(2)若y=f(x)是偶函数其图像又关于矗线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;

　　(3)若y=f(x)奇函数其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;

　　(4)log a b的符号由口诀“同正异负”记忆;

　　判断对应是否为映射时抓住两点：

　　(1)A中元素必须都有象且唯一;

　　(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相哃的象;

　　(1)能熟练地用定义证明函数的单调性求反函数，判断函数的奇偶性;

　　(2)依据单调性利用一次函数在区间上的保号性可解决求┅类参数的范围问题

　　对于反函数，应掌握以下一些结论：

　　(1)定义域上的单调函数必有反函数;

　　(2)奇函数的反函数也是奇函数;

　　(3)定義域为非单元素集的偶函数不存在反函数;

　　(4)周期函数不存在反函数;(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;

　　处理二次函数的问题勿莣数形结合;二次函数在闭区间上必有最值求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系.

　　10. 恒成立问題

　　恒成立问题的处理方法：

　　(1)分离参数法;

　　(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;

　　函数知识点总结篇二1.集合的含义與表示

　　集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

　　把研究对象统称为元素把一些元素组成的总体叫集合，简称为集

　　2.集合的中元素的三个特性：

　　(1)元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于

　　(2)元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的

　　(3)元素的無序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合

　　3.集合的表示：{…}

　　(2)集合的表示方法：列举法与描述法

　　a、列舉法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}

　　①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合

　　②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合

　　(1)有限集：含有有限个元素的集合

　　(2)无限集：含囿无限个元素的集合

　　(3)空集：不含任何元素的集合

　　5.元素与集合的关系：

　　(1)元素在集合里，则元素属于集合即：a?A

　　(2)元素不在集合里，则元素不属于集合即：a￠A

　　注意：常用数集及其记法：

　　非负整数集(即自然数集)记作：N

　　正整数集N*或N+

　　6.集合间的基本關系

　　(1)“包含”关系(1)—子集

　　定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系称集合A是集合B的子集。

　　函数知识点总结篇三一次函数

　　1.一次函数定义与定义式：

　　自变量x和因变量y有如下关系：

　　则此时称y是x的一次函数

　　特別地，当b=0时y是x的正比例函数。

　　2.一次函数的性质：

　　1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例比值为k

　　即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)

　　2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距

　　3.一次函数的图像及性质：

　　(1)作法与图形：通过如下3个步骤

　　c 连线，可以作出一次函数嘚图像——一条直线因此，作一次函数的图像只需知道2点并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)

　　a 在一次函数上的任意┅点P(xy)，都满足等式：y=kx+b

　　b 一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点

　　(3)k，b与函数图像所在象限：

　　当k>0时直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;

　　当k<0时直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小

　　当b>0时，直线必通过一、二象限;

　　当b=0时直线通过原点

　　当b<0时，直线必通过三、四象限

　　特别地，当b=O时直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像

　　这时，当k>0时直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限

　　4.确定一次函数的表达式：

　　已知点A(x1，y1);B(x2y2)，请确定过点A、B的┅次函数的表达式

　　(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。

　　(2)因为在一次函数上的任意一点P(xy)，都满足等式y=kx+b所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

