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人教版高中数学《导数》全部教案
导数的背景（5 月 4 日）教学目标 教学重点 教学难点 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 极限思想问题 1：一个小球自由下落，它在下落 3 秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是 s =1 2 gt （其中 g 是重力加速度）. 2当时间增量 ?t 很小时，从 3 秒到（3＋ ?t ）秒这段时间内，小球下落的快慢 变化不大. 的速度. 从 3 秒到（3＋ ?t ）秒这段时间内位移的增量： ?s = s (3 + ?t ) ? s (3) = 4.9(3 + ?t ) 2 ? 4.9 × 3 2 = 29.4?t + 4.9(?t ) 2 ?s = 29.4 + 4.9?t . ?t ?s ?s 从上式可以看出，?t 越小， 越接近 29.4 米/秒； ?t 无限趋近于 0 时， 当 ?t ?t ?s 无限趋近于 29.4 米/秒. 此时我们说，当 ?t 趋向于 0 时， 的极限是 29.4. ?t ?s 当 ?t 趋向于 0 时，平均速度 的极限就是小球下降 3 秒时的速度，也叫做 ?t 从而， v =??因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落 3 秒时瞬时速度. 一般地， ，则物体在 一般地，设物体的运动规律是 s＝s（t） 则物体在 t 到（t＋ ?t ）这段时间 ＝（） ， ＋ 内的平均速度为 ?s s (t + ?t ) ? s (t ) = . ?t ?t 如果 ?t 无限趋近于 0 时， ?s 无限趋近于 ?t某个常数 a，就说当 ?t 趋向于 0 时， ， 的瞬时速度. 的瞬时速度 2. 切线的斜率?s 的极限为 a，这时 a 就是物体在时刻 t ， ?t问题 2：P（1,1）是曲线 y = x 2 上的一点，Q 是曲线上点 P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点 P 趋近时割线 PQ 的斜率的变化情况.析：设点 Q 的横坐标为 1＋ ?x ，则点 Q 的纵坐标为（1＋ ?x ）2，点 Q 对于点 P 的纵坐标的增量（即函数的增量） ?y = (1 + ?x) 2 ? 1 = 2?x + (?x) 2 ， 所以，割线 PQ 的斜率 k PQ = ?y 2?x + (?x) 2 = = 2 + ?x . ?x ?x由此可知，当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时， ?x 变得越来越小， k PQ 越来 越接近 2；当点 Q 无限接近于点 P 时，即 ?x 无限趋近于 0 时， k PQ 无限趋近于 2. 这表明， 割线 PQ 无限趋近于过点 P 且斜率为 2 的直线. 我们把这条直线叫做曲线在点 P 处的切线.由点斜式，这条切线的方程为： y = 2 x ? 1 .一般地， 已知函数 y = f (x) 的图象是曲线 C，（ x0 , y 0 ） Q x0 + ?x, y 0 + ?y ） P 一般地， ， ，（ 上的两点， 接近时， 转动. 是曲线 C 上的两点，当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时，割线 PQ 绕着点 P 转动 沿着曲线无限接近点 ， 当点 Q 沿着曲线无限接近点 P，即 ?x 趋向于 0 时，如果割线 PQ 无限趋近于一 处的切线. 个极限位置 PT，那么直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线 ， 率 k PQ = 此时， 此时，割线 PQ 的斜?y 无限趋近于切线 PT 的斜率 k，也就是说，当 ?x 趋向于 0 时，割线 ，也就是说， ?x ?y PQ 的斜率 k PQ = 的极限为 k. ?x 3. 边际成本问题 3：设成本为 C，产量为 q，成本与产量的函数关系式为 C (q ) = 3q 2 + 10 ，我 们来研究当 q＝50 时，产量变化 ?q 对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：?C = C (50 + ?q ) ? C (50) = 3(50 + ?q ) 2 + 10 ? (3 × 50 2 + 10) = 300?q + 3(?q ) 2 .产量变化 ?q 对成本的影响可用：?C ?C = 300 + 3?q 来刻划， ?q 越小， 越接近 ?q ?q300；当 ?q 无限趋近于 0 时，?C 无限趋近于 300，我们就说当 ?q 趋向于 0 时， ?q?C 的极限是 300. ?q我们把?C 的极限 300 叫做当 q＝50 时 C (q ) = 3q 2 + 10 的边际成本. ?q一般地，设 C 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为 C＝C（q） 一般地， 是成本， 是产量， ＝ （ ） ， 当产量为 q 0 时，产量变化 ?q 对成本的影响可用增量比 如果 ?q 无限趋近于 0 时，?C C (q 0 + ?q ) ? C (q 0 ) = ?q ?q刻划. 刻划 成本. 成本?C 无限趋近于常数 A，经济学上称 A 为边际 ， ?q它表明当产量为 q 0 时，增加单位产量需付出成本 A（这是实际付出成本 （的一个近似值） 的一个近似值）. 二、小结 瞬时速度是平均速度 切线的斜率是割线斜率?q 趋近于 0 时的极限.?s 当 ?t 趋近于 0 时的极限；切线是割线的极限位置， ?t?y ?C 当 ?x 趋近于 0 时的极限； 边际成本是平均成本 当 ?q ?x三、练习与作业： 练习与作业： 1. 某物体的运动方程为 s (t ) = 5t 2 （位移单位：m，时间单位：s）求它在 t＝2s时的速度.2.判断曲线 y = 2 x 2 在点 P（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.3.已知成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C = 2q 2 + 5 ， 求当产量 q＝80 时的边际成本.4.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离 h（单位：m）与时间 t（单 位：s）之间的函数关系为 h = t 2 ，求 t＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度.5.判断曲线 y =1 2 1 x 在（1， ）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 2 26.已知成本 C 与产量 q 的函数关系为 C = 4q 2 + 7 ， 求当产量 q＝30 时的边际成本.导数的概念（5 月 4 日）教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。 教学目标与要求 教学重点：导数的概念以及求导数 教学重点 教学难点：导数的概念 教学难点 教学过程： 教学过程 一、导入新课： 上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函 数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出 下面导数的概念。 二、新授课： 1.设函数 y = f (x ) 在 x = x 0 处附近有定义，当自变量在 x = x 0 处有增量 ?x 时，则函数Y = f ( x) 相应地有增量 ?y = f ( x 0 + ?x) ? f ( x0 ) ， ?x → 0 时， y 与 ?x 的比 如果 ?叫函数的平均变化率）有极限即?y 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数 ?xx = x0?y （也 ?xy = f (x) 在 x → x0 处的导数 的导数，记作 y / 的导数，即f / ( x0 ) = lim?x →0f ( x 0 + ?x ) ? f ( x 0 ) ?x注：1.函数应在点 x 0 的附近有定义，否则导数不存在。 2.在定义导数的极限式中， ?x 趋近于 0 可正、可负、但不为 0，而 ?y 可能为 0。 