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高中数学难题之数列1-反推法">高中数学难题之数列1-反推法
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红包雨下完了，下次早点来噢~高中数学中“临界问题”的处理策略和应用；――由一个学生提问引发的思考；【摘要】：高中数学的很多领域，比如函数、解析几何；【关键词】：高中数学临界问题策略；学生小Y拿着一本讲义来问问题：化简，y?0且y?；y?0且x?0.一开始我判断她的答案是正确的，谁；思考了一下，终于弄清了这道题关键的问题在于y?0；1概念的界定；临界问题其实是一个物理学里的概念，物理学里
高中数学中“临界问题”的处理策略和应用
――由一个学生提问引发的思考
【摘要】：高中数学的很多领域，比如函数、解析几何、立体几何等等都会出现一些临界问题的情况，而如何有效的处理临界问题是解决一些题目的关键，本文从一个学生提问说起，提出了临界问题的概念 ，高中数学中“临界问题”处理的两种方法以及临界问题的两个应用.
【关键词】： 高中数学
学生小Y拿着一本讲义来问问题：化简，y?0且y?0.她自己做出来的答案是x
y?0且x?0.一开始我判断她的答案是正确的，谁知她马上拿出讲义的参考答案，告诉了我她的疑惑：原来，答案上提供的参考答案是y?0且x?0或y?0且x?0.她问是不是答案错了，因为如果x?0,y?0,那么y一定不会大于等于零了.我认真的x
思考了一下，终于弄清了这道题关键的问题在于y?0的时情况的讨论，其实，y?0是一个临界的情况，它是把y&0和y&0区分开来的一个临界点，而临界点问题的确也是较为棘手的问题，在帮助小Y同学弄清了这道化简题之后，我把它给备课组的其他老师做，结果五位老师里有两老师做错了，包括一位老教师和一位年轻的老师.在备课组激烈的讨论之后，我觉得临界问题的处理是高中数学中好多领域都要遇见的问题，而如何引导学生用正确合理的方法处理这类问题显然值得老师们思考和研究.
1 概念的界定
临界问题其实是一个物理学里的概念，物理学里所谓的临界状态是指当物体从一种运动状态（或物理现象）转变为另一种运动状态（或物理现象）的转折状态，它既有前一种运动状态（或物理现象）的特点，又具有后一种运动状态（或物理现象）的特点，起着承前启后的转折作用.
而本文所阐述的“临界问题”是指在高中数学的函数、解析几何、立体几何等领域中出现的由量变到质变的过程，从一种现象或状态到另一种现象或状态转变时的数学体现.
比如：函数的最值，倾斜角为90度的直线的斜率，线性规划中的最优解等等具体的问题,基本不等式中取到等号时情况等等.
临界问题与不等式的关系
在高中数学中不等式具有重要的地位，不等式应用广泛、知识综合、能力复合，高考考查时更多的是与函数、方程、数列、三角函数、解析几何、立体几何及实际
应用问题相互交叉和综合，很多时候都是将不等式及其性质的运用渗透到这些问题
的求解过程中进行考查.
而这些知识相互交叉和综合的问题中往往分布着很多种临界情况，弄清了这些临界情况，也就基本解决了不等式的问题，反过来临界问题也往往通过不等式这个有效工具来解决和体现.
所以可以这样说有临界情况的地方就有不等式，有不等式的地方就有临界问题，两者相辅相成，不可以分离.
3 临界问题的处理的两种方法
如何有针对性的处理临界问题直接影响着整个问题的解决，临界问题其实是整个问题解决中的关键和如破口，是“牛鼻子”，接下来本文通过几个高中数学的具体问题阐述了临界问题处理的几种方法.
3.1“特别的爱给特别的你”，临界情况单独讨论.
虽然，临界情况和其它非临界情况相比，在数量上（具体表现为相关的集合的元素个数）相差甚远，但它作为量变引起质变的关键点，在事物发展的过程中承前启后，它是区别两类问题的分水岭，有时甚至不属于前后任何一类，所以如果忽略了它的存在会导致严重的错误，因此，我们要给特别的“临界问题”特别的“爱”，特别的关注，所以单独研究，单独处理临界情况显得特别重要.
例1．求函数y??sinx?tanx的定义域（作业本，必修4，人教版，浙江省教育厅教研室编写，第6页，第8题）
??sinx?0?sinx?0分析：?，即?，如果直接解这个不等式组，很多学生都会解tanx?0tanx?0??
错，会漏掉x的终边落在x轴的正半轴的情况分析，而sinx=0和tanx=0其实是等价的两个条件，故本题如果把sinx=0这种临界情况单独拿出来讨论会很大程度上增大正确解答此题的概率.
