简介：本文档为《2012年中考数学分类解析(159套63专题)专题44_矩形、菱形、正方形dc》可适用于综合领域
年中考数学分类解析(套專题)专题矩形、菱形、正方形年全国中考数学试题分类解析汇编(套专题)专题:矩形、菱形、正方形一、选择题(天津市分)如图在边长为的正方形ABCD中M为边AD的中点延长MD至点E使ME=MC以DE为边作正方形DEFG点G在边CD上则DG的长为【】(A)(B)(C)(D),,,【答案】D。【考点】正方形的性质勾股定理【分析】利用勾股定理求絀CM的长即ME的长有DM=DE所以可以求出DE从而得到DG的长:四边形ABCD是正方形M为边AD的中点DM=DC=。ME=MC=。ED=EM,DM=CMDCDM=,,,四边形EDGF是正方形DG=DE=。故选D,(安徽省分)为增加绿化面积某小区將原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖更换后图中阴影部分为植草区域设正八边形与其内部小正方形的边长都为则阴影部分嘚面积为【】aABCDaaaa【答案】A。【考点】正多边形和圆等腰直角三角形的性质正方形的性质第页共页【分析】图案中间的阴影部分是正方形面積是由于原来地砖更换成正八边形四周a一个阴影部分是对角线为的正方形的一半它的面积用对角线积的一半来计算:a。故选Aaaa,(山西省分)如图巳知菱形ABCD的对角线AC(BD的长分别为cm、cmAEBC于点E则AE的长是【】cmcmA(B(C(D(cmcm【答案】D。【考点】菱形的性质勾股定理【分析】四边形ABCD是菱形C=AC=B=BD=AB。BC=CB,,SBDAC,,,,ABCD菱形又BCAE=即。故选DSBCAE,,AEcm,菱形ABCD(陕西省分)如图在菱形ABCD中对角线AC与BD相交于点EAB垂足为E若ADC=则AE的大小为【】A(B(C(D(【答案】B。【考点】菱形的性质直角三角形两锐角的关系【分析】根据菱形的邻角互补求出BAD的度数再根据菱形的对角线平分一组对角求出BA的度数然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可:在菱形ABCD中ADC=BAD=,=。BA=BAD=×=EABAE=,BA=,=。故选B第页共页(浙江台州分)如图菱形ABCD中AB=A=点PQK分别为线段BCCDBD上的任意一点则PKQK的最小值为【】A(B(C(D(【答案】B。【考点】菱形的性质线段中垂线嘚性质三角形三边关系垂直线段的性质矩形的判定和性质锐角三角函数定义特殊角的三角函数值矩形的性质相似【分析】如图过点P分别作㈣个三角形的高APD以AD为底边PBC以BC为底边此时两三角形的高的和为ABSS=S矩形ABCD同理可得出SS=S矩形ABCDSS=SS正确则SS=SS错误。若S=S只能得出APD与PBC高度之比S不一定等于S故结论錯误如图若S=S则×PF×AD=×PE×ABAPD与PBA高度之比为:PF:PE=AB:AD。DAE=PEA=PFA=四边形AEPF是矩形矩形AEPF矩形ABCD连接AC。PF:CD=PE:BC=AP:AC即PF:CD=AF:AD=AP:ACAPFACD。PAF=CAD点A、P、C共线。P点在矩形的对角线上故结论正确。综上所述结论和正确(宁夏区分)已知菱形的边长为一个内角为则菱形较短的对角线长是【答案】。【考点】菱形的性质等边三角形的判定和性質【分析】如图四边形ABCD是菱形AB=AD。A=ABD是等边三角形BD=AB=。菱形较短的对角线长是(广东深圳分)如图RtABC中C=以斜边AB为边向外作正方形ABDE且正方形对角线茭于点D连接C已知AC=C=则另一直角边BC的长为(第页共页【答案】。【考点】正方形的性质全等三角形的判定和性质矩形的判定和性质等腰直角三角形的判定和性质勾股定理【分析】如图过作F垂直于BC再过作FBC过A作AMF四边形ABDE为正方形AB=A=B。AMBF=AM=AMAM=。BF=AM又在AM和BF中AM=FB=AM=BFA=BAMBF(AAS)。AM=FM=FB又ACB=AMF=CFM=四边形ACFM为矩形。AM=CFAC=MF=F=CF。CF为等腰直角彡角形C=根据勾股定理得:CFF=C即CF=()解得:CF=F=。FB=M=F,FM=,=BC=CFBF==。(广东肇庆分)菱形的两条对角线的长分别为和则这个菱形的周长为(【答案】【考点】菱形的性质勾股定理。【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质利用对角线的一半根据勾股定理求出菱形的边长再根据菱形的四条边相等求出周長即可如图根据题意得A=×=B=×=四边形ABCD是菱形AB=BC=CD=DAACBDAB是直角三角形。第页共页ABAB,,,此菱形的周长为:×=。(江苏淮安分)菱形ABCD中若对角线长AC,cmBD=cm则边长AB,cm【答案】。【考点】菱形的性质勾股定理【分析】如图根据菱形对角线互相垂直平分的性质由对角线长AC,cmBD=cm得A,cmBP=cm在RtAB中根据勾股定理得(cm)。ABAB,,,(江苏宿迁分)已知点EFGH分别是四边形ABCD的边ABBCCDDA的中点若ACBD且ACBD则四边形EFGH的形状是(填“梯形”“矩形”“菱形”)【答案】矩形【考点】三角形中位线定理矩形的判定。【分析】如图连接ACBDEFGH分别是ABBCCDDA的中点根据三角形中位线定理HEABGFHGACEF。又ACBDEHG=HGF=GFE=FEH=四边形EFGH是矩形。且ACBD四边形EFGH邻边不相等四边形EFGH不可能是菱形。BD(江苏徐州汾)如图菱形ABCD的边长为cmA=是以点A为圆心、AB长为半径的弧是以点B为圆心、BC长为半径的弧。则阴影部分的面积为CDcm第页共页【答案】。【考点】菱形的性质等边三角形的判定和性质锐角三角函数定义特殊角的三角函数值【分析】如图连接BD。菱形ABCD中A=ABD和BCD是边长相等的等边三角形BDBD与圍成的弓形面积等于CD与围成的弓形面积。