分部积分法例题讲解，求积分

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-07-15 16:34 标签： 分部积分法
利用口诀计算分部积分的方法
龙源期刊网http:.cn利用口诀计算分部积分的方法作者：吕昂来源：《中国校外教育·综合(上旬)》2013年第03期分部积分是积分运算的基本方法之一。运用分部积分法计算积分问题时，通常采用“竖式法”或“表格法”等，但这些方法往往操作起来十分复杂或不容易理解。本文将介绍一种简便的计算法——口诀法，以达到简化运算的目的。分部积分口诀法分部积分口诀高等数学是高职高专的一门公共基础课，微积分是高职高专学生的必修内容。一元函数微积分实际上包括两部分内容，一部分是微分学（极限、导数、导数的应用），另一部分是积分学（不定积分、定积分）。对于高职学生来讲，求函数的导数相对来说比较容易理解，计算方法也比较容易掌握。而对于积分来说学生时常会感觉到比较困难，有时做题无从下手。不定积分的计算方法主要包括：直接积分法、换元积分法（第一换元法、第二换元法）、分部积分法。而其中的分部积分法更是较难掌握，传统计算分部积分时通常采用“竖式法”或“表格发”，但这些方法操作起来往往比较复杂或不易理解。下面将介绍一种简单有效的分部积分计算方法——口诀法。在利用分部积分法计算积分问题时，被积函数通常是两个不同类型函数的乘积。不妨假设这两个不同类型的函数为U（x）和V（x），则分部积分口诀公式为：为进一步理解上面公式，我们首先来研究一下选择积分函数的先后顺序。下面我们来看几个例子。由例1可以看出，当被积表达式中的U（x）和V（x）是由幂函数和三角函数组成时，通常“积”三角函数.由例2可以看出，当被积表达式中的U（x）和V（x）是由幂函数和对数函数组成时，通常“积”幂函数.有些积分需要接连应用几次分部积分法才能完成.由例3可以看出，当被积表达式中的U（x）和V（x）是由幂函数和eax（指数函数）组成时，通常“积”eax（指数函数）.有些积分在接连使用几次分部积分后，会出现与原来积分相同类型的项，经过移项合并后，可得所求积分.
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ｃｏｓｘ＋ｅｃｓｘｄｘ＝－ｅｃｏｓｘ＋ｅｄｓｉｎｘ）＝＝－ｅ　　　　例４　求ｘ．∫ｏ∫（
（１＋ｘｏｓｘ＋ｅｓｉｎｘ－ｅｓｎｘｄｘ．－ｅｃ　　　分析　此题是幂函数和指数函数，设ｕ＝∫ｉ．
（１＋ｘ１所以，ｅｓｉｎｘｄｘ＝（ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ）．＋ｃ　　　ｘｅｘ２∫（）＝解　ｘ＝ｅ
（（∫∫１＋ｘ１＋ｘ法二：设ｕ＝ｓ则ｅｓｉｎｘ，ｎｘｄｘ＝　　
（（（１＋ｘ１＋ｘ１＋ｘ（）ｓｉｎｘｄｅ＝ｅｓｉｎｘ－ｅｃｓｘｄｘ＝ｅｓｉｎｘ－　　　　
∫∫ｏ（）＝ｅ－－
（（（１＋ｘ１＋ｘ１＋ｘ（ｃｏｓｘｄｅ）＝ｅｓｉｎｘ－ｅｃｏｓｘ－ｅｓｉｎｘｄｘ．　　　　
ｘ．１（所以，ｅｓ１＋ｘｉｎｘｄｘ＝（ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ）＋ｃ．　　　
２∫（）所以，ｘ＝＋ｃ．
例２　求ｘｅｄ（（ｘ．１＋ｘ２１＋ｘ∫
，（解　法一：设ｕ＝ｅ则ｅｓｉｎｘｄｘ＝ｅｄｏｓｘ）－ｃ　　ｘ　
ａｒｃｔａｎｘ　
　　当被积函数是比较复杂的且包含复合结构的函数时，用上述分布经验更为方便．
ｘ　ｘ　ｘ　
ａｒｃｔａｎｘ　
ａｒｃｔａｎｘ　
ａｒｃｔａｎｘ　
ａｒｃｔａｎｘ　
ａｒｃｔａｎｘ　
３１ｘｘ　ｘ　ｘ　
ａｒｃｔａｎｘ　
ａｒｃｔａｎｘ　
ａｒｃｔａｎｘ　
ｘｘ　ｘ　ｘ　
１１ａｒｃｔａｎｘ　
ａｒｃｔａｎｘ　
ａｒｃｔａｎｘ　
３２ｘ［３］３
分析　此题是指数函数和幂函数，设ｕ＝ｘ．
３　结束语
２３２２２３２ｘ３ｘｘ
解　ｘ）ｅｄｘ＝ｘｄｘｅｘｄｘ＝ｅ－２２２
∫∫文章提出选择分部积分公式中的ｕ和ｖ是根′的方法，据函数求导后函数结构是否发生变化和求导后幂次是否降低的数学思想得到的．这种方法将求积分问题转化为求导问题，使计算量大大减小，且方法非常简单，具有很强的可行性．
