高数不定积分问题求解∫（x³+1）/（x²+1）dx求不定积分的详细解法谢谢啦~
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因为（x³+1）/（x²+1）=(x³+x-x+1）/（x²+1）=x-(1/2)2x/(x²+1)+1/(x²+1)所以：∫（x³+1）/（x²+1）dx=∫xdx-∫(1/2)2x/(x²+1)dx+∫1/(x²+1)dx=x²/2-(1/2)ln(x²+1)+arctanx+C
我有更好的回答：
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设x=2sinu,（4—x²）½=2cosu,dx=cosudu原式=∫(2sinu)²/(2cosu) *cosudu=2∫(sinu)²du=∫(1-cos2u)du=u-1/2sin2u+C=u-sinucosu+C=arcsin(x/2)-x*√(4—x²)/4
∫ln(x+√(1+x^2))dx =xln(x+√(1+x^2) -∫xd(ln(x+√(1+x^2)) [ln(x+√1+x^2)]'=[1+x/√(1+x^2)]/(x+√(1+x^2))=1/√(1+x^2)=xln(x+√(1+x^2)-∫xdx/√(1+x^2)=xln(x+√(1+x^2)-(1/2)∫d
你好认真. 再问： 没办法，弄不明白下面的题目也不会做，希望你可以帮帮我 再答： 我倒着看哈，5，-号带进去因该是ln(1/(-x+√(x^2-a^2)))+c吧再问： 嗯嗯，谢谢，这个追问有次数限制，要不你看看一次性回答好吗，谢谢你 再答： 可以，3，第二种你化简错了，1/((x-2)(x+1))=(1/3)(1/(
（1）由∑Un收敛,有limUn=0,令∑Un=S,lim(Sn+1+2Sn+Sn-1)=lim（4Sn-1+2Un+Un+1)=4S.(2) 两个都没错,当你把具体的值代人时,常数会被消去.例如：积分上下 限分别为e和4代人x+3+lnx+3有4+3+ln4+3-（e+3+1+3）=3+ln4-e代人x+lnx+3有
下午刚做了一遍这个题见参考资料的链接
∫(2x+5)∧4dx=1/2*∫(2x+5)∧4d(2x+5)=(2x+5)∧5/10+C∫a∧3xdx =1/(3lna)*∫lnaa∧3xd3x =a∧3x/(3lna)
第二步就错了,你是根据“和的极限等于极限的和”这个定理是吧?但是这个定理的前提条件是：两个部分的极限都存在你怎么保证两个式子的极限都存在?已知条件中没有啊,
考虑不定积分∫dx/(x-a)^q当q=1时,∫dx/(x-a)=ln|x-a|+C,∫b a dx/(x-a)^q=ln(b-a)-ln0 根据对数性质显然发散当q≠1时,∫dx/(x-a)^q=∫(x-a)^(-q) dx=(x-a)^(1-q)/(1-q)+C,∫b a dx/(x-a)^q=(b-a)^(1-q
楼主啊!那只是个记号,dy/dx表示对y进行求导.是为了对谁求导的表达更明确,如果不用这个符号的话,对隐函数的求导就很可能会出错的.和用一撇来表达是一样的,你现在才高中,一撇一般是指对x进行求导的.高中教科书上对d/dx这个符号是有说明的,楼主好好找下,一般在求导那章节的最下面都有说明的……楼主还是好好看下教课书的吧
dx/dy就是微商,也就是导数的意思. 再答： 那个是二阶导数的微分表示形式，要记住。。n阶导数也可以用微分这种形式表示再问： 怎么由(dx/dy)得到d/dx(dy/dx)再问： 我变不过来。。。再问： (dx/dy)'这个可以变成什么。。。 再答： 记住这种形式就行了，一般在题目里只会让你去求某个函数的d2y/dx
第一个是,z/（x+z) 第二个就是z^2/(xy+zy) 上面的那几个 不会做就不要误导别人 ok
第二题：举个例子,若是以x=0,y趋近于0的方式得到的极限不是A,那就不能得到那个错误的结论第四题：无穷多种方式并不是任意的方式,如同第二题一样,它有无穷多种方式,但是还是不能得到极限为A
直接做变量替换cosx＝1－2根号(t),sinx=根号(4t－4根号(t)),微分有sinxdx＝dt/根号(t),即dx＝dt/【2根号(t)*根号(1－根号(t))】f(x)=1/根号(2+2根号(t)),原积分化为积分（从0到1）t^(1/2－1)*(1－t)^(1/2－1)dt/2根号(2)＝B(1/2,1/
条件不全,这么问不严谨,你把题也拍一下吧 再答： 二楼说的那个肯定是对的，derta y 不一定趋于dy，但我觉得不够完善再问： 再问： 再答： 你翻翻书，里面微分的定义你忘了吧，当阿法趋于0的时候，这个式子才成立 再答： 不懂欢迎追问，答题不易，望采纳嘿嘿
x=rsinθ y=rcosθ是二重积分极坐标代换而dxdy,rdrdθ是积分分别在直角坐标系和极坐标系的面积元素当重积分从直角坐标向极坐标转换的时候要乘上一个雅克比行列式的绝对值即|sinθ cosθ||rcosθ -rsinθ|=|-r（sinθ)^2-r( cosθ)^2|=r所以是dxdy转化为rdrdθ 而没
