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两道很基础的金融数学题,就是题目不太理解,怎么都算不对,答案数字我有,A company has debts of $15000 due in six months and $32000 in nine months.Both debts are to be replaced with a single payment in fifteen months.Determine the value of the single payment using a rate of 13.75% simple interest.$ 50,746.88Determine the value on March 21 of a 90 day note issued on January 30 with a face value of $35000 and a rate of 12.8% if money is worth 11%.（这题就是后面这句if money is worth 11%不太理解）答案：$35,674.61
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第一题算式是175*9/12)+375*6/12)因为15000需要付15-6=9个月的利息同理另一个是6个月第二题不明白,你有书或者书名么?
太感谢了！！书名就叫Mathematics Of Business And Finance，作者是Vretta。这题意思就是有一个1月30号出的面值35000，90天到期的票据，利率是12.8%，问这个票据在3月21号的时候值多少钱（根据一个表格，也就是问在第50天的时候值多少钱），就是最后这句if money is worth 11%实在不明白
找不到电子版的，看不了
我觉得那11%和inflation有关
能提一下那一章的主要内容么
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这到底是英语题还是数学题？
国外的数学题
如果是中文的，这题我肯定就给你做了！
请问那为什么是英文的呢，不是中文的呢。难道是雅思+金融题目
因为我在加拿大上学。。
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有没有有意向读计算机和金融数学的学弟学妹？有问题就问我吧。收藏
官方的话不说。纯手打，首先，专业。我们是信息工程学院，专业有两大类。数学和计算机，数学是 数学与应用数学（金融统计方向），计算机专业分为以下几个方向：数字媒体，嵌入式，物联网。专科的学长不了解- -。不好意思了。
有什么宿舍问题，吃饭问题，出行问题都可以问我，贼哈哈哈。
物联网如何？
敢问楼主也是海贼迷？呦嚯嚯嚯嚯
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还有油腻的师姐女生问题可以问她。
金融数学我们班去年入学最低分是500，排名大概5w4左右。计算机是498
(-.-)欧巴你应该爆个照。点击率蹭蹭上涨
今年600分能报三大吗，我想进入数学金融，据说那是自虐的好地方
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金融数学课件(南京大学)
金融数学南京大学金融与保险学系1金导论融数学第一章 金融数学基础第二章 金融市场 第三章 资产组合复制和套利第四章 股票与期权的二叉树模型第五章 连续时间模型和Black-Scholes公式 第六章 Black-Scholes模型的解析方法 第七章 对冲 第八章 互换 第九章 债券模型 2导 论在人类发展史上，伴随着第一张借据的出现，金融（finance）就产生了。时至今日，金融学已形成了宏观金融学和微观金融学两个分支，其需要的核心问题是：如何在不确定（uncertainty）的环境下，通过资本市场对资源进行跨期的（intertemporally）最优配置（allocation）。金融发展史表明，伴随着金融学两个分支学科的深化与发展，金融数 学（Financial Mathematics）应运而生。 3导 论如何理解：在不确定（uncertainty）的环境下，对资源进行跨期的最优配置？荒岛鲁宾逊传奇（Robinson Crusoe） 思路：求一个终身的跨期最优消费／投资问题； 工具：随机最优控制（Stochastic optimal control）4导论被萨缪尔森誉为金融理论“专家中的专家”、 站在众多“巨人肩上的巨人”的莫顿(Robert C ．Merton)曾这样说过： 优美的科学不一定是实用的，实用的科学也未必给人以美感，而现代金融理论却兼备了优美和实用。 5导论一、金融与金融数学 二、金融数学的发展历程 三、金融数学的结构框架6一、金融与金融数学金融是一个经济学的概念和范畴。通常，“金”是指资金，“融”是指融通，“金融”则指资金的融通，或者说资本的 借贷，即由资金融通的工具、机构、市场和制度构成的有机 系统，是经济系统的重要组成部分。 金融核心：在不确定的环境下，通过资本市场，对资源进 行跨期（最优）配置。 如何理解其与传统经济学的联系与区别？ 7金融学理 论 层 次宏观金融学金融数学 金融计量经济学微观金融学金 融 决 策金 融 中 介中 应 用 层 次 央 银 行 学货 币 政 策 分 析金 融 监 管 学国 际 金 融 学证 公 金 金 金 金 券 司 融 融 融 风 投 财 市 工 险 资 务 场 程 管 融 资 产 定学 学 学 学 理 价 金融经济学商 投 微 风 险 业 资 观 管 银 银 银 理 与 行 行 行 保 学 学 学 险 金融机构学货币银行学一、金融与金融数学微观金融分析和宏观金融分析分别从个体和整体角度研究金融运行规律。 金融决策分析主要研究金融主体投资决策行为及其规律，服务 于决策的“金融理论由一系列概念和定量模型组成。” 金融中介分析主要研究金融中介机构的组织、管理和经营。包括对金融机构的职能和作用及其存在形态的演进趋势的分析；金融机构的组织形式、经济效率、混业与分业、金融机构的脆弱性、风 险转移和控制等。 9一、金融与金融数学宏观金融分析从整体角度讨论金融系统的运行规律，重点 讨论货币供求均衡、金融经济关系、通货膨胀与通货紧缩、金 融危机、金融体系与金融制度、货币政策与金融宏观调控、国 际金融体系等问题。 与经济学的发展历程相反，金融学是先有宏观部分再有微 观部分。10一、金融与金融数学完整的现代金融学体系将以微观金融学和宏观金融学为理论基础，扩展到各种具体的应用金融学学科，而数理化（同时辅助以实证计量）的研究风格将贯穿从理论到 实践的整个过程。在现代金融学的发展历程中，两次华尔街革命产生了一门新兴的学科，即金融数学。随着金融市场的发展，金融创新日益涌现，各种金融衍生产品层出不 穷，这给金融数学的发展提出了更高的要求，同时也为金 融数学这一门学科的发展提供了广阔的空间。11一、金融与金融数学金融数学是金融学自身发展而衍生出来的一个新的分支，是数学与金融学相结合而产生的一门新的学科，是金融学由定性分析向定性分析与定量分析相结合，由规范研究向实证 研究为主转变，由理论阐述向理论研究与实用研究并重，金 融模糊决策向精确化决策发展的结果。数学：研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。 金融学：研究运作“金钱”事务的科学。 金融数学：运用数学工具来定量研究金融问题的一门学科。与其说是一门独立学科，还不如说是作为一系列方法而存在 。 12一、金融与金融数学金融数学 是金融经济学的数学化。金融经济学的主要研究对象是在证券市场上的投资和交 易，金融数学则是通 过建立证券市场的数学模型，研究证券市场的运作规律。 金融数学研究的中心问题是风险资产（包括衍生金融产 品和金融工具）的定价和最优投资策略的选择，它的主要理论有：资本资产定价模型，套利定价理论，期权定价理论及动态投资组合理论。13一、金融与金融数学金融数学研究的主要内容：风险管理效用优化金融数学的主要工具是随机分析和数理统计 （特别是非线性时间序列分析）。 14一、金融与金融数学依据研究方法：金融数学?规范金融数学实证金融数学15一、金融与金融数学规范金融数学： 强调运用高等数学、最优化、概率论、微分方程等 知识对金融原理进行推导。 如：第一次华尔街革命（资产组合问题、资本资产定价模 型）；第二次华尔街革命（期权定价公式）。 实证金融数学： 强调运用统计学、计量经济学、时间序列分析等知 识对金融原理进行假设检验，并得出一些经验结论。如：资产定价模型的检验、行为金融学的检验。 16二、金融数学的发展历程金融数学的研究历程大致可分为三个时期： 第一个时期为发展初期：代表人物有阿罗（K . A rrow ）、德布鲁（G . Debreu ）、林特纳（J . Lintner ）、马柯维茨（H . M . Markowitz ）、夏普（w . Sharp ）和莫迪利亚尼（F . Modigliani ）等。17二、金融数学的发展历程尽管早在1900年，法国人L? 巴恰利尔(Louis Bachelier)在一篇关 于金融投机的论文中，已经开始利用随机过程工具探索那时尚无实 物的金融衍生资产定价问题，但巴恰利尔仅是那个时代的一颗孤星， 因为在随后的半个世纪中，他的论文只是在几个数学家和物理学家 手中流传（奠定了现代金融学发展的基调）。马科维茨(H．Markowitz)1952年发表的那篇仅有14页的论文 既是现代资产组合理论的发端，同时也标志着现代金融理论的诞生。 稍后，莫迪利亚尼和米勒(Modigliani and Miller，1958)第一次应用 无套利原理证明了以他们名字命名的M-M定理。直到今天，这也 许仍然是公司金融理论中最重要的定理。同时，德布鲁(Debreu， 1959)和阿罗(Arrow，1964)将一般均衡模型推广至不确定性经济中， 为日后金融理论的发展提供了灵活而统一的分析框架。 18二、金融数学的发展历程这些基础性的工作在后来的10年内得到了两个重要的发展：其一是，在马科维茨组合理论的基础上，夏普(Sharpe，1964)、林特纳(Lintner，1965)和莫辛(Mossin，1966)揭示， 在市场出清状态，所有投资者都将选择无风险资产与市场组 合证券的线性组合；另一重要发展是对阿罗-德布鲁理论的 推广。赫什雷弗(Hirshleifer，)显示了阿罗-德布鲁理论在一些基本的金融理论问题中的应用，并在一般均衡体系中证明了M-M定理，第一次将阿罗-德布鲁框架与套利 理论联系起来。 19二、金融数学的发展历程第二个时期为 年： 这一时期是金融数学发展的黄金时代，主要代表人 物有莫顿（R . Merton ）、布莱克（F . Black ）、斯科尔斯( M . Scholes ）、考克斯（J . Cox ）、罗斯（Ｓ.Ross）、鲁宾斯坦（M . Rubinstein ）、莱克 (S.Lekoy）、卢卡斯（D . Lucas ）、布雷登（D . Breeden ）和哈里森（J . M . Harrison ) 等。 20二、金融数学的发展历程首先，CAPM理论得到一系列的发展。在夏普-林特纳-莫辛单 期CAPM基础上，布莱克(Black，1972)对借贷引入限制，推导了无 风险资产不存在情况下的“CAPM”。萨缪尔森(1969)、鲁宾斯坦 (Rubinstein，)、克劳斯和利曾伯格(Kraus and Litzenberger，1978)以及布伦南(Brennan，1970)等将马科维茨的静态 分析扩充至离散时间的多期分析，得到了跨期CAPM。莫顿(Merton， ，1973a)则提供了连续时间的CAPM版本(称为ICAPM)。 罗斯(Ross，1976a)提出与CAPM竞争的套利定价理论(APT)。值得强 调的是，莫顿的这些文献不仅是建立了连续时间内最优资产组合模 型和资产定价公式，而且首次将伊藤积分引入经济分析。21二、金融数学的发展历程1970年代最具革命性意义的事件无疑当数布莱克和斯科 尔斯(Black and Scholes，1973)推导出简单的期权定价公式， 以及莫顿(Merton，1973b)对该定价公式的发展和深化。 在这个阶段的后期，哈里森和克雷普斯(Harrison and Kreps，1979)发展了证券定价鞅理论(theory of martingale pricing)，这个理论在目前也仍然是金融研究的前沿课题。同一时期另一引人注目的发展是非对称信息分析方法 开始使用。 22二、金融数学的发展历程金融数学发展的第三个时期：1980 年至今是金融数学发展的第三个时期，是成果频出、不断成熟完善的时期。