3.?y 是函数 y = f ( x ) 对自变量 x 在 ?x 范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线 ?xy = f ( x) 上点（ x0 , f ( x0 ) ）及点 ( x0 + ?x, f ( x0 + ?x) ）的割线斜率。4.导数 f / ( x 0 ) = lim?x →0f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) 是函数 y = f (x ) 在点 x0 的处瞬时变化率， ?x它反映的函数 y = f ( x) 在点 x0 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线 y = f ( x) 上 点 x0 , f ( x0 ) ） （ 处的切线的斜率。 因此， 如果 y = f (x) 在点 x0 可导， 则曲线 y = f (x) 在点（ x0 , f ( x0 ) ）处的切线方程为 y ? f ( x 0 ) = f ( x 0 )( x ? x 0 ) 。/5.导数是一个局部概念， 它只与函数 y = f (x ) 在 x 0 及其附近的函数值有关， ?x 无关。 与 6.在定义式中，设 x = x 0 + ?x ，则 ?x = x ? x 0 ，当 ?x 趋近于 0 时， x 趋近于 x 0 ，因 此，导数的定义式可写成 f ( x 0 ) = lim/?x →of ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) 。 = lim x → x0 ?x x ? x07.若极限 lim?x →0f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) 不存在，则称函数 y = f ( x ) 在点 x 0 处不可导。 ?x8.若 f ( x ) 在 x 0 可导，则曲线 y = f ( x ) 在点（ x 0 , f ( x 0 ) ）有切线存在。反之不然，若曲 线 y = f ( x ) 在点（ x 0 , f ( x 0 ) ）有切线，函数 y = f ( x ) 在 x 0 不一定可导，并且，若函数y = f ( x) 在 x0 不可导，曲线在点（ x0 , f ( x0 ) ）也可能有切线。一般地， 一般地?x →0lim (a + b?x) = a ，其中 a, b 为常数。特别地， 特别地 lim a = a 。?x →0如果函数 y = f (x ) 在开区间 (a, b) 内的每点处都有导数， 此时对于每一个 x ∈ ( a, b) ， 都 对应着一个确定的导数 f / ( x ) ，从而构成了一个新的函数 f / ( x ) 。称这个函数 f / ( x ) 为函 数 y = f (x ) 在开区间内的导函数 导函数，简称导数 导数，也可记作 y / ，即 导函数 导数f / ( x) ＝ y / ＝ lim?y f ( x + ?x) ? f ( x) = lim ?x →0 ?x ?x →0 ?xx = x0函数 y = f (x ) 在 x 0 处的导数 y / 数 f / ( x ) 在 x 0 处的函数值， y / 即就是函数 y = f (x ) 在开区间 (a, b) ( x ∈ ( a, b)) 上导/x = x0＝ f ( x0 ) 。 所以函数 y = f (x ) 在 x 0 处的导数也记作f / ( x0 ) 。注：1.如果函数 y = f (x ) 在开区间 (a, b) 内每一点都有导数，则称函数 y = f (x ) 在开区间(a, b) 内可导。2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一 个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数 y = f (x ) 在点 x0 处 的导数就是导函数 f ( x) 在点 x0 的函数值。/ 3.求导函数时，只需将求导数式中的 x0 换成 x 就可，即 f ( x) ＝ lim /?x →0f ( x + ?x) ? f ( x) ?x4.由导数的定义可知，求函数 y = f (x ) 的导数的一般方法是： （1）.求函数的改变量 ?y = f ( x + ?x ) ? f ( x ) 。 （2）.求平均变化率?y f ( x + ?x) ? f ( x) = 。 ?x ?x ?y / （3）.取极限，得导数 y ＝ lim 。 ?x →0 ?x例 1.求 y = 2 x 2 ? 1 在 x ＝－3 处的导数。例 2.已知函数 y = x 2 + x （1）求 y / 。 （2）求函数 y = x 2 + x 在 x ＝2 处的导数。小结：理解导数的概念并会运用概念求导数。 小结 练习与作业： 1.求下列函数的导数： （1） y = 3 x ? 4 ； （2） y = 1 ? 2 x(3) y = 3 x ? 12 x2(3) y = 5 ? x32.求函数 y = x 2 + 1 在－1,0，1 处导数。3.求下列函数在指定点处的导数： （1） y = x , x 0 = 2 ；2（2） y =1 2 x , x0 = 0 ； 3（3） y = ( x ? 2) , x 0 = 12（4） y = x ? x, x 0 = ?1 .24.求下列函数的导数： （1） y = 4 x + 1; （2） y = 10 ? x 2 ；（3） y = 2 x 3 ? 3（4） y = 2 x 2 + 7 。5.求函数 y = x 2 ? 2 x 在－2,0，2 处的导数。导数的概念习题课（5 月 6 日）理解导数的有关概念， 教学目标 理解导数的有关概念，掌握导数的运算法则 教学重点 导数的概念及求导法则 教学难点 导数的概念 一、课前预习 1. f (x ) 在点 x 0 处的导数是函数值的改变量＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿与相应自变量的改变 量＿＿的商当＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2.若 f (x ) 在开区间（a，b）内每一点都有导数 f / ( x ) ，称 f / ( x ) 为函数 f (x ) 的导函数；求 一个函数的导数，就是求＿＿＿＿＿；求一个函数在给定点的导数，就是求＿＿＿＿＿.函 数 f (x ) 在点 x 0 处的导数就是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 3.常数函数和幂函数的求导公式：(c) / = ___ 　　　n ) / = _____(n ∈ N * ) (x4.导数运算法则：若＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，则：[ f ( x) ± g ( x)] / = f / ( x) ± g / ( x) 　　　　? f ( x)] / = cf / ( x) [c二、举例 例 1.设函数 f ( x ) = x 2 ? 1 ，求： （1）当自变量 x 由 1 变到 1.1 时，自变量的增量 ?x ； （2）当自变量 x 由 1 变到 1.1 时，函数的增量 ?y ； （3）当自变量 x 由 1 变到 1.1 时，函数的平均变化率； （4）函数在 x＝1 处的变化率.例 2.生产某种产品 q 个单位时成本函数为 C ( q ) = 200 + 0.05q 2 ，求 （1）生产 90 个单位该产品时的平均成本； （2）生产 90 个到 100 个单位该产品时，成本的平均变化率； （3）生产 90 个与 100 个单位该产品时的边际成本各是多少.例 3.已知函数 f ( x ) = x 2 ，由定义求 f / ( x ) ，并求 f / (4) .例 4.已知函数 f ( x) = ( ax + b) 2 (a,b 为常数)，求 f / ( x) .例 5.曲线 y =3 2 x 上哪一点的切线与直线 y = 3 x ? 1 平行？ 2三、巩固练习 1.若函数 f ( x ) = x 3 ，则 [ f ( ?2)] / ＝＿＿＿＿＿＿ 2.如果函数 y = f (x ) 在点 x 0 处的导数分别为： （1） f ( x 0 ) = 0/（2） f ( x 0 ) = 1/（3） f ( x 0 ) = ?1/（4） f ( x 0 ) = 2 ，/试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角. 3.已知函数 f ( x ) = x ? 