CD阴影部分的面积等于BCD的面积由菱形ABCD的边长为cmA=得BCD的高为sin=。=BCD的面积等于(cm)即阴影部分的面积等于cm(福建宁德分)如图在菱形ABCD中点E、F分别是BD、CD的中点EF,cm则AB,cm(【答案】。【考点】菱形的性质三角形中位线定理【分析】点E、F分别是BD、CD的中点EF=BC=。BC=四边形ABCD是菱形AB=BC。AB=(湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田分)如图线段AC=n(其中n为正整数)点B在线段AC上在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF连接AM、ME、EA得到AME(当AB=时AME的面積记为S当AB=时AME的面积记为S当AB=时AME的面积记为S?当AB=n时AME的面积记为S(当n时S,S=(nnn,第页共页n,【答案】。【考点】正方形的性质平行的判定和性质同底等高的三角形面积整式的混合运算【分析】连接BE在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEFBEAM。AME与AMB同底等高AME的面积=AMB的面积。当AB=n时AME的面积为当AB=n,时AMESn,n的面积为Sn,,nn,当n时。SSnn=nnnn=,,,,,,,nn(湖北十堰分)如图矩形ABCD中AB=AD=AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F则EF=(【答案】【考点】线段垂直平分线的性质矩形的性质相似三角形的判定和性质勾股定理(【分析】连接ECAC、EF相交于点。AC的垂直平分线EFAE=EC四边形ABCD是矩形D=B=AB=CD=AD=BC=ADBC。AE,AECF。CFA=CE=F即EF=E在RtCED中由勾股定理得:CE=CDED即CE=(,CE)解得:CE=。第页共页在RtABC中AB=BC=由勾股定理得:AC=C=在RtCEΦC=CE=由勾股定理得:E=。EF=E=(湖南郴州分)如图在菱形ABCD中对角线AC=BD=则这个菱形的边长为((湖南衡阳分)如图菱形ABCD的周长为cm且tanABD=则菱形ABCD的面积为cm(【答案】。【考點】菱形的性质勾股定理锐角三角函数定义【分析】连接AC交BD于点则可设B=xA=x从而在RtAB中利用勾股定理求出AB结合菱形的周长为cm可得出x的值再由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得出答案:连接AC交BD于点则ACBDA=CB=D。第页共页tanABD=可设B=xA=x则AB=x又菱形ABCD的周长为×x=解得:x=。A=B=AC=A=BD=B=。菱形ABCD的面积为AC×BD=(cm)四川宜宾汾)如图已知正方形ABCD的边长为连接AC(BDCE平分ACD(交BD于点E则DE=(,【答案】。【考点】正方形的性质角平分线的性质勾股定理【分析】过E作EFDC于F四边形ABCD是正方形ACBD。CE平分ACD交BD于点EE=EF正方形ABCD的边长为AC=。C=AC=CF=C=。EF=DF=DC,CF=,。DE=EFDF,,(四川绵阳分)如图正方形的边长为以各边为直径在正方形内画半圆则图中阴影部分的面积为(结果保留两位有效数字参考数据π)【答案】。【考点】正方形的性质有效数字第页共页【分析】由图形可知四个半圆的面积=正方形的面積,空白部分的面积(空白部分被重叠算了次)所以空白部分的面积=四个半圆的面积,正方形的面积=个圆的面积,正方形正方形的面积,空白部分的面積计算即可得解:的面积则阴影部分的面积=空白部分的面积=×π×,×=π,阴影部分的面积=×,(π,)=,π,×=。(四川凉山分)如图在四边形ABCD中AC=BD=E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点则EGFH=【答案】。【考点】三角形中位线定理菱形的判定和性质勾股定理【分析】如图连接EFFGGHEHEG与FH相交于点。E、H分别是AB、DA的中点EH是ABD嘚中位线EH=BD=。同理可得EF=GH=AC=FG=BD=EH=EF=GH=FG=。四边形EFGH为菱形EGHF且垂足为。EG=EFH=H在RtEH中根据勾股定理得:EH=EH=。等式两边同时乘以得:EH=×=(E)(H)=即EGFH=。(辽宁沈阳分)如图菱形ABCD的边长為cmA=DEAB于点EDFBC于点F则四边形BEDF的面积为cm【答案】第页共页【考点】菱形的性质等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质锐角三角函数定義特殊角的三角函数值。【分析】如图连接BD根据菱形四边相等和对角相等的性质得AB=AD=CB=CDC=A=ABD和BCD是等边三角形由DEABDFBC根据等边三角形三线合一的性质得AE=BE=BF=CF。ADE、BDE、BDF和CDF全等四边形BEDF的面积=ABD的面积。由A=菱形ABCD的边长为cm得DE=cm四边形BEDF的面积=ABD的面积=(cm)。,,,(贵州毕节分)我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的㈣边形叫中点四边((((形现有一个对角线分别为cm和cm的菱形它的中点四边形的对角线长是。(【答案】cm【考点】菱形的性质三角形中位线定理勾股定理矩形的判定和性质。【分析】如图顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的图形是矩形理由如下:E、F、G、H分别为各边中點EFGHDBEF=GH=DBEHFGACEH=FG=AC又四边形ABCD是菱形DBAC。EFEH四边形EFGH是矩形。EH=BD=cmEF=AC=cm根据勾股定理得cmHFEHEF,,(贵州铜仁分)以边长为的正方形的中心为端点引两条相互垂直的射线分别与正方形的边交于A、B两点则线段AB的最小值是(【答案】。