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一个三角形有5000多颗心收藏
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这个是顾森书里说的，惊讶啊，真心不知道。求大神指点啊！话说查了一点关于心的资料。重心：三条中线的交点。（重心把每条中线内分为2：1两段；三角形外心和重心的距离等于垂心与重心的距离的一半；重心到三条边的距离与三条边的长成反比；重心到三角形3个顶点距离的平方和最小……）
外心：三边中垂线交点。（外接圆的圆心；锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心在形外，直角三角形的外心与斜边中点重合……）
垂心：三条高线交点。（垂心分每条高线的两部分乘积相等;三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆；三角形外心和重心的距离等于垂心与重心的距离的一半……）
内心：三个内角角平分线交点。（内切圆的圆心；内心到三边距离相等；连结内心与三个顶点会得到三个面积相等的三角形……）旁心：一个内角平分线与另两个角的外角平分线交点。（旁切圆圆心；每个三角形都有三个旁心；旁心到三边的距离相等……）
界心：D、E、F分别在ABC的三边BC、CA、AB上，且把周长分成两条等长的折线，AD、BE、CF三线共点。界心又叫做奈格尔点。有趣的是，D、E、F三点恰好是旁切圆与三边的切点。
陪位重心：AD、BE、CF为三角形的中线，D'、E'、F'分别在BC、CA、AB上，若∠BAD=∠D'AC，∠CBE=∠E'BA，∠ACF=∠F'CB，则AD'、BE'、CF'三线共点。布洛卡点：设P是△ABC内一点，若∠PAB=∠PBC=∠PCA=ω，则点P称作△ABC的布洛卡点。（图中所做为第一类布洛卡点或正布洛卡点；若∠QBA=∠QCB=∠QAC=ω，则点Q称作△ABC的第二类布洛卡点或负布洛卡点。
伪垂心：设AD、BE、CF为△ABC的三条高，D、E、F关于三边中点的对称点为D'、E'、F'，则AD'、BE'、CF'三线共点。
葛尔刚点：△ABC内切圆切三边与D、E、F，AD、BE、CF的共点。
威毕特点：△ABC两边AB、AC各向外正方形ABDE、ACFG，BF、CD交于N，则AN垂直于BC
费马点：△ABC三边各向外做正三角形ABC'、BCA'、CAB'，则AA'、BB'、CC'三线共点，该点到三顶点距离和最小。（另：在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。）" 这些心有时对作图是非常有用的
吧里有旧贴说过了。不过是翻译的
王阳明的心学不知是不是研究这个的。。。。
吧内搜索无压力。。
留一颗心就够了
留一颗心就够了
长见识了。顺便问一个题：过已知角内一定点作直线后，所作成的三角形在何时周长最小?听说与旁切圆有关（不然靠硬计算是解不出的，超高次方程）
几何瑰宝上有一大堆心
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找到贴了 真长见识
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初中数学考试必备公式，你会几条？
　　下面是初中数学的必备公式，你掌握了几条呢？建议收藏。　　乘法与因式分解　　a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)　　三角不等式　　|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|　　一元二次方程的解　　-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a　　根与系数的关系　　X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理　　抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py　　直棱柱侧面积S=c*h　　斜棱柱侧面积S=c‘*h　　正棱锥侧面积S=1/2c*h’　　正棱台侧面积S=1/2(c+c‘)h’　　圆台侧面积S=1/2(c+c‘)l=pi(R+r)l　　球的表面积S=4pi*r2　　圆柱侧面积S=c*h=2pi*h　　圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l　　弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r&0　　扇形面积公式s=1/2*l*r　　锥体体积公式V=1/3*S*H　　圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h　　斜棱柱体积V=S’L注：其中，S‘是直截面面积，L是侧棱长　　柱体体积公式V=s*h　　圆柱体V=pi*r2h　　常见的初中数学公式　　1.过两点有且只有一条直线　　2.两点之间线段最短　　3.同角或等角的补角相等　　4.同角或等角的余角相等　　5.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直　　6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短　　7.平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行　　8.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行　　9.同位角相等，两直线平行　　10.内错角相等，两直线平行　　11.同旁内角互补，两直线平行　　12.两直线平行，同位角相等　　13.两直线平行，内错角相等　　14.两直线平行，同旁内角互补　　15.定理三角形两边的和大于第三边　　16.推论三角形两边的差小于第三边　　17.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°　　18.推论1直角三角形的两个锐角互余　　19.推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和　　20.推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角　　21.全等三角形的对应边、对应角相等　　22.边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等　　23.角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等　　24.推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等　　25.边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等　　26.斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等　　27.定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等　　28.定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上　　29.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合　　30.等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）　　31.推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边　　32.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合　　33.推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°　　34.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）　　35.推论1三个角都相等的三角形是等边三角形　　36.推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形　　37.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半　　38.直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半　　39.