该期间的代表人物有达菲 （D . Duffie ）、卡瑞撤斯（I . Karatzas ）、考克斯（J . Cox ）、黄（C . F . Huang ）等。23二、金融数学的发展历程1980年代以后，资产定价理论和不完全信息金融市场分析继续发展。 在资产定价理论方面，各种概念被统一到阿罗-德布鲁一般均衡框架下， 显得更为灵活和适用。鞅定价原理逐渐在资产定价模型中占据了中心位 置，达菲和黄(Duffle and Huang，1985)等在此基础上大大地推广了布莱 克-斯科尔斯模型。在非对称信息分析方面，非合作博弈论及新产业组织理论的研究方 法得到广泛应用。戴蒙德(Diamond，1984)在利兰-派尔模型基础上，进 一步揭示了金融中介因风险分散产生的规模经济利益，并提出了金融中 介代理最终贷款者监督借款企业的效率优势。戴蒙德和迪布维克 (Diamond and Dybvig，1983)建立了提供流动性调节服务的银行模型； 戴蒙德(1989)、霍姆斯特龙和梯罗尔(Holmstrom and Tirole，1993)又以 道德危险(moral hazard)现象为基础，解释了直接金融和中介金融共存的 理由。至此，金融中介最基本的经济功能得到了较为完整的模型刻画。 24三、金融数学的结构框架金 融 数 学数学基础金融数学理论金融数学应用微线 性概随 机计 量 经资 产 组 合 理 论积 代 分 数率 过 论 程济 学资 本 资 产 定 价 模 型套 利 定 价 理 论布 朗 运 动 与 伊 藤 方 程布 莱 克 方 程金 融 风 险 的 测 度 模 型汇 率 测 度 与 定 价 模 型市 场 有 效 性 测 度 与 分 析25三、金融数学的结构框架第一部分是金融数学方法篇，阐述了金融数学的基本数学方法 和计量经济学在金融数学中的应用，重点讲述了微积分、线性代数、 概率论、计量经济学在金融数学中的应用。 第二部分是金融数学方法核心篇，阐述了资本资产定价模型和 期权定价模型。 第三部分是金融数学应用篇，阐述了金融数学在货币市场、外汇 市场、证券市场的应用。 26第一章 金融数学基础第一节 微积分在数理金融中的应用 第二节 线性代数在数理金融中的应用 第三节 随机过程在数理金融中的应用27第一节微积分在数理金融中的应用一、指数和对数函数的应用 （一）连续复利和实际利率A ? P ? P ? r ? P(1 ? r )若在任何时刻t ? [0, T ] ，某人在银行存款总额为A(t)， 计算周期为h&0，则在t=h，初始的存款总额A(0)增至A(h)A(h) ? A(0) ? R(h) 28第一节微积分在数理金融中的应用利息R(h) ? A(h) ? A(0)仅仅考虑利息的大小是没有意义的，必须考虑本金和存期称单位时间内的相对回报率r(h)为[0,h]上的利率A(h) ? A(0) R(h) r ( h) ? ? hA(0) hA(0)29第一节微积分在数理金融中的应用A(h) ? A(0)[1 ? r (h)h]A(2h) ? A(h)[1 ? r (h)h] =A(0)[1 ? r (h)h] A(kh) ? A((k ? 1)h)[1 ? r (h)h] =?2=A(0)[1 ? r (h)h]kk ?130第一节微积分在数理金融中的应用一般而言，利率r不是常数，若记rj为时间区间[jh,(j+1)h]上的定期存款利率，则在时刻t=kh，存款总额为：A(kh) ? A(0)? (1 ? rj h)j ?0k ?1?k ? 1若h=1， rj=r，则A(k ) ? A(0)(1 ? r )k ?k ? 1 31第一节微积分在数理金融中的应用通常利率是指年利率，活期利率类似于期限为1天的定期，但它始终是单利。在美国的利率史上，曾经有过长期利率低于短期利率的例 子，这种情况会在什么情况下出现？在经济由高速增长阶段进入衰退阶段时会出现。 32第一节微积分在数理金融中的应用对给定t&0(由于r为年利率，t的单位为年)，记k=[t/h]，则 在时刻t的存款总额A(t;h)(其中对任意h大于0，A(0;h)=A(0)，A( h) ? A( h) ? A(0)(1 ? rh) k ? A(0)(1 ? rh)?t ? ?h? ? ? ?t ? rh ? ? ?h?? 1 ( rh )?1 ? ? A(0) ? (1 ? ) ? ?1 ( rh ) ? ?33第一节微积分在数理金融中的应用h?0A(t ) ? A(0) ? lim A(t , h) ? A(0)e rth ?0t ?0A(t)称为是由（常值）利率为r连续复利得到的存款总额。A(0)ert 是 注意：A(0)(1 ? rh)k的一个近似，而不是相反。34第一节微积分在数理金融中的应用考虑任何一个时间区间[t,t+h](h&0)，则瞬时利率被定义为 瞬时单位时间中的相对回报率，即A(t ? h) ? A(t ) A' (t ) r (t ) ? lim ? h?0 hA(t ) A(t )A (t ) ? r (t ) A(t )'解此微分方程得A(t ) ? A(0)ertr (t ) ? r35第一节微积分在数理金融中的应用只要利率是非负的，总有A(t1 ) ? A(t2 ),即，银行存款总额是非减的。 基于此，银行存款是无风险的。?0 ? t1 ? t236第一节微积分在数理金融中的应用附：F ? P(1 ? i)ti mt F ? P(1 ? ) m1 m lim (1 ? ) ? e m ?? mF ? Peit 37第一节微积分在数理金融中的应用例：求100元本金，以10%复利两年的终值⑴每年计算复利一次⑵半年计算复利一次 ⑶连续计算复利 能得出什么结论？38第一节微积分在数理金融中的应用解：?1?F ? 100 ?1 ? 0.10 ? ? 121(元)2 mt 2?2i ? ? ? 0.10 ? ? 2 ? F ? P ?1 ? ? ? 100 ?1 ? ? ? 121.55(元) 2 ? ? m? ? rt 0.10?2 3 F ? Pe ? 100 e ? 122.14(元) ? ?39第一节微积分在数理金融中的应用（二）实际利率与名义利率i mt P(1 ? ie ) ? P(1 ? ) mti m ie ? (1 ? ) ? 1 mie ? e ? 1i 40第一节微积分在数理金融中的应用例：名义利率为10% ，期限为2 年，求：（1）半年计算复利一次的实际年利率；（2）连续计算复利的实际年利率。能得出什么结论？41第一节微积分在数理金融中的应用解：i ? ? 2 1 i ? 1 ? ? 1 ? 1.05 ? 1 ? 0.1025 ?? e ? ? ? m? r 0.1 ? 2 ? ie ? e ? 1 ? e ? 1 ? 0.105171m42第一节微积分在数理金融中的应用（三）银行按揭贷款贷款P元，年利率为r，分n期等额偿还，每期应偿还多少？Pi A? ?n 1 ? (1 ? i)r i? m已知现值求年金（资金还原公式） 43第一节微积分在数理金融中的应用例：某人贷款余额为20万元，年利率为6 %，办理5 年银行按揭，每个月月未应向银行还款多少钱？44第一节微积分在数理金融中的应用解：200000 ? Pi A? ? ?n 1 ? (1 ? i) 1 ? ?1 ? ? =3866.560.06 12 0.06 ?5?12 1245第一节微积分在数理金融中的应用（四）分期付款例：汽车每辆售价100000元，成交时付款34000元，其余66000元分11个月付款，即每月6000 元，试以月息4.2 ‰，求其 现值。已知年金求现值46第一节微积分在数理金融中的应用解：?n ? A 1 ? ?1 ? i ? ? ? ? P ? 34000 ? ? 98366.63 i47第一节微积分在数理金融中的应用（五）银行贴现应得兑现额S P 1 ? 1 ? nR实得兑现额P 2 ? S ? I ? S (1 ? nR) 48第一节微积分在数理金融中的应用例 面值5000元的汇票，20天后到期，银行月息为6‰，求贴息额与兑现额。49第一节微积分在数理金融中的应用课后思考 ⑴应得兑现额（4980.08） ⑵应贴利息(19.92) ⑶实际贴息(20)⑷实际兑现额(4980)50第一节微积分在数理金融中的应用（六）利用指数、对数函数计算时间最优问题例为投资买入的土地以下面的公式增值：V ? 1000e3t在连续计算复利下贴现率为0.09，为使土地 的现值最大，应该持有该土地多久？51第一节解：微积分在数理金融中的应用P ? V ? t ? e ? rt ln P ? lnV ? t ? ? rt 一阶条件 d ? ln P ? ? 0 ? t ? 7.127781 dt 二阶条件 d 2 ? ln P ? dt2?052第一节微积分在数理金融中的应用二、微分方法的运用 （一）边际效用函数的分析例：已知总成本函数TC ? Q3 ?18Q2 ? 750Q利用微积分知识做出总成本、平均成本和边际成本三者之间关系的图形。课后习题！53第一节微积分在数理金融中的应用某债券面额为1000元，5年期，票面利率为10%，现以950元的发行价向全社会公开发行。（1）若投资者认购后持至第3年末以995元的市价出售，则持有期收益率是多少？（2）若投资者认购后持至期满，则其到期收益率是多少？54第一节微积分在数理金融中的应用mP0 ? ?t ?1C?1 ? h ?Fmnt??1 ? h ?CPmmP0 ?y? ? ?1 ? ? ? m???m t y? t ?1 ? ?1 ? ? ? m?mn（12.11%，11.58%） 55第一节 微积分在数理金融中的应用（二）经济函数最优化例：已知一个企业的总收益水平是 总成本函数是3 2R ? 4000 Q ? 33Q2C ? 2Q ? 3Q ? 400Q ? 500设 Q ? 0 ，求其最大利润?56第一节微积分在数理金融中的应用解：3 2 ? ? ? 2 Q ? 30 Q ? 3600Q ? 500 ⑴建立利润函数 d?⑵一阶条件 ⑶二阶条件dQ? 0 ? Q1 ? 20, Q2 ? ?30(舍)d 2? ?0 2 dQ57第一节微积分在数理金融中的应用某个企业的生产函数为 q ? min{K, L} ，其 中K和L分别为资本和劳动的投入量，资本和劳动的价格分别为r和w。请写出该企业的成本函数C（q,r,w）的具体形式。58第一节?微积分在数理金融中的应用由该企业的生产函数可以知道，该企业必定会在K=L时组织生产，否则有一种要素存在浪费现象。（3分）? ? ?因此，生产函数可以表示为 q ? 可以得到成本最小化时的 所以企业的成本K 或q ? L （2分）22L?K ?q（2分） （3分）C ? Kr ? Lw ? (r ? w)q59第一节微积分在数理金融中的应用三、积分方法的运用（一）净投资时间积分的测度3 例：给定净投资 I (t ) ? 140 t 4，且当 t ? 0 时初始资本 存量是150，求资本函数 K ，即时间路径 K (t )60第一节微积分在数理金融中的应用解：K ? t ? ? ? I (t )dt ? 80t ? C7 4C ? 150为什么？61第一节微积分在数理金融中的应用例：边际储蓄倾向，当收入是25时，储蓄为5。 求储蓄函数。ds ?1 ? 0.5 ? 0.2Y 2 dY62第一节微积分在数理金融中的应用解：1 ds s ? ? dY ? 0.5Y ? 0.4Y 2 ? C dY C ? ?5.563第一节微积分在数理金融中的应用（二）消费者剩余和生产者剩余的测度 例：若市场所销售商品的数量和市场价格是由需求函数决定的，设一个利益最大化的厂商所面临的需求函数是其边际成本函数为 P ? 274? Q2 求消费者剩余。 MC ? 4 ? 3Q，64第一节微积分在数理金融中的应用解： ⑴收益函数TRTR ? PQ ? 274Q ? Q3⑵边际成本等于边际收益⑶市场均衡价格与产量MR ? MC ; 274 ? 3Q 2 ? 4 ? 3Q Q0 ? 9, P0 ? 1932 (274 ? Q )dQ ? 193 ? 9 ? 486 ? 0 9⑷消费者剩余65第一节微积分在数理金融中的应用四、微分方程和差分方程的运用（一）运用微分方程决定动态平衡点例：给定需求函数 Q 是： 。 ? P ? ?c ? g ? ?h ? bd和供给函数 Qs ? g ? hP ，均衡价格 ? c ? bP若市场上价格的变化率 dP dt 是正的，且为关于超额需求 的线性函数 dP dt ? m?Qd ? Qs ?, m ? 常数 ? 0 分析在什么条件下，当t ??时，P(t ) 将趋近于 ，这个条件就是P市场上的动态价格稳定的条件。