2 x 2 ，求 f / (0) ， f ( ) ，./1 44.求下列函数的导数 （1） y =1 2 x + 3x + 2 2（2） y =1 3 1 2 x ? x + 5x ? 1 4 3（3） y = x 3 ( x 2 ? 4)（4） y = (2 x ? 1) 2 (3 x + 2)四、作业 1.若 lim f ( x ) 存在，则 [lim f ( x)] ＝＿＿＿＿＿x→0/x→02.若 f ( x ) = x 2 ，则 limx →1f ( x) ? f (1) ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ x ?1（2） y = 3 + 2 x + 4 x ? 5 x ?2 33.求下列函数的导数： （1） y = 2 x 4 ? 20 x 2 ? 40 x + 11 4 x 6（3） y = ( 2 x + 1)(3 x + x)3 2（4） y = ( x + 2) ( x ? 1)234.某工厂每日产品的总成本 C 是日产量 x 的函数，即 C ( x) = 1000 + 7 x + 5 x ，试求：2（1）当日产量为 100 时的平均成本； （2）当日产量由 100 增加到 125 时，增加部分的平均成本； （3）当日产量为 100 时的边际成本.5.设电量与时间的函数关系为 Q = 2t 2 + 3t + 1 ，求 t＝3s 时的电流强度.6.设质点的运动方程是 s = 3t + 2t + 1 ，计算从 t＝2 到 t＝2＋ ?t 之间的平均速度，并计算2当 ?t ＝0.1 时的平均速度，再计算 t＝2 时的瞬时速度.7.若曲线 y =3 2 x + 1 的切线垂直于直线 2 x + 6 y + 3 = 0 ，试求这条切线的方程. 28.在抛物线 y = 2 + x ? x 2 上，哪一点的切线处于下述位置？ （1）与 x 轴平行 （2）平行于第一象限角的平分线. （3）与 x 轴相交成 45°角9.已知曲线 y = 2 x ? x 2 上有两点 A（2,0） ，B（1,1） ，求： （1）割线 AB 的斜率 k AB ； （3）点 A 处的切线的方程. （2）过点 A 的切线的斜率 k AT ；10.在抛物线 y = x 上依次取 M（1,1） ，N（3,9）两点，作过这两点的割线，问：抛物线上2哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程.11.已知一气球的半径以 10cm/s 的速度增长，求半径为 10cm 时，该气球的体积与表面积的 增长速度.12.一长方形两边长分别用 x 与 y 表示，如果 x 以 0.01m/s 的速度减小，y 边以 0.02m/s 的速 度增加，求在 x＝20m，y＝15m 时，长方形面积的变化率.13.（选做）证明：过曲线 xy = a 2 上的任何一点（ x0 , y 0 ） x0 & 0 ）的切线与两坐标轴围 （ 成的三角形面积是一个常数.（提示： ( ) = ?/1 x1 ） x2导数的应用习题课（5 月 8 日）掌握导数的几何意义，会求多项式函数的单调区间、极值、最值 教学目标 多项式函数的单调区间、极值、最值的求法 教学重点 多项式函数极值点的求法、多项式函数最值的应用 教学难点 一、课前预习 1.设函数 y = f (x ) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内＿＿＿＿，则 y = f (x ) 是这个 区间内的＿＿＿＿＿；如果在这个区间内＿＿＿，则 y = f (x ) 是这个区间内的＿＿＿＿＿. 2.设函数 y = f (x ) 在 x = x 0 及其附近有定义，如果 f ( x 0 ) 的值比 x 0 附近所有各点的值都大 （小） ，则称 f ( x 0 ) 是函数 y = f (x ) 的一个＿＿＿＿＿＿. 3.如果 y = f (x ) 在某个区间内有导数，则可以这样求它的极值： （1）求导数＿＿＿＿＿； （2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（可能极值点） ；（3）如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数 y = f (x ) 在这个根处取得极＿值； 如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数 y = f (x ) 在这个根处取得极＿值. 4.设 y = f (x ) 是定义在[a，b]上的函数， y = f (x ) 在(a，b)内有导数，可以这样求最值：（1）求出函数在(a，b)内的可能极值点（即方程 f ( x) = 0 在(a，b)内的根 x1 , x 2 , L , x n ） ；/（2）比较函数值 f (a ) ， f (b) 与 f ( x1 ), f ( x 2 ),L , f ( x n ) ，其中最大的一个为最大值，最 小的一个为最小值. 二、举例 例 1.确定函数 f ( x ) = 2 x ? 9 x + 12 x ? 3 的单调区间.3 2例 2.设一质点的运动速度是 v(t ) = 运动速度的改变情况怎样？ 例 3.求函数 f ( x ) =3 4 t ? 7t 3 + 15t 2 + 3 ，问：从 t＝0 到 t＝10 这段时间内， 41 3 x ? 9 x + 4 的极值. 3例 4.设函数 f ( x ) =1 3 1 2 ax + bx + x 在 x1 ＝1 与 x 2 ＝2 处取得极值，试确定 a 和 b 的值， 3 2并问此时函数在 x1 与 x 2 处是取极大值还是极小值？例 5.求函数 f ( x ) = 3 x 3 ? 9 x + 5 在[－2,2]上的最大值和最小值.例 6.矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽的积成正比例， 要将直径为 d 的圆木锯成强度 最大的横梁，断面的宽和高应为多少？例 7.求内接于抛物线 y = 1 ? x 2 与 x 轴所围图形内的最大矩形的面积.例 8. 某 种 产 品 的 总 成 本 C （ 单 位 ： 万 元 ） 是 产 量 x （ 单 位 ： 万 件 ） 的 函 数 ：C ( x) = 100 + 6 x ? 0.04 x 2 + 0.02 x 3 ，试问：当生产水平为 x＝10 万件时，从降低单位成本角度看，继续提高产量是否得当？三、巩固练习 1.若函数 f (x ) 在区间[a，b]内恒有 f / ( x ) & 0 ，则此函数在[a，b]上的最小值是＿＿＿＿ 2.曲线 y =1 4 1 3 1 2 x + x ? x ? x + 1 的极值点是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4 3 23.设函数 f ( x ) = ax 3 ? ( ax ) 2 ? ax ? a 在 x＝1 处取得极大值－2，则 a＝＿＿＿＿. 4.求下列函数的单调区间： （1） y = 2 x 3 + 3 x 2 ? 12 x + 1 （2） y = ( x + 1) 2 ( x + 2)5.求下列函数的极值： （1） y = x 2 ? 4 x + 6 ， （2） y = x 3 ? 3 x 2 ? 9 x + 5 ，[－4,4]6.求下列函数的最值： （1） y = x 2 ? 4 x + 6 ，[－3,10] （2） y = x 3 ? 3x 2 ，[－1,4]7.设某企业每季度生产某个产品 q 个单位时，总成本函数为 C ( q ) = aq 3 ? bq 2 + cq ， （其中 a＞0，b＞0，c＞0） ，求： （1）使平均成本最小的产量（2）最小平均成本及相应的边际成 本.8.一个企业生产某种产品，每批生产 q 单位时的总成本为 C ( q ) = 3 + q （单位：百元） ，可 得的总收入为 R ( q ) = 6q ? q 2 （单位：百元） ，问：每批生产该产品多少单位时，能使 利润最大？最大利润是多少？9.在曲线 y = 1 ? x 2 ( x ≥ 0, y ≥ 0) 上找一点（ x 0 , y 0 ） ，过此点作一切线，与 x 轴、y 轴构成 一个三角形，问： x 0 为何值时，此三角形面积最小？10.已知生产某种彩色电视机的总成本函数为 C ( q ) = 2.2 × 10 3 q + 8 × 10 7 ，通过市场调查， 可以预计这种彩电的年需求量为 q = 3.1 × 10 5 ? 50 p ，其中 p（单位：元）是彩电售 价，q（单位：台）是需求量. 试求使利润最大的销售量和销售价格.