就是那个常数变易法得到的公式 再问： 再问： 再问： 你是说这个公式嘛？我按照这个算了，结果跟标准答案有点差别。。。 再答： 是这个，要写成这样 再答： 再问： 再问： 我的过程是这个。不过答案是这个再问： 再答： 再答： 你最后漏了c乘以e^y，最后一行写错了。
我的解答如下：换元法令x=3/2sint,t∈[-0.5π,0.5π] dx=3/2cost带入后得到 ∫(1-x)/[√(9-4x^2)]dx=∫(1-1.5sint)1.5costdt/3cost =∫(1-1.5sint)0.5dt =0.5t+0.75cost+C=0.5arcsin2/3x+1/4√9-4x^高等数学列微分方程求解问题的方法_图文_百度文库
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高等数学列微分方程求解问题的方法
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匿名不能邀请呢，要不来关注的同学们帮我邀请一些大牛来作答？说来也好笑，我从国内某top5高校理工科毕业多年，一直苦恼于高等数学学不好【毕业以后从事的事情跟高数尚未发生半点关系。。。我就是单纯奇怪一下这个事情】。自我感觉问题在于我对于高数里的东西无法做出直观的想象。厚颜无耻地说一句，高中物理我学得非常轻松而且成绩非常好，基本就是翻一遍书考试就接近满分【高考物理部分满分】，我感觉我能把书上的理论公式转变为动画片一样的场景，做题时字面的意思会自动形象化地镶嵌到那些动画片里面出现在我脑子里，就像放电影似的。但是高数就不行了，我努力多时也没法把那些公式定理形象化理解，貌似只能死记硬背。所以直接导致大学物理、电磁场电磁波等科目成绩也相当一般。是不是我的脑子学到高中就是极限了？直说也无妨，因为我发现我现在干的这活其实学到初中就能做了，赚的貌似也还可以。。。囧。。。==============我举个栗子==========最近上一个很火的文章：傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于与时间无关的故事 - 专栏我前面都能看懂，但是到了欧拉公式这儿就不懂了。我想不出e的iπ次是怎样形成的，后面就理解不了了。。。
我觉着不管是信号与系统还是信息论或者通信原理等等号称挂人无数的难课程，以及题主表示不解的高数，之所以让大多数人学的一头雾水，都是因为大家从小到大的数学老师都比较忽视代数这一块内容仅仅以大学阶段为例，要是能把线性空间的概念讲清楚了，不管是傅里叶变换，余弦变换，拉普拉斯变换，z变换等等让人头大的，让人画图都画不明白的奇怪东西，就都有了一个简单的解释：不过是在线性空间里面找了一组“好算”的正交基罢了。比如让题主无比苦恼的欧拉公式等等，如果老师把域的理论讲清了，这不过就是个复数域跟实数域的问题罢了。所以，推荐广大被信号系统、信息论、数字信号处理等等所谓神课折磨的同学，把你的线性代数课本翻出来看一看就解决问题了，推荐本线代书：《线性代数应该这样学（第2版）》([美]阿克斯勒（Axler,S.）)【摘要 书评 试读】
不要想象成直观的三维或者二维图形，要用数学手段去想象。曾经的形式化的尝试告诉我们没有必要想象成一个空间直觉。准备的说，数学某种程度上更像是语法，通过特定的规则进行展开和缩减如果仅仅局限于直观的三维或者四维结构，而没有对于抽象的感觉，那么学起来一定很痛苦。以及推荐 “数学思想”到底有哪几大块？怎么去自学学到这种思想呢？
从高中到大学，思维方式变化最大的就是数学，因为你第一次接触真正有别于加减乘除运算的东西。我的感觉是，如果你真正接纳了那些的思维方式，那么高数也可以非常图像化。具体怎么图像，还是要具体问题具体分析。所谓接纳那些思维方式，就是要通过一些已经熟知的东西去理解那些新的概念是怎么来的。你可以通过读数学史，或者有些教材也会提供，或者简单的可以通过自己思考。思考这些的目的就是让这个新的概念和相关的思维方式真正扎根于你的大脑，做到可以随时调用。比如你最后举的那个例子，要理解e^iπ怎么来的，你得先接受“解析沿拓”的思想，就是用级数来定义一个函数，并且把级数的定义域在复平面上尽可能扩展。相似地，你要理解为什么所有正整数求和可以等于－1/12。开始的时候，你不需要知道里面细节，重要的是你接受这个思路，认为这种思路是“可行的”，进而认为它是“自然的”。你可以思考，如果不用级数来定义一个函数，还有什么别的方法吗？为了做到这一点，你应该从熟悉而简单的开始，你知道怎么定义一个数的正整数次方，那是通过乘法来定义的；接着定义非正整数次乘方，那是通过扩展a^x * a^y = a^(x+y)这个规律得来的；接着定义分数次乘方，那是通过扩展(a^x)^y = a^(x*y)这个规律得来的；那么既然有理数次乘方都可以定义，为什么无理数不行呢？因为任何无理数都是有理数数列的极限啊（所以这里你又需要接受极限的概念和思维方式），于是你通过极限定义了实数次乘方。确实这么定义了，可是具体计算的时候难道每次得找一个有理数数列？于是你发现，级数是很容易扩展到实数域的（因为级数里的运算都是加减乘除，都是在实数域有良好定义的），如果你把诸如乘方运算写成级数，那么级数的极限就是乘方运算的极限，所以无理数次的乘方运算就变成了自变量为无理数的级数，这两种思路是等价的，而级数更是有了可计算性。