66第一节微积分在数理金融中的应用dP 解： ? m? ? c ? bP ? ? ? g ? hP ?? ? ? dt dP ? m ? h ? b? P ? m ?c ? g ? dt 令 v ? m ? h ? b? , z ? m ?c ? g ? 得 P ?t ? ? e ?? vdt? A ? ze ? vdt dt ? ? Ae ? vt ? z ? ? ? v ? ?67第一节微积分在数理金融中的应用当t ? 0时, z z P ? 0? ? A ? ? A ? P ? 0? ? v v 于是 c ? g ? ? m ? h ? b ?t c ? g ? P ?t ? ? ? P ? 0? ? ? ?e h?b ? h ?b ? ? P ?t ? ? P ? 0? ? P e??? m ? h ? b ?t?P68第一节微积分在数理金融中的应用（二）运用可分离变量微分方程求投资函数例：若边际储蓄倾向s和边际资本―产出比率R都是常数，计 算可达到预期增长所需的投资函数。69第一节微积分在数理金融中的应用解：dY 1 dI ? ? dt s dt dQ 1 dK 1 ? ? I dt R dt R ? I ? Cest R? ? dI s ? 1 dI 1 ? ? ? ? I ? ? dt ? 0 I R ? s dt R ? ?当t ? 0时,C =I ? 0 ? ? I ?t ? ? I ?0? est R70第一节微积分在数理金融中的应用（三）运用差分方程制定滞后收入决定模型yt ? ? yt ?1 ? ?? ? ? t ? ? ? yt ? ? y0 ? ?? ? 1?? ? 1?? ? ? ? y ? y ? ?t 0 ? t? ?1 ? =171第一节微积分在数理金融中的应用例：给出 Y ? C ? I , C ? 200 ? 0.9Y , I ? 100, Y ? 4500 t t t t t ?1 t 0求解 Y。t72第一节微积分在数理金融中的应用解：Yt ? Ct ? I t ? 0.9Yt ?1 ? 300 ? Yt ? 1500 ? 0.9 ? 3000t计算Y1,Y0并检验。73第二节线性代数在数理金融中的应用（一）矩阵的运用 对于一个简单的二部门经济，当Y=C+I，商品市场是均衡的，当 货币供给（Ms）等于货币需求（Md）时，货币市场是均衡的，货币需 求由货币的预备交易需求（Mt）和特殊需求（Mz）组成。 例：一个二部门经济C ? 48 ? 0.8Y , I ? 98 ? 75i, M s ? 250, M t ? 0.3Y , M z ? 52 ? 150i求均衡收入 Y 和均衡利率i。74第二节线性代数在数理金融中的应用解：商品市场均衡? ? 0.2Y ? 75i ? 146 ? 0 ??? 货币市场均衡? ?0.3Y ? 150i ? 198 ? 0? 700 ? AX ? B ? X ? A B ? ? ? ? 0.08 ??175第二节线性代数在数理金融中的应用（二）证券组合收益率和风险的测度例：某投资组合由一个风险资产组合和一个无风险资产构成，风险资产组合中包括两个证券A、B，它们的预期收益率分别为10%2 2 和8%，证券A的方差为 ? A ，协方 ? 200，证券B的方差为 ?B ? 80差为? AB ? 50 ，两种证券权重均为0.5，无风险证券的预期收益 率为5%，在证券组合中的权重为0.25，试计算该投资组合的总预 期收益率和总风险。76第二节线性代数在数理金融中的应用解：? E ? R1 ? ? E ? Rr ? ? ??1 ?2 ? ? ? ? 9% ? E ? R2 ? ? ? R0 ? E ? R ? ? ? ?0 ? r ? ? ? ? 8% ? E ? Rr ? ? ? ? 11 ? 12 ? ? ?1 ? ? ? ??1 ?2 ? ? ? ? ? ? 95 ? ? 21 ? 22 ? ? ?2 ? ? 0 ? ?r? r ? 7.312 r77第二节线性代数在数理金融中的应用二、特殊行列式和矩阵的应用 （一）雅可比(Jacobi) J 行列式对m个n（m=n）元函数? ? y1 , y2 ,?, ym ? J ? ? ? x1 , x2 ,?, xm ? ? ? J ? 0 ? 函数相关 ? ? ? J ? 0 ? 函数不相关 78第二节线性代数在数理金融中的应用例：已知? y1 ? 5 x1 ? 3x2 ? 2 2 ? y2 ? 25 x1 ? 30 x1 x2 ? 9 x2利用雅可比行列式判断其函数相关性。79第二节 线性代数在数理金融中的应用设n 种产品的市场需求映射为Q ? D( P) ? ( D1 ( P), D2 ( P), ?, Dn ( P))其中P为价格向量 ( P1 , P2 , ?, Pn )Q 为需求向量 (Q1 , Q2 , ?, Qn )Qi ? Di ( P) ? Di ( P1 , P2 , ?, Pn ) 就是第i 种产品的需求函数(i ? 1,2, ? , n) 80第二节 线性代数在数理金融中的应用根据隐函数存在定理，只要对任何价格向量P雅可比(Jacobi)行列式 J ( P )都不为零，就能存在需求映射Q ? D ( P )的逆映射P ? D ?1 (Q) ? ? (Q) 雅可比行列式?Q1 ?P1 ?Q1 ?P2 ? ?Q1 ?Pn?(Q1 , Q2 , ? , Qn ) ?Q2 ?P1 J ( P) ? ? ? ? ( P1 , P2 , ? , Pn ) ?Qn ?P1?Q2 ?P2 ? ?Q2 ?Pn ? ? ? ?Qn ?P2 ? ?Qn ?Pn81第二节 线性代数在数理金融中的应用假定雅可比行列式J ( P ) 处处不为零，从而 Q ? D ( P ) 的逆映射P ? ? (Q) 存在。把P ? ? (Q) 写成(P 1, P 2 , ?, P n ) ? ??1 (Q), ? 2 (Q), ?, ? n (Q) ?则可把 Pi ? ? i (Q) 叫做第i种产品的反需求函数(i ? 1,2, ? , n)设第 i 种产品的成本函数 Ci ? Ci (Qi )，则厂商的总成本函数为TC ? C(Q) ? ?in?1 Ci (Qi ) 。第 i 种产品的收益函数为TRi ? ? i (Q)Qi ，厂商的总收益为 TR ? ?n ? (Q)Q ? ? (Q)Q i i ?1 i 82第二节 线性代数在数理金融中的应用垄断厂商的利润函数为? ? TR ? TC ? ? (Q)Q ? C(Q) ? ?厂商要决定一个产出向量n i ?1??i (Q)Qi ? Ci (Qi )?( j ? 1, 2,?, n)Q，使利润最大化，根据一阶条件i? jn n ?TRi ??i (Q) ?? ? ? 0? ?? ? C j (Q j ) ? ? j (Q) ? C j (Q j ) ? ? Qi ? Q j i ?1 ? Q j ? Qj i ?1即每种产品的边际成本都等于这种产品的各种边际收益之和?? ? TR ? Q ? C i j j (Q j ) ( j ? 1, 2,? , n) i ?183nMR ? MC第二节线性代数在数理金融中的应用（二）海塞行列式 Hy ? f ? x1 , x2 ,?, xn ? y11 y21 H ? ? yn1y12 ? y1n y22 ? y2 n ? ? ? yn 2 ? ynn84第二节 线性代数在数理金融中的应用如果|H|的所有主子式为正，则|H|为正定的， 满足极小值的二阶条件； 如果|H|的所有主子式的符号在负与正之间交替出现， 则|H|为负定的，满足极大值的二阶条件；85第二节线性代数在数理金融中的应用例：已知需求函数和总成本函数为：Q1 ? 100 ? 3P 1 ? 2P 2 Q2 ? 75 ? 0.5P 1?P 2 TC ? Q12 ? 2Q1Q2 ? Q22试求：（1） P ? f (Q)； （2）检验利润函数的一阶条件； （3）利用海塞行列式检验二阶条件，使利润最大化。86第二节线性代数在数理金融中的应用解：250 ? 2Q2 ? Q1 ? P ? ? ? 1 2 ? ? P ? 550 ? 6Q2 ? Q1 2 ? ? 4 2 2 ? ? TR ? TC ? PQ ? P Q ? Q ? 2 Q Q ? Q 1 1 2 2 1 1 2 2 250 ? 2Q2 ? Q1 550 ? 6Q2 ? Q1 2 ? Q1 ? Q2 ? Q12 ? 2Q1Q2 ? Q2 2 487第二节 线性代数在数理金融中的应用13 ? ?? ? ?Q ? 125 ? 4 Q2 ? 3Q1 ? Q1 ? 159 ? 1 ?0?? ? ?Q2 ? 184 ? ?? ? 275 ? 13 Q ? 5Q 1 2 ? 2 4 ? ?Q2 H ? ? 2? ?Q12 ?? ?Q2 ?Q12? 2? ?Q1?Q2 ?? 2 ?Q22?3 ? 13 ? 413 ? 4 ?588第三节随机过程在数理金融中的应用一、随机过程的含义1. 如果对变化过程的全过程做一次观察,得到一个位置与时间关系的函数x1(t ),若再次观察，又得到函数x2(t ),… ,因而得到一族函数. 2. 如果在时刻t观察质点的位置x(t ),则x(t )是一个随机变量,这样 对于每个时刻t便得到一个随机变量X(t ),于是就得到一族随 机变量{X(t),t≥0}（最初始时刻为t=0）,它描述了此随机的运动过程. 89第三节随机过程在数理金融中的应用定义1 设E是一随机实验,样本空间为Ω={?}，参数T?(-?,+?),如果对每个??? ,总有一个确定的时间函数 X(?,t)与之对应,这样对于所有的??? ,就得到一族时间t的 函数, 称此族时间t的函数为随机过程,而族中每一个函数 称为这个随机过程的样本函数。90第三节 随机过程在数理金融中的应用定义2：设E是一随机实验，样本空间为Ω={?}，参数 T?(-?,+?),如果对任意t ?T ，有一定义在Ω上的随机变量X(?,t)与之对应,则称{X(?,t),t ?T}为随机过程，简记为?X(t),t ?T ?或?X(t)?,也可记为X(t).91第三节 随机过程在数理金融中的应用注释： (1) 随机过程?X(t),t ?T?是定义在Ω×T上的二元函数，可以从两个角度 去理解, 因而有如上的两个定义。 在理论分析往往用随机变量族的描述方式，在实际测量和处理 中往往采用样本函数族的描述方式。(2)通常将随机过程?X(t),t ?T ?解释为一个物理系统， X(t) 表示系统在时 刻t所处的状态, X(t)的所有可能状态所构成的集合称为状态空间，记 为I，对于给定的t0 ?T，及x ?I, X(t0)=x 说成是在时刻 t0，系统处于 状态 x。(3)从定义2的角度上看，随机过程是有限维随机变量的推广。92第三节随机过程在数理金融中的应用随机变量：设E是随机试验，它的样本空间是Ω ＝｛ω｝,如果 对其中的每一个ω i，总有一个实数X(ω i)与之对应，这样 就得到一个定义在S上的单值实值函数X=X(ω)，称之为随 机变量。 随机变量X是定义在样本空间上的取值为实数的函数， 即样本空间中每一个点，也就是每个基本事件都有实数轴 上的点与之对应。93第三节随机过程在数理金融中的应用利用抛掷一枚硬币的试验定义?cos(?t ) X (t ) ? X (e, t ) ? ? ?t此时，样本空间 相应的样本函数e?H e ?Tt ? (??, ??)? ? ?H , T??cos(?t), t?且:P? X (t ) ? cos(?t )? ? P? X (t ) ? t? ? 1 2 94第三节20 10 0 -10 -20随机过程在数理金融中的应用01234567891010 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1095第三节1随机过程在数理金融中的应用0.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-11234567891096第三节随机过程在数理金融中的应用二、随机过程的分类1．按状态空间I和时间T是可列集还是连续集分类： (1). 连续型随机过程:T是连续集,且?t?T,X(t)是连续型随机变量, 则称过程{X(t),t?T}为连续型随机过程.(2).离散型随机过程:T是连续集，且?t?T,X(t)是离散型随机变量，则称过程{X(t),t?T}为离散型随机过程。97第三节随机过程在数理金融中的应用(3).连续型随机序列: T是可列集,且?t?T, X(t)是连续型随机变量，则称过程{X(t),t?T}为连续型随机序列. (4).离散型随机序列:T是可列集, 且?t?T, X(t)为离散型随机变量, 则称过程{X(t),t?T}为离散型随机序列。 