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五年级,英语下册, 培优课堂2014年高考数学三角函数文科试题汇编
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2014年高考数学三角函数文科试题汇编
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
2014年高考数学三角函数文科试题汇编
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文章 来源莲山课件 ww w.5 Y
&&&&&&&&&&&&&&&&&& 数&&& 学&C单元　三角函数&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& C1& 角的概念及任意角的三角函数2．[;全国卷] 已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝(　　)A.45& B.35C．－35& D．－452．D　
C2& 同角三角函数的基本关系式与诱导公式18．，，[;福建卷] 已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．(1)求f5π4的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
18．解：方法一：(1)f5π4＝2cos5π4sin5π4＋cos5π4＝－2cosπ4－sinπ4－cosπ4＝2.(2)因为f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，所以T＝2π2＝π，故函数f(x)的最小正周期为π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.方法二：f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin2x＋π4＋1.(1)f5π4＝2sin11π4＋1＝2sinπ4＋1＝2.(2)因为T＝2π2＝π，所以函数f(x)的最小正周期为π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.2．、[;全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则(　　)A．sin α＞0& B．cos α＞0C．sin 2α＞0& D．cos 2α＞02．C　17．，，[;山东卷] △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos A＝63，B＝A＋π2.(1)求b的值；(2)求△ABC的面积．17．解：(1)在△ABC中，由题意知，sin A＝1－cos2A＝33.又因为B＝A＋π2，所以sin B＝sinA＋π2＝cos A＝63.由正弦定理可得，b＝asin Bsin A＝3×6333＝32.(2)由B＝A＋π2得cos B＝cosA＋π2＝－sin A＝－33.由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝33×－33＋63×63＝13.因此△ABC的面积S＝12absin C＝12×3×32×13＝322.
C3& 三角函数的图象与性质16．、[;安徽卷] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为2.求cos A与a的值．16．解： 由三角形面积公式，得12×3×1•sin A＝2，故sin A＝2 23.因为sin2A＋cos2A＝1，所以cos A＝±1－sin2A＝±1－89＝±13.①当cos A＝13时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a＝2 2.②当cos A＝－13时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×－13＝12，所以a＝2 3.7．[;福建卷] 将函数y＝sin x的图像向左平移π2个单位，得到函数y＝f(x)的图像，则下列说法正确的是(　　)A．y＝f(x)是奇函数& B．y＝f(x)的周期为πC．y＝f(x)的图像关于直线x＝π2对称& D．y＝f(x)的图像关于点－π2，0对称7．D　&图1&25．、[;江苏卷] 已知函数y＝cos x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ&π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．5.π6　7．[;全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋π6，④y＝tan2x－π4中，最小正周期为π的所有函数为(　　)A．①②③& B．①③④C．②④& D．①③7．A　
C4　函数 的图象与性质8．[;天津卷] 已知函数f(x)＝3sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f(x)的最小正周期为(　　)A.π2& B.2π3& C．π& D．2π8．C　
7．[;安徽卷] 若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是(　　)A.π8& B.π4& C.3π8& D.3π47．C　13．[;重庆卷] 将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y＝sin x的图像，则fπ6＝________．13.22　
16．[;北京卷] 函数f(x)＝3sin2x＋π6的部分图像如图1&4所示．&图1&4(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；(2)求f(x)在区间－π2，－π12上的最大值和最小值．16．解：(1)f(x)的最小正周期为π.x0＝7π6，y0＝3.(2)因为x∈－π2，－π12，所以2x＋π6∈－5π6，0.于是，当2x＋π6＝0，即x＝－π12时，f(x)取得最大值0；当2x＋π6＝－π2，即x＝－π3时，f(x)取得最小值－3.18．，，[;福建卷] 已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．(1)求f5π4的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
18．解：方法一：(1)f5π4＝2cos5π4sin5π4＋cos5π4＝－2cosπ4－sinπ4－cosπ4＝2.(2)因为f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，所以T＝2π2＝π，故函数f(x)的最小正周期为π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.方法二：f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin2x＋π4＋1.(1)f5π4＝2sin11π4＋1＝2sinπ4＋1＝2.(2)因为T＝2π2＝π，所以函数f(x)的最小正周期为π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.9．、[;广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　)A．l1⊥l4& B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行& D．l1与l4的位置关系不确定9．D　[解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．如图所示，在正方体ABCD&A1B1C1D1中，设BB1是直线l1，BC是直线l2，AD是直线l3，则DD1是直线l4，此时l1∥l4；设BB1是直线l1，BC是直线l2，A1D1是直线l3，则C1D1是直线l4，此时l1⊥l4.故l1与l4的位置关系不确定．&18．、、、[;湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f(8)＝10－3cosπ12×8－sinπ12×8＝10－3cos2π3－sin2π3＝10－3×－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，又0≤t&24，所以π3≤π12t＋π3&7π3，所以－1≤sinπ12t＋π3≤1.