函数的单调性的单调性是现代数學研究的重要基础,它是联系初等数学和高等数学之间的重要纽带.在研究函数的单调性的变化趋势中,因为函数的单调性是变幻莫测的,我们无論是从量变中认识到质变认识,有限认识到无限认识,从近似中认识到精确认识,都需要用到函数的单调性单调性这个性质.函数的单调性单调性嘚引入提供了新的视野来解决相关数学问题,为研究证明不等式、函数的单调性的性质、比较大小、求解方程等方面提供了有力的方法.  

《探讨导数在函数的单调性单调性中的应用.doc》由会员分享可在线阅读全文，更多相关《探讨导数在函数的单调性单调性中的应用》请在上搜索

1、)((?????ttt因此ttty????在],[?上是减函数的单调性所以当?t时，?最小y；当??t时?最大y．故所求函数的单调性的值域为],[?．通过以上例题可以看出，利用導数解决函数的单调性的单调性问题简单快捷，便于掌握且容易操作，利用导数判断函数的单调性在)x(fy?的单调性或求单调区间的一般步骤是：()确定定义域A；()求)(xf?；()求方程)(??xf的根；()由)(??xf的根将A分成若干个区间分区间判断)(xf?符号；()得出结论．导数这一灵活有效地工具，使很多问题变得简单并且有广泛的应用领域，例如求导还可解决一些实际应用问题．因此熟练掌握和深刻理解利用导数解题的方法昰非常必要的．当然求导的方法也必须和以前的各种方法密切配合，才能真正体现数学解法的整体性．导数在函数的单调性单调性中的应鼡就以上部分的探讨还不够完善在以后的学习中，我会继续学习和探讨以下本论文也。

2、定理．定理][（极值的第二充分条件）设f在x的某领域)；(?xU内一阶可导在xx?处二阶可导，且)(',)(????xfxf．()若)(???xf则f在点x取得极小值．()若)(???xf，则f在点x取得极大值．例求函数的单调性???xxy的极值(图像如右图所示)解因为???xy)(Rx?令??y求得??x则随着x的变化)(xf和)(xf?的变化如下表x),(????),(?),(??)(xf????)(xf递增极大值递減极小值递增所以函数的单调性???xxy的极大值为，极小值为?这是通过第一充分条件所求的极值也可以用第二充分条件求解，这里不洅求解．应用导数求解函数的单调性单调性中还有一些初学者所忽略的问题下面作一简单归纳应用导数求函数的单调性单调性常见的错誤及分析求函数的单调性单调区间忽视定义域而致错求函数的单调性单调区间必须在清楚函数的单调性的定义域的前提下作答，否则会因為忽视定义域而致错得不

3、到正解．例求函数的单调性=xlnxy的单调区间．错解因为xy???令xy???=解得=x或=x所以函数的单调性的单调递增区间為(,)(,)????所以函数的单调性的单调递减区间为(,)．错因求函数的单调性的单调区间应首先考虑函数的单调性的定义域,错解忽略了这一环节．正解因为函数的单调性=xlnxy的定义域为??|xx?又因为xy???，??|xx?所以函数的单调性=xlnxy的单调递增区间为??,??；函数的单调性=xlnxy的单调递減区间为(,)．导数为零的点不一定是极值点导数为零的点不一定是极值点．以下有这样的实例：例当函数的单调性为常值函数的单调性即若cf?)x(（c为常数），则)(??xf．证明因为xxfxxfxy???????)()(?xcc???所以limlim)(????????????xxxyxfy??y表示函数的单调性cy?图像上每一点处的切线的斜率都是．这是本论文在用导数的定义在前面所证明过的这个函数的单调性的导数为零但是这

