比如写作与口头交流能力，创新能力，多面手能力等等&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ac670a9d61cfd4c7d0517b76cfab8794_b.png& data-rawwidth=&2083& data-rawheight=&510& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2083& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-ac670a9d61cfd4c7d0517b76cfab8794_r.png&&&/figure&&p&争取有质量的实习和科研机会将自己所学理论付诸实践&/p&&p&以上就是数学专业的就业方向还有同学们应该做的准备，相信所有喜欢数学的孩子们一定会用好自己的时间，在提升自己数学实力的同时，更加提高自己的竞争“软”实习，在找工作的时候“杀”出一片天地！&/p&
数学，是中国学生出国不管是本科还是研究生都很喜欢读的一个专业，或许是出于对数学的喜爱，也或许是因为本身对于数学的擅长，数学成为中国学生出国的大热专业之一。另一方面，出国读书，大家很关心的就是就业问题，那么数学是不是一个对于就业很好的专业呢…
&p&&b&&i&&u&前言&/u&&/i&&/b&&br&首先介绍一下我的竞赛经历吧，一共4次：美赛二等奖（很水）；2013年入选“深圳杯”（还不错）；国赛国家一等奖（最拿得出手的）；2014年未入选“深圳杯”（比较意外）。&br&希望我的解答能给大家另外的一些启发。当初我开始搞数学建模竞赛的时候，没有人带我，自己一路摸索过来。希望我的经验能够帮助到&u&真心想在竞赛中取得优异成绩&/u&的同学们。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&&u&如何准备&/u&&/i&&/b&：&br&（1）&b&学习数学模型&/b&。数学建模，顾名思义，建立数学模型，需要了解一下常用的数学模型；对于国赛，最常用的，莫过于&u&概率论与数理统计&/u&了。有人做过统计，国赛有一半的题目需要用到这方面的知识。在准备的过程中，会发现知识的范围非常宽广，如何去有效地备赛呢？我的做法是，对于所有的模型，都有所了解。&u&了解每个模型的适用范围，大致的思想方法以及实现步骤&/u&，做到比赛的时候能够迅速地知道能用什么模型来做，以及大概需要多少时间来搞定，就足够了。&u&如果你不提前了解都有什么数学模型的话，很容易走入死胡同难以自拔却不自知。推荐书籍：《数学建模算法与应用》&/u&，这本书的作者，领导队伍拿过2还是3次高教社杯，编著的书籍也应该非常有参考价值。&u&如果你的时间真的宽裕，建议尝试实现一下各大类的数学模型。&/u&这样，比赛的时候碰到某类数学模型的话，直接调用或者简单修改现有的程序就可以了。如果没有实现过，只是感觉会用到该类数学模型，存在两个问题：①无法完全确定，该类数学模型是否真的可以用于求解②无法完全确定，自己是否真的可以在比赛的时候实现，以及用该模型是否经济划算。&u&程序实现，建议参考《数学建模算法与应用》。&/u&同一类数学模型用于不同问题的求解，程序上一般也只有前面短短几行数据输入不一样，后面的代码是完全一样的。该书也有较为详尽的代码注释，如果有一定的matlab语法基础，自学起来还是比较快的。&/p&&p&（2）&b&阅读国一论文&/b&。竞赛结果的唯一体现形式是论文，所以也有必要多看一下往年的优秀竞赛论文（国一论文）。学习他们的行文语言、论文格式、一些习惯。以及如何从实际问题，进行简化假设，一步步导出最终的数学模型。我认为，这才是最精华的部分。数学中国，也就是&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.madio.net/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&www.madio.net&/a&，有CUMCM的板块，里面的一些帖子共享了往年的一些优秀论文。&u&说到格式&/u&，挺多的人可能不以为然。实际上未获得国奖的所有论文，都是几分钟内定的成绩。而且，根据某年的评分标准，论文概貌是筛选论文的第一关。如果第一关都过不了，内容再好，连省三都拿不上。好的格式，给人一种赏心悦目的感觉。&u&说到行文语言&/u&，我听老师说，有很多人最后结果算的很准，但是没拿大奖，这是为什么呢？因为论文内容混乱，条理不清晰，语言不严谨，等等。&u&说到习惯&/u&，比如&u&对论文涉及的理论的大致步骤和基本原理进行简要的介绍&/u&，如果阅卷人对于你使用但是很少有人使用的理论不熟悉的话，可能会影响他对于你的论文的评价。我参加国赛那年的答辩的时候，一个评委就问，我使用了“秩和检验“（我直接使用它，没有对它进行介绍），它的使用条件是怎样的？&u&推荐书籍：《数学建模竞赛优秀论文精选与点评》&/u&，西北工业大学出版社的，里面不仅有该学校的国赛的优秀论文（国一为主），也有美赛的一些论文，具有比较大的参考价值。&u&《全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编》&/u&，这本书可以说是非常有价值和权威性，里面有国赛2000年及以前的，来自全国各地的优秀论文，以及全国组委会阅卷专家的试题剖析和阅卷感受。这本书的&u&内容、高度、权威&/u&，是绝大多数数学建模竞赛类的辅导书籍所不能匹及的。唯一的缺憾是，里面的题目是早年的，比较简单，近年的竞赛内容没有出书。当然，网上也有相应的电子书，实体书一般途径也是买不到了，我通过孔夫子旧书网购买了一本。对于数学建模竞赛的老手，我感觉该书也有比较大的收藏价值（我就是这么想的）。&/p&&p&（3）&b&精心挑选队员&/b&。根据我的多次竞赛经验（不仅限于数学建模竞赛），团队合作对于最终的成绩也是有很大影响的。&u&一方面，是性格上能合得来&/u&，否则比赛过程中会有很多矛盾的；&u&另一方面，最好专业互补&/u&，如果竞赛遇到的问题，恰好某个同学非常熟悉，那么可以大大缩短熟悉题目的时间，有助于取得更好的成绩。&u&其实，最重要的问题是，他真的想参加这个比赛并为之付出么？&/u&我见过因为需要掏钱而不想参赛的同学，见过号称要付出所有课余时间却因为是班干部并没有付出多少时间的同学，见过欺骗我说已经看了很多的同学，见过比赛期间一直忙着和老婆聊天的同学，见过比赛前说不参加了的同学，见过为了进队说的非常好但是参赛过程中没有任何付出老是借口有事的同学，见过进来以后专门挑拨关系的同学……另外，如果能够整个队在比赛前找一个题目，模拟竞赛几天做一下，应该会收获很大，在时间的安排，以及队员之间的配合上。&b&如果想要更仔细地挑选队员的话：&/b&&u&最好成绩中等偏上&/u&，因为他们关心学习，学习能力较强，但是又不过分拘泥于课内学习；&u&最好选择有参赛经验并获得一定奖项&/u&的，轻车熟路；&u&最好选择上过数学建模相关课程的&/u&，对数学建模有个大概的了解；&u&最好有充足的课余时间&/u&，因为需要准备的东西有很多；&u&最好选择性别一致而且单身的&/u&，否则行动非常不便，当然不纯为着竞赛出成绩的话另说；&u&选择有ACM竞赛经历的就再好不过了&/u&，无需担心程序无法实现，而且ACM竞赛的内容与数学建模竞赛的内容，有相当大一部分是重合的。&u&最好不要班干部或者交际花&/u&，因为他们不可避免要花很多时间与人交往。在提到挑选队员之前，有一个问题是，&b&通过什么渠道认识队员&/b&。首先，可以和&u&身边熟知的同学&/u&组队，他们的性格和能力自己比较了解；然后，&u&数学建模培训课&/u&是最重要的渠道了，全校所有想搞数学建模的人大多都在这里了，没组队的同学一定要好好抓住这个机会；其次，也可以是&u&偶遇聊天&/u&认识的。想做相同的事情的不同的人，更有可能在相同的地方相遇；其他渠道，比如&u&同学介绍&/u&等。&/p&&p&（4）&b&学习相关软件&/b&。&u&好好学习Matlab就够了，它可以实现所有数学建模需要的功能。对于某些问题，Excel也可以胜任。C语言也能胜任大部分的程序设计问题。&/u&一般来说，可以百度一下某个需要的功能+Matlab，便可以找到对应的Matlab函数，一般来说也有相应的例子说明如何使用该函数。如果没有的话，可以在Matlab命令窗口中输入：help 该函数，会返回关于该函数如何使用的说明。但是，Matlab的基本语法，比如循环、条件、判断语句的结构以及赋值等运算，需要提前熟练掌握，这个和C语言很相似。如果你学过C语言或者任何一门程序设计语言的话，这个是很好上手的。当然，如果你确实学有余力的话，可以学习SPSS或者SAS等统计专用软件、Surfer等绘图软件。这些软件在统计或者绘图等方面，用起来更为方便，绘图更为精美。&/p&&p&（5）&b&了解比赛风格&/b&。对于国赛来说，结果是很重要的，内容完整也是很重要的；对于美赛来说，结果根本不重要，做不完也没有关系，最重要的应该是其中的“创新性”（对于美赛，我成绩很一般，也没有过多的研究，相关叙述仅供参考）。对于顶级的选手来说，这都没什么；但是对于绝大多数参赛队伍，时间是很紧张的。想在有限的时间内取得尽量好的成绩，就要有所取舍。&u&如果你参加的是国赛，应该尽量完成所有问题，并保证结果的正确性，创新性倒是其次&/u&；如果你参加的是美赛，重点把一个问题做的很出彩就够了。&/p&&p&（6）&b&研究评分标准&/b&。评奖是按照评分排名，而评分是按照评分标准。