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高数微积分例题
第二节 换元积分法第一类换元法 第二类换元法回顾基本思路设 F ?(u ) ? f (u ) , 可导, 则有dF [? ( x)] ? f [? ( x)]? ?( x)dx F [? ( x)] ? C ? F (u )? C? ? f (u )duu ?
? ( x )u ?? ( x )第一类换元法 第二类换元法第一类换元法问题? cos 2 xdx? sin 2 x ? C ,解决方法 利用复合函数，设置中间变量.1 过程 令 t ? 2 x ? dx ? dt , 2 1 1 1 ? cos 2 xdx ? 2 ? cos tdt ? 2 sin t ? C ? 2 sin 2 x ? C .定理1u 设 f (u) 具有原函数， ? ? ( x ) 可导，则有换元公式? f [? ( x )]? ?( x )dx ? [? f (u)du]u?? ( x )第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将? g( x )dx化为 f [?( x )]??( x )dx .?观察重点不同，所得结论不同.例1求 sin 2 xdx .?1 解（一） ? sin 2 xdx ? ? sin 2 xd ( 2 x ) 2 1 ? ? cos 2 x ? C ; 2 解（二） ? sin 2 xdx ? 2? sin xcos xdx? 2? sin xd (sin x ) ? ?sin x ? ? C ;2解（三） ? sin 2 xdx ? 2? sin xcos xdx? ?2? cos xd (cos x )? ? ?cos x ? ? C .2例2. 求 解:sin x dcos x ? cos xdx ? ?? cos x类似cos x dx d sin x ? sin x ? ? sin x例3 解1 dx . 求 ? 3 ? 2x 1 1 1 ? ? ? ( 3 ? 2 x )?, 3 ? 2x 2 3 ? 2x1 dx ? 1 ? 1 ? ( 3 ? 2 x )?dx ? 3 ? 2x 2 3 ? 2x1 1 1 1 ? ? du ? ln u ? C ? ln(3 ? 2 x ) ? C . 2 u 2 2 1 一般地 ? f (ax ? b)dx ? [ ? f ( u)du]u?ax? b a【练习】求下列不定积分①? (2 x ? 1)10dx②1 ? (2 x ? 1)10 dx1 例4 求 ? x(1 ? 2 ln x )dx . 1 1 dx ? ? 解 ? d (ln x ) x(1 ? 2 ln x ) 1 ? 2 ln x1 1 ? ? d (1 ? 2 ln x ) 2 1 ? 2 ln xu ? 1 ? 2 ln x1 1 1 ? ? du ? ln u ? C ? 1 ln(1 ? 2 ln x ) ? C . 2 u 2 2x 例5 求 ? dx . 3 (1 ? x ) x x ?1?1 dx ? ? dx 解 ? 3 3 (1 ? x ) (1 ? x ) 1 1 ? ?[ ? ]d (1 ? x ) 2 3 (1 ? x ) (1 ? x ) 1 1 ?? ? C1 ? ? C2 2 1? x 2(1 ? x ) 1 1 ?? ? ? C. 2 1 ? x 2(1 ? x )1 例6 求 ? 2 dx . 2 a ?x 1 1 dx ? 2 ? 解 ? 2 2 a ?x a1 ? ? a1 2 dx x 1? 2 a1 x ? x? 1 ? ? arctan ? C . 2d ? a ? x? ? a ? a 1? ? ? ?a?例7. 求 解:?adxx 1 ? (a)2??x d (a) x 1 ? (a)2想到?du 1? u2? arcsin u ? C(直接配元)? f [? ( x)]? ?( x)dx ? ? f (? ( x))d? ( x)例8. 求 解:1 ( x ? a) ? ( x ? a) 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ? 2 2 2a ( x ? a)( x ? a ) 2a x ? a x ? a x ?a1 ? dx dx ? ?? ∴ 原式 = ? ? 2a ? x ? a x?a? ?d( x ? a ) ? 1 ? d( x ? a ) ?? ? ?? x?a ? 2a ? x ? a ?1 ? ? ln x ? a ? ln x ? a 2a1 x?a ?C ? ? C ? ln 2a x ? a1 dx . 例9 求 ? x 1? e 1 1? ex ? ex dx ? ? dx 解 ? x x 1? e 1? e x ex ? e ? dx ?dx ? ? dx ? ? ? ? ?1 ? x x 1? e ? 1? e ?1 x ? ? dx ? ? d (1 ? e ) x 1? e? x ? ln(1 ? e x ) ? C .【练习】求下列不定积分①1 ? e x ? e ? x dx②?ex 1 ? e2xdxe x sec 2 e x dx ③ ?1 例10 求 ? (1 ? 2 )e dx . x ? 1? 1 ? 解 ? ? x ? ? ? 1? 2 , x? x ?1 ? ? (1 ? 2 )e x ? ?ex? 1 x x? 1 xx?1 xdxx? 1 x1 d( x ? ) ? e x? C.