大学定积分计算例题12题的定积分

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第五章定积分习题参考解答
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你可能喜欢大学定积分的计算题,求高人指点,最好写出详细的计算过程
笑意wtQX35
先求出不定积分,需用万能换元法令z = tan(x/2),dx = 2dz/(1 + z²),sinx = 2z/(1 + z²)∫ 1/(2 + sinx) dx= ∫ [2/(1 + z²)]/[2 + (2z)/(1 + z²)] dz= ∫ 1/[(1 + z²) + z] dz= ∫ 1/[(z + 1/2)² + 3/4] dz= (2/√3)arctan[(z + 1/2) · 2/√3] + C= (2/√3)arctan[(2tan(x/2) + 1)/√3] + C分区间,注意若ƒ(x) = 1/(2 + sinx),ƒ(0) = ƒ(π) = ƒ(2π)F(x) = (2/√3)arctan[(2tan(x/2) + 1)/√3]∫(0→2π) 1/(2 + sinx) dx= ∫(0→π) 1/(2 + sinx) dx + ∫(π→2π) 1/(2 + sinx) dx= [F(π) - F(0)] - [F(2π) - F(π)],x = π是间断点,分左右极限做= [lim(x→0) F(x) - lim(x→π⁺) F(x)] - [lim(x→2π) F(x) - lim(x→π⁻) F(x)]= [π/(3√3) - (- π/√3)] - [π/(3√3) - π/√3]= 2π/√3
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