微分拉格朗日中值定理理

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-11-12 15:46 标签： 带积分的微分中值定理
考研数学：微分中值定理
()数学中，微分中值定理是重难点。利用微分中值定理来证明与区间内某点出导数值有关的问题是考研当中的常考题型，这种类型的题大都以综合题的形式出现的。以下，跨考教育数学教研室吴方方老师就着重讲解微分中值定理。考研当中对于这一部分的题目十之六七是用罗尔定理来证明的。关于罗尔定理，首先我们一定要掌握罗尔定理的内容以及使用罗尔定理的条件。其实，罗尔这位数学家主要是研究方程根的问题的，后人为了纪念这位数学家，就以他的名字来命名了这个他们总结出的定理。考研题型中，关于微分中值定理这块，大都以综合题的形式，往往是一个题目有两小问的。在研究生入学考试中，如果一个问题包含有两个小问题，往往第一个问题是第二个问题的提示，且两个问题是单独给分的。如果不会证明第一问，可以直接利用第一问的结论来证明第二问。对于中值属于开区间( )，要证明函数在此处的导数等于0( 或者 )，这时我们往往要想到用罗尔来试着证明，找满足条件的相等的函数值。对于 ，我们找两点函数值相等( )，对于 )，往往要找三个点的函数值相等( )。对于朗格朗日中值定理和柯西中值定理在研究生入学考试中的应用也是我们也是必须掌握的。当题目中出现两个中值( )时，要求我们证明存在不同的两个点 属于一个开区间，使得这两个点出的一阶导的乘积是个常数。例如，05年考研数学一、二中出现过这样一题：已知函数在上连续，在内可导，且证明：(1)存在，使得；存在不同的两个点，使得。此题主要考察了拉格朗日中值定理和闭区间上连续函数的性质。题目中第一问主要用的是零点定理。对于这类综合题，有两个小问，其第二问往往会用到第一问的结论。这里我们主要谈第二问的证明方法。其有两个不同的中值，要证明的是两个中值处的导数的乘积等于一个常数，这时我们不能再用罗尔定理了。由于要求两个不同的中值，所以对于这类题，我们首先要保证两个不同中值，即划分区间，然后分别用拉格朗日定理，或者有些题目是用一次拉格朗日和一次柯西中值定理。对本题而言其是用两次朗格朗日中值定理来做的。因此，对于出现两个中值的问题，我们往往考虑两种情况：1，用两次朗格朗日中值定理，2，用一次拉格朗日中值定理一次柯西中值定理。对于泰勒公式或者叫做泰勒定理的证明题，其往往是已知函数的范围和二阶导的范围，让我们来求一阶导的范围等等。所用的泰勒公式是带有拉格朗日余项的。这类题型一定要注意三点，1，我们泰勒公式展开到几阶；2，到底在哪一点展开；3，取哪些点带入公式，组成方程组来求所有解决的问题。微分中值定理这一部分是研究生入学考试的重点和难度，希望同学们认真学习，深入掌握。
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微分中值定理的证明、推广以及应用
作者：张迎春
微分中值定理的证明、推广以及
1引言　　在高等数学中微分中值定理占有着非常重要的作用,微分中值定理不仅是微积分的重要结论之一,也是最基本的定联盟理之一.它不仅沟通了函数与其导数的关系,也是应用数学研究函数在区间整体性态的有力工具之一.罗尔中值定理条件最强,因而结论更加特殊,拉格朗日中值定理可以看成罗尔中值定理的推广.本文将罗尔中值定理由区间 推广到了区间 ?(a,b)?,由 推广到了区间（-&，+&） ，由?f（a）=f（b）? 推广到(有限或&&).而将拉格朗日中值定理中的可微条件适当放宽,使其具有更加广泛的意义.　　