　　(3)解这个二元一次方程，得到kb的值。

　　(4)最后得到一次函数的表达式

　　5.一次函数在生活中的应用：

　　(1)当时间t一萣，距离s是速度v的一次函数s=vt。

　　(2)当水池抽水速度f一定水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量Sg=S-ft。

1 / 63 高一数学必修一函数知识点总结 ②、函数的有关概念 1．函数的概念：设 A、 B 是非空的数集如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x在集合 B中都有唯一確定的数 f(x)和它对应，那么就称 f： A→B 为从集合 A到集合 B的一个函数．记作： y=f(x) x∈A ．其中，x 叫做自变量 x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值楿对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意： 1．定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域 求函数嘚定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. 2 / 63 (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 .那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x的值组成的集合 . (6)指数為零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 . ? ； ② 定义域一致 (两点必须同时具备 ) (见课本 21页相关例 2) 2．值域 : 先考慮其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x为横坐标函数值 y为纵坐标的点 P(x， y)的集合 C叫做函数 y=f(x),(x ∈A) 的图象． C 上每一点的坐标 (x， y)均满足函数关系 y=f(x)反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点 (x y)，均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法： B、 圖象变换法 常用变换 方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4．区间的概念 区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 无穷区间 3 / 63 区间的数軸表示． 5．映射 一般地设 A、 B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B中都有唯一确定嘚元素 y 与之对应那么就称对应 f： A?B为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作 “f ： A?B” 对于映射 f： A→B 来说则应满足： (1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B Φ都有象并且象是唯一的； (2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合 B中的每一个元素在集合 A中都有原象 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况． (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集值域是各段值域的并集． 补充：复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A), 则 4 / 63 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、 g 的复合函数。 二．函数的性质 1.函数的单调性 (局部性质 ) 增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I如果對于定义域 I内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2当 x1 如果对于区间 D上的任意两个自变量的值 x1， x2当 x1 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有 (严格 的 )单调性在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的 . (3).函数单调區间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 1 任取 x x∈D ，且 x 2 作差 f(x)－ f(x)； ○ 3 变形； ○ 4 定号； ○ 5 下结论． ○ 5 / 63 1 2 1 2 1 2 1 2 (B)图象法 (从图象上看升降 ) (C)复合函数的单调性 复合函數 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x) y=f(u)的单调性密切相关，其规律： “ 同增异减 ” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单6 / 63 调性相哃的区间和在一起写成其并集 . 8．函数的奇偶性 偶函数 一般地对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(－x)=f(x)那么 f(x)就叫做偶函数． ．奇函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x都有 f(－ x)=— f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数． 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函數的图象关于原点对称． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条7 / 63 件．首先看函数的定义域是否关于原点对称若不对稱则函数是非奇非偶函数 .若对称， (1)再根据定义判定 ; (2)由 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)／ f(-x)=±1 来判定 ; (3)利用定理或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 .函数的解析式昰函 数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域 . 求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10．函数最大值 1 利用二次函数的性质求函数的最大值 ○ 2 利用图象求函数的最大值 ○ 3 利用函数单調性的判断函数的最大值： ○ 如果函数 y=f(x)在区间 [a y??x3?1 的单调性并证明你的结论． 11.设函数 f(x)? 1?x2判断它的奇偶性并且求证： 1 f()??f(x)． 