例11. 求?e3xxdx .3 x2 3 x 解: 原式 = 2 ? e d x ? ? e d(3 x ) 3 2 3 x ? e ?C 3例12. 求 解法1cos x d sin x ?? dx ? ? 2 cos x 1 ? sin 2 x 1 ? 1 1 ? ? d sin x ? ? ?? 2 ? 1 ? sin x 1 ? sin x ? ? ?? 1 ? ? ln 1 ? sin x ? ln 1 ? sin x ? ? C 2 1 1 ? sin x ? ln ?C 2 1 ? sin x解法 2(sec x ? tan x) sec x ? tan x sec 2 x ? sec x tan x ?? dx sec x ? tan x d (sec x ? tan x) ?? sec x ? tan x同样可证? csc xdx ? ln csc x ? cot x ? C或x ? ln tan ? C 2例13. 求 ? sec xdx .6 2 x d tan xd x 解: 原式 = ? (tan x ? 1) ? sec 2 2? ? (tan 4 x ? 2 tan 2 x ? 1) dtan x2 3 1 5 ? tan x ? tan x ? tan x ? C 3 5例14 . 求1 ? cos 2 x 2 ) 解: ? cos x ? (cos x) ? ( 2 ? 1 (1 ? 2 cos 2 x ? cos 2 2 x) 44 2 2? 1 (1 ? 2 cos 2 x ? 1? cos 4 x ) 4 2 ? 1 ( 3 ? 2 cos 2 x ? 1 cos 4 x) 4 2 2?? cos x dx ?4 3 21 4( 3 ? 2 cos 2 x ? 1 cos 4 x) dx ? 2 2dx ? ? cos 2 x d( 2 x) ? 1 ? cos 4 x d(4 x) ? ? 8例15 解求sin 2 x ? cos 5 xdx . ?2 2sin2 x ? cos5 xdx ? ? sin 2 x ? cos 4 xd (sin x ) ?2? ? sin x ? (1 ? sin x ) d (sin x ) ? ? (sin2 x ? 2 sin4 x ? sin6 x )d (sin x )1 3 2 5 1 7 ? sin x ? sin x ? sin x ? C . 3 5 7说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.例16 求 sin x cos xdx1 1 2 解 原式= ? sin 2 xdx ? 8 ? (1 ? cos4 x)dx 4 1 ? ? dx ? ? cos 4 xdx 8?22??1 1 1 1 ? ? dx ? ? cos 4 xd (4 x) ? x ? sin 4 x ? C 8 32 8 32说明 当被积函数是三角函数相乘时，均为偶数, 可同时利用半角公式及变量代换解决.例17求 cos 3 x cos 2 xdx .?1 解 cos A cos B ? [cos( A ? B ) ? cos( A ? B )], 2 1 cos 3 x cos 2 x ? (cos x ? cos 5 x ), 2 1 ? cos 3 x cos 2 xdx ? 2 ? (cos x ? cos 5 x )dx 1 1 ? sin x ? sin 5 x ? C . 2 10【练习】求下列不定积分 (1)(3)? sin? sin3xdx2cos x dx (2) ? 2 1 ? sin x3x cos xdx(5)(4)sin x ? cos 10 x dx? sin4x cos xdx4例17 求?sec 4 x tan 3 xdx(1 ? tan 2 x) tan 3 xd (tan x) 解 原式= ?? ? tan 3 xd (tan x) ? ? tan 5 xd (tan x)1 1 4 ? tan x ? tan 6 x ? C 4 6例18 求?sec 3 x tan 3 xdx解 原式= ? sec 3 x tan 3 xdx ? ? sec 2 x(sec 2 x ? 1)d (sec x)1 1 5 ? ? sec xd (sec x) ? ? sec xd (sec x) ? sec x ? sec 3 x ? C 5 34 2例19求?121 x 4 ? x arcsin 22dx .1解?x 4 ? x arcsin 2 1dx ? ?x d 2 x 2 ? x? 1 ? ? ? arcsin 2 ? 2?x x ?? d (arcsin ) ? ln arcsin ? C . x 2 2 arcsin 2例20解??x ln tan 2 dx ? sin x x x ln tan ln tan 2 dx ? 2 dx ? sin x ? x x 2 sin cos x 2 2 ln tan2 dxx l n tan 2 d( x ) ?? x 2 2 x tan cos 2 2x sin 2 cos2 x 2 x 2 cos 2x ln tan 2 se c2 x d ( x ) ?? x 2 2 tan 2 x ln tan 2 d tan x ? ln tan x d ln tan x ?? ? x 2 2 2 tan 2 1 2 x ? ln (tan ) ? C 2 2例21解求 ? x(1 ? x) dx6x(1 ? x) dx ? ? [1 ? (1 ? x)](1 ? x) dx ?6 6? ? [(1 ? x ) ? (1 ? x ) ]dx6 7? ? ? (1 ? x ) d (1 ? x ) ? ? (1 ? x ) d (1 ? x )6 7(1 ? x ) (1 ? x ) ?? ? ?C 7 87 8例22解设 f ?