2罗尔定理　　若函数f满足如下条件：　　 f在闭区间［a，b］上连续,　　f在开区间（a，b）内可导,　　f（a）=f（b）　　则在（a，b）内至少存在一点c,使得f?、（c）=0.　　2.1罗尔定理的推广　　定理1：设(a,b)为有限或无穷区间?f(x)?在(a,b)内可微且（有限或 ）&&,　　则?c& ,使得f?、（c）= 0.　　证明：先证A为有限数的情形,若使f（x）=A ,则f?、（x）=0,所证显然成立.　　若f（x）=A不成立,则存在x?0&（a，b）,使得f（x?0）&A,　　设f(x?0) ＞A （对f(x?0) ＜A 同理可证）,　　由于=A,　　因函数f(x)在(a,b)内连续,对于任意取定的实数 &(A＜&＜f(x) ）,　　?x?1&(a,x?0 ),x?2 (x?0 ,b),　　使得?f（x?1）=f（x?2）=&?,　　在闭区间［x?1,x?2 ］上用罗尔定理,　　可得使得f?、（c）0,　　再证A+&,的情形（A=-&, 的情形,同理可证）.　　由于 =+&,　　取定x?0&(a,b)及&＞f(x?0) ,　　则由于f(x)在(a,b)内连续,故?x?1&(a,x?0),x?2(x?0,b),使得f(x?1)=f(x?2)=&,　　在闭区间［x?1,x?2］上用罗尔定理,可得使得f?、（c）=0.　　2.2定理1的5条推论　　推论1：设f（x）在（a，b）内可导,且=A&& ,则在区间(a，b)内至少存在一点c,使得f?、（c） 0.　　推论2：设f（x）在（a，b）内可导,且+& ,则在区间(a，b)内至少存在一点c,使得 f?、（c） 0.　　若=-&,结论同样成立.　　推论3：设f（x）在（-&，+&）可导,且==A,则在(-&，+&)至少存在一点 ,使得f?、（c） 0.　　推论4: 设f（x）在（-&，+&）可导, 且+&，=+& ,则在区间(-&，+&)内至少存在一点c,使得f?、（c） 0.　　若=-&，=-& ,结论同样成立.　　推论5：设f（x）在（a，+&）可导, 且==A ,则在(a，+&）至少存在一点c,使得f?、（c） 0.　　3拉格朗日中值定理　　若函数f 满足如下条件：　　f(x)在［a，b］连续　　f(x)在(a,b)可导　　则在(a,b)中至少存在一点c,使f?、（c）=f（b）-f（a）b-a 　　3.1拉格朗日中值定理几何证明方法　　多数教材都是通过构造辅助函数F(x)=f(x)-f(a)b-a(x-a)来证明拉格朗日中值定理的,故F(x)表示曲线y=f(x)与直线AB（y + (x-a)+f(b)-f(a)b-a(x-a)）之差从而使F(x)满足罗尔中值定理的要求,利用罗尔中值定理证得结论.无论通过何种方式,只要构造函数满足罗尔定理即可找到辅助函数满足罗尔定理条件.从几何意义上讲,就是找到一种几何量（长度,面积等）使得它在A,B值相等,在M点取得极值,满足罗尔定理,即可导出拉格朗日中值定理.　　已知f(x)在［a,b］连续,在(a,b)可导,证明在(a,b)中至少存在一点?,使f?、（?）=f（b）-f（a）b-a.　　已知光滑曲线 T：　　　　证明：引理：在平面直角坐标系中,已知A 、B 、C三个顶点的坐标A(f（a），g（a））,B(f（b），g（b）)，C(f（c），g（c）)　　则ABC得面积为　　　　易知：S(x)记由(a,f（a） ),(b,f(b) ),(x,f(x)) 三点组成三角形的面积,　　　　又因为S(x)在［a，b］上连续,且在（a，b） 可导,有S(a)=S(b)=0,　　则由罗尔中值定理,存在一点?&(a,b) 使得S?、（?）=0
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