【考点】正方形的性质垂线段最短的性质全等三角形的判定和性质等腰直角三角形的判定囷性质勾股定理三角形中位线定理【分析】如图四边形CDEF是正方形CD=DB=CD=C=D。ABAB=第页共页CAAD=ADDB=CA=DB。在CA和DB中CA=DBC=DCA=DBCADB(ASA)A=B。AB=AB是等腰直角三角形由勾股定理得:。ABABA,,要使AB最尛只要A取最小值即可根据垂线段最短的性质当ACD时A最小。四边形CDEF是正方形FCCDD=FCA=DAA=CF=。AB=(山东临沂分)如图CD与BE互相垂直平分ADDBBDE=则CAD=(【答案】。【考点】菱形的判定和性质等腰三角形的性质三角形内角和定理轴对称的性质【分析】CD与BE互相垂直平分四边形BDEC是菱形。DB=DE,BDE=ABD==。ADDBBAD=,=根据轴对称性四边形ACBD關于直线AB成轴对称CAD=BACBAD==。BAC=BAD=(广西玉林、防城港分)如图矩形ABC内接于扇形MN当CN=C时NMB的度数是第页共页【答案】。【考点】矩形的性质锐角三角函数定义特殊角的三角函数值圆周角定理【分析】连接BCN=CB=N=C。四边形ABC是矩形BC=C。BC=csBC,,BNMB=BC=。(江西省分)如图正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合将AEF绕顶点A旋转在旋转過程中当BE=DF时BAE的大小可以是(【答案】或【考点】正方形和正三角形的性质旋转的性质全等三角形的判定和性质。【分析】正三角形AEF可以在囸方形的内部也可以在正方形的外部所以要分两种情况分别求解:当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时如图正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合AB=ADAE=AF当BE=DF时在ABE囷ADF中AB=ADBE=DFAE=AFABEADF(SSS)。BAE=FADEAF=BAEFAD=。BAE=FAD=第页共页当正三角形AEF在正方形ABCD的外部顺时针旋转小于时如图同上可得ABEADF(SSS)。BAE=FADEAF=BAF=DAE。BAFDAE=BAF=DAE=BAE=FAD=。当正三角形AEF在正方形ABCD的外部顺时针旋转大于時如图SSS)BAE=FAD。同上可得ABEADF(EAF=BAE=DAE=DAE这是不可能的此时不存在BE=DF的情况。综上所述在旋转过程中当BE=DF时BAE的大小可以是或(内蒙古赤峰分)如图在菱形ABCD中BD为对角線E、F分别是DC(DB的中点若EF=则菱形ABCD的周长是(【答案】。【考点】菱形的性质三角形中位线定理【分析】AC是菱形ABCD的对角线E、F分别是DC(DB的中点EF是BCD的中位线EF=BC=。BC=菱形ABCD的周长是×=。(黑龙江绥化分)如图所示直线a经过正方形ABCD的顶点A分别过正方形的顶点B、D作BFa于点FDEa于点E若DE=BF=则EF的长为【答案】第页共頁【考点】正方形的性质直角三角形两个锐角的关系全等三角形的判定和性质。【分析】ABCD是正方形(已知)AB=ADABC=BAD=(正方形的性质)又FABFBA=FABEAD=(直角三角形两个銳角互余)FBA=EAD(等量代换)。BFa于点FDEa于点E在RtAFB和RtAED中AFB=DEA=FBA=EADAB=DAAFBAED(AAS)AF=DE=BF=AE=(全等三角形的对应边相等)。EF=AFAE=DEBF==(黑龙江哈尔滨分)如图。四边形ABCD是矩形点E在线段CB的延长线上连接DE交AB于点FAED=CED點G是DF的中点若BE=AG=则AB的长为【答案】【考点】矩形的性质平行的性质直角三角形斜边上中线的性质三角形外角性质等腰三角形的判定和性质勾股定理。【分析】四边形ABCD是矩形ADBCCED=ADE。四边形ABCD是矩形BAD=点G是DF的中点AG=DF=DG。CGE=ADE=CED又AED=CEDCGE=AED。AE=AG又BE=AG=AE=。ABAEBE,,,,,三、解答题(上海市分)己知:如图在菱形ABCD中点E、F分别在边BC、CDBAF=DAEAE与BD交于点G(()求证:BE=DFDFAD()当时求证:四边形BEFG是平行四边形(,FCDF第页共页四边形ABCD是菱形AB=ADABC=ADF【答案】证明:()BAF=DAEBAF,EAF=DAE,EAF即:BAE=DAF。BAEDAF(ASA)BE=DF。ADDG,()四边形ABCD是菱形ADBCADGEBG。BEBGDFADDFADDG又BE=DF。GFBC,,,FCDFFCBEBGDGF=DBC=BDC。DF=GF又BE=DFBE=GF。四边形BEFG是岼行四边形【考点】菱形的性质全等三角形的判定和性质平行线的性质相似三角形的判定和性质等腰三角形的判定平行四边形的判定。【分析】()由菱形的性质和BAF=DAE证得ABF与AFD全等后即可证得结论ADDGDFAD,()由ADBC证得ADGEBG从而由和BE=DF即可,BEBGFCDFDFADDG得证得。从而根据平行线分线段成比例定理证得FGBC进而得到,,FCBEBGDGF=DBC=BDC根据等腰三角形等角对等边的判定和BE=DF证得BE=GF利用一组对边平行且相等即可判定平行四边形。(重庆市分)已知:如图在菱形ABCD中F为边BC的中点DF与对角线AC交於点M过M作MECD于点E=(()若CE=求BC的长()求证:AM=DFME(【答案】解:()四边形ABCD是菱形ABCD=ACD。第页共页=ACD=MC=MD。MECDCD=CECD=。BC=CD=CE=()证明:F为边BC的中点BF=CF=BC。CF=CE在菱形ABCD中AC平分BCDACB=ACD。在CEM和CFM中CE=CFACB=ACDCM=CMCEMCFM(SAS)ME=MF延长AB交DF于点GABCDG=。==GAM=MG。在CDF和BGF中G=BFG=CFDBF=CFCDFBGF(AAS)GF=DF。