2016年六年级上册数学第四单元比教学设计（青岛版）
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2016年六年级上册数学第四单元比教学设计（青岛版）
作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
2016年六年级上册数学第四单元比教学设计（青岛版）
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文 章来源莲山 课件 w w w.5Y k J.C om 第四单元&& 人体的奥秘――比■&教材分析本单元共安排2个信息窗。教材以“人体的奥秘”为线索，第一个信息窗呈现的是赵凡身体各部分长度的情景，借助问题“赵凡的头部长和身长有怎样的关系呢“，让学生了解头部长和身长的关系除了可用分数表示之外还有另一种表示方法，从而引出“比”，并初步认识比各部分的名称。借助“赵凡3分钟走了330米，她的行走速度是多少”这个问题，比的意义和求比值的方法。通过“想一想，比有怎样的性质”，让学生根据商不变的性质和分数的基本性质先大胆猜测比有什么性质，然后让学生举例验证，从而得出比的基本性质。借助问题“你能把14:21化成最简单的整数比吗”，来化简比的方法。第二个信息窗呈现的是明明和爸爸的对话这一情境，借助“明明体内的水分及其他物质各有多少千克”这一问题，引入对按比分配知识的学习，并提高学生解决实际问题的能力。 本单元是在学生学习了分数的意义、性质、分数与除法的关系和分数乘除法的基础上教学的。由于比和分数有着密切的联系，把比安排在分数除法之后进行教学，既加强了知识间的内在联系，又为以后学习比例及相关知识打下基础。本单元教材编写的主要特点：1.情境创设贴近实际，生动有趣。2.注重数学思想方法的指导。教材第一个信息窗中第三个红点部分以“根据商不变的性质，我猜……”作为切入点，启发学生调动原有的知识经验，引导学生经历“猜想―验证―总结”的研究问题的过程，旨在渗透比较、类推、化归等数学方法。■&教学目标1．使学生在现实情境中理解比的意义，掌握比的读、写方法，知道比各部分名称以及比与分数、除法的关系；理解并掌握比的基本性质，能应用比的意义基本性质求比值、化简比，能应用比的知识解答按比分配的实际问题。2．使学生经历比的概念的抽象过程，经历探索比与分数、除法的关系以及比的基本性质的过程，积累数学经验，进一步体会数学知识之间的内在联系，培养观察、比较、抽象、概括以及合情推理的能力。3. 使学生在经历用比描述生活现象、解决实际问题的过程中，感受比与日常生活的密切联系，感受数学知识和方法的应用价值，增强自主探索与合作交流意识，提高学生学好数学的自信心。■&重点、难点 重点:理解比的意义和性质。难点:理解比的意义和性质，能灵活运用按比分配解决实际问题。■&教学建议1．注意体现数学知识间的内在联系。比、分数、除法之间有着密切的联系。教学时，要充分利用以往的知识经验，沟通三种之间的联系，完成比的教学。在比的应用方面要注意引导学生将按比分配问题转化成“求一个数的几分之几是多少”的问题，学会解答方法。2、提供丰富现实的素材，让学生理解比的意义。“比”包含了同类量比较和非同类量比较两种，教师要借助信息窗中提供的人体各部分的比，使学生理解同类量比较中比的含义。另外，还应借助自主练习中的素材，帮助学生理解非同类量比较中比的含义，从而使学生全面理解比的意义。
■&课时安排本单元用4课时完成教学，其中机动1课时。课题&课时比的意义&1比的基本性质&1比的应用―按比分配&1我学会了吗&1回顾整理&1“黄金比”的美&1测试&1总计&7
1& 比的意义&教学内容教材第40～41页，分数的意义&教学提示分数的意义在求比值中的应用。&教学目标 知识与能力理解比的意义，会读、写比；认识比的各部分名称；掌握求比值的方法，能准确地求出比值。过程与方法理解比、分数、除法之间的关系，通过观察，让学生懂得事物之间是相互联系的。情感、态度与价值观培养学生比较、分析、抽象、概括和自主学习的能力。培养他们在生活中发现数学问题，提出问题的意识。&重点、难点重点：掌握比的意义，建立比的概念，能准确地求出比值。。难点：区分开比、除法和分数的关系教学准备教师准备：实物投影仪；多媒体课件等。学生准备：笔、练习本等；分数意义知识储备。教学过程（一）新课导入：人体存在许许多多的奥秘，了解了人体结构及比例，今后绘制人体图时就会得心应手。课件出示信息窗一，学生观看大屏幕提问：从屏幕中你获得哪些数学信息？（学生回答）赵凡的头长25厘米，臂长66厘米，腿长88厘米，身高160厘米。根据两个条件可以提出什么问题？怎样解答？设计意图：结合情境图，引导学生根据发现的数学信息，提出在（两个条件下）相应的数学问题，培养学生发现数学信息，在限制条件下提出数学问题的意识和能力，感受到解决问题的必要性。