已解决问题 &
2018年中国海洋大学数学科学学院考试大纲幂级数：阿贝尔第一、第二定理，收敛半径与收敛区间，幂级数的一致收敛性，幂级数和函数的分析性质（连续性，可积性，可微性），泰勒（Taylor）级数与几种常见的初等函数的幂级数展开
2018年中国海洋大学数学科学学院考试大纲幂级数：阿贝尔第一、第二定理，收敛半径与收敛区间，幂级数的一致收敛性，幂级数和函数的分析性质（连续性，可积性，可微性），泰勒（Taylor）级数与几种常见的初等函数的幂级数展开。
更新时间: 18:54
2、幂级数：阿贝尔第一、第二定理，收敛半径与收敛区间，幂级数的一致收敛性，幂级数和函数的分析性质（连续性，可积性，可微性），泰勒（Taylor）级数与几种常见的初等函数的幂级数展开。（十二）傅里叶级数（十二）傅里叶级数&
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JE技校网 , 中国技校品牌网！数学笔记31——幂级数和泰勒级数 - 我是8位的 - 博客园
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　　实际应用中，总是会出现一堆复杂的函数，这类函数往往令物理学家和数学家都十分头疼。为了解决这一窘境，泰勒想：会不会存在一种方法，把一切函数表达式都转化为多项式函数来近似呢？这样，处理问题不就变得简单了吗？经过泰勒夜以继日的奋斗，终于研究出了泰勒级数的理论。它将一切函数，不论表达式有多么多么的复杂，只有能保证n阶导数存在，就能将它的局部用多项式展开。泰勒级数在近似计算中有重要作用。实际上，利用多项式函数近似（或者称作逼近）一个复杂函数，是研究实际问题的一个非常重要的思想。
幂级数与几何级数
　　幂级数是这样表示的：
　　有人说必须要写成∑形式，别信他的，只要能准确表达意思就好。
　　当an是定值时，幂级数称为几何级数。
　　上篇文章中提到过，当an = 1时：
　　以an = 1的几何级数为例，x的取值范围（-1 & x & 1）称为收敛半径，用R表示。在收敛半径内，幂级数是收敛的；在收敛半径外，幂级数是发散的；如果|x| = R，幂级数的收敛性不确定。根据该定义，如果x & |R|，则必然有|anxn|→0，也就是：
　　将收敛半径看成一个圆，x的取值点如果在圆内，则幂级数是收敛的，在圆外则是无意义的。我们可以计算圆的大小，正如下面的示例，圆甚至可能是无穷大。
　　示例，计算下列幂级数的收敛半径：
　　当x & 2时极限小于1，所以收敛半径是R = 2。可以看出，当x & 2时，这是一个an = 1的常规几何级数，其值是1/(1 - x)，就是最开始介绍的公式。
　　2）这里存在an，an = n!
　　对于任意x，幂级数都是收敛的，其收敛半径是∞
　　当x & 2时极限小于1，所以收敛半径是R = 2。
　　对于任意x，幂级数都是收敛的，其收敛半径是∞
幂级数的运算
　　以上面的幂级数为例，它的意义之一就在于它可以反写右侧的表达式，即：
　　这样，幂级数就变成了一个灵活的工具，他能够将一个表达式展开。可以将幂级数看作没有尽头的多项式，所有适用于多项式的运算，包括加减乘除乘方开方等，都同样适用于幂级数，当然，还有我们关注的微分和积分，如下所示：
　　很容易算出下面的积分：
　　现在我们试图用幂级数去计算：
　　由此也得到了一个副产品，就是ln(x + 1)的解释：
　　如果f(x)在点x = x0具有任意阶导数，则下面的幂级数称为f(x)在x0点的泰勒级数：
　　在泰勒公式中，x处于收敛半径内部，即|x| & R，取x0 = 0点，得到级数：
　　上式表示对f进行n次求导之后，在零点的值，除以n的阶乘再乘以xn。
　　实际上，在泰勒公式中，我们定义了
　　现在来看看泰特公式为什么成立。
　　以三阶导数为例：
　　推广到n阶导数：
泰勒公式的应用
　　泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
　　如下图所示，假设汽车沿着一个方向行驶，车辆的位移S是关于时间t的函数，我们知道在t = 0时刻（可以理解为0点）位移是S0，现在想要知道t = 1时刻（凌晨1点）车辆的位置：
　　f(x) = ex是一个可以用泰勒公式展开的例子。
　　当x = 1时，还附带得到了e的解释：
多项式的泰勒展开式
　　求解泰勒级数3x3 + 4x2 – 2x + 1
　　由此可以看出，多项式的泰勒级数就是多项式本身。
幂级数的展开
　　展开1/(1 + x)
　　由于已经知道几何级数1/(1 – x)的展开式，所以可以直接写出答案：
　　1/(1 + x) = 1 – x + x2 – x3 + …& (R = 1)
　　展开sin(x)
　　这需要动用泰勒公式。
&&&&&&&　　& & & & & & & & & & & & & &sin(0) = 0
　　sin’(x) = cos(x),&&&&&&&& cos(0) = 1
　　sin’’(x) = -sin(x), &&&& -sin(0) = 0
　　sin’’’(x) = -cos(x),&&&& -cos(0) = -1
　　sin(4)(x) = sin(x),&&&&&&& sin(0) = 0
　　根据泰勒公式：
　　由于|anxn|→0，所以R = ∞
　　展开cos(x)
　　同上，
　　展开xsin(x)
展开的意义
　　先来看一个很难处理的积分，对正态分布进行积分：
　　由于被积函数与ex相似，我们又已经知道ex的展开式，所以可以进行下面的变换：
　　很容易计算右侧的积分。
　　这个例子展示了幂级数展开的意义——把质的困难转化成量的复杂。展开前求解函数的值很困难，展开后是幂函数的线性组合，虽然有很多很多项，但是每一项都是幂函数，因此每一项都容易求解。于是只要对展开后的函数求和，就能得到展开前的函数的值。
求解泰勒级数
　　三阶导数的计算会非常麻烦，最好放弃，寻找其它方法。