?sinx?0解不等式组?， tanx?0?
讨论：（1）如果sinx=0,则tanx=0,即x?k?,k?Z；
?sinx?0（2）如果sinx?0，则原不等式组可以化简为?，sinx&0,角x的tanx?0?
终边位于第二、三象限及y轴负半轴上，tanx&0,角x的终边位于第一、三象限，故x的终边位于第三象限，所以??2k??x?
综上所述：
y??sinx?tanx的定义域为?x|??2k??x?3??2k?,k?Z； 23??2k?,或x?2k?,k?Z? 2
本题是人教版作业本的一道题，学生作业交上以后，两个班都只有三位同学做对了答案，因为学生们都没有单独考虑sinx=0这种临界情况.笔者在A班,B班都里讲
解了该题，但是由于某种原因没有在A班板演临界情况单独处理的方法，结果在第二天的作业里，出现了一道相类似的题目，而这道题学生答题情况的差别相当大. 已知?sinx?sinx???2tanx，求使等式成立的角x的集合（作业本，必1?sinx1?sinx
修4，人教版，浙江省教育厅教研室编写，第8页，第8题）.
以下是部分没有用临界情况单独处理法的学生典型的错误做法：
?sinx1?sinx???1?sinx1?sinx(1?sinx)2(1?sinx)2?1?sin2x1?sin2x
(1?sinx)2(1?sinx)21?sinx1?sinx1?sinx1?sinx??== ?22cosxcosxcosxcosxcosxcosx
=2sinx??2tanx cosx
?cosx?0，且sinx?1
所以等式成立的角x的集合为?x|2k???
2?x?2k??3?,k?Z2?
而用了临界情况单独讨论法的学生的解答如下：
讨论：（1）当sinx?0,即x?k?时，等式左边?1-1?0，等式右边tank??0,等
式显然成立；
(2)当sinx?0时
?sinx1?sinx???1?sinx1?sinx(1?sinx)2(1?sinx)2?21?sinx1?sin2x
(1?sinx)2(1?sinx)21?sinx1?sinx1?sinx1?sinx??== ?22cosxcosxcosxcosxcosxcosx
=2sinx??2tanx， cosx
?cosx?0，且sinx?1
由（1），(2)得等式成立的角x的集合：?x|2k???3??x?2k??,或者x?k?,k?Z? 22
以上两题Ａ班，Ｂ班在两次作业的正确人数如下：
Ｂ班在第二次作业中答对题的认数明显多余没有没有讲解过该法的Ａ班，从中我们可以看出临界问题单独讨论的必要性和重要性.
以上两题如果不单独讨论临界情况就很容易导致错误的解答，但是思维严谨的学生还是能够凭借超常的能力给出正确的解答.但是有些问题如果不单独讨论临界情况就没有人能做对了.
例2.解关于x的不等式(x?2)?(ax?2)?0（作业本，必修5，人教版，浙江省教育厅教研室编写，39页，第9题） 22讨论：(1)当a?0时，(x?2)?(ax?2)?0的两根为和2，且?2，对应二次函数aa
2图象开口向下，故原不等式的解集为（,2)； a
(2)当a?0时，(x?2)?(ax?2)?0的即为x?2?0，故原不等式的解集为(??,2)；
22(3)当0?a?1时，(x?2)?(ax?2)?0的两根为2和,且2?对应二次函数开口向上，aa
2故原不等式的解集为； （-?，2)?(,??）a
故原不(4)当a?1时，(x?2)?(ax?2)?0的两相等根为2,对应二次函数开口向上，
等式的解集为； （-?，2)?(2,??）
22(5)当a?1时，(x?2)?(ax?2)?0的两根为2和,且2?,对应二次函数开口向上，aa
2故原不等式的解集为； （-?)?(2,??）a
以上的讨论中，（２）和（４）的讨论都可以理解为临界情况，但是（２）和（４）是两类不同的临界情况，（４）如果不单独讨论，也可以归入第（３）类或者第（５）类，但是第（２）类临界情况的单独讨论是无法避免的，如果不讨论a=0,则原不等式的解集就漏掉了一类情况，直接导致解题的错误.
因此解决有些问题的时候，单独讨论临界情况甚至是唯一的选择.
3.2“数缺形时少直观”,临界情况数形结合
数形结合就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考察，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨
论，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数
量关系形象化、简单化,给人以直觉的启示.更重要的是
在解析几何的很多问题中一些临界情况的问题往往容
易忽略，比如倾斜角为９０度的直线的斜率问题等等，
而用数形结合的思想，利用图象来解决一些解析几何问
题能起到事半公倍的效果.