３２２２３２２２
ｘ）＝ｅｘ－ｘｅｘ－ｅｘ－
２２２２２２
２ｘｘｅｄｘ）＝
３２２２）３２ｘ
ｅｘ－ｅｘ＋ｘｄ＝ｅ－２２４２２
２２）３２２２ｘｘ
ｅｘ＋ｘｄｘ＝ｅ－ｅ＋（－
４２２４２２２
参考文献：
［］同济大学应用数学系．高等数学：上册［北京：１Ｍ］．６版．
高等教育出版社，２００７．［］王信存．——分部积分法关键一种新的函数分类方法—２
］（）：函数的确定原则［宜宾学院学报，Ｊ．２００８６３１－３２．［］黄朝军，］张胜虞．例谈方程思想求解不定积分［凯里３Ｊ．（）：学院学报，２００７，２５６１３－１４．［］金小梅，］毛本清．不定积分中“的妙用［河北北方４１”Ｊ．
（）：学院学报：自然科学版，２００７，２３４１９－２０，２３．［］连　坡．］分部积分法使用的几个技巧［高等数学研５Ｊ．
（）：究，２００６，９６３７－３８，４５．
［责任编辑：张和平］
３２２２２２ｘ
ｘ）＝ｅｘ－ｅｘ＋ｅｘ－＋ｃ．２２４４８
［］例３　求ｘ４．２ｘ
分析　此题是反三角函数和指数函数，设ｕ＝ａｒｃｔａｎｅ．　ｘ
解　ｘ＝ａｒｃｔａｎｅｅｄｘ＝　２ｘ
ｘ２ｘ２ｘｘ－－
（）＝－ａｒｃｔａｎｅｄｅａｒｃｔａｎｅ－　　
（ｅｄａｒｃｔａｎｅ）＝－ａｒｃｔａｎｅ＋　　２２（ｅ·ｅ）＝－ａｒｃｔａｎｅ＋＋　２２１＋ｅ（ｅ）＝－ａｒｃｔａｎｅ＋　（）２２２ｅ·１＋ｅｅ－
２ｘ－ｘ２ｘ－ｘ
ｘ２ｘ－ｘ
２ｘ２ｘ２ｘ
）（－ｘｘ２ｘｘｘ－
）＝－ａｒｃｔａｎｅ－ｅ＋ｃ．ｒｃｔａｎ－　　２ｘｄｅ２２２１＋ｅ
ＴｈｅＯｒｄｅｒｏｆＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎＥｘｅｒｉｅｎｃｅｉｎＩｎｔｅｒａｔｉｏｎｂＰａｒｔｓ　　　　　　　ｐｇｙ　
ＧＵＯＺｈｕ－ｍｅｉ　
（，ＤｅａｒｔｍｅｎｔｏＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＡｎｈｕｉＳｃｉｅｎｃｅａｎｄ　ＴｅｃｈｎｏｌｏＵｎｉｖｅｒｓｉｔＦｅｎａｎＡｎｈｕｉ２３３１００，Ｃｈｉｎａ）　　　ｐｆ　ｇｙ　ｙ，ｇｙｇ，
：ＷｈＡｂｓｔｒａｃｔｅｎｍｅｔｈｏｄｏｆｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎｉｓｕｎｓｕｉｔｅｄｆｏｒｔｈｏｓｅｉｎｔｅｒａｎｄｃｏｍｏｓｅｄｂｔｗｏｄｉｆｆｅｒ　　　　　　　　　　　－ｇｐｙ　，ｅｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎｓｗｅｏｆｔｅｎｉｎｔｅｒａｌｂｄｉｖｉｄｉｎｉｎｔｅｒａｎｄｉｎｔｏｔｗｏａｒｔｓ．Ｂｕｔｉｎｕｖ′ｄｘ＝ｕｖ－　　　　　　　　ｇｙｇｇｐ　　
ｖｕ′ｄｘ，ｈｏｗｔｏｓｅｌｅｃｔｕ，ｖｉｓｄｉｆｆｉｃｕｌｔ．Ｗｅｉｖｅｔｈｅｏｒｄｅｒｏｆｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｅｘｅｒｉｅｎｃｅｉｎｉｎｔｅｒａ　　　　　　　　　　　　　－ｇｐｇ
ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｅｄａｆｔｅｒｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ．ａｒｅ　　　
：；；Ｋｅｗｏｒｄｓｉｎｔｅｒａｔｉｏｎｂｓｅｌｅｃｔｔｈｅｏｒｄｅｒｏｆｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｅｘｅｒｉｅｎｃｅａｒｔｓ　　　　　ｇｙｐｐｙ　　·１４·
ｔｉｏｎｂａｒｔｓ，ｔｈｒｏｕｈａｎａｌｚｉｎｗｈｅｔｈｅｒｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅａｎｄｏｗｅｒｏｆｂａｓｉｃｅｌｅｍｅｎｔａｒｆｕｃｔｉｏｎｓ　　　　　　　　　ｙｐｇｙｇｐｙ　　　
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