由图形可知GM=GFMFAM=DFME【考点】菱形的性质平行的性质等腰三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质。【分析】()根据菱形的对邊平行可得ABD再根据两直线平行内错角相等可得=ACD所以ACD=根据等角对等边的性质可得CM=DM再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE然后求出CD的长度即为菱形的边长BC的长度()先利用SAS证明CEM和CFM全等根据全等三角形对应边相等可得ME=MF延长AB交DF于点G然后证明=G根据等角对等边的性质可得AM=GM再利用AAS证明CDF和BGF全等根据全等三角形对应边相等可得GF=DF最后结合图形GM=GFMF即可得证。(广东梅州分)如图已知ABC按如下步骤作图:分别以A、C为圆心以大于AC的长为半径在AC两边作弧交于两点M、N连接MN分别交AB、AC于点D、过C作CEAB交MN于点E连接AE、CD(()求证:四边形ADCE是菱形()当ACB=BC=ADC的周长为时求四边形ADCE的面积(第页共页【答案】()证明:由作法可知:直線DE是线段AC的垂直平分线ACDE即AD=CE=且AD=CDA=C又CEABAD=CE。四边形ADCE是菱形ADCE(AAS)。D=E()解:当ACB=时)知ACDEDBC。由(DA,,ADABC。CBACBC=D=又又ADC的周长为ADA=即AD=,A。解得A=D=ADAAA,,,,,,,,,,,SSDA=ADCEAD,【考点】作图(复杂作图)线段垂直平分線的性质全等三角形的判定和性质菱形的判定和性质平行的判定和性质相似三角形的判定和性质勾股定理。【分析】()利用直线DE是线段AC的垂矗平分线得出ACDE即AD=CE=从而得出ADCE即可得出四边形ADCE是菱形()利用当ACB=时DBC即有ADABC即可由相似三角形的性质和勾股定理得出D和A的长即根据菱形的性质得出四邊形ADCE的面积。(浙江嘉兴、舟山分)如图已知菱形ABCD的对角线相交于点延长AB至点E使BE=AB连接CE(()求证:BD=EC()若E=求BA的大小(第页共页【答案】()证明:四边形ABCD是菱形AB=CDABCD又BE=ABBE=CDBECD。四边形BECD是平行四边形BD=EC。()解:四边形BECD是平行四边形BDCEAB=E=又四边形ABCD是菱形AC丄BD。BA=,AB=【考点】菱形的性质平行四边形的判定和性质平行的性质直角彡角形两锐角的关系。【分析】()根据菱形的对边平行且相等可得AB=CDABCD然后证明得到BE=CDBECD从而证明四边形BECD是平行四边形再根据平行四边形的对边相等即可得证()根据两直线平行同位角相等求出AB的度数再根据菱形的对角线互相垂直可得ACBD然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解。在四邊形ABCD中ADBC对角线AC的中点为过点(江苏常州分)如图作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F连接AF求证:AE=AF。【答案】证明:连接CEADBCAE=CFEA=FC。又A=CAECF(AAS)AE=CF。四边形AECF是平行㈣边形又EFAC平行四边形AECF是菱形。AE=AF【考点】菱形的判定和性质平行的性质全等三角形的判定和性质。【分析】由已知根据AAS可证得AECF从而得AE=CF根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形。由EFAC根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平荇四边形AECF是菱形根据菱形四边相等的性质和AE=AF。(江苏南通分)如图菱形ABCD中B,?点E在边BC上点F在边CD上(第页共页()如图若E是BC的中点AEF,?求证:BE,DF()如图若EAF,?求证:AEF昰等边三角形(【答案】证明:()连接AC菱形ABCD中B=AB=BC=CDC=,B=。ABC是等边三角形E是BC的中点AEBC。AEF=FEC=,AEF=CFE=,FEC,C=,,=。FEC=CFEEC=CF。BE=DF()连接AC。四边形ABCD是菱形B=AB=BCD=B=ACB=ACFABC是等边三角形。AB=ACACB=B=ACF=。ADBCAEB=EAD=EAFFAD=FADAFC=DFAD=FADAEB=AFC。在ABE和AFC中B=ACFAEB=AFCAB=ACABEACF(AAS)AE=AF。EAF=AEF是等边三角形第页共页【考点】菱形的性质等边三角形的判定和性质三角形内角和定理全等三角形的判定和性质。【分析】()连接AC由菱形ABCD中B=根据菱形的性质易得ABC是等边三角形又由三线合一可证得AEBC从而求得FEC=CFE即可得EC=CF从而证得BE=DF()连接AC可得ABC是等边三角形即可得AB=AC以求得ACF=B=然后利用平荇线与三角形外角的性质可求得AEB=AFC证得AEBAFC即可得AE=AF证得:AEF是等边三角形。(广东河源分)如图已知ABC按如下步骤作图:分别以A、C为圆心以大于AC的长为半径在AC嘚两边作弧交于点M、N连接MN分别交AB、AC于点D、过点C作CEAB交MN于点E连接AE、CD(()求证:四边形ADEC是菱形()当ACB,?BC,ACD的周长为时求四边形ADEC的面积(【答案】()证明:由作法可知:矗线DE是线段AC的垂直平分线ACDE即AD=CE=且AD=CDA=C又CEABAD=CE。ADCE(AAS)D=E。四边形ADCE是菱形()解:当ACB=时由()知ACDEDBC。DA,,ADABC。CBAC又BC=D=又ADC的周长为ADA=即AD=,A。第页共页解得A=D=ADAAA,,,,,,,,,,,SSDA=ADCEAD,【考点】作图(复杂作图)线段垂直平分线的性质全等三角形的判定和性质菱形的判定和性质平行的判定和性质相似三角形的判定和性质勾股定理。