通常T取为T ={0,1,2…}或T ={0, ± 1，±2…},此时随机序 列常记成{Xn,n=0,1,…}或 {Xn,n?0}。98第三节随机过程在数理金融中的应用2．按分布特性分类： 依照过程在不同时刻状态的统计依赖关系分类。 ⑴独立增量过程⑵马尔可夫过程⑶平稳过程等等 99第三节 随机过程在数理金融中的应用三、随机过程的概率分布1．n维分布函数：设{X(t),t?T}是随机过程，对于任意整数n≥1及T中任意n个不同的参数t1,t2，…，tn，称随机向量（X(t1),X(t2),…,X(tn)）的分布函数F{x1, x2 , ?, t1, t2 , ?, tn } ? P{X (t1 ) ? x1, X (t2 ) ? x2 ,?, X (tn ) ? xn}为随机过程{X(t),t?T}的n维分布函数. 100第三节随机过程在数理金融中的应用变化n及t1,t2，…，tn所得到的有限维分布函数的全体F ? ?F{x1, x2 , ?, t1, t2 , ?, tn }, t1, t2 , ?, tn ?T , t ?T , n ? 1?称为{X(t),t?T}的有限维分布函数族。当n=1时,得到一维分布函数F(x;t)=P{X(t)≤x}, 一维分布 函数的全体 {F(x;t), t∈T}称为一维分布函数族.101第三节 随机过程在数理金融中的应用2．随机过程的数字特征① ? X (t ) ? E[ X (t )], t ? T 为{X(t),t?T}的均值函数.2 2 ② ? X (t ) ? E[ X (t )] 为{X(t),t?T}的均方值函数. 2 ③ ? X (t ) ? DX (t ) ? D[ X (t )] 为{X(t),t?T}的方差函数.④ C X ( s, t ) ? Cov( X ( s), X (t )) ? E?[ X ( s) ? ? X ( s)][X (t ) ? ? X (t )]? 为{X(t),t?T}的协方差函数. ⑤ Rx(s,t)=E[X(s)X(t)]为{X(t),t?T}的自相关函数， 简称相关函数 102第三节随机过程在数理金融中的应用释义： 均值函数表示{X(t),t∈T}在各时刻摆动的中心；方差函数表示{X(t),t∈T}在各时刻关于均值函数的平均偏离程度；Rx(s,t)，Cx(s,t) 表示{X(t),t∈T}在两个不同时刻状态的统计依赖关系。103第三节25随机过程在数理金融中的应用20151050-5-10012345678910104第三节 随机过程在数理金融中的应用100-10 50123456789100-5 30 20 10 0012345678910012345678910105第三节 随机过程在数理金融中的应用3.诸数字特征的关系2 ?X (t ) ? RX (t , t );C X ( s, t ) ? RX (s , t ) ? ? X (s ) ? ? X (t )2 2 2 ?X (t ) ? C X (t , t ) ? ? X (t ) ? ? X (t )其中，最重要的数字特征是均值函数与自相关函数。 106第三节随机过程在数理金融中的应用例: 设随机过程 X(t)=Ycosωt+Zsinωt,t≥0,其中Y,Z是相互独立的随机变量，且E(Y)=E(Z)=0,D(Y)=D(Z)=? 2，求{X(t),t≥0}均值函数 ?x(t)和自相关函数Rx(s,t)。107第三节 随机过程在数理金融中的应用 解:?x(t)=E[X(t)]=E[Ycosωt+Zsinωt]=cosωt?E(Y)+sinωt ?E(Z)=0, 因为Y与Z相互独立,于是RX ( s, t ) ? E[ X ( s) X (t )] ? E? [Y cos? s ? Z sin ? s][Y cos? t ? Z sin ? t ]?? cos? s ? cos? t ? E(Y 2 ) ? sin? s ? sin? t ? E( Z 2 )? ? 2 cos? (t ? s) 108第三节 随机过程在数理金融中的应用例2: 考虑随机过程 X(t)=acos(ωt+Θ),t?(-∞,+∞)其中a和ω是常数，Θ是在（0，2π）上服从均匀分布的随机变量，通常称此随机过程为随机相位正弦波，求随机 相位正弦波的均值函数、方差函数和自相关函数.109第三节 随机过程在数理金融中的应用 解:Θ的概率密度为? 1 ? f (? ) ? ? 2? ? ?0? ? (0,2? ) ? ? (0,2? )于是 ? X (t ) ? E[ X (t )] ? E[a cos(? t ? ?)]2?1 ? ? a cos(? t ? ? ) ? d? ? 0 0 2? 2 RX ( s, t ) ? E[ X ( s) X (t )] ? E [a cos( ? s ? ? ) cos( ? t ? ? )] 2? 1 2 ? a ? cos ?? s ? ? ? ? cos ?? t ? ? ? ? d? 0 2???a2 ? (t ) ? RX (t , t ) ? ? (t ) ? . 22 X 2 Xa2 ? cos? ?t ? s ? 2110第三节随机过程在数理金融中的应用例3: 设随机过程X(t)=Y+Zt, t?T=(-∞,+∞),其中Y，Z是相互独立的服从N(0,1)的随机变量，求{X(t),-∞&t&+∞}的一， 二维概率密度。注：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布111第三节 随机过程在数理金融中的应用 解: ?t?T，由正态分布的性质知X(t)服从正态分布: E[X(t)]=E(Y)+tE(Z)=0 D[X(t)]=D(Y)+t 2 =1+t 2所以一维概率密度为f ( x, t ) ?1 2? (1 ? t 2 )e?x2 2 (1? t 2 )112第三节随机过程在数理金融中的应用又由正态分布的性质知，对于任意 s,t∈T，(X(s),X(t))服从二维正态分布而E[X(s)]= E[X(t)]=0 D[X(s)]=1+s2 D[X(t)]=1+t2C X ( s, t ) ? RX ( s, t ) ? E[?Y ? Zs??Y ? Zt ?] ? 1 ? s t? ? X ? s, t ? ?1? s t2 2 1 ? s 1 ? t ? ?? ?113第三节随机过程在数理金融中的应用所以二维概率密度为f ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) ? 12 2? (1 ? t12 ) ? (1 ? t2 ) 1? ? 2 2 ?? ? ?1 ? x 2 x x x 1 1 2 2 ? ?? exp ? ? 2? ? 2 2 2 2 2 ? 2(1 ? ? ) ?1 ? t1 ? (1 ? t1 )(1 ? t2 ) 1 ? t2 ? ? ?? ?其中?=?X(t1, t2).114第三节 随机过程在数理金融中的应用四、二维随机过程 1．定义： X(t)、Y(t)为定义在同一样本空间Ω和同一参 数集T上的随机过程，对于任意t?T， (X(t),Y(t))是二 维随机变量，则称{(X(t),Y(t)),t?T}为二维随机过程。115第三节随机过程在数理金融中的应用2．有限维分布函数和独立性(1) {(X(t),Y(t)),t?T}为二维随机过程,对于任意的正整数n和m， 以及任意的t1,t2,…,tn；t?1, t?2,…,t?m?T ，任意的x1,x2,…,xn； y1,y2,…,ym ?R,称n+m元函数F(x1,x2,…,xn；y1,y2,…,ym；t1,t2,…,tn；t?1,t?2,…,t?m) =P{X(t1)?x1,…, X(tn) ?xn；Y(t?1) ?y1,…,Y(t?m) ?ym} 为{(X(t),Y(t)),t?T}的n+m维分布函数，类似的可定义有限维分布函数族。 116第三节 随机过程在数理金融中的应用（2）若对于任意的正整数n和m，以及任意的t1,t2,…,tn；t?1, t?2,…,t?m?T，任意的x1,x2,…,xn；y1,y2,…,ym ?R,有 F(x1,x2,…,xn；y1,y2,…,ym；t1,t2,…,tn；t?1,t?2,…,t?m) =FX{X(t1)?x1,…, X(tn) ?xn} FY{Y(t?1) ?y1,…,Y(t?m) ?ym}称{X(t)}与{Y(t)}相互独立，其中FX，FY分别为{X(t)}， {Y(t)}的有限维分布函数. 117第三节随机过程在数理金融中的应用3．二维随机过程的数字特征 (1) 互相关函数: 称 RXY(s,t)=E[X(s)Y(t)] 为{(X(t),Y(t)),t?T}的互相关函数. 若对于任意的s,t∈T, RXY(s,t)=0,称{X(t)}与{Y(t)}正交.118第三节 随机过程在数理金融中的应用(2)互协方差函数：称 CXY (s, t ) ? E ?[ X (s) ? ?X (s)][Y (t ) ? ?Y (t )]? 为{(X(t),Y(t)),t?T}的互协方差函数. 显然C XY ( s, t ) ? RXY ( s, t ) ? ? X(t )?Y (t )若对于任意的s,t∈T,有CXY(s,t)=0, 称{X(t)},{Y(t)}不相关. 若{X(t)},{Y(t)}相互独立，且二阶矩存在，则{X(t)},{Y(t)}不相关.119第三节随机过程在数理金融中的应用例: 设有两个随机过程X(t)=g1(t+? )和Y(t)=g2(t +? )，其中 g1(t )和g2(t )都是周期为L的周期函数,? 是在(0,L)上服从 均匀分布的随机变量.求互相关函数RXY(s，t)的表达式.120第三节解:随机过程在数理金融中的应用RXY (s, t ) ? E[ X (s)Y (t )] ? E[ g1 (s ? ? ) g2 (t ? ? )]??L 01 g 1 ( s ? x )g 2 ( t ? x ) dx L令v=s+x , 利用g1(t )和g2(t )的周期性，有1 S ?L RXY ( s, t ) ? ? g1 (v)g 2 (t ? s ? v)dv L S1 L ? ? g1 (v )g 2 ( t ? s ? v )dv L 0 121第三节 随机过程在数理金融中的应用例: 设X(t)为信号过程,Y(t)为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，则(1) W(t)的均值函数为 ?W(t)= ?X(t)+ ?Y(t).(2) 其自相关函数为 RW(s,t)=E{[X(s)+Y(s)][X(t)+Y(t)]} =RX(s,t)+RXY(s,t)+RYX(s,t)+RY(s,t) 两个随机过程之和的自相关函数为各个随机过程的相关函数与它们 的互相关函数之和。若两个随机过程的均值函数均恒为零，且互不相关时，有RW(s,t)= RX(s,t)+RY(s,t)122第三节随机过程在数理金融中的应用五、各态历经性如果能对过程{X(t)}进行多次重复观察从而得到多条样本曲 线，用统计方法可以估计其均值及自相关函数1 N 1 N ? x ? ? x k (t ) R x ( s, t ) ? ? x k ( s ) x k ( t ) N k ?1 N k ?1 在实际中,常用如下的方法确定μx及Rx(?)：?X ?1 2T?T ?Tx( t )dt , R X (? ) ?1 2T?T ?Tx( t ) x( t ? ? )dt123第三节 随机过程在数理金融中的应用其中T充分大，X(t)是{X(t)}的一个样本函数。 即：集平均（均值和自相关函数等）实际上可以用一个 样本函数在整个时间轴上的平均值代替。这样节约了大 量的工作量。 由于所采用的极限(收敛)的标准不同得到的遍历性 定理也不同，关于平稳过程的遍历性主要有两类：(1)对强平稳过程在几乎处处收敛的意义下的遍历性定理；(2)对弱平稳过程在均方收敛的意义下的遍历性定理； 124第三节 随机过程在数理金融中的应用平稳过程遍历性的定义：首先引入平稳过程{X(t)，-?&t&+?}沿整个时间轴上的两种 时间平均：设{X(t)}为均方连续的平稳过程，且对固定的?， {X(t)X(t+?)} 也是均方连续的平稳过程时间均值：时间相关函数：1 ? X (t ) ? ? lim T ??? 2T?T ?TX (t )dt1 ? X (t ) X (t ? ? ) ? ? lim T ??? 2T?T ?TX (t ) X (t ? ? )dt125第三节 随机过程在数理金融中的应用1．定义(1). 设{X(t)}为平稳过程，若&X(t)&=E[X(t)]=μx以概率1成立， 称{X(t)}的均值具有均方遍历性。 (2)．若对??，&X(t)X(t+?)&=E[X(t)X(t+?)]=Rx(?)以概率1成立， 称{X(t)}的自相关函数具有均方遍历性。(3)．若(1)、(2)均成立，则称该过程具有均方遍历性，或称为遍历过程。126第三节随机过程在数理金融中的应用均方收敛的定义：设有二阶矩随机序列｛Xn,n=1,2,…｝和 随机变量X,E(X2)&+?,若有limE[? X n ? X ? ] ? 02? m X n ? X 或 lim X n ? X 则称｛Xn｝均方收敛于X,记作 l ?ni n?? ??n ??均方极限的性质若 lim X n ? X , lim Yn ? Y 则n?? n??(1) lim E ( X n ) ? E ( X )n??( 2) limE ( X n ) ? E ( X 2 )n ??2( 3) lim E ( X nYm ) ? E ( XY )n?? m ??127第三节 随机过程在数理金融中的应用均方连续设{X(t),t?T}是随机过程,若对某t0?T,有lim E [ X ( t 0 ? h) ? X ( t 0 )] 2 ? 0h? 0??称{X(t),t?T}在t0均方连续，若对任意t?T，{X(t),t?T}均方连续，称{X(t),t?T}在T上均方连续。记为l ? i ? m X ( t 0 ? h) ? X ( t 0 ) 或 lim X ( t 0 ? h) ? X ( t 0 )h? 0 h? 0128第三节随机过程在数理金融中的应用例：计算随机相位正弦波 X(t)=acos(?t+?)=a[cos?tcos?-sin?tsin?]的时间平均 &X(t)&和&X(t)X(t+?)&.解：此过程为平稳过程1 ? X ( t ) ?? lim T ? ? ? 2T? lim? X (t ) X (t ? ? ) ?? lima cos ? sin ?T ?0 T ??? ?T 1 T?T?Ta cos( ?t ? ? )dt2 即：用时间平均和集平均算得的均值和自相关函数相同。 但并不是任意一个平稳过程都是具有遍历性的。 129??T 2 T a2 ? cos? ?T ???a 2 cos(?t ? ? ) cos[? (t ? ? ) ? ? ]dt第三节随机过程在数理金融中的应用例如：平稳过程X(t)=Y，Y是方差异于0的随机变量，就不是遍历的。1 T lim Ydt =Y. 事实上， &X(t)& = &Y& = T ? ? 2T ? ?T 即：时间均值随Y取不同的可能值而不同。因Y的方差异于0，这样&X(t)&就不可能以概率1等于确 定函数E[X(t)]=E[Y]。130第三节随机过程在数理金融中的应用平稳过程遍历性的充要条件 (均值遍历性定理) ：均方连续的平稳过程X(t)关于均值具有遍历性?1 lim T ? ?? T?2T0(1 ??2T)[ R X (? ) ? ? X ]d? ? 02131第三节 随机过程在数理金融中的应用证明：由遍历性定义，只须证：? ?? 1 lim E ? ? T ?? ? ? ? 2T? ?? 1 E ?? ? ? ? 2TT? X ( t ) dt ? ? X ? ??T ?T22? ? ? ? 0 与上式等价（方差为零）。 ? ?? X ( t ) dt ? ? X ? ??T ?? ? ? ? ?T? 1 展 开E ? 2 ? 4T?T?TX ( s )ds? X ( t )dt ??T?XT?T?TX ( t )dt ? ? X2? ? ?1 平稳过程性质 2 4T? ??TTT?TRX (t ? s )dtds ??XT?T?T? X dt ? ? X 2132第三节 随机过程在数理金融中的应用?? 1 ? s ? t 其中，令 ? ，则 ?? 2 ? ? s ? t? ( s, t ) 1 ? ? (? 1 ,? 2 ) 2t2 (T,T)τ2Gt1τ1133第三节 随机过程在数理金融中的应用1 ??T ??T RX (t ? s)dsdt ? ??D RX (t ? s) 2 d?1d? 2 1 R X (? 2 )关于? 2 是偶函数4?? R X (? 2 ) d? 1 d? 2T TG2? 2? d? 2 ?02T2T ?? 20R X (? 2 )d? 1? 2? (2T ? ? 2 ) R X (? 2 )d? 202T1 所以， 2 4T? 2? (2T ? ? ) RX (? )d?0T T2T??T ??T RX (t ? s )dtds ? T ??T ? X dt ? ? X 1 2T ? 2 ? ? (1 ? )[ R X (? ) ? ? X ]d? 0 T 2T?XT2134第三节随机过程在数理金融中的应用推论1. 均方连续的平稳过程关于均值具有遍历性?1 lim T ?? T?2T0(1 ??2T) R X (? )d? ? ? X2推论2. 均方连续的平稳过程{X(t)}，若满足?????| R X (? ) | d? ? ??，则它关于平均值具有均方遍历性??X=0。 证：因为1 2T ? 1 | ? (1 ? ) RX (? ) d? |? T 0 2T T?2T0| RX (? ) |d? ??? ?0 T ??135第三节随机过程在数理金融中的应用2．(自相关函数遍历性定理) 均方连续的平稳过程{X(t)}，且对给 定?,{X(t)X(t+?)}也是均方连续的平稳过程，则{X(t)}关于自相 关函数具有遍历性?1 lim T ? ?? T?2T0(1 ??12T)[B(? 1 ) ? R X (? )]d? 1 ? 02其中B(? 1 ) ? E[ X (t ) X (t ? ? ) X (t ? ? 1 ) X (t ? ? ? ? 1 )]令?=0，即得均方值遍历性定理。 在实际问题中，通常只考虑定义在0≤t&+∞上的平稳过 程，此时上两定理所有时间平均应以0≤t&+∞上的平均代 替，相应的各态历经性如下： 136第三节随机过程在数理金融中的应用1.{X(t)}关于均值具有遍历性?1 l ? lim ? (1 ? )[ RX (? ) ? ? X 2 ]d? ? 0 l ??? l 0 l2.{X(t)}关于自相关函数具有遍历性??1 1 l 2 lim ? (1 ? )[B(? 1 ) ? R X (? )]d? 1 ? 0 l ? ?? l 0 l 137第三节随机过程在数理金融中的应用说明：各态历经性定理的重要价值在于它从理论上给出了如下保证： 一个平稳过程X(t)，只要满足上述两条件，便可以根据“以概率1成 立”的含义，从一次试验所得到的样本函数x(t)来确定该过程的均值和 自相关函数。即：?X1 ? lim T ?? ? T?T0x ( t )dt1 R X (? ) ? lim T ?? ? T?T0x ( t ) x( t ? ? )dt138第三节随机过程在数理金融中的应用六、几类随机过程（一）平稳过程严平稳随机过程弱平稳随机过程139第三节 随机过程在数理金融中的应用 严平稳随机过程1．定义：设{X(t),t?T}是随机过程,如果对于任意的常数h和任意正整数n,及任意的n维随机向量(X(t1),X(t2),…,X(tn))和 (X(t1+h),X(t2+h),…,X(tn+h))具有相同的分布,则称随机过程{X(t),t?T}具有平稳性,并同时称此过程为严平稳过程。平稳过程的参数集T,一般为(- ?,+?),?0,+??, {0,?1,?2,…},{0,1,2,…},以 下如无特殊说明，均认为参数集 T=(-?,+?).当定义在离散参数集上时,也称过程为严平稳时间序列。140第三节 随机过程在数理金融中的应用例：设{Xn,n?1}是独立同分布的随机变量序列,且 Xn?U(0,1),n=1,2,…, 讨论{Xn,n?1}是否为严平稳时间序列 并求E(Xn)与E(Xn Xm),n、m=1,2,….141第三节随机过程在数理金融中的应用解：设U(0,1)的分布函数为F(x),则对任意的正整数k,任意0&n1 &n2& …& nk ,?Xn1, X n2 ,?, X nk?及k?Xn1 ? h, X n2 ? h ,?, X nk ? h?的分布函数均为F ( x1 , x 2 , ?, x k ) ? ? F ( x j )j ?1可见，满足定义条件，故{Xn,n?0}是严平稳时间序列。 因为Xn?U(0,1)，且相互独立，所以 E(Xn)=1/2，?1 1 n?m ? n ? m ? 12 ? 4 ? E( X n ) E( X n X m ) ? ? ?? 1 ? ?E( X n )E( X m ) n ? m ? n?m ?42142第三节随机过程在数理金融中的应用2．严平稳过程的数字特征 定理 如果{X(t),t?T}是严平稳过程，且对任意的t?T， E[X2(t)]&+?（二阶矩过程）,则有 (1)E[X(t)]=常数，t?T；(2)E[X(s)X(t)]只依赖于t-s,而与s,t?T的具体取值无关。143第三节随机过程在数理金融中的应用证：(1)由Cauchy-Schwarze不等式 {E[X(t)]}2?E[X2(t)]&+?, 所以E[X(t)]存在。在严平稳过程的定义中，令h=-s,由定义X(s)与 X(0)同分布，所以E[X(t)]= E[X(0)]为常数。一般记为 ?X .144第三节 随机过程在数理金融中的应用(2) 由Cauchy-Schwarze不等式 { E[X(s)X(t)]}2? E[X2(s)]E[X2(t)]&+?,所以E[X(s)X(t)]存在。在严平稳过程的定义中，令h=-s, 由定义(X(s),X(t))与(X(0),X(t-s)) 同分布，即有E[X(s)X(t)]= E[X(0)X(t-s)] ,即Rx(t,t+?)=E[X(0)X(?)]=Rx (?)所以，Rx (s,t)只依赖于t-s,而与s,t?T的具体取值无关。进而，Cx(?)=E{[X(t)-?x][X(t+?)-?x]}=Rx (?)-?x2只与?有关； ?x2=Cx (0)=Rx (0)-?x2 为常数.145第三节 随机过程在数理金融中的应用(弱)平稳过程1． 定义设{X(t),t?T}是二阶矩过程(E[X2(t)]&+?),如果 (1) E[X(t)]=?x(常数)，t?T；(2) 对任意的t,t+??T, Rx(?)=E[X(t)X(t+?)]只依赖于?。则称{X(t),t?T}为宽平稳过程,简称为平稳过程.146第三节 随机过程在数理金融中的应用特别地，当T为离散参数集时，若随机序列{Xn(t)}满足E(Xn2)&+?,以及(1) E[Xn]=? X(常数)，n?T； (2) R X(m)=E[XnXn+m]只与m有关。 称{Xn}为宽平稳随机序列或宽平稳时间序列。147第三节 随机过程在数理金融中的应用2．严平稳和宽平稳的关系(1)．严平稳过程不一定是宽平稳过程,因为严平稳的过程不一定是二阶矩过程,但当严平稳过程是二阶矩过程时,则它一定是宽平稳过 程。 (2)．宽平稳过程不一定是严平稳过程,但对于正态过程,两者是等价 的。148第三节随机过程在数理金融中的应用证明：“?” 因正态过程是二阶矩过程，由严平稳过程性质， 显然成立。 “?”由已知：μX(t)=μX，Rx(t,t+?)只与?有关。 由严平稳过程定义，对任意的正整数n及任意t1,t2,…,tn?T, t1+h,t2+h,…,tn+h?T,要证：（X(t1),X(t2),…, X(tn)）与 （X(t1+h),X(t2+h),…, X(tn+h)）同分布（*）。 而正态过程的分布由μX及CX(s,t)决定，μX为常数。C X ( t i ? h, t j ? h) ? R X ( t i ? h, t j ? h) ? ? X ( t i )? X ( t j )2 ? RX (t i , t j ) ? ? X ? C X ( t i , t j ) 即(*)式成立。RX (t i , t j ) ? RX (t i ? h, t j ? h)149第三节 随机过程在数理金融中的应用（二）独立增量过程1．定义设{X(t),t?0}为一随机过程,对于0?s&t,称随机变量X(t)-X(s)为随机 过程在区间[s,t]上的增量. 若对于任意的正整数n及任意的0?t0&t1&t2&…&tn,n个增量X(t1)-X(t0)，X(t2)-X(t1)，…，X(tn)-X(tn-1)相互独立，称{X(t),t?0}为独立增量过程。150第三节随机过程在数理金融中的应用若对于任意的实数s, t 和0?s+h＜t+h, X(t+h)－X(s+h)与X(t)－X(s)具有相同的分布,则称增量具有平稳性,并称相应的独立增量过程为齐次的或时齐的。151第三节随机过程在数理金融中的应用2．