(14)y?axarcsin(a?0为常数).2；x?3；24.；y?arccosx?3?y?；x?2；dyπ?1??；25.若f?????1，y?f?arccos?；?3?；x?；dx；26.；试求曲线y?e?x(0,1)及点(?1,0)处的；dydx；(1)y?f?x2?；(2)y?f?sin2x?；1?x；29.已知y?f?x?的导数f??x?
(14) y?axarcsin(a?0为常数). 2a
y?arccosx?3?y?
25.若f?????1，y?f?arccos?，求
试求曲线y?e?x(0,1)及点(?1,0)处的切线方程和法线方程. 27.设f?x?可导，求下列函数yv的导数
(1) y?f?x2?；
(2) y?f?sin2x??f?cos2x?. 28.求函数y?1ln1?x的反函数x?φ?y?的导数.
29.已知y?f?x?的导数f??x??
2x?1(1?x?x)
，且f(?1)?1，求y?f?x?的反函数
?的导数φ??1?.
30.求下列参数方程所确定的函数的导数
?x?acosbt?bsinat,?y?asinbt?bcosat,
?x?θ(1?sinθ),?
y?θcosθ.
(a,b为常数)；
??x?esint,
31.已知?求当t?πt
3??y?ecost,
32.求下列隐函数的导数： (1) x3?y3?3axy?0；
(3) xe?ye?10；
(2) x?yln?xy?；
(4) ln?x2?y2??2arctan
33.用对数求导法求下列函数的导数： (1)
(2) y??sinx?
134.求自由落体运动s?t??gt2的加速度.
35.求n次多项式y?a0xn?a1xn?1???an?1x?an的n阶导数.
36.设f?x??ln?1?x?，求f
37.验证函数y?exsinx满足关系式y??2y??2y?0. 38.求下列函数的高阶导数: (1) y?exsinx，求y??；
(2) y?x2e2x，求y??；
(3) 设y?x2sinx，求y?
39.求下列函数在指定点的高阶导数：
(2)f?x??e2x?1,求f??0?, f???(0); (3) f(x)??x?10?,求f
?0?，f???0?.
40.求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数(1) b2x2?a2y2?a2b2；
(3) y?tan?x?y?；
41.已知f??x?存在，求
(2) y?1?xey； (4) y2?2lny?x4.
(1)y?f?x2?；
(2) y?lnf?x?.
42.求由下列参数方程所确定函数的二阶导数
?x?a(t?sint),?y?a(1?cost),
(a为常数)；
y?tf?(t)?f(t),
设f??t?存在且不为零.
43.设y?f?x?是由方程组
??x?3t?2t?3,
??y?esint?1.
所确定的隐函数，求
44.设函数f?x?在?在(a,b)内可导，且limf?(x)?A，试证：f???a??A. ?a,b??上连续，
45.设f?x?具有二阶连续导数，且f?0??0，试证
?f?(0),x?0?
可导，且导函数连续. 46.在括号内填入适当的函数，使等式成立： (1)d??= costdt；
(3) d???(5)d?
(2)d???sinωxdx； (4)d???e?2xdx； (6)d???sec23xdx； (8)d?
(7)d???1lnxdx；
47.根据下面所给的值，求函数y?x2?1的Δy，dy及Δy?dy： (1) 当x?1，Δx?0.1时； (2) 当x?1，Δx?0.01时. 48.求下列函数的微分： (1) y?xex；
(3) y?cos；
(5) y?8xx?6e2x；
(2) y?lnx；
(4) y?5lntanx；
(6) y?(arctanx)2.
49.求由下列方程确定的隐函数y?y?x?的微分dy： (1)y?1?xe；
(3)y?x?1siny；
(4)y?x?arccosy.
50.利用微分求下列各数的近似值：
(2) ln0.99；
arctan1.02.
51.设a?0，且b与an相比是很小的量，证明：
52.利用一阶微分形式的不变性，求下列函数的微分，其中f和φ均为可微函数： (1) y?f?x3?φ?x4??；
(2) y?f(1?2x)?3sinf?x?. 53.求下列函数的高阶微分：
2(1) y?，求dy；
(2)y?x，求dy；
cos2x，求dy；
(4)y?x?(3)y?x?lnx，求dy； 2323
(5) r2?cosθ?asinθ?0(a为常数)，求dr.