定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等　　40.逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上　　41.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合　　42.定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形　　43.定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线　　44.定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上　　45.逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称　　46.勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2　　47.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形　　48.定理四边形的内角和等于360°　　49.四边形的外角和等于360°　　50.多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°　　51.推论任意多边的外角和等于360°　　52.平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等　　53.平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等　　54.推论夹在两条平行线间的平行线段相等　　55.平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分　　56.平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形　　57.平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形　　58.平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形　　59.平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形　　60.矩形性质定理1矩形的四个角都是直角　　61.矩形性质定理2矩形的对角线相等　　62.矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形　　63.矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形　　64.菱形性质定理1菱形的四条边都相等　　65.菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角　　66.菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2　　67.菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形　　68.菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形　　69.正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等　　70.正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角　　71.定理1关于中心对称的两个图形是全等的　　72.定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分　　73.逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称　　74.等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等　　75.等腰梯形的两条对角线相等　　76.等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形　　77.对角线相等的梯形是等腰梯形　　78.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等　　79.推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰　　80.推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边　　81.三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半　　82.梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2S=L×h　　83.(1)比例的基本性质如果a：b=c：d，那么ad=bc如果ad=bc，那么a：b=c：d　　84.(2)合比性质如果a／b=c／d，那么(a±b)／b=(c±d)／d　　85.(3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0)，那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b　　86.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例　　87.推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例　　88.定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边　　89.平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例　　90.定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似　　91.相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似（ASA）　　92.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似　　93.判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）　　94.判定定理3三边对应成比例，两三角形相似（SSS）　　95.定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似　　96.性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比　　97.性质定理2相似三角形周长的比等于相似比　　98.性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方　　99.任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值　　100.任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
（责任编辑：刘汉甜）
中考满分作文如何证明任意四边形中以对角线构成的四个三角形相对的三角形面积的乘积相等
问题描述：
如何证明任意四边形中以对角线构成的四个三角形相对的三角形面积的乘积相等如图,任意四边形被对角线分成四个四边形如四边形ABCD,对角线相交于点E,那么△AED的面积×△BEC的面积=△AEB的面积×△CED的面积该如何证明上述结论？
问题解答：
左边=（AE*DG）*（BF*CE）/（2*2）,右边=（AE*BF）*（CE*DG）
我来回答：
剩余:2000字
一组相对的中点连线,是一条对角线的一半,并且平行对角线,即可证明是平行四边形 再问： 再详细一些 再答： 如上图，任意四边形ABCD，四个边的中点E、F、G、H，连接成四边形。再连接对角线AC。在三角形ACD中，中位线HG∥AC，且HG＝(1/2)AC。在三角形ABC中，中位线EF∥AC，且EF＝(1/2)AC。所以，
四边形ABCD,EF为两中点连线,连接BF、DF有三角形中线的推论得4EF^2=2BF^2+2DF^2-BD^2,同理4DF^2=2AD^2+2CD^2-AC^2,4BF^2=2AB^2+2BC^2-AC^2,故可得AB^2+BC^2+CD^2+AD^2=AC^2+BD^2+4EF^2.可证.