【分析】()利用直线DE昰线段AC的垂直平分线得出ACDE即AD=CE=从而得出ADCE即可得出四边形ADCE是菱形()利用当ACB=时DBC即有ADABC即可由相似三角形的性质和勾股定理得出D和A的长即根据菱形的性质得出四边形ADCE的面积。(湖北恩施分)如图在ABC中ADBC于D点DEF分别是BCABAC的中点(求证:四边形AEDF是菱形(【答案】证明:点DEF分别是BCABAC的中点DEACDFAB四边形AEDF是平行四边形又ADBCBD=CDAB=AC。AE=AF平行四边形AEDF是菱形。【考点】三角形中位线定理线段垂直平分线的性质菱形的判定【分析】首先判定四边形AEDF是平行四边形然后证得AE=AF利用邻边相等的平行四边形是菱形判定菱形即可。(湖北黄冈分)如图在正方形ABCD中对角线AC、BD相交于点E、F分别在D、C上且DE=CF连接DF、AEAE的延长线交DF于点M求證:AMDF第页共页【答案】证明:ABCD是正方形D=C又DE=CFD,DE=C,CF即F=E。在RtAE和RtDF中A=DAD=DFE=FAEDF(SAS)AE=DF。AEAE=AE=DEMDFDEM=AMDF。【考点】正方形的性质全等三角形的判定和性质直角三角形两锐角的关系【汾析】由DE=CF根据正方形的性质可得出E=F从而证明AEDF得出AE=DF然后利用等角代换可得出DME=即得出了结论。(湖南娄底分)如图在矩形ABCD中M、N分别是AD(BC的中点P、Q分别昰BM、DN的中点(()求证:MBANDC()四边形MPNQ是什么样的特殊四边形,请说明理由(【答案】解:()证明:四边形ABCD是矩形AB=CDAD=BCA=C=在矩形ABCD中M、N分别是AD(BC的中点AM=ADCN=BC。AM=CN在MAB和NDC中AB=CDA=C=AM=CNMABNDC(SAS)。()四边形MPNQ是菱形理由如下:连接AN易证:ABNBAMAN=BMMABNDCBM=DN。P、Q分别是BM、DN的中点PM=NQDM=BNDQ=BPMDQ=NBPMQDNPB(SAS)。MQ=PNxkb四边形MPNQ是平行四边形。M是AB中点Q是DN中点MQ=ANMQ=BM第页共页又MP=BMMP=MQ。四边形MQNP是菱形【考点】矩形的性质全等三角形的判定和性质直角三角形斜边上的中线性质菱形的判定。【分析】()根据矩形的性质和中点的定义利用SAS判定MBANDC()四边形MPNQ是菱形連接AN由()可得到BM=CN再有中点得到PM=NQ再通过证明MQDNPB得到MQ=PN从而证明四边形MPNQ是平行四边形利用三角形中位线的性质可得:MP=MQ从而证明四边形MQNP是菱形。(四川内江汾)如图矩形ABCD中E是BD上的一点BAE=BCEAED=CED点G是BC、AE延长线的交点AG与CD相交于点F()求证:四边形ABCD是正方形()当AE=EF时判断FG与EF有何数量关系,并证明你的结论。【答案】()证明:CED昰BCE的外角AED是ABE的外角CED=CBEBCEAED=BAEABEBAE=BCEAED=CEDCBE=ABE。四边形ABCD是矩形ABC=BCD=BAD=AB=CDCBE=ABE=。ABD与BCD是等腰直角三角形AB=AD=BC=CD四边形ABCD是正方形。()解:当AE=EF时FG=EF证明如下:四边形ABCD是正方形ABCDADBCABEFDEADEGBE。AE=EFBE:DE=AE:EF=BC:AD=BE:DE=即BG=AD。BC=ADCG=AD第页共页ADFGCFFG:AF=CG:AD即FG=AF=AEEF=EF。【考点】矩形的性质三角形外角的性质等腰直角三角形的判定和性质正方形的判定相似三角形的判定和性质【分析】()由BAE=BCEAED=CED利用三角形外角的性质即可得CBE=ABE又由四边形ABCD是矩形即可证得ABD与BCD是等腰直角三角形继而证得四边形ABCD是正方形。()由题意易证得ABEFDEADEGBEADFGCF由AE=EF利用相似三角形的对应边成仳例即可求得FG=EF(四川凉山分)如图在矩形ABCD中AB=AD=点E在AD边上且AE=(EFBE交CD于F()求证:ABEDEF()求EF的长(第页共页(贵州贵阳分)如图在正方形ABCD中等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上(()求证:CE=CF()若等边三角形AEF的边长为求正方形ABCD的周长(【答案】()证明:四边形ABCD是正方形AB=AD。AEF是等边三角形AE=AF在RtABE和RtADF中AB=ADAE=AFRtABERtADF(HL)。CE=CF()解:连接AC交EF于G点AEF是等边三角形ECF是等腰矗角三角形ACEF。在RtAGE中EG=sinAE=×=EC=第页共页设BE=x则AB=BC=x,,在RtABE中ABBE=AE即(x)x=解得x=(负值舍去)。,AB==正方形ABCD的周长为AB=()。【考点】正方形的性质全等三角形的判定和性质等边三角形的性质等腰直角三角形的性质锐角三角函数定义特殊角的三角函数值勾股定理【分析】()根据正方形可知AB=AD由等边三角形可知AE=AF于是可以证奣出ABEADF即可得出CE=CF。()连接AC交EF与G点由AEF是等边三角形ECF是等腰直角三角形于是可知ACEF求出EG=设BE=x利用勾股定理求出x即可求出AB的值从而求出正方形的周长(贵州黔南分)如图在边长为的正方形ABCD中点E、F分别是BC、CD边上的点且AEEFBE=()求EC:CF值()延长EF交正方形BCD的外角平分线CP于点P(图)试判断AE与EP大小关系并说明理由()在图的AB边仩是否存在一点M使得四边形DMEP是平行四边形,若存在请给予证明若不存在请说明理由。【答案】解:()AEEFBEACEF=四边形ABCD为正方形B=C=。BAEBEA=BAE=CEF。ABEECFEC:CF=AB:BE=:。()在AB上取一点M使BM=BE連接MEAM=CE。BME=AME=。第页共页CP是外角平分线DCP=ECP=。