(sin 2 x ) ? cos 2 x , 求 f ( x )令 u ? sin x ? cos2 x ? 1 ? u,2.f ?( u) ? 1 ? u,1 2 f (u) ? ? ?1 ? u?du ? u ? u ? C , 2 1 2 f ( x) ? x ? x ? C . 2第一类换元法小结? f [? ( x )]? ?( x )dx ? [? f (u)du]u?? ( x )第一类换元公式（凑微分法） 常用简化技巧: (1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项;1 ? sin 2 x ? cos 2 x 等(2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如万能凑幂法? f ( x ) x dx ? f ( x ) d x n 1 1 f (xn ) 1 d xn ? f (x ) x dx ? n ? xn n ?1?1 nnnn(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法(4) 巧妙换元或配元思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同?dx dx ( 2) ? (1) ? 4? x 4 ? x2 x d(4 ? x 2 ) dx (3) ? dx ? 1 ? 2 (6) ? 4 ? x2 4 ? x2 4x ? x2 x2 (4) ? dx 2 4? x dx 1 1 (5) ? ? 2 2? x 2? x 4? x2. 求 提示:法1 法2法3(x ? ) ? x1010101 10dx? 1 d x ?10 10作业目录上页下页返回结束3. 求 解: 原式 ? ?f ( x) ? f ??( x) f ( x) 1? ? f ?( x) ? f ? 2 ( x)? dx ? ???f ( x) f ? 2 ( x) ? f ??( x) f ( x) ? dx 2 f ?( x) f ? ( x)f ( x) f ( x) ?? d( ) f ?( x) f ?( x)1 ? f ( x) ? 2 ? ?C 2 ? f ?( x) ? ? ?复 习1 原函数与不定积分的概念： ? 原函数 ? 不定积分F ?( x ) ? f ( x )? f ( x )dx ? F ( x ) ? C? 不定积分的性质d dx?? f ( x )dx? ? f ( x ), ? F ?( x )dx ? F ( x ) ? C ,? [ f ( x) ? g ( x)]dx ? ? f ( x )dx ? ? g( x ) ? kf ( x)dx ? k ? f ( x )dx.基 本 积 分 表(1)( 2)( 3) ( 4) 4( 5) 5( 6) 6x ? x dx ? ? ? 1 ? C (? ? ?1); dx ? x ? ln x ? C; 1 ? 1 ? x 2 dx ? arctan x ? C ; 1 ? 1 ? x 2 dx ? arcsin x ? C ; ? cos xdx ? sin x ? C ;?? kdx ? kx ??C ? 1( k是常数);(7) 7( 8) 8? sin xdx ? ? cos x ? C ; dx 2 ? cos2 x ? ? sec xdx ? tan x ? C ;dx (9) ? 2 ? ? csc2 xdx ? ? cot x ? C ; 9 sin x(10) ? sec x tan xdx ? sec x ? C ; 10 (11) ? csc x cot xdx ? ? csc x ? C ; 1112 (12)e x dx ? e x ? C; ? ax x ? C; (13) ? a dx ? 13 ln a2直接积分法:利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 . 分项积分 常用恒等变形方法 加项减项利用三角公式 , 代数公式 ? ,
定积分微积分练习题总结_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1.若 a=?2x dx,...定积分、微积分习题总结 7页 免费
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微积分考前10天大一上文科微积分
课本里章目是
二 函数的极限 三 函数的导数
微分与不定积分
定积分就这五章 1月10号考试
能复习及格吗? 第一章第三章基本会的 只求60
如果可以 怎么复习? 期中抄了80
期末考50就可以稳过
还是有点悬 主要积分什么都不会…………
怎么办~ 求各位大神协助 给力给力啊……求详细点的复习计划
青枫nryp70
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要是你的积分部分一点都不会的话有点悬下面是我的想法前面3章花1到2天的时间,尽量别超过两天,（这部分很简单的,你也可以在这两天把微分这一部分解决掉）.在8号以前,把不定积分部分和定积分部分的基本搞懂,当学习完一小节时做2到3个简单点的题目,别太难的,太难的话很打击学习的信心的.8号一天做前几年的考题9号把前面的都复习一遍,把那些积分公式记牢10号去考试,在考试前还是要看一遍几个重要的积分公式望采纳
