计算∫∫∫zdxdydz，其中Ω是由锥面z=h*√(x2＋y2）/R与平面z＝h(R＞0，h&0)所围成的闭区域_百度知道
计算∫∫∫zdxdydz，其中Ω是由锥面z=h*√(x2＋y2）/R与平面z＝h(R＞0，h&0)所围成的闭区域
我看不太懂别人的解题过程，既然有了锥面但是没有看到引入sin和cos，也就是柱坐标进入解题过程，能给我详细讲讲吗？谢谢了
切片法：：柱面坐标：：还有球面坐标，不过那个有点复杂。
我以为锥面的问题必须要用球面坐标，引入两个角度，因为我看到书上的例题是这么做的，看来只有球面的问题才用球面坐标法？还有x,y的范围你是怎么确定的？比如2pai和0是角度我知道，R和0，还有h和rh/R的范围怎么来的？我已经看懂了...
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。求由锥面z=√(x^2+y^2)的内侧于球面x^2+y^2+z^2=z所围成的立体体积_百度知道
求由锥面z=√(x^2+y^2)的内侧于球面x^2+y^2+z^2=z所围成的立体体积
主要希望知道怎么确定两个角度的值，我知道一个是由x和y轴确定，过z轴的角度我不知道怎么确定，麻烦都给我详细讲解下
书上看到了一个公式，x^2+y^2=z^2，其角度值一个为0到2π一个为0到π/4，但是我还是不理解为什么p的范围是0到cosαV=∫∫∫dv=∫(0.2π)d∫(0,π/4)d∫(0,cosα)p^2sinαdp
我有更好的答案
在锥面方程中，令x=0,得z =|y|,知锥面的母线与其轴的夹角为：45度。用球坐标，这时球面方程为：r = cosφ.得：V=[0，2*π]积分θ，[0，π/4]积分φ，[0，cosφ]积分r.被积函数为：r2 *sinφ.结果为：V=π/8
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。为了解决用户可能碰到关于"求均匀曲面z=根号（a^2-x^2-y^2）的质心坐标。(如果你的答案是3a/8,请你别在这里丢人现眼，回去问问你的小学语文老师什么叫曲面，什么叫球体)"相关的问题，志乐园经过收集整理为用户提供相关的解决办法，请注意，解决办法仅供参考，不代表本网同意其意见,如有任何问题请与本网联系。"求均匀曲面z=根号（a^2-x^2-y^2）的质心坐标。(如果你的答案是3a/8,请你别在这里丢人现眼，回去问问你的小学语文老师什么叫曲面，什么叫球体)"相关的详细问题如下:
(0,0,a/2) 追问：均匀曲面设密度为p，然后求S1=pzds和S2=pds的积分比，其中E就是半球面
||||点击排行【数学】求半圆形薄板x^2+y^2=0)的重心坐标 设它在M的密度与M到原点的距离成正比-学路网-学习路上 有我相伴
求半圆形薄板x^2+y^2=0)的重心坐标 设它在M的密度与M到原点的距离成正比
来源：互联网 &责任编辑：王小亮 &
求半圆形均匀薄板的质心。a)ydx=∫(a,r)ydx,其中y=√(r^2-x^2),代入数据得到:0.5a√(r^2-a^2)+0.5r^2arcsin(a/r)=πr^2/8,这是一个超越方程,用数值解法,可以求出a≈0.404r。即,半圆形均匀薄板的质心...求半径为R的厚薄均匀的半圆形薄板的重心答:这是个用理论性的办法不可能解决的问题。所谓物体的重心其实是这个物体上无数个小质点&&&&所受到的重力乘以小质点到重心的距离这些所有力...求半径为R半圆形匀质薄板的质心位置这是一道积分题。半圆形薄板的质心为什么在x轴上?这个要看你的坐标系怎么设立??看你远原点设在哪里只有原点和质心重合时才有可能在X当然你也可以把半圆侧放半圆形金属薄板的重心怎么找?转过的体积等于质心通过路程与物体面积的乘积让半圆形转过一周可得到结果首先质心肯定在垂直于直径的那条半径上,然后有2pi*r*pi*R^2/2=4/3*pi*R^3得到质心道圆心...