使用泰勒公式展开式大全证明拐点的问题，请各位看看能不能这么证明？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-08-18 04:31 标签： 泰勒公式展开式大全
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如何用泰勒公式证明初等函数的极值点和拐点不能共存
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泰勒公式证同阶无穷小：计算两个待比较的函数在某点x0的泰勒展开之比f(x)/g(x),若为非零常数,则证明为同解无穷小.证明极限不存在：看拉格朗日余项在要研究的极限值附近是否有意义.
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开题报告浅谈泰勒公式及其应用
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fx在点x0的某一领域内有4阶连续导数,若f'x0=f''x=f'''x=0,而f''''x0不等于0.问X0是否为极值点?(x0,f(x0))是否为拐点?关键是是否为极值点,请给予详细的证明.
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前三阶都为0,第四阶不为0,则它必为极值点.其实用泰勒展开式即可得到.在此点x0处展开成泰勒公式：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f"(x0)(x-x0)^2/2!+...+f“”(x0)(x-x0)^4/4!+h,
=f(x0)+f""(x0)(x-x0)^4+h在x0的邻域,若f""(x0)>0, 则f(x)>f(x0), 因此x0为极小值点若f""(x0)
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第5卷第3期
沈阳工程学院学报(自然科学版)
斩，z5No．3
Instituteof
Shenyang Engineering(Natural
函数极值高阶导数判别法的简单证明
李关民，王娜
(沈阳工程学院基础教学部，沈阳110136)
摘要：在一元函数微分学中，判定函数在某点是否取得极值，通常利用判定极值的第一、第二充分条件．在判定极值的
第一、第二充分条件失效时，可以利用一元函数极值的高阶导数判别法来判别，其证明是采用泰勒公式完成的．如果利用
函数单调性来进行证明，将使证明过程变得更为简单．
关键词：高阶导数判别法；单调性；极值；拐点
中图分类号：0172．1
文献标识码：A
0，那么jro一定是极值点．但是，如果厂(而)=0，第二
充分条件就不能应用，函数在而处可能取得极值，也
在判定函数在某点是否取得极值的时候，通常利
可能没有极值．
用判定极值的第一、第二充分条件．
例1 函数，(工)=，．
1．1第一充分条件
设函数以z)在而处连续，且在％的某去心邻域 厂(Xo)=O．
O(Xo，6)内可导．
第二充分条件失效，但是，显然函数在Xo=0处取
得了极小值，如图l所示．
1)若X∈(Xo一6，而)时’厂(z)>0，而XE(Xo，Xo+
∞时’厂(工)<O，则厂(X)在jc0处取得极大值．
．2)若x∈(Xo-8，Xo)时’厂(石)0，贝岍工)在而处取得极小值．
3)若z∈O(Xo，艿)时，厂(工)的符号保持不变，则
，(工)在而处没有极值．
第一充分条件表明，当X在粕的邻近渐变地经过
‰时，如果f(X)的符号改变，那么以工)在而处就取得
极值；如果y(x)的符号不改变，那么以X)在粕处就没
图1函数，(工)；r
1．2第二充分条件
例2函数，(x)=，．
设函数，(工)在粕处具有二阶导数，且厂(Xo)=0，
尸(Xo)≠0，那么
1)当厂(‰)0时，函数，(工)在而处取得极小
在上述情况下，通常会利用第一充分条件进行重
新判别，但非常麻烦，因此，可以考虑利用第三充分条
3)当尸(而)=0时，失效．
件，即一元函数极值的高阶导数判别法来判别．
第二充分条件表明，如果函数f(Xo)=0，(Xo)≠
收稿日期：
作者简介：李关民(1960一)，男(满族)，辽宁抚顺人，副教授
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