研究评分标准，可以有针对性地知道什么样的论文是出色的，进而知道该如何去建模型、写论文。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&&u&思想方法&/u&&/i&&/b&，不太好说，我想到了以下几点：&br&（1）&b&简单最美&/b&。有的同学或许会错误地认为，复杂的模型体现自己的能力强，也应该能够获得好的成绩，但是实际上不是这样的。如果复杂的模型和简单的模型得到的结果精度差不多，这时应该选择相对简单的模型。这是因为，&u&数学模型是为实际的生产生活服务的&/u&。相对简单的模型，更容易实现，也更容易为大家所接受，何乐而不为呢？&/p&&p&（2）&b&从简单到复杂&/b&。这和前面所说的“简单最美”好像有矛盾。但是，这里“到复杂”的前提是，结果得到改进。一般来说，“复杂”是指考虑了更多的因素。有一些捧得大奖的论文，都是先建立一个简单的模型，然后考虑更多的因素再建立一个相对复杂的模型，这也是科学地研究问题的思路。&/p&&p&（3）&b&多模型对比&/b&。对于一个问题，往往可以建立不同的模型，各有千秋。对于有的题目，两篇国一论文可能做法截然不同，这是非常正常的。&u&如果时间充裕，可以建立不同的模型，对不同模型的优缺做对比，或者说明其不同的适用条件。&/u&这，就是特等奖的水平了。例如2013年国赛交通那道题目，我用了相对简单的一个方法做的，做了比较多的检验，结果也不错，比较成功，国一。我后来偶然看到那道题目的特等奖论文（厦门大学的），是用两个更为合适的相对复杂的方法做的。&/p&&p&（4）&b&模糊指标量化&/b&。&u&指标只有量化，才有可能建立数学模型，才可能运用数学方法进行求解&/u&。没有量化的指标，只能够运用文字进行定性的叙述，无法进行数学上定量的分析。模糊数学，就是解决模糊问题的数学方法。模糊指标，当然可以采用模糊数学的方法进行定义，也可以采用其他方法（比如比值）定义。例如，我现在在一个973项目里面，很重要的一个任务，是确定页岩油藏的可动性。可动性本身是一个模糊的概念。碰到模糊的指标，一般来说，先查阅相关的文献，看有没有相关的定义。对于模糊指标，不同的学者很有可能会做出不同的定义。至于采用哪个定义，就需要自己好好掂量一下了，从适用范围、难易程度、优缺点等等方面。尤其值得一提的是，该定义中需要的参量，是否容易获得/测量？如果没有相关的定义，就需要自己给它下一个定义。同样要注意相关参数的可获取性/可测量性。&/p&&p&（5）&b&结果可视化&/b&。&u&大片的文字叙述，或者堆叠的数学公式，给人的感觉都不够直观&/u&，都需要一定的阅读时间、背景知识、数学功底才能够理解。可是一张图，往往可以瞬间形象直观地反映所要表达的内容，与数学功底也没有多大的关系。这与数学模型本身的好坏无关，但是能够大大促进作者和读者之间的交流，属于“&u&写作水平&/u&”的范畴。&/p&&p&（6）&b&检验结果&/b&。建立模型并进行求解，得到的结果可能是正确的，也可能是错误的。如果不对结果进行检验，严格意义上论文是不完整的。我听老师说，对于&u&模型没有检验的论文，不可能获得国奖&/u&。对结果进行检验，主要有以下几种方法：①&u&敏感性分析&/u&。分析因变量随各个自变量的变化趋势。趋势合理（符合常识），起码证明模型很有可能是正确的，没有大问题。②&u&实例检验&/u&。实际的数据，最有说服力，也可以检查结果的精度如何。但是有一个问题，实际的数据可能不好找。③&u&仿真&/u&。这个需要学习使用该领域的仿真软件，实际上算是充当了”实例“的作用。这也存在一个问题，不一定有相关的仿真软件，尤其是处理的问题属于新领域的话。④&u&算例分析&/u&。这个算是下下策了，在找不到实际的数据，以及相关的仿真软件的前提下，只能这么做。与敏感性分析相比，这个方法也显得较为片面。⑤&u&特殊情况分析&/u&。如果原模型比较复杂，可以分析其特殊情况（一般更容易分析）。如果特殊情况被检验为正确的，对于说明原模型是正确的，也是比较有说服力的。&/p&&p&（7）&b&重视变量定义&/b&。主要有两种情况：①&u&同一变量在不同的地方有不同的含义，&/u&自然也有不同的定义。例如，油气层渗流力学中的综合压缩系数，有两种不同的定义；②&u&一些变量的取值存在模糊的地方&/u&，有时有进一步说明的必要。例如，我国赛答辩的时候，老师问我交通阻塞后“排队队伍长度”的定义。之前我们根本没有注意到该变量的定义的重要性。但是实际上，队伍末端的某辆车到底是否属于“排队队伍”，对于不同的判定标准，会有不同的答案。&/p&&p&（8）&b&数学模型的局限性&/b&。也就是说，数学模型反映实际情况的能力是有限的，主要有几个原因：①&u&实际情况很复杂&/u&。很多实际情况，都是受很多很复杂的因素交互影响，这也就决定了很难建立完全精确或者非常精确的模型&u&；②数学工具的局限性&/u&。一方面，数学学科是在不断发展的。或许现在还没有解决的问题，存在很合适的数学模型，但是数学理论还没有发展到那个程度；另一方面，现在选取的数学模型，很可能也存在一些已知或者未知的缺陷&u&。③人的认识的局限性&/u&。人们对于实际情况的了解是有限的，可能存在还没有考虑到的影响因素；人们对于数学模型的理解是有限的，或许没有选择最合适的数学模型。在为期几天的比赛中，一般来说很难做出很好的结果。&/p&&p&（9）&b&数学建模的客观/主观性&/b&。①&u&数据的客观性&/u&。一切计算应基于客观的数据，而不是主观的估量。例如，层次分析法中的权重，往往是主观赋值。据说在实际应用中，层次分析法的成功应用非常少。②&u&模型的主观性&/u&。选取什么样的数学模型，取决于研究需要，这个是偏于主观的。最重要的是，自圆其说。③&u&结论的客观性&/u&。得到肯定/否定/程度的判定，需要根据实际的数据，以及相应的数学处理方法。例如，判定两组数据是否有显著性差异，应当通过秩和检验；判定直线截距是否是0，应当分析截距的置信区间是否包括0；判定道路的拥堵程度，应当根据划分的区间。&/p&&p&（10）&b&数据预处理&/b&。对数据进行合适的预处理，这与数学模型的好坏无关，属于“&u&科研素养”&/u&的范畴。主要有两种情况&u&：①数据补全&/u&。通过实际测量得到的数据，由于人为的疏忽，或者仪器的问题，可能会导致：1）数据缺失；2）数据明显错误。其实结果都一样：该数据不可以采用。否则，会增加计算的不可靠性。一般来说，可以通过取相关数据的平均值，或者插值来补全数据&u&。②数据归一化&/u&。主要有两种情况：1）不同的物理量之间，量纲不一样，需要进行相对比较；2）同一物理量的不同对象的测量数据之间，取值区间不一样，需要进行相对比较。实现归一化，主要有两种方法：1）线性变换到[0,1]区间；2）变换到符合N(0,1)的正态分布。&/p&&p&（11）&b&专用胜于通用&/b&。对于一个具体问题，可能有好几种模型可以做，但是不同模型适用范围的宽窄是不一样的。这个时候，应当选择其中&u&适用范围较窄&/u&的模型。&/p&&p&（12）&b&经验公式（统计分析）VS理论公式（机理分析）&/b&。&u&经验公式&/u&，一般是对实际数据的拟合，难以反映内在的机理，准确度一般不是很高，但是能反映各个变量之间的大致关系，这一点类似“&u&黑箱测试&/u&”。&u&理论公式&/u&，则是根据已有的各种定律，根据实际的情况，经过理论推导得到，能够体现内在的机理，这一点类似“&u&白箱测试&/u&”。无论是经验公式，还是理论公式，都要注意其&u&适用条件&/u&。对于经验公式，要注意其&u&实验条件&/u&。实验条件如果改变，经验公式会存在很大误差，甚至完全不适用；对于理论公式，要注意相关理论的&u&简化假设/适用条件&/u&，绝大部分理论都有其简化假设/适用条件的。对于实际的问题，其中任一条简化假设不能满足，都可能会导致理论公式不适用。&/p&&p&（13）&b&确定性模型VS随机性模型&/b&。&u&确定性模型&/u&，一般形式相对简单，根据它可以计算得到一个&u&确定的值&/u&；&u&随机性模型&/u&，一般形式相对复杂，根据它可以计算得到一个&u&概率分布&/u&。一般来说，随机性模型更加接近实际情况。但是，考虑到随机性模型相对复杂，需要根据实际情况，决定采用确定性模型or随机性模型。&/p&&p&（14）&b&离散模型VS连续模型&/b&。离散模型，往往可以采用连续模型的方法来做；连续模型，往往可以采用离散模型的方法来做。这个我还真不太了解，好像又是挺重要的一个问题呢！&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&&u&竞赛心态&/u&&/i&&/b&，也是很重要的：&br&（1）&b&全力以赴&/b&。获得国一的论文，只能说明他们做的“相对”很好，但是不一定做的就真的很好。也有可能，你确实做的很好，但是没有捧得大奖。为什么呢？&u&评奖是根据评分排名，而不是预先定好论文是什么质量对应什么奖。&/u&例如，我参加过一次美赛，题目是原题。大家都搜到了原题的特等奖论文。我的论文在这基础上做了一定的改进，结果是H奖，这个就很水了~我也参加过一次国赛，2013年交通那个题目，没有听说过这是陈题。时间只有几天，极少有人能建立很完善的模型并解答。说句心里话，我认为我们做的真的很水~没有太大实际价值。但是，我们的论文是完整而且基本正确的。我从网上搜到了一篇那个题目的省一论文，发现它的内容本身就是残缺的，没做完~论文的质量更是不堪入目。从另一个角度，如果你这次没有全力以赴，会对结果抱有遗憾，后悔当时为什么不再多努力一点。还有一个问题是，以后的比赛参加么？