这个时候，你应该要接受用级数定义指数函数这种思路，虽然它比起“极限”来说并不直观，但因为它们是等价的，所以你必须承认它（数学需要直观，但是它的内在逻辑并不一定是直观的，这取决于人的认知水平）。在这个过程中，前几次拓展你都已经完全接受以至于不会去想它是怎么来的了，而事实上它们和最初的定义已经有了相当的拓展，只是你也许没有注意到；但是拓展到级数这一次你也许会犯迷糊，所以在最后一步——拓展到复数域的时候，你就完全lost了，因为这次已经丧失了“取极限”这个动机（复数不是实数数列的极限，因为实数是完备的，这也是你思维上需要可以快速反应出来的一个事实哦，如果做不到，那就说明你对于实数这个概念的思考方式还没有跟上），单纯的依赖级数来定义函数，你可能会觉得莫名奇妙，在这个拓展的链条里面，有的步骤你没有完全接受就跳过了，那就是“依赖级数”的“合法性”和“必要性”，以至于后面的拓展你会更加confused。你也许还会涉及到矩阵次方，即a^M，M是个矩阵，同样通过级数定义，你还是会晕。如果你接受了这样一个通过级数来拓展定义域的思维，事实上不用你去验证这个复级数算出来是多少（你也可以试一试，这个例子不难，很容易得到欧拉公式），你就很容易接受e^iπ=-1这样一个事实，或者正整数求和＝－1/12这样的事实，你知道，这没什么大不了的，只不过你还没去证明，既然大家都承认，肯定是有大神证明过的，我就可以放心的使用。到了这个境界就够了，对于非数学系专业的人，高数能够学到这种程度，即你可以对其结论抱有自然的接纳态度，那么你就已经可以很顺畅地学习高数了。（数学系的要求会很不一样，但我觉得对于入门者这样也够了）再给你举个例子，矩阵乘法、矩阵行列式、矩阵相似变换。这几个是线性代数里的核心概念，但是很多高数学的不好的，只会背定义被推倒背公式；重要的其实是你的思维怎样从你熟知的地方怎样一步一步进入线性代数的思维，只有做好了这一步，才能真正学得得心应手。我看过一篇曾经很火的文章，里面有提到线性代数这些概念的理解问题（当然还有很多别的，都还挺值得看）随记：我们需要怎样的数学教育？里面把这些基本概念和你学之前熟知的东西联系地很不错，是大部分教材都疏漏了的一块重要知识。
反对排名第一的答案。我大学刚学物理学和数学时也很吃力，直到大四的时候才打通任督二脉：学无止境是真的，但是不要神化你认为困难的知识。科学，数学，都是追求简单清晰的，逻辑链条就像一个个台阶，让你完全可以拾级而上。如果迈不上去，那是也许你的学习途径（教材，讲解，理解方式）台阶高度不适合你的思考节奏，用1cm的台阶，100cm的台阶，都可以登上这座大楼，问题是如果你的腿适合10cm，就不要用太高或太矮的台阶。还有很大可能，是你的深度练习不够。一门数学课是一个逻辑体系，而如果每次你运用书里的知识都要把这座楼登一遍的话，那就要累趴了，现实表现状态就是遗忘，学了好像懂了，之后又不懂了。逻辑链条一旦第一次掌握，就要参照艾宾浩斯遗忘曲线进行及时的回溯。我不仅仅在说复习，这里有关键的意义。数学中的深度练习，就是你一遍遍回溯逻辑链条（手算推导，或者脑海中推导），来达到你可以用一闪念就遍历这个链条，这时你才可以轻松的谈论它，运用它。总结说，就是“理解台阶”，和"深度练习"。
我不是数学专业的，只是一个像matrix67那样的数学爱好者。意见仅供参考。[理解的意义]很多同学谈到不用理解，我这里想介绍一种相反的方法，打桩法（彻底理解法）。我的记忆力很差，记不住任何不能理解的东西。所以，我一直坚持彻底理解。成果大概是：大学里面的一门数学课，在我脑子里差不多就是半页纸的概念。没有刻意去背，但是怎么也忘不掉。带着这半页纸，基本上可以把书重新写出来。同时，对于这些概念，我不是记住，而是有感情。真的有感情，因为数学从来不无聊。以线性代数为例。我看到了一个蔚为壮观的模式。首先，从物理的角度，这个世界上充满了线性变换、线性关系。微分是线性变换，这就是为什么线性代数可以用来解微分方程组。几何操作经常是线性变换，这就是为什么3d图形学经常用线性代数。物理中经常有线性关系，如牛顿定理、胡克定理、电阻上电压与电流的关系。为什么到处都是线性关系？因为物理中大量的概念都是可以叠加的，如电流、电压、重量、压力，两股电流输入，一股电流输出，则输出为输入之和。而为什么物理概念可以叠加？其本质是守恒性。为什么经常有比例关系？这个我没有好的答案，我只是虔诚的信仰这个世界是简单的，因为简单，所以美。其次，从使用的角度，只要你发现笔下的公式中包含了向量的线性组合、线性方程组、坐标变换、线性变换，不管它们是怎么来的，有没有物理意义你都可以迅速链接到线性代数这个强大的工具箱，大量使用矩阵、行列式、秩、特征向量等概念。最后，你使用线性代数的理论刷刷刷的往后推，得到一个结果。然后你往往可以享受最美妙的部分：理解结果的几何意义。这是因为线性代数链接上了几何。[什么是理解]所谓理解一个概念，就是把这个概念和已有概念建立联系。你对已有概念越熟悉，这个联系越强，你就会觉得自己越理解。楼主谈到中学的每个概念在脑子里都能画出来。这是一种最直观的理解，即把概念和生活体验建立关系。能在中学时代做到这点的同学，基本上都是好学生了。高等数学的麻烦在于：已有概念不是生活体验，而是另外一些数学概念。概念间的联系不是视觉联系，而是逻辑联系。所以，如果不能正确理解基础数学概念，后续概念也就没法理解了。