求半圆形薄板x^2+y^2=0)的重心坐标设它在M的密度与M到原点的距离成正比(图3)求半圆形薄板x^2+y^2=0)的重心坐标设它在M的密度与M到原点的距离成正比(图5)求半圆形薄板x^2+y^2=0)的重心坐标设它在M的密度与M到原点的距离成正比(图11)求半圆形薄板x^2+y^2=0)的重心坐标设它在M的密度与M到原点的距离成正比(图13)求半圆形薄板x^2+y^2=0)的重心坐标设它在M的密度与M到原点的距离成正比(图18)求半圆形薄板x^2+y^2=0)的重心坐标设它在M的密度与M到原点的距离成正比(图21)这是用户提出的一个数学问题,具体问题为:求半圆形薄板x^2+y^2=0)的重心坐标 设它在M的密度与M到原点的距离成正比我们通过互联网以及本网用户共同努力为此问题提供了相关答案,以便碰到此类问题的同学参考学习,请注意,我们不能保证答案的准确性,仅供参考,具体如下:半圆形金属薄板的重心怎么找?转过的体积等于质心通过路程与物体面积的乘积让半圆形转过一周可得到结果首先质心肯定在垂直于直径的那条半径上,然后有2pi*r*pi*R^2/2=4/3*pi*R^3得到质心道防抓取，学路网提供内容。用户都认为优质的答案:如图所示,质量为m的均匀半圆形薄板可以绕光滑的水平轴A在竖...有:F?2R=mg?R,解得:F=12保持力F始终垂直于AB,在F作用下使薄板绕A点沿逆时针...而拉力的力矩一直等于2R;根据力防抓取，学路网提供内容。　　利用微积分可以算出来啊,设某处的密度为kr,k为系数,r该处为到原点的距离.这样的话,薄板的质量就可以用积分∫0→π∫0→a kr*rdθdr表示,薄板的质心可以表示为：求均匀半圆薄板的质心?我哪里做错了?错在你假设你在对夹角微分的时候选取的小扇形的质心在中间。很明显你无论怎么减小夹角,总是外面的质量比靠近里面的质量大,也就是说当夹角趋于零的时候,小扇形的质心...防抓取，学路网提供内容。　　(∫0→π∫0→a r kr*rdθdr)／(∫0→π∫0→a kr*rdθdr) .计算表明,它的重心在对称轴上离原点3/4r处.如图所示,质量为m的均匀半圆形薄板可以绕光滑的水平轴A在竖...有:F?2R=mg?R,解得:F=12保持力F始终垂直于AB,在F作用下使薄板绕A点沿逆时...而拉力的力矩一直等于2R;根据力矩防抓取，学路网提供内容。
如图所示,质量为m的均匀半圆形薄板可以绕光滑的水平轴A在竖...以A点为支点,拉力F有力矩,重力也有力矩;保持力F始终竖直,在F作用下使薄板绕A点沿...设AB与竖直方向夹角为θ,根据力矩平衡条件,有防抓取，学路网提供内容。如图所示,质量为m的均匀半圆形薄板可以绕光滑的水平轴A在竖...以A点为支点,拉力F有力矩,重力也有力矩;保持力F始终竖直,在F作用下使薄板绕A点沿...设AB与竖直方向夹角为θ,根据力矩平衡条件,有防抓取，学路网提供内容。如图所示,质量为m的均匀半圆形薄板可以绕光滑的水平轴A在竖...有:F?2R=mg?R,解得:F=12保持力F始终垂直于AB,在F作用下使薄板绕A点沿逆时针...而拉力的力矩一直等于2R;根据力矩平衡条件,有:F?2R=mg?x由于x先变小后变大,故F先...求均匀半圆薄板的质心?我哪里做错了?错在你假设你在对夹角微分的时候选取的小扇形的质心在中间。很明显你无论怎么减小夹角,总是外面的质量比靠近里面的质量大,也就是说当夹角趋于零的时候,小扇形的质心...如图所示,质量为m的均匀半圆形薄板可以绕光滑的水平轴A在竖...有:F?2R=mg?R,解得:F=12保持力F始终垂直于AB,在F作用下使薄板绕A点沿逆时...而拉力的力矩一直等于2R;根据力矩平衡条件,有:F?2R=mg?x由于x先变小后变大,故F先...如图所示,质量为m的均匀半圆形薄板可以绕光滑的水平轴A在竖...以A点为支点,拉力F有力矩,重力也有力矩;保持力F始终竖直,在F作用下使薄板绕A点沿...设AB与竖直方向夹角为θ,根据力矩平衡条件,有:F?2Rsinθ=M故:F=M2Rsinθ,故F先...
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度为μ =μ(x, y)的电荷, 且μ(x, y)在D上连续, 试用二重积分表达该板上全部电荷
Q.
解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度μ(x, y)在该板所占闭区域D上的二重
积分
. ∫∫=
DdyxQσμ),(
2. 设, 其中D∫∫+=
13221)(
DdyxIσ1={(x, y)|.1≤x≤1, .2≤y≤2};
又, 其中D∫∫+=
23222)(
DdyxIσ2={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤2}.
