四分块矩阵求逆
当遇到四阶或四阶以上的方阵求逆矩阵时,虽然可以用初等变换的方法求之,但对于一些特殊情形的矩阵,若能巧妙地利用分块的方法求逆,便能够较迅速地获得结果。著名数学家华罗庚教授曾说过:“在解决实际问题时书本上能翻到现成答半的少,创造性地解决问题多。”本人在作四分块矩阵求逆推导公式运算中,发现了带有一个或两个零子块求逆的运算规律。本着探索求实的精神,大胆地写出自己不够成熟的见解,诚恳地期待着同行们提出宝贵意见,共同商榷。‘、四分块后,主对角线上为非零子块,且为方阵的情形 设K为n阶方阵,将K四分块为:NbSEPV()L6 1 990 工科数学JOURNAL OF MATHEMATICS FOR TECHNOLOGY 了A…B、兀=}一~!, 眨o{刀/-将第一行左乘(一D一‘C)加到第二行上其中】刃1子0,!DI笋0,为求K一‘,可设K一‘二}骂、}kJ{艺,}E·。{“一’OE.卜一D一’CA一’一,)依逆阵定义有: 厂A一’L一l二}...&
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０引言文献［１］对于四分块可逆矩阵Ａ＝Ａ１１Ａ１２Ａ２１Ａ２２给出了求Ａ－１的两个公式，并得到计算｜Ａ｜的两个降阶公式，为求某些矩阵的逆矩阵及行列式值提供了一种可行的办法；但这种办法是在Ａ１１或Ａ２２可逆的条件下推出的，实际上一些矩阵的对角块经常是不可逆的。如哈密顿体系的辛矩阵等。本文则证明在Ａ１２或Ａ２１为可逆方阵时的四分块矩阵求逆公式，在此基础上进而证明计算｜Ａ｜的两个公式，这样就避开了原有公式中分块方法的局限性，并通过一个例子说明四分块矩阵求逆公式及计算行列式值公式在实际应用中的广泛性。１定理及证明１．１定理设Ａ＝Ａ１１Ａ１２Ａ２１Ａ２２上一个四分块ｎ阶可逆方阵（ｎ≥２），其中Ａ１１，Ａ１２，Ａ２１，Ａ２２分别为ｒ×（ｎ－ｒ），ｒ×ｒ，（ｎ－ｒ）×（ｎ－ｒ），（ｎ－ｒ）×ｒ阶矩阵（ｎ＞ｒ≥２）．１）若Ａ１２可逆，则Ａ－１＝Ａ１１Ａ１２Ａ２１Ａ２２－１＝－Ａ－１２１，２Ａ２２Ａ－１１２Ａ－１２１，２Ａ－１１２Ａ１１Ａ－１２１...&
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矩阵求逆在很多领域内具有重要的应.用价值。本文在矩阵乘法的基础上给出矩阵求逆的一种算法,并对该算法予以论证。1理论依据 设可逆矩阵A一(a,i)~一(尸;,…,尸。),首先由A和I,~(t1,…,t二)构造一个n阶方阵序列A(力一(P1,尸2,”,,Pj,‘什、二”’一‘·),(’’一1,20一”)。其中‘*一(0…}…“)r,显然A(耐一A。暂且假定所有的A‘j)均可逆。由于 a 了飞、.…..卫.J 一.几 ,‘,.压 ,LZa a..。A(‘)~(P,,tZ,·”,t,共0)生有A“,召11口21口11…丝all 一408河北地质学院学报16卷 若A(卜”一’已经求得,则由容易A(卜,’一’容易求得A(‘,一’,依次类推最终可求得A,.)华,一A一1。事实上,A“一,,一’·A“一,,==(八(‘一,)一1.尸,,“.,,A(卜l)一1八(卜l)一’(p,,P,一l,A(卜z)一l,尸卜1,t*,…,t,)t.,…,A(卜...&
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):388–396.DOI:10.12000/JR17060.Reference format:Lin Yuchuan,Zhang Jianyun,Wu Yongjun,et al..Matrix inversion method for azimuthreconstruction in bistatic spaceborne high-resolution wide-swath SAR system[J].Journal of Radars,):388–396.DOI:10.12000/JR17060.双基星载合成孔径雷达(Synthetic ApertureRadar,SAR)利用信号收发平台的分置,能够同时获取不同视角的观测数据,在测绘、干涉测量、地面目标识别、自然灾害监测等领域[1,2]具有重要的应用价值。以Tandem-L为代表的新一代双基星载SAR系统应用多通道、数字波束形成(Digi...&
