小学数学解题思路技巧目录第一章 基础知识 §1．1 神奇的 1 和 0 §1．2 余数的妙用 第二章 填速算与技巧 §2．1 加减巧算 §2．2 乘法巧算§ 第三章 填数问题 §3．1 用运算符号连算式 §3．3 奇怪的算式 §3．2 找规律填数 §3．4 调整法趣谈 第四章 火柴棒游戏 §4．1 简单的变式运算 §4．2 复杂的变式游戏 §4．3 图形游戏 2．3 连续自然数求和 §1．3 周期现象第五章 图形问题§5．1 怎样数图形的个数 §5．3 怎样剪拼图形 第六章 简单应用题 §6．1 解应用题的综合法与分析法 §6．3 有关平均分的问题 §6．5 钟面上的数学问题 第七章 模拟试题 §6．2 倍数问题 §6．4 事物推理问题 §5．2 图形的识别与划分模拟试题一 模拟试题四 模拟试题七模拟试题二 模拟试题五模拟试题三 模拟试题六神奇的 1 和 0［知识要点］ 知识要点］1．我们用字母α表示除 0 以外的任何数，则有 ⑴ α×1=1×α=α； α÷1=α。 ⑵ α＋0=0＋α=α； α－0=α； α×0=0×α=0； 0÷α=0。 ⑶ α÷0 无意义。 2．掌握含 0 的数的读法，规定末尾的 0 不读；中间有一个 0 或几个 0 连在一起都只读一 个 0。［范例解析］ 范例解析］，把所有的 1 都加起来，看谁算得快。 例 1 计算下面由数字 1 组成的“金字塔”1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1解 “金字塔”每层的和分别是 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。 它们的总和是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 例 2 请回答：数字 3 最少是几个数字相乘的积？最多呢？ 解 由于 3×1=3，所以 3 最少是两个数字的积，最多可看成是一个数 3 和无穷多个数 1 的积。 例 3 我们做一个数字计算游戏。任取一个不是 1 的数，如果是双数就除以 2（如取 18，就 18÷2） ；如果是单数就乘以 3 加上 1 后再除以 2[如取 7，就（7×3＋1）÷2]。现在我们 取数 3，反复用这两种方法计算，最后的结果怎样？任取数 7 呢？ 解 将数 3 按这两种方法计算有： 3×3＋1=10 10÷2=5 5×3＋1=16 16÷2=8 8÷2=4 4÷2=2 2÷2=1 简记为：3→10→5→16→8→4→2→1 同样，对于数 7 有： 7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1 数 3 和数 7 经过用规定的两种方法反复计算， 最后的结果都是 1。 这种计算方法称 “角 谷猜想” 。 例 4 2÷0 得几？说明理由。 解 假定 2÷0=α，根据除法的意义，应有α×0=2。但α×0=0，所以α×0 不能等于 2。 这说明，找不到一个数与 0 的积等于 2，故 2÷0 无意义。 例 5 把两个“9”和两个“0”拿来组成四位数，那么：⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 解 例6 解两个 0 都不读出来的数是什么数？ 只读出一个 0 的数是什么数？ 四位数中最大的一个数是什么数？ 四位数中最小的一个数是什么数？ ⑴ 9900 ⑵ 9090 ⑶ 9009 计算：⑴ 1300×3 ⑵ 1600×5⑷ 9900 ⑶ 470×3⑷ 5008×5［思路技巧］ 思路技巧］任何一个数中间或末尾的 0，都占一个数位。因此，用乘数去乘被乘数时，不管乘数中 间有几个 0，都要一个一个地同乘数相乘；遇到被乘数末尾有 0 的时候，可以先用乘数去乘 0 前面的数， 然后在乘得的数的末尾填写 0， 填写 0 的个数要与被乘数末尾的 0 的个数相同。 总之，0 和 1 有许多奇妙的性质，用途很广，例如，电子计算机所采用的二进制数，就 只用 1 和 0 来表示。随着数学知识的增长，你会越来越感到它们重要。［习题精选］ 习题精选］1．填空。 1×（ ）=1 1＋（ ）=1 1－（ ）=1 2－（ ）=1 1÷（ ）=1 7÷（ ）=1 2．计算。 ⑴ 617×0×4 ⑵
⑶ 80×3×1 ⑷
3．用“角谷猜想”计算方法填数。 ⑴ 6→□→□→□→□→□→□→□→ ⑵ 18→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□ →□→1 4．在 6 的后面添上一个 0，这个数是原来的几倍？比原来的数多多少？ 5．1400 末尾的两个 0 可以不读，也可以不写，对吗？为什么？ 6．1005 中间的两个零只读一个，也可以只写一个，对吗？为什么？ 7．0、2、4、6、8 五个数字的和与 2、4、6、8、0 五个数字的积相比，不用计算，你说是 和大？还是积大？ 8．比比看，谁做得又对又快？ 1＋0 0＋1 1×1 1×0 1－1 0＋0 1÷1 0×0 1－0 0÷1 1＋1 6×1 6÷1 7＋0 0＋7 7－0 0÷7 7－7 7×7 （6－6）×4 （8－8）×0 0÷（8－4） 1×1＋1÷1＋0×1＋0÷1 9．用四个 3、三个 0 写成七位数，按下面的要求写出各多位数： 一个零都不读出来 （ ） 只读出一个零 （ ） 读出两个零 （ ） 读出三个零 （ ）10．数字迷。 下面每个题里都有一组数，请你从中找出一个适合各问条件的数： ⑴ 7 6 25 53 19 这个数被 3 除余 1； 这个数比最小的两位数大； 这个数加上 1，再乘以 5 正好是最小的三位数； 这个数的几？ ⑵
3000 这个数只读出一个零； 这个数的最高位在二节中； 这个数各个数位上的数的和为 8； 这个数是几？ 11．用 1、0、0、4 四个数字写出两个四位数，要使它们是差是 99，这两个四位数分别是 （ ）和（ ） 。余数的妙用［知识要点］ 知识要点］ 1．被除数=除数×商＋余数；2．余数要比除数小； 3．会解有余数除法的应用题。［范例解析］ 范例解析］例 1 如图 1-1。把 14 个乒乓球平均分给三个班，每班分得几个？还余下几个？解 14÷3 = 4 余 2 每班分得 4 个还余 2 个。 例 2 下面三个竖式，哪个对？哪个不对？为什么不对？解 第一个竖式不对，它的余数 8 比除数 5 还大，还可商 1，即商应为 8； 第二个竖式也不对，因商和除数的积不能大于被除数；第三个竖式是对的，余数 3 小于除数 5。 说明 计算有余数的除法，余数一定要比除数小。这时被除数、除数、商和余数的关系 是： 被除数 = 除数×商＋余数 被除数－余数 = 除数×商 例 3 把 11、12、13、14、15、16、17 分别除以 3 时，各得哪些余数？ 解 11÷3 = 3 余 2； 12÷3 = 4 余 0； 13÷3 = 4 余 1； 14÷3 = 4 余 2； 15÷3 = 5 余 0； 16÷3 = 5 余 1； 17÷3 = 5 余 2。 说明 一串连续数除以同一个数，因为它们的余数小于除数，所以余数重复出现。 “余数”在我们生活中还有不少的用处呢！ 例 4 国庆节挂彩灯，用六种颜色的灯泡，按红、黄、蓝、白、绿、紫的次序装配，总共要 装 50 只灯，每种颜色的灯泡各需要多少只？ 解 可以这样想，六种颜色的灯泡作为一组，50 只灯泡可以分成 50÷6 = 8（组）余 2（只） 于是，其中有四种颜色的灯泡各配 8 只，另两种颜色的灯泡各配 9 只。 例 5 今天是星期三，再过 20 天是星期几？ 解 今天是星期三，因为一个星期有 7 天，以星期一为星期的第一天计算，因已经过了 3 天。所以有 （20＋3）÷7 = 3 余 2 即再过 20 天是星期二。 例 6 把 4、7、18、2 四个数填入下式的括号中。 （ ）÷（ ） = （ ）余（ ） 它必须填最大的一个数 18。 其次， 除数比余数要大， 因此， 分析 第一个括号是被除数， 第二个括号中的数必须比最后一个括号中的数要大，但是 7×4 大于 18，所以最后 一个括号中只能填数 4。即题中式子填数如下： （ 18 ）÷（ 7 ） = （ 2 ）余（ 4 ）［思路技巧］ 思路技巧］１．正确理解余数的性质，是正确解决有关余数问题的关键。 ２．计算有余数的除法，余数一定要比除数小。［习题精选］ 习题精选］１．看图填数。 ⑴ 11÷3 = ______( 根 )……______（ 根 ）⑵14÷4 = ______( 份 )……______（ 个 ） 14÷3 = ______( 个 )……______（ 个 ）２．下面各题的计算对吗？把不对的改过来。 ⑴ 38÷5 = 6……8 49÷6 = 7……7 33÷4 = 8……1 2÷1 = 1……149÷8 = 5……9 17÷3 = 5……2３． （ ）里最大能填几？ （ ）×8＜55 （ ）×5＜19 （ ）×7＜33 （ ）×9＜62 （ ）×6＜50 （ ）×4＜14 ４．55 除以 7，商几余几？除以 8 呢？除以 9 呢？ ５． 被 4 除没有余数的：________________ 被 9 除没有余数的：________________ ６．⑴ 用下面各数除以 2 时，得到哪些余数？除以 4 时，得到哪些余数？ 11、13、14、15、17、19 ⑵ 用下面各数分别除以 5、6 时，各得到哪些余数？ 11、12、13、14、15、16、17 ７．把 23、7、3、2 填入两个式子中，使它们的余数相同。 （ ）÷（ ） = （ ）……（ ） （ ）÷（ ） = （ ）……（ ） ８．下面三个算式的被除数相同，你能填出来吗？ （ ）÷7 = （ ）……1 （ ）÷6 = （ ）……5 （ ）÷5 = （ ）……4 ９．在□里填上适当的数。１０．在机场上停着 20 架飞机，准备每 3 架编为一组起飞，可以编成几组？还声几架？ １１．⑴ 把 16 张风景画片平均分给 5 个同学，每人分得几张？还剩几张？ ⑵ 把 16 张风景画片分给同学，每人分得 5 张，可以分给几个同学？还剩几张？ １２．⑴ 一件衬衣前面要钉 5 个纽扣，袖口要钉 2 个纽扣，一共要钉几个纽扣？ ⑵ 现有 45 个纽扣，每件钉 7 个，够钉几件衬衣？还剩几个纽扣？ １３．有 30 千克水果糖，每盒装 4 千克，剩下的装在纸袋里，纸袋里装多少千克糖？ １４．一个星期有 7 天，十月份有 31 天，十月份里有几个星期零几天？ １５．⑴ 学校开会庆“六一” ，有 9 面彩旗，平均插在会场两边，每边插几面？还剩几面？ ⑵ 学校开会庆“六一” ，有 9 面彩旗，会场两边各插 4 面旗，中间插 1 面旗，共插了 几面旗？周期现象 周期现象［知识要点］ 知识要点］自然界里有许多现象，如春、夏、秋、冬年复一年地交替；白天与黑夜反复出现；我国 民间流传着“初三、初四娥眉月，十五、十六月团圆”的说法；七天一个星期，等等，都是 周期现象。 算术中也有一些有趣的周期问题。例如，一串连续的自然数被 3 除的余数是： 1、2、0、1、2、0、1、2、0、…… 它是 1、2、0 重复出现的一列数，即周期是 3。 本节就是要让学生初步了解周期现象，并会用周期解某些较简单的问题。［范例解析］ 范例解析］例 1 有一串黑白珠子排列如图 1-4 所示。 ○●○○○●○○○●○○○●○○○●○……图 1-4其中黑珠与白珠共有 70 个，那么最后一个是黑珠还是白珠？共有几个白珠？ 