试利用二重积分的几何意义说明I1与I2的关系.
解 I1表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=±1, y=±2以及z=0围成的立体V的体积.
I2表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=0, x=1, y=0, y=2以及z=0围成的立体V1的体积.
显然立体V关于yOz面、xOz面对称, 因此V 1是V位于第一卦限中的部分, 故
V=4V1, 即I1=4I2.
3. 利用二重积分的定义证明:
(1)∫∫ (其中σ为D的面积); =
Ddσσ
证明 由二重积分的定义可知,
∫∫Σ=
→
Δ=
Dniiiifdyxf10),(lim),(σηξσλ
其中Δσi
表示第i个小闭区域的面积.
此处f(x, y)=1, 因而f(ξ, η)=1, 所以
. σσσσλλ==Δ=
→=→∫∫Σ010limlimDniid
(2)∫∫ (其中k为常数); ∫∫=
DDdyxfkdyxkfσσ),(),(
证明 Σ∫∫Σ=→=→
Δ=Δ=
niiiiDniiiifkkfdyxkf1010),(lim),(lim),(σηξσηξσλλ
. ∫∫Σ=Δ=
=→
Dniiiidyxfkfkσσηξλ),(),(lim10
(3), ∫∫∫∫∫∫+=
21),(),(),(
DDDdyxfdyxfdyxfσσσ
其中D=D1∪D2, D1、D2为两个无公共内点的闭区域.
证明 将D1和D2分别任意分为n1和n2个小闭区域
1iσΔ和
2iσΔ,
n1+n2=n, 作和
. ΣΣΣ===
Δ+Δ=Δ1),(),(),(
niiiiniiiiniiiifffσηξσηξσηξ
令各
1iσΔ和
2iσΔ的直径中最大值分别为λ1
和λ2, 又λ=max(λ1λ2), 则有
, Σ=
→
Δniiiif10),(limσηξλΣΣ=→=→
Δ+Δ=
1010),(lim),(limniiiiniiiiffσηξσηξλλ
即 . ∫∫∫∫∫∫+=
21),(),(),(
DDDdyxfdyxfdyxfσσσ
4. 根据二重积分的性质, 比较下列积分大小:
(1)∫∫与, 其中积分区域D是由x轴, y轴与直线 +
Ddyxσ2)(∫∫+
Ddyxσ3)(
x+y=1所围成;
解 区域D为: D={(x, y)|0≤x, 0≤y, x+y≤1}, 因此当(x, y)∈D时, 有(x+y)3≤(x+y)2, 从
而
≤. ∫∫+
Ddyxσ3)(∫∫+
Ddyxσ2)(
(2)∫∫与其中积分区域D是由圆周(x.2)+
Ddyxσ2)(∫∫+
Ddyxσ3)(2+(y.1)2=2
解 区域D如图所示, 由于D位于直线x+y=1的上方, 所以当(x, y)∈D时, x+y≥1,
从而(x+y)3≥(x+y)2, 因而
. ∫∫∫∫+≤+
DDdyxdyxσσ32)()(
(3)∫∫与其中D是三角形闭区域, 三角顶点分别为(1, 0),
(1, 1), (2, 0);
+
Ddyxσ)ln(∫∫+
Ddyxσ3)(
解 区域D如图所示, 显然当(x, y)∈D时, 1≤x+y≤2, 从而0≤ln(x+y)≤1, 故有
[ln(x+y)]2≤ ln(x+y),
因而 . ∫∫∫∫+≥+
DDdyxdyxσσ)ln()][ln(2
(4)∫∫与其中D={(x, y)|3≤x≤5. 0≤y≤1}. +
Ddyxσ)ln(∫∫+
Ddyxσ3)(
解 区域D如图所示, 显然D位于直线x+y=e的上方, 故当(x, y)∈D时, x+y≥e,
ln(x+y)≥1,
因而 [ln(x+y)]2≥ln(x+y),
故 . ∫∫∫∫+≤+
DDdyxdyxσσ2)][ln()ln(
5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值:
(1), 其中D={(x, y)| 0≤x≤1, 0≤y≤1}; ∫∫+=
DdyxxyIσ)(
解 因为在区域D上0≤x≤1, 0≤y≤1, 所以
0≤xy≤1, 0≤x+y≤2,
进一步可得
0≤xy(x+y)≤2,
于是 , ∫∫∫∫∫∫≤+≤
DDDddyxxydσσσ2)(0
即 . ∫∫≤+≤
Ddyxxy2)(0σ
(2), 其中D={(x, y)| 0≤x≤π, 0≤y≤π}; ∫∫=
DydxIσ22sinsin
解 因为0≤sin2x≤1, 0≤sin2y≤1, 所以0≤sin2x sin2y≤1. 于是可得
, ∫∫∫∫∫∫≤≤
DDDdydxdσσσ1sinsin022
即 . ∫∫≤≤
Dydx222sinsin0πσ
(3), 其中D={(x, y)| 0≤x≤1, 0≤y≤2}; ∫∫++=
DdyxIσ)1(
解 因为在区域D上, 0≤x≤1, 0≤y≤2, 所以1≤x+y+1≤4, 于是可得
, ∫∫∫∫∫∫≤++≤
DDDddyxdσσσ4)1(
即 . ∫∫≤++≤
Ddyx8)1(2σ
(4), 其中D={(x, y)| x∫∫++=
DdyxIσ)94(222+y2 ≤4}.
