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级数敛散性判别方法综述
山东财经大学本科毕业论文(设计)
级数敛散性判别方法综述
数学与数量经济学院专
信息与计算科学专业班
名指导教师
山东财经大学教务处制二Ｏ一四年五月山东财经大学学士学位论文
山东财经大学学士学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果.除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果.对
学位论文作者签名：日山东财经大学关于论文使用授权的说明本人完全了解山东财经大学有关保留、使用学士学位论文的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文.
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山东财经大学学士学位论文级数敛散性判别方法综述摘
要级数理论在《数学分析》中占有重要的地位，它是研究函数、进行数值运算以及数据分析的一种工具.级数敛散性判别的方法有很多，一般教材对级数敛散性的判别方法都有介绍.关键词：级数；收敛；发散；判别
Study on the Methods of the Convergence and Divergence of the SeriesABSTRACTThe theory of Series is important in Mathematical Analysis, it can be used in studying function, numerical operation and data analysis.There are many Determination Methods for the Convergence and Divergence.This article mainly summarize these methods,for example, the Cauchy Criterion, Darren Bell Criterion discriminant Methods,and Integral Methods.It will be useful to solve problems.Keywords: S C D Determination
山东财经大学学士学位论文目录一、引言…………………………………………………………………………………………………1二、级数收敛的概念和基本性质………………………………………………………………………1三、判定定理的发展……………………………………………………………………………………1四、判别方法及其推广…………………………………………………………………………………3（一） 柯西判别法及其推广………………………………………………………………………31. 柯西判别法1………………………………………………………………………………32. 柯西判别法2………………………………………………………………………………33. 广义柯西判别法1…………………………………………………………………………44. 广义柯西判别法2…………………………………………………………………………45. 广义柯西判别法3…………………………………………………………………………4（二） 达朗贝尔判别法及其推广…………………………………………………………………51. 达朗贝尔判别法1…………………………………………………………………………52. 达朗贝尔判别法2…………………………………………………………………………53. 广义达朗贝尔判别法1……………………………………………………………………54. 广义达朗贝尔判别法2……………………………………………………………………65. 广义达朗贝尔判别法3……………………………………………………………………6（三） 积分判别法…………………………………………………………………………………6柯西积分判别法……………………………………………………………………………7（四） 绝对收敛的导数判别法……………………………………………………………………7（五） 拉伯判别法与高斯判别法…………………………………………………………………7（六） 拉贝尔判别法与狄利克雷判别法…………………………………………………………8五、小结…………………………………………………………………………………………………10 参考文献…………………………………………………………………………………………………11
山东财经大学学士学位论文一、引言随着数据研究的进一步发展，无穷级数概念已经深入渗透到科学技术的多个领域，因此级数敛散性判别方法的重要性可见一斑.数项级数敛散性的判别，是数学分析的一个难点.主要因为其敛散性与极限的联系非常密切.仅由收敛原理来判别级数的敛散性非常局限.并且数项级数敛散性判别方法很多，技巧性非常强，这就需要解题的同时结合多种数学知识，例如不等式、定积分、导数、泰勒公式等.在学习级数收敛判别方法的时候发现有这样一个问题，就是每当老师讲解完一种方法，会布置相应类型的题目，我们根据指定的判别方法往往很容易将题目求解出来.然而当老师将所有的方法都讲解一遍，再让我们做综合判别时，我们要么束手无策，要么选择判别方法时带有一定的盲目性，将简单的问题繁琐化，往往还不得其果.造成这种情况的主要原因是我们对于所学判别方法的使用条件及特点不太熟悉，解题思路比较乱.所以，我觉得有必要归纳总结一下级数收敛的判别方法.二、级数收敛的概念和性质概念 给定一个数列?un?，形如
u1?u2???un??
(1) 称为无穷级数(常简称级数),用?un表示.无穷级数(1)的前n项之和，记为n?1?Sn??un?1?n?u1?u2???un??