你可能还想参加一次，争取更好的结果。也可能不想参加，因为怕题目出的不合口味而白忙活，或者等到下一年的时候你根本没有心思来搞这个比赛了，留下几多遗憾。大多都是大三的队伍参赛，大四的时候要么保研、考研、找工作。所以最好的做法就是，&u&这次全力以赴，不留遗憾&/u&。&/p&&p&（2）&b&团队合作&/b&。目前我所发现的唯一高效的合作方式是：&u&相对独立而完整的内容，主要由一个人来完成，其他人起辅助的作用。&/u&因为，交流是有成本的。论文，需要一个人完成，因为不同队员的风格是不一样的；程序，需要一个人完成，因为程序的不同模块之间是有一定衔接的。大家可以参考：软件工程所倡导的“极限编程”的组成成分——“结对编程”，和这里所说的是一个道理。对于认真参赛的队伍来说，很容易出现意见分歧。所以，&u&比赛前应该确定下来，出现矛盾以后隔多长时间仍然无法统一意见，无条件服从队长或者擅长这方面的同学的意见。&/u&这无疑会节省很多宝贵的时间。当然，要根据这个矛盾的重点程度，分配给它相应的讨论时间。实际上，前面商量得再好，用心比赛的选手之间也会产生矛盾，这就需要大家之间互相体谅了。&/p&&p&（3）&b&分清主次&/b&。换一种说法，就是不要恋战，该收手时就收手。一般题目都有好几问。比较聪明的人，能够看得出来，哪个问是重点。对于重点问，自然要投入更多的精力；对于非重点问，做个差不多就可以了。这就需要&u&队长统筹兼顾，提前估摸好每一问花多大精力去搞定它 。&/u&&/p&&p&（4）&b&学会表现&/b&。这一条看起来不是那么正经；但是，&u&这是我对参赛选手的实在话&/u&。我一共弄过两次深圳杯。第一次深圳杯，我们的论文感觉很乱，我们都不明白我们在做什么，但是显得很厉害。最终很意外，我们被选中了~第二次深圳杯，那次我可以说是全身心的投入了，题目也很对我的胃口，我甚至做好了可能因此无法保研的最坏的打算。我非常认真负责，但是论文语气非常地谦虚。最终也很意外，我们在山东省这关被涮掉了。后来我想明白了：&u&你都不夸自己做得好，怎么能指望阅卷者欣赏你？&/u&另外，我也听老师说过，实际上现在很多所谓的“好论文”，不过是“会写论文”罢了~&/p&&p&（5）&b&参赛动机&/b&。比赛斩获大奖，首先这是个&u&荣誉&/u&。其次，这可以&u&证明自己的研究能力&/u&，这对于大部分工科学生来说是重要的。再者，可以通过这个平台，认识很多志同道合的朋友，&u&拓展自己的交际圈。&/u&然后，有的院校拿国奖可以&u&保研&/u&，或者是保研加分。一般来说，在期末的&u&奖学金评选&/u&中，也会更有优势。美赛获得一等奖或者更高的奖项，据说也有利于&u&出国&/u&。如果被邀请办讲座，也可以&u&培养自己的粉丝&/u&。如果你志在&u&科研&/u&，工科+数学是个很好的选择，多学科融合会有更多科研的成果。如果你是个学霸，但是感觉统一课程太枯燥了，参加数学建模竞赛也是&u&丰富课余生活&/u&的一个方法。&/p&&p&（6）&b&尽快落实。&/b&第一，可能等到想写的时候，&u&时间&/u&已经不足了；第二，刚有想法的时候，知道是怎么从现实问题一步步转化为数学模型的，这时候&u&思路最清晰、逻辑&/u&；第三，就算后来又做了新的模型，之前的结果也可以&u&作为检验&/u&，或者借其说明新模型的优点。&/p&&p&（7）&b&正视竞赛缺点&/b&。数学建模竞赛本身，确实存在很多不足之处，但是它本身也存在很多积极的地方，例如&u&培养严谨科学的思维，查阅文献的技巧，论文撰写的技巧，编写程序的能力，迅速消化知识的能力，团队合作的能力，等等&/u&。例如，作为选拔人才重要举措的高考，也经常受到抨击，很多抨击或多或少也都有合理的地方，但是这并没有影响到它几十年来在人才选拔中发挥的重要作用。任何一个选拔制度，一般多少都有不足之处，因此&u&不足之处不是摒弃选拔制度的理由&/u&。&/p&&p&（8）&b&正确理解题目&/b&。不要还没有充分地理解题目就急忙下手。&u&有的题目如果不仔细读，可能会理解错误，或者弄错题目的重点&/u&，那么后面的付出就会大打折扣了。应当好好分析题目&u&各问之间的联系&/u&，一般问题按照递进的关系，后一问往往会利用到前一问的结果或者结论，然后有的问或者小问会利用已建立的模型进行一定的计算。&u&如果题目确实存在不同的理解，那么任一种做法都是可以的，这不会影响到评分。&/u&&/p&&p&（9）&b&不要卡壳&/b&。&u&对于后面的问题，可以先找个差不多的数据算着&/u&，说不定过会会有人讨论这个问题该如何解决。重新计算一遍的时间，往往小于干耗在目前问题所需的时间。另外，可能后面的问和前面的问没有太大的联系，这种情况下不必按照给定的问的顺序做。&/p&&p&（10）&b&过程重于奖项&/b&。&u&无论结果好坏，参赛过程本身培养了能力，也有助于意识到自身能力的局限性，实际上这是最实在的作用。&/u&奖项的作用，无非使简历多了一行。在跨过求职这道门槛以后，估计就没有多大的作用了；唯一起作用的，是获得的奖项所对应的处理实际问题的能力。我看知乎上有的IMO金牌（当然是非常非常厉害的了）提到，在若干年后，谁还会在意你这个国际奖项啊~但是实际上，将注意力放在如何享受竞赛过程上，这本身有助于取得更好的奖项，因为忧虑的情绪会影响到水平的发挥。&/p&&p&（11）&b&见好就收&/b&。在你拿到很好的成绩之前，和你合作的队友或许还可能会认真准备并参与竞赛，因为谁也靠不住；在这之后的话，如果去寻找新的队友，&u&新队友可能是“抱大腿”的心态&/u&：表面上说会好好准备，实际上能偷懒就偷懒。在拿到很好的成绩之后，一方面自己没有那么大的动力重新准备，另一方面队友也不如以前努力，自然也很难超越以前的成绩了。&/p&&p&&br&&/p&&p&&i&&b&&u&实用攻略&/u&&/b&&/i&，这是最直接的：&br&（1）竞赛论文里面，一定要&b&突出显示自己的数学模型&/b&。因为，这是数学建模竞赛，最重要的当然是模型。&u&模型一般的体现形式为公式或者算法步骤&/u&。要保证，阅卷者花十几秒时间扫一下你的论文，就能知道你做到了什么程度。&br&（2）&b&关于参考文献&/b&：里面不可以出现太多网址，这只会体现你的业余；如果参考文献太少，可以随意找几篇相近的看似能用到的论文加上。最好引用比较权威的期刊上的文献。如何判断期刊的权威性？一般来说，中文核心期刊算是比较权威的，影响因子越大，期刊越权威。对于国赛，仅仅参考中文期刊，也已经足够了。&br&（3）&b&关于页数&/b&：如果你自己做的东西还不到10页，东拼西凑各种论文，也要凑到将近20页；页数也不可太长，评委会感觉很累的。&br&（4）&b&关于数字、字母&/b&：你要是时间多的话，可以都用公式编辑器编辑，麻烦，但是美观~&br&（5）&b&关于作息&/b&：最后一个晚上熬夜，前面几个晚上好好睡觉。一般这样有利于发挥。&br&（6）&b&关于数据&/b&：对于自己搜集到的数据，如果得到的结果和理想的有一点差距，这是非常正常的。索性手动改一点点，让得到的结果更好看~&u&另外，有的数据根本搜不到，怎么办呢？自己弄一组看似合理的数据进行分析，这叫做“算例分析”。&/u&&br&（7）&b&关于换队友&/b&：直接说不太好。可以说，我提前答应过某某同学，可是跟你组队的时候忘了这事了。&br&（8）&b&关于指导老师&/b&：虽然竞赛规律明令禁止比赛过程中老师参与，但是老师或多或少会参与一些。对于实力不强的队伍，可以找一个竞赛过程中参与比较多的老师。&u&切忌找很厉害的老师&/u&，教授对这个根本不感兴趣。讲师应该是个不错的选择，副教授也可以。&br&（9）&b&关于外援：&/b&比赛的过程中，确实有的找外援。只是提示一下，自己看着办吧。&br&（10）&b&关于选题&/b&：最好选择一个，能够把大家都调动起来的题目。如果其中某人确实很强，也可以选择一个他擅长的题目，这样可以将竞赛结果的期望最大化。要换题的话，一定要早换，否则换题的成本太高了。&br&（11）&b&关于结果&/b&：听说有的队伍，弄一个看起来比较正确的模型，然后搜一下别人比较公认的结果，再搜一下相关的程序（虽然自己都不知道那是什么意思），然后就这么凑到一块。很机智啊！&br&（2）（6）（7）（8）（9）（11）不大正经，不要说是我教的，请谨慎考虑！&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&&u&论文写作&/u&&/i&&/b&：&br&（1）&b&摘要&/b&：第一段：简述本文研究的价值所在，和本文的特点。以后每一段，分别针对每一问：陈述该问的研究内容，研究方法，主要结果，表述简洁扼要。采用首先、然后、最后等词，使得文章结构清晰。&u&摘要是全文的精华，一定要好好写。&/u&摘要写不好，评委根本没有继续阅读的愿望。&br&（2）&b&关键字&/b&：4至6个为宜，要能够体现本文的特点。&br&（3）&b&问题重述&/b&：一般来说，直接copy题目即可，说明附件数据的部分一般去掉。&br&（4）&b&模型假设&/b&：假设过多，问题简单而没有意义；假设过少，问题复杂而无法研究。“套话”假设，也需要说。简化假设后，与实际问题不能有太大的出入。最后一条末尾为句号，其他末尾为分号。&br&（5）&b&变量说明&/b&：列举文中出现的所有符号，并解释其含义。&br&（6）&b&问题分析&/b&：注意与摘要的区别！这里分析问题的重点、特点、难点，不是陈述如何研究的。&br&（7）&b&模型的建立及求解&/b&：要有承上启下的语句，体现了逻辑性，或者说清晰的思路。注意对异常数据的处理，包括缺失数据、明显错误的数据。