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目前,阵列天线抗干扰比较常用的算法包括功率倒置法、自适应波束形成法和盲自适应波束形成法等。由于功率倒置法不需知道信号的波达方向,只在干扰来向上形成零陷,因此该方法得到了广泛应用[1]。功率倒置法的关键是计算协方差矩阵的逆矩阵。通过矩阵分解实现矩阵求逆的运算量小且易于实现,本文采用矩阵分解方法得到协方差矩阵的逆矩阵。常用的矩阵分解方法有:Cholesky分解、LU分解和QR分解。其中,Cholesky分解适用于共轭对称正定矩阵;LU分解适用于顺序主子式不为0的任意矩阵;QR分解适用于任意矩阵。在功率倒置法的算法中,协方差矩阵为共轭对称特性,所以采用Cholesky分解方法求解。文献[2-3]采用基于Cholesky分解的矩阵求逆算法,其算法实现中使用较多的乘法器和除法器,这样大大提高了运算速度。文献[4]同样采用基于Cholesky分解的矩阵求逆算法,虽然也是可配置,但配置的矩阵维度较少,只能配置2、3、4三种维度的矩阵,且其算法...&
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一、问题的提出 在计算工作中经常需要对矩阵求逆。针对各种各样的矩阵有着各种各样的算法。但是,这些算法都是在具有合适的机型,在机器存储空间上浚有任何限制的前提下进行的。而在实际工作中,却往往无法满足这样的要求。 在已有投入产出表和武接消耗系数矩阵A,进行投入产出结构分析与政策模拟时,Leont ief矩阵(I一A)一‘是必不可少的。而当A是实物型遭接消耗系数矩阵时,其阶数往往要超过一百。要在微机上对这样高阶的矩阵应用一般求逆方法,由于存储空间的限制,所需耍的矩阵无法定义,求逆的目的自然就无法实现。 因此,我们对列选主元Gauos消去法作了一些改进,提出了按列分块求逆算法:在矩阵阶数相当大时,将其按列分成若干部分,充分利用内存,合理借用外存,使得在尽量保持精度和速度的前提下,相对小型的计算机能用于求相对大型矩阵的逆。 二、算法 设我们来用列选主元Gauss消去法对N阶非奇异矩阵A求逆。以L(k)=i。记第kfl&的主元所在行序号,井...&
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我们是用向后误差分析的方法对矩阵求逆算法进行舍入误差分析,先对三角阵L的求逆算法进行舍入误差分析,然后对一般矩阵A的求逆算法进行舍入误差分析。 对三角阵,为了确定,设入11入,,入,,0瓜1戈。…瓜,rz矛户者...、、、 一一 L、、、、...了z产n口若为非奇异的。X二阶下三角阵。并设它的计算逆阵为 z莽,1‘一(‘1”’,”’,‘·)一()‘若2,荟。。万的每一列向量二;都是解一个下三角形方程组得来。假定计算是按活位十进浮点数进行浮点运算,我们知道(见〔1])气满足 (L+凡)二、一氏(k一1,2,…,,),fl、其中e、为。维向量,它的第无个分量为1,其余分量为零;?‘x二阶矩阵一F、的元素喇丁,满足 !功才,}镇叩}久‘,J·10一‘,(2)其中ll,是一个与1同阶的常数。由(1)有 L,、一召、一F、⑦、(无一」一,2,…,,),(3)记矩阵 F一(F,二:,F。二。,…,F。二砂,(4)则(3、为 LX一1一F,(...&
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大型边界元方程组的并行直接分块求解算法
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基于分块QR分解的一种状态估计算法
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基于分块QR分解的一种状态估计算法杜正春，牛振勇，方万良(西安交通大学电气工程学院，陕西西安710049)摘要：文中提出了一种基于分块QR分解的状态估计方法。该方法把虚拟测量处理为等式约束，避免了由于权因子分散而导致的数值病态问题。在每次迭代中，通过对两个分块矩阵的QR分解和一个稀疏三角线性方程组的求解，实现了系数矩阵的三角分解。与带有约束的正规方程(NE/C)法相比，不但消除了Jacobian矩阵叉乘造成的信息损失，而且保证了分解的数值稳定性。