解 在D上, 因为0≤x2+y2≤4, 所以
9≤x2+4y2+9≤4(x2+y2)+9≤25.
于是 , ∫∫∫∫∫∫≤++≤
DDDddyxdσσσ25)94(922
, ∫∫..≤++≤
Ddyx(29πσπ
即 . ∫∫≤++≤
Ddyxπσπ100)94(3622
1. 计算下列二重积分:
(1)∫∫, 其中D={(x, y)| |x|≤1, |y|≤1}; +
Ddyxσ)(22
解 积分区域可表示为D: .1≤x≤1, .1≤y≤1. 于是
∫∫+dyxσ)(22ydyxdx∫∫..
+=111122)(xdyyx∫..+=111132]
31[
xdx∫.
+=112)
312(113]
3232[.+=xx38=.
(2)∫∫, 其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域: +
Ddyxσ)23(
解 积分区域可表示为D: 0≤x≤2, 0≤y≤2.x. 于是
∫∫+dyxσ)23(ydyxdxx∫∫.+=2020)23(dxyxyx∫.+=20022]3[
dxxx∫.+=202)224(0232]
324[xxx.+=
320=.
(3)∫∫, 其中D={(x, y)| 0≤x≤1, 0≤y≤1}; ++
Ddyyxxσ)3(223
解 ∫∫++dyyxxσ)3(323∫∫++=(dxyyxxdy∫++=1001334]
4[dyxyyxx
∫++=103)
41(dyyy0142]
424[yyy++=1412141=++=.
(4)∫∫, 其中D是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形闭区
域.
+
Ddyxxσ)cos(
解 积分区域可表示为D: 0≤x≤π, 0≤y≤x. 于是,
∫∫+dyxxσ)cos(∫∫+=xdyyxxdx00)cos(π∫+=π00)][sin(dxyxxx
∫.=π0)sin2(sindxxxx∫..=π0)cos2cos21(xxxd
+..=0|)cos2cos21(πxxxdxxx∫.π0)cos2cos21(π23.=.
2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分:
(1)∫∫
Ddyxσ, 其中D是由两条抛物线xy=, 所围成的闭区域; 2xy=
解 积分区域图如, 并且D={(x, y)| 0≤x≤1, xyx≤≤2}. 于是
∫∫dyxσ∫∫=102dyyxdxxx∫=10223]
32[dxyxxx556)
=.=∫dxxx.
(2)∫∫, 其中D是由圆周xDdxyσ22+y2=4及y轴所围成的右半闭区域;
解 积分区域图如, 并且D={(x, y)| .2≤y≤2, 240yx.≤≤}. 于是
∫∫∫∫∫.
..
.
=22]
21[dyyxdxxydydxyyyDσ
1564]
10132[)
212(=.=.=..∫yydyyy.
(3)∫∫, 其中D={(x, y)| |x|+|y|≤1}; +
Dyxdeσ
解 积分区域图如, 并且
D={(x, y)| .1≤x≤0, .x.1≤y≤x+1}∪{(x, y)| 0≤x≤1, x.1≤y≤.x+1}.
∫∫∫∫∫∫+.
.
+
...
++=xxyxxxyxDyxdyedxedyedxedeσ
∫∫+.
..
+
..+=][][dyeedxeexxyxxxyx∫∫.
.
.+.+.=)()(dxeedxeexx
]
21[]
21[.
.
.+.+.=xxeexxee=e.e.1.
(4)∫∫, 其中D是由直线y=2, y=x及y=2x轴所围成的闭区域. .+
Ddxyxσ)(22
解 积分区域图如, 并且D={(x, y)| 0≤y≤2, yxy≤≤
21}. 于是
∫∫∫∫∫.+=.+=.+2]
2131[)()(dyxxyxdxxyxdydxyxyyyyDσ
613)
3=.=∫dyyy.
