寻根究底之秩篇（一）——是什么，为什么，怎么用
新知识的获取离不开探索。探索越多，收获越多。虽然考研备考更多的是复习而非创新，但只要一个知识点、一种方法、一种理解角度对你是新的，那这种复习便可归为广义的探索。这种探索与学术研究有所不同，学术研究更多地是在某点的深入，形不成体系；而研究生考试考查的知识不少已形成知识体系，是可以系统地理解的。而要理解并把握一个知识体系需要做到融会贯通。所以我们复习时要有寻根究底的精神：为了弄清概念A，我们要理解概念B，而概念B中很可能又含有你不甚了解的概念C……不要放弃，坚持下去！只要这些概念是考纲要求的，就不要放过！下面的文字也是按照这种思路组织的。我当年也是按照这种方式学习的，效果不错。
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　　下面我们继续挖掘矩阵的秩的内涵。
　　一个矩阵的秩为2意味着什么?按照矩阵的秩的定义，我们可以得到该矩阵中非零子式的最高阶数为2。当然这是&直译&，有没有&意译&(或更利于解题的翻译方式)?有。可以这么翻译：该矩阵中存在2阶非零子式，且不存在3阶非零子式。前半句话怎么理解?这不就是&直译&的那句话的自然结果吗?或者反过来理解：试想，如果若这半句话不成立，即矩阵中不存在2阶非零子式，那矩阵中非零子式的最高阶数就不可能为2了(应小于或等于1)，这与已知条件矛盾。那么，根据前面的分析，这半句话等价于矩阵的秩大于等于2。类似的讨论可以对后半句话进行。不难得到这半句话等价于矩阵的小于等于2。这里有两个个问题：矩阵不存在3阶非零子式有几种情况呢?不难发现有两种：(1)矩阵没有3阶子式(跟别谈3阶非零子式了，如一个2乘2的矩阵)；(2)矩阵有3阶子式，但3阶子式全为零。另一个问题，如果矩阵不存在3阶非零子式，那么有可能存在4阶及以上阶的非零子式吗?如果你对行列式的展开定理比较熟悉，应该不难得出答案。
　　推广一下，我们就得到了一般情况：
　　矩阵的秩为k等价于矩阵中非零子式的最高阶数为k，也等价于矩阵中存在k阶非零子式，且不存在k+1阶非零子式。
　　还有两个特殊情况需要我们注意：
　　矩阵的秩为1等价于矩阵中存在1阶非零子式，且不存在2阶非零子式。思考：什么是1阶子式?不就是矩阵的元素吗?那么1阶非零子式就是非零元素了。进一步，矩阵中存在1阶非零子式也即矩阵中存在非零元素。这有说明了什么呢?这说明矩阵不是零矩阵。再分析后半句话，2阶子式为零意味着什么?大家可以自己举个例子，是不是说明二阶行列式的元素按行按列成比例(这里的成比例是广义的，比如二阶行列式有一行元素为零，那0除0理解成可以等于任何数)。进一步所有二阶子式全为零说明什么，是不是说明整个矩阵是按行按列成比例的?分析至此，秩为1的矩阵长什么样子大家应该有个印象了：存在非零元素，且按行按列成比例。
　　n阶方阵的秩为n等价于其自身取行列式后不为零。这个大家自己分析，应该不困难。这种情况矩阵的秩达到了最大值，秩是满的，我们称该矩阵满秩。
　　二、向量组的秩
　　要讨论向量组的秩，先要搞清楚什么是向量。其实咱们在中学就讨论过向量。中学数学对向量的定义是既有大小又有方向的量。中学物理中把向量称为矢量。那么线性代数中讨论的向量与中学接触过的向量是什么关系?