（二）探究新知：1、初步理解比的意义。（1）教学同类量的比。预设：1.赵凡的头长是身长的几分之几？& & 25÷160= &&&&& 2.赵凡的身高是头长的几倍？&&&&& & 160÷25=这两种关系都是用除法来表示的。今天我们再学习一种新的对两个数量进行比较的方法，这就是比。下面我们来共同理解比的意义。怎样用算式表示赵凡的头长和身高的关系呢？可以用头长是身长的几分之几？& 25÷160=头长和身高的关系还可以说成头长和身长的比是25比160。可以用身高是头长的几倍，& 160÷25=身高和头长的关系还可以说成身高和头长的比是160比25。揭示课题，板书课题：比的意义让学生用“比”说说其他两者之间的关系。（2）教学比的读写法、各部分名称读：25比160，记作25:160，或25160 ；读：160比25，记作160:25，或16025 。 比有两种写法，特别是第二种写法要注意，它形式上和分数相似，但读法和书写的顺序是不同的。“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。不伦是头长和身高之间的比，还是臂长和腿长之间的比，都是两个长度的比，相比的两个量是同类量。（3）教学不同类量之间的比赵凡3分钟走了330米，怎样用算式表示赵凡的行走速度？预设：生1、我们学过“速度=路程÷时间”，所以用算式330÷3来表示。&&&&& 生2、我们也可以用330比3来表示路程和时间的关系。这里3分钟和330米是两个不同类的量。路程与时间的比值表示速度。（3）归纳比的意义。什么是比，（不管是同类量还是不同类量）两个数相除，又叫做两个数的比。是描述两种之间关系的一种表示方法。比值又是什么？ 比的前项除以后项所得的商叫作比值。&不同比的比值所表示的实际意义不同。比值可以用整数或小数来表示，也可以用分数表示。小结：说两个数量进行比较要弄清谁和谁比，谁在前、谁在后，不能颠倒位置，否则，比表示的具体意义就变了。2.怎样求比值。生：用前项除以后项。师：很好，就是根据比值的定义。对于比的前项和后项数的种类不同的最好先化成相同的。例：34 ：0.5=34 ÷0.5=34 ÷12 =32 3.比与除法、分数之间的关系。（1）比与除法之间的关系师：观察上面的式子，你有什么发现？生：比的前项相当于被除数，比号相当于除号，后项相当于除数。（2）比的后项能不能为0？为什么？生：比的后项不能为0。因为比的后项相当于除数，除数不能为0，所以比的后项也不能是0。（3）足球比赛中经常出现的2:0的意义是什么？它是一个比吗？数学中的比表示两个数相除，足球赛中的比表示进球的个数，或是得分。（4）比与分数的关系是怎样的生：通过观察，比的前项相当于分子，比号相当于分数线，比的后项相当于分母。总结：师：我们用一个表格来表示它们之间的关系。&&相当于&不同点比&前项&比号&后项&比值& 除法& & & & & 分数& & & & & 把表格填写完整后，让学生完整地说一说比、除法和分数三者之间的联系与区别，之后全班学生一起说。设计意图：通过实例，理解比的意义，和比各部分的名称，根据比值的定义，求比值。这节课是一堂概念课，需要学生记忆，理解的比较多。讲解的比较多，不能让学生想当然的认为简单。所以强调的比较多。（三）巩固新知：1、自主练习1120:10注意比的前项和后项不能颠倒，否则意义变了。2、类比练习小强身高148厘米，小明身高12分米，小明和小强身高的比是&&&&& 答案：12:148。强调，求的比谁是前项，谁是后项。3、自主练习2重点是意义：7.5:10表示手指长是手掌长的几分之几；7.5:17.5表示手指长是手长的几分之几；10:7.5表示手掌长是手指长的几倍；17.5:7.5呢？意义明确了，比的前项和后项也就不会颠倒了。4、自主练习3& 0÷3=800千米，表示客机的速度。注：是比值的意义。5、自主练习4& 求比值。强调求比值的依据是：0.48 是一个比，求比值用0.4÷8=0.056、自主练习5& 练习中加了一个比值大小的比较。7、自主练习6&&& 该题要细细分析，一是巩固比的意义，而是比值的意义，相当于把比描述的关系转化为分数描述的关系。8、根据比的意义，结合身边的事，你能说出几组比吗？