多项式函数的导数（5 月 6 日）教学目的：会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数 教学目的 教学重点：导数运算法则的应用 教学重点 教学难点：多项式函数的求导 教学难点 一、复习引入 1、已知函数 f ( x ) = x 2 ，由定义求 f / ( x)，并求f / ( 4)2、根据导数的定义求下列函数的导数： （1）常数函数 y = C （2）函数 y = x ( n ∈ N )n *二、新课讲授 1、两个常用函数的导数：(C ) / = 02、导数的运算法则： 如果函数 f ( x)、g ( x) 有导数，那么( x n ) / = nx n ?1 (n ∈ N * )[ f ( x) ± g ( x)] / = f / ( x) ± g / ( x)； [C ? f ( x)] / = Cf / ( x)也就是说，两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积 两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差； 的导数， 的导数，等于常数乘函数的导数. 例 1：求下列函数的导数： （1） y = 7 x 3 （2） y = ?3 x 4 （3） y = 4 x 5 + 3 x 3 （4） y = ( x 2 + 1)( x ? 2) 例 2：已知曲线 y = （5） f ( x) = ( ax + b) 2 ( a、b 为常数)1 3 8 x 上一点 P (2， ) ，求： 3 3（2）过点 P 的切线方程.（1）过点 P 的切线的斜率；三、课堂小结：多项式函数求导法则的应用 课堂小结： 课堂练习： 四、课堂练习：1、求下列函数的导数： （1） y = 8x 2 （2） y = 2 x ? 1 （3） y = 2 x 2 + x （6） y = x 2 ( x 3 ? 4) （4） y = 3 x 3 ? 4 x （5） y = ( 2 x ? 1)(3 x + 2)2、已知曲线 y = 4 x ? x 2 上有两点 A（4，0） ，B（2，4） ，求： （2）过点 A 处的切线的斜率 k AT ； （3）点 A 处的切线的方程. （1）割线 AB 的斜率 k AB ；3、求曲线 y = 3 x 2 ? 4 x + 2 在点 M（2，6）处的切线方程. 五、课堂作业 1、求下列函数的导数： （1） y = 5 x ? 4 x + 12（2） y = ?5 x + 3 x + 72（3） y = 7 x + 13 x ? 102（4） y = 3 + x ? 3 x 3 （5） y = 2 x 3 ? 3 x 2 + 5 x ? 4 （7） f ( x ) = 3 x ? 23 x + 40 x ? 104 3 3 2 （9） f ( x ) = ( 2 x ? 1)(3 x + x)（6） f ( x ) = ( 2 + x )(3 ? x )2（8） f ( x ) = ( x ? 2) + x （10） y = 3( 2 x + 1) 2 ? 4 x2、求曲线 y = 2 x ? x 在 x = ?1 处的切线的斜率。33、求抛物线 y =1 2 x 在 x = 2 处及 x = ?2 处的切线的方程。 44、求曲线 y = x 3 ? 3 x 2 + 1 在点 P（2，－3）处的切线的方程。函数的单调性与极值 函数的单调性与极值（5 月 10 日）教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 教学目标 掌握利用导数判断函数单调性的方法； 教学重点：利用导数判断函数单调性； 教学重点 教学难点：利用导数判断函数单调性 教学难点 教学过程： 教学过程 引入： 一 引入： 以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设 x1&x2 的前提下，比较 f(x1)&f(x2)与的大 小，在函数 y=f(x)比较复杂的情况下，比较 f(x1)与 f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来 判断函数的单调性就比较简单. 二 新课讲授 1 函数单调性 我们已经知道，曲线 y=f(x)的切线的斜率就是函数 y=f(x)的导数.从函数 y = x 2 ? 4 x + 3 的图像可以看到：在区间（2， + ∞ ）内，切线的斜率为正，函数 y=f(x)的值随着 x 的增大 切线的斜率为负，函数 y=f(x)的值随着 x 的增大而减小，即 y / & 0 时，函数 y=f(x) 在区间 （ ? ∞ ，2）内为减函数. 定义： 一般地， 设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数， 如果在这个区间内 y / &0， 那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的增函数； ，如果在这个区间内 y / &0，那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的 减函数。 而增大，即 y / &0 时，函数 y=f(x) 在区间（2， + ∞ ）内为增函数；在区间（ ? ∞ ，2）内，例 1 确定函数 y = x ? 2 x + 4 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。2例 2 确定函数 y = 2 x ? 6 x + 7 的单调区间。3 2y2 0 x2 极大值与极小值 观察例 2 的图可以看出，函数在 X=0 的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们 说 f(0)是函数的一个极大值； 函数在 X=2 的函数值比它附近所有各点的函数值都小， 我们说 f(0)是函数的一个极小值。 一般地，设函数 y=f(x)在 x = x0 及其附近有定义，如果 f ( x0 ) 的值比 x0 附近所有各点的函 数值都大，我们说 f( x0 )是函数 y=f(x)的一个极大值；如果 f ( x0 ) 的值比 x0 附近所有各点的 函数值都小，我们说 f( x0 )是函数 y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注 意以下几点： （）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比 较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 （）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以 不止一个。 （）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值， 如下图所示， x1 是极大值点， x 4 是极小值点，而 f ( x 4 ) & f ( x1 ) 。yf ( x4 ) f ( x1 )oaX1X2X3X4bx（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取 得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有f ′( x) = 0 。但反过来不一定。如函数 y = x 3 ，在 x = 0 处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。假设 x 0 使f ′( x0 ) = 0 ，那么 x0 在什么情况下是的极值点呢？yyf ′( x0 )f ′( x ) & 0 f ′( x) & 0 f ′( x0 )f ′( x) & 0f ′( x ) & 0oaX0bxoaX0bx如上左图所示，若 x 0 是 f ( x ) 的极大值点，则 x 0 两侧附近点的函数值必须小于 f ( x 0 ) 。因 此， x 0 的左侧附近 f ( x ) 只能是增函数，即 f ′(x) & 0。 x 0 的右侧附近 f ( x ) 只能是减函数， 即 f ′(x) & 0 ，同理，如上右图所示，若 x 0 是极小值点，则在 x 0 的左侧附近 f ( x ) 只能是减 函数，即 f ′(x) & 0 ，在 x 0 的右侧附近 f ( x ) 只能是增函数，即 f ′(x) & 0，从而我们得出结论： 若 x 0 满足 f ′( x 0 ) = 0 ， 且在 x 0 的两侧 f ( x ) 的导数异号， x 0 是 f ( x ) 的极值点， f ( x 0 ) 是 则 极值，并且如果 f ′( x ) 在 x 0 两侧满足“左正右负” ，则 x 0 是 f ( x ) 的极大值点， f ( x 0 ) 是极 大值；如果 f ′( x ) 在 x 0 两侧满足“左负右正” ，则 x 0 是 f ( x ) 的极小值点， f ( x 0 ) 是极小值。 