求解下列定解问题大家一个问题。 这真的是很小的问题了？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-11-09 00:51 标签： 求解

§7.4§7.4 达朗贝尔公式达朗贝尔公式 萣解问题定解问题 在常微分方程中先不考虑任何的 附加条件，从方程本身 求出通解通解一般含有任意常数，然后利用附加条件确定这 些常数偏微方程能否也如此呢 （一）达朗贝尔公式 均匀弦的横振动，均匀秆的纵振动理想传输线方程都有 以下形式 即 （1）通解 （1） 对方程（1）我们作代换（2） 在这个代换下 问题的提出 1 1 则方程（1）变为 我们把代换（2）写成 即 在这代换下原方程化为 对于这个方程，就很容易求解下列定解问题了 先对积分其中f是任意函数 再对积分得到通解 其中是任意函数. 3 4 5 2 2 方程（5）就是偏微分方程（1）的通解与常微分方程 不同嘚是通解中出现任意函数，而不是任意常数 通解（5）的物理意义对于函数f2 x-at来说改用以速度 a沿x轴正向移动的动坐标轴X,则新旧坐标和时间之間的关系 此时有 与时间T无关，即函数图像在动坐标系中保持不变是随着动坐 标系以速度a沿x正方向移动的行波 同理，f1xat是以速度 a沿负方向移動的行波 上述通解中的函数可以用定解条件确定。 假定弦杆，传输线都是无限长的则不存在边界条件。 （2）函数 与 的确定 波形的具體形 状的确定 3 3 初始条件是 把初始条件代入通解得到 即 解方程得 代入通解方程即得满足初始条件的特解 （6） 达朗贝尔达朗贝尔公式这是偏微汾方程的定解 4 4 作为例子（i）设初速度为零即初始位移 只在区间（x1,x2）不为零，在xx1x2/2达到最大值u0 如图所示 达朗贝尔公式给出初始位移 分为两半分别向左右两方，以速度a移动（虚线）这两 个行波的和所给出各个时刻的波形（实线）。 如下图所示 5 5 x t0 x t1 x t2 x t3 x t4 x t5 6 6 （ii）设初始位移为零,即且初速度呮在区间 （x1,x2）上不为零 此时达朗贝尔公式给出 这里指的是 作出 两个图形让他们以速度a分别向左右两方 移动，虚线所描述他们的和（实線）就描画出各个时刻波形 x2x1 x 7 7 t0 x t1 x t2 x t3 x t4 x t5 x t6 x t7 x t8 x x1 x2 8 8 在上图中，波已通过的地方虽然振动消失，但偏离了 原平衡位置 （二）端点的反射 半无限长的弦具有一个端點先考察端点固定的情况，即 初始条件里必须 才有意义因为xx/a）达朗贝尔公式里 失去意义，不能应用 我们可以把半无限长弦当作某根无限长弦的一部分而此无 限长弦的振动过程中，x0必须保持不动即无限长弦的位移 9 9 ux,t应当是奇函数而无限长弦的初始位移 和初始速度都应该昰奇函数 这样我们就把从半无界区域奇延拓到整个无界区间 现在就可以利用达朗贝尔公式来求解下列定解问题无限长弦的自由振动，且 的蔀分就是我们所考察的半无限长弦 初始条件代入上面的式子可以得到方程的解 1010 为了阐明上式的物理意义描画了只有初始位移而 没有初始速度的情况，最下一图右半边实线描出分别向左右 两方移动的波左半边用虚线描出奇延拓，奇延拓的波也分 别向左右两方运动此时，端点没有影响各图按时间顺序 描述了波的传播情况，x0保持不动端点的影响反映为 反射波，而且此时反射波的相位根入射波相反此所謂 半波损失。 1111 u x O t0 x t1 x t2 x t3 x t4 x t5 x t6 x t7 x t8 x 开始反射 1212 下面考察半无限长杆的自由振动端点自由，描述如下 同样可以把这根半无限长杆当做某无限长杆的的部分 此无限长杆在振动过程中，x＝0的相对伸长ux0,即无限长 杆的位移ux,t应当是偶函数则无限长杆的初始位移和初始 速度都是偶函数 把两个函数偶延拓到整个无限区间，可以应用公式 1313 应用达朗贝尔公式可得 把初始条件代入上式可得 这也是一种反射波不同的是反射波的相位跟入射波相同， 沒有半波损失 1414 （三）定解问题是一个整体 从偏微分方程求出达朗贝尔公式的过程与常微分方程的 求解下列定解问题过程是类似的，但绝夶多数的偏微分方程很难求出通解 用定解条件确定待定函数更加困难 从物理角度来说，问题的完整提法是在给定的定解条件下 求解下列萣解问题数学物理方程但除了达朗贝尔公式等极少的例子，从 数学的角度来讲不可能先求偏微分方程的通解后在考虑定解 必条件，须哃时考虑方程本身和定解条件方程本身和定解条件来求解下列定解问题 （和常微分方程不同） 不管是从物理的角度还是数学的角度，定解问题都是 一个整体整体而不能割裂开 1515 （四）定解问题的适定性 定解问题是从实际中来的，结果也要回到实际中去则必须 1定解问题有解 2解是唯一的 3解是稳定的 对于稳定来说，就是如果定解条件的数值有很小的改变解的 数值也只有很小的改变，处在可控可控的范围 因為实际测量中，不可能绝对精确来自实际问题的定解条件 也不可避免的有误差，如果解不稳定则可能理论分析与实际 情况相差很远，沒有实用价值 定解问题满足这三个条件称为适定适定的 1616 以达朗贝尔公式的推导过程为例，如果 （具有连续二阶导数的函数类）可以验证公式 本身确实满足方程即解存在 而在公式推导过程中，没有任何限定则满足偏微分方程的 解最后都可写成达朗贝尔公式，即解唯一 下媔来看达朗贝尔解的稳定性 设有两组初始条件 则相应的两个解u1和u2相差 1717 也就是说两解的差是很小的，如果不加说明我们所研究的 定解问題都是适定的，不再一一说明,以后我们将把泛定方程和 定解条件作为整体来一起处理 1818 由于许多数学物理问题均可以用适定的定解问题 来处悝长期以来，人们认为不适定数学物理问题 的研究是没有意义的然而在实际问题中经常遇到 不适定的问题。 例如对于某物体，希望茬某时刻具有一个实际的 温度分布那么在初始时刻物体应当具有一个什 么样的温度分布才能达到此目的 这就是一个不适定的问题它是所謂的数学物理问题 的反问题。 通过研究人们找到了处理这类不适定问题的 一些办法。现在对不适定问题的研究已成为偏微分 方程的一个偅要的研究方向 21

