函数单调性的桥梁作用
函数的单调性揭示的是自变量的大小关系与函数值的大小关系之间的联系，单调性在自变量与函数值之间架起了一座桥梁，单调性的应用集中在通过自变量的大小关系去比较函数值的大小，或者给出函数值的大小关系反推自变量的大小．
比如：已知$f(x)$是$\mathcal{R}$上的减函数，且$a+b\leqslant 0$，则下列各式成立的是(　　)A．$f(a)+f(b)\leqslant 0$B．$f(a)+f(b)\geqslant 0$C．$f(a)+f(b)\leqslant f(-a)+f(-b)$D．$f(a)+f(b)\geqslant f(-a)+f(-b)$
分析　在这个问题中，探索的是函数值的大小关系，我们知道的自变量的大小关系有$$a\leqslant -b,b\leqslant -a,$$所以可以得到$$f(a)\geqslant f(-b),f(b)\geqslant f(-a),$$将这两个不等式相加得到D正确．
在实际问题中，为了增加难度，单调性有时会通过定义的变形形式，比如$$(x_1-x_2)(f(x_1)-f(x_2))&0$$给出，也有时会通过解析式给出（此时解析式只提供单调性，与具体形式无关），函数值上也可能会有障眼法，需要识别伪装，直达问题核心．
例题一　(1)设函数$f(x)=\dfrac {x+2}{x-1}$，若$f(t^2-t+2)-2&0$，则实数$t$的取值范围是_______；(2)已知函数$f(x)=\dfrac {x+1}{|x|+1}$，则不等式$f(x^2-2x)&f(3x-4)$的解集是_________；(3)已知$f(x)=\begin{cases}x^2,x\geqslant 0,\\-x^2,x&0,\end{cases}$若$f(3a-2)&4f(a)$，则$a$的取值范围是_______．
分析与解　(1)分离常数知$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递减．由$2=\dfrac {x+2}{x-1}$解得$x=4$，即$$f(t^2-t+2)&2=f(4).$$又因为$t^2-t+2&1$，所以$t^2-t+2$与$4$在同一个单调区间$(1,+\infty)$内，由$f(x)$在此区间上单调递减知$t^2-t+2&4$，解得$t&2$或$t&-1$．
(2)由函数的解析式知当$x&0$时，$f(x)=1$；当$x\leqslant 0$时，$$f(x)=\dfrac {x+1}{1-x}=-1-\dfrac 2{x-1},$$所以$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递增．从而题中不等式等价于$$\begin{cases} x^2-2x&0,\\x^2-2x&3x-4,\end{cases} $$解得$1&x&2$，故所求解集为$(1,2)$．
(3)题目条件给出的是函数值的大小关系，但多出一个系数$4$，由$f(x)$的解析式知$f(2x)=4f(x)$，所以题中不等式可转化为函数值的大小关系$$f(3a-2)&f(2a).$$下面我们来看$f(x)$的单调性，结合草图知$f(x)$在$\mathcal{R}$上单调递增，所以$3a-2&2a$，解得$a&2$．
对函数单调性的考查还常常与函数的奇偶性结合起来，此时因为函数图象具有某些对称性，所以只需要给出函数在部分区间上的单调性就可以得到函数整体的单调性．
例题二　(1)已知$f(x)=x^3+x$，$a,b,c\in\mathcal{R}$，且$a+b&0,b+c&0,c+a&0$，则$f(a)+f(b)+f(c)$的值的正负是_______．(2)设$f(x)=\dfrac {x}{1+|x|}$，且$f(a)+f(2a-1)&0$，则实数$a$的取值范围是_________．(3)$f(x)$是定义在$\mathcal{R}$上的偶函数，在区间$(-\infty,0]$上单调递增，且有$f(2a+1)&f(3-a)$，则$a$的取值范围是__________．
分析与解　(1)由$f(x)$的解析式知$f(x)$是奇函数，且为增函数．于是有$$a+b&0\Rightarrow a&-b\Rightarrow f(a)&f(-b)=-f(b)\Rightarrow f(a)+f(b)&0.$$类似知$$f(b)+f(c)&0,f(c)+f(a)&0,$$所以$f(a)+f(b)+f(c)$的值为正．
(2)由解析式知$f(x)$是奇函数，当$x\geqslant 0$时$$f(x)=\dfrac {x}{1+x}=1-\dfrac 1{1+x}$$单调递增，所以$f(x)$在$\mathcal{R}$上单调递增（想一想为什么？），于是有$$f(a)+f(2a-1)&0\Rightarrow f(a)&-f(2a-1)=f(1-2a)\Rightarrow a&1-2a\Rightarrow a&\dfrac 13.$$
(3)在同一个单调区间上，自变量的大小关系与函数值的大小关系才有对应．由偶函数知$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递减．但$2a+1,3-a$不一定在同一单调区间上，所以无法直接去掉$f$．考虑到偶函数有性质$$f(x)=f(-x)=f(|x|),$$所以可以将题中不等式等价于$$f(|2a+1|)&f(|3-a|)\Rightarrow |2a+1|&|3-a|,$$两边平方解不等式得$a&-4$或$a&\dfrac 23$．
由例题二我们可以总结一些常见的结论与处理方式：