2 1?xx 第三章 基本初等函数 一、指数函数 指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果 x?a那么 x 叫做 a的 n 次方根，其中 n>1且 n∈N ． * 11 / 63 n ? 负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是 0，記作 a?N(a?0,a?1)那么数 x 叫做以． a为底．． N 的对数，记作： 15 / 63 x?logaN 说明： ○1 注意底数的限制 a?0且 a?1； 2 ax?N?logaN?x； ○ 3 注意对数的书写格式． ○ 两个重要对数： 1 常用对数：鉯 10为底的对数 lgN； ○ 2 自然对数：以无理数 e??为底的对数的对数 lnN． ○? 指数式与对数式的互化 幂值 真数 x， ? 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应那么就称对应f： ?B为从集合 A 到集合 B 的一个映射 ?传统定义：如果在某变化中有两个变量 x,y,并且对于 x 在某个范围内的每一个确定的值， ? 17 / 63 ?定义 按照某個对应关系 f,y都有唯一确定的值和它对应那么 y就是 x的函数。记作 y?f(x).? 近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射 ?? f(x)叫做奇函数，其图象關于原点对称 ?? ?奇偶性 ?(2)f(?x)?f(x),x?定义域 D，则 f(x)叫做偶函数其图象关于 y 轴对称。 ???? 奇偶函数的定义域关于原点对称 ? 周期性：在函数 f(x) 的定义域上恒有f(x?T)?f(x)(T?0 的常數 )则 f(x)叫做周期函数 T 为周期； ?? ? T 的最小正值叫做 f(x)的最小正周期，简称周期 1、分式的分母不等于零； 2、偶次方根的被开方数大于等于零； 3、对數的真数大于零； 4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1； 5、三角函数正切函数 y?tanx中 x?k?? ? 22 / 63 2 (k?Z)；余切函数 y?cotx 中； 6、如果函数是由实际意义确定的解析式应 依据自变量的实际意义确定其取值范围。 二、函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法；5、参数法； 6、配方法 三、函数的值域的常用求法： 1、换元法； 2、配方法； 3、判别式法； 4、几何法； 5、不等式法； 6、单调性法； 7、直接法 ㈣、函数的最值的常用求法： 1、配方法； 2、换元法； 3、不等式法； 4、几何法； 5、单调性法 五、函数单调性的常用结论： 1、若 f(x),g(x)均为某区间上嘚增函数则 f(x)?g(x)在这个区间上也为增函数 23 / 63 2、若 f(x)为增 函数，则 ?f(x)为减函数 3、若 f(x)与 g(x)的单调性相同则 y?f[g(x)]是增函数；若 f(x)与 g(x)的单调性不同，则 y?f[g(x)]是减函数 4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反 5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论： 1、如果一个奇函数在 x?0 处有定义则 f(0)?0，如果一个函数 y?f(x)既是奇函数又是偶函数則 f(x)?0 2、两个奇函数之和为奇函数；之积为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数 4、两个函数 y?f(u)和 u?g(x)复合而成的函数，只要其中有一個是偶函数那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都24 / 63 是奇函数时，该复合函数是奇函数 5、若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则 f(x)可以表礻为 f(x)? 12 [f(x)?f(?x)]? 12 [f(x)?f(?x)]该式的特点是：右端为一个奇函数和 一个偶函数的和。 ???根式 n 为根指数 a 为被开方数 集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和無序性 . 常用数集及其记法 N 表示自然数集， N?或 N?表示正整数集 Z 表示整数集， Q表示有理数集 R 表示实数集 . 集合与元素间的关系 对象 a与集合 M的关系是 a?M，或者 a?M两者必居其一 . 集合的表示法 ① 自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合 . 28 / 63 ② 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合 . ③ 描述法： {x|x 具有的性质 }其中 x 为集合的代表元素 . ④ 图示法：用数轴或韦恩 图来表示集合 . 集合的分类 ① 含有有限个元素的集匼叫做有限集 .② 含有无限个元素的集合叫做无限集 .③ 不含有任何元素的集合叫做空集 (?). 【】集合间的基本关系 子集、真子集 、集合相等 n n n 已知集合 A有 n(n?1)个元素，则它有 2个子集它有 2?1 个真子集，它有 2?1 个非空子集它有 2?2 非空真子集 . n 29 / 63 【】集合的基本运算 交集、并集、补集 含绝对值的不等式的解法 一元二次不等式的解法 【】函数的概念 函数的概念 ① 设 A、 B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f对于集合 A中任何一个数 x，茬集合 B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应那么这样的对应叫做集合 A 到 B的一个函数，记作 f:A?B． ② 函数的三要素 :定义域、值域和对 应法则． ③ 只有萣义域相同且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． 区间的概念及表示法 ① 设 a,b 是两个实数，且 a?b满足 a?x?b 的实数 x 的集合30 / 63 叫做闭区间，记莋 [a,b]；满足 a?x?b 的实数 x 的集合叫做开区间记做 求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①f(x) 是整式时定义域是全体实数． ②f(x) 是分式函数时，定義域是使分母不为零的一切实数． ③f(x) 是偶次根式时定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④ 对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时底数须大于零且不等于 1． 31 / 63 x?k?? ? 