独立增量过程的性质 (1)独立增量过程{X(t),t? 0}在X(0)=0的条件下,{X(t)}的有限 维分布函数可以由增量X(t)-X(s)， 0?s＜t的分布确定.152第三节 随机过程在数理金融中的应用证：令Yk= X(tk )- X(tk-1 ), k=1,2, …,n. t0=0. 由条件，增量的分布已知，且具有独立增量，则 Y1,Y2, …,Yn的联合分布即可确定， 而 X(t1)=Y1， X(t2) =Y1+ Y2， …… X(tn) =Y1+ Y2 + ……+ Yn，即X(tk) 是Y1 ，…Yn的线性函数，Y1,Y2, …,Yn的联合分布确定了{X(t)}的有限维分布函数。 153第三节 随机过程在数理金融中的应用(2)独立增量过程{X(t),t ?0}在X(0)=0的条件下,{X(t)}的协方差函数为 C X ( s, t ) ? DX (min(s, t )).154第三节 随机过程在数理金融中的应用证明: 记Y(t )=X(t)-?X(t),当X(t)具有独立增量时， Y(t )也具有独立增量；且Y(0)=0,E[Y(t )]=0, DY(t)= E[Y2(t )].所以，当0?s＜t 时，有155第三节 随机过程在数理金融中的应用C X ( s, t ) ? E[Y ( s)Y (t )] ? E? [Y ( s) ? Y (0)][(Y (t ) ? Y ( s)) ? Y ( s)]?? E[Y ( s) ? Y (0)]E[Y (t ) ? Y ( s)] ? E[Y 2 ( s)]? DX ( s)同理，当0?t＜s时，有 C X ( s, t ) ? DX (t ) 于是可知对于任意的s,tR0,协方差函数可表示为： C X ( s, t ) ? DX (min( s, t )). 156第三节随机过程在数理金融中的应用(三) 维纳过程1．维纳过程的定义给定二阶矩过程{W(t),t≥0}，如果它满足(1)具有平稳的独立增量；(2)对任意的t&s≥0，W(t)-W(s)服从正态分布N(0,?2(t-s))； (3)W(0)=0. 则称此过程为维纳过程，下图展示了它的一条样本曲线。157ω(t)0t第三节随机过程在数理金融中的应用2．维纳过程的性质(1). 维纳过程{ W(t)，t≥0}为正态过程(每一个有限维分布均 为正态分布)。159第三节 随机过程在数理金融中的应用证明: 对于任意正整数n和任意时刻t1,t2,…,tn(0≤t1&t2&…&tn) 以及任意实数u1，u2，…，un，记 ak ? ? ui , k ? 1,2,?, n 则n? u w?t ?k ?1 k kni ?k? a1 w?t 1 ? ? a 2 w?t 1 ? ? a 2 w?t 2 ? ? a 3 w?t 2 ? ? ? ? a n?1 w?t n?1 ? ? a n w?t n?1 ? ? a n w?t n ?? a1 w?t 1 ? ? ? a k [w?t k ? ? w?t k ?1 ?]它是独立正态随机变量之和，所以它是正态随机变量， 由正态分布的性质知(W(t1)，W(t2)，…，W(tn))服从n维正态 分布，因此W(t)为正态过程。 160k ?2n第三节 随机过程在数理金融中的应用(2). 维纳过程的均值函数、自协方差函数、自相关函数分别为?W (t ) ? 0 ;RW ( s, t ) ? CW ( s, t ) ? ? min( s, t )2161第三节 随机过程在数理金融中的应用（四）马尔科夫过程直观上，过程（或系统）在时刻t0所处的状态为已知的条件下,过程在时刻t＞t0所处状态的条件分布与过程在时刻t0之前 所处的状态无关。 用分布函数表达此性质，设随机过程{X(t),t?T}，状态空 间为?，若对于t 的任意n个值t1&t2&…&tn,n?3, 有P?X (tn ) ? xn X (t1 ) ? x1 , X (t2 ) ? x2 ,?, X (tn?1 ) ? xn?1?? P?X (t n ) ? x n | X (t n?1 ) ? x n?1 ?,xn ? R162第三节 随机过程在数理金融中的应用或 Ft n |t1t 2 ?t n ?1 ( x n , t n | x1 , x 2 ,? , x n?1 ; t 1 , t 2 , ? , t n?1 ) ? Ft n |t n ?1 ( x n , t n | x n?1 ; t n?1 )即在 X (ti ) ? xi , i ? 1, 2,?, n ? 1条件下，X (tn )的条件分 布函数等于在条件 X (tn ?1 ) ? xn ?1下X (tn )的条件分布函数。则称过程{X(t),t?T}具有马尔可夫性，或称{X(t),t?T}为马尔 可夫过程。163第三节 随机过程在数理金融中的应用状态和时间参数都是离散的马尔可夫过程称为马 尔可夫链，或马氏链。 记为｛Xn=X(n),n=0,1，2，…｝,记链的状态空 间为?＝?a1，a2，…?，ai?R .在链的情况，马尔可夫性通常用分布率表示。164第三节 随机过程在数理金融中的应用1.马氏链的定义 定义1 若对于任意的正整数n，r和任意的 0 ? t 1 ? t 2 ? ? ? t r ? m, t i , m, m ? n ? T ? ?0,1,2,?, n?, 有? P ?X n? m ? a j | X m ? a i ?P X n? m ? a j X t1 ? a i1 , X t 2 ? a i2 ,?, X t r ? a ir , X m ? a i其中a.??, 称｛Xn,n=0,1，2，…｝为马氏链。??Pij (m, m ? n)? P?X n?m ? a j | X m ? ai ?称为马氏链在时刻m系统处于状态ai的条件下，在时刻 m+n转移到状态aj的转移概率。 165第三节 随机过程在数理金融中的应用定义2设{Xn,n?0},其状态空间为?,若对于任意的正整数n和任意的 ai0 , ai1 ,?, ain , ain?1 ? ?,有 P X n ?1 ? a i n ? 1 X 0 ? a i0 , X 1 ? a i 2 , ? , X n ? a i n ? P X n ?1 ? a i n ? 1 | X n ? a i n????则称｛Xn,n?0｝为马氏链。166第三节 随机过程在数理金融中的应用例.记第m次从数1,2, …,N中任取一数为Ym，当n?1时，记从数 1,2, …,Yn-1中任取一数为Xn,证明｛Xn,n=0，1，2,…｝是一 个马氏链。167第三节 随机过程在数理金融中的应用证：｛Xn,n=0，1，2,…｝的状态空间?={i,1?i?N},对任意的n及 i0 , i1 ,?, in , in?1 ? ? ,P ? X n ?1 ? in ?1 X 1 ? i1 , X 2 ? i2 ,? , X n ? in ?? 0 in ?1 ? in ? ? ?1 ? P ? X n ?1 ? in ?1 | X n ? in ? ? i in ?1 ? in ?n可见,｛Xn,n=0，1，2,…｝是一个马氏链。 168第三节 随机过程在数理金融中的应用2．转移概率的性质(1) Pij?0；?(2)? P (m, m ? n) ? 1,j ?1 ij? ?i ? 1,2,?事实上，因为链在m时刻从状态ai出发，到m+n时刻 必然转移到a1，a2，?状态中的一个，从而? P (m, m ? n) ? ? P?Xj ?1 ij j ?1m?n? a j | X m ? ai ?? ? ? ? ? P ? ? X m ? n ? a j | X m ? a i ? ? 1. ? j ?169第三节 随机过程在数理金融中的应用（五）过程设 ? X n , n ? 1, 2,?? iid , 且非负, 分布函数为F ( x), 设F (0) ? P ? X n ? 0? ? 1, 记? ? E ? X n ? ? ? xdF ( x),0 ?则, 0 ? ? ? ?.令Tn ? ? X i , n ? 1, T0 ? 0. 把由N (t ) ? sup ?n : Tn ? t? 定义的计数过程称为更新过程.i ?1n170第三节 随机过程在数理金融中的应用在更新过程中将事件发生一次叫做一次更新，从定义可知，Xn就是第n-1次和第n次更新相距的时间，Tn是第n次更新发生的时刻，而N(t)就是t时刻之前发生的总的更新次数。171第三节（六）鞅过程随机过程在数理金融中的应用随机过程? X n , n ? 0? 称为关于?Yn , n ? 0?的下鞅,? 如果对n ? 0, X n是(Y0 , Y1 ,?, Yn )的函数, E ? X ? n? ? ? ?, 并 ? 且E ? X n?1 | Y0 , Y1 ,?, Yn ? ? X n , 其中X n ? max ?0, X n ?.随机过程? X n , n ? 0? 称为关于?Yn , n ? 0?的上鞅,? 如果对n ? 0, X n是(Y0 , Y1 ,?, Yn )的函数, E ? X ? n? ? ? ?, 并 ? 且E ? X n?1 | Y0 , Y1 ,?, Yn ? ? X n , 其中X n ? max ?0, ? X n ?.172第三节 随机过程在数理金融中的应用若随机过程? X n , n ? 0?既为?Yn , n ? 0?的上鞅, 又为 下鞅, 则称? X n , n ? 0? 为关于?Yn , n ? 0?的鞅. 此时 E ? X n ?1 | Y0 , Y1 ,?, Yn ? ? X n173THE ＥNDTHANK YOU ! 174第二章 金融市场第一节 金融市场与数学第二节 远期 第三节 股票及其衍生产品第四节 期货合约定价 第五节 债券市场第六节 利率期货 第七节 利率理论 第八节 外汇 175第一节 金融市场与数学一、金融市场金融市场是指资金供求双方运用各种金融工具，通过各种途径 实现货币借贷和资金融通的交易活动的总称。其含义有广义和狭义 之分。广义是指金融机构与客户之间、各金融机构之间、客户与客 户之间所有以资金商品为交易对象的金融交易，包括存款、贷款、 信托、租赁、保险、票据抵押与贴现、股票债券买卖等全部金融活 动。狭义则一般限定在以票据和有价证券为交易对象的融资活动范 围之内。176第一节 金融市场与数学金融市场运作流程图直接金融工具 货币资金 资金盈余部门 货币资金 间接金融工具 货币资金直接融资直接金融工具 货币资金 资金不足部门间接融资间接金融工具177第一节 金融市场与数学二、金融市场的特征?商品的单一性和价格的相对一致性 投资收益和风险远远超过一般商品市场 有形市场与无形市场并存图2-1　　 金融市场特征178第一节 金融市场与数学金融市场的主要特征在于： 商品的单一性和价格的相对一致性 金融市场的交易对象不是具有各种使用价值的物质商 品，而是单一的货币形态的资金商品。资金商品无质的 差别性，只有单一的货币形态和单一的“使用价值”── 获得收益的能力。资金商品的“价格”为利率。由于信 用期限与安全可靠程度不同，各种不同的金融商品的利 率也不相同。它们形成一个相对稳定的结构并随资金供 求关系的变化而共同变化。179第一节 金融市场与数学投资收益和风险远远超过一般商品市场 在一般商品市场上，商品价格围绕着商品价值上下浮 动，虽然市场供求状况对商品价格有重要的影响，但商品成 交价格与商品实际价值的差异从长期来看是不大的。金融商品的价格则主要取决于资金商品供求状况，它可能远远超过平均利润率，也可能跌到零以下（按实际利率计算）。这就 使金融市场上交易活动变得错综复杂，价格波动剧烈。 180第一节 金融市场与数学有形市场与无形市场并存金融市场在发展的最初阶段，一般都有固定的地点和工 作设施，称为有形市场，其典型形式就是证券交易所。随着商 品经济、科学技术和金融市场交易活动本身的发展，金融市场 很快突破了固定场所的限制，一方面，高度组织化的证券交易所等机构不断扩展和完善，另一方面，通过计算机、电传、电话等设施进行的资金借贷活动已跨越城市、地区和国界等地域 上的界限，把整个世界联成一个庞大的市场。 181第一节 金融市场与数学三、金融市场参与者?资金供应者资金需求者 中介人管理者?参加者自身对利润的追求参加者之间的相互竞争图2-２　　 金融市场参与者图2-3　　 金融市场促进交易的力量182第一节 金融市场与数学四、金融市场结构?证券的新旧 交易标的物 地理范围交易工具的期限? ? ?资本市场 货币市场 现货市场 期货市场 证券发行市场(一级市场)是否立即交割证券转让市场（二级市场） 票据市场 证券市场 外汇市场 黄金市场 地方性 全国性 区域性 国际性??