同时，如果不牢牢地把握住逻辑，企图用直观来把握，就会觉得，书上说什么就是什么，我就记住把。反正我不理解。（我不是说直觉不重要，你可以从直觉出发，把这个直觉落实到严格证明，或者先看懂了严格证明，再反向去感觉直觉是什么。随着数学学习的深入，更多的直觉是来自于这后一条路。无论如何，如果忽略证明，只关心直觉，脑子就会乱成一锅粥）。我们现在以欧拉公式为例。首先，我们通过对实数域函数的分析，得到了e^x, cos(x), sin(x)的泰勒级数形式。然后，我们通过对复数域的分析，得出了i^2 = -1。然后，我们假设泰勒级数公式在复数域也成立。e^(iy)=1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-.....=(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....)+i(y-y^3/3!+y^5/5!-....)由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....,siny = y-y^3/3!+y^5/5!-....所以e^(iy) = (cosy+isiny)这个证明是不严格的，真正严格的证明方法需要重新定义复数域上的cosz和sinz函数。但是这个证明充分说明了什么叫数学意义上的理解，那就是一点直觉+一点证明。在复数域上最初我们只定义了加法和乘法。我们从直觉上甚至没法想象e^(iy)是什么，但是，既然大家都是数，我们直觉上认为（或者从美学的角度认为），如果实数域上的泰勒公式在复数域上也成立，那是很漂亮的。基于这个直觉，加上一点点证明，我们就知道怎么定义e^(iy)了。数学家们也是这样定义出高维空间中的超平面的，他们觉得超平面这样定义是美的，且与现有的平面性质吻合。不使用逻辑推导，我们根本看不到超平面。[打桩法]在介绍欧拉公式的证明的时候，我们其实已经初窥打桩法的门径了。也就是，想要理解未知概念（欧拉公式），首先找到自己认同的已知概念（实数域中的泰勒级数），然后建立两者间的联系。现在我系统的介绍一下怎么用打桩法来学习。一本书来了，找到你最有感觉的概念，学习之，即打下一棵桩。不一定非要按顺序读书。采取几个行动：看目录，找有感觉的桩。或者随机的翻开一页，读完，然后问自己这一大段到底想讲什么。既然作者不是笨蛋，他一定想讲些东西。打下几根桩后，你还可以问自己，我现在读的东西和现有的几根桩有什么关系？打桩没有任何约束。一本书上看什么都行，有图画就看看图画，有题目就看看题目。这都行。但凡能帮助你打桩产生感情的内容都可以读。但是桩打到一定程度，脑子里攒了一堆乱七八糟的直觉后，基本上整本书到处都是桩，到处都是你的卧底。这时候你就可以追逐严密性了。看清楚概念。然后看定理，其实概念的桩打牢了，大部分定理都能够自己证明出来。慢慢的就把这本书给啃了。为什么非要自己搞懂定理的证明？因为有的时候你以为你看懂了定理，但是你根本没看懂。逼着自己证明，你才会知道这个定理到底在讲什么。还有一个原因是：定理讲的是概念之间的联系，可以帮你复习概念的定义。同时如果你看不懂一个定理的证明，很可能是你对概念的内涵没有理清楚。很多时候概念的定义就那么几个字，但真是意味深远，一字不可更易。定理得证明不用背，你真的看懂了，就会发现好几个定理的证明其实是同一个技巧，而你自己会不知不觉地把技巧上升为一个概念。你根本就忘不掉这个概念。如果一个技巧只在一处用到，那说明它根本就不重要，干脆忘掉好了。一定要反复理清概念、定理之间的联系。读书的时候，很多概念、定理第一眼看过去觉得这不是显而易见的吗，然后就跳过去了。下一次又看到的时候，因为对于整本书的理解加深了，再看一遍，真有“于无声处听惊雷”的感觉，往往不起眼的一句话，串起好几个零散的概念。当然，有些内容如果一直到最后都孤零零的，和别的概念没什么关系，那很可能是这本书的重点不在这里，所以在这边的讨论很薄弱。干脆放弃也没关系。以我自己学习线性代数的过程为例，解释一下打桩法的心理变化：一、第一遍学的时候，我问自己“线性代数到底在鬼扯什么”？我回答不了。但是听说线性代数和解析几何有关系。我就去学了一本解析几何。有一半内容是中学已经学过的，所以还学得下去。学完了之后，发现书上好几处用到行列式，我就把行列式学了。二、解析几何讲坐标变换的时候，会讲过渡矩阵和矩阵乘法，所以我把线性代数的这两部分也学了。顺便理解了方阵可逆等价于对应的行列式不等于0。因为基于“行列式”和“矩阵”这两个概念，我能够理解“可逆”这个概念。矩阵的初等变换、秩什么的我不理解，所以算了。三、研究线性方程组。高斯消元法和中学学过的解方程很想，所以学了。然后我突然意识到高斯消元法就是矩阵的初等变换，也还是行列式的初等变换，所以基于“高斯消元法”和“行列式的初等变换”这两个我有感情的概念，把矩阵初等变换给学了。四、高斯消元法得出系数矩阵A的秩等于n的时候，线性方程组只有非零解。我对于线性方程组的求解还是有兴趣的，因为经常用到。既然有这么个定理，逼上梁山，把秩给学了吧。真学起来，才发现秩的性质是基于行列式这个我有感情的概念定义的，我自己认为秩其实就是行列式=0这个概念的一个推广。所以学起来轻松愉快。五、接下来是用向量空间的概念定义线性方程组的解结构。