9、4÷5又可以说成4比5，比值是0.8。（√）10、星期一六（3）班，实到人数48人，缺勤3人，缺勤人数与全班人数的比是3：48。（×）①学生独立思考②指明学生回答③集体交流比设计意图：通过不同的练习，理解比的意义，掌握比值的定义和计算方法，以及比值的实际意义。理解比的意义和比值实际意义的相同通性。（四）达标反馈1.填空。（1）把50克盐放入200克水中，盐和水的质量比是（&&& ）：（&&& ），盐和盐水的质量比是（&&& ）：（&&& ）。（2）两个港口相距396千米，一艘轮船每小时行33千米。路程与速度的比是（&& ）：（&&& ）；比值是（&&& ），比值的意义是（&&&&&&&&&&&&&&& ）。（3）有两个正方形，大正方形的边长是3厘米，小正方形的边长是1厘米。①大正方形和小正方形的边长比是（&&&&&&& ）。比值是（&&& ）。②大正方形的周长和小正方形的周长比是（&&&&&&& ）。比值是（&&& ）。③大正方形的面积和小正方形的面积比是（&&&&&&& ）。比值是（&&& ）。2.& 判断。（1）1克糖溶解在99克水中，糖与糖水的比是1:100。（&&& ）（2）2米：5米的比值是0.4米。（&&& ）3.填表比&前项&比号&后项&比值除法& & & & 分数& & & & 4.&& 说出下面每个比的前项和后项，并求出比值。（要有过程）42:14&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 7:35&&&&&&&&&&&&&&&&&& 67 ：34
0.6：15&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 25 ：815&&&&&&&&&&&&&&&& 25 ：4&&&&
答案１.& 1；4；1；5；396；33；12小时；轮船在两港之间行驶所用的时间；3：1；3；12：4；3；9：1；9。2. √，×。3. 被除数；除号；除数；商；分子，分数线，分母，分数值。4.& 3，15 ，87 ，3，34 ，110 。设计意图：检验学生当堂学习比的意义，以及比，除法，分数之间的联系和区别。能熟练求比值。（五）课堂小结 这节课你学会了什么，有哪些收获？给大家说说。谁能把我们今天的问题再叙述一下？思路是怎样的？你理解了吗？设计意图：通过总结，既能够使学生加深对所学内容本质的理解和深层次思考，从而将所学知识纳入自己的认知结构，又提升了学生的梳理和概括能力。（六）布置作业第1课时：比的意义1. 填空（1）走1200米的路，小军用了16分钟，小军走的路程与所用时间的比是（&&&&&&& ），比值是（&&& ），比值表示的意义是（&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ）。（2）妈妈买了3千克苹果花了18元，所花的钱数与购买苹果质量的比是（&&&&&&& ），比值是（&&& ），比值表示是意义是（&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ）。（3）由三个或三个以上的数组成的比，叫做几个数的连比，例如，2:3:4，饲养场养了鸡1500只、鸭2000只、鹅2500只，那么鸡、鸭、鹅只数的比是（&&&&&&&&&&&& ）。（4）亮亮身高100厘米，爸爸身高1.8米，亮亮和爸爸身高的比是（&&&&&&&&& ）。2.选择（1）把10克白糖放入1千克水中，糖和糖水的比是（&&& ）。①10:11&&&&&& ②10:1000&&&&&&& ③10:1010（2）一件工作，单独完成，小王需要4小时，小张需要5小时，小李需要6小时。小王、小张和小李工作效率的比是（&&& ）。①4:5:6&&&&& ② 14 ： 15 ：16&&&&& （3）六年级女生与男生人数的比是10:11，女生占全年级人数的（&&& ）。①1011&&&&&&& ②1021&&&&&&&& ③1121 3.& 求比值&32:12&&&&&&&&& 67 ：512&&&&&&& 3.2:0.4&&&&&& 58 ：10&&&&&&& 89 ：0.3&&&&& 0.65
答案：1、，小军在这段路程上的平均速度；18:3,6，苹果的单价；00；100：180；2、③，②，②。3、83 ；3635 ；8；58 ：10=58 ÷10=58 ×110 =116 ；89 ：0.3= 89 ÷0.3= 89 ÷310 =8027 ；0.65 =0.6÷5=0.12。板书设计比的意义1.比的读写 2.比各部分的名称 &3.比、除法与分数之间的关系&&&教学反思比的意义是概念教学，概念教学学生感觉没什么可学的。但大部分学生都无法正确的理解概念的内涵和外延，更不能确定在解决问题时，哪里用的了概念，基本使糊糊涂涂的做题，对不对没有依据。因此概念教学学习过程要反复强调，不要让学生掉以轻心。&教学资料包教学精彩片段一、情境导入师：同学们，老师给你们带来一位大朋友，猜猜他是谁？（课件出示福尔摩斯，图片）生：福尔摩斯。师：你能介绍一下他吗？（学生介绍）师：看来同学们对他还不是很了解，老师给大家介绍一下。他是人们塑造的世界著名侦探福尔摩斯。他侦破过许多有名的案件。有一次，案发现场罪犯只留下一个脚印（出示脚印图片）但他就是根据这个脚印的长度（课件播放25厘米），推算出罪犯的大体身高，他是怎样推算的呢？想不想知道其中的奥秘？生：想！师：那就让我们走进今天的数学课堂，通过这节课的学习，相信聪明的你一定找到答案的。2. 