例 3 求函数 y =1 3 x ? 4 x + 4 的极值。 3yox三 小结 1 求极值常按如下步骤： ① 确定函数的定义域； ② 求导数； ③ 求方程 y / =0 的根，这些根也称为可能极值点； ④ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法) 四 巩固练习 1 确定下列函数的单调区间： （1） y = 2 x 2 ? 5 x + 7 （2） y = 3 x ? x 32 求下列函数的极值 （1） y = x 2 ? 7 x + 6 （2） y = ?2 x 2 + 5 x（3） y = x 3 ? 27 x（4） y = 3 x 2 ? x 3五 课堂作业 1 确定下列函数的单调区间： （1） y = ?4 x + 2 （3） y = ? x 2 ? 2 x + 5 2 求下列函数的极值 （1） y = x 2 ? 4 x + 10 （2） y = ?2 x 2 + 4 x ? 7 （2） y = ( x ? 1) 2 （4） y = x 3 ? x 2 ? x（3） y = x 3 + 3 x 2 ? 1（4） y = 6 + 12 x ? x 3（5） y = 4 x 3 ? 3 x 2 ? 6 x（6） y = 2 x 2 ? x 4函数的极限（4 月 29 日）教 学 目 标 ： 1、 使 学 生 掌 握 当 x → x0 时 函 数 的 极 限 ； 2、了 解 ： lim f ( x) = A 的 充 分 必 要 条 件 是 lim+ f ( x) = lim? f ( x) = Ax → x0x → x0 x → x0教 学 重 点 ： 掌 握 当 x → x0 时 函 数 的 极 限 教 学 难 点 ： 对 “ x ≠ x0 时 ， 当 x → x0 时 函 数 的 极 限 的 概 念 ” 的 理 解 。 教学过程： 一、复习： （ 1） lim q n = ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ q & 1 ;（ 2） limn →∞x→∞1 = _______ .(k ∈ N ? ) k x（ 3 ） lim x 2 = ?x→2二、新课 就问题（3）展开讨论：函数 y = x 当 x 无限趋近于 2 时的变化趋势2当 x 从左侧趋近于 2 时（x→2 ）?xy=x21.1 1.211.31.51.71.91.991.999 1.9999→ →2当 x 从右侧趋近于 2 时（x→2 ）+xy=x22.9 2.7 8.41. 7.2922.52.32.12.012.001 2.0001→ →2发现 lim x = _______x→2Y我们再继续看x2 ?1 y= x ?12 1 O。1 X当 x 无限趋近于 1（ x ≠ 1 ）时的变化趋势；函 数 的 极 限 有 概 念 ： 当 自 变 量 x 无限趋近于 x 0 （ x ≠ x 0 ）时，如果函数 y = f (x ) 无限 趋近于一个常数 ，就说当 ， 趋近于一个常数 A，就说当 x 趋向 x 0 时，函数 y = f (x ) 的极限是 A，记作 lim f ( x) = A 。x → x0特别地， 特别地， lim C = C ； lim x = x0x → x0 x → x0三、例题求 下 列 函 数 在 X＝ 0 处 的 极 限（ 1） limx ?1 x→0 2 x 2 ? x ? 12（ 2） limx →0x x2x , x & 0（ 3） f (x ) =0, x = 0 1+ x2, x & 0四、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。 五、练习及作业： 1、对于函数 y = 2 x + 1 填写下表，并画出函数的图象，观察当 x 无限趋近于 1 时的变化趋势， 说出当 x → 1 时 函 数 y = 2 x + 1 的 极 限xy=2X＋10.10.90.990.999 0.99→ → → →1xy=2X＋11.51.11.011.001 1.0112、对于函数 y = x ? 1 填写下表，并画出函数的图象，观察当 x 无限趋近于 3 时的变化趋势，2说出当 x → 3 时 函 数 y = x ? 1 的 极 限2xy=X －122.92.99 2.999 2.99 2.999999→ → → →3xy=X －123.13.01 3.001 3.01 3.00000133?limx2 ?1 x →1 2 x 2 ? x ? 1lim( x ? 1) 3 + (1 ? 3 x) x →0 x 2 + 2x3lim 2(sin x ? cos x ? x 2 )x→π2limx→41 + 2x ? 3 x ?2limx →0a2 + x ? a （ a & 0） xlim1 x→0 x函数的最大与最小值（5 月 8 日）教 学 目 标 ： 1、 使 学 生 掌 握 可 导 函 数 f (x ) 在 闭 区 间 [a, b ] 上 所 有 点 （ 包 括 端 点 a, b ） 处的函数中的最大（或最小）值； 2、 使 学 生 掌 握 用 导 数 求 函 数 的 极 值 及 最 值 的 方 法 教学重点：掌握用导数求函数的极值及最值的方法 教学难点：提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力 一、复习： 1、 x n( )/= ___________ ； 2、 [ C ? f ( x) ± g ( x)]/= _____________3、 求 y=x 3 ―27x 的 极 值 。 二、新课 在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小 观 察 下 面 一 个 定 义 在 区 间 [a, b ] 上 的 函 数 y = f (x ) 的 图 象 ya x1oX2X3bx发 现 图 中 ____________ 是 极 小 值 ， _________ 是 极 大 值 ， 在 区 间 [a, b ] 上 的 函 数y = f (x)的 最 大 值 是 ______， 最 小 值 是 _______ 的步骤： 在区间 [a, b ] 上求函数 y = f (x ) 的最大值与最小值 的步骤： 1、函数 y = f (x ) 在(a, b) 内有导数 ； 、 ．．． ． 2、 、求函数 y = f (x ) 在(a, b) 内的极值 3、将函数 y = f (x ) 在 (a, b) 内的极值与 f ( a ), f (b) 比较，其中最大的一个为最大值 ，最 、． 比较， 小的一个为最小值4 2 三 、 例 1、 求 函 数 y = x ? 2 x + 5 在 区 间 [? 2,2]上 的 最 大 值 与 最 小 值 。解 ： 先 求 导 数 ， 得 y / = 4x3 ? 4x 令 y / ＝ 0 即 4 x ? 4 x = 0 解 得 x1 = ?1, x 2 = 0, x3 = 13导 数 y / 的 正 负 以 及 f (?2) ， f ( 2) 如 下 表 X y/－2 13（ － 2， － 1）－1 0 4（ － 1， 0）0 0 5（ 0， 1）1 0 4（ 1， 2）2 13＋－＋y从 上 表 知 ， 当 x = ±2 时 ， 函 数 有 最 大 值 13， 当 x = ±1 时 ， 函 数 有 最 小 值 4 在日常生活中，常常会遇到什么条件下可以使材料最省，时间最少，效率最 高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。 例 2 用 边 长 为 60CM 的 正 方 形 铁 皮 做 一 个 无 盖 的 水 箱 ，先 在 四 个 角 分 别 截 去 一 个 小 正 方 形 ，然 后 把 四 边 翻 转 90°角 ，再 焊 接 而 成 ，问 水 箱 底 边 的 长 取 多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？例 3、 已 知 某 商 品 生 产 成 本 C 与 产 量 P 的 函 数 关 系 为 C＝ 100＋ 4P， 价 格 R 与 产 量 P 的 函 数 关 系 为 R＝ 25－ 0.125P， 求 产 量 P 为 何 值 时 ， 利 润 L 最 大 。