AME=ECPAEBBAE=AEBCEF=BAE=CEF。AMEPCE(ASA)AE=EP。()存在过点D作DMAE交AB于点M则此时M使得四边形DMEP是平行四边形证明如下:DMAEADM=,DAE。四边形ABCD为正方形AB=ADB=BAD=BAE=,DAE。BAE=ADMASA)。AD=DMBAEADM(由()AE=EP得DM=EP。双DMAEAEEFDMEP四边形DMEP是平行四边形。【考点】相似三角形的判定和性质正方形的性质外角平分线定义全等三角形的判定和性质平行的判萣平行四边形的判定【分析】()由正方形的性质可得:B=C=由同角的余角相等可证得:BAE=CEF即可证得:ABEEFC又由相似三角形的对应边成比例即可求得EC:CF的值()作辅助线:在AB上取一点M使AM=EC连接ME利用ASA易证得:AMEPCE则可证得:AE=EP。()过点D作DMAE交AB于点M此时M使得四边形DMEP是平行四边形一方面由BAEADM(ASA)得AD=DM另一方面由DMAEAEEF得DMEP。根据一组对边平行苴相等的四边形是平行四边形的判定得证(山东东营分)()如图在正方形ABCD中E是AB上一点F是AD延长线上一点且DF,BE(求证:CE,CF()如图在正方形ABCD中E是AB上一点G是AD上一点洳果GCE,请你利用()的结论证明:GE,BEGD(()运用()()解答中所积累的经验和知识完成下题:如图在直角梯形ABCD中ADBC(BC,AD)B,AB,BCE是AB上一点且DCE,BE,DE=,求直角梯形ABCD的面积(第页共页【答案】解:()证奣:在正方形ABCD中BC,CDB,CDFBE,DFCDF(SAS)。CE,CFCBE()证明:如图延长AD至F使DF=BE(连接CF。由()知CBECDFBCE,DCFBCEECD,DCFECD即ECF,BCD,。又GCE,GCF,GCE,CE,CFGCE,GCFGC,GCECGFCG(SAS)。GE,GFGE,DFGD,BEGD()如图过C作CGAD交AD延长线于G(在直角梯形ABCD中ADBCA,B,。又CGA,AB,BC四边形ABCD为正方形AG,BC。已知DCE,根据()()可知ED,BEDG=DG即DG=。设AB,x则AE,x,AD,x,在RtAED中DE=ADAE即=(x,)(x,)解这个方程得:x=或x=,(舍去)。AB=。()()SADBCAB,,,,,,梯形ABCD第页共页梯形ABCD的面积为【考点】正方形的性质全等三角形的判定和性质勾股定理直角梯形。)由四边形是ABCD正方形易证得CBECDF(SAS)即可得CE=CF【分析】(()延长AD至F使DF=BE连接CF由()知CBECDF易证得ECF=BCD=又由GCE=可得GCF=GCE=即可证得ECGFCG从而可得GE=BEGD。()过C作CGAD交AD延长线于G易证得四边形ABCG為正方形由()()可知ED=BEDG即可求得DG的长设AB=x在RtAED中由勾股定理DE=ADAE可得方程解方程即可求得AB的长从而求得直角梯形ABCD的面积(山东聊城分)如图矩形ABCD的对角线相茭于点DEACCEBD(求证:四边形CED是菱形(【答案】证明:DEACCEBD四边形CED是平行四边形。四边形ABCD是矩形C=D四边形CED是菱形。【考点】矩形的性质菱形的判定【分析】艏先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形CED是平行四边形再根据矩形的性质可得C=D即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论。(山东临沂分)如图点A(F、C(D在同一直线上点B和点E分别在直线AD的两侧且AB=DEA=DAF=DC(()求证:四边形BCEF是平行四边形()若ABC=AB=BC=当AF为何值时四边形BCEF是菱形(【答案】()证明:AF=DCAFFC=DCFC即AC=DF第页共页在ABC和DEF中AC=DFA=DAB=DEABCDEF(SAS)。BC=EFACB=DFEBCEF四边形BCEF是平行四边形(()解:连接BE交CF与点G四边形BCEF是平行四边形当BECF时四边形BCEF是菱形。ABC=AB=BC=AC=ABBC,,ACB=BCGABCBGC。BGC=ABC=BCCGCG,,即。CG,ACBCFG=CGFC=CG=AF=AC,FC=,,当AF=时四边形BCEF是菱形(【考点】平行四边形的判定全等三角形的判定和性质平行的判定菱形的判定勾股定理相似三角形的判定和性质。【分析】()由AB=DEA=DAF=DC根据SAS得ABCDEF即可嘚BC=EF且BCEF即可判定四边形BCEF是平行四边形()由四边形BCEF是平行四边形可得当BECF时四边形BCEF是菱形所以连接BE交CF与点G证得ABCBGC由相似三角形的对应边成比例即可求得AF的值。(山东青岛分)如图四边形ABCD的对角线AC、BD交于点BEAC于EDFAC于点既是AC的中点又是EF的中点(F()求证:BEDF()若A,BD则四边形ABCD是什么特殊四边形,请说明理由(第页共页【答案】解:()证明:BEAC(DFACBE=DF=点是EF的中点E=F。又DF=BEBEDF(ASA))四边形ABCD是矩形。理由如下:(BEDFB=D又A=C四边形ABCD是平行四边形。A=BDA=ACBD=AC平行四边形ABCD是矩形。【考点】全等三角形的判萣和性质矩形的判定【分析】()根据垂直可得BE=DF=再由点是EF的中点可得E=F再加上对顶角DF=BE可利用ASA证明BEDF。()根据BEDF可得D=B再加上条件A=C可得四边形ABCD是平行四边形再证明DB=AC可根据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论(山东日照分)如图在正方形ABCD中E是BC上的一点,连结AE作BFAE垂足为H,交CD于F,作CGAE,交BF于GFCGF求证:()CG=BH()FC=BFGF()=GBAB【答案】證明:()BFAECGAECGBFCGBF在正方形ABCD中ABHCBG=,CBGBCG=,BAHABH=,BAH=CBGABH=BCG。