出示情境图，发现数学信息。（课件出示信息窗1中的情境图）。师：请看，这是赵凡同学的人体比例图，从图中你发现了哪些数学信息？生：头长25厘米，臂长66厘米，腿长88厘米，身高160厘米根据学生回答的顺序，依次贴出数学信息。头长25厘米臂长66厘米腿长88厘米 身高160厘米3. 提出数学问题师：根据其中的两个信息，你能提出什么问题？生1：头部长是身高的几分之几？生2：身高是头部长的几倍？师：谁还能提出不同的问题？生3：赵凡的头部长和身高有什么关系？师：你提出的问题很有价值，谁还能像他这样提出问题？生：臂长和腿长有什么关系？师：这节课我们主要来研究这类问题，先来解决其中的一个问题。哪位同学能把问题读一遍？设计意图：以学生崇拜的福尔摩斯侦破的一个案件为话题引入，深深吸引了学生的注意力，学生产生了迫切想知道人体奥秘的需要，教师顺势抛出“赵凡的人体比例图”，学生找到信息，提出数学问题，引出本节课需要研究的主要问题，学生产生了“我要学”的强烈欲望。二、自主探索，学习“比”。……说课设计（1）教材分析比例的知识在工农业生产和日常生活中有广泛的应用。这部分知识是在学习了比的知识和除法、分数等得基础上教学的，是本套教材教学内容的第四单元。而本节课内容是这个单元的第一课时，主要属于概念教学，是为以后学习比例，解比例，讲解正、反比例做准备的。学生学好这部分知识，不仅可以初步接触函数的思想，而且可以用来解决日常生活中一些具体的问题。（2）学情分析比例这部知识是在学习了比的知识和除法与分数关系的基础上教学的，属于概念教学，为以后解比例，讲解正、反比例做准备的。学生学好这部分知识，不仅可以初步接触对应函数的思想，而且可以用来解决日常生活中一些具体的问题。（3）教学目标知识与能力理解比的意义，会读、写比；认识比的各部分名称；掌握求比值的方法，能准确地求出比值。过程与方法 理解比、分数、除法之间的关系，通过观察，让学生懂得事物之间是相互联系的。情感、态度与价值观培养学生比较、分析、抽象、概括和自主学习的能力。培养他们在生活中发现数学问题，提出问题的意识。（4）重点、难点重点：掌握比的意义，建立比的概念，能准确地求出比值。。难点：区分开比、除法和分数的关系（5）教法、学法根据本节教材内容和编排特点，为了更好地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，主要让学生在“计算――观察、比较――概括――应用”的学习过程中掌握知识。练习设计主要分为三个层次，第一层次是巩固新知，主要是为学生本节课的学习作准备以及增强学生对比例意义的理解；第二层次是达标测试，有所难度，为了让学生掌握知识的本质；第三层次是课后练习，它具有启发作用，引领学生去探究和发现规律。（6）说教学过程 1.情景导入师：人的身体各部分之间有一些有趣的关系？例如：将拳头翻滚一周，它的长度与脚的长度的比大约是1：1；身高与双臂平伸长度的比大约也是1：1；身高与胸围长度的比大约是1：2；脚长与身高长度的比大约是1：7……你们知道这些有趣的比有什么用处吗？比如你到商店去买袜子，只要将袜底在你的拳头上绕一周，就会知道这双袜子是否适合你穿；如果你是一个侦探，只要发现了罪犯的脚印，就可估计出罪犯身材的大致高度……这里 ，实际上是用这些比去组成一个一个有趣的比例去计算的。你想知道什么叫做比例吗？今天我们一起来研究“比例的意义”。用学生感兴趣的身体上的许多有趣的比和实际生活中的一些问题联系起来组成比例，用形象直观的例子激发学生的求知欲望，渗透学习目的教育。这样引出课题，让学生在跃跃欲试的情绪下进入新课的学习，可以激发学生学习本课的兴趣，使学生带着问题主动地参与本课新知识的学习。2.探索发现(一)教学比的意义课件出示信息窗一，学生观看大屏幕提问：从屏幕中你获得哪些数学信息？（学生回答）根据这两个条件可以提出什么问题？怎样解答？今天我们再学习一种新的对两个数量进行比较的方法，这就是比。下面我们来共同理解比的意义。1、初步理解比的意义。怎样用算式表示赵凡的头长和身高的关系呢？求头长是身高的几分之几，可以说成头长和身高的比是25比160。求身高是头长的几倍，可以说成身高和头长的比是160比25。&&& 比较25比160，和160比25？ 小结：说两个数量进行比较要弄清谁和谁比，谁在前、谁在后，不能颠倒位置，否则，比表示的具体意义就变了。2.教学比的读写法、各部分名称、求比值的方法及比与除法、分数的联系。比的写法、读法。100比2& 记作100∶2& 请学生练习写比。（注意：比的中间是两个小黑点）比的各部分名称。&& 比的前项、后项、 比号，对比指出各部分名称。 （二）进一步理解比的意义赵凡3分钟走了330米，怎样用算式表示赵凡的行走速度？汽车的速度又可以说成哪个量和哪个量比。又可以怎么说？&& （三）建构比的意义1.从上面两个例子可以看出，什么叫做比?&& 你是怎么想的呢?& 两个数的比是表示两个数之间的什么关系?