这个我以前觉得是吃饱了撑的，既然已经有了高斯消元法，问题都解决了，你还多此一举干什么。可是我学了解析几何啊，我现在知道向量空间就是空间、平面、支线这些概念了。所以我就觉得向量空间这个概念很酷阿。六、说句老实话，我觉得向量空间和向量组没有什么区别阿，光看定义根本不觉得封闭性是个多么了不起的概念。可是读完了线性方程组的解结构才知道，如果线性方程组的解结构不是一个向量空间，而是一个到处漏风的向量组，那么解结构就不能表达成向量的线性组合，一点都不漂亮。这就是为什么读定理真的可以加深对概念的理解，概念里面就是“封闭性”这三个字，到定理里面用起来才知道它其实是屠龙刀。七、我原来一直觉得“线性空间”和“向量空间”这两项内容简直是同义反复。我就问自己，为什么作者非要写两遍。后来结合解析几何，才意识到几何空间就是一个线性空间，几何空间坐标化了之后才是向量空间。而且学完线性代数后，重新去看解析几何的定理，简直焕然一新。当年辛辛苦苦证明的定理，现在就是一句话“我们一般理解的几何空间就是一个三维线性空间。”感觉爽透了。八、在学线性空间之前，我一直喜欢做标量运算，喜欢把矩阵拆成元素来玩。因为我对于矩阵的理解还是停留在线性方程组里面的一个个系数。但是线性运算等于矩阵这个定理一出来，我彻底的被震撼了。矩阵不是一个一个的元素，它就是它自己：线性运算。矩阵的意义，就是我们有了超能力，过去我们只能看一个个标量，现在我们可以把这一堆标量构成的矩阵看成一个整体，作为一个独立的单元来操作。然后就有了矩阵的相似对角化、正交对角化、SVD分解之类的东西。好吧，这几个东西就是我书上的最后两章，我一口气读完了。上面说的是一个极简版的历程，真实的心理历程，是几百个“为什么”、“胡扯”、“跳过去”、“这几个东西有什么关系”这样的问题串起来的，可是这样读完这本书后，所有的概念都活了，我看世界的眼光彻底变了。[打桩法的其他用途]其实打桩法不只可以用于数学，也可以用于任何书籍，包括文科类书籍和小说。读文科的书籍，经常读完了，只有一些印象深刻的地方留了下来。什么地方深刻？耸人听闻的地方深刻，符合自己原有观念的地方深刻。这样读还不如不读。因为你只是不断的在强化自己，或者记住一些耸人听闻（往往不对）的八卦。你的思想高度还是停留在原地。如果用打桩法追求彻底理解，读完之后，你就会知道：这本书的脉络是什么。可以怎么应用于生活中。哪些地方与我的生活体验一致，哪些地方相违背。哪里有逻辑，哪里没有逻辑。读完一本书，你的思想就直接被提升到接近作者的高度，这才是读书。此外，打桩法其实也是一个解题方法。我们解数学题的时候，这里试一下，不行，就换一种方法再试。最后的方法，往往是之前几个不成功的方法（桩）的组合。人生也是如此。理解人生没有捷径。做自己热爱的事情，认真地去做，有一天，你会发现Dots will be connected。那时候你才恍然大悟：哦，原来这就是我的人生。我的人生不是第一个点，也不是第二个点，而是所有这些连接起来的点。[扩展阅读] 学习数学，其实走到概念这一层并没有到头。你还可以问，为什么概念需要这样定义？其实是为了符合人的直觉和有用。数学家想着，我需要定义一个概念，这个概念需要具有什么样的性质（不需要证明，就像物理学家觉得这个世界应该是守恒的一样），因为只有这些性质会让我开心而且有用。你也可以尝试着自己定义概念，不过一定要有用、直观、优美，与现有理论能够有一定联系哦。此外，有的时候，经过一连串逻辑推理得到的结论，暂时没有直观的理解。就好像通过逻辑我们可以定义出高维空间中的平面、球，但是我们看不见。你是否敢相信逻辑的力量？定义概念与相信逻辑的力量，这两者在牛津通识读本的《数学》一书中讲的非常透彻，大家可以读读。译者是一个很帅的小伙子。看完这本书后，你就会意识到，当读完一本书后，你心中也就没有这本书了。因为这本书所讲的全部内容，都可以基于你自己的生活体验和逻辑完全推出来。数学从来都是一种壮观的模式，像崇山峻岭一样巍峨，像大海一样广阔，可是只有懂得它的人才能看见。欣赏美的最好方法是实实在在的去读数学书，但是为了给你鼓点劲，可以读读《数学的语言：化无形为可见》。最后，关于打桩法（理解式学习），我的论述实在是微不足道。推荐西西河的这篇文章总结河里关于学习的好文章
推荐下北大的《数学分析新讲》吧一切不从实数系，极限开始讲的高数都是耍流氓（比如某同济高数，极限讲了几页纸，能理解才怪了。）
题主不必沮丧，因为像题主这种情况，我也有所感受。不仅你我有所感受，很多更优秀的人都有这种感受，不仅“TOP 5”的理工科学生有感受，“TOP 2”的理工科学生也有很多有这种感受，甚至我认识的一些HYP的同学，他们也有这种感受。 ——————————先来讲一下我自己的故事吧。高中数学物理我学得很轻松，我高中的数学课本直到高考都没翻过，物理课本也就随便翻了一下，因为觉得课本内容实在太简单。整个高中的数学，可能只要自学几周就能学会了。但进入大学后，我突然发现，高等数学的一些内容，我无法完全理解。这个发现曾经让我感到很恐慌，因为进大学以前，几乎没有能难住我的数学知识点，几乎每一个知识点，我都可以把它剥开，追溯其根源，然后顿时感到数学的知识框架是非常清晰的。即使是不会做的竞赛题，看了解答以后也基本能明白这道题的思路。但是高等数学并不是这样。在高等数学的课本里，经常会出现这样的字眼：“容易验证” “易知” “证明略” “有直观的结论”。