3. 如果二重积分的被积函数f(x, y)是两个函数f∫∫
Ddxdyyxf),(1(x)及f2(y)的乘积,
即f(x, y)= f1(x).f2(y), 积分区域D={(x, y)| a≤x≤b, c≤ y≤d}, 证明这个二重积分等于两
个单积分的乘积, 即
])([])([)()(2121dyyfdxxfdxdyyfxfdcbaD∫∫∫∫.=.
证明 , dxdyyfxfdyyfxfdxdxdyyfxfdcbadcbaD∫∫∫∫∫∫.=.=.])()([)()()()(212121
而 , ∫∫=.dcdcdyyfxfdyyfxf)()()()(2121
故 . dxdyyfxfdxdyyfxfbadcD∫∫∫∫=.])()([)()(2121
由于的值是一常数, 因而可提到积分号的外面, 于是得 ∫dcdyyf)(2
])([])([)()(2121dyyfdxxfdxdyyfxfdcbaD∫∫∫∫.=.
4. 化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同
的两个二次积分), 其中积分区域D是:
∫∫=
DdyxfIσ),(
(1)由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域;
解.积分区域如图所示, 并且
D={(x, y)|xyxx2 ,40≤≤≤≤}, 或D={(x, y)| yxyy≤≤≤≤241 ,40},
所以 ∫∫=xxdyyxfdxI240),(或∫∫=yydxyxfdyI4402),(.
(2)由x轴及半圆周x2+y2=r2(y≥0)所围成的闭区域;
解.积分区域如图所示, 并且
D={(x, y)|220 ,xryrxr.≤≤≤≤.},
或D={(x, y)| 2222 ,0yrxyrry.≤≤..≤≤},
所以 ∫∫.
.
=
220),(xrrrdyyxfdxI, 或∫∫.
..
=
2222),(
0yryrrdxyxfdyI.
(3)由直线y=x, x=2及双曲线
xy1=(x&0)所围成的闭区域;
解.积分区域如图所示, 并且
D={(x, y)|xyxx≤≤≤≤1 ,21},
或D={(x, y)| 21 ,121≤≤.≤≤xyy}∪{(x, y)|2 ,21≤≤≤≤xyy},
所以 ∫∫=xxdyyxfdxI1),(21, 或∫∫∫∫+=),(),(
yydxyxfdydxyxfdyI.
(4)环形闭区域{(x, y)| 1≤x2+y2≤4}.
解 如图所示, 用直线x=.1和x=1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D1, D2,
D3, D4. 于是
∫∫∫∫∫∫∫∫+++=
4321),(),(),(),(
DDDDdyxfdyxfdyxfdyxfIσσσσ
∫∫∫∫.
..
.
..
.
.
+=
),(),(xxxxdyyxfdxdyyxfdx
∫∫∫∫..
..
.
...
++
),(),(xxxxdyyxfdxdyyxfdx
用直线y=1, 和y=.1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D1, D2, D3, D 4,
如图所示. 于是
∫∫∫∫∫∫∫∫+++=
4321),(),(),(),(
DDDDdyxfdyxfdyxfdyxfIσσσσ
∫∫∫∫.
..
..
...
+=
),(),(yyyydxyxfdydxyxfdy
∫∫∫∫.
.
.
..
.
..
++
),(),(yyyydxyxfdydxyxfdy
5. 设f(x, y)在D上连续, 其中D是由直线y=x、y=a及x=b(b&a)围成的闭区域,
证明:. ∫∫∫∫=bybaxabadxyxfdydyyxfdx),(),(
证明 积分区域如图所示, 并且积分区域可表示为
D={(x, y)|a≤x≤b, a≤y≤x}, 或D={(x, y)|a≤y≤b, y≤x≤b}.
于是 , 或. ∫∫dyxfσ),(∫∫=xabadyyxfdx),(∫∫dyxfσ),(∫∫=bybadxyxfdy),(
因此 . ∫∫∫∫=bybaxabadxyxfdydyyxfdx),(),(
6. 改换下列二次积分的积分次序:
(1); ∫∫ydxyxfdy010),(
解 由根据积分限可得积分区域D={(x, y)|0≤y≤1, 0≤x≤y}, 如图.
因为积分区域还可以表示为D={(x, y)|0≤x≤1, x≤y≤1}, 所以
. ∫∫∫∫=110010),(),(
xydyyxfdxdxyxfdy
(2); ∫∫yydxyxfdy2202),(
解 由根据积分限可得积分区域D={(x, y)|0≤y≤2, y2≤x≤2y}, 如图.