　　首先回顾一下，在中学我们是如何表示向量的。中学数学中主要讨论平面上的向量。平面上的向量是可以平行移动的。两个相互平行且长度相等的向量我们认为是相等的。好，假设在平面直角坐标系中，对于平面上的任何一个向量，我们总是可以将其平移至起点坐标原点重合。这时向量终点的坐标同时也是向量的坐标。这样，我们就可以用一个实数对表示一个平面向量了。
　　一个实数对实际是我们线性代数中的一个二维行向量。而线代中讨论的向量是任意n维的。所以线性代数中的向量可视为中学向量的推广。
　　下面是向量的数学定义：
　　由n个实数a1，a2，&，an构成的有序实数组(a1，a2，&，an)称为一个n维行向量。类似可定义列向量。
　　问个问题：向量和矩阵是什么关系?向量可视为特殊的矩阵(行数或列数为1的矩阵)。这是理解向量的一个很好的角度。因为学习向量时，我们已把矩阵讨论得很清楚了，所以通过矩阵理解向量就能省不少事。
　　知道了什么是向量，那什么是向量组呢?向量一般来说不是单独出现，而是成组出现的。我们把多个向量放在一起考虑，就构成了向量组。
　　当然向量组的严格数学定义也不难理解：由若干个同型向量构成的集合称为一个向量组。这里的&同型&可以理解成矩阵同型，也可以用向量的语言描述成：同为行向量或列向量且维数相同。
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新知识的获取离不开探索。探索越多，收获越多。虽然考研备考更多的是复习而非创新，但只要一个知识点、一种方法、一种理解角度对你是新的，那这种复习便可归为广义的探索。这种探索与学术研究有所不同，学术研究更多地是在某点的深入，形不成体系;而研究生考试考查的知识不少已形成知识体系，是可以系统地理解的。而要理解并把握一个知识体系需要做到融会贯通。所以我们复习时要有寻根究底的精神：为了弄清概念A，我们要理解概念B，而概念B中很可能又含有你不甚了解的概念C&&不要放弃，坚持下去!只要这些概念是考纲要求的，就不要放过!下面的文字也是按照这种思路组织的。我当年也是按照这种方式学习的，效果不错。
秩的中文含义是官员俸禄的动态排序，英文单词是rank，也有次序、排位之意。秩在线性代数中用在矩阵和向量组上，我们也可以将秩视为对矩阵和向量组排序的一种指标(如果按照秩从小到大的顺序排列，那零矩阵排在最前面，接着是秩为1的矩阵，&&)。跟秩打了个招呼后，请睁大眼睛，做好迎接挑战的准备，我们的探索之旅开始了。
一、矩阵的秩
什么是矩阵？矩阵即由m乘n个实数排列而成的m行n列的数表。
有人说，要想真正认识一座山，除了要亲自爬一下这座山，还要爬其它的山。这是有道理的：前者让人有亲身经验，后者使人有所参照。生活和学习中的很多道理是相通的。要透彻理解一个概念，不仅需要深入理解其定义，而且需要将其与其它概念作比较，以辨明区别与联系。
下面，我们就把矩阵与行列式做一个比较：
阵（数表）
式（运算法则，结果为数）
矩（行数、列数未必相同）
方（行数、列数相同）
放大的小括号或中括号
放大的绝对值
矩阵为方阵时
可以对矩阵取行列式
矩阵不为方阵时
可以从矩阵中&挑出&子式
上表提到了子式，那什么是子式?
子式即矩阵任取i行i列交叉位置的元素所构成的行列式。为什么叫子式?子即孩子，因为它由矩阵产生的，是矩阵的孩子;式即行列式。这里的子式是相对矩阵而言的，行列式有没有子式呢?因为行列式中的元素是按方阵形式排列的，是可以按照矩阵找子式的方式找出子式的。但这只是矩阵找子式的方式，行列式有自己找子式的方式。也即行列式也有子式，不过子式的找法与矩阵不同。如何找，找出来是什么样子?我们看下面两个概念：
顾名思义：余下的子行列式。仍有疑问：余下的，怎么余下的?子式是&由行列式产生的行列式&吗?后面问题回答是肯定的。对于第一个问题，看一下余子式的完整定义就可以了：行列式中元素aij对应的余子式为在行列式中划掉aij所在行和列后构成的低一阶的行列式。
所以我们发现：余下的含义是划掉了一行一列而剩下。并且还发现余子式是只能是低一阶的行列式，不能低两阶或低多阶，也不能是同阶。
电影《肖申克的救赎》中有句台词，大意为：既然已经走了这么远，为什么不多走一点呢?套用过来：既然我们已经弄清了余子式的概念，那为什么不多走一步，弄清一个相关的概念&&代数余子式呢?
2.代数余子式
代数作为修饰语的含义是&带符号&(或加正负号)。如定积分的几何意义是曲边梯形面积的代数和。所以代数余子式即带符号的余子式。这里又产生了一个问题：符号的正负是如何确定的呢?这是由划掉的行数和列数决定的，或者说由元素aij所在的位置决定的，即-1的i+j次幂。
通过一番讨论，我们搞清了子式的概念。那对于这样一个1乘3矩阵：(120)，你能找出它的所有的子式吗?不难发现它的子式共有三个：1,2,0。这说明：一个矩阵的子式可能有多个。而我们关注的是那些非零的子式(注意到子式是行列式，而行列式的值是可以算出来的)。此处非零的子式有：1,2。现在我们再完成一项工作，胜利就在眼前了。在这些非零的子式里，我们挑出阶数最高的。此处两个非零子式都是一阶的，最高阶数当然是1。这个最高阶数不是别的，就是原矩阵的秩。所以矩阵(120)的秩为1。是不是有&众里寻他千百度，那秩却在灯火阑珊处&的感觉?