(1)若奇函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增，则它在$\mathcal{R}$上单调递增，且此时有$a+b&0$与$f(a)+f(b)&0$等价．
(2)若偶函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增，则它在$(-\infty,0]$上单调递减，此时$f(a)&f(b)$等价于$|a|&|b|$．因为对偶函数来说$f(x)=f(|x|)$，这样就可以省去对自变量是否在同一单调区间内的讨论．
奇偶函数的这些结论与处理方式都可以推广到一般的对称函数上去，注意此时我们需要比较的是自变量与对称轴或对称中心的距离远近（如果读者对函数的对称性还不太了解，建议先看方法技巧之《一招搞定对称性》）：
例题三　(1)函数$y=f(x-1)$为偶函数，对任意的$x_1,x_2\in(-1,+\infty)$，都有$$\dfrac {f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}&0,x_1\ne x_2$$成立，则$a=f(-2),b=f\left(-\dfrac 12\right),c=f(2)$由小到大的顺序为___________．(2)已知函数$f(x)=ax^2+2ax+4,0&a&3$，若$x_1&x_2$，$x_1+x_2=1-a$，则$f(x_1)$与$f(x_2)$的大小关系是_______________；(3)已知定义在$\mathcal{R}$上的函数$f(x)$满足$f(-x)=-f(x+4)$，且当$x&2$时，$f(x)$单调递增，若$x_1+x_2&4$，$(x_1-2)(x_2-2)&0$，则$f(x_1)+f(x_2)$的值的正负是_______．
分析与解　(1)由题意知$f(x-1)=f(-x-1)$，所以$f(x)$有对称轴$x=-1$．又由题意知$f(x)$在$(-1,+\infty)$上单调递减，所以自变量离对称轴越远，函数值越小．而$$|2-(-1)|&|-2-(-1)|&\left|-\dfrac 12-(-1)\right|,$$所以$c&a&b$．
(2)$f(x)$的图象是开口向上的抛物线，对称轴为$x=-1$．而$$\dfrac {x_1+x_2}{2}=\dfrac {1-a}{2}&-1,$$所以$x_2$离对称轴的距离更远．这可以从两个角度得到：从图象角度，因为$x_1,x_2$的中点在对称轴右边，而$x_1&x_2$，所以$x_2$离对称轴更远；从代数角度，有$$|x_2-(-1)|^2-|x_1-(-1)|^2=(x_2-x_1)(x_1+x_2+2)&0.$$注意$x_1,x_2$也可以在对称轴同一侧．由$f(x)$在$[1,+\infty)$上单调递增知，$f(x_2)&f(x_1)$．
(3)由题目条件知$f(x)$有对称中心$(2,0)$，且在$\mathcal{R}$上单调递增．由$(x_1-2)(x_2-2)&0$知$x_1,x_2$与$2$的大小关系不同，不妨设$x_1&x_2$，则有$x_1&2&x_2$．因为$x_1,x_2$的中点在对称中心左侧，结合图象知$f(x_1)+f(x_2)&0$．也可以由$$f(x_1)=-f(4-x_1)&-f(x_2)$$得到结论．
更多与例题三类似的问题见．
最后给出两道练习：
练习一　(1)如果函数$f(x)$满足对任意的$x_1,x_2\in\mathcal{R}$，都有$$(x_1-x_2)(f(x_1)-f(x_2))&0(x_1\ne x_2)$$成立，且$f(a)&f(x+1)$在$x\in[1,2]$上恒成立，那么实数$a$的取值范围是_________．(2)如果函数$f(x)=\sqrt{x-1}-\dfrac 1x$，且实数$a$满足$f(a^2-a)&\dfrac 12$，则$a$的取值范围是_________．
答案　(1)$a&2$，因为$a&x+1$对$x\in[1,2]$恒成立；
(2)$(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$．因为$f(2)=\dfrac 12$，且$f(x)$在$[1,+\infty)$上单调递增．
练习二　(1)已知$f(x)$是定义在$\mathcal{R}$上的奇函数，且在$[0,+\infty)$上单调递减，若$f(3x+1)+f(2)\geqslant 0$，则$x$的取值范围是_________；(2)已知函数$f(x)=x^2+|x|$，且$f(2a-1)&f(a-2)$，则实数$a$的取值范围是________．
答案　(1)$(-\infty,-1]$；(2)$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$．
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2017年五月
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题号：892101试题类型：单选题 知识点：导数的运算,函数的单调性与导数的关系,函数的极值与导数的关系,函数的最值与导数的关系&&更新日期：
下列图像中有一个是函数的导数&的图像,则(&&&)A.B.C.D.或
难易度：容易
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常见函数的导数：