对于文中的任何一个图，要说明采用什么软件，并对图所反映的规律进行说明。注意结果的可视化。表格最好采用三线格。最好有语句体现论文不同问之间的联系。注意联系实际，分析结果的合理性。文中最好不要出现主语，比如“我们”。论文的同一部分尽量在一页上。突出显示最重要的公式、图表。注意区分引用的内容与自己做的内容，如果是引用的内容，需要标注参考文献。&br&（8）&b&模型评价及推广&/b&：模型的优点，本文最能拿得出手的地方；模型的缺点，不要避讳，实事求是；模型的推广，体现还有工作可以做，只是因为时间不足。&br&（9）&b&参考文献&/b&：不要自己写，找个可以自动生成格式的，比如Google学术搜索。&br&（10）&b&附录&/b&：可以是论文中用到的程序，比较长而不重要的图表等。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&&u&问题专题：&/u&&/i&&/b&&br&（1）&b&如何建立模型&/b&？&br&&u&①首先搜索相关的文献&/u&，大多数问题都有相关的研究，要”站在巨人的肩膀上“，这样可以减少很多的自己摸索的时间。&br&②如果没有相关的文献，就需要&u&自己建立模型&/u&。根据经验、分析，甚至是一定的尝试，决定采用哪个模型来做。&/p&&p&（2）&b&竞赛与科研的关系？&/b&&br&竞赛本身可以在一定程度上培养科研能力，但是与科研还是有很大不同的：&br&①&b&研究问题的难度&/b&。竞赛，是几天的投入，所研究的问题，也是经过很多简化处理的，就是为了保证参赛者在这几天的时间里面能做个差不多；科研，是针对实际需要解决的问题，一般需要用长的多的时间来解决。一般也不能指望竞赛几天做出来真正有科研价值的东西来。&br&②&b&所需知识面的宽度&/b&。竞赛，可能涉及的知识很多；科研，一般只是在很窄的领域内进行研究，可能用到的模型相对来说是很少的。搞竞赛，求的是广博；搞科研，求的是深钻。&/p&&p&（3）&b&关于数学类专业与非数学类专业？&/b&&br&①对于&b&数学类专业&/b&学生来说：数学建模所可能用到的知识大部分都学过，对于数学的理解也较为全面和深刻，自然不需要在该竞赛准备上投入过多的精力，很多数模大神也都出身于数学类专业。&br&②对于&b&非数学类专业&/b&学生来说：数学上一般只学了点皮毛，要取得好成绩甚至成为大神级别的，就需要课余下很多工夫了，也很难匹及出身于数学类专业的真正的高手。&br&③&b&但是&/b&：数学类专业的，往往比较缺乏工科的分析实际问题的思维；工科专业的，这方面思维较强。我个人认为，数学类与工科类专业的学生搭配组队，是不错的选择。&/p&&p&（4）&b&如何查找文献以及数据？&/b&&br&①&b&文献&/b&：对于大部分本科生来说，CNKI应该是最佳的选择。如果英语较好的话，可以考虑使用Google学术搜索（一般可以用Glgoo作为替代品），按说这里可以搜索到所有相关的文献。如果想真正做出很好的成果的话，建议将搜索重点放在相应学科的重要的数据库里面。&br&②&b&数据&/b&：国家统计局网站，有很多统计数据，可能会用到。一些数据库，比如CNKI，也提供了搜索统计数据的功能。&/p&&p&（5）&b&如何选题？&/b&&br&一般比赛都会提供若干个题目。&br&&b&①对于新手&/b&：建议选一个&u&门槛不高、容易上手的题目&/u&。比如，以前有过类似的赛题，并能够搜到相关的优秀论文；背景曾经在中学阶段熟知，或者题目属于所学专业领域内的；需要处理的数据关系复杂，题目叙述繁杂，或者其他没法体现经验丰富的竞赛选手优势的题目。第一次比赛，最重要的是&u&熟悉竞赛流程和时间分配&/u&，不要期望也很难取得很好的成绩。&br&&b&②对于老手&/b&：建议选一个&u&能够体现自己优势&/u&的题目。一般来说，阅读题目并简单搜搜文献，能够大致了解每个题目用什么方法来做。选一个方法上自己最有优势的题目，或者题干简单，数据关系相对明了，应该是明智的选择。老手有一定的选题经验，在此不多说了。&br&还有，不要以为简单的题目，就难以出彩。对问题的分析讨论，可以&u&深入、全面、新颖&/u&。&/p&&p&（6）&b&如何处理数学建模竞赛与其他事情的关系？&/b&&br&最重要而直接的问题是，&u&花多少时间在比赛上比较合适呢&/u&？建议考虑以下几个因素：&br&①&u&你们专业重视么&/u&？如果你们专业重视的话，多花精力在该比赛上，应该是比较划算的，付出会有较为丰厚的回报；否则，你的付出得不到比较实际的回报。&br&②&u&你对数模竞赛感兴趣么？&/u&如果你感兴趣的话，花的时间多，提高的也多；如果不大感兴趣的话，投入较多的时间，会感到厌倦的，这就不划算了。&br&综合考虑以上因素，确定数学建模竞赛在你心中的&b&排位&/b&，然后确定该花多少&b&时间&/b&。然后有一个问题是，&u&花哪些时间来准备数学建模竞赛呢&/u&？&br&①&u&你想学的时间&/u&。只有一个人真心想做某件事的时候，做起来才会有较高的效率。顺从自己的内心，这样也不会感到疲惫。&br&②&u&与其他重要事情不冲突的时间&/u&。这样保证你不会本末倒置，尽量降低对其他事情的影响程度。&br&③&u&寒暑假。&/u&实际上，很多人对于寒暑假的利用程度非常之低，这也就成为了超越其他很多人的关键时期。平时在学校，对于认真努力的同学来说，每天学习的时间如果多一点，效率会低一点，反而得不偿失。总之，非寒暑假的时间的“总功”是有限的，并且较多认真努力的同学都可以达到的。&/p&&p&（7）&b&参赛需要准备多长时间？（合适参加竞赛比较合适？）&/b&&br&对于&b&数学类专业&/b&来说：数学建模竞赛用到的很多知识，都会在课程里面学到。建议不要过早参赛。&br&对于&b&非数学类专业&/b&来说：很多知识需要自学，这就没有早晚之分了。&br&一般来说，准备的时间越长，结果会越好吧。但是，时间建议不要太长，否则会消磨掉对于数学建模的劲头的。&/p&&p&（8）&b&关于私下交流&/b&&/p&&h2&&b&问题、咨询请付费(首付5元开讲)：&/b&&/h2&&h2&&b&（1）按时长：1元/分钟；&/b&&/h2&&h2&&b&（2）按题目：审题分析100元/题，全程分析300元/题；&/b&&/h2&&h2&&b&（3）其他你感觉合适的方式。 &/b&&/h2&&p&Note：本文大多为本人经验之谈，难免有错误或偏颇的地方，请辩证看待，欢迎指正。&/p&&p&PS：欢迎大家关注该问题，我会不断地补充修正的~如果感觉好，别忘了赞一个&/p&&h2&QQ: &/h2&
前言 首先介绍一下我的竞赛经历吧，一共4次：美赛二等奖（很水）；2013年入选“深圳杯”（还不错）；国赛国家一等奖（最拿得出手的）；2014年未入选“深圳杯”（比较意外）。 希望我的解答能给大家另外的一些启发。当初我开始搞数学建模竞赛的时候，没有人…
&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-55d1ede853e2ffcfb3a3ed5f91a17427_b.jpg& data-rawwidth=&1004& data-rawheight=&544& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1004& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-55d1ede853e2ffcfb3a3ed5f91a17427_r.jpg&&&/figure&&p&年&/p&&p&·法国拉普拉斯的5卷巨著《天体力学》出版，汇集了他在天文学中的几乎全部发现，试图给出由太阳系引起的力学问题的分析解答。其中包括许多重要的数学贡献，如建立拉普拉斯方程、位势函数等。 &/p&&p&&br&1801年&/p&&p&·德国高斯出版《算术研究》，开始了近代数论的研究。 &/p&&p&·德国高斯依据少量数据创立行星轨道计算法，重新找到刚刚发现又一度失踪的谷神星，引起轰动。 &/p&&p&&br&1803年&/p&&p&·法国卡诺出版《位置几何学》，射影几何开始复兴。 &/p&&p&&br&1806年&/p&&p&·瑞士阿尔冈(Jean-Robert.Argand,)提出复数的一种几何表示法。 &/p&&p&·法国让-维克托-布里昂雄庞塞莱出版《论图形的射影性质》，发表著名的射影几何定理。 &/p&&p&&br&1807年&/p&&p&·法国傅立叶在热传导研究中，提出任意函数的三角级数（即傅立叶级数）表示法。 &/p&&p&&br&1810年&/p&&p&·法国热尔岗创办《纯粹与应用数学年刊》，这是最早的专业性数学期刊。 &/p&&p&&br&1811年&/p&&p&·法国泊松的著名教科书《力学教程》首卷发表。第二卷于1833年问世。 &/p&&p&&br&1812年&/p&&p&·法国拉普拉斯出版《概率的分析理论》，本书集古典概率论之大成，将分析工具引入概率论，为概率论的近代发展开辟了道路。 &/p&&p&·英国剑桥分析学会成立。 &/p&&p&&br&1813年&/p&&p&·意大利鲁菲尼（P.Ruffini,）发表《关于一般代数方程的思考》，着手证明五次及五次以上的一般代数方程无根式解。 &/p&&p&&br&1814年&/p&&p&·法国柯西（A.L.Cauchy,）在巴黎科学院宣读《关于定积分理论的报告》，这是复变函数论的第一篇重要论文（1827年正式发表），开创了复变函数论的研究。 &/p&&p&&br&1816年&/p&&p&·德国贝塞尔建立一类常微分方程:贝塞尔方程，由此引进第一类和第二类贝塞尔函数。 &/p&&p&&br&1816年&/p&&p&·德国高斯在格丁根大学学报上透露了他的非欧几何思想。 &/p&&p&&br&1817年&/p&&p&·捷克波尔查诺出版《纯粹分析的证明》，首次给出函数连续性、导数的恰当定义，提出级数收敛性的一个判别准则（后被称为柯西收敛准则）和有界数集的确界存在原理。 &/p&&p&&br&1818年&/p&&p&·法国泊松导出波动方程解的“泊松公式”。 &/p&&p&1820年&/p&&p&·法国泊松首次沿复平面上的路径求积分。 &/p&&p&1821年&/p&&p&·法国柯西出版《分析教程》，引进不一定具有解析表达式的函数概念；独立于波尔查诺提出极限、连续、导数等定义和级数收敛判别准则，是分析严密化运动中第一部影响深远的著作。 &/p&&p&&br&1822年&/p&&p&·法国庞斯列发表《论图形的射影性质》，奠定了射影几何学的基础。 &/p&&p&·法国傅立叶出版《热的分析理论》，开创了数学物理研究的新篇章。其中包括他在1807年得到的关于傅立叶级数的结果。 &/p&&p&&br&1823年&/p&&p&·法国柯西出版《无穷小分析教程概论》，把定积分定义为和的极限，还给出现在通用的广义积分的定义，引进柯西积分主值的概念。之后， 柯西又发表 《无穷小分析在几何学中的应用》(1826)和《微分学教程》(1829)等教科书，系统地阐述经他严格化之后的微积分。 &/p&&p&&br&1824年&/p&&p&·挪威阿贝尔(N.H.Abel)证明了一般五次方程不可能用根式求解，其论文《高于四次的一般方程的代数求解之不可能性的证明》于1826年发表。 &/p&&p&&br&1825年&/p&&p&·法国柯西完成论文《关于积分线为虚数的定积分的报告》(1874年发表)，给出柯西积分定理、留数定理等重要结果。 &/p&&p&&br&1826年&/p&&p&·俄国罗巴切夫斯基在喀山大学公开讲演他的非欧几何，他被称为“几何学的哥白尼”。&/p&&p&·挪威阿贝尔向巴黎科学院递交论文《关于很广一类超越函数的一个一般性质》，开创了椭圆函数论研究。 &/p&&p&·德国克雷尔创办《纯粹数学与应用数学杂志》。 &/p&&p&·法国热尔岗和庞斯列各自建立对偶原理。 &/p&&p&&br&1827年&/p&&p&·德国高斯著《关于曲面的一般研究》，开创了曲面内蕴几何学研究。 &/p&&p&·德国麦比乌斯著《重心的计算》，引进齐次坐标，与普吕克等人开辟了射影几何的代数方向。 &/p&&p&&br&1828年&/p&&p&·英国格林发表《数学分析在电磁理论中的应用》，给出“格林函数”，建立了著名的“格林公式”，发展了位势理论。 &/p&&p&·俄国奥斯特罗格拉茨基证明了关于三重积分和曲面积分关系的著名公式（现称之为高斯-奥斯特罗格拉茨基公式）。1834年，他又把这个公式推广到N重积分。 &/p&&p&·德国普吕克发表《解析几何的发展》第一卷，第二卷于1831年问世。&/p&&p&·苏格兰植物学家罗伯特-布朗发表“显微镜观察的简短说明”，对布朗运动进行了首次描述。 &/p&&p&&br&1829年&/p&&p&·俄国罗巴切夫斯基发表最早的非欧几里得几何学著作《论几何学基础》。 &/p&&p&·德国稚可比（C.G.J.Jacobi）著《椭圆函数论新基础》，是椭圆函数理论的奠基性著作。 &/p&&p&·法国C.F．斯图姆解决在给定范围内实系数代数方程实根个数问题（斯图姆定理）。 &/p&&p&·德国狄利克雷发表《关于三角级数的收敛性》，开始了三角级数理论的精密研究。 &/p&&p&&br&年&/p&&p&·法国伽罗瓦（Galois,）彻底解决了代数方程的根式可解性问题，确立了群论的基本概念。 &/p&&p&&br&1830年&/p&&p&·英国皮科克著《代数通论》，首创以演绎方式建立代数学，为代数中更抽象的思想开辟了道路。 &/p&&p&&br&1832年&/p&&p&·匈牙利波尔约发表《绝对空间的科学》，独立于罗巴切夫斯基提出非欧几何学原理。 &/p&&p&·瑞士施泰纳著《几何图形相互依赖性的系统发展》，利用射影概念由简单结构构造复杂结构，发展了射影几何。 &/p&
年·法国拉普拉斯的5卷巨著《天体力学》出版，汇集了他在天文学中的几乎全部发现，试图给出由太阳系引起的力学问题的分析解答。其中包括许多重要的数学贡献，如建立拉普拉斯方程、位势函数等。 1801年·德国高斯出版《算术研究》，开始了近代数论…
&b&贴篇我写给学校学弟学妹们的数模感想吧，希望能有帮助。&/b&&br&&br&
数学建模感想&br&&br&&p&纪念逝去的大学数学建模：两次校赛，两次国赛，两次美赛，一次电工杯。从大一下学期组队到现在，大三下学期，时间飞逝，我的大学建模生涯也告一段落。感谢建模路上帮助过我的学长和学姐们，滴水之恩当涌泉相报，写下这篇感想，希望可以给学弟学妹们一丝启发，也就完成我的想法了。拙劣的文笔，也不知道写些啥，按顺序随便写写吧。&/p&&p&&b&我是怎么选择建模的：&/b&&/p&&p&大一上，第一次听到数学建模其实是大一上学期，not大一下学期。某次浏览网页偶然发现的，源于从小对数学，哲学以及历史的崇敬吧（虽然大学没敢选择其中任何一个专业，尤其是数学和哲学，怕太难了，学不好），我就坚定了学习数学建模的想法。通过翻阅学校发的学生手册还是神马的资料，发现我们学校有数学建模竞赛的。鉴于大一上啥数学知识都没有，也就没开始准备，把侧重点放在找队友上。&br&一次打乒乓球，认识了两位信电帅哥，以后也会一起打球。其中一位（M）很有学霸潜质，后来期末考试后，我打听了他的高数成绩，果然的杠杠滴，就试探性的问了下，要不要一起参加建模，嗯，成功！&/p&&p&第二位队友是在大一上学期认识的（向她请教了很多关于转专业的事情），但是是第二学期找她组队的。老样子，打听成绩，一打听吓一跳，是英语超好，微积分接近满分的女生F（鄙人第二学期转入了她的学院）。果断发送邀请，是否愿意一起组队，嗯，成功。&/p&&p&&b&关于找队友&/b&：在信息不对称的情况下，优先考虑三人的专业搭配，比如或信电的小伙伴负责编程和理工科题建模，经济金融统计负责论文和统计建模，数学计算专业的全方位建模以及帮忙论文，个人感觉这样子比较好。由于建模粗略地可以分为建模，编程，论文，三块，整体上是一人负责一块的，但是绝对不能走极端，每个人就单单的负责一块，这样子的组合缺乏沟通和互动。应该要在培训中磨合，结合每个人的个人特点。主要负责哪几块，辅助哪几块。&/p&&p&接下来就到了&b&第一次校赛&/b&了：第一次还是挺激动的，因为之前问了几个学长学姐说，建模都是要通宵的，于是我们也做好了通宵的准备。第一次拿到的题目是关于一个单位不同工作部门不同饮食习惯的人，健康水平的关系。&br&后来回顾过来，这其实是一个比较简单的统计分析题。但是想当年可没有这等觉悟，做题全靠office，对着题目想半天也不知道该怎么做。做的过程很痛苦，但是也很兴奋，校赛三等奖的结果证明了光有一股热情是不行的，需要恶补大量知识。&/p&&p&推荐&b&新手入门书目&/b&：&/p&&p&数学模型(姜启源、谢金星)&/p&&p&数学建模方法与分析.(新西兰)Mark.M．Meerschaert.&/p&&p&第一本是姜老先生写的，很适合新手，在内容编排上也是国产风格，按模型知识点分类，一块一块讲，面面俱到。第二本是新西兰的，我是大二的时候看这本书的，只看了前面一部分。发现这本书挺适合新手，它是典型的外国教材风格，从一个模型例子开始，娓娓道来，跟你讲述数学建模的方方面面，其中反复强调的一个数学建模五步法，后来细细体会起来的确很有道理，看完大部分这本书的内容，就可以体会并应用这个方法了。（第一次校赛，就是因为五步法的第一步，都没有做到）。对了，还有老丁推荐的一本，美利坚合众国数学建模竞赛委员会主席Giordano写的A first course in mathematic modeling，有姜启源等翻译的中文版，but我没能在图书馆借到，所以没看过，大家有机会可以看看。&/p&&p&&b&怎么建模&/b&&/p&&p&&b&第一次国赛前的&/b&放假开始学校培训，我提前借了一大堆书，把卡都借满了。第一次国赛前的那次培训，对我而言，这段时期是收获最大的时期，比其他任何时间段都来得大。&/p&&p&这段时间内，我们三个人都很辛苦。白天培训要学习很多知识，完了只能休息半天，然后开始比赛，周而复始。 之前我的打算是，白天上课学习，晚上回去复习当天的内容，再看些其他东西。But 我太高估自己了，晚上基本是玩玩三国杀之类的小游戏放松，然后第二天再去上课。嗯，心态放好，身体最重要。^_^&/p&&p&通过这几次培训，基本上队伍形成了F专业写论文，我和M负责建模和编程。其中我偏重建模和全队调度。&/p&&p&大家在培训的时候，要慢慢养成五步建模法：&/p&&p&&b&五步法说明:&/b&&/p&&figure&&img data-rawheight=&608& data-rawwidth=&640& src=&https://pic1.zhimg.com/7dbb8e7d5406033cfbe788a420b84380_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/7dbb8e7d5406033cfbe788a420b84380_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&p&&b&第一步:提出问题.&/b&&/p&&p&