（学生归纳后课件出示：两个数相除又叫做两个数的比）&&& 2.比的前项除以后项所得的商叫做比值。求比值方法。练习：说出下面各比的前项和后项，再求出比值 4:5&&& 8:4&&&& 0.5:1 a.学生独立完成b.指明学生汇报c.集体反馈比值通常可以是什么数? 老师强调：比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可以是整数。3.比与除法之间的关系。&& 4.比与分数之间的联系。&& 谁愿意完整地说一遍比与除法、分数之间的联系。第一道题讨论后填写下表：&&相当于&不同点比&前项&比号&后项&比值& 除法& & & & & 分数& & & & & 把表格填写完整后，让学生完整地说一说比、除法和分数三者之间的联系与区别，之后全班学生一起说。5.你还学会了什么?比的后项不能为“0”?为什么？6、小知识足球比赛中经常出现的2:0的意义是什么？它是一个比吗？ 师小结：体育比赛中使用的“:”号，只表示哪一队对哪一队比赛，各得多少分，不表示两队所得分数的倍比关系，它只是一种计分形式，是比较两队得分多少的，与数学中的比的意义不同，它仅仅是借用了比的写法。（三）巩固新知：自主练习1―6设计意图：通过不同的练习，理解比的意义，掌握比值的定义和计算方法，以及比值的实际意义。理解比的意义和比值实际意义的相同通性。（四）达标反馈1.填空。 （1）把50克盐放入200克水中，盐和水的质量比是（&&& ）：（&&& ），盐和盐水的质量比是（&&& ）：（&&& ）。（2）两个港口相距396千米，一艘轮船每小时行33千米。路程与速度的比是（&& ）：（&&& ）；比值是（&&& ），比值的意义是（&&&&&&&&&&&&&&& ）。（3）有两个正方形，大正方形的边长是3厘米，小正方形的边长是1厘米。①大正方形和小正方形的边长比是（&&&&&&& ）。比值是（&&& ）。②大正方形的周长和小正方形的周长比是（&&&&&&& ）。比值是（&&& ）。③大正方形的面积和小正方形的面积比是（&&&&&&& ）。比值是（&&& ）。2.& 判断。（1）1克糖溶解在99克水中，糖与糖水的比是1:100。（&&& ）（2）2米：5米的比值是0.4米。（&&& ）3.填表4.&& 说出下面每个比的前项和后项，并求出比值。（要有过程）42:14&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 7:35&&&&&&&&&&&&&&&&&& 67 ：34
0.6：15&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 25 ：815&&&&&&&&&&&&&&&& 25 ：4&&&&
设计意图：检验学生当堂学习比的意义，以及比，除法，分数之间的联系和区别。能熟练求比值。 （五）课堂小结这节课你学会了什么，有哪些收获？给大家说说。谁能把我们今天的问题再叙述一下？思路是怎样的？你理解了吗？设计意图：通过总结，既能够使学生加深对所学内容本质的理解和深层次思考，从而将所学知识纳入自己的认知结构，又提升了学生的梳理和概括能力。（六）布置作业第1课时：比的意义（五）说板书板书设计比的意义1.比的读写2.比各部分的名称&3.比、除法与分数之间的关系文 章来源莲山 课件 w w w.5Y k J.C om
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人教版小学数学六年级上册知识点整理归纳（精华）
六年级上册数学知识点
第一单元&&&位置
1、什么是数对？
&&数对：由两个数组成，中间用逗号隔开，用括号括起来。括号里面的数由左至右为列数和行数，即&先列后行&。
作用：确定一个点的位置。经度和纬度就是这个原理。
例：在方格图（平面直角坐标系）中用数对（3，5）表示（第三列，第五行）。
注：（1）在平面直角坐标系中X轴上的坐标表示列，y轴上的坐标表示行。如：数对（3,2）表示第三列，第二行。
（2）数对（X，5）的行号不变，表示一条横线，（5，Y）的列号不变，表示一条竖线。（有一个数不确定，不能确定一个点）&
（&&列&&&，&行&&）
竖排叫列&&横排叫行
（从左往右看）（从下往上看）
&&&&&&&&&&&（从前往后看）
2、图形左右平移行数不变；图形上下平移列数不变。
3、两点间的距离与基准点（0，0）的选择无关，基准点不同导致数对不同，两点间但距离不变。
第二单元&&&分数乘法
（一）分数乘法意义：
1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。
注：&分数乘整数&指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。
