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高一其他不等式的解法
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高中数学精品例析：常见解不等式的解法
不等式的解法
不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接 重难点归纳
解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式(组) 、一元二次不等式(组) 的解法
(2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法
(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法
(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法
(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式
(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论
一．解不等式中的简易逻辑思想
例1 已知p :|1-x -1
|≤2，q :x 2-2x +1-m 2≤0(m >0) ；?p 是?q 的必要不充分条件，求实数m
的取值范围.
二、解不等式中的换元思想
解集是[3，8] 三、解不等式中的数形结合思想
例3．设a<0
,+∞) 四、解不等式中的函数方程思想
求a ，b 的值，使得关于x 的不等式a x 2
-1≤0的解集分别是： (1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞) ；(3){2}；(4)[-1，+∞) ．
五、解不等式中的分类类讨论思想
x ＞-3 六、解不等式中的构造思想
例6、解不等式 8(x +1)
+10x +1-x 3-5x ＞0
－1＜x ＜2或x ＜－2 七、解不等式中的转化化归思想
例7 对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x 2＋px ＞4x ＋p-3恒成立，试求x 的取值范围.
(-∞,-1) ∪(3,＋∞)
八、解不等式中的整体思想
例8、已知f(x)=ax2-c, 且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5, 求f(3)的范围。
-1≤f(3)≤20
例1 f(x ) 是［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1， m 、n ∈［－1，1］，m +n ≠0时f (m ) +f (n )
(1)用定义证明f (x ) 在［－1，1］上是增函数；(2)解不等式1
22) ＜f (1
) ； (3)若f (x ) ≤t －2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数t 的取值范围 命题意图本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力
知识依托本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函 t {t |t ≤－2或t =0或t ≥2}
例2设不等式x 2－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ?［1，4］，求实数a 的取值范围 命题意图
考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系
知识依托本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想
M ?［1，4］时，a 的取值范围是(－1，18
例3解关于x 的不等式a (x -1)
x -2＞1(a ≠1)
当a ＞1时解集为(－∞，a -2a -2
a -1) ∪(2，+∞) ；当0＜a ＜1时，解集为(2，a -1) ；当a =0时，解
集为?；当a ＜0时，解集为(a -2
学生巩固练习
?(x +1) 2(x ≤-1) 1设函数f (x )=?
?2x +2(-1<x <1) ，已知f (a ) ＞1，则a 的取值范围是(
-1(x ≥1) A (－∞，－2) ∪(－111
(－∞，－2) ∪(－11
D (－2，－2
) ∪(1，+∞)
2已知f (x ) 、g (x ) 都是奇函数，f (x ) ＞0的解集是(a 2
，b ) ，g (x ) ＞0的解集是(a 2b 2，2
) ，则f (x ) ·g (x )
＞0的解集是__________
3已知关于x 的方程sin 2x +2cosx +a =0有解，则a 的取值范围是_______
4已知适合不等式|x 2－4x +p |+|x －3|≤5的x 的最大值为
(1)求p 的值； (2)若f (x )=p x -1-－
11+x p x +1
，解关于x 的不等式f (x ) ＞log p k (k ∈R +)
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解分式不等式和高次不等式练习题
一.选择填空 1. 使不等式x?
成立的x取值范围是（
B. (??，?1)
C. (?1，0)?(1，?)
D. (??，?1)?(1，?)
?1的解集为{x|x?1或x?2}，则a值（
D. 以上答案均不正确
3. 若a?0，b?0，则不等式a???b的解是（
A. ??x?0或0?x?
B. ??x?0或0?x?
C. x??或x?
?0的解集为(
) 4. 不等式3
A {x0?x?1} B {xx?1}
D {x?1?x?2}
5. 已知a?0,b?0,则不等式?b?
abba1111C. ??x?0或0?x?
D.??x?0或0?x?
?0(a?b?0)的解集是（
） 6. 关于x的不等式
(A)?x|x??a?
(B)x|x??a或x?b
(C)x|x?b或x??a
(D)?x|b?x??a?
?0的解集为(
) 7. 不等式3
A {x0?x?1} B {xx?1}
D {x?1?x?2}
8.不等式Ａ.
?0的解集是
?x|x??2? ?x|x??5?
Ｃ.?x|x??5或x?2?
Ｄ. ?x|x??5或x?2?
＞0的解集为（
） 9. 不等式
A.?xx＜?2,或x＞3?B.?xx＜?2，或1＜x＜3?C.?x?2＜x＜1，或x＞3?D.?x?2＜x＜1，或1＜x＜3?