四、小结： 1、 闭 区 间 [a, b ] 上 的 连 续 函 数 一 定 有 最 值 ； 开 区 间 (a, b) 内 的 可 导 函 数 、 不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。 2、 函 数 在 其 定 义 区 间 上 的 最 大 值 、 最 小 值 最 多 各 有 一 个 ， 而 函 数 的 极 值 可 能 不 止 、 一个，也可能没有一个。 3、 在 解 决 实 际 应 用 问 题 中 ， 关 键 在 于 建 立 数 学 模 型 和 目 标 函 数 ； 如 果 函 数 在 区 间 、 内只有一个极值点，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的 函数值进行比较。五、练习及作业： ： 1、 函 数 y = x 2 ? 5 x + 4 在 区 间 [? 1,1] 上 的 最 大 值 与 最 小 值3 2、 求 函 数 y = 3 x ? x 在 区 间 ? 3 ,3 上 的 最 大 值 与 最 小 值 。[]3、 求 函 数 y = x 4 ? 2 x 2 + 5 在 区 间 [? 2,2]上 的 最 大 值 与 最 小 值 。4、 求 函 数 y = x 5 + 5 x 4 + 5 x 3 + 1 在 区 间 [? 1,4] 上 的 最 大 值 与 最 小 值 。5、 给 出 下 面 四 个 命 题（ 1） 函 数 y = x ? 5 x + 4 在 区 间 [? 1,1] 上 的 最 大 值 为 10， 最 小 值 为 －29 42 （ 2） 函 数 y = 2 x ? 4 x + 1 （ 2＜ X＜ 4） 上 的 最 大 值 为 17， 最 小 值 为 1（ 3） 函 数 y = x 3 ? 12 x （ － 3＜ X＜ 3） 上的最大值为16 ， 最小 值为－16 （ 4） 函 数 y = x 3 ? 12 x （ － 2＜ X＜ 2） 上 无 最大值 也无 最 值。 小 其中正确的命题有＿ ＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿ 6、把长度为 L CM 的线段分成四段，围成一个矩形，问怎样分法，所围成矩形的面积最大。7、把长度为 L CM 的线段分成二段，围成一个正方形，问怎样分法，所围成正方形的面积 最小。8、某商品一件的成本为 30 元，在某段时间内，若以每件 X 元出售，可以卖出(200-X)件， 应该如何定价才能使利润 L 最大？9、在曲线 Y=1―X2(X ≥ 0，Y ≥ 0 )上找一点了( x0 , y 0 )，过此点作一切线，与 X、Y 轴构成 一个三角形，问 X0 为何值时，此三角形面积最小？10、要设计一个容积为 V 的圆柱形水池，已知底的单位面积造价是侧面的单位面积造价的 一半，问：如何设计水池的底半径和高，才能使总造价最少？(提示： ? ? = ??1? ? x?/1 ) x2函数极限的运算法则（4 月 30 日）教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 教学目标 教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学重点 教学难点：函数极限法则的运用 教学难点 教学过程： 教学过程一、引入： 引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限， lim 如x→∞1 = 0, lim x = xo .若求极限的函数 x → xo x比较复杂， 就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的， 已知函数的极 限与这些简单函数的极限有什么关系， 这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极 限的计算. 二 、新课讲授 对于函数极限有如下的运算法则： 如果 lim f ( x) = A, lim g ( x) = B ，那么x → xo x → xox → xolim [ f ( x) + g ( x)] = A + Bx → xolim [ f ( x) ? g ( x)] = A ? Blim f ( x) A = ( B ≠ 0) g ( x) Bx → xo也就是说， 如果两个函数都有极限， 那么这两个函数的和、差、 积、商组成的函数极限， 分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为 0）.说明：当 C 是常数，n 是正整数时， lim [Cf ( x)] = C lim f ( x)x → xo x → xox → xolim [ f ( x)]n = [ lim f ( x)] nx → xo这些法则对于 x → ∞ 的情况仍然适用. 三 典例剖析 例 1 求 lim( x + 3 x)2x→2例 2 求 lim2x3 ? x 2 + 1 x →1 x +1x 2 ? 16 x→4 x ? 4 分析：当 x → 4 时，分母的极限是 0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数 x 2 ? 16 y= 在定义域 x ≠ 4 内，可以将分子、分母约去公因式 x ? 4 后变成 x + 4 ，由此即 x?4例 3 求 lim可求出函数的极限.例 4 求 lim3x 2 ? x + 3 x→∞ x2 +1分析：当 x → ∞ 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果 分子、分母都除以 x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。2k 总结： lim C = C , lim x k = x o ( k ∈ N * ), x → xo x → xolim C = C , limx→∞ x →∞1 = 0( k ∈ N * ) k x2x 2 + x ? 4 例 5 求 lim 3 x→∞ 3 x ? x 2 + 1分析：同例 4 一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以 x ，就可以运用法则 计算了。3四 课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限） （1） lim( 2 x ? 3) ；1 x→ 2（2） lim( 2 x ? 3 x + 1)2 x →2（3） lim[(2 x ? 1)( x + 3)] ；x→4（4） lim2x2 + 1 x →1 3 x 2 + 4 x ? 1（5） limx2 ?1 x → ?1 x + 1（6） limx →3x 2 ? 5x + 6 x2 ? 92x 2 + x ? 2 （7） lim 3 x →∞ 3 x ? 3 x 2 + 12y2 ? y （8） lim 3 y →∞ y ? 5五 小结 1 有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积） ； 2 函数的运算法则成立的前提条件是函数 f ( x ), g ( x ) L 的极限存在，在进行极限运算时， 要特别注意这一点. 3 两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定 不存在. 4 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限. 六 作业（求下列极限） （1） lim ( 2 x + 3 x + 4)3 x → ?1x2 + 5 （2） lim 2 x →2 x ? 3（3） limx →12x x + x +12（4） lim(x →0x 2 ? 3x + 1 + 1) x?4（5） limx→ 3x2 ? 3 x4 + x2 +1（6） limx →03x 3 + x 2 x 5 + 3x 4 ? 2 x 2（7） limx→2x?2 x2 ? 4（8） limx +1 x → ?1 x 2 ? 1（9） limx 3 + 3x 2 + 2 x x → ?2 x2 ? x ? 6（10） lim( x + m) 2 ? m 2 x →0 x（11） lim( 2 ?x→∞1 1 + ) x x2（12） limx2 +1 x→∞ 2 x 2 + 2 x ? 1（13） limx3 + x x→∞ x 4 + 3 x 2 + 1（14） lim(x→22x3 + 1 2 ) 3x 3 ? 