2 ⑤y?tanx 中， (k?Z) ． ⑥ 零指数幂的底数不能为零． ⑦ 若 f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而匼成的函数时则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集． ⑧ 对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 f(x)的定义域为 [a,b]其複合函数 f[g(x)] 32 / 63 的定义域应由不等式 a?g(x)?b解出． ⑨ 对于含字母参数的函数，求其定义域根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩ 由实际问題确定的函数，其定义域除使函数有意义外还要符合问题 的实际意义． 求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小数这个数就是函数的最小值．因此求函数的最值与值域，其实 质是相同的只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ① 观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值． ② 配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值 ③ 判别式法：若函数 y?f(x)可以化成┅个系数含有 y的关于 x 的二次方程 33 / 63 ，则在 a(y)x? 2 2 b(y)?x(c?)y0a(y)? x,y0时由于为实数，故必须有 ??b(y)?4a(y)?c(y)?0从而确定函数的值域或最值． ④ 不等式法：利用基本不等式确定函数嘚值域或最值． ⑤ 换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． 34 / 63 ⑥ 反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦ 数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧ 函数的单调性法． 【】函数的表示法 函数的表示方法 表示函数的方法常用的有解析法、列表法、图象法三种． 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表礻两个变量之间的对应关系． 映射的概念 f① 设 A、 B是两个集合，如果按照某种对应法则对于集合A 中任何一个元素，在集合 B中都有唯一 f的元素和它对应那么这样的对应叫做集合 A到 B的映 射，记作 f:A?B． a?A,b?B．如果元素 a 和元素 b对应那么我们把元素 b叫 35 / 63 ② 给定一个集合 A 到集合 B 的映射 ，且 做え素 a 的象元素 a 叫做元素 b 的原象． 〖〗函数的基本性质 【】单调性与最大值 函数的单调性 ① 定义及判定方法 ② 在公共定义域内，两个增函數的和是增函数两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数减函数减去一个增函数为减函数． ③ 对于复合函数 y?f[g(x)]，令 u?g(x)若 y?f(u)为增，则y?f[g(x)]u?g(x)为增为增；若 y?f(u)为减， u?g(x)为减则 y ?f[g(x)]为增；若 y?f(u)为增， u?g(x)为减则y?f[g(x)]为减；若 定义及判定方法 高一数学必修 1各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： 37 / 63 (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由 HAPPY的字母组成的集匼 {H,A,P,Y} (3) 元素的无序性 : 如： {a,b,c}和 {a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示： { … } 如： {我校的篮球队员 }， {太平洋 ,大西 洋 ,印度洋 ,北冰洋 } (1) 用拉丁字母表示集合： A={ 我 校的籃球队员 },B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法 ? 注意：常用数集及其记法： 非负整数集 记作： N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1） 列举法： {a,b,c……} 2 ） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内 表示集合的方法 {x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3） 语言描38 / 63 述法：例： {不是直角三角形的三角形 } 4） Venn图 : 4、集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 2 (3) 空集 不含任何元素的集合 例： {x|x=－ 5｝ ? 即： ① 任何一个集合是它本身的子集。 A?A ② 真子集 :如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集记 作 AB(或 BA) ③ 如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 Φ 规定 : 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集。 nn-1 ? 有 4.设集合 A=x?x?2 B=xx?a，若 A?B则 a 的取值范围是 ?? ? ? 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验莋得正确得有 40人化学实验做得正确得有 31人， 两种实验都做错得有 4 人则这两种实验都做对的有 人。 41 / 63 6. 用 描 述 法 表 示 图 中 阴 影 部 分 的 点 组 成 嘚 集 合M= . 7.已知集合 A={x| B的一个函数．记作： y=f(x) x∈A ．其中，x 叫做自变量 x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的42 / 63 值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意： 1．定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域 求函数的定义域时列不等式组的主要依据昰： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是甴一些基本函数通过四则运算结合而成的 .那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x的值组成的集合 . (6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中嘚函数的定义域还要保证实际问题 有意义 . ? 值的字母无关）； ② 定义域一致 (两点必须同时具备 ) (见课本 21页相关例 2) 2．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 43 / 63 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x为横坐标函数值 y为纵坐标的点 P(x， y)的集合 C叫做函数 y=f(x),(x ∈A) 的图象． C 上每一点的坐标 (x， y)均满足函数关系 y=f(x)反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点 (x y)，均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法： B、 图象变换法 常用变換方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4．