（1）C′=0&；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）
导数的四则运算：&
（1）和差：（2）积：（3）商：
复合函数的导数：
运算法则复合函数导数的运算法则为：
复合函数的求导的方法和步骤：
（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量； （2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数； （3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数。求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。&
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。
利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&
生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
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接收老师发送的作业，在线答题。函数单调性的概念: 如果函数y＝f(x)在某区间上是增函数或减函数.那么就说函数f(x)在这一区间具有单调性.这一区间叫做y＝f(x)的单调区间. 在单调区间上增函数的图象是上升的.减函数的图——精英家教网——
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函数单调性的概念: 如果函数y＝f(x)在某区间上是增函数或减函数.那么就说函数f(x)在这一区间具有单调性.这一区间叫做y＝f(x)的单调区间. 在单调区间上增函数的图象是上升的.减函数的图象是下降的. 【】
题目列表(包括答案和解析)
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在函数概念的发展过程中，德国数学家狄利克雷（Dirichlet，）功不可没．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：y=f(x)=1，x为有理数0，x为无理数.，这个函数后来被称为狄利克雷函数．下面对此函数性质的描述中不正确的是（　　）A．它是偶函数B．它是周期函数，且没有最小正周期C．它没有单调性D．它有函数图象
在函数概念的发展过程中，德国数学家狄利克雷（Dirichlet，1805——1859）功不可没。19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：，这个函数后来被称为狄利克雷函数。下面对此函数性质的描述中不正确的是：（&& ）A. 它没有单调性&&&B. 它是周期函数，且没有最小正周期C. 它是偶函数&&&&&D.它有函数图像&
在函数概念的发展过程中，德国数学家狄利克雷（Dirichlet，）功不可没。19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：，这个函数后来被称为狄利克雷函数。下面对此函数性质的描述中不正确的是
[&&&& ]A.它没有单调性&&&&B.它是周期函数，且没有最小正周期C.它是偶函数&&&&&&D.它有函数图像
已知函数（I）&&&&讨论f（x）的单调性；（II）&& 设f（x）有两个极值点若过两点的直线I与x轴的交点在曲线上，求α的值。【解析】本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一就是三次函数，通过求解导数，求解单调区间。另外就是运用极值的概念，求解参数值的运用。【点评】试题分为两问，题面比较简单，给出的函数比较常规，，这一点对于同学们来说没有难度但是解决的关键还是要看导数的符号的实质不变，求解单调区间。第二问中，运用极值的问题，和直线方程的知识求解交点，得到参数的值。（1）&
在函数概念的发展过程中，德国数学家狄利克雷（Dirichlet，）功不可没。19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：，这个函数后来被称为狄利克雷函数。下面对此函数性质的描述中不正确的是
[&&&& ]A.它是偶函数&&&&B.它是周期函数，且没有最小正周期C.它没有单调性&&&&&D.它有函数图像
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2016届高考数学（理）一轮复习学案：3.2 导数与函数的单调性、极值、最值（苏教版含答案）
2016届高考数学（理）一轮复习学案：3.2 导数与函数的单调性、极值、最值（苏教版含答案）
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学案14　导数在研究函数中的应用
导学目标： 1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值(多项式函数一般不超过三次)及最大(最小)值．
1．导数和函数单调性的关系：
(1)对于函数y＝f(x)，如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)为该区间上的________；
如果在某区间上f′(x)1.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)证明：若a－1.
