参数方程定积分求面积平面图形面积。

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-03-18 17:20 标签： 定积分求面积
用定积分求面积的技巧_中华文本库
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求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用 . 把求平面图形的面积问题转化为求定 积分问题,充分体现了数形结合的数学思想 . 求解此类题常常用到以下技巧 .
一、巧选积分变量
求平面图形面积时,要注意选择积分变量,以使计算简便 .
求抛物线 22y x =与直线 4y x =-围成的平面图形的面积.
解析:如图 1,解方程组 224y x y x ?=?=-?
, , 得两曲线的变点为 (22) (84) -, ,, .
方法一:选取横坐标 x
为积分变量,则图中阴影部分的面积应该是两部分之和,即
) 418S x dx x =++=+=??|||.
方法二:选取纵坐标 y 为积分变量,则图中阴影部分的面积可据公式求得,即 24
y S y y dy y y --????=+-=+-= ? ??????|.
点评:从上述两种解法可以看出,对 y 积分比对 x 积分计算简捷 . 因此,应用定积分求 平面图形面积时,积分变量的选取是至关重要的 . 但同时也要注意对 y 积分时,积分函数应
是 () x y ?=,本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为 2142
=+, 的形式,然后求 得积分.另外还要注意的是对面积而言,不管选用哪种积分变量去积分,面积是不会变的, 即定积分的值不会改变 .
二、巧用对称性
在求平面图形面积时, 注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题, 也是简化计 算过程的常用手段 .
求由三条曲线 2241y x y x y ===,
, 所围图形的面积 .
解析:如图 2,因为 224y x y x ==,
是偶函数,根据对称性, 只算出 y 轴右边的图形的面积再两倍即可.
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【一个问题】用定积分求平面图形面积一般什么情况下用横坐标x为积分变量,什么情况下选纵坐标为积分变量呢?有什么规律.
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对不需要变数变换的情形你用直线x=a(或y=b)去扫描一下平面图形一般直线会跟平面图的边有两个交点,如果交点能方便的用x(或y)表示出来,那就用y(或x)作为积分变量,即dy(或dx)的积分上下限是x(或y)的函数.如果形式上选x,y都比较简单,那就哪个容易积出来选哪个.上面所说的方法一般可行,但不绝对.开始先按这个方法试试,熟练之后就很容易判断了.
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哪个算起来简单就选哪个
你去参考一下大一高等数学，并仔细体会其中两道题的解法，自己理解才是最重要的。（看哪种方法比较简便就选哪个，如何简单点，就是看计算的多少。举个例子：如果1、S=A+B+C+D；2、S=E+F，当然选择S=E+F）
应该是各种情况下都行，毕竟他们都可以替换
扫描下载二维码在直角坐标系中,巧解平面图形面积——用分割平面图形法求定积分
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