解 我们由图 1-4 可知○●○○四个珠子是一个周期，又 70÷4=17 余 2，即这一串珠子 经过 17 次重复后还余 2 个珠子○●，因此，最后一个是黑珠子。 一个周期的 4 个主张中有 3 个白珠，最后 2 个主张中有一个白珠，白珠一共应有： 3×17＋1 = 51＋1 = 52（个） 说明 对于周期问题，关键是要抓住周期规律这一重要环节，问题才好解决。 例 2 1994 年 4 月 10 日是星期六，那么这一年的 7 月 5 日是星期几？ 解 从 4 月 10 日至 7 月 5 日的天数是： （30－9）＋31＋30＋5 = 87（天） 又一个周期的周期是 7，所以 87÷7 = 12 余 3 即 87 天经过 12 个星期又 3 天，这 3 天应是星期六、星期日、星期一。 我们推算出 7 月 5 日是星期一。 例 3 1、2、0、1、2、0、1、2、0……第 1995 个数字是多少？ 解 这一列数中，它的一个周期是：1、2、0，即周期是 3。又 1995÷3 = 665 故这一列数按 12、0 重复 665 次，所以第 1995 个数字是 0。 例 4 1＋2＋3＋4＋…＋ 被 5 除的余数是多少？ 分析 这个问题如果先求和，就比较麻烦。我们知道，这 1993 个数被 5 除的余数周期性 的出现，组成下面一列数： 1、2、3、4、0、1、2、3、4、0、1、2、3、4、0…… 我们知道，1、2、3、4、0 是一个周期，周期是 5。并且一个周期的 5 个余数的和是： 1＋2＋3＋4＋0 = 10 又 10÷5 = 2，即是一个周期中 5 个数字之和可被 5 除尽。这就是说，前 5 个数字 的和能被 5 整除，接着的 5 个数字的和同样也能被 5 整除，等等。这样，有多少 个 5 个数字的和可以被 5 整除呢？我们知道，1993÷5 = 398 余 3。 即应有 398 个 5 个数字的和可以被 5 整除。只考虑最后三个数的余数是 1、2、3。 又 1＋2＋3 = 6，6÷5 = 1 余 1 所以，它们的和被 5 除的余数是 1。［思路技巧］ 思路技巧］１．对于周期问题，解决的关键是要正确观察出周期的规律。 ２．有些问题，虽然不是周期问题，我们可以巧妙地将它转化为周期问题来解决。［习题精选］ 习题精选］１．2、1、1、3、5、2、1、1、3、5……，第 273 个数字是多少？ ２．某年 3 月 5 日是星期四，那么这一年的 10 月 1 日是星期几？ ３．某年的 9 月 15 日是星期五，那么这一年的 5 月 5 日是星期几？ ４． 同样大小的红、 黑三色球共 193 个， 白、 它们按如图 1-5 规则排列， 其中红球有多少个？ 最后一个球是什么颜色？５．1＋2＋3＋4＋……＋ 的和被 9 除的余数是多少？ ６．有 14 个数排成一横排，每个数写在一个方格子里，它们具有这样的性质：任何三个相 邻的数加起来都是 10；另外从左边算起的第 4 个数等于 5，第 12 个数等于 4，问第 8 和 数“？”等于多少？ 5 ？ 4 ７．1＋2＋3＋……＋ 被 7 除的余数是多少？ ８．1994 年的 1 月 5 日是星期三，问这一年的 7 月 1 日是星期几？ ９．1、2、0、3、1、2、0、3、1、2、0、3……这一列数的第 186 个数字是多少？这 186 个数的和是多少？ １０．拼音字母 A、B、C 按下面的规律排列：A、B、A、A、C、A、B、A、A、C……共有 178 个字母。请填下列空格： ⑴ 一个周期 A、B、A、A、C 它有（ ）个字母； ⑵ 一个周期中 A 有（ ）个，余数中 A 有（ ） ； ⑶ 共有（ ）×（ ）＋（ ） = （ ）个 A； ⑷ 最后一个字母是（ ） 。加减巧算［知识要点］ 知识要点］１．加法的交换律与结合律，用字母表示则有：α＋b = b ＋α, α＋(b＋c) = (α＋b)＋c ２．减法的性质，用字母表示则有： α－(b＋c) = α－b－c 反之， α－b－c = α－(b＋c)［范例解析］ 范例解析］例 1 简便计算下列各题。 ⑴ 129＋84＋71 ⑵ 83＋135＋65 129＋84＋71 解 ⑴ = （129＋71）＋84 = 200＋84 = 284 ⑶ 34＋75＋66 =（34＋66）＋75 = 100＋75 = 175⑶ 34＋75＋66 ⑷ 128＋73＋27＋17 ⑵ 83＋135＋65 = 83＋（135＋65） = 83＋200 = 283 ⑷ 128＋73＋27＋17 = （128＋17）＋（73＋27） = 145＋100 = 245例 2 你能巧算 297＋65 的和吗？ 分析 我们发现，第一个加数只要加上数 3 就凑成整数 300，这样计算就方便多了。 解法二 297＋65 解法一 297＋65 = 297＋65＋3－3 = 297＋62＋3 = （297＋3）＋（65－3） = （297＋3）＋62 = 300＋62 = 300＋62 = 362 = 362 说明 “凑整”是速算中最常见、简单易行的方法，计算时，若凑成 10、100、1000、…… 计算自然方便。但“凑整”不是任意凑，而是有目的地进行，才能起到速算的效果。再 看例 3。 例 3 速算下面两题。 ⑴
= 3471＋（）－101 = （）＋8 = －101 = 1891＋8 =
= 1899 = 9370 例 4 速算下面两题。 ⑴ 280－（80＋92） ⑵ 297－173－27 ⑵ 297－173－27 解 ⑴ 280－（80＋92） = 280－80－92 = 297－（173＋27） = 200－92 = 297－200 = 108 = 97［思路技巧］ 思路技巧］“凑整”是速算中最常见的方法，有目的地把数凑成 10、100、1000、……，可以使问 题简化。［习题精选］ 习题精选］１．简便计算下面各题。 ⑴ 74＋29＋26 ⑵ 153＋29＋171 ⑶ 58＋47＋42＋13 ⑷ 149＋32＋151＋68 ⑸ ＋392＋27 ２．看谁算的快。 ⑴ 36－12－6 ⑵ 75－36－19 ⑶ 129－（29＋40） ⑷ 1995－（） ３．速算。 ⑴
⑶ ＋3199 ⑷ 362＋345＋638＋655 ４．看谁算的快。 ⑴ 57＋78＋43＋42 ⑵ 249＋132＋151＋68 ⑶ 405＋997 ⑷ 298＋87 ５． 下面有这样几排数。 1 6 11 16 21 2 7 12 17 22 3 8 13 18 23 4 9 14 19 24 5 10 15 20 25 ⑴ 第一竖行各个数的和是 15，请你很快算出其余四个竖行各个数的和； ⑵ 第一横行各个数的和是 55，请你很快算出其余四个竖行各个数的和。乘法巧算［知识要点］ 知识要点］１．用乘法口诀计算减法； ２．乘法的交换律、结合律。用字母表示为： α×b = b×α， α×(b×c) = (α×b)×c； ３．乘法对加法的分配律，用字母表示为： α×(b＋c) = α×b＋α×c； α×b＋α×c = α×(b＋c)［范例解析］ 范例解析］例 1 下面有一组减法计算题，想一想，能找出它们的计算规律吗？ 21－12 = 9 31－13 = 18 41－14 = 27 51－15 = 3661－16 = 45 71－17 = 54 81－18 = 63 91－19 = 72 它们正好是被减数的十位数字与个位数字的位置交换 分析 首先看被减数和减数的关系， 了一下就得到减数；其次，它们的差正好是 9 的倍数。即 9 的 1 倍、2 倍、3 倍、4 倍、 5 倍、6 倍、7 倍、8 倍，也即是 9 的乘法口诀的得数。这是说明道理？ 因为十位上的数变成个位上的数，就要相差几个 9，如 10→1，差 1 个 9；20→2， 差 2 个 9；30→3，差 3 个 9；……反过来也一样，1→10，差 1 个 9；2→20，差 2 个 9； 3→30，差 3 个 9；…… 所以，一个两位数交换它的个位与十位上的数字的位置后，得一新的两位数，然后将大 数减去小数，它们的差就是这两个数字的差与 9 的乘积。即可用的乘法口诀计算。 例 2 下面一组减法题，看谁算得快。 ⑴ 72－27 = （ ） ⑵ 43－34 = （ ） ⑶ 83－38 = （ ） ⑷ 53－35 = （ ） ⑸ 94－49 = （ ） ⑹ 63－36 = （ ） ⑺ 87－78 = （ ） ⑻ 73－37 = （ ） ⑵ 一九得九 ⑶ 五九四十五 ⑷ 二九一十八 解 ⑴ 五九四十五 ⑸ 五九四十五 ⑹ 三九二十七 ⑺ 五九四十五 ⑻ 四九三十六 例 3 简便计算下列各题。 ⑴ 214×5×8 ⑵ 6×586×5 ⑶
⑷ 25×8×125×4 ⑵ 6×586×5 解 ⑴ 214×5×8 = 214×（5×8） = （6×5）×586 = 214×40 = 30×58 = 8560 = 17580 ⑶
⑷ 25×8×125×4 = 1607×（4×5） = （25×4）×（125×8） = 1607×20 = 100×1000 = 32140 = 100000 例 4 下面有一组乘法算式，看谁算得快。 1×99 = 2×99 = 3×99 = 4×99 = 5×99 = 6×99 = 7×99 = 8×99 = 9×99 = 分析 我们首先找规律。从 2×99 看起，它可以靠成是： 2×99 = 2×（100－1） = 2×100－2×1 = 200－2 =198 照这样计算，3×99 = 300－3 = 297，即几乘以 99 可看成是几百减去几就得结果， 因此，我们可很快算出各式的结果。 2×99 = 200－2 = 198 3×99 = 300－3 = 297 解 1×99 = 99 4×99 = 400－4 = 396 5×99 = 500－5 = 495 6×99 = 600－6 = 594 7×99 = 700－7 = 693 8×99 = 800－5 = 792 9×99 = 900－9 = 891［思路技巧］ 思路技巧］有目的地把数凑成整十、整百、……，可使计算简便。［习题精选］ 习题精选］１．请你用乘法口诀来计算下面各题，看谁算得快。 53－35 = （ ） 94－49 = （ ） 73－37 = （ ） 82－28 = （ ） 63－36 = （ ） 40－4 = （ ） 32－23 = （ ） 80－8 = （ ） 96－69 = （ ） 70－7 = （ ） 42－24 = （ ） 71－17 = （ ） ２．速算下面各题。 ⑴ 2×729×5 ⑵ 4×83×25 ⑶ 17×125×8 ⑷ 132×5×4 ⑸ 222×5×8 ⑹ 828×25×2 ３．简便计算。 ⑴ 42×3＋42×2 ⑵ 17×19＋181×17 ⑶ 125×（8－1） ⑷ 5×（24＋38） ４．下面有三个算式： 142×2 = 284 142×3 = 426 142×4 = 568 你能利用这三个算式计算下面两道乘法题的得数吗？ 142×5 = （ ） 142×6 = （ ） ５．我们知道：37×3 = 111，你能利用它快速算出下面各式结果吗？ 37×6 = 37×9 = 37×12 = 37×15 = 37×18 = 37×21 =连续自然数求和［知识要点］ 知识要点］１．连续自然数求和的方法： 头尾两数相加的和×加数的个数÷2 ２．连续自然数逢单时求和的方法： 中间的加数×加数的个数。［范例解析］ 范例解析］例 1 比一比，看谁算得快。 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9 = ？ 解法 1 如图 2-2 所示。4 个 10 加上 5 等于 45。解法 2 如图 2-3 所示。 