求下列微分方程_百度知道
求下列微分方程
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研究生又他妈不考，你怕什么，我上学期刚刚考完，现在全忘了
令y'=p，y''=pdp/dx带入3y²p²dp/dy+3yp³=2令u=p³y²du/dy+3yu=2y³du/dy+3y²u=2y(y³u)'=2yy³u=y²+C得到
dy/dx=(y²+C)^(1/3)/yydy/(y²+C)^(1/3) =dx两边积分(3/4)*(y²+C)^(2/3)=x+C'
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matlab 实验四　求微分方程的解
实际应用问题通过数学建模所归纳而得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少．另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）．这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法，既要研究微分方程（组）的解析解法（精确解），更要研究微分方程（组）的数值解法（近似解）．
对微分方程（组）的解析解法(精确解)，Matlab 有专门的函数可以用，本实验将作一定的介绍．
本实验将主要研究微分方程(组)的数值解法（近似解），重点介绍 Euler 折线法．
1．dsolve('equ1','equ2',…)：Matlab 求微分方程的解析解．equ1、equ2、…为方程（或条件）．写方程（或条件）时用 Dy 表示y 关于自变量的一阶导数，用用 D2y 表示 y 关于自变量的二阶导数，依此类推．
2．simplify(s)：对表达式 s 使用 maple 的化简规则进行化简．
simplify(sin(x)^2 + cos(x)^2)
3．[r,how]=simple(s)：由于 Matlab 提供了多种化简规则，simple 命令就是对表达式 s 用各种规则进行化简，然后用 r 返回最简形式，how 返回形成这种形式所用的规则．
[r,how]=simple(cos(x)^2-sin(x)^2)
r = cos(2*x)
how = combine
4．[T,Y] = solver(odefun,tspan,y0) 求微分方程的数值解．
(1) 其中的 solver为命令 ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb 之一．
(2) odefun 是显式常微分方程：
(3) 在积分区间 tspan=上，从到，用初始条件求解．
(4) 要获得问题在其他指定时间点上的解，则令 tspan= （要求是单调的）．
(5) 因为没有一种算法可以有效地解决所有的 ODE 问题，为此，Matlab 提供了多种求解器 Solver，对于不同的ODE 问题，采用不同的Solver．
单步算法；4、5阶Runge-Kutta方程；累计截断误差达
大部分场合的首选算法
单步算法；2、3阶Runge-Kutta方程；累计截断误差达
使用于精度较低的情形
多步法；Adams算法；高低精度均可到
计算时间比 ode45 短
采用梯形算法
适度刚性情形
多步法；Gear's反向数值微分；精度中等
若 ode45 失效时，可尝试使用
单步法；2阶 Rosebrock 算法；低精度
当精度较低时，计算时间比 ode15s 短
梯形算法；低精度
当精度较低时，计算时间比 ode15s 短
(6) 要特别的是：ode23、ode45 是极其常用的用来求解非刚性的标准形式的一阶常微分方程(组)的初值问题的解的 Matlab 的常用程序，其中：
ode23 采用龙格-库塔2 阶算法，用3 阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度．
ode45 则采用龙格-库塔4 阶算法，用5 阶公式作误差估计来调节步长，具有中等的精度．
5．ezplot(x,y,[tmin,tmax])：符号函数的作图命令．x,y 为关于参数t 的符号函数，[tmin,tmax] 为 t 的取值范围．
6．inline()：建立一个内联函数．格式：inline('expr', 'var1', 'var2',…) ，注意括号里的表达式要加引号．
例：Q = dblquad(inline('y*sin(x)'), pi, 2*pi, 0, pi) .
1.& 几个可以直接用 Matlab 求微分方程精确解的例子：
例1：求解微分方程，并加以验证．
求解本问题的Matlab 程序为：
syms x y &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&%line1
y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x')&&&&&&&& &%line2
diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2)&&&&&&&&&&&&&&&& &%line3
simplify(diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2))&&&&&&&& &%line4
(1) 行line1是用命令定义x,y为符号变量．这里可以不写，但为确保正确性，建议写上；
(2) 行line2是用命令求出的微分方程的解：
1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1
(3) 行line3使用所求得的解．这里是将解代入原微分方程，结果应该为0，但这里给出：
-x^3*exp(-x^2)-2*x*exp(-x^2)*C1+2*x*(1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1)
(4) 行line4 用 simplify() 函数对上式进行化简，结果为 0， 表明的确是微分方程的解．
例2：求微分方程在初始条件下的特解，并画出解函数的图形．
求解本问题的 Matlab 程序为：
y=dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','y(1)=2*exp(1)','x')
微分方程的特解为：y=1/x*exp(x)+1/x* exp (1) (Matlab格式)，即，解函数的图形如图 1：
例3：求微分方程组在初始条件下的特解，并画出解函数的图形．