当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.11．[;辽宁卷] 将函数y＝3sin2x＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数(　　)A．在区间π12，7π12上单调递减B．在区间π12，7π12上单调递增C．在区间－π6，π3上单调递减D．在区间－π6，π3上单调递增11．B　14．[;新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为________．14．1　7．[;全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋π6，④y＝tan2x－π4中，最小正周期为π的所有函数为(　　)A．①②③& B．①③④C．②④& D．①③7．A　12．，[;山东卷] 函数y＝32sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．12．π2．[;陕西卷] 函数f(x)＝cos2x＋π4的最小正周期是(　　)A.π2& B．π& C．2π& D．4π2．B4．[;浙江卷] 为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图像，可以将函数y＝2cos 3x的图像(　　)A．向右平移π12个单位& B．向右平移π4个单位C．向左平移π12个单位& D．向左平移π4个单位4．A　
3．[;四川卷] 为了得到函数y＝sin(x＋1)的图像，只需把函数y＝sin x的图像上所有的点(　　)A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度3．A　17．、、、[;四川卷] 已知函数f(x)＝sin3x＋π4.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.(2)由已知，得sinα＋π4＝45cosα＋π4(cos2α－sin2α)．所以sin αcosπ4＋cos αsinπ4＝45cos αcosπ4－sin αsinπ4(cos2α－sin2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2kπ，k∈Z.此时，cos α－sin α＝－2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.
C5& 两角和与差的正弦、余弦、正切9．、[;广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　)A．l1⊥l4& B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行& D．l1与l4的位置关系不确定9．D　&16．、[;广东卷] 已知函数f(x)＝Asinx＋π3，x∈R，且f5π12＝322.(1)求A的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝3，θ∈0，π2，求fπ6－θ.18．、、、[;湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f(8)＝10－3cosπ12×8－sinπ12×8＝10－3cos2π3－sin2π3＝10－3×－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，又0≤t&24，所以π3≤π12t＋π3&7π3，所以－1≤sinπ12t＋π3≤1.当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.19．、、[;湖南卷] 如图1&4所示，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝7，EA＝2，∠ADC＝2π3，∠BEC＝π3.(1)求sin∠CED的值；(2)求BE的长．
&图1&419．解：设∠CED＝α.(1)在△CDE中，由余弦定理，得EC2＝CD2＋DE2－2CD•DE•cos∠EDC，于是由题设知，7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)．在△CDE中，由正弦定理，得ECsin∠EDC＝CDsin α.于是，sin α＝CD•sin2π3EC＝2×327＝217，即sin∠CED＝217.(2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin2α＝1－.而∠AEB＝2π3－α，所以cos∠AEB＝cos2π3－α＝cos2π3cos α＋sin2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt△EAB中，cos∠AEB＝EABE＝2BE，故BE＝2cos∠AEB＝2714＝47.16．、[;江西卷] 已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且fπ4＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．(1)求a，θ的值；(2)若fα4＝－25，α∈π2，π，求sinα＋π3的值．16．解：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f(x)＝－sin 2x•(a＋2cos2x)．由fπ4＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.(2)由(1)得，f(x)＝－12sin 4x.因为fα4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45，又α∈π2，π，从而cos α＝－35，所以有sinα＋π3＝sin αcosπ3＋cos αsinπ3＝4－3 310.18．、[;全国卷] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝13，求B.18．解：由题设和正弦定理得3sin Acos C＝2sin Ccos A，故3tan Acos C＝2sin C.因为tan A＝13，所以cos C＝2sin C，所以tan C＝12，所以tan B＝tan[180°－(A＋C)]＝－tan(A＋C)＝tan A＋tan Ctan Atan C－1＝－1，所以B＝135°.14．[;新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为________．14．1　[解析]& f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x＝sin xcos φ＋cos xsin φ－2sin φcos x＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)，其最大值为1.17．，，[;山东卷] △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos A＝63，B＝A＋π2.(1)求b的值；(2)求△ABC的面积．17．解：(1)在△ABC中，由题意知，sin A＝1－cos2A＝33.又因为B＝A＋π2，所以sin B＝sinA＋π2＝cos A＝63.由正弦定理可得，b＝asin Bsin A＝3×6333＝32.(2)由B＝A＋π2得cos B＝cosA＋π2＝－sin A＝－33.由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝33×－33＋63×63＝13.因此△ABC的面积S＝12absin C＝12×3×32×13＝322.8．、[;四川卷] 如图1&3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)&图1&3A．240(3－1)m& B．180(2－1)mC．120(3－1)m& D．30(3＋1)m8．C　17．、、、[;四川卷] 已知函数f(x)＝sin3x＋π4.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.(2)由已知，得sinα＋π4＝45cosα＋π4(cos2α－sin2α)．所以sin αcosπ4＋cos αsinπ4＝45cos αcosπ4－sin αsinπ4(cos2α－sin2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2kπ，k∈Z.