【答题模板】
(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝x－a＋＝＝.[3分]
①若a－1＝1，即a＝2时，f′(x)＝.
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②若a－11，故1<a<2时，则当x∈(a－1,1)时，f′(x)0，故f(x)在(a－1,1)上单调递减，在(0，a－1)，(1，＋∞)上单调递增．
③若a－1>1，即a>2时，同理可得f(x)在(1，a－1)上单调递减，
在(0,1)，(a－1，＋∞)上单调递增．[7分]
(2)证明　考虑函数g(x)＝f(x)＋x＝x2－ax＋(a－1)ln x＋x.
则g′(x)＝x－(a－1)＋≥2－(a－1)
＝1－(－1)2.
由于1<a0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
从而当x1>x2>0时，有g(x1)－g(x2)>0，
即f(x1)－f(x2)＋x1－x2>0，
故>－1.[12分]
当0<x1－1.
综上，若a－1.[14分]
【突破思维障碍】
(1)讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于0或小于0的不等式的解集，一般就是归结为一个一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解得到导数等于0的根的情况下，根的大小是分类的标准；
(2)利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过函数研究函数的性质进而解决不等式问题．
1．求可导函数单调区间的一般步骤和方法：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根；
(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；
(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．
2．可导函数极值存在的条件：
(1)可导函数的极值点x0一定满足f′(x0)＝0，但当f′(x1)＝0时，x1不一定是极值点．如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．
(2)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
3．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的．函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
4．求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．(2011·泰州实验一模)函数f(x)＝x－ln x的单调减区间为________．
2．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是______．
3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为________．4．(2011·苏州模拟)若函数y＝a(x3－x)在区间上为减函数，则a的取值范围为________．
5．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为________．
6．(2011·聊城一模)若a>2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在区间(0,2)上有________个零点．
7．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，给出以下结论：①函数f(x)在(－2，－1)和(1,2)上是单调递增函数；
②函数f(x)在(－2,0)上是单调递增函数，在(0,2)上是单调递减函数；
③函数f(x)在x＝－1处取得极大值，在x＝1处取得极小值；
④函数f(x)在x＝0处取得极大值f(0)．
则正确命题的序号是________．(填上所有正确命题的序号)．
8．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围为________．
二、解答题(共42分)
9．(12分)求函数f(x)＝的极值．
10．(14分)(2010·秦皇岛模拟)已知a为实数，且函数f(x)＝(x2－4)(x－a)．
(1)求导函数f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求函数f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值．
11．(16分)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．
(1)求m，n的值及函数y＝f(x)的单调区间；
(2)若a>0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．
1．(1)增函数　减函数　(2)增　减　2.(1)①f′(x)>0f′(x)<0　②f′(x)0　(2)②f′(x)＝0③f′(x)＝0　极大值　极小值　3.(1)极值(2)f(a)，f(b)
1．③　2.(2，＋∞)　3.[－3，＋∞)　4.充要　5.18
课堂活动区
例1　解题导引　(1)一般地，涉及到函数(尤其是一些非常规函数)的单调性问题，往往可以借助导数这一重要工具进行求解．函数在定义域内存在单调区间，就是不等式f′(x)>0或f′(x)0，即(－x2＋2)ex>0，
∵ex>0，∴－x2＋2>0，
解得－<x0，
∴－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1,1)都成立，
即x2－(a－2)x－a≤0对x∈(－1,1)恒成立．
设h(x)＝x2－(a－2)x－a，
只需满足，解得a≥.