2（15） lim3 x 2 ? 11x + 6 x →1 2 x 2 ? 5 x ? 3lim （16）3 x 2 ? 11x + 6 x →∞ 2 x 2 ? 5 x ? 3lim （17）x ? x 2 ? 6x 3 x →0 2 x ? 5 x 2 ? 3 x 3lim （18）x ? x 2 ? 6x3 x →∞ 2 x ? 5 x 2 ? 3 x 3极 限 的 概 念（4 月 27 日） 教学目的：理解数列和函数极限的概念； 教学目的 教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限； 教学重点 教学难点：数列和函数极限的理解 教学难点 教学过程： 教学过程一、实例引入： 例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子?天下篇》引用过一句话： “一尺之棰，日取其 半，万世不竭。 ”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地 （2）求前 n 天截下的木 进行下去。 （1）求第 n 天剩余的木棒长度 a n (尺)，并分析变化趋势； 棒的总长度 bn (尺)，并分析变化趋势。观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数 n 无限增大时，数列的项 a n 无限趋近于 某个常数 A（即 a n ? A 无限趋近于 0） a n 无限趋近于常数 A，意指“ a n 可以任意地靠近 。 A，希望它有多近就有多近，只要 n 充分大，就能达到我们所希望的那么近。 即“动点 a n 到 ” A 的距离 a n ? A 可以任意小。 二、新课讲授 1、数列极限的定义： 一般地，如果当项数 n 无限增大时，无穷数列 {a n } 的项 a n 无限趋近于某个常数 A（即 如果当项数 无限增大时， （ ．．．．．a n ? A 无限趋近于 0） 那么就说数列 {a n } 的极限是 A，记作 ，那么就说数列 ） ， ，lim a n = An →∞注：①上式读作“当 n 趋向于无穷大时， a n 的极限等于 A”“ n → ∞”表示“ n 趋向于无 。 穷大” ，即 n 无限增大的意思。 lim a n = A 有时也记作当 n → ∞时， a n → An →∞②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？ 例 1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1，1 1 1 1 2 3 n ， ，…， ，… ； （2） ， ， ，…， ，…； 2 3 n 2 3 4 n +1（3）－2，－2，－2，…，－2，…； （4）－0.1，0.01，－0.001，…， (?0.1) n ，…； （5）－1,1，－1，…， (?1) n ，…；注：几个重要极限 几个重要极限： 几个重要极限 （1） lim1 =0 n →∞ n（2） lim C = C （C 是常数）n →∞（3）无穷等比数列 {q n } （ q & 1 ）的极限是 0，即 ： lim q = 0( q & 1)n n →∞2、当 x → ∞ 时函数的极限1 的图像， 观察当自变量 x 取正值且无限增大时， 函数值的变化情况： x 1 y 函数值无限趋近于 0，这时就说，当 x 趋向于正无穷大时，函数 y = x 1 的极限是 0，记作： lim = 0 x → +∞ x 一般地，当自变量 x 取正值且无限增大时，如果函数 取正值且无限增大时， ， x（1） 画出函数 y = Oy = f (x) 的值无限趋近于一个常数 A，就说当 x 趋向于正无穷大时， 趋向于正无穷大时， ，函数 y = f (x ) 的极限是 A，记作： lim f ( x) = A ，记作：x → +∞也可以记作，当 x → +∞ 时， f ( x ) → A1 的值无限趋 x 1 1 近于 0，这时就说，当 x 趋向于负无穷大时，函数 y = 的极限是 0，记作： lim = 0 x → ?∞ x x（2）从图中还可以看出，当自变量 x 取负值而 x 无限增大时，函数 y = 一般地，当自变量 x 取负值而 x 无限增大时，如果函数 y = f (x ) 的值无限趋近于一 ， 无限增大时， 趋向于负无穷大时， 个常数 A，就说当 x 趋向于负无穷大时，函数 y = f (x ) 的极限是 A，记作： lim f ( x) = A ， ，记作：x → ?∞也可以记作，当 x → ?∞ 时， f ( x ) → A （3）从上面的讨论可以知道，当自变量 x 的绝对值无限增大时，函数 y =1 的值都无限 x趋近于 0，这时就说，当 x 趋向于无穷大时，函数 y =1 1 的极限是 0，记作 lim = 0 x→∞ x x一般地， ，当自变量 x 的绝对值无限增大时，如果函数 y = f (x ) 的值无限趋近于一个常 的绝对值无限增大时， 趋向于无穷大时， ，记作： 数 A，就说当 x 趋向于无穷大时，函数 y = f (x ) 的极限是 A，记作： lim f ( x ) = A ，x→∞也可以记作，当 x → ∞ 时， f ( x ) → A 特例： 对于函数 f ( x ) = C（ C 是常数） 当自变量 x 的绝对值无限增大时， ， 函数 f ( x ) = C 的值保持不变，所以当 x 趋向于无穷大时，函数 f ( x ) = C 的极限就是 C ，即 当 趋向于无穷大时，lim C = Cx→∞例 2：判断下列函数的极限： （1） lim ( )1 x → +∞ 2 1 （3） lim 2 x→∞ xx（2） lim 10x → ?∞x（4） lim 4x →∞三、课堂小结 1、数列的极限 2、当 x → ∞ 时函数的极限 四、练习与作业 1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限 （1）1，1 1 1 ， ，…， 2 ，… ； （2）7，7，7，…，7，…； 4 9 n1 1 1 (?1) n （3） ? , ,? , L , ,L ； 2 4 8 2n（4）2，4，6，8，…，2n，…； （5）0.1，0.01，0.001，…， （6）0， ?1 ，…； 10 n1 2 1 ,? , …， ? 1 ，…； 2 3 n 1 1 1 1 n +1 （7） ,? , , …， ( ?1) ，…； 2 3 4 n +1 1 4 9 n2 （8） , , , …， ，…； 5 5 5 5（9）－2, 0，－2，…， ( ?1) n ? 1 ,…，2、判断下列函数的极限：（1） lim 0.4x → +∞x（2） lim 1.2x → ?∞x（3） lim(? 1)x →∞1 x ) x → +∞ 10 1 （7） lim 2 x→∞ x + 1（5） lim (1 x→∞ x 4 5 x （6） lim ( ) x → ?∞ 4（4） lim （8） lim 5x→∞补充：3、如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，M、N 分别 是 AB、PC 的中点。 （1）求证：MN⊥AB； P （2）若平面 PCD 与平面 ABCD 所成的二面角为θ， 能否确定θ，使得 MN 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线？ 若可以确定，试求θ的值；若不能，说明理由。 NA M B C D数列极限的运算法则（ 数列极限的运算法则（5 月 3 日）教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。 教学重点：运用数列极限的运算法则求极限 教学难点：数列极限法则的运用 教学过程： 一、复习引入： 函数极限的运算法则：如果 lim f ( x) = A, lim g ( x) = B, 则 lim [ f ( x) ± g ( x)x → x0 x → x0 x → x0 x → x0] = ＿＿＿lim [ f ( x).g ( x) ] = ＿＿＿＿， limx → x0f ( x) = ＿＿＿＿（B ≠ 0 ） g ( x)二、新授课： 数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果 lim a n = A, lim bn = B, 那么n →∞ n →∞ n →∞lim (a n + bn ) = A + B lim (a n .bn ) = A.Bn →∞lim (a n ? bn ) = A ? Bn →∞liman A = ( B ≠ 0) n →∞ b B n推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。