在高中，看到这样的字眼，往往意味着这个证明真的很简单；但是在高等数学的课本里，这样的字眼却有另一番含义——证明有时很不简单，但是证明的过程并不影响后面的结论，所以你可以不知道。渐渐地，我接受了这样的结论：高等数学的一些东西，课本上之所以不告诉你，是因为追根溯源太复杂；一个非数学专业的理工科学生，要完全系统地理解高等数学，是极为困难的；有些结论，其实你真的不用知道为什么，拿来用就可以了；当然，一开始这么想的时候，我很不甘心，见到自己无法完全理解的东西，总想追根溯源一下，但是自从学了数理方程，我完全放弃了这个念头——因为太TM深奥和不直观了。——————————回到题主的问题。私以为，题主之所以会感到困惑，是因为高等数学和初等数学在学习的模式上有很大的区别，但题主却没有完成这种思维上的转变。（而且，一个可能的情况是，高中数学学得越轻松，大学里就越难完成这样的转变。相反，一个高中数学学得有些迷糊的人，可能更早理解了这种新的学习模式，反而能更快地接受它）学习数学，其实就像建造高楼一样，初等数学和高等数学，就像一座大楼的地基和上层建筑。初等数学，内容不多，我们也有充足的时间学，因此我们学习的，是它的体系，就像给高楼打地基一样，地基的每一部分都有一定的重要性，地基牢固了，上层建筑才能造得好。高等数学，内容很多，一般人也没有精力学完，因此我们学习的，是它的架构，就像高楼的上层建筑，很多时候，只要承重墙的位置摆放得不离谱，建筑长得稀奇古怪也没关系。这么学习是合理的，因为，几百年来人类在高等数学上贡献的智慧结晶，岂能被吾等小辈在几百课时的时间里完全理解！我们这些理工狗学习高数的真正目的，是在工作中使用它，用得好，用得溜就行，管它是怎么来的！所以啊，我的建议是：定理不会证明？没关系！只要知道定理的出处和用处就可以了（所谓的“框架”）。必要的话，死记硬背也无妨。不要有任何愧疚感，很多你眼里的学霸，他们也是这么做的。知识无法理解？没关系！不要放弃，假设自己已经看懂，把结论抄下来，带着结论去学接下来的知识，你会发现，其实很多看起来很深奥的东西，其实并没有那么深奥，你也只不过在整个体系的一两处不太理解罢了。也许，当你学得更多时，你会发现，你无法理解的那个地方，根本就无足轻重。承认自己有不会的东西，会让自己会得更多呢。（笑）
各位大神在上，数学渣来献丑了。数学有很多部分真是不好理解，我更偏向于偏几何直观一点思维，对于那些非正常人的构造证明确实无能为力，还好不是数学科班的，看看结论用用行了。下面讲讲我的学习方法，幼稚的地方大家笑笑就好。1.尽量往几何方面靠，这是我感觉最有用的方法。代数天然几何直观强，比如线性代数对于线性空间的理论很抽象但是看的时候想着欧式空间就好理解很多，二次型和解析几何不是很像吗，（题外话，把有些群视为一个几何图形(流行)要好理解些，比如SU(2)）。对于实数和极限，大概因为R我们从小就跟它们很熟，所以构造实数看似很没必要也很抽象，我想其中Weierstrass的ε-δ语言就很形象直观，以后会发现数列收敛，函数列收敛，Ascoli引理都是同一种方法，（开始觉得东西很多，后来发现只要有一个好的距离函数，这些都是很自然的）。再比如大家都知道的在C（感觉复数域是最有几何直观的）里一个数乘以复数相当于旋转加伸缩变换，数理方法里讲的保角变换也是一种几何方法。建议开始看不懂或是觉得不直观的不要去管它，以后说不定在机缘巧合之下就通了呢。2.对于分析中太抽象的定理选择性放弃了。我是一般记一个正面例子来帮助记忆为什么定理需要这些条件，然后记一个反面例子来说为什么这些条件一个不能少。比如隐函数定理部分就太过抽象，一般随手写几个实际函数和书上隐函数的形式做比较，帮助记忆（不敢说理解）。3.对于那些更多也不好举实际例子的定理，就像排名第一的答案说书的那样，记住出处和用处就行。比如Riemann，Gauss等的构造证明真不是人能想到的，拿来用就行了，能看看证明当然更好，不过我看了也忘得快，反正我不是科班训练出来的～数学太渣，没有干货，回去看书了
很有可能是学习的时候有几部分基础没有打好。尤其是只知道公式，不知道推导过程.这在中国学生当中是非常普遍的。比方说有次在国外上课的时候，老师问同学，为什么X^2的导数是2X。我好几个中国同学都不知道怎么解释，只说是因为公式。课后我和老师讨论。他说这其实是很不应该的，尤其是往下学习的时候，你不懂公式推导的思维方式是学不下去的。特别是在统计，运筹领域。电学就更不用说了，没数学就没电学了。在这里推荐本书，有中文版，可以很好的帮助你梳理一下数学思维。
我来说说关于 @曾加 理论的另一个角度的理解。初中的时候，我很喜欢数学，拿着一本家里的六十年代的高等数学书一直在看。是的，就是那种任何数学题都要扯到工人、革命、主义的那种书。我记得翻开关于导数的前两页，就是一直看不懂。看不懂我楞看，看了两周，还是没看懂。怒了，直接跳过去，结果一看后面的，看懂了，然后前面两页的也懂了。确实，在高等数学里，很多东西都会被省略，而且是横向穿插的，就和我上面的例子一样，前面没懂一看后面反而懂了。实际上在之后我们学习各种复杂的知识的时候，我们学习的方式不应该是线性的，而应该是硬着头皮，以最快的方式建立一个感性模糊框架。你应该去迅速搭好骨架，再去增加血肉；而非摆一块骨头，贴一块皮肤，甚至还要这个部位已经自己感到完美满意了才好。究其原因在于高等数学的各种理论已经不是有限联系甚至相互独立的了，可能几个东西需要一齐才能理解，其复杂度也是呈指数上升的。此外，硬着头皮上还有（伪科学预警，科学人士退散）一个功能：让你的大脑快速不停地接触新鲜刺激，保持很高的engagement。的确刚开始的时候甚至会导致你很困，但过了这个阶段你就能进入心流状态，并保持很高的效率。