5 个 9 等于 45。 解法 3得到 9 个 10，即 90，它是和数的 2 倍，即 90÷2 = 45。 说明 解法 1 是利用“凑整”技巧进行简算； 解法 2 是利用“0”的神奇性配对进行速算； 解法 3 是常说的高斯求和法速算。 你听说过数学家高斯小时候的故事吗？有一次老师出了一道数学题： “求 1＋2＋3＋4＋……＋100 的和” 。老师的话音刚落，高斯就举手说：等于 5050。 高斯是怎样算的？他将这 100 个数倒过来，每相对两数的和等于 101，共有 100 个 101， 将 101 乘以 100 后再除以 2，结果等于 5050。 我们由此得到启发，一组连续自然数相加时，可用下面的公式求和。 头尾两数相加的和×加数的个数÷2 例 2 计算下面两题。 ⑴ 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13 = ？ ⑵ 21＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28 =？ 解 ⑴ 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13 =（4＋13）×10÷2 = 17×10÷2 = 170÷2 = 85 ⑵ 21＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28 =（21＋28）×8÷2 = 49×8÷2 = 392÷2 = 196 说明 只要的连续自然数求和，不一定要从 1 开始，均可用此法计算。 例 3 求和：53＋54＋55＋56＋57＋58＋59 53＋54＋55＋56＋57＋58＋59 解法 1 =（53＋59）×7÷2 = 112×7÷2 = 784÷2 = 392 53＋54＋55＋56＋57＋58＋59 解法 2 = 56×7 = 392 说明 如果相加的连续自然数的个数逢单时，也可用下式计算和： 中间的加数×加数的个数。 例 4 求和。 ⑴ 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17⑵ 24＋26＋8＋30＋32 解 ⑴ 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17 = 9×9 = 81 ⑵ 24＋26＋8＋30＋32 = 28×5 = 140 说明 此两题虽然不是连续自然数相加，但是每相邻的两个加数直接都相差同一个数，同 样可用公式计算。［思路技巧］ 思路技巧］计算连续自然数相加时，可用头尾两数相加的和×加数的个数÷2 计算；如果相加的连 续自然数是单数时，可用中间的加数×加数的个数求和；如果不是连续自然数相加，但每相 邻两个加数之间都相差同一个数，也可用以上两种方法计算。［习题精选］ 习题精选］１．求和。 ⑴ 12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19 ⑵ 28＋29＋30＋31＋32＋33 ⑶ 101＋104＋107＋110＋113＋116 ２．求和。 ⑴ 41＋42＋43＋44＋45 ⑵ 12＋14＋16＋18＋20＋22＋24 ３．求和。 ⑴ 77＋78＋79＋80＋81＋82 ⑵ ＋＋用运算符号连算式［知识要点］ 知识要点］１．添运算符号＋、－、×、÷和括号（ ２．逆推法； ３．凑数放。 ） ，使等式成立；［范例解析］ 范例解析］例１ 用运算符号把下面式子中的４个３连起来，使等式成立。 ３ ３ ３ ３= 9 ①分析 我们从最后一个 3 向前考虑添运算符号，如果添×号，①变为： 3 3 3 × 3 = 9 两边除以 3，即为 3 3 3 = 3 ② 将②中左边最后一个 3 前再添×号，②变为： 3 3 × 3 = 3，两边再除以 3，即为： 3 3 = 1。显然再添÷号。 解 3 ÷ 3 × 3 × 3 = 9 ，使得下面等 例２ 在下列 5 个 5 之间，添上适当的运算符号——＋、－、×、÷和（ ） 式成立。 5 5 5 5 5 = 10 ① 分析 我们从①的后边逐步向前边考虑，最后一个 5 前面如果要添运算符号的话，只可能 是＋、－、×、÷运算符号中的一个。 如果是加号，①式变为 5 5 5 5 ＋ 5 = 10 ② 两边减 5，即变为 5 5 5 5 = 5 ③ 再重复上面的想法，如果③左边最后一个 5 前面又是加号，则③式变为 5 5 5=0。 这等式很容易得出： （5－5）×5 = 0 或（5－5）÷5 = 0 或 5×（5－5） = 0 如果③式左边最后一个 5 前面是减号，③式变为 5 5 5 = 10，这式子没有解。 如果③式左边最后一个 5 前面是乘号或除号，也没有解。 如果①式最后一个 5 前面是减号、乘号或除号，可采用上面的方法进行同样的分析。 （5－5）×5＋5＋5 = 10 解 （5－5）÷5＋5＋5 = 10 5×（5－5）＋5＋5 = 10 （5×5＋5×5）÷5 = 10 （5÷5＋5÷5）×5 = 10 等等。 说明 上面的分析方法，是从最后一个数字开始向前推想，所以我们可以把这种方法叫逆 推法，使用时一定要考虑全面、周到。 使得下面的算式成立： 965 2 7 8 314 例３ 在下列六个数的中间添上适当的运算符号， 0 = 1986。 我们必须另行考虑，先找一个与 1986 分析 这题如果采用逆推法，那肯定会相当的麻烦， 比较接近的数，如 965×2 = 1930，这个数比 1986 小 56，这样原问题就转化为：能否 用剩下的六个数经过适当的四则运算得出一个等于 56 的算式呢？然后作适当的增加或 减少，使算式成立，增加或减小的部分也采用上述的方法，我们也给它取个名，叫凑数 法。 解 965×2＋7×8＋314×0 = 1986 例４ 在下列数码的某些相邻地方，只添运算符号＋和－，使得等式成立： 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 20 分析 我们从头开始想， 98＋7 = 105 105－65 = 40 这一来问题转化我用 4 3 2 1 凑出个 20 来，而 21－3＋3 = 20。 解 98＋7－65＋4－3－21 = 20例５ 有 2、3、4、6 四个数字，请你选择合适的运算符号，最少组成五个算式，使它们都 等于 24。 解 2×6＋3×4 = 24； 4×6÷（3－2） = 24； 3×6＋4＋2 = 24； 4×2×（6－3） = 24； 3×（6－2＋4） = 24［思路技巧］ 思路技巧］在数字之间添加运算符号使，可采用逆推法或凑数法解答。［习题精选］ 习题精选］１．在 3 个 7 中间的□里添入适当的运算符号和括号，使等式成立。 7□7□7 = 2 7□7□7 = 7 7□7□7 = 6 7□7□7 = 42 7□7□7 = 8 7□7□7 = 56２．在下面各数之间填上“＋”“－”“×”“÷”“ ） 、 、 、 、（ ”使等式成立。 ⑴ 快乐的 1989 年： 4 4 4 4 4 = 1 4 4 4 4 4 = 9 4 4 4 4 4 = 8 4 4 4 4 4 = 9 ⑵ 庆祝国庆四十周年： 1 2 3 4 5 6 = 40 2 3 4 5 6 1 = 40 3 4 5 6 1 2 = 40 4 5 6 1 2 3 = 40 5 6 1 2 3 4 = 40 6 1 2 3 4 5 = 40 ⑶ 在下面○里填上和左边对应地方不同的运算符号，使两边的计算结果相等。 6＋2＋4 = 6○2○4 18－9－3 = 18○9○3 8＋2＋3 = 8○2○3 12－2－2 = 12○2○21×3＋2×4 = 1○3○2○4⑷ 下面每一道小题的□里都要填同一个数字。□＋□＜□×□ □＋□＝□×□□＋□＞□×□ □＋□＞□÷□３．在（ ）中填上＋、－、×、÷符号使等式成立。 1（ ）2（ ）3 = 1 1（ ）2（ ）3（ ）4 = 9 1（ ）2（ ）3（ ）4（ ）5 = 81（ ）2（ ）3（ ）4（）5（ ）6 = 9４．○内应填上什么运算符号？□内应填上什么数？５．只填一个加号和两个减号于下列某些数码间，使等式成立。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 ６．只填两个加号和两个减号于下列某些数码间，使等式成立。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 ７．只填一个乘号和七个加号于下列 9 个数之间，使等式成立。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 ８． 下面是几组数码，逆能不能将它们分别拼成数，并用运算符号排成一道算式题，使各 题的得数均等于 1995？ 例如， “5、5、7、7”这组数得：5×5×57 = 1995 ⑴ 3、3、6、6、6 ⑵ 3、3、3、3、3、3、3、3找规律填数［知识要点］ 知识要点］１．数列填数； ２．阵图填数。［范例解析］ 范例解析］例 1 找规律填出后面三个数： ⑴ 3，4，6，9，13，18，______，______，______； ⑵ 56，61，47，44，______，______，______； ⑶ 3，9，27，______，______，______； ⑷ 7，14，21，28，______，______，______； ⑸ 0，1，1，2，3，5，8，______，______，______。 解 ⑴ 这一列数，从第二个数开始，逐渐增大，那它是按什么规律变化的呢？我们仔细 观察，第二个数 4 比第一个数 3 大 1；第三个数比第二个数大 2；第四个数比第三个数 大 3；第五个数比第四个数大 4；第六个数比第五个数大 5。如图 3-1 所示。即是按照加 1、加 2、加 3、加 4、……的规律加下去。因此，应填 24，31，39。 ⑵ 这一列数正好⑴相反，它们是逐渐减少。其中，第二个数 51 比第一个数 56 少 5； 第三个数又比第二个数少 4；第四个数比第三个数少 3。如图 3-2 所示。即是按照减 5、减 4、减 3、……的规律减下去。因此，应填 42，41，40。 ⑶ 这一列数中，第二个数是第一个数的 3 倍；第三个数又是第二个数的 3 倍，如图 3-3 所示。图 3-3即是按照前一个数扩大 3 倍，得后一个数的规律算下去。因此，应填 81，243，729。 ⑷ 我们观察发现，这一列数中的第二个数是第一个数的 2 倍，第三个数又是第一 个数的 3 倍，第四个数是第一个数的 4 倍，如图 3-4 所示。即是按照把第一个数扩大 2 倍、3 倍、4 倍……的规律酸下去因此，应填 35，42， 49。 ⑸ 这一列数的变化规律较复杂一点，要仔细地观察。我们改变一下观察研究的顺 序，即从 8 起往左看，可看出：8 是 3＋5 的和，5 又是它的前两个数 2＋3 的和，3 则是 1＋2 的和，2 是 1＋1 的和，1 是 0＋1 的和。如图 3-5 所示。即是按照后一个数是前两个数的和的规律算下去。因此，应填 13，21，34。 说明 在一列数中填数，关键是要找出这列数中各数之间的变化规律，按规律酸下去，才 能正确填才其中的缺数。 例 2 你能把空缺的数填出来吗？ 2 8 3 6 4 4 2 分析 我们发现，这已知的 7 个数字之间找不出它们的变化规律。因此，我们应该变换观 察的角度，即分单双位上的数考虑，这就将一列数分才人下的两列数： 2 8 3 6 4 4 ？ 