此时，cos α－sin α＝－2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.18．、[;重庆卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.(1)若a＝2，b＝52，求cos C的值；(2)若sin Acos2B2＋sin Bcos2A2＝2sin C，且△ABC的面积S＝92sin C，求a和b的值．18．解：(1)由题意可知c＝8－(a＋b)＝72.由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝22＋522－＝－15.(2)由sin Acos2B2＋sin Bcos2A2＝2sin C可得sin A•1＋cos B2＋sin B•1＋cos A2＝2sin C，化简得sin A＋sin Acos B＋sin B＋sin Bcos A＝4sin C.因为sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)＝sin C，所以sin A＋sin B＝3sin C.由正弦定理可知a＋b＝3c.又a＋b＋c＝8，所以a＋b＝6.由于S＝12absin C＝92sin C，所以ab＝9，从而a2－6a＋9＝0，解得a＝3，所以b＝3.
C6& 二倍角公式18．，，[;福建卷] 已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．(1)求f5π4的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
18．解：方法一：(1)f5π4＝2cos5π4sin5π4＋cos5π4＝－2cosπ4－sinπ4－cosπ4＝2.(2)因为f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，所以T＝2π2＝π，故函数f(x)的最小正周期为π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.方法二：f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin2x＋π4＋1.(1)f5π4＝2sin11π4＋1＝2sinπ4＋1＝2.(2)因为T＝2π2＝π，所以函数f(x)的最小正周期为π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.14．、[;全国卷] 函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________．14.32　16．、[;全国卷] 直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．16.43　&2．、[;全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则(　　)A．sin α＞0& B．cos α＞0C．sin 2α＞0& D．cos 2α＞02．C　17．、、、[;四川卷] 已知函数f(x)＝sin3x＋π4.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.(2)由已知，得sinα＋π4＝45cosα＋π4(cos2α－sin2α)．所以sin αcosπ4＋cos αsinπ4＝45cos αcosπ4－sin αsinπ4(cos2α－sin2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2kπ，k∈Z.此时，cos α－sin α＝－2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.
C7& 三角函数的求值、化简与证明16．、[;广东卷] 已知函数f(x)＝Asinx＋π3，x∈R，且f5π12＝322.(1)求A的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝3，θ∈0，π2，求fπ6－θ.18．、、、[;湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f(8)＝10－3cosπ12×8－sinπ12×8＝10－3cos2π3－sin2π3＝10－3×－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，又0≤t&24，所以π3≤π12t＋π3&7π3，所以－1≤sinπ12t＋π3≤1.当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.5．、[;江苏卷] 已知函数y＝cos x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ&π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．5.π6　[解析] 将x＝π3分别代入两个函数，得到sin2×π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2kπ(k∈Z)或23π＋φ＝5π6＋2kπ(k∈Z)，化简解得φ＝－π2＋2kπ(k∈Z)或φ＝π6＋2kπ(k∈Z)．又φ∈[0，π)，故φ＝π6.15．[;江苏卷] 已知α∈π2，π，sin α＝55.(1)求sinπ4＋α的值；(2)求cos5π6－2α的值．15．解： (1)因为α∈π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin2α＝－2 55.故sinπ4＋α＝sinπ4cos α＋cosπ4sin α＝22×－2 55＋22×55＝－1010.(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×－2 55＝－45，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×552＝35，所以cos5π6－2α＝cos5π6cos 2α＋sin5π6sin 2α＝－32×35＋12×－45＝－4＋3 310.16．、[;江西卷] 已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且fπ4＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．(1)求a，θ的值；(2)若fα4＝－25，α∈π2，π，求sinα＋π3的值．16．解：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f(x)＝－sin 2x•(a＋2cos2x)．由fπ4＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.(2)由(1)得，f(x)＝－12sin 4x.因为fα4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45，又α∈π2，π，从而cos α＝－35，所以有sinα＋π3＝sin αcosπ3＋cos αsinπ3＝4－3 310.17．、[;辽宁卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c.已知BA→•BC→＝2，cos B＝13，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．17．解：(1)由BA→•BC→＝2，得c•acos B＝2，又cos B＝13，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B，又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.联立ac＝6，a2＋c2＝13，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因为a＞c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sin B＝1－cos2B＝1－132＝223.由正弦定理，得sin C＝cbsin B＝23×223＝429.因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cos C＝1－sin2C＝1－4292＝79.于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝13×79＋2　23×4　29＝2327.