例如：&7表示:&求7个的和是多少？&&或表示：的7倍是多少？
2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。
&&&注：&一个数乘分数&指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。（第一个因数是什么都可以）
例如：&表示:&求的是多少？
9&&&&表示:&求9的是多少？
A&&&&表示:&求a的是多少？
（二）分数乘法计算法则：
1、分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。
注：（1）为了计算简便能约分的可先约分再计算。（整数和分母约分）
（2）约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。（整数千万不能与分母相乘，计算结果必须是最简分数）
2、分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。（分子乘分子，分母乘分母）
注：（1）如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。
（2）分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。
（3）在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数。（约分后分子和分母必须不再含有公因数，这样计算后的结果才是最简单分数）
（4）分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。
（三）积与因数的关系：
一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。a&b=c,当b&&1时，c&a.
一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。a&b=c,当b&&1时，c&a&(b&0).
一个数（0除外）乘等于1的数，积等于这个数。a&b=c,当b&=1时，c=a&.
注：在进行因数与积的大小比较时，要注意因数为0时的特殊情况。
附：形如的分数可折成（）&
（四）分数乘法混合运算
1、分数乘法混合运算顺序与整数相同，先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。
2、整数乘法运算定律对分数乘法同样适用；运算定律可以使一些计算简便。
乘法交换律：a&b=b&a
乘法结合律：(a&b)&c=a&(b&c)
乘法分配律：a&(b&c)=a&b&a&c
（五）倒数的意义：乘积为1的两个数互为倒数。
1、倒数是两个数的关系，它们互相依存，不能单独存在。单独一个数不能称为倒数。（必须说清谁是谁的倒数）
2、判断两个数是否互为倒数的唯一标准是：两数相乘的积是否为&1&。
&&&例如：a&b=1则a、b互为倒数。
3、求倒数的方法：
①求分数的倒数：交换分子、分母的位置。
②求整数的倒数：整数分之1。
③求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数。
④求小数的倒数：先化成分数再求倒数。
4、1的倒数是它本身，因为1&1=1
0没有倒数，因为任何数乘0积都是0，且0不能作分母。
5、任意数a(a&0)，它的倒数为；非零整数a的倒数为；分数的倒数是。
6、真分数的倒数是假分数，真分数的倒数大于1，也大于它本身。
&&&假分数的倒数小于或等于1。
&&&带分数的倒数小于1。
（六）分数乘法应用题&&&用分数乘法解决问题
1、求一个数的几分之几是多少？（用乘法）
&1&&&&&&&&=
&&&例如：求25的是多少？&&&&&列式：25&=15
&&&&&&&&&甲数的等于乙数，已知甲数是25，求乙数是多少？&&&列式：25&=15
注：已知单位&1&的量，求单位&1&的量的几分之几是多少，用单位&1&的量与分数相乘。
2、（&什么）是（什么&）的。
&&&（&&&&）=&(&&1&&)&&&
例1:&已知甲数是乙数的，乙数是25，求甲数是多少？
&&&&&&&&&甲数=乙数&&&&&&&即25&=15
注:（1）&是&&的&字中间的量&乙数&是的单位&1&的量，即是把乙数看作单位&1&，把乙数平均分成5份，甲数是其中的3份。
&&&（2）&是&&占&&比&这三个字都相当于&=&号，&的&字相当于&&&。
&&&（3）单位&1&的量&分率=分率对应的量
例2：甲数比乙数多（少），乙数是25，求甲数是多少？
&&&&&甲数=乙数　&　乙数&&&&即25&25&=25&（1&）＝40（或10）
3、巧找单位&1&的量：在含有分数（分率）的语句中，分率前面的量就是单位&1&对应的量，或者&占&&是&&比&字后面的量是单位&1&。