2前一列数是按照后一个数是前一个数加 1 的规律算下去，因此，空缺数应填 5。 说明 有时一列数是由两个有规律的数串混合组成的。在填空缺数时，应注意这一点。例 3 找规律，很快把图 3-6 中小圆圈里的数填出来。分析 首先观察第一横行和第二横行，发现第二横行的第二、第三、第四个数都是它的第 一个数 3 与第一横行的第二、第三、第四个数的乘积。即 3×2 = 6，3×3 = 9，3×5 = 15。又第三横行的第四个数 35 正好是 7×5 的积。这就是图中数字之间的规律，按照这 一规律，如图 3-7 所示，缺数应填 8，20，14，21。 例 4 图 3-8 中是一个数字金字塔，青你先根据上下数字间的联系找出它们的规律，然后填 出塔中的方框的数字。 分析 从上往下看，第一行是一个数 2；第二行是两个数 2、2；第三行是三个数 2、4、2； 则 4 应看作是第二行的 2×2 的积，这是因为第四行的 8 正好是第三行的 2×4 的积。这 就是它的变化规律，如图 3-9 所示。图中画上“\ /”表示尖端所指的数字是上一行两 个数的积。 因此，方框中应填 8、16、64（见图 3-9） 。［思路技巧］ 思路技巧］ 找规律填数是一类有趣的问题，解决这类问题常常要考虑运用观察、试探、 枚举、归纳等研究问题的手段，寻找已知的数上下、左右及前后之间的相互 联系和规律，推导出未知的数。 ［习题精选］ 习题精选］１．先观察下面每一行数的排列有什么规律，然后在（ ）里填上一个适当的数： ⑴ 1，4，7，10， ） （ ，16，19； 1 2 3 2 2 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5⑵ 1，1，2，3，5，8， ） （ ，21，34； ⑶ 1，4，9，16，25，36， ） （ ，64，81； 5 5 5 5 5 ⑷ 12，15，18， ） （ ，24，27， ） （ ，33； ⑸ 6，12， ） （ ，24， ）（ ） （ ， ，42，48； ⑹ 95，90， ） （ ，80， 75， ）（ ） （ ， ，60； ⑺21，24，27， ）（ ） （ ， ； 图 3-10 ⑻50，48，46， ）（ ） （ ， 。 ２．按照图 3-10 中数字排列规律，在空格里填上适当的数。 ３．在图 3-11 中，依照第一个三角形里三个数之间的关系，在其他三角形的空格里填上适 当的数。４．不用乘法，找出规律后，就可以按规律把积填上去。 1×99 = 99 2×99 = 198 3×99 = 297 4×99 = 396 6×99 = 7×99 = 8×99 = 9×99 = ５．找规律填空缺的数。 0 1 3 6 10 15 ？ ？ ６．如图 3-12，在金字塔图中每一块砖上都有一个数字，请你根 据上下数字之间的联系，找出它们的规律，然后填在空砖上。 ７．根据叶子中数字的计算规律，填出花中所空的数。5×99 = 495８．下面两题中的数去掉其中的一个数，其余的都是按规律排列的，请你去掉这个数。 ⑴ 5，10，15，17，20； ⑵ 72，70，68，66，36。 ９．请按图 3-14 中的规律在空白处填上数。奇怪的算式［知识要点］ 知识要点］根据推理的方法来确定算式中的数字，分加法算式谜、减法算式谜、乘法算式谜几种。［范例解析］ 范例解析］例 1 填出方框里的数。 分析 9 加几个位上是 3？十位上哪两个数相加得 8。解等。 例 2 填出右边算式方框里的数。 分析 18 减几得 9？十位上 2＋4 = 6，6＋1 = 7。解 例 3 右面的算式中，只有五个数字已些出，补上其他的数字： 分析 先填哪一个呢？做这一类题目要善于发现问题的突破口。从百位进位来看，和的千 位数只能是 1，从十位相加来看，进位到百位，也只能进 1。因此□2□的百位是 9，和的百位是 0。通过上面的分析，就找到了这道题目的突破口。 再从 15－7－6 = 2，11－2－1 = 8，得出算式： 例 4 在下面的加法算式中，每个汉字代表一个数字，相同的汉字代表的数字相同，求这个 算式： “看”＋“看” 分析 千位上的“边”是进位得来，所以“边”= 1，其次，从个位知道， 的末位数字还是“看” ，所以“看”= 0，因此推出： 想想看 = 想×110 算算看 = 算×110 所以和数“边算边看”是 11 的倍数，因而“算”=2。进而推出：想想 = 121-22 = 99。 所求的算式是 990＋220 = 1210。 例 5 下面的算式由 0，1，……，9 十个数字组成，已写出三个数字，补上其他数字。分析 这一算式有十个数字，分别是 0，1，……，9 这十个数字，因此这个算式中所有数 字各不相同，解题时要充分利用着一点，为了说明的方便，用英文字母 A、B、C、D、 E、F 来表示要填的数字，很明显，A = 1。 解题的突破口是确定 B，B 可以是 7 或 9，因为 F 至少是 3，所以 十位相加后一定要进位， 如果 B 是 9， 将是 2， C 就出现数字的重复， 因此，B 只能是 7，C 是 0。 现在还没有用上的数字是 9，6，5，3，其中只有 6 是双数，因 此，个位上 D 和 E 必定是单数，只能是 D = 9，E = 3，因此也确定了 F = 6，这个算 式如右所示。 例 6 如图是一个动物式子，不同的动物代表不同的数字，请你想一想，算一算，这些动物 各代表哪些数字？图 3-15分析 这个式子从哪里下手解答呢？根据两个一位数相加和只能满十的特点，首先，推 出公鸡等于“1” 。然后，又根据两熊猫相加，和仍然是熊猫，推出熊猫只能等于“0” 。 讲熊猫等于 0，代入式中，又根据公鸡等于“1”推出白兔等于“5” 。将白兔等于 5 代 入式中，推出松鼠等于 2。 这个算式是：” 。它是一种猜谜 说明 奇怪的算式，实际上就是“算式之谜：，也称“趣味算式问题” 游戏，故有较强的趣味性，可以锻炼思维能力。 既然趣味算式问题是一种猜谜游戏， “凑”就成了它的当然方法之一，而且在某些 情况下， “凑”还是一种有效的方法。 例 7 填出右边算式方框里的数。 分析 因为积的个位数字是 5，所以被乘数的个位数字只能是 5；又 积是千位数， 且最高位是数字 1， 所以被乘数百位上的数字只能是 2。 解［思路技巧］ 思路技巧］解算式谜这类题，要认真观察算式，抓住问题的突破口。［习题精选］ 习题精选］１．在方框里填上适当的数，使下列各式成立。２．在圆圈和方框里填上适当的数，使下列等式成立（圆圈和方框分别代表两个不同的数） 。３．算一算，下列图形各表示什么数。 ⑴ ⑵□＋△= 26△=（ ）△－5= 3□=（）⑶ ⑷○－□= 4○= 3○＋□= 14□=（ ）４．在方框里填上适当的数。５．下面三个算式的被除数相同，你能填出来吗？□÷7=□……1□÷6=□……5□÷5=□……4６．写算式（能写几道就写几道） 。□÷□= 2□÷□= 5□÷□= 7□÷□= 9７．在下面算式的圆圈里填上合适的运算符号，方框里填上合适的数。你能写出几种填法？ （每次填的运算符号不要完全相同） 8○□○□ = 21。 ８．数字还原。 下面的竖式，是用△、○、□、★、◎这样的图形表示 0 至 9 中的数字。想一想， 这五个图形各代表几呢？ ⑴⑵⑶◎＋◎=◎×◎◎= （ ）９．在下面竖式中的方格里填上适当的数。10．请将下面竖式里的字换成数字，使竖式成立。11．巧填竖式。12．题中每一个字母或字都代表一个数，请想一想它们各代表什么数字，算式才能成立？调整法趣谈［知识要点］ 知识要点］１．调整法的意义。 我们看下面的点子图： ●●●●●图 3-16●●它一共有二组，一组有 5 个点子，另一组有两个点子，图中一共有多少个点子？ 算式：5＋2 = 7（个） 。现在问：怎样改变点子图，来表示算式 2＋5 呢？我们可用交 换点子位置或移动点子位置来改变。如图所示：这种通过交换点子位置或移动点子位置的操作过程，我们较做调整法。 ２．调整法的用途，我们通过举例来说明。［范例解析］ 范例解析］例 1 右面正方形方格中的数字，怎样移动才能使横行和竖行三个数相加的和相等？ 分析 我们可从图中观察到：竖行三数的和都是 6，它们相等，打上“√”号，而横行三 数的和都不相等，因此，要调整位置的是横行的数字。我们只要按照下面图 3-19 箭头 所示进行交换调整，问题就得到解决。，可使问题一目了然，方便调整。 说明 凡是符合条件的横行或竖行打上“√” 、 、 、 例 2 图中有“＋”“－”“×”“÷”四种运算符号。移动这些符号，使每行每列的四种 符号不相同。 分析 通过观察，发现 3-20 中只有从左数第二列符号与题目要求不同，因此我们先考虑 列的情况，第一列多“＋”号，缺“÷”号，而第三列多“÷”号缺“＋” ，如下图交 换后，把符合条件的行与列打上“√” 。经过第一次交换后，图 3-21 中只有第一行和第二行以及第三列和第四列不符合 条件，而第三列多“×”号，缺“－”号，第四列多“－”号，缺“×”号，只要再 按如图 3-22 交换就完全符合条件。说明 较复杂的方阵游戏，多调整几次，是可解决问题的，调整中不想走弯路，这就要靠 智慧了。 例 3 把 1~7 这七个数填在图 3-23 中的小圆圈中，使每一 个圆周上四个数字的和都等于 17。 分析 此题有两种做法。 第一种做法：开始在小圆圈里任填 1~7 这七个数， 并且两个大圆周上的四个数的和都不等于 17。 如图 3-24 的填法。我们观察到，只要首先将 2 与 7 交换，就能使右边大圆周上四个数字的和等于 17。 这时，左边大圆周上四个数的和是：1＋3＋7＋4 = 15 比 17 少 2，要使右边圆周上的四 个数字的和不变，只要 4 与 6 交换即可。 第二种做法：首先在 1~7 这 7 个数字中选四个数字， 并且四个数的和等于 17。例如选（1＋3＋6＋7 = 17）1， 3，6，7 四数填在一个圆周上，其他三数任填在另一圆 周上的小圆圈里。如果另一圆周上四个数字之和不等于 17，只要按前面调整的方法，只经过一此调整就行了。 如图 3-25 所示。［思路技巧］ 思路技巧］调整不是拼凑，它是充分利用我们已有的知识技能，充分发挥我们的观察能力，有 计划、有目的的进行解题的重要手段。［习题精选］ 习题精选］１．要使图 3-26 中每横行、每竖行都有四个不同的数，你能做到吗？２．图 3-27 中每个五边形上五个数的和都是 60，请你调整一下数的位置，使每个五边形上 五个数的和都等于 61。 ３．把 1-6 六个数填在图 3-28 中的小圆圈中，使每一个大圆上的三个数相加的和为 12。 ４．把 10、20、30、40、50 填在图 3-29 中的圆圈内，使每条线上三个数的和都相等。５．在图 3-30 中填上适当的数，使每横行、每竖行的三个数的和等于 15。如果你所填的数 不是 1-9 这九个数，请将它调整调整成 1-9 这九个数。 ６．在 3-31 中小圆圈里填上 1、2、3、4、5、6 这六个数，使每条线上 3 个小圆圈里的素的 和都是 9、10、11、12。 ７．把 1-12 这十二个数分别填入图 3-32 中的小圆圈里，使每一行四个数相加 1 2 3 4 5 6 的和都是 30。 ８．移动图 3-33 中的数字，使第二横行的三位数是第一横行三位数的 2 倍，第 7 8 9 三横行的三位数是第一横行三位数的 3 倍。 图 3-33 ９．停车场中有 8 辆宣传车，如图 3-34。其中 5 两没有对号停车。你能不能在车辆不出场 的情况下，帮他们按号停好车？简单的变式运算［知识要点］ 知识要点］１．用火柴棒组成简单的数字及运算符号； ２．