例3．曲线y=1+4?x2(x?[－2,2])与直线y=k(x－
2)+4有且只有一个公共点时，实数k的取值范围是
将曲线的方程化简得：x2?(y?1)2?4,因为y =1+4?x2(x?[－2,2])所以y?1，故曲线是一个半圆，如图：
y=k(x－2)+4是过定点P（2,4）的一系列动直线.
（1）圆的切线PT是一种临界情况，此时直线与半圆相切，刚好是一个公共点；
（2）直线AP是一种临界情况，此时直线与半圆刚好是有两个公共点，直线绕定点P再往顺时针旋转则有两个公共点，往逆时针旋转则有一个公共点；
（3）直线PB上是另一种临界情况，此时直线与圆有且只有一个公共点，而且直线的斜率不存在，可以理解成直线的斜率趋向无穷大，如果直线再向逆时针方向旋转在没有公共点.
易求直线PT的斜率为53 ，直线AP的斜率为 .
53 综上所述：k?或k? 124
本题如果利用图像，把问题转化为几个直线与半圆的公共点的问题，则可以很直观的在图像上观察出PT,PA和PB这三种临界情况，而弄得清楚这三种临界情况的学生都能很准确的解决这道题.
因此在解析几何中，临界情况数形结合的处理方法能够让学生很快很直观的抓住事情的本质，轻松的解决问题.
临界情况数形结合的处理方法在选择题的求解过程中的作用更大.
例4. 如图，已知F1,F2是椭圆的两个焦点，满足MF1?MF2=0的点M总在椭圆内部，在椭圆离心率的取值范围是（
）（作业本，选修1-1，人教版，浙江省教育厅教研室编写，第21页，第3题）
本题是一道选择题，但是依然有好多学生对这道题的解答没有想法，MF1?MF2＝０即
MF1?MF2，点Ｍ在椭圆内部的临界情况是Ｍ
在椭圆上，而Ｍ在椭圆上运动时?F1MF2的最大
值是Ｍ在Ｂ点的位置，故?F1BF2是?F1MF2的
一个临界情况，所以当?F1BF2的
值为直角时是本题的一个临界情况，而且这个
临界情况是刚好不满足题目条件要求的情况，
此时，角?F1BF2为９０度，所以?F1BO是等
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高一数学教与学存在的问题及对策
高一数学教与学存在的问题及对策
临沂第二十四中学
高一新学期开学已过三个月了，回顾这段教学，我有一种沉重的感觉，全年级的优生率与及格率较之往届都要偏低，学生对数学的学习兴趣在逐渐降低。那么, 是什么原因造成学生数学成绩不理想呢？经过我们备课组老师与学生座谈及调查发现有以下几方面的原因：
一、教材的原因
由于实行九年制义务教育和倡导全面提高学生素质，现行初中数学教材在内容上进行了较大幅度的调整，难度、深度和广度大大降低了。那些在高中学习中经常应用到的有些知识，都转移到高一阶段补充学习。这样初中教材就体现了“浅、少、易”的特点，但却加重了高一数学的份量。相对而言，高中数学一开始，概念抽象，定理严谨，逻辑性强，教材叙述比较严谨、规范，抽象思维和空间想象明显提高，知识难度加大，且习题类型多，解题技巧灵活多变，计算复杂，体现了“起点高、难度大、容量多”的特点。加之高中一年级每周四课时，课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。
二、教法的原因
初中教师大多数采用的教学模式，往往单纯地向学生传授知识，并让学生通过机械模仿式的重复练习以达到熟能生巧的程度，结果造成“重知识，轻能力”、“重局部，轻整体”、“重试卷（复习资料），轻书本”的不良倾向。且高中教学往往通过设导、设问、设陷、设变，启发引导，开拓思路，然后由学生自己思考、去解答，比较注意知识的发生过程，倾重对学生思想方法的渗透和思维品质的培养。这使得刚入高中的学生不容易适应这种教学方法。听课时就存在思维障碍，不容易跟上教师的思维，从而产生学习障碍，影响数学的学习. 因此高一新生普遍不适应高中数学教师的教学方法。
三、学生自身的原因
数学学习要求学生勤于思考，善于归纳总结规律，掌握数学思想方法，做到举一反三，触类旁通。而高一新生在初中三年已形成了固定的学习方法和学习习惯. 他们上课注意听讲，尽力完成老师布置的作业. 但课堂上满足于听，没有做笔记的习惯，缺乏积极思维；遇到难题不是动脑子思考，而是希望老师讲解整个解题过程；不会科学地安排时间，缺乏自学、看
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3.1.1 -3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念： （1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件； （2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
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