(2)称它为无穷级数的第n个部分和，也简称部分和.若无穷级数(2)的部分和数列?sn?收敛于s,则称无穷级数?n?1?un收敛，若级数的部分和发散则称级数?vn?1?n发散.研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理2.1 若级数?un?1?n和?vn?1?n都收敛，则对任意的常数c和d，级??cun?1?n?dvn?亦收敛，且??cun?1?n?dvn??c?un?1?n?d?vn?1?n定理2.2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性.定理2.3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和.定理2.4 级数(1)收敛的充要条件是：任给?＞0，总存在自然数N和任意的自然数P，使得当m?N时，都有um?1?um?2???um?p＜?以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在解决实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以，总结归纳级数敛散性的判别方法是十分必要的.三、判定定理的发展正项级数，是指级数中各项的符号均为正号的级数，它是数项级数中最简单也是最有代表意义的数项级数，所以它收敛的最基本的判别方法也是从级数的收敛性质中引出：定理3.1 正项级数整数n有 sn?M.1 ?un?1?n收敛的充要条件是：部分和数列?sn?有界，即存在某正数M，对一切正山东财经大学学士学位论文证明： 由于ui?0,(i?1,2,3,?)，所以?sn?是单调递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界，这就是本定理的结论.有了着一方法来判断某些简单的正项级数的收敛性后，以它作为参照，来判断另外一些稍微复杂的级数的收敛性，这就引出了我们第一个比较常用的判定定理―比较判别法.这种方法虽然比较简单，但它必须先大致估计自己的敛散性，然后找一个敛散性已知的合适级数与之相比较.这就对它产生一个比较大的制约.于是我们在它的基础上改进得到了两种更适用的判别方法--达朗贝尔判别法（比值判别法）与柯西判别法（根式判别法）.达朗贝尔判别法与柯西判别法都是建立在正项级数比较判别法基础上的，所用的比较级数是收敛速度相对比较快的等比级数.这两种方法虽然更方便，但是它们也只能用于判别那些比等比级数收敛速度更快的级数，而对于那一类比等比级数收敛速度更缓慢的级数，这两种判别法就无能为力了.既然收敛速度有快有慢，那怎么来判断级数间收敛速度的快慢呢？因此，我们需要设定一个级数收敛速度快慢的标准.设?an?1?n, ?bn?1?n均为正项级数,记Sn=?ak?1nn,sn= '?bk?1nn,rn=k?n?1?a?n, rn='k?n?1?b?n,??rn 1)若?an, ?bn均为收敛,且lim'?0, 则称?bn是比?an收敛较慢的级数； n??rn?1n?1n?1n?1n??sn 2)若?an, ?bn均为发散,且lim'?0, 则称?bn是比?an发散较慢的级数； n??sn?1n?1n?1n?1n????既然等比级数的收敛速度有些快,因此我们总想另外找一些形式比较简单,而收敛速度相对较慢的级数作为比较级数,于是我们就引进了P-级数.作为比较级数,并由此导出了较比值法更为精细的拉伯判别法:定理3.2设?un?1?n为正项级数,且存在某正整数M及常数r,1)若对一切n＞M,成立不等式n?1???un?1???r?1, un?则级数?un?1?n收敛；2)若对一切n＞M,成立不等式n?1???un?1???1, un?则级数?un?1?n发散；虽然拉伯判别法的判别范围比比式判别法的范围要广,但它也有自己的局限,即当r?1时仍无法判断.因此我们需要更精细的判别法.于是我们以收敛速度更慢的级数??nn?21?lnn?p(p?1)作为比较级数,由此可导出高斯判别法:2山东财经大学学士学位论文定理3.3设an＞0 (n∈N).若n→∞时有an1??1??1??+???, an?1nnlnn?lnn?则当?＞1时，?an?1?n收敛; ?1时，?an?1?n发散.那是否存在收敛得最慢得级数,并以它作为一切级数判敛的比较级数呢,这是没有的.对任何一个收敛的正项级数?an?1?n, 我们总能构造出比它收敛得更慢的级数?bn?1?n,这只要
令bn?'n?N (r0=?an). n?1?此时即有r
n0(n→∞),且有liman==limn??
n??n?0. ??rn由?an的收敛性可知?bn也收敛,而lim'=lim?0,可见?bn的收敛速度要比?an更nn??