例如，若 {a n 有限 ．． 则： lim ( a n + bn + c n ) = lim a n + lim bn + lim c nn →∞ n →∞ n →∞ n →∞}， {bn } ， {cn } 有极限，特别地，如果 C 是常数，那么 二.例题：lim (C.a n ) = lim C. lim a n = CAn →∞ n →∞ n →∞例 1.已知 lim a n = 5, lim bn = 3 ，求 lim (3a n ? 4bn ).n→∞n →∞n →∞例 2.求下列极限： （1） lim (5 +n →∞4 )； n（2） lim(n →∞1 ? 1) 2 n例 3.求下列有限：2n + 1 n （2） lim 2 n →∞ 3n + 1 n →∞ n ? 1 分析： （2）当 n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限， （1）（1） lim 上面的极限运算法则不能直接运用。例 4.求下列极限： （1） lim(n →∞3 5 7 2n + 1 + 2 + 2 +K+ 2 ) n +1 n +1 n +1 n +12（2） lim (n →∞1 + 2 + 4 + K + 2 n ?1 ) 1 + 3 + 9 + K + 3 n?1说明：1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。 当 n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都 没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。 2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积） 。 3.两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极 限不一定不存在。 小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限 的运算法则是对有限的数列是成立的。 练习与作业： 1.已知 lim a n = 2, lim bn = ?n →∞n →∞1 ，求下列极限 3（2） lim（1） lim ( 2 a n + 3bn ) ；n→∞a n ? bn n→∞ an2.求下列极限： （1） lim ( 4 ?n →∞1 )； n（2） lim2 3 ?5+ nn→∞。3.求下列极限 （1） limn→∞n +1 ； n（2）limn→∞n ； 3n ? 2（3） lim3n ? 2 ； n→∞ 1 ? n 2（4） lim5n ? 2 n 2 。 n → ∞ 3n 2 ? 14.求下列极限已知 lim a n = 3, lim bn = 5, 求下列极限：n→∞ n→∞（1）. lim(3a n ? 4bn ).n →∞（2）.lima n ? bn n →∞ a + b n n5.求下列极限: （1）.2 lim (7 ? ); n →∞ n（2）. lim(n →∞1 ? 5) n2（3）. limn →∞1 3 ( + 4) n n1 +1 (4). lim n n→∞ 1 ?1 n(5). lim1+ 2 + 3 +L+ n n →∞ 2n 2(6). lim7 + 5n n → ∞ 6n ? 11(7). limn +1 n →∞ n 2 ? 9（8） lim(n→∞2 1 ? 4n 2 + ) n 1+ n21 1 1 + +L+ n 2 4 2 （9） lim n →∞ 1 1 1 1+ + +L+ n 3 9 3 1+（10）.已知 lim a n = 2, 求 limn→∞n→∞n + an n ? an无穷等比数列各项的和（5 月 4 日）教学目的：掌握无穷等比数列各项的和公式； 教学目的 教学重点：无穷等比数列各项的和公式的应用 教学重点 教学过程： 教学过程 一、复习引入 1、等比数列的前 n 项和公式是_________________________________________________ 2、设 AB 是长为 1 的一条线段，等分 AB 得到分点 A1，再等分线段 A1B 得到分点 A2，如 此无限继续下去，线段 AA1，A1A2，…，An－1An，…的长度构成数列1 1 1 1 , , ,L, n ,L 2 4 8 2①可以看到，随着分点的增多，点 An 越来越接近点 B，由此可以猜想，当 n 无穷大时， AA1+A1A2+…+ An－1An 的极限是________.下面来验证猜想的正确性，并加以推广二、新课讲授 1、无穷等比数列各项的和 无穷等比数列各项的和：公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前 n 项的和当 n 无限增大 无穷等比数列各项的和 时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和. 设无穷等比数列 a1 , a1 q, a1 q 2 , L , a1 q n ?1 , L 的 公比 q 的绝对值小于 1，则其各项的和 S 为S=a1 1? q( q & 1)例 1、求无穷等比数列 0.3， 0.03， 0.003，… 各项的和.。。例 2、将无限循环小数 0. 2 9 化为分数.三、课堂小结： 课堂小结 1、无穷等比数列各项的和公式；2、化循环小数为分数的方法 四、练习与作业 1、求下列无穷等比数列各项的和： （1） ,?8 92 1 3 , ,? , L； 3 2 8（2） 6 ， ， ， ， 1 L （4） 1， x, x ,? x , L , ( x & 1) ?2 32 1 4 4 3 3 15 75（3）3 +1 3 ?1， 1，3 ?1 3 +1， L2、化循环小数为分数：。。 。 。（1） 0. 2 7（2） 0. 3 0 6。（3） 1.32 8（4） ? 0.4 0 2 3。。3、如图，等边三角形 ABC 的面积等于 1，连结这个三角形各边的中点得到一个小三角形， 又连结这个小三角形各边的中点得到一个更小的三角形， 如此无限继续下去， A 求所有这些三角形的面积的和.BC4、如图，三角形的一条底边是 a ,这条边上的高是 h （1）过高的 5 等分点分别作底边的平行线，并作出相应的 4 个矩形，求这些矩形面积的和 （2）把高 n 等分，同样作出 n－1 个矩形，求这些矩形面积的和； （3）求证：当 n 无限增大时，这些矩形面积的和的极限等于三角形的面积 ah/2ha第4题
人教版高中数学全套教案统计、极限与导数_数学_高中教育_教育专区。多项式函数的导数(5 月 6 日) 教学目的:会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数 教学重点:...人教版高中数学《导数》_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档人教版高中数学《导数》_数学_高中教育_教育专区。导数的背景教学目标 教学...高中数学-说课教案-导数... 2页 1下载券 人教版高中数学《导数》... 36页...(x)在点 x0 处的导数记为 y′ D.f(x)在点 x0 处的导数记为 f′(x...新课标人教版选修2-1《导数及其应用》全部教案_数学_高中教育_教育专区。新课标人教版选修2-1《导数及其应用》全部教案新课标人教版选修 2-1《导数及其应用》全部...人教版高中数学《导数》... 36页 免费 高中数学导数教案 9页 1下载券 187-...2 高二数学◆选修 1-1◆导学案 编写: 纪永环 纪高尚 校审: 陈先英 王艳 ...人教版高中数学《导数》... 14页 7下载券 人教版高中数学 教案+学... 5页...路程对时间的导数逐渐变大,图象下凸;减 速过程,路程对时间的导数逐渐变小,...人教版高中数学《导数在研究函数中的应用》教学设计(全国一等奖)_数学_高中教育_教育专区。普通高中课程标准实验教科书 数学选修 2-2 1.3.1 单调性 【教学内容...搜试试 3 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高中导数及其应用教案_其它课程_小学教育_教育专区。...人教版高中数学导数及其... 11页 3下载券
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