对于一个一般的m乘n矩阵，我们也可以按照上面的三个步骤找出它的秩：找出它的所有子式;在这些子式里面找出非零的;挑出非零子式中阶数最高的，这个最高阶数就是矩阵的秩。下面再看矩阵的秩的定义，就会觉得它不那么难理解了。
矩阵的秩即矩阵中非零子式的最高阶数。2015考研数学大纲 复习指导：寻根究底之秩篇(一)_百度文库
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秩的中文含义是官员俸禄的动态排序，英文单词是rank，也有次序、排位之意。秩在线性代数中用在矩阵和向量组上，我们也可以将秩视为对矩阵和向量组排序的一种指标(如果按照秩从小到大的顺序排列，那零矩阵排在最前面，接着是秩为1的矩阵，&&)。跟秩打了个招呼后，请睁大眼睛，做好迎接挑战的准备，我们的探索之旅开始了。
一、矩阵的秩
什么是矩阵？矩阵即由m乘n个实数排列而成的m行n列的数表。
有人说，要想真正认识一座山，除了要亲自爬一下这座山，还要爬其它的山。这是有道理的：前者让人有亲身经验，后者使人有所参照。生活和学习中的很多道理是相通的。要透彻理解一个概念，不仅需要深入理解其定义，而且需要将其与其它概念作比较，以辨明区别与联系。
下面，我们就把矩阵与行列式做一个比较：
阵（数表）
式（运算法则，结果为数）
矩（行数、列数未必相同）
方（行数、列数相同）
放大的小括号或中括号
放大的绝对值
矩阵为方阵时
可以对矩阵取行列式
矩阵不为方阵时
可以从矩阵中&挑出&子式
上表提到了子式，那什么是子式?
子式即矩阵任取i行i列交叉位置的元素所构成的行列式。为什么叫子式?子即孩子，因为它由矩阵产生的，是矩阵的孩子;式即行列式。这里的子式是相对矩阵而言的，行列式有没有子式呢?因为行列式中的元素是按方阵形式排列的，是可以按照矩阵找子式的方式找出子式的。但这只是矩阵找子式的方式，行列式有自己找子式的方式。也即行列式也有子式，不过子式的找法与矩阵不同。如何找，找出来是什么样子?我们看下面两个概念：
顾名思义：余下的子行列式。仍有疑问：余下的，怎么余下的?子式是&由行列式产生的行列式&吗?后面问题回答是肯定的。对于第一个问题，看一下余子式的完整定义就可以了：行列式中元素aij对应的余子式为在行列式中划掉aij所在行和列后构成的低一阶的行列式。
所以我们发现：余下的含义是划掉了一行一列而剩下。并且还发现余子式是只能是低一阶的行列式，不能低两阶或低多阶，也不能是同阶。
电影《肖申克的救赎》中有句台词，大意为：既然已经走了这么远，为什么不多走一点呢?套用过来：既然我们已经弄清了余子式的概念，那为什么不多走一步，弄清一个相关的概念&&代数余子式呢?
2.代数余子式
代数作为修饰语的含义是&带符号&(或加正负号)。如定积分的几何意义是曲边梯形面积的代数和。所以代数余子式即带符号的余子式。这里又产生了一个问题：符号的正负是如何确定的呢?这是由划掉的行数和列数决定的，或者说由元素aij所在的位置决定的，即-1的i+j次幂。
通过一番讨论，我们搞清了子式的概念。那对于这样一个1乘3矩阵：(120)，你能找出它的所有的子式吗?不难发现它的子式共有三个：1,2,0。这说明：一个矩阵的子式可能有多个。而我们关注的是那些非零的子式(注意到子式是行列式，而行列式的值是可以算出来的)。此处非零的子式有：1,2。现在我们再完成一项工作，胜利就在眼前了。在这些非零的子式里，我们挑出阶数最高的。此处两个非零子式都是一阶的，最高阶数当然是1。这个最高阶数不是别的，就是原矩阵的秩。所以矩阵(120)的秩为1。是不是有&众里寻他千百度，那秩却在灯火阑珊处&的感觉?
对于一个一般的m乘n矩阵，我们也可以按照上面的三个步骤找出它的秩：找出它的所有子式;在这些子式里面找出非零的;挑出非零子式中阶数最高的，这个最高阶数就是矩阵的秩。下面再看矩阵的秩的定义，就会觉得它不那么难理解了。
矩阵的秩即矩阵中非零子式的最高阶数。