rn?1n?1n?1n?1n??慢.也因此,正项级数判敛方法的精细程度没有尽头,随着级数收敛速度的变慢,相应的判别越来麻烦,也不太有多少应用价值了.理顺几种判定定理的整体关系后,接下来再对具体的一些判定定理做进一步的分析与推广.四、判别方法及其推广（一）柯西判别法及其推广1.定理4.1（柯西判别法1）设?un?1?n为正项级数，则?(i)若从某一项起，即存在N，当n?N(ii)若从某项起，un?1，则时，有，则un?q?1（q为常数）?un?1n收敛； ?un?1?n发散.2.定理4.2（柯西判别法2）设?un?1?n为正项级数，limn?r，则 n??3山东财经大学学士学位论文?(i)当r?1时，?un?1n收敛；(ii)当r?1时（或r???时），(iii)当r?1时，法则失效. ?un?1?n发散；1?2??3??n?例1.判别正项级数?????????????的敛散性 3?5??7??2n?1?23n解 因为r?limn?n??1?1,所以原级数收敛. 23.定理4.3（广义柯西判别法1） 设?un?1?n为正项级数，如果它的通项un的an?b(a?0)次方根的极限等于r,即liman?n?r.则当n??r?1时，级数收敛；当r?1时，级数发散；当r?1级数可能收敛也可能发散.?1?例2.判别级数??3n?1??n?1??2n?1的敛散性.解 因为lim2nun?limn??1?0?1,由广义柯西判别法1知，该级数收敛. n??3n?14.定理4.4（广义柯西判别法2）
设m?un?1?n为正项级数，如果它的一般项un的nm（m是大于1的正整数）次根的极限等于r，即n??limn?r，则当r?1时，级数收敛；当r?1时，级数发散；当r?1时，级数可能收敛也可能发散.?例3.判别级数???2n?1??n?1?n?n2的收敛性.解 因为limn?limnn??n??22?n????2n?1?n2?limn1??1,由广义柯西判别法2知原级数收敛. n??2n?125.定理4.5（广义柯西判别法3）vwn收
设wn?unvn,un?0,vn?0（n?1,2,3,?），若limun?u,limn?v,则当uv?1时，级数n??n??vn?1n?1??敛；当uv?1时，级数?wn?1?n发散.4山东财经大学学士学位论文?n?1?例4.判定级数??的敛散性. nn?n?12n?1???n!n2n!?n?1?解 设un??,则 ?,vn?2n?1n?n?limn???n?1?n?lim????,n???n?1?? ?1??nn?2n?1?n12n??lim???lim??,??limnn??2n?1?2n?1?n??2n?1n??2?1???1???2n?nnn2vnn??vn?1limn!?n?1?11由于????1,根据广义柯西判别法3知，级数??收敛. nn2?2?n?12n?1???n2（二）达朗贝尔判别法及其推广1.定理4.6（达朗贝尔判别法1）设?un?1?n为正项级数，则u(i)若从某一项起，（存在N,n?N）,有n?1?q?1,则un收敛； unn?1??u
(ii)若从某一项起，（存在N,n?N）,有n?1?1，则un发散. unn?1??2.定理4.7（达朗贝尔判别法2）u
设limn?1?r,则 n??un(i)当r?1时，?un?1?n收敛；(ii)当r?1时（或r???时），?un?1?n发散；(iii)当r?1时，敛散性不能确定.222232n例5.判别级数???????的敛散性. 123nu
解 因为r?limn?1?2?1,所以原级数发散. n??un3.定理4.8 （广义达朗贝尔判别法1）设?un?1?n为正项级数，k是某一正整数，un?k?q?1，则级数收敛； un5 (i)如果对一切n,有山东财经大学学士学位论文(ii)如果un?k?1，则级数发散. un.判别级数??2?2???n?n??的收敛性. 232323?1,n为奇数un?k?u?2解 取k?2,由于??,limn?k?2?1据广义达朗贝尔判别法1知该级数收敛. un?1,n为偶数n??un??34.定理4.9（广义达朗贝尔判别法2）设?un?1?n为正项级数，k是某一正整数，limun?k?q(或+?)， 则 n??un