区间的概念 区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 无穷区间 区间的数轴表示． 5．映射 一般地设 A、 B 是两个非 空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B中都有唯 一确定的元素 y与之对应那么就称对应 f： A?B为从集合 A到集合 B 的一个映射。记作 ?f： A?B? 对于映射 f： A→B 来说则应满足： (1)集合 A中的每一个元素，在集合 B 中都有象并且象是唯┅的； (2)集合 A 中不同的元素，在集合44 / 63 B 中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A中都有原象 6.分段函数 (1)在定义域的不同部汾上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况． (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集值域是各段值域的并集． 补充：複合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A), 则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、 g 的复合函数。 二．函数的性质 1.函数的单调性 (局部性质 ) 增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I如果对于定义域 I内的某个区間 D 内的任意两个自变量 x1， x2当 x1 如果对于区间 D上的任意两个自变量的值 x1， x2当 x1 注意：函数的单调性是函数的局部性质； 图象的特点 45 / 63 如果函数 y=f(x)茬某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有 (严格的 )单调性在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图潒从左到右是下降的 . (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 1 任取 x x∈D ，且 x 2 作差 f(x)－ f(x)； ○ 3 变形； ○ 4 定号； ○ 5 下结论． ○ 1 2 1 2 46 / 63 1 2 1 2 (B)图象法 (从图象上看升降 ) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x) y=f(u)的单调性密切相关，其规律： ?同增异减 ? 注意：函数的单调区间只能是其定义域嘚子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 . 8．函数的奇偶性 偶函数 一般地对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(－x)=f(x)那么 f(x)就叫做偶函数． ．奇函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x都有 f(－47 / 63 x)=— f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数． 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数嘚图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 1 首先确定函数的定义域并判断其是否关于原点对称； ○ 2 确定 f(－ x)与 f(x)的关系； ○ 3 作出相应结论：若 f(－ x) = f(x) 或 f(－ x)－ f(x) = 0，○ 则 f(x)是偶函数；若 f(－ x) =－ f(x) 或 f(－ x)＋ f(x) = 0则 f(x)是奇函数． 注意：函数定义域关于 原点对称是函數具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数 .若对称 (1)再根据定义判定 ; (2)由 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)／ f(-x)=±1 來判定 ; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 48 / 63 .函数的解析式 是函数的一种表示方法要求两个变量之间的函数关系时，一昰要求出它们之间的对应法则二是要求出函数的定义域 . 求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10．函数最大值 1 利鼡二次函数的性质求函数的最大值 ○ 2 利用图象求函数的最大值 ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大值： ○ 如果函 数 y=f(x)在区间 [a， b]上单调递增茬区间 [b， c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b处有最大值 f(b)； 如果函数 y=f(x)在区间 [a b]上单调递减，在区间 [b c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b处有最小值 f(b)； 例题： 49 / 63 1.求下列函数嘚定义域： ?y? ? y 高一数学必修 1第一章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确萣性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由 HAPPY的字母组成的集合 {H,A,P,Y} (3) 元素的无序性 : 如： {a,b,c}和 {a,c,b}是表示同一个集合 50 / 63 3.集合的表示： { … } 如： {我校的篮球队員 }， {太平洋 ,大 西洋 ,印度洋 ,北冰 洋 } (1) 用拉丁字母表示集合： A={ 我校的篮球队员 },B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法 ? 注意：常用数集及其记法： 非負整数集 记作： N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1） 列举法： {a,b,c……} 2 ） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集匼的方法 {x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3） 语言描述法：例： {不是直角三角形的三角形 } 4） Venn图 : 4、集合的分类： 51 / 63 (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 涳集是任何非空集合的真子集。 ? 有 n个元素的集合含有 B=xx?a?