图2-4　　 金融市场结构183第一节 金融市场与数学按是否与实际信用活动相关，金融工具可分为原生 金融工具和衍生金融工具?金融原生产品financial basic equity金融衍生产品financial derivatives图2-5　　 金融市场交易对象 184第一节 金融市场与数学原生金融工具： 是在实际信用活动中出具的能证明债权债务关 系或所有权关系的合法凭证。 种类： 主要有商业票据、债券等债权债务凭证，以及股 票、基金等所有权凭证。原生金融工具是金融市场上最广泛使用的工具，也是衍生金 融工具赖以生存的基础。 185第一节 金融市场与数学商业票据： 是指由金融公司或某些信用较高的企业开出的无担保短 期票据。分为本票和汇票两种 股票： 是一种由股份有限公司签发的用以证明股东所持股份的 凭证。分为普通股和优先股。 债券： 是一种有价证券，是社会各类经济主体为筹措资金而向 债券投资者出具的，并且承诺按一定利率定期支付利息和 到期偿还本金的债券债务凭证。按发行人分为国家债券与 公司债券。186第一节 金融市场与数学衍生金融工具：是在原生金融工具的基础上派生出来的各种金融合约及其组合形式的总称。种类：包括远期、期权、期货、互换特点：杠杆性、高风险性、虚拟性。187第一节 金融市场与数学五、金融市场的作用?便利投资和筹资 聚集资本加速资本转移 促进资金转换有利于中央银行的宏观调控 加强地区（国家）之间的经济联系图2-6　　 金融市场功能 188第一节 金融市场与数学六、复制与无套利 金融数学的主要目的就是研究根据标的资产的价格计算 衍生产品价格的过程。?复制(replicate) 价格发现工具 ? ? 无套利条件(absence of arbitrage opportunity)189第一节 金融市场与数学复制：是指将一个金融工具以组合头寸来加以表示。 无套利：若在一个市场中，人们可以身无分文入市，通过 资产的买卖（允许卖空和借贷）使得能够最终不欠债，且有正概率的机会获得盈利，则称该市场存在套利机会。假如市场不存在套利机会，则称市场无套利。190第二节 远期定义：甲乙双方（目前）时刻t签订一份合约：在将来给定 时刻T以（当前）设定的价格成交一种物品（称为标的资产 （underlying asset），或标的物品（underlying commodity））， 这样的一份合约称为[t，T]上的一个远期（合约）（forward (contract)）。所设定的成交价格称为交割价格（deliver price）， 也称远期价格（forward price），时刻T称为到期时刻 （maturity）。在到期时刻T将成为标的资产买方的称为多头 （long position），而将成为标的资产卖方的称为空头（short position）。 191第二节 远期对于一个[t，T]上的远期合约，其（交割）价格在时刻t经双方同意确定后，在时间区间[t，T]上保持不变，记为q(t，T)（仅依赖于t和T）。假定P(s)是所考虑的标的资产在时刻 s∈[t，T]的（即期）价格（(spot) price），则多头方的损益P(T ) ? q(t , T )空头方的损益q(t , T ) ? P(T )192第二节 远期在签约时刻t，远期本身的（期望）价值为0，即q(t , T ) ? P(T )193第二节 远期远期合约在时刻s∈[t，T]的价值： T-stsTf ( t , T ) ? ?? P(T ) ? q(t , T ) ? ? ? P(T ) ? q( s, T ) ?? e ? r (T ? s ) ? ? q (s, T ) ? q (t , T )? e ? r (T ? s )194第二节 远期若无风险利率不是常数，则r (? ) d? ? f (s; t , T ) ? ?q(s, T ) ? q(t , T )? e s ?T由此，到期时刻T多头方的损益 同时f (T ; t , T ) ? P(T ) ? q(t,T )f (t; t , T ) ? 0195这是远期价格的确定原则。第二节 远期无收益证券标的资产不支付收益的证券。 在无套利的假设下，若无风险利率为一常数r&0q(t , T ) ? P(t )er (T ?t )如果上式不成立，则会出现什么情况？ 196第二节 远期标的资产为不支付收益证券的[t,T]上远期在任何时刻s∈[t，T]的价值f ( t , T ) ? [q( s, T ) ? q(t , T )]e ? r (T ? s ) ? [ P ( s )er (T ? s )? P (t )er ( s ?t )r (T ? t )]e? r (T ? s )? P ( s ) ? P (t )e? P ( s ) ? q (t , T )e ? r (T ? s )197第二节 远期组合复制： 假定初始时刻t∈[0,T]有两个证券组合 组合1:一份多头远期合约（在时刻t的价值f(t;t,T）=0),外加数额为q(t,T)e-r(T-t）的现金。组合2：价值为P(t)的一股标的资产。f (s; t, T ) ? q(t, T )e?r (T ?s ) ? P(s)?s ?[t, T ]198第二节 远期例1：假定某股票目前的股价为50元，且未来6个月内不支付红利，若无风险利率为5%,签定一个6个月期的以此种股票为标的资产的远期合约，远期的价格应为多少？ 例2：一个还有9个月将到期的远期合约，标的资产是一年期的 贴现债券，远期合约的交割价格为1000元，若9个月期的无风险年利率为6%，债券的现价为960元，求远期合约多头的价值？ 199第二节 远期1解：q(t , T ) ? 50e0.05?0.5? 51.27? r ?T ?t ?2解：f ? t , T ? ? P ? s ? ? q ? t , T ? e ? 960 ? 1000e ?4?0.06?0.75200第二节 远期已知现金收益的证券 若远期的标的资产在有效期内的现金收益总额的现值为 I(t)，则在无套利的假设下：q(t , T ) ? [ P(t ) ? I (t )]e否则，会出现什么情况？r (T ?t )201第二节 远期例：一个现价为100元的股票的10个月期的远期合约，若在3个月、6个月、9个月后都会有每股1.5元的利润，若无风险的年利率为8%，求远期价格？202第二节 远期解：I ? t ? ? 1.5e?0.02 ? 1.5e?0.04 ? 1.5e?0.06 ? 4.32 q ? t , T ? ? ?100 ? 4.32 ? e0.08?10 12? 102.28203第二节 远期两个组合 组合1:一份多头远期合约（在时刻t的价值f(t;t,T）=0), 外加数额为q(t,T)e-r(T-t）的现金。 组合2：价值为P(t)的一股标的资产和以无风险利率r借 得的数额为I(t)的现金。f (s; t , T ) ? q(t, T )e?r (T ?s ) ? P(s) ? I (s)或?s ?[t, T ]?s ?[t, T ]204f (s; t, T ) ? [q(s, T ) ? q(t, T )]e?r (T ?s )第二节 远期例：一种三年期国债，目前价格为90元。若还有1年到期的这 种债券的远期合约的远期价格为91元，在6个月和12个月 后，预计将收到6元利息，而第二次付息日正好在远期交割日之前，假定6个月和12个月的无风险利率分别为9%和10%，则求远期合约在时刻s的价值。205第二节 远期解：I ? s ? ? 6e ?0.09?0.5 ? 6e ?0.1 ? 11.17 f ? t , T ? ? 90 ? 11.17 ? 91e?0.1? ?3.51206第二节 远期已知红利率的证券 两个组合（假定红利收益率按年利率ρ（连续复利）支付） 组合1:一份多头远期合约（在时刻t的价值f(t;t,T）=0), 外加数额为q(t,T)e-r(T-t）的现金。 组合2：持有e-ρ(T-t)股（价值为 e-ρ(T-t) P(t) ）标的证券。f (s; t, T ) ? q(t, T )e?r (T ?s ) ? P(s)e? ? (T ?s )或?s ?[t , T ]f (s; t, T ) ? P(s)e? ? (T ?s ) ? q(t, T )e?r (T ?s )?s ?[t ,T ]207第二节 远期空头的价值为多少？此时，标的资产为已知红利率的证券的远期的价格q(t, T ) ? P(t )e( r ? ? )(T ?t )208第二节 远期例：一个还有6个月到期的远期，标的资产的连续红利收益率 为4%，若无风险年利率为10%，远期价格为54元，目前该标的资产的价格为50元，求时刻s该远期多头的价值和远期的价格？209第二节 远期解：f ? t , T ? ? 50e?0.04?0.5 ? 54e?0.1?0.5 ? ?2.36 q ? s, T ? ? P ? s ? e? r ? ? ??T ? s ?? 50e0.06?0.5 ? 51.52210第三节 股票及其衍生产品一、股票 股份有限公司在筹集资金时向出资人发行的股份凭证。 股票代表着其持有者（即股东）对股份公司的所有权。这种 所有权是一种综合权利，如参加股东大会、投票表决、参与 公司的重大决策、收取股息或分享红利等。同一类别的每一 份股票所代表的公司所有权是相等的。每个股东所拥有的公 司所有权分额的大小，取决于其持有的股票的数量占公司总 股本的比重。股票一般可以通过转让收回其投资，但不能要 求公司返还其出资。股东与公司之间的关系不是债权债务关 系。股东是公司的所有者，以其出资分额为限对公司负有限 责任，承担风险，分享收益。211第三节 股票及其衍生产品股票衍生产品：是一个特定的合约，其在未来某一天 的价值完全由股票的未来价值决定。 卖方（writer）：制定并出售合约的个人或公司。 买方（holder）：购买合约的个人或公司。 标的资产：合约所基于的股票。212第三节 股票及其衍生产品二、股票的远期合约远期合约是指交易双方约定在未来某个特定时间以约定价格买卖约定数量的资产。213第三节 股票及其衍生产品卖方 股票 卖方 美元买方 美元 T=0 T=1买方 股票图2-7　远期合约 214第三节 股票及其衍生产品合约条款：1.在确定的日期（到期日），合约的买方必须支付规定数量的现金（即执行价格）给合约的卖方。2.合约的卖方必须在到期日转让相应股票给买方。215第三节 股票及其衍生产品到期时的利润或损失： 到期日买方的利润或损失：ST ? XSTX――到期时的价格； ――执行价格216第三节 股票及其衍生产品远期合约到期之前的利润或损失的价格公式？217第三节 股票及其衍生产品复制投资： 资产组合： 一个远期合约：价值 f ； 现金： Xe? r (T ?t ) 资产组合的净现值： ? r (T ?t ) V ? f ? Xe 到期日资产组合复制了一股股票： 合约价值＋现金量＝一股股票218第三节 股票及其衍生产品第一套利机会：卖空股票 合约价值＋现金量&一股股票第二套利机会：卖空资产组合合约价值＋现金量&一股股票219第三节 股票及其衍生产品无套利定价公式f ? Xe?r (T ?t ) ? Stf ? St ? Xe?r (T ?t )220第三节 股票及其衍生产品例2-1：若有一个股票合约，从现在起40天后到期，如果执行价格是65美元，今天股票价格为64.75美元， 今天合约的价格是多少（r=0.055）？221第三节 股票及其衍生产品二、期权 期权是指在未来一定时期可以买卖的权力，是买方向卖 方支付一定数量的金额（指权利金）后拥有的在未来一段 时间内（指美式期权）或未来某一特定日期（指欧式期权） 以事先规定好的价格（指履约价格）向卖方购买（指看涨 期权）或出售（指看跌期权）一定数量的特定标的物的权 力，但不负有必须买进或卖出的义务。期权交易事实上就 是这种权利的交易。买方有执行的权利也有不执行的权利， 完全可以灵活选择。222第三节 股票及其衍生产品期权的类型: 按期权的权利来划分，主要具 有以下三种：看涨期权和看跌期 权以及双向期权。?看涨期权 看跌期权 双向期权图2-8 期权类型223第三节 股票及其衍生产品（1） 看涨期权。所谓看涨期权，是指期权的 买方享有在规定的有效期限内按某一具体的敲定价格买进某一特定数量的相关期货合约的权利，但不同时负有必须买进的义务。224第三节 股票及其衍生产品（2）看跌期权。所谓看跌期权，是指期权 的买方享有在规定的有效期限内按某一具 体的敲定价格卖出某一特定数量的相关期 货合约的权利，但不同时负有必须卖出的 义务。225第三节 股票及其衍生产品（3）双向期权。所谓双向期权，是指期权 的买方既享有在规定的有效期限内按某一 具体的敲定价格买进某一特定数量的相关 期货合约的权利，又享有在商定的有效期 限内按同一敲定价格卖出某一特定数量的 相关期货合约的权利。 