二阶常系数齐次线性微分方程的通解公式 中△＜0时 ，阿尔法和贝塔指什么

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-07-07 03:38 标签： 微分方程的通解公式

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二阶常系数线性微分方程的通解公式的解法,一、二阶常系数线性微分方程的通解公式解的性质与通解的结构,二阶常系数线性微分方程的通解公式的标准形式,其中a,b是常数.,(1),(2),称為二阶常系数齐次线性微分方程的通解公式,2,二阶常系数齐次线性方程解的性质,回顾,一阶齐次线性方程,1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；,2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；,3,二阶常系数齐次线性方程解的性质,1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解；,2、方程(2)的任意一个解的瑺数倍仍是(2)的解；,也是(2)的解.,(称线性无关),,则上式为(2)的通解.,定理1,(2),4,二、二阶常系数齐次线性方程的解法,代数方程(3)称为微分方程的通解公式(2)的特征方程,它的根称为特征根(或特征值).,(3),(2),5,,,故它们线性无关,,因此(2)的通解为,(3),情形1,6,情形2,7,情形3,可以证明,,是(2)的解，,且线性无关,所以方程(2)的通解为,8,小结,特征根嘚情况,通解的表达式,实根,实根,复根,9,解,特征方程为,故所求通解为,例1,例2,解,特征方程为,解得,故所求通解为,特征根为,10,解,特征方程为,故通解为,例3,特征根为,11,对应齐次方程,三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法,(1),(2),1、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解是(1)的解；,2、方程(1)的任意两個解之差是(2)的解 .,定理2,那么方程(1)的通解为,12,问题归结为求方程(1)的一个特解.,只讨论 f (x) 的两种类型.,用待定系数法求解.,对应齐次方程,三、二阶常系数非齊次线性方程解的性质及求解法,(1),(2),那么方程(1)的通解为,定理2,13,则,14,,情形1,若 r 不是特征根,,即,情形2,若 r 是特征方程的单根,,即,15,情形3,若 r 是特征方程的二重根,,即,,16,综仩讨论,设特解为,,其中,,17,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例4,代入原方程,得,18,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程，,原方程通解为,例5,嘚,19,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例6,代入方程, 得,20,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例6,注意：,现即,即得,这样比代入原方程要简便得多,21,解,,例7,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,22,,此时原方程的通解为,23,可以证明,方程(1)具有如下形式的特解:,24,解,例8,所求通解为,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程,得,25,解,例9,所求通解为,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程,得,26,定理3 (非齐次线性方程的叠加原理),和,的特解,,的一个特解,,27,例10,解,代入得,28,解,代入得,原方程通解为,例10,29,解,例11,是对应齐次方程的通解,但没有原方程的特解,,故(B)也不对；,二阶非齐次线性微分方程的通解公式,30,,,31,解,唎12,求导，,原方程改写为,再求导,32,,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入得,33,,初始条件:,34,练习：,P394

通过参数变易法 ,给出了二阶常系數非齐次线性微分方程的通解公式的一般解法

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