21．、[;辽宁卷] 已知函数f(x)＝π(x－cos x)－2sin x－2，g(x)＝(x－π)1－sin x1＋sin x＋2xπ－1.证明：(1)存在唯一x0∈0，π2，使f(x0)＝0；(2)存在唯一x1∈π2，π，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1＞π.21．证明：(1)当x∈0，π2时，f′(x)＝π＋πsin x－2cos x＞0，所以f(x)在区间0，π2上为增函数．又f(0)＝－π－2＜0，fπ2＝π22－4＞0，所以存在唯一x0∈0，π2，使f(x0)＝0.(2)当x∈π2，π时，化简得g(x)＝(π－x)•cos x1＋sin x＋2xπ－1.令t＝π－x则t∈0，π2.记u(t)＝g(π－t)＝－tcos t1＋sin t－2πt＋1，则u′(t)＝f（t）π（1＋sin t）.由(1)得，当t∈(0，x0)时，u′(t)＜0；当t∈x0，π2时，u′(t)＞0.所以在x0，π2上u(t)为增函数，由uπ2＝0知，当t∈x0，π2时，u(t)＜0，所以u(t)在x0，π2上无零点．在(0，x0)上u(t)为减函数，由u(0)＝1及u(x0)＜0知存在唯一t0∈(0，x0)，使u(t0)＝0.于是存在唯一t0∈0，π2，使u(t0)＝0.设x1＝π－t0∈π2，π，则g(x1)＝g(π－t0)＝u(t0)＝0.因此存在唯一的x1∈π2，π，使g(x1)＝0.由于x1＝π－t0，t0＜x0，所以x0＋x1＞π.12．，[;山东卷] 函数y＝32sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．12．π　[解析] 因为y＝32sin 2x＋1＋cos 2x2＝sin2x＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T＝2π2＝π .17．、、、[;四川卷] 已知函数f(x)＝sin3x＋π4.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.(2)由已知，得sinα＋π4＝45cosα＋π4(cos2α－sin2α)．所以sin αcosπ4＋cos αsinπ4＝45cos αcosπ4－sin αsinπ4(cos2α－sin2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2kπ，k∈Z.此时，cos α－sin α＝－2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.16．[;天津卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 a－c＝66b，sin B＝6sin C.(1)求cos A的值；(2)求cos2A－π6的值．16．解：(1)在△ABC中，由bsin B＝csin C，及sin B＝6sin C，可得b＝6c.又由a－c＝66b，有a＝2c.所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝6c2＋c2－4c226c2＝64.(2)在△ABC中，由cos A＝64，可得sin A＝104.于是cos 2A＝2cos2A－1＝－14，sin 2A＝2sin A•cos A＝154.所以cos2A－π6＝cos 2A•cosπ6＋sin 2A•sinπ6＝15－38.
C8　解三角形 18．[;浙江卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin2A－B2＋4sin Asin B＝2＋2.(1)求角C的大小；(2)已知b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值．18．解：(1)由已知得2[1－cos(A－B)]＋4sin Asin B＝2＋2，化简得－2cos Acos B＋2sin Asin B＝2，故cos(A＋B)＝－22，所以A＋B＝3π4，从而C＝π4.(2)因为S△ABC＝12absin C，由S△ABC＝6，b＝4，C＝π4，得a＝32.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得c＝10.