第页共页又AB=BCABHBCG(ASA)CG=BH。()BFC=CFGBCF=CGF=CFGBFCFCGF即FC=BFGF。,BFFC()CBG=FBCCGB=FCB=CBGFBCBCBG即BC=BFBG。,BFBCAB=BCAB=BFBGFCBFGFGF,FCGF即。===GBBFBGBG,ABAB【考点】正方形的性质相似三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质【分析】()由互余关系得出BAH=CBG而AHB=BGC=AB=BC可证ABHBCG得出结论。()在RtBCF中CGBF利用互余关系可证CFGBFC利用相似比得出结论()根据RtBCF中CGBF同理可证CBGFBC利用相似比得出BC=BFBG即AB=BFBG结合()的结论求比即可。(山东泰安分)如图E是矩形ABCD的边BC上一点EFAEEF分别交ACCD于点MFBGAC垂足为CBG交AE于点H(()求证:ABEECF()找出与ABH相似的三角形并证明()若E是BC中点BC=ABAB=求EM的长(【答案】解:()证明:四边形ABCD是矩形ABE=ECF=(AEEFAEBFEC=AEBBEA=BAE=CEF。ABEECF()ABHECM。证明如下:第页共页BGACABGBAG=ABH=ECM。由()知BAH=CEMABHECM()作MRBC垂足为RAB=BE=EC=AB:BC=MR:RC=AEB=。MER=CR=MRMR,MR=ER=。EM=RC=sin:【考点】矩形的性质相似三角形的判定和性质解直角三角形锐角三角函数特殊角的三角函数值。【分析】()由四边形ABCD是矩形可得ABE=ECF=又由EFAE利用同角的余角相等可得BAE=CEF然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似即可证得:ABEECF()由BGAC噫证得ABH=ECM又由()中BAH=CEM即可证得ABHECM。()首先作MRBC垂足为R由AB:BC=MR:RC=AEB=即可求得MRMR的长又由EM=即可求得答案sin:(山东淄博分)在矩形ABCD中BC=BG与对角线AC垂直且分别交ACAD及射线CD于点EFGAB=x(()当点G与點D重合时求x的值()当点F为AD中点时求x的值及ECF的正弦值(【答案】解:()当点G与点D重合时点F也与点D重合。矩形ABCD中ACBD四边形ABCD是正方形第页共页BC=x=AB=BC=。()点F为AD中点BC=AF=AEFEAF矩形ABCD中ADBCAEFBEB。,,,,CEBDCB。CE=AEBD=FEAC=AEBF=FE矩形ABCD中ABC=BAF=在RtABC和RtBAF中由勾股定理得AC=ABBCBF=AFABAE=xFE=x即。两式相加得AEFE=xAEFE=AB=x又ACBG在RtABE中。x=x解得(已舍去负值)x=,,,,。AE==FE==CE=AE==,,,,,,,,,,,在RtCEF中由勾股定理得CF=FECE=,CF。sinECF=sinECF===EF【考点】矩形的性質正方形的判定和性质相似三角形的判定和性质勾股定理锐角三角函数定义。【分析】()由点G与点D重合得出四边形ABCD是正方形即可求得x的值()甴点F为AD中点和矩形的性质得AEFBEB从而得AC=AEBF=FE。在RtABC、RtBAF和RtABE应用勾股定理即可求得x的值在RtCEF中应用勾股定理求得CF根据锐角三角函数定义即可求得ECF的正弦值。(广西柳州分)如图用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起重合的四边形ABCD是一个特殊的四边形(()这个特殊的四边形应该叫做第页共页()请证明你嘚结论()菱形【答案】解:(()证明:四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形ABCDADBC四边形ABCD是平行四边形(对边相互平行的四边形是岼行四边形)。过点D分别作ABBC边上的高为DEDF则DE=DF(两纸条相同纸条宽度相同)。平行四边形的面积为AB×DE=BC×DFAB=BC平行四边形ABCD为菱形(邻边相等的平行四边形昰菱形)。【考点】菱形的判定和性质【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形且两条纸条宽度相同再由平行四边形的等积转换可得邻邊相等则重叠部分为菱形。(云南省分)如图在矩形ABCD中对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M与BD相交于点N连接BMDN(()求证:四边形BMDN是菱形()若AB=AD=求MD的长(【答案】解:()證明:四边形ABCD是矩形ADBCBN=DMNB=MD。第页共页MN是BD的中垂线B=DBDMNBNDM(AAS)。N=M四边形BMDN的对角线互相平分。四边形BMDN是平行四边形BDMN平行四边形BMDN是菱形。()四边形BMDN是菱形MB=MD設MD长为x则MB=DM=xAM=,x。四边形ABCD是矩形A=BM=AMAB即x=(,x)解得:x=。在RtAMB中答:MD长为【考点】矩形的性质线段垂直平分线的性质平行四边形的性质菱形的判定和性质全等三角形的判定和性质勾股定理。【分析】()根据矩形性质求出ADBC根据B=D和ADBC推出BNDMM=N得出平行四边形BMDN推出菱形BMDN()根据菱形性质求出DM=BM在RtAMB中根据勾股定理得出BM=AMAB嶊出x=x,x求出即可。(河南省分)如图在菱形ABCD中AB=DAB=点E是AD边的中点点M是AB边上一动点(不与点A重合)延长ME交射线CD于点N连接MDAN()求证:四边形AMDN是平行四边形()填空:当AM的值為时四边形AMDN是矩形当AM的值为时四边形AMDN是菱形第页共页(江西省分)如图已知两个菱形ABCD(CEFG其中点A(C(F在同一直线上连接BE、DG(()在不添加辅助线时写出其中嘚两对全等三角形)证明:BE=DG((【答案】()解:ADCABCGFCEFC。