已知函数f(x)的数据，求f (x)的二次插值多项式使，并写出插值余项。

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-06-04 00:26 标签： 已知函数F(X)

功能一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。
返回插值向量yi，每一元素对应于参量xi，同时由向量x 与Y 的内插值决定。参量x 指定数据Y 的点。
假定x=1:N，其中N 为向量Y 的长度，或者为矩阵Y 的行数。
用指定的算法计算插值：
’nearest’：最近邻点插值，直接完成计算；
’linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算；
’spline’：三次样条函数插值。对于该方法，命令interp1 调用函数spline、ppval、mkpp、umkpp。这些命令生成一系列用于分段多项式操作的函数。命令spline 用它们执行三次样条函数插值；
’pchip’：分段三次Hermite 插值。对于该方法，命令interp1 调用函数pchip，用于对向量x 与y 执行分段三次内插值。该方法保留单调性与数据的外形；
’cubic’：与’pchip’操作相同；
对于超出x 范围的xi 的分量，使用方法’nearest’、’linear’、’v5cubic’的插值算法，相应地将返回NaN。对其他的方法，interp1 将对超出的分量执行外插值算法。
对于超出x 范围的xi 中的分量将执行特殊的外插值法extrap。
确定超出x 范围的xi 中的分量的外插值extrapval，其值通常取NaN 或0。

对离散地分布在y=exp(x)sin(x)函数曲线上的数据点进行样条插值计算：

格式 Y = table1(TAB,X0) %返回用表格矩阵TAB 中的行线性插值元素，对X0（TAB的第一列查找X0）进行线性插值得到的结果Y。矩阵TAB 是第一列包含
关键值，而其他列包含数据的矩阵。X0 中的每一元素将相应地返回一线性插值行向量。矩阵TAB 的第一列必须是单调的。

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插值法是函数逼近的一种重要方法，是数值计算的基本课题。本节只讨论具有唯一插值函数的多项式插值和分段多项式插值，对其中的多项式插值主要讨论n次多项式插值的方法，即给定n+1各点处的函数值后，怎样构造一个n次插值多项式的方法。虽然理论上可以用解方程组（2）（那里m=n）得到所求插值多项式，但遗憾的是方程组（2）当n较大时往往是严重是病态的。故不能用解方程组的方法获得插值多项式。本节介绍的内容有：lagrange插值，newton插值，hermite插值，分段多项式插值及样条插值。Lagrange插值 Lagrange插值是n次多项式插值，其成功地用构造插值基函数的 方法解决了求n次多项式插值函数问题。 ★基本思想　将待求的n次多项式插值函数pn(x)改写成另一种表示方式，再利 用插值条件（1）确定其中的待定函数，从而求出杆值多项式。 Newton插值Newton插值也是n次多项式插值，它提出另一种构造插值多项式的方法，与Lagrange插值相比，具有承袭性和易于变动节点的特点。 ★基本思想　将待求的n次插值多项式Pn（x）改写为具有承袭性的形式，然后利用插值条件（1）确定Pn（x）的待定系数，以求出所要的插值函数。 Hermite插值Hermite插值是利用未知函数f(x)在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的,起其提法为:给定n+1个互异的节点x0,x1,……,xn上的函数值和导数值

求一个2n+1次多项式H2n+1(x)满足插值条件

一般有更好的密合度.★基本思想

利用Lagrange插值函数的构造方法,先设定函数形式,再利

用插值条件(13)求出插值函数.分段多项式插值插值多项式余项公式说明插值节点越多,误差越小，函数逐近越好，但后来人们发现，事实并非如此，例如：取被插函数,在[-5，5]上的n+1个等距节点： 计算出f(xk)后得到Lagrange插值多项式Ln(x),考虑[-5,5]上的一点x=5-5/n,分别取n=2,6,10,14,18计算f(x),Ln(x)及对应的误差Rn(x),得下表

从表中可知,随节点个数n的增加,误差lRn(x)l不但没减小,反而不断的增大.这个例子最早是由runge研究,后来人们把这种节点加密但误差增大的现象称为Ronge现象.出现Runge现象的原因主要是当节点n较大时,对应

的是高次插值多项式,此差得积累"淹没"了增加节点减少的精度.Ronge现象否定了用高次插值公式提高逼近精度的想法,本节的分段插值就是克服Rounge现象引入的一种插值方法. 分段多项式插值的定义为

如果函数Φ(x)满足条件

实用中,常用次数不超过5的底次分段插值多项式,本节只介绍分段线性插值和分段三次Hermite插值,其中分段三次Hermite插值还额外要求分段插值函数Φ(x)

在节点上与被插值函数f(x)有相同的导数值,即 ★基本思想　将被插值函数f〔x〕的插值节点 由小到大 排序,然后每对相邻的两个节点为端点的区间上用m 次多项式去近似f〔x〕. 例题例1 已知f（x）=ln（x）的函数表为：

试用线性插值和抛物线插值分别计算f（3.27）的近似值并估计相应的误差。

解：线性插值需要两个节点，内插比外插好因为3.27 （3.2，3.3），故选x0=3.2，x1=3.3，由n=1的lagrange插值公式，有

故有所以线性插值计算ln3.27的误差估计为

故抛物线插值计算ln3.27的误差估计为：

显然抛物线插值比线性插值精确。

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