(3)若函数f(x)在R上单调递减，
则f′(x)≤0对x∈R都成立，
即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0对x∈R都成立．
∵ex>0，∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立．
∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的．
故函数f(x)不可能在R上单调递减．
若函数f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0对x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈R都成立．
∵ex>0，∴x2－(a－2)x－a≤0对x∈R都成立．
而x2－(a－2)x－a≤0不可能恒成立，
故函数f(x)不可能在R上单调递增．
综上可知函数f(x)不可能是R上的单调函数．
变式迁移1　解　(1)由题意得f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)，
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)由f′(x)＝0，得x1＝a，x2＝－.
又f(x)在(－1,1)上不单调，
所以a的取值范围为(－5，－)∪(－，1)．
例2　解题导引　本题研究函数的极值问题．利用待定系数法，由极值点的导数值为0，以及极大值、极小值，建立方程组求解．判断函数极值时要注意导数为0的点不一定是极值点，所以求极值时一定要判断导数为0的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值．
解　(1)由题意可知f′(x)＝3ax2－b.
于是，解得
故所求的函数解析式为f(x)＝x3－4x＋4.
(2)由(1)可知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)．
令f′(x)＝0得x＝2或x＝－2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
因此，当x＝－2时，
f(x)有极大值，
当x＝2时，f(x)有极小值－，
所以函数的大致图象如图，故实数k的取值范围为
变式迁移2　解　(1)f′(x)＝＋2bx＋1，
∴.解得a＝－，b＝－.
(2)f′(x)＝－＋(－)＋1＝－.
函数定义域为(0，＋∞)，列表
x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
∴x＝1是f(x)的极小值点，x＝2是f(x)的极大值点．
例3　解题导引　设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
解　(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0；①
当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，
可得4a＋3b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝－4，
又切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4.
∴1＋a＋b＋c＝4.∴c＝5.
(2)由(1)，得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
∴f′(x)＝3x2＋4x－4.
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝，
∴f′(x)<0的解集为，即为f(x)的减区间．
[－3，－2)、是函数的增区间．
又f(－3)＝8，f(－2)＝13，f＝，f(1)＝4，
∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.
变式迁移3　解　(1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b.
因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.
因为函数g(x)是奇函数，
所以g(－x)＝－g(x)，即对任意实数x，
有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b
＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，
从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0，
因此f(x)的表达式为f(x)＝－x3＋x2.
(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，
所以g′(x)＝－x2＋2，
令g′(x)＝0，
解得x1＝－，x2＝，
则当x时，g′(x)<0，
从而g(x)在区间(－∞，－)，(，＋∞)上是减函数；
从而g(x)在区间(－，)上是增函数．
由前面讨论知，g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x＝1，，2时取得，
而g(1)＝，g()＝，g(2)＝.
因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，
最小值为g(2)＝.
课后练习区
1．(0,1)　2.－37　3.1　4.(0，＋∞)
5．a0，即a0，∴，
得a4，易知f(x)在(0,2)上为减函数，且f(0)＝1>0，f(2)＝－4a0，
∴m>6或m<－3.
9．解　f′(x)＝()′＝，由f′(x)＝0得x＝－2,1.(4分)
当x∈(－∞，－2)时f′(x)0，故x＝－2是函数的极小值点，故f(x)的极小值为f(－2)＝－；(8分)
当x∈(－2,1)时f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时f′(x)0，得x>2或x<0，
故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)∪(2，＋∞)；
由f′(x)<0，得0<x<2,
故f(x)的单调递减区间是(0,2)．(8分)
(2)由(1)得f′(x)＝3x(x－2)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
由此可得：
当0<a<1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；
当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；
当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；
当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．(14分)
综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值；
当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；
当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．(16分)
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