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一道基础的微积分题目当x趋向于1的时候,求 1/(x-1) -3/(x3次-1) 的极限,通分之后分子出现三次,貌似不能配方啊,怎么消去吖
xiGC84YF73
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扫描下载二维码高数、微积分求极限的十六种方法总结
&假如高等数学是棵树木得话，那么&极限就是他的根，&&函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，&&可见这一章的重要性。为什么第一章如此重要？&&&各个章节本质上都是极限，&&是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面首先&&对&&极限的总结&&如下极限的保号性很重要&&&就是说在一定区间内&&函数的正负与极限一致1&&极限分为&&&一般极限&&&，&&还有个数列极限，&&（区别在于数列极限时发散的，&是一般极限的一种）2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1&等价无穷小的转化，&&&（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用&&但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）&e的X次方-1&&&或者&（1+x）的a次方-1等价于Ax&&等等&。&&全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2&&LHopital&法则&&&（大题目有时候会有暗示&&要你使用这个方法）&&首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！&&&必须是&&X趋近&而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，&&当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件&&（还有一点&&数列极限的n当然是趋近于正无穷的&&不可能是负无穷！）&&&必须是&函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）,&&没告诉你是否可导，&直接用无疑于找死！！）&&必须是&&0比0&&无穷大比无穷大！！！！！！！！！&&&当然还要注意分母不能为0&&&&LHopital&&法则分为3中情况1&0比0&&&无穷比无穷&&时候&&直接用&2&&&0乘以无穷&&&无穷减去无穷&&&（&应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以&无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后&&&这样就能变成1中的形式了3&&0的0次方&&&&1的无穷次方&无穷的0次方&&&&&&对于（指数幂数）方程&方法主要是取指数还取对数的方法，&&这样就能把幂上的函数移下来了，&就是写成0与无穷的形式了&，&（&&这就是为什么只有3种形式的原因，&LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0&&当他的幂移下来趋近于无穷的时候&&LNX趋近于0）3泰勒公式&&&&(含有e的x次方的时候&&，尤其是含有正余旋&&的加减的时候要&特变注意&&！！！！）E的x展开&&&sina&&展开&&&cos&&展开&&&ln1+x展开&对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法&&取大头原则&&&&最大项除分子分母！！！！！！！！！！！&&看上去复杂处理很简单&！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，&尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数&可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式&&，放缩和扩大。7等比等差数列公式应用（对付数列极限）&（q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加&（来消掉中间的大多数）&（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数9求左右求极限的方式（对付数列极限）&例如知道Xn与Xn+1的关系，&已知Xn的极限存在的情况下，&&xn的极限与xn+1的极限时一样的&，应为极限去掉有限项目极限值不变化10&2&个重要极限的应用。&&这两个很重要&！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值&&&。&&地2个就如果x趋近无穷大&无穷小都有对有对应的形式
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