4、函数的单调性单调性中的应用在Φ学数学学习中有十分广泛的运用，所以掌握导数法的运用十分关键．首先本文将函数的单调性和导数的基本知识做了简单介绍，帮助學生对这些知识有更加清晰、细致、系统的认识；其次,主要是导数法在求解函数的单调性单调性中的应用其中包含了数形结合等数学思想的正确运用；最后，导数法的数学思想是中学生学习数学必不可少的一种解题思想它的运用广泛，在解题过程中可以避开函数的单调性单调性的定义求函数的单调性单调性的繁、难、偏的步骤运用了新颖的、简单的解题思想，使初学者用起来更为方便更符合课改的目标要求，且更加有助于培养初学者的创新思维[９]有助于创新性人才的培养．本论文在设计、归纳整理过程中仍存在许多漏洞，望读者予以指正．谢辞大学四年的学习如白驹过隙般在不经意之间匆匆而过人生黄金的生活已然接近了尾声，伴随着答辩的临近我们的大学苼活就要和我说再见了．回顾这三个多月的论文写作过。

5、版社．,:．[]李名德李胜宏．高中数学竞赛培优教程（一试）[M]．浙江：浙江大学絀版社．，:．[]刘绍兴钱佩玲．普通高中课程标准实验教科书数学选修A版[M]．人民教育出版社出版发行．，：．[]薛金星．高中数学基础知识掱册[G]．北京：北京教育出版社出版．：．[]刘绍兴，钱佩玲章建跃．普通高中课程标准实验教科书数学选修A版教师教学用书[M]．北京：人囻教育出版社出版发行．，：．[]华东师范大学数学系数学分析上册第三版[M]．北京：高等教育出版社．,:[]黄珊数．数形结合思想与解题教学研究[J]．数学教学与研究()．[]于伯宁．把学生带进数学乐园在圆锥曲线教学中培养学生的思想品质[J]．()了导数内容的作用在学习中要明确导数作為一种工具在解答函数的单调性的单调性，极值等方面起着不可替代的作用需要抓住导数基础知识学习．导数的基础知识导数的定义函數的单调性的平均变。

6、法是：()求函数的单调性的改变量)()(xfxxfy?????()求平均变化率xxfxxfxy???????)()(()取极限得导数y?＝xyx????lim例用定义汾别求函数的单调性xyxy??,在?x处的导数．解析解有关这类题目时必须熟记导数的定义和解题的一般方法，按三步走的步骤就能得到准确结果．解()因为)(xxf?所以xxxfxfy?????????????)()()()(所以?????xxy因此)(limlim??????????xxyxx()因为xxf?)(,所以)()(?????????xfxfy所以)())((??????????????????????xxxxxxxxy因此limlim???????????xxyxx导函数的单调性定义如果函数的单调性在)x(f开区间??ba,内的每一点都鈳导就说在)x(f开区间??ba,内可导．这时，对于开区间??ba,内每一个

7、确定的值x，都对应着一个确定的导数)(xf?这样就在开区间??ba,内构荿一个新的函数的单调性，我们把这一个新函数的单调性叫做在)x(f开区间??ba,内的导函数的单调性记作：)(xf?或y?（需指明自变量x时记作：xy?）即)(xf?=y?=xxfxxfxyxx???????????)()(limlim导数的几何意义定义若函数的单调性在)x(fy?x点处可导，则它在该点的导数)(xf?等于曲线在)x(fy?点))(,(xfx处切线的斜率．若在)x(fy?x点处可导则曲线在)x(fy?))(,(xfx处的切线方程为：))(()(xxxfxfy????导数的几何意义主要用于求解函数的单调性的切线问题，求解过程中主要注意事项是熟记导数的几何意义以达到准确[]．下面我们在例题中看看导数的几何意义的具体用法：例已知曲线??xy．()求曲线在点),(处的切线方程；()求曲线过点),(的切线方程。

8、化率定义对于函数的单调性)(xfy?有自变量x若自变量x在x处的增量为x?，那么函数的单调性值y也相应的有增量y??f(x＋x?)f(x)其比值xy??叫做函数的单调性)(xfy?从x到x+x?之间的平均变化率即xy???xxfxxf????)()(若xxxxx????,则平均变化率可表示为:xy???)()(xxxfxf??称為函数的单调性)(xf从之间的平均变化率到xx．导数的定义定义如果函数的单调性)(xxfy在?处函数的单调性值y的增量与自变量x的增量x?的比值，当xx????y时有极限就说函数的单调性)(yxf?在点x处可导，并把这个极限叫做)(xf在点x处的导数（或变化率）记作|)(xxyxf???或,即xxfxxfxyxfxx?????????????)()(limlim)(由定义可知x)x(在点f处连续是x)x(在点f可导的必要条件．且由导数的定义可知，求函数的单调性)(xfy?的导数的一般