用“去”“添”“移”进行变式游戏。 、 、［范例解析］ 范例解析］例 1 请回答，一般可用火柴棒组成哪些数字和数学符号。 解 可组成四个数字：组成四个符号：、 、 例 2 你能说出，例 1 中火柴棒组成的数字和符号，通过“去”“添”“移”火柴棒有哪些 变化？ 解 去：变 为 ，变 为 ，变 为 为 为 ，变 或 为 ，变 或 为 ； 为 ，变 为 ，变 为 ， ，变 为 等；添：它与去反之，如可变 移：变 变 为 为 （反之可变，下同） ，变等。例 3 移动一根火柴，使下面等式成立：分析 个只能移动一根火柴，故只能在式子的左边考虑移法，由 的前面，就变为 。而 变为去一可得 。，将第二拿一根移到 解例 4 移动一根火柴，使下面等式成立：解 例 5 移动两根火柴使等式成立：解 例 6 用 15 根火柴组成四个不同的两位数，并且这四个两位数的和为 111。 分析 组成最大的两位数为 74，则有 111-74 = 37 而 37 又是 11＋12＋14 的和。 另外，四个 1，一个 2，二个 4，一个 7 正好由 15 根火柴组成。解 四个两位数为，，，；并且 11＋12＋14＋74 = 111。［思路技巧］ 思路技巧］移动火柴棒可以加在数字间，也可以加在数前或数后。［习题精选］ 习题精选］１．把 13 根火柴棒分别分成左右两堆，有几种分法？ ２．只要移动一根火柴，就能使下列式子正确： ⑴ ⑵ ⑶ ３．移动一根火柴，使下式成立：４．移动一根火柴，使下式成立： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ５．移动两根火柴使等式成立： ⑴ ⑵ ６．移动两根火柴使等式成立： ⑴⑵ ７．用 15 根火柴组成三个不同的三位数，且使它们百位上数字和等于十位上数字和，等于 个位上数字和。复杂的变式游戏［知识要点］ 知识要点］１．用火柴棒组成计算器显示数字; ２．用“去”“添”“移”进行组数游戏和变式游戏。 、 、［范例解析］ 范例解析］例 1 如“”是由 4 根火柴棒组成的计算器显示的数字，你能用不同的火柴棒组成 0~9 四根 五根 六根 七根各个数字吗？ 二根 解图 4-3例 2 用 20 根火柴组成以下各数： ⑴ 组成一个三位数，最大的是_______，最小的是_______； ⑵ 组成一个四位数，最大的是_______，最小的是_______。 分析 三位数中最大的是 999，但组成一个 9 只需要 6 根火柴，三个 9 共用 18 根火柴， 按题目要求，还有两根火柴没用，要加火柴，就要变数，8 是用七根火柴组成，故有 两个 9 要变成 8，要保持最大，只能是十位和个位上两个 9 变成 8， 因此，最大是 988， 同样的道理，可得出三位数中最小是 688，四位数中最大是 9991，最小是 1000。 解 ⑴ 最大是： 最小是： （20 根火柴） （20 根火柴）⑵ 由解⑴的分析，可得出⑵的结果如下： 最大是： 最小是： （20 根火柴） （20 根火柴）说明 此例是组数游戏，完成这样的游戏，不但要求学生掌握数字、数位、位数及比较 数的大小方法等数学基础知识和基本技能，而且还要求认真分析、合理计算、严密推 理、灵活摆布、否则是无法下手的。 在游戏时，可以改变所给火柴根数，改变组数要求 。 例 3 移动两根火柴使等式成立：分析 1985 与 61 是绝对不相等的，要使它们成等式，只有把一边去掉火柴二根，移到 适当的位置变成运算符号，成一个等式。我们观察发现，19-8-5 = 6，正好将右边的 “1” （二根火柴）去掉，移到左边的 8 前，5 前成“—”号。 解 例 4 移动一根、二根、三根、四根火柴，使等式成立，各有多少种移法？解 移一根：移二根：移三根：移四根：例 5 移动一根火柴，使下面的算式分别等于 11、14、17、20、23、25、31、33、34。分析这个问题，要掌握组数形式的变化规律。如 、 、 ； 添一根火柴可变成移一根火柴就变成 或；去一根 。掌火柴就可变成，移一根火柴就变成握这一规律，我们只要采用“去”“添”“移” 、 、 ，动一根火柴，就可得出题中要求的 结果来。 解分析 掌握组数变化规律是解决这类问题的关键。［思路技巧］ 思路技巧］要注意运用“去”“添”“移”进行数组、变式游戏。在游戏时，要灵活摆布，掌 、 、握数组的变化规律，并可以改变火柴根数及组数要求。［习题精选］ 习题精选］１．移动一根火柴，使下面的等式成立：２．移动一根、两根、三根、四根火柴，使下面各式成立： ⑴ ⑵ ３．移动两根火柴，使下面等式仍然成立，至少想出三种不同的等式：４．移动一根火柴，使下面的算式分别等于 31、34、37、40、43、45、51、54：５．用 20 根火柴组成以下各数： ⑴ 组成一个五位数，最大的是______，最小的是______； ⑵ 组成一个六位数，最大的是______，最小的是______。 ６．请移动图中两根火柴，使下面两个数相等。图形游戏［知识要点］ 知识要点］１．移动火柴棒，改变图形； ２．用火柴棒组图。［范例解析］ 范例解析］例 1 图 4-4 是由 9 根火柴摆成的三个正三角形，请移动其中一个三角形，使图 形中有 5 个正三角形。 分析 三根火柴可组成一个正三角形，将每边加一根火柴，就可组成每边由二 根火柴组成的正三角形，这时只要移动一个三角形就可组成一个大的正三角 形内含有四个小正三角形，共有五个正三角形。 解 移动一个正三角形内含有四个小正三角形，共有五个正三角形。 例 2 图 4-6 是由 12 根火柴组成的“品”状的三个正方形，现在请你移动其中一 个正方形的位置，使图形中出现七个正方形。 分析 由三变七，必有一个由一变四，这是可能的。解 移动一个成图 4-7 即可。 一般是给定一个已排好的图形， 要求移动其中某一部分， 说明 移动部分图形重组图形， 达到一个新的要求。这里面渗透了图形平移的观点。在图形平移时，有时会出现重合 的边，就要从重合的地方取出一根或几根火柴，又到别处添补。 ，请你 例 3 图 4-8 中是由 24 根火柴摆成的图，图内有 7 个正方形（三个大的、四个小的） 移动四根火柴，使图中只含有长方形，而不含任何其他图形（图形要封闭） 。解 如图 4-9 所示。 例 4 图 4-10 中是由十二根火柴摆成的正方形，它共含有五个正方形。请你只移动两根火 柴，使图形中分别含有六个正方形和七个正方形。解 如图 4-11 所示。 例 5 用 20 根火柴摆成一个长方形或正方形，摆出的这些图形，周长相等吗？ 解 摆成的长方形或正方形如图 4-12。 这些图形的周长都是相等的。例 6 用 12 根火柴摆成一个直角三角形。怎样摆法？如果用 24 根火柴怎样摆法？ 解 12 根的摆法如图 4-13 所示。 24 根的摆法如图 4-14 所示。。请你只移动两根火柴，将“苍 例 7 下图是用 4 根火柴摆成的“抓住一只苍蝇的苍蝇拍” 蝇拍”移到“苍蝇”旁边（ “苍蝇”不准动） 。 解［思路技巧］ 思路技巧］火柴棒游戏种类不少， 内容丰富。 是培养学生动脑、 动手的一项好的活动。 “去” 、 “添” 、 “移”是解决这类问题的关键。［习题精选］ 习题精选］１．用 12 根火柴组成 5 个正方形，如图 4-16。 ⑴ 请你拿掉 2 根火柴，使留下的图形正好是 2 个正方形； ⑵ 移动 3 根火柴，使它变成 3 个正方形且没有多余的火柴。２．图 4-17 是由 24 根火柴棒组成的 9 个小正方形，请你想一想，怎样取走 8 根火柴，正好 变成两个正方形。 ３．图 4-18 中六角形中有三朵花，用火柴将六角形分割成形状相同的三部分，每一部分中 有一朵花，最少要用几根火柴？ ４．请你用 8 根火柴摆出 3 个正方形。 ５．图 4-19 是用 5 根火柴摆成的，你能用 5 根火柴摆出不同的图样吗？ ６．图 4-20 是由 10 根火柴摆成的一座山形图案，请你只移动三根火柴，使“山顶”向下。 ７．用 12 根火柴摆出四个正方形。 ８．从图 4-21 中，拿走三根火柴，使它成为三个正方形。９．用 16 根火柴摆成五和大小相同的正方形。 10．一头牛正朝前走，如图 4-22 所示，请移动两根火柴，让它向后看。 11．向阳屋，太阳出来它朝东，太阳下山它朝西。请移动两根火柴，把它换个方向。如图 4-23。怎样数图形的个数［知识要点］ 知识要点］１．怎样数一条直线上线段的条数 ？ 一条线上有 n 条独立线段，我们将它们编号为 1，2，3，…，n，则这条直线 上所有线段的条数是： 1＋2＋3＋…＋n ２．用数线段条数的方法，数角、三角形、长方形和立方体的个数。［范例解析］ 范例解析］例 1 数出图 5-1 中各条线上线段的总条数。 ⑴ └──┴──┴──┘ ⑵ └─┴─┴─┴─┴─┴─┘ ⑶ └─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┘图 5-1分析 ⑴ 图中线上有三条独立线段，我们将这三条独立线段编上号，如图 5-2：1 2 图 5-2 3└──┴──┴──┘ 现在，我们这样来数，其中 单独的线段有：⑴、⑵、⑶这三条； 由两条独立线段合并成一条线段的有： （1，2）（2，3）这两条； 、 由三条独立线段合并成一条线段的有： （1，2，3）这一条。 由 3＋2＋1 =6（条） ，我们数得图中有 6 条线段，他趣的是，这个得数 6 正是我 们所编号码 1、2、3 这三个连续数的和。这是不是巧合呢？我们再来看⑵和⑶ 的结果。 ⑵ 我们仿照⑴的作法将⑵图中的独立线段编上号码，如图 5-3：1 2 3 图 5-3 4 5 6└─┴─┴─┴─┴─┴─┘ 单独的线段有：⑴、⑵、⑶、⑷、⑸、⑹一共 6 条； 两条合并成一条有： （1，2）（2，3）（3，4）（4，5）（5，6）一共 5 条； 、 、 、 、 三条并成一条的有： （1，2，3）（2，3，4）（3，4，5）（4，5，6）一共有 4 条； 、 、 、 四条并成一条的有： （1，2，3，4）（2，3，4，5）（3，4，5，6）一共有 3 条； 、 、 五条并成一条的有： （1，2，3，4，5）（2，3，4，5，6）一共有 2 条； 、 六条并成一条的有： （1，2，3，4，5、6）只 1 条。 总条数也正好是编号的六和连续数的和，即 1＋2＋3＋4＋5＋6 21（条） 。 ⑶ 将图 5-4 中的单独线段进行编号如下：1 2 3 4 5 图 5-4 6 7 8 9└─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┘ 单独线段：⑴、⑵、⑶、⑷、⑸、⑹、⑺、⑻、⑼一共 9 条； 两合一线段： （1，2）（2，3）（3，4）（4，5）（5，6）（6，7）（7，8）（8，9） 、 、 、 、 、 、 、 一共 8 条； 三合一线段： （1，2，3）（2，3，4）（3，4，5）（4，5，6）（5，6，7）（6，7，8） 、 、 、 、 、 、 （7，8，9）一共有 7 条； 四合一线段： （1，2，3，4）（2，3，4，5）（3，4，5，6）（4，5，6，7）（5，6，7， 、 、 、 、 8）（6，7，8，9）一共有 6 条； 、 五合一线段： （1，2，3，4，5）（2，3，4，5，6）（3，4，5，6，7）（4，5，6，7， 、 、 、 8）（5，6，7，8，9）一共有 5 条； 、 （1，2，3，4，5，6）（2，3，4，5，6，7）（3，4，5，6，7，8）（4， 、 、 、 六合一线段： 5，6，7，8，9）一共有 4 条；七合一线段： （1，2，3，4，5，6，7）（2，3，4，5，6，7，8）（3，4，5，6，7，8， 、 、 9）一共有 3 条； 八合一线段： （1，2，3，4，5，6，7，8）（2，3，4，5，6，7，8，9）一共有 2 条； 、 九合一线段： （1，2，3，4，5、6，7，8，9）只 1 条。 