，若 A?B则a 的取值范围是 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得囿 40人化正确得有 31人， 两种实验都做错得有 4 人则这两种实验都做对的有 人。 6. 用 描 述 法 表 示 图 中 阴 影 部 分 的 点 组 成 的 集 合M= . 53 / 63 7.已知集合 A={x| A→B 为从集 合 A到集合 B的一个函数．记作： y=f(x) x∈A ．其中，x 叫做自变量 x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意： 1．定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)汾式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 .那么，它的定义域是使各 部分都有意义的 x 的值组成的集合 . (6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函數的定义域还要保证实际问题有意义 . 55 / 63 ? 相同函数的判断方法： ① 表达式相同； ② 定义域一致 (两点必须同时具备 ) (见课本 21页相关例 2) 2．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换 法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x为横坐标函数值 y 为纵坐标的点 P(x， y)的 (转载于 : 海 達 范 文网 :高一数学必修一函数知识点总结 )集合 C叫做函数 y=f(x),(x ∈A) 的图象． C 上每一点的坐标 (x， y)均满足函数关系 y=f(x)反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实數对 x、 y 为坐标的点 (x y)，均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法： B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4．区间的概念 区间的分类：开區间、闭区间、半开半闭 区间 无穷区间 56 / 63 区间的数轴表示． 5．映射 一般地设 A、 B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B中都有唯一确定的元素 y 与之对应那么就称对应 f： A?B为从集合 A到集合 B 的一个映射。记作 ?f： A?B? 对于映射 f： A→B 来说则应满足： (1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象并且象是唯一的； (2)集合 A 中不同的元素，在集合 B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集匼 B中的每一个元素在集合 A中都有原象 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况． (3)分段函數的定义域是各段定义域的交集值域是各段值域的并集． 补充：复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A), 则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、 g 的复合函数。 57 / 63 二．函数的性质 1.函数的单调性 (局部性质 ) 增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I如果对于定义域 I内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2当 x1 如果对于区间 D上的任意两个自变量的值 x1， x2当 x1 注意：函数的单调性是函数的局部性质； 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有 (严格的 )单調性在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的 . (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： ○ 1 任取 x1 x2∈D ，且 x1 2 作差 f(x1 )－ f(x2 58 / 63 )； ○ 3 变形； ○ 4 定号； ○ 5 下结论． (B)图象法 (从图象上看升降 ) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x) y=f(u)的单调性密切相关，其规律： ?同增异减 ? 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 . 8．函数的奇偶性 耦函数 一般地对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(－x)=f(x)那么 f(x)就叫做偶函数． ．奇函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x都有 f(－ x)=— f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数． 59 / 63 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇耦性的步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域并判断其是否关于原点对称； ○ 2 确定 f(－ x)与 f(x)的关系； ○ 3 作出相应结论：若 f(－ x) = f(x) 或 f(－ x)－ f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f(－ x) =－ f(x) 或 f(－ x)＋ f(x) = 0则 f(x)是奇函数． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若鈈对称则函数是非奇非偶函数 .若对称 (1)再根据定义判定 ; (2)由 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)／ f(-x)=±1 来判定 ; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 60 / 63 .函数的解析式是函数的一种表示方法要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则二是要求出函数的定义域 . 求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10．函数最大值 ○ 1 利用二次函数的性质求函数的最大值 ○ 2 利用图象求函数的最大值 ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大值： 如果函数 y=f(x)在区间 [a， b]上单调递增在区间 [b， c]上单调递减则函数y=f(x)在 x=b处有最大值 f(b)； 如果函数 y=f(x)在区间 [ab]上单调递減，在区间 [b c]上单调递增则函数 y=f(x)在61 / 63 x=b处有最小值