稀疏QR分解采用了基于Givens变换的方法并利用最小度列排序和变主元消元策略，减少注入元素的数目，提高了状态估计的计算效率。试验系统的仿真结果表明了该方法具有良好的数值稳定性和鲁棒性，而且有较高的计算效率，可以满足在线状态估计的要求。关键词：电力系统；状态估计；非线性加权最小二乘；分块QR分解1引言状态估计是能量管理系统的重要组成部分。电力系统的各种高级应用软件诸如安全分析、经济调度、最优潮流等都要以状态估计所提供的实时可靠数据作为基础。依赖系统的网络参数和各种量测数据，并根据量测量与系统状态变量之间的数学关系式，借助于某种数学方法获得系统状态的过程称之为电力系统的状态估计，在数学上一般可描述为非线性加权最小二乘问题。在电力系统的各种量测数据中，除了通过SCADA获得实时的遥测量外，为了保证系统的可观测性并利用冗余数据提高状态估计的精度，可能还会包括伪测量和虚拟测量。遥测量一般包括节点电压幅值、节点注入功率、支路功率等；伪测量属于人工设置的数据，这些数据可能来自于潮流计算、以前状态估计的结果、历史数据或调度人员的猜测；虚拟测量是一种事先预知的可靠信息，例如联络节点的注入功率必然为零。各种测量的精度决定了它们在状态估计目标函数中权因子的大小，一般情况下，测量的精确越高，所赋予的权因子越大。遥测量的精度取决于测量仪表本身和数据传输过程中的误差；伪测量数据的误差一般较大；虚拟测量则绝对准确，不存在误差。近30年来，已提出多种电力系统状态估计方法[1~17]，并且一些方法已被成功地用于电力工业的实践。早期的正规方程(NE－NormalEquations)迭代方法，由于其系数矩阵的条件数很大，使方程出现病态，因此，直接求解(Gauss消去或Cholesky分解)时的数值稳定性很差，导致非线性加权最小二乘问题收敛很慢甚至不收敛。电力系统状态估计中的病态经常出现，给各种不同的测量配置很大和很小的权因子(如虚拟测量和伪测量有很大和很小的权因子)，包含大量的注入测量，长线和短线相连等都可能导致病态的出现，以致方法的收敛出现问题。正交变换法(Orthogonal)[1~3]和混合法[4]通过直接对Jacobian矩阵的QR分解，使得正规方程求解的数值稳定性得到大大的提高，从而对系数矩阵条件数较大的正规方程能够得到可靠的解。但前者的主要缺点是需要保存正交变换矩阵Q，由于该矩阵不再是稀疏的，因而需要占用大量存储空间；而后者不需存储Q，但和前者相比其数值稳定性相对要差一些[1]。NE/C方法[2]将虚拟测量处理为等式约束，从而把状态估计问题变为带约束的非线性加权最小二乘问题，并通过Lagrange乘子法得到每步迭代需要求解的线性方程组，避免了赋予虚拟测量很大权因子所导致的病态问题。然而，这时的系数矩阵不再是正定的，其求解的数值稳定性难以被保证。Hachtel增广矩阵法[5]将残差向量也设定为未知量，从而使得NE/C中的线性方程组增广为Hachtel方程。其中的增广系数矩阵中避免了Jacobian矩阵叉乘，从而具有较好的数值特性。但增广系数矩阵仍然是非正定的，并且矩阵的阶数大大增加，不利于算法实现的效率。文[6]提出了一种数值稳定的分解方法，它将等式约束状态估计分解为两个无约束最小二乘问题，并用Givens旋转加以实现，结果表明该方法比NE、NE/C、混合法及Hachtel法有更好的数值稳定性，但该方法的实现过于复杂。文[11]通过适当的处理，使得NE/C中的系数矩阵变为正定矩阵，从而保证了方法的鲁棒性。文[12]、[13]提出应用内点法求解带有等式和不等式约束的状态估计问题，具有很高的计算效率和鲁棒性，但不太适合大规模系统。随后，也有人提出了适合于大规模系统的快速解耦状态估计[14]和考虑拓扑、参数及坏数据处理的广义状态估计[15]。对于大规模电力系统来说，Jacobian矩阵是大型稀疏的，因而对其进行QR分解时利用Givens旋转要比Householder变换的效率更高。另外在进行QR分解过程中会产生大量的中间注入元素，并且最终的阵中也含有注入元素。前者会增加Givens旋转的次数，后者则增加前代回代的计算量。选择合适的列消去顺序和行消去顺序,有助于保持矩阵的稀疏性并减少分解的计算量[16]。文[6]~[10]对基于Givens旋转的稀疏QR分解用于电力系统状态估计做了许多卓有成效的研究工作。本文将提出一种基于分块QR分解的状态估计算法。它属于一类带约束的正规方程方法，避免了赋予虚拟测量过高的权因子而带来的数值不稳定问题。