不用担心，题主，绝对不是你的智商问题细读你的问题，你只是无法再将一些公式用比较具象的画面在脑海中呈现，不是因为你到了极限，而是你没有过经验。这也是我们所有人都没有的经验。你能将x+y=1想象成直线，是因为你有直线这个概念，而老师告诉你这方程表示直线，而三维空间里你也有看过类似直线的东西，比如地板的一条水泥缝，所以你能够想象它。而对于X+Y+Z+W+K+E=1你能说出它是什么图形吗？显然你不能，但其实它仅仅是x+y=1向更高维度的推广，它在那个维度下和二维中的直线、三维中的平面有着同等的地位。对于生活在三维空间（此处我们就粗糙点，不再引入日常经验未能感知的维度）、四维时空的你我，要怎么去想象更高维度的图形？你所说的不能理解其实仅仅是不能数形结合地理解，你能够看懂定理的证明，其实就相当于理解了这个定理为什么是合理的，而合理的东西尽管拿去用就是了。数学系还有一门课就叫抽象代数，如果有人能具象化什么是理想什么是整环什么是域，那请尽快联系NASA。
个人观点：1. 所谓“高等数学”其实只是一个迷惑人的名字而已，它一点也不“高等”，“高等数学”指的只是二元（某些教材也包括多元？）微积分的一个分支而已。2. 数学一般的分类大体上包括了“代数”（algebra）和“分析”（analysis）两大部分，每个部分可以有上百个分支。典型的“代数”例子，线性代数；“代数”可以大致理解为对数学“实体”的研究，如群、矩阵、环、整数、拓扑空间等；典型的“分析”例子：微积分；“分析”可以大致理解为对物理“实体”的抽象化研究，如微分方程、差分方程等。数学的分支由来一般是：我们发现了一种物理现象，然后用数学语言尝试描述（建立“分析”），然后在分析的过程中需要定义一些数学“实体”，这些“实体”脱离了物理的范畴以后，在独立的数学范畴中被研究出神奇的数学性质（建立“代数”）。3. 针对楼主的问题，高等数学只是微积分的另外一种说法，它属于“分析”的范围。建议参考对应的物理现象进行学习：例如：微分可以认为是一种将“位移与时间的对应关系”转换成“速度与时间的对应关系”的一种操作；对线性函数的积分可以认为是“带电粒子在磁场中运行了一个轨迹，计算磁场对该粒子做的功”，这个“轨迹”就是那个线性函数；等等。。。请与物理系的同学交流，你会发现很多之前理解不能的东西瞬间豁然开朗。例如：复分析。“虚数的单位“i”到底TMD是个神马？”请在电磁学、电动力学、电子工程中找答案。4. 以上仅针对“分析”类的数学分支，请勿具象化地想像“代数”类的数学实体！例如：矩阵。把一堆数字用大框框罩住只是为了简便而已，这个不是矩阵的重点。例如：群。那几条群的定义只是为了限定研究对象的范围，从而引出一些概念，用来解释为神马“1 + 1 = 2”。5. 学习数学请勿急躁：大学之前的数学的特点是：概念、定理、定义很容易理解，但是题目可以千变万化难地想死。但是！大学数学难点就是概念、定理、定义这些，基本上你把这些融会贯通后考试不是A+也是A-，真真正正的学什么考什么，没有需要小聪明或者刷题的必要。真正的知识从来都不是看一遍就理解的东西，而是一遍一遍地在思考、揣摩、尝试中发现。举个亲身经历：学“点集拓扑”的时候看一个定义基本就是半个小时到一个小时，等真正理解后发现书中的定理以及书后的习题都是顺水推舟的推论；考试的时候根本不用背定义和定理，它们在你千百遍的思考和推敲后已经成为了自然而然的东西。再举个听说的例子：数学的博士生们都是花一两个星期读一两页某个论文，然后小组讨论。为什么效率“这么低”？因为数学的本质就是抽象的、难以理解的、需要反复思考的。
我觉得这本书不错：重温微积分 (豆瓣)
考次研就好了。。。
估计你是全盘建立一个纯抽象世界的能力偏弱，一定要对应到现实世界中才能很好理解。物理是在现实世界和抽象模型之间建立对应，将现实映射到抽象模型然后就能用数学推导了然后再不断把推导结论映射回现实模型；到了多维理论和基于统计抽象的量子物理，就没法直接映射回去了，经常要映射两次以上才能对应到现实世界，很多人就晕菜了。数学是先构建一个完整巨大的纯抽象模型，数学课本前几章基本就是这个纯抽象世界的边界和约束和出发点的导游手册，然后将这个抽象模型中的各个元素之间的关系和规律不断细化，很多时候你越急于转换成现实对照物就越晕，因为这个抽象世界和现实世界经常是本质上脱离的。比如在布尔代数中1+1=2就是错的，在集合论中什么是+都是个抽象概念。数学里先在脑子中放一个多维模型是高中入门，要抽象到关于维度的结构的类型之间的关系，才是数学级的抽象。不能很好处理多层抽象概念之间的关系的人，就晕菜了。擅长数学不擅长物理的，估计就是构建和理解纯抽象世界能力强，把纯抽象世界和现实世界对应的能力弱。要是从事工作和数学关系不大也不用苦恼，人都有特点的，比如我一辈子都理解不了啥叫撞色zzzzzzz。如果非要提高，可以先从牛逼人写的数学史看起，慢慢熟悉数学家的思维模式，比如数学是什么......