因为积分区域还可以表示为D={(x, y)|0≤x≤4, xyx≤≤
2}, 所以
∫∫yydxyxfdy2202),(∫∫=402),(xxdyyxfdx.
(3)∫∫.
..
221110),(
解 由根据积分限可得积分区域}11 ,10|),{(22yxyyyxD.≤≤..≤≤=, 如图.
因为积分区域还可以表示为}10 ,11|),{(2xyxyxD.≤≤≤≤.=, 所以
∫∫∫∫.
.
.
..
=
),(),(xyydyyxfdxdxyxfdy
(4)∫∫.
.
21222),(
解 由根据积分限可得积分区域}22 ,21|),{(2xxyxxyxD.≤≤.≤≤=, 如图.
因为积分区域还可以表示为}112 ,10|),{(2yxyyyxD.+≤≤.≤≤=, 所以
∫∫.
.
21222),(xxxdyyxfdx∫∫.+
.
=101122),(yydxyxfdy.
(5)∫∫; exdyyxfdx1ln0),(
解 由根据积分限可得积分区域D={(x, y)|1≤x≤e, 0≤y≤ln x}, 如图.
因为积分区域还可以表示为D={(x, y)|0≤y≤1, ey≤x≤ e}, 所以
∫∫exdyyxfdx1ln0),(∫∫=10),(eeydxyxfdy
(6)∫∫.
xxdyyxfdxsin2sin0),(π(其中a≥0)．
解 由根据积分限可得积分区域}sin2sin ,0|),{(xyxxyxD≤≤.≤≤=π, 如图.
因为积分区域还可以表示为
}arcsin2 ,01|),{(π≤≤.≤≤.=xyyyxD
}arcsinarcsin ,10|),{(yxyyyx.≤≤≤≤∪π,
所以 ∫∫∫∫∫∫.
...
+=yyyxxdxyxfdydxyxfdydyyxfdxarcsinarcsin10arcsin201sin2sin0),(),(),(πππ.
7. 设平面薄片所占的闭区域D由直线x+y=2, y=x和x轴所围成, 它的面密度为
μ(x, y)=x2+y2, 求该薄片的质量.
解 如图, 该薄片的质量为
∫∫=dyxMσμ),(∫∫+=dyxσ)(22∫∫.+=10222)(yydxyxdy
∫.+.=10323]
372)2(
31[dyyyy34=.
8. 计算由四个平面x=0, y=0, x=1, y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6
截得的立体的体积.
解 四个平面所围成的立体如图, 所求体积为
∫∫..=dxdyyxV)326(∫∫..=(dyyxdx
∫..=10102]
2326[dxyxyy∫=.=(dxx.
9. 求由平面x=0, y=0, x+y=1所围成的柱体被平面z=0及抛物面x2+y2=6.z截得
的立体的体积.
解 立体在xOy面上的投影区域为D={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤1.x}, 所求立体的体积
为以曲面z=6.x2.y2为顶, 以区域D为底的曲顶柱体的体积, 即
∫∫..=dyxVσ)6(22∫∫...=(xdyyxdx617=.
10. 求由曲面z=x2+2y2及z=6.2x2.y2所围成的立体的体积.
解 由消去z, 得x...
..=
+=
2222262yxzyxz2+2y2=6.2x2.y2, 即x2+y2=2, 故立体在xOy面上
的投影区域为x2+y2≤2, 因为积分区域关于x及y轴均对称, 并且被积函数关于x, y都
是偶函数, 所以
∫∫+...=
DdyxyxVσ)]2()26[(2222∫∫..=
Ddyxσ)336(22
∫∫...=
(12xdyyxdxπ6)2(82032=.=∫dxx.
11. 画出积分区域, 把积分表示为极坐标形式的二次积分, 其中
积分区域D是:
∫∫
Ddxdyyxf),(
(1){(x, y)| x2+y2≤a2}(a&0);
解.积分区域D如图. 因为D={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤a}, 所以
∫∫∫∫=
DDddfdxdyyxfθρρθρθρ)sin,cos(),(
. ∫∫=πρρθρθρθ200)sin,cos(dfda
(2){(x, y)|x2+y2≤2x};
解 积分区域D如图. 因为}cos20 ,22|),{(θρπθπθρ≤≤≤≤.=D, 所以
∫∫∫∫=
DDddfdxdyyxfθρρθρθρ)sin,cos(),(
∫∫.
=22cos20)sin,cos(
ππθρρθρθρθdfd.