226第三节 股票及其衍生产品期权履约 期权的履约有以下三种情况 1、 买卖双方都可以通过对冲的方式实施履约。 2、买方也可以将期权转换为期货合约的方式履约（在 期权合约规定的敲定价格水平获得一个相应的期货部 位）。 3、任何期权到期不用，自动失效。如果期权是虚值， 期权买方就不会行使期权，直到到期任期权失效。这样， 期权买方最多损失所交的权利金。227第三节 股票及其衍生产品卖方看 涨 期 权卖方 ? 买方 ? T=0 T=1股票买方 美元图2-9　看涨期权 228第三节 股票及其衍生产品看涨期权的一些条款： 1. 期权的购买者向出售者支付费用，即期权费； 2. 在到期日，合约的买方以执行价向合约的卖方支 付； 3. 如果合约的卖方收到买方以交易价支付，在到期 日他必须交付一股股票给买方。229第三节 股票及其衍生产品到期时的利润或损失： 在期权合约中，要么交易不发生；要么合约的卖 方向买方支付股票价格与执行价之间的价差。看涨期权的现金流? max?S T ? X ,0??S T ? X ??230第三节 股票及其衍生产品例：欧式看涨期权 假设持有通用电气(GE)的看涨期权，将在从今天算起的 20天后到期。执行价是88 美元，今天的市场价是84美元，因 为支付的费用超过了现在的股票价格，你也许会认为看涨期 权一文不值。但从现在起20天后，市场价格变得更高是完全 有可能的。假设到期日价格是95.5美元，那么执行期权将盈利： 若期权费是4美元，则净利润是3.50美元。投资回报率？。 如果通用电气（GE）股票在20天中仅仅上升到87.5美元， 则看涨期权将毫无价值，同时投资损失？。231第三节 股票及其衍生产品例：美式看涨期权 假设持有IBM股票的美式看涨期权，该期权从现在算 起将在15天后到期。假设执行价是105美元，如果IBM今 天的市价是107美元，持有者也许会一直等到期权到期， 希望从现在起15天之内价格会位于107美元之上。 另一方面，若下星期IBM股票上涨到每股112美元。对 于持有的美式看涨期权而言，可以立即执行期权。如果 不计算期权成本每股将获得7美元的利润。若每一看涨期 权支付4.50美元，则每一看涨期权的净利润将是2.50美元， 利润率是?。232第三节 股票及其衍生产品将看涨期权加上等量的现金，可以创造优于股 票的投资机会，这意味着看涨期权的价格满足Call ? St ? Xe? r (T ?t )233第三节 股票及其衍生产品看 跌 期 权卖方 美元 ?卖方买方 股票 T=0 T=1 ?买方图2-10　看跌期权 234第三节 股票及其衍生产品看跌期权的一些条款：1. 2.期权的购买者向出售者支付费用，期权费；到期日，合约的买方也许给合约的卖方一股股 票，或者等量的一股股票的市场价格。 如果合约卖方从买方收到股票或其价格，在到 期日他必须按行权价支付给买方。3.235第三节 股票及其衍生产品到期时的利润或损失： 看跌期权只会发生下面两种情形中的一种， 要么没有交易发生，要么合约卖方向买方支付执 行价和股价差额，合约被清算。看跌期权的现金流? max?X ?S T ,0? ? ? X ? ST ??236第三节 股票及其衍生产品例：保护性的看跌期权 默克公司每股股价为50美元，某人认为在未来数月股 价将波动很大，希望尽快出售该股票。 于是开始一个投资计划，购买大约3个月到期的看 跌期权，执行价格设在45美元，每一看跌期权要支付 2.80美元的期权费。通过看跌期权出售的股票可以使得 每股至少获得45美元。只要他持有这些股票的看跌期权， 就有出售这些股票的最低价格保证。如果股票价格始终 高于45美元的最低点，看跌期权变得毫无价值。而为每 个看跌期权支付的2.80美元的费用可以认为是“保险” 费用。237第四节 期货合约定价期货合约指由期货交易所统一制订的、规定在 将来某一特定的时间和地点交割一定数量和质量的实物商品或金融商品的标准化合约。238第四节 期货合约定价股票期货：若购买者同意在未来第T天买入一股股票。同时购买者和出售者希望确定价格为X美元，当购买者买入股票时他应该以这个价格支付给出售者相关费用。X定为多少？239第四节 期货合约定价X ? S0e是否存在：rT买方:SU ? S0e 或rT卖方:S D ? S0erT240第四节 期货合约定价是否存在极端的情况：存在，当股价下降到SD ? S0erT此时，谁受损？S? ? SD241第四节 期货合约定价持有你借来并卖空股票的股票持有者！242第四节 期货合约定价股票期货的价格Ft ? St er (T ?t )（2-3）243第五节 债券市场一、债券债券的基本形式是一项负债，它反映了借贷人，亦即债券的出售者，在某一指定时间偿还借款以及约定利息的承诺。244第五节 债券市场债券有两种主要形式：贴现债券和附息债券贴现债券（或零息债券），在到期日仅仅支 付买方债券的票面价值。附息债券，在到期日支付面值，同时在债券 的整个生命周期还定期支付固定的票面利率。245第五节 债券市场二、收益率票面利率：以债券面值的百分比形式按年计算的定期支付。当前收益率：以当前市场价格的百分比的形式计算的每 年支付。 到期收益率：如果购买并持有至到期，债券支付的收益 的百分比率。246第五节 债券市场到期收益率P?e? R (T ?t )F（2-4）ln P ? ln F R?? T ?t（2-5）247第五节 债券市场三、即期利率和远期利率即期利率（spot rate） 指从当前时点开始至未来某一时点止的利率，有时也称零息 债券收益率（Zero-coupon yield）。 远期利率（forward rate） 指从未来某时点开始至未来另一时点止的利率。即期1年利率 0远期1年利率 1 2248第五节 债券市场 远期利率的推导r* r 0 T f T*条件T*年即期连续利率为r* T年即期连续利率为r，T&T* 求从第T年开始的T*-T年远期利率f249第五节 债券市场资产组合直接以r*的年利率投资T*年 以r的年利率投资T年，然后以f的远期利率投资T*-T年。 两者的收益率应该是一致的。（假设都是无风险利率）er?Tef ?(T *?T )?er*?T *r * T * ?rT ? f ? T * ?T250第五节 债券市场一般地，r1是T1年的利率， r2是较长期限T2年的利率，则T1和T2之间的远期利率为：r2T2 ? r1T1 f (T1 , T2 ) ? T2 ? T1银行是否愿意成为远期利率的空方，为什么？ 若是远期利率协议呢？ 251第五节 债券市场例：一年期利率为8%，二年期利率为8.5%，计算f(1,2)252第五节 债券市场四、收益率曲线 式（2-6）可以重新表述为：f (T1 , T2 ) ? r2 ? (r2 ? r1 ) T1 T2 ? T1(2-7)这表明，如果 r2 ? r ，因此 1 ，那么 f ? r2 ? r 1 远期利率高于即期利率。这种情况下，让T2 趋近 于T1 ，由此 r2趋近于 r1，从时间 T1开始的非常短 时间的远期利率是：253第五节 债券市场瞬时远期利率?r f (T , T ) ? r ? T ? ?T(2-8)254第五节 债券市场五、久期（duration） 债券现金流对应时间的加权平均值。 计算公式B ? ? ci ei ?1n? yti? D?? yti t c e i i i ?1nB(2-9)B为债券的当期价格 D为久期 Ci为i期的现金流 y为到期收益率 ti为当前时点到i期的时间长度。 255第五节 债券市场久期的特性：债券价格对到期收益率变动的敏感程度。n ?B ? ?? ci ti e? yti ? ? BD ?y i ?1零息债券： 久期等于其到期期限。 附息债券： 久期肯定小于其到期期限。 期限越长的债券，久期与到期期限相比越小。 息票率越高的债券，久期与到期期限相比越小。 256第五节 债券市场零息债券图 片 来 源 ：Investopeida.com附息债券257第六节 利率期货一、远期利率协议（Forward Rate Agreements）指的是协议双方约定在将来某个确定时间按照确定的数额、利率和 期限进行借贷的合约。 远期利率协议一般不进行实际的借贷，而是以约定利率与市场利率 的差额现金结算。图示签订协议 0 签订协议 借贷 1 现金结算 还本付息 2012258第六节 利率期货二、中长期国债期货中期国债期货： 离到期日还有6.5-10年的国债均可以作为交割品。 5年期国债期货 发行的4种5年期国债均可作为交割品。 长期国债期货： 离到期日还有15年以上的不可赎回国债或者离赎回日还有15 年以上的国债均可作为交割品。 标准品为15年期，息票率8%的国债。 其他国债均需计算转换因子，确定交割的实际价格。 259第六节 利率期货中长期国债期货价格报价单位 报价单位为美元或者1/32美元。 比如报价96-08，即为96.25美元/100美元面值。 净价（Clean Price）与全价（Dirty Price） 报价均为净价，即不包含应计利息的价格。 交割时的价格为全价，即净价加上应计利息。 全价＝报价＋从上一付息日到现在的应计债券利息260第六节 利率期货三、转换因子(Conversion Factors)期限在15年以上的国债基本上都可以用于长期国债期货的交割。 不同期限与息票率的长期国债价值用转换因子进行换算。转换因子 f ?T ? ?债券在时刻T的实际价值 债券的面值四、交割价格交割价格＝期货报价×转换因子＋债券应计利息261第六节 利率期货五、最佳交割债券(Cheapest-to-Deliver Bond) 交割收益最高的债券为最佳交割债券。 交割成本＝债券市价＋应计利息 交割收入＝期货报价×转换因子＋应计利息 交割收益＝期货报价×转换因子－债券市价262第六节 利率期货六、利率期货价格的决定Ft ? ? P ? C ? eC――债券所有利息支付的现值r (T ?t )PT――债券的现在价格――期货合约到期的时间 ――现在时间t263第六节 利率期货七、短期国债期货 指以90天期的国债为交割品的期货合约。交割日为交割月份第一笔13周短期国债的发行日。短期国债利率期货价格决定若期货合约T年到期，标的国债的到期时间为T1(T1&T),r、 r1分别表示期限为T和T1年的无风险投资收益率，假 设以短期国债为标的的期货合约面值为100美元。264第六节 利率期货V0 ? 100erT? r1T1 rT ? r1T1F ? V0e ? 100eF ? 100ef (T ,T1 )(T ?T1 )(2-11)265第七节 利率理论时间就是金钱，度量时间价值的一个工具就是利率，它通过对现金（或债券）的“标价”（间接地）给出了时间价 值。而现金或债券就是时间价值的载体。在利率理论中主要有两个因素在起作用：期限的长短利率的大小266第七节 利率理论作为利率的载体，考虑一种贴现债券，发行日期为0，到期日期为T，它在任何时刻t∈[0,T]的价值为P(t,T)=P(t；0,T)(称 为该贴现债券的价格)，在到期时刻T，它的价值为P(T,T)=1， 称这样的债券为T-债券。 通常0 ? P(t , T ) ? P(T , T ) ? 1 ?t ?[0, T ) P(t , T1 ) ? P(t , T2 ), ?t ?[0, T1 ), T1 ? T2267第七节 利率理论对于给定的一种贴现债券，重要的是债券所体现的平均回报率。若所考察的债券是无风险的，因此可以认为它像银行存款一样，如果所考察的债券的利率为常数r&0(连续复利)：1 ? P(T , T ) ? P(t, T )e从而r (T ?t )ln P(t , T ) r?? , T ?t它是一个非常重要的量。t ? [0, T )注意：利率一般不是常数，因此上式实际上并不能作为一种利率，但268第七节 利率理论定义债券的收益率ln P(t , T ) R(t , T ) ? ? , T ?tt ? [0, T )这是债券在时间[t,T]上按照连续复利计算的平均利率。 注意：收益率关于到期时刻T，可能上升，也可能下降， 与市场利率的期限结构有密切的关联。这一点与债券的价格 P(t,T)不同。 269第七节 利率理论考察当前瞬时的资金价格ln P(t , t ? h) R(t , t ? h) ? ? , h t ? [0, T )则瞬时利率（短期利率，假定极限存在） ? (ln P(t , T )) r (t ) ? R(t , t ) ? lim R(t , t ? h) ? ? |T ?t h ?0 ?T若P(t , T )关于T 可微, 则 P T (t , t ) r (t ) ? ? ? ?P T (t , t ) P(t , t )一般不能唯一确定出债券价格。t ? [0, T ]上式表明，由