54.利用麦克劳林公式，按x乘幂展开函数f?x??(x2?3x?1)3.
55.利用泰勒公式求下列极限： (1) lim
(3) lim[x?x2ln(1?1)].
56.求下列函数在x?x0处的三阶泰勒展开式：
(2) y?(x?1)lnx ?x0?1?.
57.求函数f(x)?1在x0??1处的n阶泰勒公式.
58.求函数f?x??xex的n阶麦克劳林公式.
e+e59.求函数y?
的2n阶麦克劳林展开式.
60.设f?x?在含x0的某区间上存在有界的二阶导函数，证明：当x在x0处的增量h很小时，用增量比近似一阶导数f??x0?的近似公式
f(x0?h)?f(x0)
其绝对误差的量级为O?h?，即不超过h的常数倍.
61.利用四阶泰勒公式，求ln1.2的近似值，并估计误差.
62.计算e0.2的近似值，使误差不超过10?3.
63. 球的半径以速率v改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？
64. 一点沿对数螺线r?eaφ运动，它的极径以角速度ω旋转，试求极径变化率.
65. 一点沿曲线r?2acosφ运动，它的极径以角速度ω旋转，求这动点的横坐标与纵坐标的变化率.
66. 椭圆16x?9y?400上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相
67. 一个水槽长12m，横截面是等边三角形，其边长为2m，水以每分钟3m3?min?1的速度注入水槽内，当水深0.5m时，水面高度上升多快？
68. 某人走过一桥的速度为4千米/小时，同时一船在此人底下以8千米/小时的速度划过，此桥比船高200米，求3分钟后，人与船相离的速度.
69. 一动点沿抛物线y?x运动，它沿x轴方向的分速度为3厘米/秒，求动点在点(2，4)
时，沿y轴的分速度.
70. 设一路灯高4米，一人高5米，若人以56米/分的等速沿直线离开灯柱，证明:人影
的长度以常速增长.
71. 计算抛物线y?4x?x2在它顶点处的曲率. 72. 计算曲线y?coshx上点(0， 1)处的曲率.
73. 计算正弦曲线y?sinx上点? ?,1?处的曲率.
74. 求曲线y?ln?secx?在点(x,y)处的曲率及曲率半径. 75. 求曲线x?acos3t，y?asin3t在t?t0处的曲率.
76. 曲线弧y?sinx(0?x?π)上哪一点处的曲率半径最小？求出该点的曲率半径. 77. 求曲线y?lnx在与x轴交点处的曲率圆方程.
x78. 一飞机沿抛物线路径y?(y轴铅直向上，单位为米)做俯冲飞行，在坐标原点
处飞机速度v?200米/秒，飞行员体重G?70千克，求飞机俯冲至最低点即原点O处时，座椅对飞行员的反力.
79. 设总收入和总成本分别由以下两式给出：
R?q??5q?0.003q,C?q??300?1.1q
其中q为产量，0?q?1000，求(1)边际成本；(2)获得最大利润时的产量；(3)怎样的生产量使盈亏平衡
80. 设生产q件产品的总成本C?q?由下式给出：
C?q??0.01q?0.6q?13q
(1)设每件产品的价格为7元，企业的最大利润是多少？
(2)当固定生产水平为34件时，若每件价格每提高1元时少卖出2件，问是否应该提高价格？如果是，价格应该提高多少？
81. 求下列初等函数的边际函数、弹性和增长率： (1)y?ax?b；
其中a,b?R，a?0.
82. 设某种商品的需求弹性为0.8，则当价格分别提高10%，20%时，需求量将如何变化？
83. 国民收入的年增长率为7.1%，若人口的增长率为1.2%，则人均收入年增长率为多少？
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第7章 导数与微分的MATLAB求解
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微积分-§2.4 由参数方程所确定的函数及隐函数的导数
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