(3){(x, y)| a2≤x2+y2≤b2}, 其中0&a&b;
解 积分区域D如图. 因为D={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a≤ρ≤b}, 所以
∫∫∫∫=
DDddfdxdyyxfθρρθρθρ)sin,cos(),(
. ∫∫=πρρθρθρθ20)sin,cos(badfd
(4){(x, y)| 0≤y≤1.x, 0≤x≤1}.
解 积分区域D如图. 因为}
sincos10 ,20|),{(θθρπθθρ+
≤≤≤≤=D, 所以
∫∫∫∫=
DDddfdxdyyxfθρρθρθρ)sin,cos(),(
∫∫+=θθρρθρθρθπsincos1020)sin,cos(dfd.
12. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:
(1); ∫∫1010),(dyyxfdx
解 积分区域D如图所示. 因为
}csc0 ,24|),{(}sec0 ,40|),{(θρπθπθρθρπθθρ≤≤≤≤∪≤≤≤≤=D,
所以 ∫∫∫∫∫∫==
DDddfdyxfdyyxfdxθρρθρθρσ)sin,cos(),(),(1010
∫∫=40sec0)sin,cos(
πθρρθρθρθdfd∫∫+24csc0)sin,cos(
ππθρρθρθρθdfd.
(2)∫∫+xxdyyxfdx32220)(;
解 积分区域D如图所示, 并且
}sec20 ,34|),{(θρπθπθρ≤≤≤≤=D,
所示 ∫∫∫∫∫=+=+xxDDddfdyxfdyyxfdx3222220)()()(θρρρσ
∫∫=34sec20)(
ππθρρρθdfd.
(3)∫∫.
.
21110),(
解 积分区域D如图所示, 并且
}1sincos1 ,20|),{(≤≤
+
≤≤=ρθθπθθρD,
所以 ∫∫∫∫∫∫.
.
==10112)sin,cos(),(),(xxDDddfdyxfdyyxfdxθρρθρθρσ
∫∫+
=2sincos101)sin,cos(
πθθρρθρθρθdfd
(4). ∫∫2010),(xdyyxfdx
解 积分区域D如图所示, 并且
}sec tansec ,40|),{(θρθθπθθρ≤≤≤≤=D,
所以 ∫∫2010),(xdyyxfdx∫∫∫∫==ddfdyxfθρρθρθρσ)sin,cos(),(
∫∫=40sectansec)sin,cos(
πθθθρρθρθρθdfd
13. 把下列积分化为极坐标形式, 并计算积分值:
(1)∫∫.+
2202220)(
解 积分区域D如图所示. 因为}cos20 ,20|),{(θρπθθρaD≤≤≤≤=, 所以
∫∫.+
2202220)(xaxadyyxdx∫∫.=ddθρρρ2
∫∫.=20cos202πθρρρθadd∫=2044cos4πθθda443aπ=.
(2)∫∫+xadyyxdx0220;
解 积分区域D如图所示. 因为}sec0 ,40|),{(θρπθθρaD≤≤≤≤=, 所以
∫∫∫∫.=+
Dxadddyyxdxθρρρ0220
∫∫.=40sec0πθρρρθadd∫=4033sec3πθθda)]12ln(2[
63++=a.
(3)∫∫.+xxdyyxdx2212210)(;
解 积分区域D如图所示. 因为}tan sec0 ,40|),{(θθρπθθρ≤≤≤≤=D, 所以
∫∫∫∫.=+..
Dxxdddyyxdxθρρρ)(
12tansec40tansec02140.==.=∫∫∫.πθθπθθθρρρθddd.
(4)∫∫.+
220220)(yaadxyxdy.
解 积分区域D如图所示. 因为}0 ,20|),{(aD≤≤≤≤=ρπθθρ, 所以
∫∫∫∫.=+.
Dyaadddxyxdyθρρρ0028addaπρρρθπ=.=∫∫.
14. 利用极坐标计算下列各题:
(1)∫∫，其中D是由圆周x+
Dyxdeσ222+y2=4所围成的闭区域;
解 在极坐标下D={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2}, 所以
∫∫∫∫=+
DDyxddedeθρρσρ222
)1()1(
.=..==∫∫eededππρρθπρ.
(2)∫∫，其中D是由圆周x++
Ddyxσ)1ln(222+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限
内的闭区域;
解 在极坐标下}10 ,20|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD, 所以
∫∫∫∫+=++
DDdddyxθρρρσ)1ln()1ln(222
)12ln2(
41)12ln2(
212)1ln(20102.=..=+=∫∫πρρρθπdd.
(3)σdxyDarctan∫∫, 其中D是由圆周x2+y2=4, x2+y2=1及直线y=0, y=x所围成的第
一象限内的闭区域.