学渣来答一下。我当年看的什么天书一般的高数，当然也不知道神马原因就过了。后来要考研，但是怎么看都不爽。于是找了一本R.柯朗的微积分和数学分析引论就通了。比较了一下发现一些很严谨的证明被我们的神马同济5版省略了，所以没有真正理解（别人从自然数到整数再到分数再到实数的引入都要证明的!）。再后来买了俄国人的书，尼玛更变态，从集合就开始玩证明，证明基本概念!只有这样才能理解那个e的定义是个神马。。。也理解为神马要展开，展开也有很多不同方式，原因在哪里!再后来看了菲赫的那三大本本数学分析，才知道我们的教材都是抄他的，而且抄的也忒不敬业了。
这和编程是一样的，大学高等数学是让你学习使用封装好的函数如printf，你是强迫的习惯打开stdio.h把printf函数里怎么在点阵屏幕显示等等所有来龙去脉搞清楚
写下最近学Modern Analysis的一些感想，与题主共勉。0. 证明是理解一切的核心。1. 概念、定理不可不求甚解一般数学教科书会把概念先列出，然后定理，挨个证明。这样做虽然逻辑上清晰，却增加了学习者理解的难度。最重要的是，这样的叙述方式隐藏了这些数学概念被发现的动机和过程，而为什么要研究某个问题，用什么样的方法来研究某个问题对理解问题的答案和随之发展出的数学概念非常重要。比如说Completeness of Real Number System, 我们为什么需要least upper bound property. 这些数学概念背后的原因很少会出现在教科书上。再比如说metric定义有三条，positivity, symmetry, triangular inequality, 而满足这三条定义会导致哪些有用的数学推论，有哪些有趣的实际应用，这些并不是直观的。因此想要真正的理解概念和定理，一般只有两个办法：1）有一个不错的老师，可以帮助你直观的理解数学概念、定理的前因后果，欣赏逻辑推倒的清晰和必然性。2）自己读书，搞清楚每一条定理和证明的过程，然后举一反三，做课后习题，自己写证明。这个过程比较痛苦，尤其是刚刚开始不熟悉证明的常见套路的时候，常常盯着一个证明做一下午也看不明白。不过坚持下去，还是能理解的，书读百遍其义自现，这一点我深有体会。真正的直观的理解概念定理和证明非常重要，因为这个过程会为之后的学习打好基础。如果不求甚解，那么不懂得那一块证明很可能在很长一段时间里成为你数学能力的一块短板，制约之后的学习和理解。如果想学好数学，短板是一定要补上的；所以不求甚解还会导致未来花费额外的时间补课。因此最好的办法就是一次搞明白，不论这个过程有多痛苦。2. 查书、上网获取他人的帮助大学本科阶段数学系低年级学的东西基本没有突破十九世纪吧... 很多问题都是有公论的。把问题关键字拿来搜索就能找到不少相关资料。一般你能找到一些课件handout, 相关论文，stackchange 和 mathoverflow 上面已经被提过的问题的答案等等等。将这些材料结合课本，就可以针对某个数学概念或定理进行多角度全方位的认识。3. 老师／同学一般有问题都可以在office hour找老师讨论。老师不在抓TA也行。在抓老师之前，要针对性的把自己的问题先表述一下，这样有助于获取有用的帮助。其次同一节课的同学也可以私下组个学习小组，讨论课上不会的东西和作业啊什么的，还能一起复习期中期末，而且集思广益，可以分享各自的理解。4. 把好奇心像脱缰的野马一样放出去，充分释放自己对数学的兴趣，必要时可以拿点竞赛题练手保持思维的活跃。5. 为什么喜欢数学因为渐渐开始欣赏整个公理体系的精致。喜欢证明里面deductive reasoning的必然性。如何从公理出发，借助已经建立起的体系，通过类比性的数学技巧，达到证明或证伪一些propsition, 或得出某个propsition的特殊成立条件，然后加以应用解决新的问题，想想都有点小激动呢。觉得有趣，就会多花些时间在上面，想的多了，也就懂了吧。而且解决问题很有趣哦。6. 最近想了几个比较有意思的问题（都很弱啦）验证某个d(f,g)是function space C[(a,b)]的metric. Triangular Inequality一开始束手无策。后来联想到Cauchy-Schwartz Inequality 可以从inner product定义里推出，然后用这个不等式建立这个function space里任意两个元素norm之间的关系，然后定义norm, 然后用个小trick把三个函数带进去就啦。求gambler's ruin 赢的概率，把概率树列出来发现是个Pascal's triangle然后把这三角形转矩阵，最后用Pascal's Triangle的通项公式列出P(n,m)公式，但和别人用recursive function求出来的公式不一样，验证中。以上。
换教材。。。
不知楼主还看得到么？本人数学渣，还是厚着脸皮来回答一下。 不知楼主的问题解决了没有，我觉得楼主遇到这一问题的原因在于： 从根源到应用的过程 与 从简单到困难的过程 并不一致。 根源就是定义，应用就是运算，而定义要比运算复杂的多。 为什么会出现这种情况呢，因为到微积分为止，所有的运算表达起来就两种，加和乘，最多加上逆运算减和除。 想一下，我们最初理解无穷小的时候，觉得无非是一个数，除以很大很大的数，导数呢，无非是无穷小引起的变化除以无穷小本身，积分呢，无非是把这个过程倒过来，无论如何逃脱不过加减乘除，我在高中时候在想，大学数学根本没啥吗！现在来看，真是too sample了。 因为大学开始接触到了定义……其实一开始，整数的定义，与四则运算的复杂程度差不多，但是有缺憾，不是任意两个整数相除都有意义，于是我们定义了分数，把它放进四则运算中，分数严格定义巨复杂，但其运算规律很简单。同样，为了减少指数运算的缺憾和例外，需要定义无理数和虚数。为了减少不能除以零的缺憾定义了极限和无穷小量。 这样，作为根源层的定义越来越复杂，复杂到需要一本难度比高中高很多的书才能描述清楚。 而应用层的运算却因为例外的减少而变得简洁统一。 这样，高中再怎么翻花样无非是以四则运算为基础，而到大学接触到定义之后简直喷出一口老血，这都是什么什么啊，为啥看不透了呢，因为我们连整数定义都没学过你给我直接定义极限能看透才见鬼了捏。 多说一句，所谓定义本身是一个一阶逻辑语言，其证明过程是一个一阶语言的运算，在此基础上定义集合论，再定义有关自然数的公理，再扩展数系，直到黎曼积分的建立，才刚刚到达大一数学前两章的进度，而其中知识对本学渣而言却是全新的和高难度的，不排除某学神在仅看工科数学教材情况下自行打破所有关结，做到通透，不过对于一般人而言几乎绝无可能。 解决方法呢，我觉得对工科生来说，将过于严格的定义从高数书中去掉，另开缩减版的数学分析和数理逻辑，知道完全严格的证明是什么样子，但又不被定义束缚手脚，享受运算的灵动。当然这只是我的一点妄想。 关于那个e的iπ，我是这样理解的i的定义是一个将向量旋转90°的二阶矩阵，将这个矩阵分解为无穷个相等的微小旋转矩阵之积，就能得出e的iπ次等于-1这一结论。
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