大家可能会想,题目不是已经给出问题了吗? 是的,但是这里的提出问题是指：用数学语言去表达。首先，题目一定要通读若干遍，“看不懂，读题目；看不懂，读题目”，如此反复循环的同时查阅相关资料。这通常需要大量的工作，而且要根据题目的特点做一些假设。&/p&&p&
看的差不多了，就开始用数学形式提出问题，当然，在这之前，先引用或者定义一些专业术语。 接下来进行符号说明，统一符号（这点很重要，三个人之间便于沟通，论文便于展现），并列出整个问题涉及的变量，包括恰当的单位，列出我们已知或者作出的假设（用数学语言描述，比如等式，不等式）。
做完这些准备工作后，就开始正式提出问题啦。用明确的数学语言写出这个问题的表达式，加上之前的准备工作，就构成了完整的问题。 &/p&&p&
这部分的内容反映到论文结构上，相当于前言，问题提出，模型建立部分。注意，刚开始建立的模型很挫没关系，我们随时可以返回来进行修改的。&/p&&p&&b&第二步:选择建模方法.&/b&&/p&&p&
在有了用数学语言表述的问题后，我们需要选择一个或者多个数学方法来获得解。 许多问题，尤其是运筹优化，微分方程的题目，一般都可以表述成一个已有有效的标准求解形式。这里可以通过查阅相关领域的文献，获得具体的方法。为什么不是查阅教材呢？基本上教材讲的都是基础的，针对特定问题的，教材上一般找不到现成的方法，但是教材依然是很重要的基础工具，有时候想不出思路，教材（比如姜启源那本）翻来翻去，会产生灵感，可以用什么模型。&/p&&p&&b&第三步:推导模型的公式.&/b&&/p&&p&
我们要把第二步的方法实现出来，也就是论文的模型建立部分。我们要对建立的问题进行变形，推导，转化为可以运行标准方法解答的形式。这部分通常是借鉴参考文献的过程，做一些修改，以适应本题的情况。&/p&&p&&b&第四步:求解模型.&/b&&/p&&p&
这里是编程的队友登场的时刻了。&/p&&p&统计模型：SPSS,Eviews，Stata ，都是菜单式操作，easy的。&/p&&p&数据分析：R，数据库SQL Server，IBM&br&DB2&/p&&p&微分方程：Maple,Mathematic,MATLAB&/p&&p&运筹规划：Matlab，Lingo&/p&&p&智能算法：Matlab，R&/p&&p&时间序列：统计模型中的那些软件，或者R，Matlab &/p&&p&图像处理：Matlab，C++&/p&&p&总结： Matlab是必须的，再来个SPSS，一般情况下够用了。&/p&&p&&b&第五步:回答问题.&/b&&/p&&p&
也就是论文的讨论部分。这部分是对你整篇论文成果的总结，一定要写的有深度。除此之外，通常还要写上一些灵敏度分析，如果是统计模型的话，要有模型检验。论文通常会需要画一些图表，可以使用Matlab、R等软件来画跟数据有关的图，使用Visio或者PPT画流程图之类的图。&/p&&br&&p&关于比赛的一些个人体会&/p&&p&1、国赛和美赛是有区别的&/p&&p&国赛讲究实力，美赛讲究创新。
美赛不一定要多高级的方法，但是一定要有创意。而国赛，组委会往往是有一个模糊的“标准答案”在的，按部就班做下来就好了。&/p&&p&注意不要一次性就建立复杂模型了，老外看重的是你的思维，你的逻辑，不像国赛，看重的是你的建模编程实力，要使用各种高大上的方法。&/p&&p&拿到一个问题，可以先建立一个初等模型，讨论下结果；再逐渐放宽条件，把模型做的复杂一点。&br&即 Basic model -& Normal model -& Extended model的思路。这个思维在美赛中很好，这么做下来基本都能得金奖的，鄙人这次也是按照这样的流程，拿了个金奖。&/p&&p&2、文献为王&/p&&p&文献为王。建模的题目，基本上是某个教授的研究课题，凭我们本科生的水平，基本上做不到对题目的深刻理解。所以要多看文献。&/p&&p&看文献也有技巧：刚拿到题目，先查一下相关背景资料，了解题目是哪方面的。接下来看文献，找一下硕士论文，博士论文以及综述性质的文章，硕博论文一般都会详细介绍下整个课题的国内外研究情况，综述就更不用说了，它就是对大量原始研究论文的数据、资料和主要观点进行归纳整理、分析提炼而写成的论文。看完这些，就可以比较有深度地把握题目，也知道如果我们要进行创新的话，往哪方面走。&/p&&p&接下来，可以根据小组三人讨论的结果，有针对性的看一下有深度的文献，文献看得多了，就可以考虑开始创新了，像爱因斯坦那样开辟相对论等新领域的创新，是很有难度的，但是我们可以退而取其次，不是有句话叫做“他山之石，可以攻玉”吗？&br&我们要做的就是组合创新！ 领域内组合创新，把一个学者的方法嫁接到另一个学者的模型上。 以及交叉领域创新，把把自然科学的知识用到社会科学上，或者用社会科学解释自然科学的结果等等。（这里就可以体现，跨专业建模队伍的先天优势了：不同专业对同一个问题的思维是不同的，可以擦出创意的火花）&/p&&p&PS：图书馆有买很多数据库，可以免费看论文。免费的话google学术是无敌的，国内文献貌似没有良好的分享平台，实在找不到论文也可以百度文库死马当活马医。&/p&&p&平时可以多注册一些网站，数学中国，校苑数模，matlab技术论坛，pudn程序员，研学论坛，stackoverflow等。上传些资料，攒积分要从娃娃抓起，不要等到比赛了看到好资料还“诶呀，积分不够”。&/p&&p&想法很重要。建模思维是一种很难学习到的东西，站在巨人的肩膀上，多看文献，负责建模的同学辛苦了。&/p&&p&3、掌握一点数据处理的技巧&/p&&p&
建模的题目，A.B两道题。基本上是一题连续，一题离散；一题自然科学（理工科），另一题社会科学（经济管理）。这样的分布的，大家平常做题的时候就可以有所侧重，曾经有一支美帝的队伍，专攻离散题，貌似拿了连续两届的outstanding.&/p&&p&掌握一点数据处理的技巧是很有必要的。比如数据缺失值的处理，插值与拟合等。尤其是数据缺失值的处理，基本上A,B题都有可能涉及，建议熟练掌握。&/p&&p&4、关于编程水平。More generally,软件操作水平几乎决定了一个队伍的结果上限。MATLAB是必备的，必须要熟练掌握各种模型的实现。此外，SPSS(或者R)也是要掌握的。Mathematic和MATLAB的替代性很强，不掌握也没关系（仅在建模方面，mathematic 当然也是很强大的）。What’s more建模比赛举办这么多年，用到lingo的情况几乎很少了，也可以不学lingo. And 现在的题目动不动就要粒子群等智能算法，强烈建议大家至少熟练掌握一种智能算法.&/p&&p&MATLAB推荐书目&/p&&p&基础：
MATLAB揭秘
郑碧波 译 （本书讲的极其通俗易懂，适合无编程经验的）&/p&&p&精通matlab2011a
张志涌&/p&&p&提升：&/p&&p&数学建模与应用：司守奎 （囊括了各类建模的知识，还附有代码，很难得，工具书性质的）&/p&&p&Matlab智能算法30个案例分析
史峰,王辉等
&/p&&p&《MATLAB统计分析与应用：40个案例分析》&/p&&p&数字图像处理(MATLAB版)
(13国赛碎纸片复原居然涉及了图像处理,所以列在这里了.可看可不看,太专业化了)&/p&&p&书很多的.总之,要达到熟练运用matlab进行运筹优化,数据处理,微分方程的地步. 数理统计可以交给SPSS,R ,其中SPSS无脑操作上手快.&/p&&p&5、格式规范：看国赛一等奖，美赛国内人得特等奖的论文，格式规范方面绝对很到位，大家可以参考。国外人的特等奖论文，大都不重视格式，人家的优势在于模型实力与创意、母语写作。所以在美赛格式规范方面，参考国内特奖的论文。&/p&&p&PS：有时间的队伍可以学习以下Latex，用Latex写出来的论文，比word不知道好了多少倍。Latex书目推荐：&/p&&p&LaTeX插图指南&/p&&p&一份不太简短的Latex介绍&/p&&p&LaTeX-表格的制作 汤银才&/p&&p&参考文献常见问题集&/p&&p&latex学习日记
Alpha Huang&/p&&p&论坛：Ctex BBS&/p&&p&结束语：&/p&&p&什么是数学的思维方式？观察客观世界的现象，抓住其主要特征，抽象出概念或者建立模型；进行探索，通过直觉判断或者归纳推理，类比推理以及联想等作出猜测；然后进行深入分析和逻辑推理以及计算，揭示事物的内在规律，从而使纷繁复杂的现象变得井然有序。这就是数学的思维方式。&/p&&p&-----------丘维声《抽象代数基础》前言&/p&&br&&p&PS：转载到学校等教育机构，给学弟学妹们学习是可以的，注明作者跟来处。如果是出于任何商业目的，比如用作微信公众号文章、媒体稿件、软文文案、营销型微博账号，不允许，或者应该主动提出愿意为之付出的稿费。&/p&