所有线段的总和也正好是： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9 = 45（条） 说明 从上例的分析解答过程，我们可得数线段的方法，通过这种方法，我们得到一个重 要的规律，这就是：单条线上线段的总条数，都等于从 1 开始的几个连续数的和（有几 条独立线段就有几个连续数） 。这样，我们就将问题由数数转化成计算，它的优点是： 不重复，不漏掉。 运用这种方法，我们还可数其他的图形的个数。 例 2 数一数，图 5-5 中一共有多少个三角形？ 解 将图中单独三角形 1~5 编号，一共有三角形是： 1＋2＋3＋4＋5 = 15（个） 。 例 3 图 5-6 中有多少个角，你会数吗？ 解 将单独的角按 1~7 编号，可计算出共有角是： 1＋2＋3＋4＋5 ＋6＋7= 28（个） 。 例 4 数出图 5-7 中长方形的个数。解 将图 5-7 中独立的长方形按 1~12 编号，可计算出长方形的个数是： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋＋7＋8＋9＋10＋11＋12 = 78（个） 。 例 5 数出图 5-8 中长方形的个数。 （每一类用阴影表示） 解 我们将原图分类，一类一类的数，最后求总数。总共是：6×3 = 18（个） 。 说明 我们也可以这样数，长方形的长和宽可看成是两条线段，长有 3 太哦独立线段，宽 有 2 条独立线段，总数是： （1＋2＋3）×（1＋2） = 18（个） 。 例 6 数出图 5-10 中长方体的个数。 分析 此题虽是数长方体的个数，但它可转化成数长方形的个数来解决，因为长方体的表 面就是一个长方形，这种转化的可能的。仿例 5，同样可将问题分成三类来数。 第一类有：4＋3＋2＋1 = 10（个） ， 第二类有：4＋3＋2＋1 = 10（个） ， 第三类有：4＋3＋2＋1 = 10（个） ， 总 共 有：10×3 = 30（个） 。 例 7 请你数出图 5-11 中三角形的个数。解 很明显，我们可将问题分成如图 5-12 的三类来研究： 其中每一类都是：1＋2＋3 = 6（个） 。 总共是：6×3 = 18（个） 。［思路技巧］ 思路技巧］数线段的重要规律是“单条线上线段的总数，都等于从 1 开始的几个连续数的和（有几 条独立线段就有几个林许数） 。这个规律，可以扩展到数图形的数。［习题精选］ 习题精选］１．数出图 5-13 中各线上线段的条数： ⑴ └─┴─┴─┴─┴─┘ ⑵ └─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┘图 5-13２．数一数图 5-14 交叉线上的线段共有几条？ ３．在图 5-15 的扇子中的角共有多少个？４．请你数一数图 5-16 中有多少个角？ ５．如图 5-17，地上有六根木桩，每两根之间牵一线，一共要牵多少根？ ６．数一数图 5-18 中三角形的个数。 ７．数出图 5-19 中长方形的个数。８．数一数，图 5-20 中有多少个长方体？９．数一数，图 5-21 中有多少个正方形？多少个长方形？多少个三角形？图形的识别与划分［知识要点］ 知识要点］１．将正方形划分成小正方形块或直角三角形块； ２．将规则图形划分成正方形或长方形与三角形块； ３．识别图形的形状和大小。［范例解析］ 范例解析］例 1 在图 5-22 中哪个图形占的方格数最多？分析 图中共有五个图形，可分成两类： 第一类是（1）和（5）图，它们占全是小方格，且都是 6 个小方格； 第二类是图中（2）（3）（4） 、 、 ，我们可将每个图形分解开来看。如（2）图，我们可 分解成下面三块（如图 5-23） ：左右两块一样，都是四小方格，阴影占一半，即 2 小方格，中间一块是三小方格，阴影占 2 小方格，故阴影一共占 6 小方格，即原 图（2）占 6 小方格。用同样的方法，可数出（3）和（4）做占小方格数。 解 图 5-23 中五个图形所占方格数都是一样多。例 2 图 5-24 中的图形分别是用多少个象左边那样的三角形组成的？分析 回答这个问题，主要的方法是将图形划分，看它能划分成多少个阴影三角形。 解 如图 5-25 所示。例 3 图 5-26 中每个图形都由 5 个小正方形组成，把这五个图形拼成一个大正方形，并标出每个图形的位置。 分析 已知的五个图形，每个由五个小正方形组成，它们一共有：5×5 =25 个小正方形。 我们要是把每个图形都剪成 5 个小正方形，这 25 个小正方形可拼成如图 5-27 所 示的一个大正方形，并且它的每边都占五个小正方形。我们了解这一点，就可拼出一个 大正方形来。 解 图 5-28 是它的拼法。例 4 在图 5-29 这三个相同的正方形中，阴影部分的面积是不是相等的？分析 要看出这三个图形中的阴影部分的面积是否相等，这是比较困难的。由于这三个图 形都是在相同的正方形中，故可将其分别划分成一样多的小正方形，就可看出它们的结 果。 解 首先进行如图 5-30 的划分，这三个图形都可分成 16 个小正方形，我们看出，各图的 阴影部分都是一个大正方形面积减去四个小正方形面积，所以它们的面积相等。［思路技巧］ 思路技巧］ 解决这类问题，关键是将正方形正确的划分成小正方形块或直角三角形；将 规则图形划分成正方形块或长方形块与三角形块。 ［习题精选］ 习题精选］１．在图 5-31 中哪些是长方形？２．比较图 5-32 中每个图形的周长，哪一个图形的周长小些？３．学校运动场上有 5 个排球，如图 5-33 所示，请你画一个正方形，把这 5 个排球分开。 ４．将图 5-34 的五个图形拼成一个大正方形。５．图 5-35 的三个相同的正方形中，阴影部分的面积是不是相等的？６．在下面的点子方格图中，画出三个占 6 个小方格的三角形（形状要不同） 。７．图 5-36 中的图形分别是用多少个象左边那样的三角形组成的？怎样剪拼图形［知识要点］ 识要点］ 剪拼图形，可培养读者动脑、动手的能力，以及识别图形和思维想象能力， 这是一种有趣的游戏。这里只介绍较简单的一刀剪图和剪拼图形的一些方法 与技巧。［范例解析］ 范例解析］例 1 如图 5-37，将直角三角形剪一刀，拼成一个长方形。然后可将这个长方 分析 我们用一个同样大小的三角形与原来的三角形拼成一个长方形。 形按图 5-38 中虚线进行对折（有两种对折方法） 。 下面分两种情况来研究： 第一种情况，如图 5-39 的对折法，图中①和②一样大，按虚线剪开，将①放在②的 位置，因为②和③是一个长方形，所以①和③拼成一个长方形。 第二种情况，如图 5-40，由于①和②一样大，所以①和③同样拼成一个长方形。例 2 将例 1 中直角三角形剪一刀，拼成一样大的长方形。 解法 1 我们还是将三角形按例 1 的方法拼成一个长方形来研究。 将长方形按同一方向连续对折两次，如图 5-41 所示，我们可以看出，图中①和⑥的 大小一样，②和⑤一样大。我们只要将①放在⑥的位置，②放在⑤的位置，就可拼成两 个长方形，并且它们是一样大的。下面的问题是怎样将这个直角三角形折纸后剪一刀就 将它分成①、②、③、④四块呢？ 要想一刀剪出四块，关键的问题是要图 5-41 中三条虚线重叠在一条直线上，这种重 叠，只有靠折纸来完成。下面 5-42 就是折纸重叠过程的示意图。这时，从示意图可看出，三条虚线 a、b、c 经过折叠后重叠在一条直线上，我们沿 b（a） （c）剪一刀，可得①、②、③、④四块，拼成两个大小一样的长方形。 解法 2 如图 5-43 所示，我们将长方形十字交叉对折，显然，①和③能拼成一个与②一 样大小的长方形。现在，我们来看如何折纸，图 5-44 是折叠进行过程的示意图：沿（a）b 这条重叠虚线剪一刀，就得到①、②、③三块，将①和③拼成与②一样 大小的两个长方形。 说明 一个问题中的剪拼方法可能有多种，如例 2 就是两种剪法，一 种剪成四块，另一种剪成三块，我们在解决问题时，应寻找“最少 块数”是最理想的做法。 例 3 将一张正方形的纸剪一刀，得一个如图 5-45 所示的“十”字形。解 一个“十”字形有十二条边，其中有八条边在正方形内，一刀剪出一个“十”字形， 关键是考虑怎样折纸，才能使这八边重叠在一条直线上，这样剪一刀就成功了。我们按 下面图 5-46 所示折叠：这时，我们沿 b 剪一刀后展开即是一个“是”字形。 例 4 将图 5-47 中“51”两字剪一刀，拼成一个正方形。 解 先把“51”两字画上小方格，若要拼成一个正方形，它一定是一个 4×4 的正方形（如 图 5-48） 。我们再考虑怎样剪。将“5”字沿 a 剪开，可拼成图 5-49，再将“1”字沿 b 剪一刀， 拼在图 5-49 的空位置上，就拼成一个正方形。因此，我们将“51”两字中的虚线 a 和 b 重叠剪一刀，就得到图 5-50 中的 1、2、3、4 四块，这四块可拼成正方形（图 5-51） 。例 5 把图 5-52 中每个图剪成三块后各拼成个正方形。解 这个问题没强调一刀剪，只要能正确划分所剪块数（要求只能是三块）能拼成正方形 即可，两图（5-53）按虚线所示划分剪开即可。［思路技巧］ 思路技巧］剪拼图形的问题，主要是抓住两点： 首先要确定图形的分块， 怎样分块， 才能拼成要求的图形形状， 这就要掌握好正确的划分。 其次，如果是一刀剪问题，还要进一步考虑怎样重叠，才能剪出所分块数。［习题精选］ 习题精选］１．把图 5-54 中的图形剪成两块后拼成一个正方形。２．把图 5-55 剪一刀，分成四个相同的三角形。 ３．将图 5-56 中正方形剪一刀，拼成两个相同的正方形。 ４．将图 5-57 中的“七一”两字剪一刀，拼成一个正方形。５．一张正方形的纸，请你剪一刀，使正方形中央出现一个空心正方形，它的边长是原正方 形边长的一半。 ６．将一张正方形的纸剪一刀，将它拼成一大二小三个正方形，且两个小正方形的面积和等 于大的一个正方形的面积。 ７．把图 5-58 中每个图形剪成三块后各拼成一个正方形。解应用题的综合法与分析法［知识要点］ 知识要点］１．一步计算的加（减）应用题与两不计算的加减应用题之间的关系。 ⑴ 将两道有联系的一步计算的应用题合成一道两步计算的复合应用题；⑵ 将一道 两步计算的加减应用题分解成两道一步计算的应用题；⑶ 将一道一步计算的应用 题， 改变其中的某个条件（已知条件或问题） ，使其变成一道两步计算的应用题。 ２．用“分析法”和“综合法”解两步计算的加减应用题。［范例解析］ 范例解析］某些有联系的两道简单应用题，可以合并成一道两步计算的应用题。 例 1 ⑴ 学校买来红纸 382 张，绿纸 295 张，一共买回多少张纸？ ⑵ 学校买回红纸和绿纸 677 张，做花用去 488 张，还剩多少张？ 分析 第一题要求“一共买回多少张纸？”就是求 382 张红纸和 295 张绿纸的和。 算式是：382＋295 = 677（张） 第二题要求“还剩多少张？”就得从红、绿纸的总数中减去“用去了 488 张” 。 算式是：677－488 = 189（张） 可以看出，第一题中所求的问题，正好是第二题中的一个条件，于是一变，把 这两个有的简单应用题变成一个两步计算的应用题 ⑶ 学校买回红纸 382 张，绿纸 295 张，做花用去 488 张，还剩多少张？ 分析 要求“还剩多少张？”必须先求出“一共买回多少张纸？”这个中间隐含的问题， 而这个中间隐含的问题可以根据“买来红纸 382 张”和“绿纸 295 张”这两个条件来求。 求出了一共买来多少张纸，又已知“做花用去了 488 张”就可以求“还剩多少张纸？” 算式是：382＋295－488 = 677－488 = 189（张） 一道两步计算的应用题，也可以分解成两个有联系的简单应用题。 工程队上午修了 370 米， 下午修了 392 米， 还剩多少米没有修？ 例 2 一条公路长 1280 米， ，可以求修了多少米，又已知“一 分析 根据“上午修了 370 米”和“下午修了 392 米” 条公路长 1280 米” ，就可以求“还剩多少米没有修？” 算式是：1280－（370＋392） =