1. （2015?北京）（一）阅读《可探究嘚科学问题》回答41题．

日常生活、自然现象中有许多现象会让我们产生疑问，把疑问陈述出来就形成了问题，但不一定是科学问题潒个人爱好、道德判断、价值选择方面的问题都不属于科学问题，比如“哪种品牌的运动鞋更好？”“为减少污染和交通拥堵应该限淛小汽车的使用吗？”等都不属于科学问题．

科学问题是指能够通过收集数据而回答的问题例如，“纯水和盐水哪一个结冰更快”就昰一个科学问题，因为你可以通过实验收集信息并予以解答．

并不是每一个科学问题都可以进行探究当问题太泛化或太模糊，就难以进荇科学探究比如“是什么影响气球贴到墙上？”一般而言，可以探究的科学问题描述的是两个或多个变量之间的关系其中的变量是鈳检验的．也就是说，可以探究的科学问题中的因变量和自变量都是可以观察或测量的．例如“增加气球与头发的摩擦次数会改变气球貼在墙上的效果吗？”在这个问题中，气球与头发的摩擦次数是自变量气球贴在墙上的效果是因变量，我们通过改变自变量就可以检驗因变量怎样变化．

一个可探究的科学问题可以有不同的陈述方式常见的陈述方式有下列三种，方式一：某个变量影响另一个变量吗唎如，导体的长度影响导体的电阻大小吗方式二：如果改变某个变量，另一个变量会怎样变化例如，如果增大导体两端的电压导体Φ的电流就增大吗？方式三：一个变量跟另一个变量有关吗例如，电流跟电压有关吗

科学探究的过程是围绕可探究的问题展开的，正昰由于有了可探究的科学问题才能使探究过程具有明确的方向．

请根据上述材料，回答下列问题：

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