4、什么是速度？
&&速度是单位时间内行驶的路程。速度=路程&时间&&时间=路程&速度&&&路程=速度&时间
&&单位时间指的是1小时1分钟1秒等这样的大小为1的时间单位，每分钟、每小时、每秒钟等。
5、求甲比乙多（少）几分之几？
&&&多：（甲-乙）&乙
&&&少：（乙-甲）&乙&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
第三单元&分数除法
一、分数除法的意义：分数除法是分数乘法的逆运算，已知两个数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
二、分数除法计算法则：除以一个数（0除外），等于乘上这个数的倒数。
1、被除数&除数=被除数&除数的倒数。例&3=&=&&&3&=3&=5
2、除法转化成乘法时，被除数一定不能变，&&&变成&&&，除数变成它的倒数。
3、分数除法算式中出现小数、带分数时要先化成分数、假分数再计算。
4、被除数与商的变化规律：
①除以大于1的数，商小于被除数：a&b=c&&当b&1时，c&a&&(a&0)
②除以小于1的数，商大于被除数：a&b=c&&当b&1时，c&a&&(a&0&&b&0)
③除以等于1的数，商等于被除数：a&b=c&&当b=1时，c=a
三、分数除法混合运算
1、混合运算用梯等式计算，等号写在第一个数字的左下角。
2、运算顺序：
①连除：属同级运算，按照从左往右的顺序进行计算；或者先把所有除法转化成乘法再计算；或者依据&除以几个数，等于乘上这几个数的积&的简便方法计算。加、减法为一级运算，乘、除法为二级运算。
②混合运算：没有括号的先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面，再算括号外面。
注：（a&b）&c=a&c&b&c
四、比：两个数相除也叫两个数的比
1、比式中，比号（∶）前面的数叫前项，比号后面的项叫做后项，比号相当于除号，比的前项除以后项的商叫做比值。
注：连比如：3：4：5读作：3比4比5
2、比表示的是两个数的关系，可以用分数表示，写成分数的形式，读作几比几。
例：12∶20=＝12&20==0.6&&&&&12∶20读作：12比20&
注：区分比和比值：比值是一个数，通常用分数表示，也可以是整数、小数。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&比是一个式子，表示两个数的关系，可以写成比，也可以写成分数的形式。
3、比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。
3、化简比：化简之后结果还是一个比，不是一个数。
（1）、&用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。
（2）、&两个分数的比，用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。也可以求出比值再写成比的形式。
（3）、&两个小数的比，向右移动小数点的位置，也是先化成整数比。
4、求比值：把比号写成除号再计算，结果是一个数（或分数），相当于商，不是比。
5、比和除法、分数的区别：
除数（不能为0）
商不变性质
除法是一种运算
分数线（&&）
分母（不能为0）
分数的基本性质
分数是一个数
比号（∶）
后项（不能为0）
比的基本性质
比表示两个数的关系
附：商不变性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
五、分数除法和比的应用
1、已知单位&1&的量用乘法。例：甲是乙的，乙是25，求甲是多少？即：甲=乙&（15&=9）
2、未知单位&1&的量用除法。例:&甲是乙的，甲是15，求乙是多少？即：甲=乙&（15&=25）（建议列方程答）
3、分数应用题基本数量关系（把分数看成比）
（1）甲是乙的几分之几？&
甲＝乙&几分之几&&（例：甲是15的，求甲是多少？15&＝9）
乙＝甲&几分之几&&（例：9是乙的，求乙是多少？9&＝15）
几分之几＝甲&乙&&&（例：9是15的几分之几？9&15＝）（&是&字相当&&&号，乙是单位&1&）
（2）甲比乙多（少）几分之几？
A&差&乙=（&比&字后面的量是单位&1&的量）（例：9比15少几分之几？（15-9）&15＝＝＝）
B&多几分之几是：&1&&&（例：&15比9少几分之几？15&9＝-1＝&1＝）
C&少几分之几是：1&&&&（例：9比15少几分之几？1-9&15＝1&＝1&＝）
&&&&&D&甲=乙&差=乙&乙&=乙&乙&=乙（1&）&（例：甲比15少，求甲是多少？15&15&＝15&（1&）＝9（多是&+&少是&&&）