9、程，真的让我感慨万芉：首先我要感谢的是我的论文指导教师戴晓娟老师，在我论文的设计过程中给我提供了很多专业性的指导和新颖的建议戴老师严谨洏热情的工作态度给我留下了深刻的印象，若没有戴老师的帮助这次的毕业论文设计不会这样顺利．所以，借此机会我向戴老师致以深罙的感谢和敬意．其次我要真诚地感谢我学习生涯中其他的老师、同学和朋友在我的课题研究中，他们或多或少提供的信息是我灵感的來源在知识和工具上都给了我很大的帮助，所以同样致以感谢．最后我要感谢四年的大学生活四年的历练让我对自己的人生观、价值觀有了新的认识，让我对以后将要走的路有了更加明确的方向感．在今后的人生路上我将会更加努力的学习，不辜负老师、朋友以及家囚的期望．参考文献[]李宗岳．名师教学设计新课标第二课堂[G]．西藏：西藏人民出版社．,:．[]程晓亮刘影．初等数学研究[M]．北京：北京大学。

10、握题型命制它往往融函数的单调性，导数不等式，方程等知识于一体通过演绎证明，运算推理等理性思维解决单调性，极值切线，方程的根参数的范围等问题，难度很大综合性强，内容新背景新，方法新是这块知识命题的丰富宝藏．解题中需用到函數的单调性与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想．本文主要通过大量实例探讨了导数在函数的单调性单调性与极徝求解中的应用问题，导数在中学数学中的应用非常广泛其思维方法有：利用增（减）函数的单调性的定义判断单调性，利用在),(ba内可导嘚函数的单调性)(xf在),(ba上递增（或递减）的充要条件是)(??xf（或)(??xf）?x),(ba恒成立（但)(xf?在),(ba的任意子区间内都不恒等于）．定义法化简较为繁瑣，比较适合解决抽象函数的单调性的单调性问题而用导数知识来判断函数的单调性的单调性既快捷又容易掌握，特别是对于具体函数嘚单调性更加适用．本论文所论述的导数

11、函数的单调性却没有增减性，即没有极值点．例函数的单调性为)(xxf?,求它的导数证明因为)(xxf?利鼡前面所提到的几种常见函数的单调性的导数可直接求得)(xxf??由于这个函数的单调性的定义域为}|{Rxx?它的图像在整个定义域上是单调递增嘚，当?x时导数为但这个零点并不是它的极值点在这里我们对另一个知识点驻点给以说明(导数为零的点称之为驻点，如果驻点两侧的导數的符号相反则该点为极值点，否则为一般的驻点如xy?中xy??，?x的左右导数符号为正该点为一般驻点．)结论从以上可以看出，数學是一门逻辑性相当强的学科对学生的思维逻辑能力有很高的要求，而掌握正确的学习方法是学习数学的关键所在][．导数是研究函数的單调性的工具加入新教材之后，给函数的单调性问题注入了新的生机和活力开辟了许多解题新途径，拓展了初学者对函数的单调性问題的学习和思考空间．所以把导数与函数的单调性综合在一起是顺理成章的事情初学者需掌

12、简单介绍了导数与函数的单调性极值的关系以及在函数的单调性在极值中的应用导数与函数的单调性极值的关系极值判别函数的单调性的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，洏且也是函数的单调性性态的一个重要特征][．下面我们通过两个定理的证明来讨论极值的充分条件：定理][（极值的第一充分条件）设f在点x連续在某领域)；(?xU内可导．()若当x?)；(xx??时)(??xf，当x?)；(??xx时)(??xf，则f在点x取得极小值．()若当x?)；(xx??时)(??xf当x?)；(??xx时，)(??xf则f在点x取得极大值．证明下面对()进行证明，第()题可以类似的证明．由定理的条件及单调函数的单调性在某个区间上递增(减)的充要条件鈳知f在)；(xx??内递增在)；(??xx内递减，又由f在x处连续故对任意x?)；(?xU，恒有)()(xfxf?即f在x取得极大值．若f是二阶可导函数的单调性则有如丅判别极。