(i)如果q?1，则级数收敛；(ii)如果q?1,则级数发散.例7.确定级数?n?1?2?n???1?的敛散性. nn?2un?22??n?2????1??lim解 取k?2,由于limnn??unn??2?n??1?1?1,所以原级数收敛. 45.定理4.10（广义达朗贝尔判别法3）
设给定正项级数(i)当??an?1?n，满足an?1?an（1,2,3?）且lima2n=?，则 n??an1an收敛； ?时，级数2n?1??(ii)当?1an发散； ?时，级数2n?1??(iii)当???1时不能判定. 2nnn例8.判别?n!?n?1的敛散性.n?1?解 利用不等式???1??,可直接推出 ?n??n?1?n?1?,且有
nn?1n?1!?n!??2n?2n?nn!lima2nan?limn2n?n??n??n?2n!2?nnn?n?2n?2n?n?limn2n?n??n?2?2n2n2n??2nnn?21?,22故级数?n!?n?1?nnn发散.n?n??n12n注：求极限的第二个等号用到了斯特林公式n!??n?n??6
?0??n?1?.山东财经大学学士学位论文（三）积分判别法定理4.11（柯西积分判别法）对于正项级数减少，则级数??un?1n，设{un}单调减少，作单调减少的连续函数f?x?(f?x??0),使un?f(n)单调?un?1?n与广义积分????1f(x)dx同时收敛，同时发散.例10.讨论级数解 取f?x???nlnnn?21p的敛散性，其中p?0为常数. 1xlnxp1nlnn,p?0.它在?3,???非负，单调减少且连续. .
令un?f?n??p当p?1时，limn??3?x1dt?lim?lnlnx?lnln3????. n??tlnt1tlnt1?lnx?1?p??ln3?1?pn??1?p
当p?1时，limn??3?x?limp?????,????ln3?1?p?p?1,?0?p?1,p?1.故级数?nlnnn?2?1p当p?1收敛，当0?p?1时发散.（四）绝对收敛的导数判别法
定理4.12(绝对收敛的导数判别法)1设f(x)在x?0的某邻域内有定义，un?f()（或当n充分大时成立），且f??(x)在x?0处存在，则n级数?un?1?n绝对收敛的充分必要条件是：f(0)?f?(0)?0.例11.判别级数???n?ln?1?n???的敛散性. ????n?1??1?1??解 令f?x??x?ln?1?x?,显然f?x?在x?0处二阶可导，且f?0??0,又f??x??1?1,f??0??0, 1?x由导数判别法知??1?1????ln?1????n?收敛. n????n?1?（五）拉伯判别法与高斯判别法7山东财经大学学士学位论文1.定理4.13 （拉伯判别法）设?un?1?n为正项级数，若有
un?1a1?1???() (n??)，
（1） unnn?则在??1时，级数?un收敛；而在???1时，级数n?1?un发散. n?1注 等式（1）等同于
limn(1un?1n???u)?? ,n推论（拉伯判别法的极限形式）?设?un为正项级数，且极限（2）存在，则：n?1?(i)当??1时，?un收敛；n?1??(ii)当?1时,级数?un发散；n?1(iii)当??1时，拉伯判别法失效.??例12.判别级数n!的收敛性.n?12?2?2?2?n解 由limn???1?un?1????limn??n?1??n???1??2?n?1????，故根据拉伯判别法知级数收敛. n???un??2.定理4.14（高斯判别法）
设??un为正项级数，若有n?1un?1u?1?1??nlnn??(1nlnn)
（n??），nn??则在??1时级数?un收敛；而在??1时级数n?1?un发散. n?1例略.（六）拉贝尔判别法与狄利克雷判别法1.定理4.15（阿贝尔判别法）8 （2） 3） （山东财经大学学士学位论文如果级数?bn?1?n收敛，数列{an}单调有界，即存在正数K，使得an?K?n?1,2,3,??,则级数?anbn收敛.n?1?ununnun例13.若级数un收敛，证明级数都收敛，它们都是单调有界的，由阿贝,,nn?1nn?1n?1n?1n?1????????尔判别法知它们均收敛.11n证 取bn?un,分别取an?,an?,an?,它们都是单调有界的，由阿贝尔判别法知它们均收nn?1敛.2.