求解本问题的 Matlab 程序为：
syms x y t
[x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=0','t')
simple(x);
simple(y);
ezplot(x,y,[0,1.3]);axis auto
微分方程的特解(式子特别长)以及解函数的图形均略．
2. 用ode23、ode45等求解非刚性的标准形式的一阶常微分方程(组)的初值问题的数值解(近似解)．
例4：求解微分方程初值问题的数值解，求解范围为区间[0, 0.5]．
fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y');
[x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1);
plot(x,y,'o-')
0.0000 &&0.0400 &&0.0900& &0.1400& &0.1900 &&0.2400
0.2900 &&0.3400 &&0.3900 &&0.4400 &&0.4900& &0.5000
1.0000 &&0.9247 &&0.8434 &&0.7754 &&0.7199 &&0.6764
0.6440& &0.6222 &&0.6105 &&0.6084& &0.6154 &&0.6179
图形结果为图 2．
例 5：求解描述振荡器的经典的 Ver der Pol 微分方程
分析：令则
先编写函数文件verderpol.m：
function xprime = verderpol(t,x)
xprime = [x(2);mu*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)];
再编写命令文件vdp1.m：
[t,x] = ode45('verderpol',[0,40],y0);
x1=x(:,1);x2=x(:,2);
plot(t,x1)
图形结果为图3．
3. 用 Euler 折线法求解
前面讲到过，能够求解的微分方程也是十分有限的．下面介绍用 Euler 折线法求微分方程的数值解(近似解)的方法．
Euler 折线法求解的基本思想是将微分方程初值问题
化成一个代数方程，即差分方程，主要步骤是用差商替代微商,于是：
记，从而，则有
例 6：用 Euler 折线法求解微分方程初值问题
的数值解(步长h取0.4)，求解范围为区间[0,2]．
解：本问题的差分方程为
相应的Matlab 程序见附录 1．
数据结果为：
&&& 0 &&&&&&&&1.0000
&&& 0.4000&&& 1.4000
&&& 0.8000&&& 2.1233
&&& 1.2000&&& 3.1145
&&& 1.6000&&& 4.4593
&&& 2.0000&&& 6.3074
图形结果见图4：
特别说明：本问题可进一步利用四阶 Runge-Kutta 法求解，读者可将两个结果在一个图中显示，并和精确值比较，看看哪个更“精确”？（相应的 Matlab 程序参见附录 2）．
1. 求微分方程的通解．
2. 求微分方程的通解．
3. 求微分方程组
在初始条件下的特解，并画出解函数的图形．
4. 分别用 ode23、ode45 求上述第 3 题中的微分方程初值问题的数值解(近似解)，求解区间为．利用画图来比较两种求解器之间的差异．
5. 用 Euler 折线法求解微分方程初值问题
的数值解(步长h取0.1)，求解范围为区间[0,2]．
6. 用四阶 Runge-Kutta 法求解微分方程初值问题
的数值解(步长h取0.1)，求解范围为区间[0,3]．
四阶 Runge-Kutta 法的迭代公式为(Euler 折线法实为一阶 Runge-Kutta 法)：
相应的 Matlab 程序参见附录 2．试用该方法求解第5题中的初值问题．
7. 用 ode45 方法求上述第 6 题的常微分方程初值问题的数值解(近似解)，从而利用画图来比较两者间的差异．
馆藏&19981
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1. 求下列一阶常微分方程的通解：dy 3y (1)y
=x 2+x - (2)=; dx 1+x dy 2x =y -; dx y dy 2x -3y =. dx x +2y (3)(4)2. 求解下列一阶常微分方程初值问题：dy 1(1)y
=|x |+y , y (-1) =1; (2)=, y (0)=0. dx x +cos y
3. 求解差分方程y n +1=(1+h ) y n +2-h (n ≥0) , y 0=1, 其中h 为正的常数。
4. 求解二阶差分方程y n +1=y n +y n -1, y 0=y 1=1.
5. 试利用解的存在唯一性定理说明y =sin x 不可能是微分方程y
=p (x ) arctan y , x ∈
[0, 1]的解，其中p (x ) 是区间[0, 1]上的连续函数。
6. 试确定下列函数的利普希茨常数：(x 3-2) 27
; (2)f (x , y ) =x -y 2, |y |≤10. (1)f (x ) =217x +4
7. 试证明初值问题y
=sin y , y (x 0) =s 在包含x 0的任意区间内有唯一解。
1. 用Euler 法解初值问题
=x 2+10y , y (0)=0.
取步长h =0. 1, 0. 05, 0. 025, 0. 001，分别计算y (0. 3) 的近似值，并通过求误差观察收敛性。
122. 利用常微分方程初值问题的数值方法可以求定积分的近似值。例如求0e x dx . 众 12x 2所周知，e 的原函数是无法用初等函数表示出来的，因此定积分0e x dx 的精 12确值没法通过Newton-Leibnitz 公式求出。将定积分0e x dx 看成变上限积分函数 x 22y (x ) =0e t dt 在点x =1的函数值，而函数y (x ) 满足微分方程y
=e x 和初始条件
y (0)=0. 故可用初值问题的数值方法求定积分的近似值。试用Euler 法计算定积分 12x dx 的近似值，并指出这种方法相当于哪一种数值积分方法。e 0
3. 用Euler 法求解初值问题
+y =0, y (0)=1,
设步长为h ，求数值解和误差的精确表达式，并指出误差是h 的几阶无穷小。
4. 用Euler 法求解初值问题
=√, y (0)=0,
数值解收敛到准确解吗？这与定理9.3矛盾吗？为什么？
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