贴篇我写给学校学弟学妹们的数模感想吧，希望能有帮助。 数学建模感想 纪念逝去的大学数学建模：两次校赛，两次国赛，两次美赛，一次电工杯。从大一下学期组队到现在，大三下学期，时间飞逝，我的大学建模生涯也告一段落。感谢建模路上帮助过我的学长和学姐…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/0886d3dfe6fca5e4e524fbe6aede25b2_b.png& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1239& data-rawheight=&1440& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1239& data-original=&https://pic3.zhimg.com/0886d3dfe6fca5e4e524fbe6aede25b2_r.png&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/a3d1c7c1f8cfa70b9f8e64d1_b.png& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1578& data-rawheight=&1429& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1578& data-original=&https://pic2.zhimg.com/a3d1c7c1f8cfa70b9f8e64d1_r.png&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/cfed75af3c8499c_b.png& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1713& data-rawheight=&1412& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1713& data-original=&https://pic1.zhimg.com/cfed75af3c8499c_r.png&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/f9fefd0d2f_b.png& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1546& data-rawheight=&1423& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1546& data-original=&https://pic4.zhimg.com/f9fefd0d2f_r.png&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/cc10ace9dd7c8f1ca7c9c903fab6ee47_b.png& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1433& data-rawheight=&1424& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1433& data-original=&https://pic4.zhimg.com/cc10ace9dd7c8f1ca7c9c903fab6ee47_r.png&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/f2d2b12ec44de38078b7_b.png& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1444& data-rawheight=&1423& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1444& data-original=&https://pic4.zhimg.com/f2d2b12ec44de38078b7_r.png&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&PART
1--------------为什么看不懂大学数学-------------------------------&/b&&/p&&p&
因为中国的&b&教材太差&/b&。&/p&&p&&br&&/p&&p&
一个国家的教学水平，整体反应在教材的水平上；一个大学的教学水平，也反应在教材水平上。全国除顶尖985学校之外，其余学校的数学水平都很不理想，绝大多数学校的数学课程都是直接从苏联数学继承过来的，三十年几乎没有任何改变，实在太差了。看了美国的教材，终于明白为什么国内学生考研数学平均分不及格，不是题目太难，而是教材太差，真的太差。可以说国内985比211好了一点点，但是常青藤系列比国内985好了一个几何量。同济版《高数》、浙大《概率统计》、同济《线代》这三套经典教材其实存在着巨大不足。他们表面听起来很高大，实际上继承了苏联空洞抽象的模式，以至于内容设置非常不合理，如果是属于应用型的《微积分》，国内的《高数》明显偏难，而且联系实际的题目太少；但是如果属于分析型的《微积分》，那内容又略显得简单和臃肿。以至于绝大部分学生毕业后基本完全忘记《高数》到底是什么，我不是说学生不认真学习或者老师差，而是教材，教材，教材，真的太差了。因为《微积分》是学习《概率统计》和《线性代数》的必备条件，因此直接导致整体考研数学成绩非常差，而实际上目前考研的数学题目都是非常基础的，是教材上例题的加强版，合理的学习安排下，应该能考到110分左右。但因为教材的巨大诱导性，让学生产生了严重的恐惧心理和不满情绪，这又反作用了对数学的害怕和反感，真是一件很悲哀的事情。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&PART
2-------------------对《同济高数》的意见-------------------------------&/b&&/p&&p&
实际上，《同济高数》是非常抽象的，而且脱离实际的。从目录来看，似乎完整的覆盖了整个《CALCULUS》体系，但是在几乎所有的关键点上，同济的编者并没有用心处理，或者说，至少没有从学生的角度去思考。可以说一切知识都是：&b&“点到为止，泛而不精”&/b&。全书语言都过于机械数字化，当然内容都是正确的，也没有错误，但正是这种&b&”中庸精神“&/b&，少了一份灵气，少了一份让学生加深理解的辅助材料。要复制公式谁不会?我可以用几页A4纸把所有公式都写出来，难道这样就代表整个《微积分》了吗？往往是在公式之外的地方，在书本留白的边缘，在最细节的地方，最难的地方，最抽象的地方，最需要 descriptive statement 的地方才能看出一个作者的功力是否深厚，学问是否到家。&b&“举重若轻”&/b&，是对一个学者的最高的赞誉和评价，可惜国内教材和教授们在这个方面，还有很长的路要走。&/p&&p&&br&&/p&&p&
《同济高数》用很准确的语言把极限“D-E”定义摆出来，但是没有说明这个定义的来龙去脉，因此很多学生都看不懂，甚至相当一部分学生都无法准确发音 delta - epislon，更别说理解到“为什么要用D-E来代表极限？不能用其他符号吗？”。而实际上 D-E 在古希腊字母中仅仅表示字母表的第四个和第五个字母，没有任何特殊的含义，主要是ABC 都被欧几里得霸占在几何学里，没办法用了，被迫无奈 采用了 D-E 。而在美国教材中，原作者用了一大段很简单的语言和几幅图片，将极限进行了解释“Limit is an active approaching process, it is not a still real-valued number nor variable, no matter how close you are, you will never reach that target ”。极限这个概念在牛顿---莱布尼茨的时代还没有出现，因为极限涉及到的数学原理其实很复杂，仅仅是&b&“连续性”&/b&和“&b&光滑性”&/b&这两个看起来很简单的名词，就让整整一个世纪的数学家废寝忘食，夜以继日，才得出结论。而至于我们今天看到的D-E定义，更是牛顿死后的一百年才被德国数学家威尔斯特拉斯提出，因此美版教材普遍都不要求“证明”，只要求“了解”极限的意识形态。《同济高数》对于一元微积分几乎完全没有实例，而对于极端重要的sinhx，coshx，更是只有寥寥几页纸，并且还带了一个星号，给人一种“欲练此功，必先自宫”的恐惧，sinhx, coshx 就是由 E^X 跟它的对称函数E^(-X)进行线性组合得到的，简单吧？但是同济直接忽略了 y=e^x 的教学，实际上 y=e^x 是微积分中最简单，也是最重要的函数族。正因为这个特点，对它们的求导/求积就非常简单，特别是后期学习无穷级数，泰勒展开式，向量微积分，开普勒三大定理，概率的MGF，都时时刻刻体现出 y=e^x 的巨大威力。&/p&&p&&br&&/p&&p&
更严重的问题是，同济和浙大的编者，都用了反人类的思维方法来开展教学。比如对y=x^n的求导教学，同济是直接拿定义出来，先把它证明了，再举例告诉学生这个定理可以直接使用。台下的学生一脸问号……难道大家不会觉得这是跟正常思维相反吗？美版教材就是先带领我们学会y=1的求导，然后y=x的求导，然后y=x^2的求导，然后y=x^3的求导，然后作者Stewart循循善诱地问同学说&now do you see any pattern among these process ? Can you GUESS what maybe the derivative of y=x^5 ? And what about y=x^n?&最后他才会摆出严密的定义，并证明。此时，学生也在过程之中学会了&b&“由特殊到一般，再由一般到特殊”&/b&这样一个非常重要的数学思维。相对应的求积也一样，先计算y=1的积分，然后y=x的积分，然后y=x^2的积分，然后y=x^3的积分，最后再问学生&now do you see any pattern among these process ? Can you GUESS what maybe the antiderivative of y=x^8, and what about y=x^n?&