= 518（张） 上题一变，把这个两步计算的应用题分解成了两个有联系的简单应用题。 ⑴ 一个工程队上午修路 370，下午修路 392 米，一共修路多少米？ ⑵ 一条公路长 1280 米，工程队修了 762 米，还剩多少米没修？ 第一题中要求的问题，正是第二题中的一个条件。 一道简单的应用题只要变换一个条件，就可以使它变成一道两步计算的复合应用题。 例 3 饲养组有白兔 270 只，灰兔 185 只，一共有多少只兔子？ 分析 这是一道简单的应用题，只需要变换“白兔 270 只”和“灰兔 185 只”这两个条件 中的任何一个条件就可以使它变成一道两步计算应用题。 算式是：270＋（270－65） ⑵ 饲养组的白兔比灰兔多 65 只，灰兔有 185 只，一共有多少只兔？ 算式是：185＋（185＋65） ⑶ 饲养组有白兔 270 只，比灰兔多 65 只，一共有多少只兔子？ 算式是：270＋（270－65） ⑷ 饲养组有灰兔 185 只，比白兔少 65 只，一共有多少只兔？ 算式是：185＋（185＋65） 以上四题都是已知一种兔的只数，另一种兔的只数没有直接告诉我们，得先求出另一 种兔的只数，才能求一共有兔多少只？ 有些简单应用题，可以变换它的问题使其变成两步计算的应用题。 例 4 玩具店有卡车 28 辆，汽车比卡车多 109 辆，汽车有多少辆？分析 汽车除了有与卡车同样多的 28 辆外，还多 109 辆。 算式是：28＋109 = 137（辆） 把“汽车有多少辆？”这个问题变成“汽车卡车一共有多少辆？”这样使上面的一道简 单应用题变成下面的两步计算的应用题。 玩具店有卡车 28 辆，汽车比卡车多 109 辆，卡车和汽车一共有多少辆？ 画线段图 6-1。算式是：28＋（28＋109） = 28＋137 = 165（辆） 例 5 牧马场有 125 匹红马，白马比红马少 38 匹，黑马比白马多 45 匹，黑马有多少匹？ 分析 首先根据已知条件：有 125 匹红马，白马比红马少 38 匹，可求出白马的匹数。再 根据白马的匹数和黑马比白马多 45 匹，即可求出黑马的匹数。 解 125－38＋45 = 87＋45 = 132（匹） 答：黑马有 132 匹。 说明 我们从应用题的已知条件出发，运用已学的基本数量关系，推出新的结果。这种思 考问题的方法，我们称之为“综合法” 。 例 6 学校买了 180 瓶红墨水，买的蓝墨水比红墨水少 12 瓶，学校共买多少瓶墨水？ 分析 要求出共买多少瓶墨水，必须知道两种墨水各买了多少瓶。我们已知买红墨水的瓶 数， ，买蓝墨水的瓶数没直接给出，但根据条件可求出蓝墨水的瓶数。 解 180＋（180－12） = 180＋168 = 348（瓶） 答：学校共买了 348 瓶墨水。 说明 我们从应用题的问题出发，运用已学的基本数量关系，找出解决这个问题所需要的 两个条件，这种思考问题的方法，我们称之为“分析法” 。［思路技巧］ 思路技巧］解应用题常用综合法和分析法。［习题精选］ 习题精选］１．提出问题，并在（ ）里列式计算。 ⑴ ______________? 红气球 72 个 ⑵ ______________? 黄气球 9 个 ⑶ ______________? ⑷ ______________? ２．选择条件：( ( ( () ) ) )春天来了，学校里需要种 56 棵树，______________，每个小队种几棵？ ⑴ 平均分给 7 个小组种 ⑵ 平均分给 7 个中队种 ⑶ 平均分给 7 个少先队员种 ⑷ 平均分给 7 个小队种 ３．把下面两步计算应用题变成两个有联系的简单应用题： 商店里有 35 筐苹果，62 筐梨，卖出 74 筐水果，还剩多少筐水果？ ４．把下面两个有联系的简单应用题变成一道两步计算的应用题： ⑴ 生产队有小鸡 316 只，小鸭比小鸡少 138 只，小鸭有多少只？ ⑵ 生产队有小鸡 316 只，小鸭 178 只，小鸡和小鸭一共有多少只？ ５．看线段图编题。６．看图编应用题并回答。７． 爸爸带 10 元钱买一双鞋子、 一双袜子， 还多一元钱。 妈妈带 10 元钱买同样的一双鞋子， 两双袜子还差一元钱，有双鞋子多少元？ ８．一杯果汁，小明先喝了半杯，往杯里加满了凉开水，再喝去半杯，又加满了凉开水，最 后小明将它全部喝完，他一共喝了多少杯果汁？多少杯水？ ９．一条凳子坐 9 人还多 4 个座位。现在 8 条凳子，全坐满共坐多少人？ 10．根据题中的数量关系改编应用题： 小朋友大扫除，4 个人扫地，5 个人拖地板，一共有多少人大扫除？ 11．动物园里有 6 只大猴，小猴比大猴多 8 只（或大猴比小猴少 8 只） ，小猴有几只？ 12．小英看一本 60 页的故事书，第一天看了 15 页，第二天看了 10 页，这时还剩几页没有 看？ 13．教室里有 21 个女同学和 15 个男同学在排练节目，又来了 7 个男同学和 7 个女同学。教 室里的男同学比女同学少几人？ 14．爷爷比爸爸大 36 岁，比妈妈大 38 岁。爸爸妈妈年龄的和刚好等于爷爷的年龄。爷爷有 多少岁？ 15．刘明比李老师小 37 岁，比王老师小 28 岁，刘明的年龄刚好等于李老师与王老师年龄的 差，刘明有多少岁？倍数问题［知识要点］ 知识要点］１．已知甲数是乙数的几倍和乙数，求甲数。甲数 = 乙数×倍数 ２．已知甲数是乙数的几倍和甲数，求乙数。 乙数 = 甲数÷倍数［范例解析］ 范例解析］例 1 给下面给题补充问题： ⑴ 有黄花 37 朵，红花是黄花的 2 倍。___________? ⑵ 新华书店下午卖出小人书 340 本,是上午卖出的 4 倍。___________? 分析 我们用线段图来观察。从线段图 6-4 观察，有两种填法： ① 红花有多少朵？ ② 黄花和红花一共有多少朵？由图 6-5 知，有两种填法： ① 上午卖出小人书多少本？ ② 上午和下午一共卖出小人书多少本？ 说明 用线段图表示倍数的问题，非常直观易懂，它是解决问题的一种非常有效的方法， 我们称之为“图解法” 。 例 2 绿化小组种松树 200 棵，种的杨树是松树的 3 倍。种了杨树多少棵？松树和杨树一共 种了多少棵？ 分析 把少数当作一份画线段图（图 6-6）可看出求杨树的棵树要用乘法，有了两树的棵树即可求和。 解 杨树的棵树是 200×3 = 600（棵） 松树和杨树一共是 600＋200 = 800（棵） 例 3 学校图书室原来有图书 1350 本，现在的图书是原来的 3 倍，现在比原来多多少本？ 分析 首先求出现有图书的本数，再减去原来的本数，就是多的本数。 解 50 =
= 2700（本） 答：现在比原来多 2700 本。 例 4 六角亭小学有羽毛球 112 个，羽毛球的个数是小足球个数的 4 倍，羽毛球和小足球共有多少个？ 分析 先求出小足球的个数，两球相加即可。 解 112÷4＋112 = 28＋112 = 140（个） 答：羽毛球和小足球共有 140 个。 例 5 学校食堂买回鲜鱼 10 千克，买回的羊肉是鲜鱼的 2 倍，买回的胡萝卜是羊肉的 4 倍， 食堂买回胡萝卜多少千克？ 分析 这是一个连乘的问题。 解 10×2×4 = 80（千克） 答：买回胡萝卜 80 千克。 杨树比柳数少 5 棵， 松树的棵树是杨树的 2 倍， 柳数有多少棵？ 例 6 校园里有杨树 20 棵， 松树有多少棵？三种数一共有多少棵？分析 将杨树作为一份画出线段图，如图 6-7。 由线段图 6-7 可求出柳树、松树的棵数以及它们的和。 解 柳树的棵树：20＋5 = 25（棵） 松树的棵树：20×2 = 40（棵） 三种树的总棵数：20＋25＋40 = 85（棵） 答：有柳树 25 棵，松树 40 棵，三种树一共 85 棵。［思路技巧］ 思路技巧］倍数问题要弄清谁是谁的倍数。可利用图解法帮助理解题意。［习题精选］ 习题精选］1．看图 6-8 回答问题。⑴ 白珠有几个？ ⑵ 白珠的个数是黑珠的几倍？ ⑶ 白珠有几个（用算式列出）？ ２．光明农机厂原来每天生产零件 352 个，经过技术革新，现在的产量是原来的 3 倍，现在 每天生产零件多少个？原来比现在少多少个？ ３．一辆汽车可装运面粉 286 袋，一节火车车厢装运的面粉等于 8 辆汽车装运面粉的总和， 一节火车车厢可以装运面粉多少袋？ ４．一只大象的体重是一只河马体重的 4 倍，一只大象的体重是 4900 千克，一只河马的体 重是多少千克？ ５．红旗机器厂有女工 405 人，男工人数是女工的 3 倍。男工有多少人？男工、女工一共有多少人？ ６．大新香皂厂用汽车运送香皂，每辆汽车可以运送 150 箱，5 辆同样的汽车运送多少箱？ 如果用这些汽车运送 3 次，一共可以运送多少箱？ ７．养鸡场养公鸡 308 只，养的母鸡是公鸡的 5 倍，养母鸡多少只？养的小鸡又是母鸡的 4 倍，养小鸡多少只？ ８．⑴ 3 的 2 倍乘 3 的 2 倍，得数是 3 的几倍？ ⑵ 甲数是乙数的 2 倍，乙数是丙数的 3 倍，甲数是丙数的几倍？ ９．小兰今年 8 岁，阿姨的年龄是小兰的 3 倍。阿姨今年多少岁？小兰的年龄是小江的 2 倍，小江今年多少岁？ 10．⑴ 六角亭小学有足球 18 个，羽毛球的个数是足球的 5 倍，羽毛球有多少个？ ⑵ 六角亭小学有足球 18 个，平均份给高年级 6 个班，每班可以份到多少个足球？ 11．果园里有 1250 棵桃树，梨树棵树是桃树的 3 倍，梨树有多少棵？桃树和梨树一共有多 少棵？ 12．食堂买来西红柿 17 千克，萝卜 24 千克，黄瓜是萝卜的 3 倍，茄子是西红柿的 2 倍，黄 瓜、茄子各买了多少千克？ 13．修路工人第一天修路 125 米，第二天修的路是第一天的 2 倍，第三天比第二天多修 20 米，第三天修了多少米路？ 14．移动右表中的数字，使第二排的三位数是第一排三位数的 2 倍，第三排 的三位数是第一排三位数的 3 倍，有几种移法？有关平均分的问题［知识要点］ 知识要点］１． “平均分”就是每份分得同样多； ２． “平均分”的条件，即分东西时一定要知道分多少东西和分成几份； ３． “平均分”的方法，用除法计算。［范例解析］ 范例解析］例 1 看图 6-9 写出两个除法算式：分析 这是一个平均分的问题，根据题意和我们学过的除法有两种分法。 第一种方法是把 24 个乒乓球平均分成 4 份，求每份的个数； 第二种方法是把 24 个乒乓球按 6 个为一堆， ，求它的堆数。 24÷4 = 6（个） 解 24÷6 = 4（堆） 说明 这两种方法的相同点是，都用除法计算，且算式中的被除数都是 24；不同点是， 第一种分法是知道要分的数和平均的份数，求每份是多少；而第二种分法是知道要分的份数和每份是多少，去平均分的份数。 例 2 学校买来 15 个皮球，平均分给 3 个班，每班分几个？ 分析 此题要分的数是 15，要分的份数是 3 份，可用除法计算。 解 15÷3 = 5（个） 答：每班可分 5 个皮球。 