16．、[;安徽卷] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为2.求cos A与a的值．16．解： 由三角形面积公式，得12×3×1•sin A＝2，故sin A＝2 23.因为sin2A＋cos2A＝1，所以cos A＝±1－sin2A＝±1－89＝±13.①当cos A＝13时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a＝2 2.②当cos A＝－13时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×－13＝12，所以a＝2 3.12．[;北京卷] 在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝14，则c＝________；sin A＝________．12．2　15814．[;福建卷] 在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB等于________．14．1　7．、[;广东卷] 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的(　　)A．充分必要条件& B．充分非必要条件C．必要非充分条件& D．非充分非必要条件7．A　13．[;湖北卷] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝π6，a＝1，b＝3，则B＝________．13.π3或2π3　[解析] 由正弦定理得asin A＝bsin B，即1sinπ6＝3sin B，解得sin B＝32.又因为b&a，所以B＝π3或2π3.19．、、[;湖南卷] 如图1&4所示，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝7，EA＝2，∠ADC＝2π3，∠BEC＝π3.(1)求sin∠CED的值；(2)求BE的长．
&图1&419．解：设∠CED＝α.(1)在△CDE中，由余弦定理，得EC2＝CD2＋DE2－2CD•DE•cos∠EDC，于是由题设知，7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)．在△CDE中，由正弦定理，得ECsin∠EDC＝CDsin α.于是，sin α＝CD•sin2π3EC＝2×327＝217，即sin∠CED＝217.(2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin2α＝1－.而∠AEB＝2π3－α，所以cos∠AEB＝cos2π3－α＝cos2π3cos α＋sin2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt△EAB中，cos∠AEB＝EABE＝2BE，故BE＝2cos∠AEB＝2714＝47.14．、[;江苏卷] 若△ABC的内角满足sin A＋2sin B＝2sin C，则cos C的最小值是______．14.6－24　[解析] 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则由正弦定理得a＋2b＝2c.故cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－a＋2b222ab＝34a2＋12b2－22ab2ab＝34a2＋12b22ab－24≥234a2&#ab－24＝6－24，当且仅当3a2＝2b2，即ab＝23时等号成立．18．、、、[;江苏卷] 如图1&6所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝43.(1)求新桥BC的长．(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？&图1&618．解： 方法一：(1)如图所示， 以O为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy.&由条件知A(0, 60), C(170，0)，直线 BC 的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－43.又因为 AB⊥BC, 所以直线AB的斜率kAB＝34.设点 B 的坐标为(a，b)，则kBC＝b－0a－170＝－43， kAB＝b－60a－0＝34，解得a＝80, b＝120，所以BC＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.因此新桥BC的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M的半径为r m, OM＝d m (0≤d≤60)．由条件知， 直线BC的方程为y＝－43(x－170)，即4x＋3y－680＝0.由于圆M与直线BC相切， 故点 M(0, d)到直线BC的距离是r，即r＝|3d － 680|42＋32＝680－3d5.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以r－d≥80，r－（60－d）≥80，即680－3d5－d≥80，680 － 3d5－（60－d）≥80，解得10≤d≤35.故当d＝10时， r ＝680 － 3d5最大， 即圆面积最大，所以当OM＝10 m时， 圆形保护区的面积最大．方法二：(1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F.&因为 tan∠FCO＝43，所以sin∠FCO＝45， cos∠FCO＝35.因为OA＝60，OC＝170，所以OF＝OC tan∠FCO＝6803， CF＝OCcos∠FCO＝8503， 从而AF＝OF－OA＝5003.因为OA⊥OC, 所以cos∠AFB ＝sin∠FCO＝45.又因为 AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝4003， 从而BC＝CF－BF＝150.因此新桥BC的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M与BC的切点为D，连接 MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD＝r m，OM＝d m (0≤d≤60)．因为OA⊥OC, 所以sin∠CFO＝cos∠FCO.故由(1)知sin∠CFO＝MDMF＝MDOF－OM＝r6803－d＝35， 所以r＝680－3d5.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以r－d≥80，r－（60－d）≥80，即680－3d5－d≥80，680－3d5－（60－d）≥80，解得10≤d≤35.故当d＝10时， r＝680 － 3d5最大，即圆面积最大，所以当OM＝10 m时， 圆形保护区的面积最大．5．[;江西卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为(　　)A．－19& B.13& C．1& D.725．D　17．、[;辽宁卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c.已知BA→•BC→＝2，cos B＝13，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．