(x?3x?2)(x?4)
A．－1&x≤1或x≥2
B．x&－3或1≤x≤2
C．x=4或－3&x≤1或x≥2
D．x=4或x&－3或1≤x≤2 二.填空题
10. 不等式
11.不等式(x?3)(2x?1)(x?1)(x?2)?0的解集是
?1的解集是
12.不等式3
?1的解集是
14.不等式(3x2?8x?3)(x?2)2?0的解集为15.不等式
(x?3)(10?x)
?0的解集为
?0恒成立,则实数k的取值范围是
16.已知对于任意实数x,不等式2
不等式(x?1?0的解集是
18.不等式 (x?2)(x?1)(x?1)(x?2)?0的解集是三.解答题
?1 19.解不等式2
?1恒成立？ 20.k为何值时，不等式
解分式不等式和高次不等式练习题
一.选择填空 1. 使不等式x?
成立的x取值范围是（
B. (??，?1)
C. (?1，0)?(1，?)
D. (??，?1)?(1，?)
?1的解集为{x|x?1或x?2}，则a值（
D. 以上答案均不正确
3. 若a?0，b?0，则不等式a???b的解是（
A. ??x?0或0?x?
B. ??x?0或0?x?
C. x??或x?
?0的解集为(
) 4. 不等式3
A {x0?x?1} B {xx?1}
D {x?1?x?2}
5. 已知a?0,b?0,则不等式?b?
abba1111C. ??x?0或0?x?
D.??x?0或0?x?
?0(a?b?0)的解集是（
） 6. 关于x的不等式
(A)?x|x??a?
(B)x|x??a或x?b
(C)x|x?b或x??a
(D)?x|b?x??a?
?0的解集为(
) 7. 不等式3
A {x0?x?1} B {xx?1}
D {x?1?x?2}
8.不等式Ａ.
?0的解集是
（ C ） x?2
?x|x??2? ?x|x??5?
Ｃ.?x|x??5或x?2?
Ｄ. ?x|x??5或x?2?
＞0的解集为（ C
） 9. 不等式
A.?xx＜?2,或x＞3?B.?xx＜?2，或1＜x＜3?C.?x?2＜x＜1，或x＞3?D.?x?2＜x＜1，或1＜x＜3?
(x?3x?2)(x?4)
A．－1&x≤1或x≥2
B．x&－3或1≤x≤2
C．x=4或－3&x≤1或x≥2
D．x=4或x&－3或1≤x≤2 二.填空题
10. 不等式
11.不等式(x?3)(2x?1)(x?1)(x?2)?0的解集是?x??2?x??1,或
??1??x?3?。 2?
?x2?x?2???
x??8?x?或0?x??12.不等式31
的解集是??
x?7x2?8x????
?1?0， 解：原不等式可化为：3
x3?6x2?9x?2(x3?1)?(6x2?9x?3)
?0，即：通分，整理可得：?0 322
x?7x?8xx(x?7x?8)
(x?1)(x2?x?1)?3(2x2?3x?1)(x?1)(x2?x?1)?3(2x?1)(x?1)
即：?0，即：?0
x(x?8)(x?1)x(x?8)(x?1)
(x?1)(xx?0
x(x?8)(x?1)
(x?1)(x?7x?2)
x?0,且x?1，
∴x(x?8)(x?
?7?7x??0，且x?1,且x?0,且x??8.。
,或0?x?∴所求不等式的解集为：?x??8?x??。 22????
?1的解集是?x?x?0,或x?1? x
14.不等式(3x?8x?3)(x?2)?0的解集为?x??
??1??x?3,且x?2? 3?
(x?3)(10?x)
?0的解集为?x???x?1,或3?x?10?. 2
k(??,?). ?016.已知对于任意实数x,不等式恒成立,则实数的取值范围是2
不等式(x?1?0的解集是x?x??3，或x?1.
18.不等式 (x?2)2(x?1)3(x?1)(x?2)?0的解集是x?x??2,或?2?x??1,或1?x?2 三.解答题
?1 19.解不等式2
?1?0 解：原不等式化为：2
3x?7x?22x2?3x?1
?0， 通分整理可得：2
(2x?1)(x?1)
(3x?1)(x?2)
等价于?2x?1??x?1??3x?1??x?2??0，且x?∴原不等式的解集是{x|x?
或?x?1或x?2}． 32
说明：（1）使用序轴标根法，分解因式后，必须使各括号内x的系数为正； （2）若分式不等式有等号，则解集中应包括分子的根，但不包括分母的.
?1恒成立？ 20.k为何值时，不等式
2x2?(6?2k)x?(3?k)
解：原不等式可化为：2
4x?6x?33232
∵4x?6x?3=4(x?)??0
∴原不等式等价于2x2?(6?2k)x?(3?k)?0恒成立， 由??(6?2k)2?4?2?(3?k)?0, 可得 1?k?3． ∴当k?(1,3)时，原不等式恒成立。
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