E&乙=甲&(1&&)（例：9比乙少，求乙是多少？9&（1-）＝9&&＝15）（多是&+&少是&&&）
（例：15比乙多，求乙是多少？15&（1+）＝15&&＝9）（多是&+&少是&&&）
4、按比例分配：把一个量按一定的比分配的方法叫做按比例分配。
&&&例如：已知甲乙的和是56，甲、乙的比3∶5，求甲、乙分别是多少？
&&&&&&&&方法一：56&（3+5）＝7&甲：3&7＝21&&乙：5&7＝35
&&&&&&&&方法二：甲：56&＝21&&&乙：56&＝35
例如：已知甲是21，甲、乙的比3∶5，求乙是多少？
方法一：21&3＝7&乙：5&7＝35
&&&&&&&&方法二：甲乙的和21&＝56&&&乙：56&＝35
&&&&&&&&方法二：甲&乙＝&&乙＝甲&＝21&＝35
&&5、画线段图：
（1）找出单位&1&的量，先画出单位&1&，标出已知和未知。
（2）分析数量关系。
（3）找等量关系。
（4）列方程。
注：两个量的关系画两条线段图，部分和整体的关系画一条线段图。
第四单元&&圆
一、.圆的特征
1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形，.
2、圆的特征：外形美观，易滚动。
3、圆心o：圆中心的点叫做圆心．圆心一般用字母O表示．圆多次对折之后，折痕的相交于圆的中心即圆心。圆心确定圆的位置。
半径r：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。在同一个圆里，有无数条半径，且所有的半径都相等。半径确定圆的大小。
直径d:&通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆里，有无数条直径，且所有的直径都相等。直径是圆内最长的线段。
同圆或等圆内直径是半径的2倍：d=2r&或&&r=d&2=d=
4、等圆：半径相等的圆叫做同心圆，等圆通过平移可以完全重合。
&&&同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。
5、圆是轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称轴。
有一条对称轴的图形：半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角
有二条对称轴的图形：长方形
有三条对称轴的图形：等边三角形
有四条对称轴的图形：正方形
有无条对称轴的图形：圆，圆环
（1）圆规两脚间的距离是圆的半径。
（2）画圆步骤：定半径、定圆心、旋转一周。
二、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，周长用字母C表示。
1、圆的周长总是直径的三倍多一些。
2、圆周率：圆的周长与直径的比值是一个固定值，叫做圆周率，用字母&表示。
&&&即：圆周率&==周长&直径&3.14
所以,圆的周长(c)=直径(d)&圆周率(&)&&&周长公式：&c=&d,&c=2&r
注：圆周率&是一个无限不循环小数，3.14是近似值。
3、周长的变化的规律：半径扩大多少倍直径也扩大多少倍，周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。
&&如果r1∶r2∶r3=d1∶d2∶d3=c1∶c2∶c3
4、半圆周长=圆周长一半+直径=&2&r=&r+d
三、圆的面积s
1、圆面积公式的推导
如图把一个圆沿直径等分成若干份，剪开拼成长方形，份数越多拼成的图像越接近长方形。
圆的半径&=&长方形的宽&&&
圆的周长的一半&=&长方形的长&&&&
长方形面积&=&长&&宽
所以：圆的面积&=&长方形的面积&=&长&&宽&=&圆的周长的一半（&r）&圆的半径（r）
&&&&&&&&&S圆&=&&r&&&r
&&&&&&&&&&&&&&&S圆&=&&r&r&=&&r2&&
2、几种图形，在面积相等的情况下，圆的周长最短，而长方形的周长最长；反之，在周长相等的情况下，圆的面积则最大，而长方形的面积则最小。
周长相同时，圆面积最大，利用这一特点，篮子、盘子做成圆形。
3、圆面积的变化的规律：半径扩大多少倍直径、周长也同时扩大多少倍，圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍。
&&如果:&&r1∶r2∶r3=d1∶d2∶d3=c1∶c2∶c3=2∶3∶4
则：S1∶S2∶S3=4∶9∶16
4、环形面积&=&大圆&&&小圆=&r大2&&-&&r小2=&（r大2&&-&r小2）
&&&扇形面积&=&&r2&（n表示扇形圆心角的度数）
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