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Maple/Matlab 符号运算求助有个问题困扰好久了：请问在Matlab或者Maple中,有没有办法定义一个n维向量（或矩阵）,但n不需要赋值,然后进行符号运算?例如我需要对一个函数求导：L=0.5*w(T)·V·w,其中w为变量,一个n维向量,w(T)为其转置向量；V为一个n*n的系数矩阵；n>1为一整数.在Maple或Matlab符号运算中,能不能在n不赋值情况下对L求导运算呢?对L求导很简单,这是一个通式,问题是在程序中怎么实现对类似这样的通式做符号运算呢?
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举个例子你看一下>>syms x>> diff(sin(x^2))ans =2*cos(x^2)*x
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数学知识（2）
矢量范数的偏导数
L1范数不可微。但是存在次梯度，即是次微分的。
L1范数的次梯度如下：
??x||x||1=sign(x)
其中sign(x) 表示如下：
sign(x)=???+1-1[-1,1]xi&0xi&0xi=0
在实验中，我们经常很碰到，一个函数表达式中含有多个带有绝对值表达式，我们为了去掉绝对值号，进行化简，经常需要假设函数绝对值中的表达式满足&0或者&0来消去绝对值。但是当变量很多时，很难划分这样的空间。例如上面的L1就是一个例子:
||x||1=|x1|+|x2|+....+|xn|
对于一维的情况：
|x|={x-xx≥0x≤0
但是对于高维的情况，我们很难写书上面明确的展开式。但是，在数值计算中，除了所谓的符号运。都是在知道明确的“值”的情况下，来进行求解的。
因此，知道了具体的值，我们很容易确定这个值的梯度。例如，对于3维的情况。如果值为x0=[3,-2,5]T，我们很容易知道，其函数值展开的表达式为：
||x||1=x1-x2+x3
故其梯度为[1,-1,1]T，即sign(x)。
2. L2 范数：
??x||x-a||2=x-a||x-a||2
??xx-a||x-a||2=I||x-a||2-(x-a)(x-a)T||x-a||32
?||x||22?x=?||xTx||2?x=2x
例如：求解下面函数的偏导数：
f(W)=12∑i,j∈S1γi,j||wTiX-wTjX||22
其中W是矩阵，大小D×L，X是矩阵,大小为D×N，其中D是特征向量的维度，L是任务的数量，N是样本的数量。则矢量*矩阵，即wTiX是一个矢量，矢量和矢量也是矢量，故这是要求解矢量L2范数的偏导数。
?f(W)?wi===∑i,j∈S1γi,j(wTiX-wTjX)*?(wTiX-wTjX)?wi∑i,j∈S1γi,j(wTiX-wTjX)*XT∑i,j∈S1γi,j(wTi-wTj)*(XXT)
注意这里得到的是行向量的形式，因此还需要对其进行转置 。
对wj求偏导数：
?f(W)?wj===∑i,j∈S1γi,j(wTjX-wTiX)*?(wTjX-wTiX)?wj∑i,j∈S1γi,j(wTjX-wTiX)*XT∑i,j∈S1γi,j(wTj-wTi)*(XXT)
Matlab对低维数据进行验证:
syms x11 x12 x21 x22 x31 x32 wi1 wi2 wi3 wj1 wj2 wj3 real;
X = [x11 x12;x21 x22;x31 x32];
wi = [wi1 wi2 wi3]';
wj = [wj1 wj2 wj3]';
fw = 1/2*norm(wi'*X-wj'*X,2).^2;
grad_wi1 = diff(fw,wi1);
grad_wi2 = diff(fw,wi2);
grad_wi3 = diff(fw,wi3);
grad_wi0 =[grad_wi1;grad_wi2;grad_wi3];
grad_wi = (wi'*X-wj'*X)*X';
grad_wi = grad_wi';
disp('method 1:');
disp(grad_wi0);
disp('method 2:');
disp(grad_wi);
disp('%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \partial wj %%%%%%%%%%%%%%%%%%');
grad_wj1 = diff(fw,wj1);
grad_wj2 = diff(fw,wj2);
grad_wj3 = diff(fw,wj3);
grad_wj0 = [grad_wj1;grad_wj2;grad_wj3];
grad_wj = (wj'*X- wi'*X)*X';
grad_wj = grad_wj';
disp('method 1:');
disp(grad_wj0);
disp('method 2:');
disp(grad_wj);
x11*abs(wi1*x11 + wi2*x21 + wi3*x31 - wj1*x11 - wj2*x21 - wj3*x31)*sign(wi1*x11 + wi2*x21 + wi3*x31 - wj1*x11 - wj2*x21 - wj3*x31) + x12*abs(wi1*x12 + wi2*x22 + wi3*x32 - wj1*x12 - wj2*x22 - wj3*x32)*sign(wi1*x12 + wi2*x22 + wi3*x32 - wj1*x12 - wj2*x22 - wj3*x32)
x21*abs(wi1*x11 + wi2*x21 + wi3*x31 - wj1*x11 - wj2*x21 - wj3*x31)*sign(wi1*x11 + wi2*x21 + wi3*x31 - wj1*x11 - wj2*x21 - wj3*x31) + x22*abs(wi1*x12 + wi2*x22 + wi3*x32 - wj1*x12 - wj2*x22 - wj3*x32)*sign(wi1*x12 + wi2*x22 + wi3*x32 - wj1*x12 - wj2*x22 - wj3*x32)
x31*abs(wi1*x11 + wi2*x21 + wi3*x31 - wj1*x11 - wj2*x21 - wj3*x31)*sign(wi1*x11 + wi2*x21 + wi3*x31 - wj1*x11 - wj2*x21 - wj3*x31) + x32*abs(wi1*x12 + wi2*x22 + wi3*x32 - wj1*x12 - wj2*x22 - wj3*x32)*sign(wi1*x12 + wi2*x22 + wi3*x32 - wj1*x12 - wj2*x22 - wj3*x32)
