线性代数特解，求解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-12-27 06:10 标签： 线性代数

步骤1：将 化简为右上三角矩阵 其Φ主元为下划线所示即每一行第一个不为0的元素。

在U中有主元1行1列的12行3列的2，共有2个我们称矩阵A的秩(Rank)为2。

矩阵A的秩(Rank) = 消元后主元的个數

自由列意味着该列对应的变量x可取任意值即 和 可取任意值。显然x构成一个零空间，若其中x均为定值则该零空间为一个点；若 和 可取任意值则零空间构成了一个平面，不妨利用 则表示一个平面，平面内的任意一条直线均可利用上述向量线性表出

因此，带入 则获取叻x的两个特解： 和

什么是特解显然特解是x的解（零）空间的一部分（直线），因为x中的 和 可取任意值那么可以用特解（直线）的组合來表示该空间（平面）。

对于m行n列矩阵A它的

令自由变量为0和1得到特解，所有特解的和即为矩阵A的零空间(Null Space)

原矩阵 经初等变换（行变换）所得的右上三角矩阵 还可以进行进一步变换（加入列变换），化为 的形式

这种形式的作用是可以用其求解Ax=0中x的解集----零空间。因为

其中主元对应的列为前两列，自由变量对应的列为第三列则有一个特解

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这個黑框部分真的完全搞不懂啥意思啊嘤嘤嘤


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解决了么，我也想知道为什么这样僦是通解


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关键在于凑b和凑0凑齐b是特解凑齐0是通解


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搁家呆着挺无聊就超认真地回答这个题，给自己找点事情做

就以第三题为例，求求看特解通解，秩题给的线性系统为 ，容易改写为 到这里秩已经很容易看出来昰2。

我们再找出一个特解来以满足

矩阵的第一列和第四列是pivot column，第二列和第三列是free column它们分别要和待求向量里的 （称为pivot variable）和 （称为free variable）相乘。在找特解的时候常常把free variable 都取0，再据此定出 这是由于任何free column是它前面的pivot column的线性组合，并不独立因此 取任何值都可以由某个恰当的 给出。而都取0是为了计算简便

这样，特解就容易找到为 。

再看通解您应该知道，通解可以写成 其中 是矩阵的零空间里的所有向量，满足 这个零空间是二维的，我们就找两个独立向量来作为这个空间的基

常常这么做：在所有的free variable（本题是 ）里每次挑一个取1，剩下的free variable全取0然后再定pivot variable。我们先令 找到第一个解 。再令 得到第二个解 。

于是所有的 可以描述为 。

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