系数矩阵的求解采用分块QR分解算法，不但消除了Jacobian矩阵叉乘造成的信息损失，而且保证了分解的数值稳定性，并且分解过程中不需要保存正交矩阵。另外，基于最小度算法安排状态变量的次序，可减少R阵中的注入元素数目；利用行变主元策略的Givens旋转进行稀疏QR分解，从而减少分解中的中间注入元素数目，从而可总体上提高状态估计的计算效率。2最小二乘状态估计法存在的问题电力系统的状态通常定义为所有节点电压幅值和相角的集合。状态估计的数学模型基于如下测量与状态变量之间的数学关系：z=h(x) v(1)式中z为m维测量向量；h(×)为m维非线性函数向量；x为n维状态向量；v为m维测量偏差向量。　　一般假设误差{v1,v2,…,vm}是服从正态分布(均值为零)的相互独立的随机变量。测量误差vi的方差可度量测量的精度，方差大表示相应的测量误差大。不难证明如下最小二乘问题：将遥测量、伪测量和虚拟测量按适当的权因子统一在式(2)中处理，则式(2)的最优性一阶必要条件可用牛顿法求解，得到每次迭代过程中需要求解的线性方程组为如果系统是可观测的，则系数矩阵G为对称正定矩阵，可以用一般的稀疏矩阵分解算法对它进行三角分解，从而通过前代和回代求得修正量，这就是所谓的NE法。系统固有的病态和赋予虚拟测量较大的权因子，使得W1/2H的条件数较大。加之G的计算需要矩阵叉乘，这样不但会造成信息损失，而且导致G的条件数是W1/2H条件数的平方[17]。这些都将导致NE法出现数值不稳定问题。线性加权最小二乘问题为在正交变换法[2]中，每次迭代求解式(5)时，对做QR分解，得当Dx满足式(8)时，式(5)有最小值。[1][2][3][4]下一页
来源：中国电力资料网
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矩阵：A、B、C、D构成新矩阵：F
A、B
C、D
是不是F^-1等于
A^-1、B^-1
C^-1、D^-1
？
就算都是方阵,B^-1, C^-1的位置也要互相调换一下,这个问题是很严重的错误.......这个调换主要是和求伴随方阵的公式有关,伴随阵的公式最好看清楚了,上三角和下三角的所求出的伴随元素是要调换位置的,逆阵本身就是伴随阵除以一个系数...而且我感觉B^-1 C^-1的正负号还要和A的阶数有关,A为偶数阶应为
A^-1、C^-1
B^-1、D^-1
A^-1、-(C^-1)
-(B^-1)、D^-1
这也是因为伴随阵公式有关.......
当然能不能这么做很难说,我感觉不太可能,如果可能就说明F中A区域的元素和B,C,D中的无关,但实际不分块求逆阵,都要先求伴随阵,而伴随阵中的A*中的每个元素都和B,C,D中的元素有关...也许是可以求出相同的结果把...
当一个矩阵可以写成分块对角阵
时，我们用分块矩阵的形式进行矩阵的运算会比较方便；如果分块以后并不是对角阵，即
1、若存在可逆阵P、Q，使PAQ=B，则称矩阵A与矩阵B等价；
2、若存在可逆阵P，使P^(-1)AP=B，则称矩阵A与矩阵B相似；
3、若存在可逆阵P，使P'...
对矩阵作如下变换：
1、位置变换：把矩阵第i行与第j行交换位置，记作：r(i)r(j)；
2、倍法变换：把矩阵第i行的各元素同乘以一个不等于0的数k，记作：k*...
飞行数据译码分析系统FDAS(Flight Data Analysis System)。
虚数的物理指称性呼唤着新数学
众所周知，实数具有物理指称性，比如称某物质量为5千克，体积为15立方厘米等等，都是用实数作为物理指称的。一般认为，只有具有实数物理...
答: 胎芽长18毫米是多大？是正常的长度吗？还可以给一下胎芽长度的一定范围给我吗？
答: x->0:lim(1+x)^(-1/x)
=1/[x->0:lim(1+x)^(1/x)
x->∞:limxsin(1/x)
=1/x->0:lim[...
答: 计算科学是一门什么样的学科？
答：计算学科（通常也称作计算机科学与技术）作为现代技术的标志，已成为世界各国经济增长的主要动力。但如何认识这门学科，它究竟属于理科...
答: 补课是比较错误的方式。我一直到高中毕业没补过课。爸妈也不管我，随我学什么。我打游戏和化学都挺好。现在在大学读书，很深刻地感受到教育是钱买不来的。在实验室做小型的...
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