x11*(wi1*x11 + wi2*x21 + wi3*x31 - wj1*x11 - wj2*x21 - wj3*x31) + x12*(wi1*x12 + wi2*x22 + wi3*x32 - wj1*x12 - wj2*x22 - wj3*x32)
x21*(wi1*x11 + wi2*x21 + wi3*x31 - wj1*x11 - wj2*x21 - wj3*x31) + x22*(wi1*x12 + wi2*x22 + wi3*x32 - wj1*x12 - wj2*x22 - wj3*x32)
x31*(wi1*x11 + wi2*x21 + wi3*x31 - wj1*x11 - wj2*x21 - wj3*x31) + x32*(wi1*x12 + wi2*x22 + wi3*x32 - wj1*x12 - wj2*x22 - wj3*x32)
- x11*abs(wi1*x11 + wi2*x21 + wi3*x31 - wj1*x11 - wj2*x21 - wj3*x31)*sign(wi1*x11 + wi2*x21 + wi3*x31 - wj1*x11 - wj2*x21 - wj3*x31) - x12*abs(wi1*x12 + wi2*x22 + wi3*x32 - wj1*x12 - wj2*x22 - wj3*x32)*sign(wi1*x12 + wi2*x22 + wi3*x32 - wj1*x12 - wj2*x22 - wj3*x32)
- x21*abs(wi1*x11 + wi2*x21 + wi3*x31 - wj1*x11 - wj2*x21 - wj3*x31)*sign(wi1*x11 + wi2*x21 + wi3*x31 - wj1*x11 - wj2*x21 - wj3*x31) - x22*abs(wi1*x12 + wi2*x22 + wi3*x32 - wj1*x12 - wj2*x22 - wj3*x32)*sign(wi1*x12 + wi2*x22 + wi3*x32 - wj1*x12 - wj2*x22 - wj3*x32)
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参考文献：
The Matrix Cookbook
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id: '4740887',
container: s,
size: '250,250',
display: 'inlay-fix'矩阵（向量）求导
编辑：www.fx114.net
本篇文章主要介绍了"矩阵（向量）求导 "，主要涉及到矩阵（向量）求导 方面的内容，对于矩阵（向量）求导 感兴趣的同学可以参考一下。
1. 矩阵Y对标量x求导：
& &相当于每个元素求导数后转置一下，注意M&N矩阵求导后变成N&M了
& &Y = [y(ij)] --& dY/dx = [dy(ji)/dx]
2. 标量y对列向量X求导：
& &注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N&1向量求导后还是N&1向量
& &y = f(x1,x2,..,xn) --& dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)'
3. 行向量Y'对列向量X求导：
& &注意1&M向量对N&1向量求导后是N&M矩阵。
& &将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。
& &重要结论：
& &dX'/dX = I
& &d(AX)'/dX = A'
4. 列向量Y对行向量X&求导：
& &转化为行向量Y&对列向量X的导数，然后转置。
& &注意M&1向量对1&N向量求导结果为M&N矩阵。
& &dY/dX' = (dY'/dX)'
5. 向量积对列向量X求导运算法则：
& &注意与标量求导有点不同。
& &d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX)
& &d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U'
& &重要结论：
& &d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = A
& &d(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = A
& &d(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X
6. 矩阵Y对列向量X求导：
& &将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。
& &注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。
7. 矩阵积对列向量求导法则：
& &d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX)
& &d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX)
& &重要结论：
& &d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + X'(dA/dX) = IA + X'0 = A
8. 标量y对矩阵X的导数：
& &类似标量y对列向量X的导数，
& &把y对每个X的元素求偏导，不用转置。
& &dy/dX = [ Dy/Dx(ij) ]
& &重要结论：
& &y = U'XV = &S&Su(i)x(ij)v(j) 于是 dy/dX = = UV'
& &y = U'X'XU 则 dy/dX = 2XUU'
& &y = (XU-V)'(XU-V) 则 dy/dX = d(U'X'XU - 2V'XU + V'V)/dX = 2XUU' - 2VU' + 0 = 2(XU-V)U'
9. 矩阵Y对矩阵X的导数：
& &将Y的每个元素对X求导，然后排在一起形成超级矩阵。
另附几个重要文献，是矩阵微积分方面的数学知识。
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