　　ln(1 – x3)和ln(1+ x)非常相似，已经知道ln(1 + x)的结果：
　　现在用– x3代替x：
　　求解泰勒级数的积分 f(x) = 1 + 2x +3 x2 + 4x3 + 5x4 + …
　　取C = 1，当 |x| & 1时，积分的结果是几何级数：
　　所以当|x| & 1时，还可得到副产物：
　　看起来就很难对付。
　　仔细观察后会发现两个突破口，第一个是求和后求极限，这会联想到黎曼和；第二个是通过求和公式联想到某个函数的展开式，如果找到原函数，就能求解积分。顺着这个思路，由于2/n反复出现，n→∞时，2/n→0，所以可将2/n看作Δx，于是和式就可以写成：
　　如果令f(x) = (2i/n)2 – 1，那么：
　　由此可以推测，x = 2i/n = iΔx，f(x) = x2 – 1。
　　用n = 4验证，当n = 4时，Δx = 2/4 = 1/2：
　　n→∞时，i = n -1，2i/n→2，最终：
&　　作者：我是8位的
　　出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
　　本文以学习、研究和分享为主，如需转载，请联系本人，标明作者和出处，非商业用途！&\[\newcommand{\half}[1]{\dfrac{#1}{2}}
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中国科学技术大学数学科学学院
rui@ustc.edu.cn
幂级数，即通项为幂函数$a_n(x-x_0)^n$的函数项级数：
\[\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots \\
+a_n(x-x_0)^n+\cdots
其中实常数$a_0$, $a_1$, $\cdots$称为幂级数的系数，点$x_0$称为幂级数的中心。
令$y=x-x_0$，则级数变为$\DS\sum_{n=0}^{\infty}a_n y^n$，这样，只需要考察$x_0=0$就可以了$\DS\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$
定理 1. (Abel定理)
如果幂级数$\DS\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$在点$x_1$处收敛，则它在区间$(-|x_1|,|x_1|)$内绝对收敛；反之，若幂级数在$x_2$处发散，
则它在所有满足$|x|&|x_2|$的点$x$处发散。
由Abel定理知，任何一个幂级数的收敛区域一定是一个区间。
幂级数仅在$x=0$处收敛，在任何非$0$处都发散，此时收敛区域就是$x=0$
幂级数在任意一点都收敛，它的收敛区域是整个实轴$(-\infty,+\infty)$
幂级数具有不为$0$的收敛点与发散点。记
\[R=\sup\left\{|x|\left|\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n \mbox{收敛}\right.\right\}&0
则幂级数在区间$(-R,R)$上收敛，对所有$|x|&R$的$x$都发散。称$R$为收敛半径，区间$(-R,R)$为收敛区间。
定理 2. (收敛半径)
幂级数$\DS\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$的所有系数$a_n\neq 0$。
若极限$\DS\lim_{n\to\infty}\abso{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=L$，或$\DS\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=L$，则
（1） 当$L&0$时，幂级数的收敛半径为$R=\frac1L$；
（2） 当$L=0$时，幂级数的收敛半径为$R=+\infty$;
（3） 当$L=\infty$时，幂级数的收敛半径为$R=0$
例 1.
求收敛半径
（1） $\DS\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n^p}$
（2） $\DS\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!}x^n$
（3） $\DS\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2}x^{2n}$
定理 3. (内闭一致收敛)
幂级数$\DS\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收敛半径$R&0$，则该幂级数在收敛区间$(-R,R)$内的任何有界闭区间$[-r,r]$上一致收敛（$0&r&R$），
即级数在区间$(-R,R)$上内闭一致收敛
定理 4.
幂级数$\DS\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收敛半径$R&0$，则
（1） 其和函数$S(x)$在级数的收敛区间$(-R,R)$内连续；
（2） 其和函数$S(x)$在收敛区间$(-R,R)$内具有任意阶导数， 有可以逐项微分
\[S^{(k)}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)\cdots(n-k+1)a_nx^{n-k}
（3） 对$\forall x\in(-R,R)$，有逐项积分公式：
\[\int_0^xS(t)dt=\int_0^x(\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n)dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}
例 2.