定理4.16（狄利克雷判别法）如果级数?bn?1?n的部分和Bn有界，即存在正数M，使?n?M?n?1,2,3,??,并设数列{an}趋向于零，则级数?abn?1?nn收敛.例14.若数列?an?单调趋于零，证明：级数?an?1?nsinnx对任何x都收敛.证 先考虑当x?2k?时级数?an?1?nsinnx的部分和?an?1?nsinkx，由积化和差公式sinAsinB?2sin1?cos?A?B??cos?A?B??，有 2x?sinx?sin2x???sinnx?2xx?x??2?sinsinx?sinsin2x???sinsinnx?22?2???x3??35?2n?12n?1??????cos?cosx???cosx?cosx?????cosx?cosx??222222????????x2n?1?cos?cosx,22从而
?sinkx?k?1n2x2sin2?1xsin2?x?2k??.由狄利克雷判别法知?an?1?nsinnx收敛.9山东财经大学学士学位论文当x?2k?时，级数的通项为零，级数自然收敛.五、小结级数敛散性判别方法有很多，真正认识方法，不仅仅是知道相应的定理，还要能够做到熟练，了解这个定理的特点和它的使用局限,同时还要了解在哪些情况下用这个定理可能会相对方便简单，举一反三，从而帮助我们方便快捷的将题目解答出来.判断正项级数收敛有多种方法，但每一种方法都有它自身的特点与局限.
10山东财经大学学士学位论文参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）.下册[M].北京：高等教育出版社，2001.[2]刘三阳.于力.李广民.数学分析选讲[M].北京：科学出版社，2007.[3]杨钟玄.双比值判别法与对数判别法的比较[J].四川师范大学学报，2004，（1）：57-60.[4]刘芜健.一类特殊正项级数的敛散性判定技巧.南京邮电大学学报.[5]李春江.级数收敛的判别方法[J].[6]邓东皋，尹小玲.数学分析简明教程
下册.北京：高等教育出版社，1999.6[7]胡洪萍. 数列与级数敛散性判定定理[Ｊ]. 西安联合大学学报,2004(5):P26-29.[8]陈纪修,於崇华,金路. 数学分析(下)[Ｍ]. 北京:高等教育出版社,.[9]杨翰深,夏代月. 调和级数和ｐ级数敛散性证明的一次性简单方法[Ｊ]. 数学的实践与认识,):P342-345.[10]裘兆泰，王承国，章仰文. 数学分析学习指导[Ｍ]. 北京:科学出版社, 5.
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1.75亿学生的选择
正项级数收敛,其子列的级数是否收敛？最好有个证明或定理。谢谢
1、子列也是正项级数2、子列级数小于母级数，也就是有界。
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级数1/n发散的意义是什么?它也是一个渐衰级数吧?为什么1/n^2就收敛而它却发散呢?不要只给证明过程,麻烦解释一下这两个级数呈现不同敛散性的本质原因是什么?
首先对于p-级数∑1/n^p有很好的性质：p≤1时发散,p>1时收敛.对于这种形式的级数,其是否收敛完全取决于一般项趋于0的速度,一般项趋于0的速度越快级数越有可能收敛,例如1/n^2比1/n趋于0的速度快（即n趋于无穷时1/n^2是比1/n更高阶的无穷小）,因此p=1就是一个临界点,因为任何比1大的p都是收敛的,即调和级数∑1/n是p-级数中发散速度最慢的级数,事实上你可以自己计算一下调和级数的前几项,它的增长速度是非常慢的,以至于直观上观察这个数列的前几项都想象不出增长如此慢的级数竟然会是发散的.另外关于调和级数还可以多说一点就是,它和对数函数lnx有着相同的阶,即lim(1+1/2+...+1/n-lnn)存在,这个极限称为欧拉常数,记作c=lim(1+1/2+...+1/n-lnn),c约等于0.5772,关于这个欧拉常数c是否是无理数,至今无人能给出证明,这是一个“未解之谜”.
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