楼主似乎打错了 我记得是四边形ABCD中 AB*CD=AD*BC=AC的平方+BD的平方 也许是本人孤陋寡闻吧
任意四边形 连接四边中点得到平行四边形.你把对角线连起来就行了,用中位线定理即可将一个三角形四等分 中位线与第三边的关系的证明中位线是第三边的1/2,中位线定理或者运用比例相等
任意四边形的4个顶点为:A,B,C,D.设AB的中点为a,BC的中点为b,BD的中点为c,CD的中点为a',DA的中点为b',AC的中点为c'.显然在三角形abc和三角形a'b'c'中,ab‖a'b',ac‖a'c',bc‖b'c'.根据德萨格定理得:aa',bb',cc'三条直线或都平行,或共点.由于aa',bb'相
做对角线.相邻两边的中点连线是这两边和一条对角线所构成三角形的中位线,所以平行于这一条对角线并等于他的一半；同样另外两边的中点连线也与这一条对角线平行且等于他的一半；同理另外两条中点连线也与另一条对角线平行且等于他的一半.两组对边平行且相等,所以是一个平行四边形.
证明平行四边形的是连接对角线,用中位线的思想证明.对角线相等的四边形的中点四边形先证明是平行四边形,再运用一组临别相等证菱形；对角线互相垂直的四边形的中点四边形还是先证平行四边形,利用有一个角是直角证矩形.
1用角角边证明全等2四边形两个对边相等 证明是平行四边形
先把这个四边形各顶点连起来形成四个三角形再连各中点根据三角形中点连线平行且等于底边的二分之一这样小四边形以外部分就是大四边形的二分之一也就是说小四边形是大四边形的二分之一了不知道我说的你看明的否?
不一定,但一定是平行四边形作任意给出的四边形的对角线,再利用三角形中位线定理即可证明
平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 中心对称的四边形是平行四边形你的第二个问题没留完
∴EF为△ABD的中位线FG为△CBD的中位线GH为△ACD的中位线HE为△ABC的中位线∴EH∥BC∥FGHG∥AD∥EF∴四边形EFGH为平行四边形
证明：添加适当的平行线,将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角．在添加平行线中,尽可能利用原来的内角及边,应能减少推理过程．如图所示,四边形ABCD中,过顶点B引BE∥AD,BF∥CD,并延长AB,CB到H,G．则有∠A=∠2（同位角相等）,∠D=∠1（内错角相等）,∠1=∠3（同位角相等）．∠C=∠4（同位角
证明不成立只需要举个反例就行了~梯形ABCD为等腰梯形,AD∥BC,AB=CDE,F为上下两底的中点作EG∥AB,EH∥CD因为AD//BC所以ABGE和CDEH为平行四边形所以EG=AB,EH=CDBG=AE,CH=DE因为AE=DE,BF=CF所以FG=FHEF为公共边所以EFG和EFH全等（SSS）所以角EFG=
设夹角为a四边形被对角线分为4个三角形,对角线四段分别设为m,n,p,q则4个三角形面积分别为：S1=1/2*m*p*sinaS2=1/2*m*q*sin(180-a)=1/2*m*q*sinaS3=1/2*n*p*sinaS4=1/2*n*q*sin(180-a)=1/2*n*q*sina故四边形面积为：S=S1+S
连接AC,取AC中点G,连接EG,FG因为E,F为AB,CD中点所以EG=1/2BC,FG=1/2AD所以EG+FG=1/2（AD+BC）而在△EFG中,EF＜EG+FG,当EF经过G时EF=EG+FG=1/2（AD+BC）所以原题结论不对,结论应为EF≤1/2（AD+BC)
证明:设四边形ABCD,对角线AC⊥BD,AC=BD,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,依次连结EF、FG、GH、HE,根据三角形中位线性质可知,EF‖AC,EF=AC/2,HG‖AC,HG=AC/2,∴四边形EFGH是平行四边形,同理GF‖BD,∵AC⊥BD,∴EF⊥GF,∴四边形EFGH是矩形,∵
根据x4=x1+x3-x2,得x4+x2=x3+x1 得(x4+x2)/2=(x3+x1)/2所以 x4和x2,x3和x1的中点相同,根据对角线互相平分知为平行四边形
利用公理：两平面若有公共点,则必有一条经过所有公共点的公共直线,即交线.例如：http://zhidao.baidu.com/question/.html
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三角形各心性质
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