例 3 小东买了 10 颗糖，小方买了 8 颗糖，把这些糖平均分给小东、小方和小红，后来小 红按价拿出 1 角 2 分钱，这些钱怎样分给小东和小方？ 分析 要求这些钱怎样分给小方、小东，就必须先求出每人平均分得几颗糖和平均每颗糖 的价钱。 解 ⑴ 平均每人分糖多少颗？ （10＋8）÷3 = 6（颗） ⑵ 每颗糖价是多少？ 12÷6 = 2（分） ⑶ 小东付给小东的钱是几分？ 2×（8－6） = 4（分） 例 4 爸爸买了 500 克梨，500 克苹果，500 克梨是 4 个梨，500 克苹果比 500 克梨多 1 个， 平均每个苹果重几克？1500 克苹果和 1500 克梨共多少个水果？ 分析 要求平均每个苹果重几克，必须先求出苹果的个数。 解 苹果有多少个？ 4＋1 = 5（个） 每个苹果重多少克？ 500÷5 = 100（克） 1500 克苹果和 1500 克梨共多少个？ 5×3＋4×3 = 15＋12 = 27（个） 例 5 四年级同学在校园里种了 9 棵小松树，平均分成 3 行，每行 4 棵，他们是怎样种的？ 分析 假设横、竖排列，每行 3 棵，4 行共要 12 棵树，而现在只有 9 棵，缺 3 棵，因此 不能横竖排列。要复合题意，必定有 3 棵树在行中要重复两次，也就是两行必有一个公 共点，那只有排列成三角形状。三角形的三个顶点就是三个公共点。 解 本题有许多种种法。如下图 6-10、图 6-11 和图 6-12 分别各是一种解法。说明 此题种法的关键是掌握 9 棵树中必有 3 棵树在所在的行中各要重复 2 次才行。［思路技巧］ 思路技巧］正确理解平均分的意义，解平均分的问题，用除法计算。［习题精选］ 习题精选］１．填空：⑴ 母鸡捉到 20 条虫，分给 5 只小鸡吃，平均每只小鸡吃（ ）条；如果分给 4 只小 鸡吃，平均每只小鸡吃（ ）条？ ⑵“30÷5 = 6”表示把__________。平均分成__________份，每份是__________。 “30÷6 = 5”表示把__________。平均分成__________份，每份是__________。 ２．把 12 根小棒平均分成几堆，有几种不同的分法？ ３．有一堆饼干，把它平均分成 6 份，正好分完。这堆饼干最少是多少块？ ４． 买两个布娃娃的钱可以买 3 盒积木， 4 只小熊猫。 或 每个布娃娃 6 元， 每盒积木多少元？ 每个小熊猫多少元？ ５． 一堆积木， 10 个多， 20 个少， 比 比 少的份数和每份的个数同样多。 这堆积木有多少个？ ６．把 10 个小木块平均分成几堆，有几种不同的分法？ ７．看图 6-14 编道乘法应用题，再编两道除法应用题。８．有一堆苹果，把它平均分给 4 个同学，正好分完，这堆苹果最少有几个？ ９．有 4 个木马，可以平均分给几个小朋友？每个小朋友分几个？你能想出几种分法？ 10．三年级同学在校园里种了 7 棵小松树，平均分成 6 行，每行 3 棵，他们是怎样种的？ 11．写出 4 个商是 4 的除法算式： （ ）÷（ ）= 4； （ ）÷（ ）= 4； （ ）÷（ ）= 4； （ ）÷（ ）= 4。 12．用下面每组里的 3 个数，分别写出 2 个乘法算式和 2 个除法算式。 ⑴ 3、12、4； ⑵ 20、4、5。 13．从 20 里每次减去 4，要减几次才能减完？ 14．⑴ 做 4 个图 6-15 那样的图形，要几个同样的三角形的纸片？ ⑵ 把上题改编成一道除法应用题。 15．⑴ 20 个同学参加劳动，平均分成 5 个小组，每组有几个同学？ ⑵ 20 个同学参加劳动，5 人分成一个小组，一共可以分成几个小组？ 16．⑴ 二年级举行数学比赛，3 个班选 18 个同学参加，平均每个班选几个同学？ ⑵ 二年级选 18 个同学参加数学比赛，计划从每个班里选出 6 个同学，二年级一共有几 个班？ 17．做 4 个如图 6-16 那样的图形，要几个三角形纸片？有 20 个一样的三角形纸片，可以 拼成 5 个右图那样的图形，每个图形要几个三角形纸片？ 18．有 30 克糖，每盒装 4 克，剩下的装纸袋里，纸袋里装几克糖？ 19．回答下列问题： ⑴ 什么情况下商等于被除数？ ⑵ 什么情况下除数和余数的和等于被除数？ ⑶ 什么情况下商和余数的和等于被除数？ 20．南村小学有 48 人吃中饭，8 个人用一只汤碗，2 个人用一只菜 碗，每个人用一只饭碗，问炊事员一共要洗几只碗？ 21． 佳丽咖啡店有 34 个桔子， 先每 7 个装一大盘， 剩下的每 2 个装一小盘。 问要几个大盘？ 几个小盘？ 22．56 个同学平均分坐 8 行，每行还有 2 个空位。再坐多少个同学，才能坐满每一个座位？ 23．看图 6-17 编一道加法应用题，一道减法应用题和一道除法应用题。24．⑴ 同学们种了 9 棵松树，每行 3 棵，共种了 4 行，你知道他们是怎样种的？ ⑵ 同学们种了 12 棵向日葵，共种了 4 行，每行 4 棵，他们是怎样种的？事物推理问题［知识要点］ 知识要点］本节介绍智趣问题， 解答时着重逻辑推理， 先否定错误的可能性， 然后得到正确的结论。［范例解析］ 范例解析］例 1 晶晶、红红、惠惠三个女同学穿着不同颜色的连衣裙，去参加“六一”儿童节活动。 一个穿红色连衣裙，一个穿白色连衣裙，一个穿黄色连衣裙，惠惠穿的不是黄色连衣裙， 晶晶穿的既不是黄色连衣裙，也不是红色连衣裙。请你猜一猜，三个女孩各穿的什么颜色 的连衣裙？ 分析 根据惠惠穿的不是黄色连衣裙，晶晶穿的也不是黄色连衣裙，这两个条件，推出只 有红红转着黄色连衣裙。又根据晶晶穿的也不是红色连衣裙，推出惠惠穿的是红色连衣 裙，晶晶穿的是白色连衣裙。 例 2 有甲、乙两个铁盒，甲盒可以装 1250 克米，乙盒可以装 750 克米，想一想，你能用 它们量出 1750 克米来吗？ 分析 先用甲盒装满米，然后往乙盒倒，当乙盒装满米时，甲盒内正好剩下 500 克米。将 这 500 克米倒出，再用空甲盒装满米，就两出了 1750 克米来。 例 3 三个金鱼缸里共有 27 条金鱼。如果从第一个缸里拿 3 条金鱼放到第二个缸里，从第 二个缸里拿 1 条金鱼放到第三个缸里，三个缸里的金鱼就同样多。三个缸里原来各有多少 条金鱼？ 分析 后来 3 个缸里的鲸鱼一样多，说明每个缸里有 9 条金鱼，从第一个缸里拿 3 条，说 明它原来有 12 条；第二个缸里总共得到了 2 条，说明它原来有 7 条，第三个缸里得到 了 1 条，说明它原来有 8 条金鱼。 例 4 有 2 个油壶，一个刚好装 1500 克油，另一个刚好装 2500 克油。想一想，用这 2 个油 壶，怎样才能从桶里倒出 2000 克油来？ 分析 先把大壶（装 2500 克的）装满，然后倒入小壶（装 1500 克的）中，这时大壶里还 剩 1000 克油；再把小壶里的 1500 克油全倒入桶中，把大壶里剩下的 1000 克油倒入小 壶里；接着，用桶里的油把大壶装满，再把大壶里的油往小壶里倒，直到恰好把小壶装 满为止。这样，大壶里剩下的油正好是 2000 克。［思路技巧］ 思路技巧］解答这类问题，要认真分析题中所给的条件，由逻辑推理得到正确的结论。［习题精选］ 习题精选］１．二（一）班中队举办了一个花卉展览，共收集了七盆花。第一小队送来了两盆，一共 40 朵花，第二小队送来了两盆，一共 35 朵花，第三小队送来了两盆，一共 60 朵花，第 四小队送来了一盆，已知七盆花的朵数分别为 40、10、15、20、25、30、35。你能推算 出七盆花是那个小队送的吗？ ２．小勇、小康、小峰三人按年龄大小在同一所学校的不同年级读书。小勇不比小峰大，小 康不比小勇大。请说出谁的年级最高？谁第二？谁的年级最低？ ３．丹丹、敏敏、燕燕三人问老师，她们数学测验得多少分？老师回答说：你们班没有人不 及格，你们三个人的分数不一样，一个得 80 分，一个得 90 分，还有一个得 100 分，丹丹 不是 80 分，燕燕不是 80 分也不是 100 分。你们猜猜看，谁得了 100 分？谁得了 90 分？ 谁得了 80 分？ ４．李老师、王老师和张老师分别上一门课，已经知道这三门课是语文、数学、唱歌。还知 道：⑴ 李老师不会唱歌。⑵ 唱歌的老师是三八红旗手。⑶ 张老师是数学老师的哥哥。 请或出这三位老师各教什么课？ ５．小航、小明、小铨三个男孩，各有一个妹妹叫小平、小莉、小红。六个人在一起打乒乓 球。举行男女混合双打，事先规定：兄妹二人不搭伴。 第一盘：小航和小平对小铨和小莉 第二盘：小铨和小红对小航和小莉。 问：小平、小红，小莉各是谁的妹妹？ ６．小兰有两件毛衣，一件是绿色的，一件是红色的，她有 3 条裤子，一条是蓝色的，一条 是黄色的，一条是紫色的，说一说，她的毛衣和裤子有多少种不同的搭配穿法？ ７．上学期期末考试，一年级三班有 8 个同学语文得 100 分，有 9 个同学数学得 100 分，李 老师说： “凡是得 100 分的同学举手。 ”请你想一想，最多有多少只手举起来？最少有多少 只手举起来？ ８．有一天，王老师和两个学生要过河，河边有一只小船，每次过河船只能载重 50 千克， 但是王老师体重 50 千克，而两个学生的体重各 25 千克，想想看，他们怎样过河的？ ９．挑滚珠。有九个滚珠，其中有一个稍轻一点，现在，要把它挑出来，你能用天平只称两 次，就把这个轻一点的挑出来吗？ 10．找次品。一个工人叔叔，生产了 81 个零件，下班时，他发现有一个轻一点的次品混到 里边去了，怎么办呢？工人叔叔找来一架天平，只称了 4 次就把次品找出来了，你知道他 是怎样称的吗？ 11．老师称小青、小东和小明的体重，如果把他们两人两人地搭配起来称，他们的体重情况 如下表： 称上的人 小青和小明 小青和小东 小明和小东 重量 50 千克 48 千克 52 千克想想看，这三个人的体重各是多少千克？ 12．白狗比白猫重，黑狗也比白猫重，黑狗比白狗轻，谁最重呢？ 13．你向穿衣镜走近半米，那你和镜子里的“你”近了几米？ 14．一条狗栓在木桩上，绳长 10 米，在离狗 20 米远的地方放一个馒头，狗正好吃到了，那 么这时狗在什么地方？馒头放到了什么地方？ 15．图书室里有三个书柜，每个书柜都有四格书，每格上都标明了书的册数，如下表，不许用加法算，你能很快地说出这三个书柜里书的总数都一样多吗？16．80 枚金币中有 1 枚是假的，它比真金币要轻一亿 2。用一架天平去称，最少称几次，才 能保证找出这个假金币呢？钟面上的数学问题［知识要点］ 知识要点］“时刻”与“时间”的意义不同，能根据钟面上的 1—12 进行加、减乘法计算。［范例解析］ 范例解析］请读者制作一个有时针和分针的钟面模型。 例 1 将钟面拨到 4 点。从 4 点经过 4 个小时，钟面会指到几点？（八点）再拨到八点，这 里说的 4 点与 4 小时有什么区别？ 例 2 将钟面拨到 7 点。从 7 点再经过 7 小时钟面会指到几点？（二点）再拨到二点。这里 的 7 点与 7 小时有什么区别？ 说明 上两例题中的 4 点、7 点、8 点，……表示了一天内某一时刻，这是钟、表的表面 上显示的几点几分，能使人直接看出这是什么时刻。 4 小时，7 小时，8 小时，……这是指的两个不同时刻之间经过的时间。如 4 点这 个时刻到 8 点这个时刻经过了 4 小时。 例 3 钟面上的加法： ⑴ 5 点再过 3 小时是几点？ 5＋3 = 8 答：8 点。 ⑵ 8 点再过 8 小时是几点？ 8＋8 = 16， 16－12 = 4。 答：4 点。 ⑶ 3 点再过 12 小时是几点？ 3＋12 = 15， 15－12 = 3。 答：3 点。 说明 上面的例题反映了钟面上的加法的计算规律： ⑴ 两数之和