17．解：(1)由BA→•BC→＝2，得c•acos B＝2，又cos B＝13，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B，又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.联立ac＝6，a2＋c2＝13，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因为a＞c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sin B＝1－cos2B＝1－132＝223.由正弦定理，得sin C＝cbsin B＝23×223＝429.因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cos C＝1－sin2C＝1－4292＝79.于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝13×79＋2　23×4　29＝2327.18．、[;全国卷] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝13，求B.18．解：由题设和正弦定理得3sin Acos C＝2sin Ccos A，故3tan Acos C＝2sin C.因为tan A＝13，所以cos C＝2sin C，所以tan C＝12，所以tan B＝tan[180°－(A＋C)]＝－tan(A＋C)＝tan A＋tan Ctan Atan C－1＝－1，所以B＝135°.17．[;新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积．17．解：(1)由题设及余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC•CDcos C＝13－12cos C，①BD2＝AB2＋DA2－2AB•DAcos A＝5＋4cos C．②由①②得cos C＝12，故C＝60°，BD＝7.(2)四边形ABCD的面积S＝12AB•DAsin A＋12BC•CDsin C＝12×1×2＋12×3×2sin 60°＝23.16．[;全国新课标卷Ⅰ] 如图1&3，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°，以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.&图1&316．150　17．，，[;山东卷] △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos A＝63，B＝A＋π2.(1)求b的值；(2)求△ABC的面积．17．解：(1)在△ABC中，由题意知，sin A＝1－cos2A＝33.又因为B＝A＋π2，所以sin B＝sinA＋π2＝cos A＝63.由正弦定理可得，b＝asin Bsin A＝3×6333＝32.(2)由B＝A＋π2得cos B＝cosA＋π2＝－sin A＝－33.由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝33×－33＋63×63＝13.因此△ABC的面积S＝12absin C＝12×3×32×13＝322.16．、、[;陕西卷] △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，且c＝2a，求cos B的值．16．解： (1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B.∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．(2)由题设有b2＝ac，c＝2a，∴b＝2a.由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a24a2＝34.8．、[;四川卷] 如图1&3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)&图1&3A．240(3－1)m& B．180(2－1)mC．120(3－1)m& D．30(3＋1)m8．C　18．、[;重庆卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.(1)若a＝2，b＝52，求cos C的值；(2)若sin Acos2B2＋sin Bcos2A2＝2sin C，且△ABC的面积S＝92sin C，求a和b的值．18．解：(1)由题意可知c＝8－(a＋b)＝72.由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝22＋522－＝－15.(2)由sin Acos2B2＋sin Bcos2A2＝2sin C可得sin A•1＋cos B2＋sin B•1＋cos A2＝2sin C，化简得sin A＋sin Acos B＋sin B＋sin Bcos A＝4sin C.因为sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)＝sin C，所以sin A＋sin B＝3sin C.由正弦定理可知a＋b＝3c.又a＋b＋c＝8，所以a＋b＝6.由于S＝12absin C＝92sin C，所以ab＝9，从而a2－6a＋9＝0，解得a＝3，所以b＝3.
&&&& C9& 单元综合18．、、、[;湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f(8)＝10－3cosπ12×8－sinπ12×8＝10－3cos2π3－sin2π3＝10－3×－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，又0≤t&24，所以π3≤π12t＋π3&7π3，所以－1≤sinπ12t＋π3≤1.当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.19．、、[;湖南卷] 如图1&4所示，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝7，EA＝2，∠ADC＝2π3，∠BEC＝π3.(1)求sin∠CED的值；(2)求BE的长．
&图1&419．解：设∠CED＝α.(1)在△CDE中，由余弦定理，得EC2＝CD2＋DE2－2CD•DE•cos∠EDC，于是由题设知，7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)．在△CDE中，由正弦定理，得ECsin∠EDC＝CDsin α.于是，sin α＝CD•sin2π3EC＝2×327＝217，即sin∠CED＝217.(2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin2α＝1－.而∠AEB＝2π3－α，所以cos∠AEB＝cos2π3－α＝cos2π3cos α＋sin2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt△EAB中，cos∠AEB＝EABE＝2BE，故BE＝2cos∠AEB＝2714＝47. 文章 来源莲山课件 ww w.5 Y
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