Stewart从来不会直接甩出一堆晦涩的证明，而是先从几个简单的例子，引导学生去 GUESS 这样的结论是否具有一般性，并且证明自己的GUESS 是对的还是错的。Stewart 所用的例子都很简单，并没有太多的技巧和套路，但是这样的效果却非常好，由浅入深的帮助学生 &explore the unknown&，这才是一名优秀的老师所应有的态度和水平。多年后，或许你会忘记多元积分的公式，你也会忘记Laplace， Fourier，Taylor的公式，但只要你还记得推理的方法，你就很容易在几分钟内完成这一个过程。李开复曾经说到“&b&忘掉你所学的一切公式和定理，如果你还能利用自己的理解去推理出来，那就说明你的学问已经到家了&/b&。” 对这句话，本人无比赞同。&/p&&p&
美版教材同时附带了大量的一元微积分习题，只列举简单的入门习题：&/p&&p&
（1）固定的鱼塘里放入一定数量的鱼苗，在足够营养下，鱼苗不会无限增长，而是指数增长，利用微积分知识，就可以求的相应的增长数量。&br&
（2）博尔特在一次110米栏比赛中，总用时12秒，那么问你，他在4.5秒的时候，具体的瞬间速度是多少？同样前提条件下，博尔特在8.5秒的时候，已经总共跑了多少米？最后就会问，有什么方式把上面两个不相干的问题联系起来？&br&
（3）某降血压的药物，给高血压病人吃了后，检测得血压下降的速度与药物浓度有直接关系，利用微积分就可以求得，吃多少的药物，才是有效的安全范围。&br&
（4）化学反应中的速度跟浓度呈正比关系，但是明显不是普通的线性关系，利用微积分，就可以求得某时间的浓度，或者完全反应所需的时间。&br&
（5）发射地球同步卫星，需要多少做功，某瞬间需要多大的速度，如何确定速度跟做功之间的关系，在简易条件下如何检验相对论的正确性。&br&
（6）水面的波浪从中心点向外扩张，呈 sinhx 的轨迹；而悬链线的受力情况，却是呈coshx的轨迹，试用微积分知识进行简单说明。&br&
（7）流体通过某管道时，其靠近管壁的流体速度会因为阻力而减慢，中心部分由于阻力较小而速度加快，试用微积分知识来解释为什么。&/p&&p&
当然还有大量的变速的位移，变力做工，经济学的边际效应，价格弹性，资产定价模型（CAPM, WACC），旋转体的体积，等等都是《同济高数》所缺少的实际应用。正是因为这些栩栩如生的例子，学生才能深刻理解到微积分对于现代生活的巨大改变和意义。否则，假如仅仅是把纯粹的数字翻来翻去，求导/求积，学生都会了，那然后呢？难道学了微积分就是来做一个人工计算器吗？国内教材总是直接叫学生套用某某公式解题目，而忽略了公式之外的逻辑理解和推到能力，美版教材就基本相反，很强调对基本公式的推到和归纳能力，而降低对公式本身的依耐性。这是两种截然不同教育理念的冲突。&/p&&p&&br&&/p&&p&
国内教材就像（&b&授人与鱼&/b&），给你一堆公式和定理，让你照着用。美版教材就像（&b&授人与渔&/b&）给你一种发现公式和定理的思维，让你学会自己归纳总结。它首先就会告诉我们：《微分学》研究“instantaneous, incremental and related changes” 的问题；而《积分学》研究“output from irregular input ”的问题。《微积分》的本质就是研究&active variable&的问题，教材特别多次强调“the significant difference between calculus and algebra and geometry is that calculus is dealing with&b& ACTIVE/MOVING &/b&variable and algebra/geometry is working on &b&INACTIVE/STILL &/b&variable”.&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&PART
3----------------对《线性代数》《概率统计》的意见-----------------&/b&&/p&&p&
这两套教材也是被国人视为瑰宝，敬而远之，但是相当大量的学生反映：“《概率统计》由于比较具体，还勉强看得懂。但是《现代》实在太抽象，所以很多学生反应无法理解”。因为这两套教材也十分抽象和理论化，缺少很重要的PREFACE，让学生在学习之前能对本学科有一个 FRAMEWORK 上的把握和掌控，基本上看完了也不知所云。美版教材无论如何都会有这些东西，并且开篇就告诉你《线代》研究的对象是“vector, especially &b&COLUMN&/b& vector”，并不是所谓的“matrix”或者“determinant”或者“eigenvalue”，并在一开始就对向量进行了细致的教学，从加法、减法，二维图示，三维图示，到dot product，到cross product，到matrix，到determinant，最后才是水到渠成地引入matrix as linear transformation。非理工科的学生，学到这里就差不多了，后面vector space 和 orthogonallity ,比较抽象，难度也大，可以有选择地放弃。至于最重要的rank , nuliity , dimension ,同济并没有说清楚。如果是一维的，那就是两个向量共线；二维的，那就是两个向量形成一个四边形；三维的，那就是三个向量形成一个体积；四维以上的，照样是体积，但是一般不讨论。而所有的“行列式”、“矩阵”、“秩”、“通解”、“特解”、“特征向量”，“特征值”，等等名词，都是&b&RREF &/b&后，围绕COLUMN vector 展开的运算而已。但是由于《同济线代》根本没有这些基础知识做铺垫，导致学生基本看不懂教材的内容。就相当于：让学生去建造一栋摩天大楼，但是不让你打地基，直接就在平地施工建造第一层。实际上非理工类本科阶段的《线性代数》是非常简单的，是最基础的加减乘而已，但是相当一部分学生甚至说不清楚 column space
和 row space 的区别，这就直接导致后期的学习举步维艰。&/p&&p&&br&&/p&&p&
浙大的《概率统计》相对来说比同济优秀太多了，但还是存在比较严重的缺点。首先，是体系太混乱，对于discrete/continuous RV 的最基础术语(pmf, pdf,cdf)都欠缺完整。其次，是科班痕迹明显，所有的实例都是一笔带过，对于大名鼎鼎的Poisson（&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda+& alt=&\lambda & eeimg=&1&&），和 Exponential (&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda+& alt=&\lambda & eeimg=&1&&) 甚至都没有说明白之间的微妙关系，不如维基百科。美版的《概率与统计》对一维的变量分布进行了非常细致的教学，五种discrete/continuous RV ，及其相关的mean，variance，median, skewness。每一种分布都配了至少五道简单的例题，每到例题都有详细的解答思路和完整的mathmatical induction，几乎占据了一半的教材内容，并附带有非常丰富的（简单的）课后练习。而对于更加复杂的二维变量，及其mean，cor-variance，co-relation, 教材反而用了较少的版面，因为二维不过是两个一维变量围成的一个面积而已，其他并无明显差异，只要先扎扎实实学好一维的，二维的问题就变得很简单。美版教材特别说明了几个问题“Poisson distribution looks very complicated at first, but it is actually the discrete version of Exponential distribution, which is very easy to calculate. But Exponential distribution, together with its brother Erlang distribution, is also a simplified version of Gamma distribution. But the most interesting finding is that the Chi-squared distribution is a special case of Gamma distribution as well as a special case of Norma distribution, which means to some extent, all the important distributions can be related to Normal distribution ! ” 其实越是学到后面，越会发现&b&“VECTORS”&/b&的重要性，它即出现在《线代》，也出现在《概率》，更出现在《高等微积分》中，可以说“向量”，是连接“可感知世界”与“不可感知世界”的桥梁”。&/p&&p&&br&&/p&&p&
看完美国教材有一个感受：&b&真正好的教育是将复杂的东西简化，强化基础概念和实际应用，弱化具体计算和逻辑证明，最终让普通学生也可掌握相对深奥的