（1） $\DS\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n$
（2） $\DS\sum_{n=0}^{\infty}nx^n$
例 3.
（1） $\DS\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$
（2） $\DS\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{(2n)!}x^{2n}$
定理 5.
幂级数$\DS\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$和$\DS\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n$的收敛半径分别为$R_1$, $R_2$，令$R=\min\{R_1, R_2\}$，
则在区间$(-R,R)$上，有
（1） $\DS\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\pm\DS\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n=\DS\sum_{n=0}^{\infty}(a_n+b_n)x^n$
（2） $\left(\DS\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)\cdot\left(\DS\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n\right)=\DS\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n$，
其中$c_n=\DS\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}$
定理 6.
幂级数$\DS\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收敛半径$R&0$。
（1） 如果级数在$x=R$处收敛，则其和函数$S(x)$在$x=R$处左连续；
（2） 如果级数在$x=-R$处收敛，则其和函数$S(x)$在$x=-R$处右连续。
把函数$f(x)$展开为幂级数。
若函数$f(x)$在点$x_0$附近可以展开成幂级数，即
\[f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdots
则$f(x)$在$x_0$附近必有任意阶微商，并且有
\[f^{(k)}(x)=k!a_k+\cdots+n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n(x-x_0)^{n-k}+\cdots
令$x=x_0$，可得
\[f(x_0)=a_0, \cdots, f^{(k)}(x_0)=k!a_k,\cdots
\[a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}
若函数$f(x)$在$x_0$处有任意阶导数，则可以构造幂级数
\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
称为$f(x)$在$x_0$处的Taylor级数。特别地，$x_0=0$时，称级数
\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
为Maclaurin级数。
一般来说，$f(x)$在$x_0$处的Taylor级数可能除点$x_0$外都发散，或者即使在$x\neq x_0$处收敛，和也未必是$f(x)$
$f(x)$在$x_0$处的Taylor级数一般只能记为
\[f(x) \sim
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
当函数$f(x)$的Taylor级数收敛到自身时，称函数$f(x)$可以展开成Taylor级数，其Taylor级数称为函数$f(x)$的Taylor展开式。
特别，当$x_0=0$且$f(x)$的Maclaurin级数收敛到自身时，称为$f(x)$的Maclaurin展开式
定理 7.
函数$f(x)$在区间$(x_0-R,x_0+R)$上有任意阶导数，并且其各阶导数在区间$(x_0-R,x_0+R)$上一致有界，
则$f(x)$可以展开成Taylor级数，即
\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n , x\in(x_0-R,x_0+R)
例 4.
$e^x=1+x+\frac{x^2}2+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$ , $x\in\Real$
$\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\cdots$, $x\in\Real$
$\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-2}}{(2n-2)!}+\cdots$, $x\in\Real$
$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+\cdots$, $x\in(-1,1)$
$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots+(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}+\cdots$, $x\in(-1,1]$
例 5.
$\frac1{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^nx^n+\cdots$, $x\in(-1,1)$
$\frac1{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots$, $x\in(-1,1)$
$\sqrt{1+x}=1+\frac12x-\frac1{2\times4}x^2+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{(2n)!!}x^n$, $x\in[-1,1]$
$\frac1{\sqrt{1+x}}=1-\frac12x+\frac{1\times3}{2\times4}x^2+\cdots+(-1)^{n}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n$, $x\in(-1,1]$
例 6.
将函数展开成Maclaurin幂级数
（1） $f(x)=\frac1{a+x}$, $a\neq 0$
（2） $f(x)=a^x$
（3） $f(x)=\sin(a+x)$
（4） $f(x)=\cos^2x$
（5） $f(x)=\frac1{(1-x)^2}$
例 7.
将函数$f(x)=\ln(1+x)$展开成Maclaurin幂级数，并求
\[\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac1n
例 8.
已知$f(x)=\DS\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{n!}x^n$，直接证明
\[f(x)f(y)=f(x+y)
例 9.> 问题详情
把下列各函数展开成z的幂级数，并指出它们的收敛半径
（6)ez2sinz2；
悬赏：0&答案豆
提问人：匿名网友
发布时间：
把下列各函数展开成z的幂级数，并指出它们的收敛半径&&(1)&&(2)&&(3)cosz2&&(4)shz；&&(5)chz&&(6)ez2sinz2；
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发表时间：日10:14 来源：中大网校
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考研高等数学要求第十二章：无穷级数
　　考研要求
　　1.理解常数项级数的收敛、发散、以及收敛级数的和、的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
　　2.掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。
　　3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法。会用根式判别法，掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
　　4.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。
　　5.了解函数项级数的收敛域及函数的概念，理解幂函数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间、及收敛域 的求法。了解幂级数在其收敛区间内基本性质。（和函数的连续性逐项求导和逐项积分）会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些项级数的和。
　　6.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件，掌握Ex，sinX, cosX ㏑(1+x)的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
　　7.理解博里叶级数的概念，和迪克雷收敛定理，会将定义在【-1，1】上 的函数展开为博里叶级数，会将定义在【0，1】上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出博里叶级数的和的表达式。
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（责任编辑：中大编辑）
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