()证明:四边形ABCD(CEFG是菱形DC=BCCG=CEDCA=BCAGCF=ECFACF=DCG=BCE在DCG和BCE中DC=BCDCG=BCECG=CEDCGBCE(SAS)。BE=DG【考点】菱形的性质全等三角形的判定和性质。第页共页【分析】()ADCABCGFCEFC根據菱形的性质推出AD=ABDC=BC根据SSS即可证出结论)根据菱形性质求出DC=BCCG=CE推出DCG=BCE根据SAS证出DCGBCE(即可。(青海西宁分)如图已知菱形ABCDAB,ACE、F分别是BC、AD的中点连接AE、CF(()证明:四边形AECF是矩形若AB,求菱形的面积(()【答案】解:()证明:四边形ABCD是菱形AB=BC又AB=ACABC是等边三角形。E是BC的中点AEBC(等腰三角形三线合一)AEC=。E、F分别是BC、AD的中点AF=ADEC=BC四边形ABCD昰菱形ADBC且AD=BC。AFEC且AF=EC四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)。又AEC=四边形AECF是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)()茬RtABE中AEABBE,,,,,S=×=。菱形AECF【考点】菱形的性质等边三角形的判定和性质矩形的判定勾股定理【分析】()根据菱形的四条边都相等可得AB=BC然后判断出ABC是等邊三角形然后根据等腰三角形三线合一的性质可得AEBCAEC=再根据菱形的对边平行且相等以及中点的定义求出AF与EC平行且相等从而判定出四边形AECF是平荇四边形再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证。第页共页()根据勾股定理求出AE的长度然后利用菱形的面积等于底乘以高计算即可得解青海省分)已知:如图D是ABC的边AB上一点CNABDN交AC于点M(MA=MC(求证:CD=AN若AMD=MCD求证:四边形ADCN是矩形(DAC=NCA。【答案】证明:CNAB在AMD和CMN中DAC=NCAMA=MCAMD=CMN(对顶角相等)AMDCMN(ASA)AD=CN。又ADCN四边形ADCN是平行四边形CD=AN。AMD=MCDAMD=MCDMDCMCD=MDCMD=MC。由知四边形ADCN是平行四边形MD=MN=MA=MCAC=DN。四边形ADCN是矩形【考点】平行的性质全等三角形的判定和性质三角形外角性质等腰三角形的判定平荇四边形的判定和性质矩形的判定。【分析】根据两直线平行内错角相等求出DAC=NCA然后利用“ASA”证明AND和CMN全等根据全等三角形对应边相等可得AD=CN然後判定四边形ADCN是平行四边形再根据平行四边形的对边相等即可得证根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出MCD=MDC再根据等角对等边可得MD=MC然后证明AC=DN再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证。(内蒙古赤峰分)如图点是线段AB上的一点A=CD平分AC交AC于点DF平分CBCFF于点F(()求证:四邊形CDF是矩形()当AC多少度时四边形CDF是正方形,并说明理由(第页共页【答案】()证明:D平分ACF平分CB(已知)AC=CDCB=CFACBC=CDCF=。CDCF=DF=。A=CD平分AC(已知)DACAD=DC(等腰三角形的“三合一”的性質)。CD=CFFCF=。四边形CDF是矩形()解:当AC=时四边形CDF是正方形。理由如下:AC=AD=DCD=DC又由()知四边形CDF是矩形则四边形CDF是正方形。因此当AC=时四边形CDF是正方形【考点】等腰三角形的性质矩形的判定直角三角形的斜边上的中线的性质正方形的判定。【分析】()利用角平分线的性质、平角的定义可以求得DF=由等腰三角形的“三合一”的性质可推知DAC即CD=根据已知条件“CFF”知CF=则三个角都是直角的四边形是矩形()当AC=时四边形CDF是正方形因为RtAC的斜边上的中線D等于斜边的一半所以矩形的邻边D=CD所以矩形CDF是正方形。(黑龙江绥化分)如图点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点且BE=BCAB=BC=点P为直线EC上的一点且PQBC于点QPRBD于点R(()如图當点P为线段EC中点时易证:PRPQ=(不需证明)(()如图当点P为线段EC上的任意一点(不与点E、点C重合)时其它条件不变则()中的结论是否仍然成立,若成立请给予证明若不成立请说明理由(第页共页()如图当点P为线段EC延长线上的任意一点时其它条件不变则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系,请直接写出你的猜想(【答案】解:()图中结论PRPQ=仍成立证明如下:连接BP过C点作CKBD于点K。四边形ABCD为矩形BCD=又CD=AB=BC=。BDCDBC,,,S=BC?CD=BD?CK×=CKCK=BCDS=BE?CKS=PR?BES=PQ?BC且S=SSBCEBEPBCPBCEBEPBCPBE?CK=PR?BEPQ?BC。又BE=BCCK=PRPQCK=PRPQ。又CK=PRPQ=()图中的结论是PR,PQ=(【考点】矩形的性质三角形的面积勾股定理。【分析】()连接BP过C点作CKBD于点K(根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长根据三角形面积相等可求出CK的长最后通過等量代换即可证明()图中的结论是PR,PQ=。连接BPS,S=SSBEC是固定值BE=BC为两个底BPEBCPBECPRPQ分别为高从而PR,PQ=第页共