解 在极坐标下}21 ,40|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD, 所以
∫∫∫∫∫∫.=.=
DDDdddddxyθρρθθρρθσ)arctan(tanarctan
∫∫.=4021πρρθθdd∫∫==ππρρθθdd.
15. 选用适当的坐标计算下列各题:
(1)dxdyyxD22∫∫，其中D是由直线x=2，y=x及曲线xy=1所围成的闭区域.
解 因为积分区域可表示为}1 ,21|),{(xyxxyxD≤≤≤≤=, 所以
dxdyyxD22∫∫dyydxxxx∫∫=211221∫.=213)(dxxx49=.
(2)∫∫++
..
Ddyxyxσ222211, 其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限
内的闭区域;
解 在极坐标下}10 ,20|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD, 所以
∫∫∫∫.
+
.=
++
..
DDdddyxyxθρρρρσ)2(
.=
+
.=∫∫ππρρρρθπdd.
(3)∫∫, 其中D是由直线y=x, y=x+a, y=a, y=3a(a&0)所围成的闭区域; +
Ddyxσ)(22
解 因为积分区域可表示为D={(x, y)|a≤y≤3a, y.a≤x≤y}, 所以
∫∫+dyxσ)(22∫∫.
+=aayaydxyxdy322)(4332214)
312(adyayaayaa=+.=∫.
(4)σdyxD22+∫∫, 其中D是圆环形闭区域{(x, y)| a2≤x2+y2≤b2}.
解 在极坐标下D={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a≤ρ≤b}, 所以
σdyx22+∫∫)(
3233202abdrrdba.==∫∫πθπ.
16. 设平面薄片所占的闭区域D由螺线ρ=2θ上一段弧(
20πθ≤≤)与直线
2πθ=
所围成, 它的面密度为μ(x, y)=x2+y2. 求这薄片的质量.
解 区域如图所示. 在极坐标下}20 ,20|),{(θρπθθρ≤≤≤≤=D, 所以所求质量
∫∫∫∫.==
DdddyxM20202),(
πθρρρθσμ∫==2054404ππθθd.
17. 求由平面y=0, y=kx(k&0), z=0以及球心在原点、半径为R的上半球面所围
成的在第一卦限内的立体的体积.
解 此立体在xOy面上的投影区域D={(x, y)|0≤θ≤arctank, 0≤ρ≤R}.
∫∫..=
DdxdyyxRV222kRdRdkRarctan313arctan0022=.=∫∫ρρρθ.
18. 计算以xOy平面上圆域x2+y2=ax围成的闭区域为底, 而以曲面z=x2+y2为顶
的曲顶柱体的体积.
解 曲顶柱体在xOy面上的投影区域为D={(x, y)|x2+y2≤ax}.
在极坐标下}cos0 ,22|),{(θρπθπθρaD≤≤≤≤.=, 所以
∫∫
≤+
+=
axyxdxdyyxV22)(22πθθρρρθππθππ422coscos4adadda==.=∫∫∫..
.
1. 计算下列二重积分:
(1)∫∫, 其中D={(x, y)| |x|≤1, |y|≤1}; +
Ddyxσ)(22
解 积分区域可表示为D: .1≤x≤1, .1≤y≤1. 于是
∫∫+dyxσ)(22ydyxdx∫∫..
+=111122)(xdyyx∫..+=111132]
31[
xdx∫.
+=112)
312(113]
3232[.+=xx38=.
(2)∫∫, 其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域: +
Ddyxσ)23(
解 积分区域可表示为D: 0≤x≤2, 0≤y≤2.x. 于是
∫∫+dyxσ)23(ydyxdxx∫∫.+=2020)23(dxyxyx∫.+=20022]3[
dxxx∫.+=202)224(0232]
324[xxx.+=
320=.
(3)∫∫, 其中D={(x, y)| 0≤x≤1, 0≤y≤1}; ++
Ddyyxxσ)3(223
解 ∫∫++dyyxxσ)3(323∫∫++=(dxyyxxdy∫++=1001334]
4[dyxyyxx
∫++=103)
41(dyyy0142]
424[yyy++=1412141=++=.
(4)∫∫, 其中D是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形闭区
域.
+
Ddyxxσ)cos(
解 积分区域可表示为D: 0≤x≤π, 0≤y≤x. 于是,
∫∫+dyxxσ)cos(∫∫+=xdyyxxdx00)cos(π∫+=π00)][sin(dxyxxx
∫.=π0)sin2(sindxxxx∫..=π0)cos2cos21(xxxd
+..=0|)cos2cos21(πxxxdxxx∫.π0)cos2cos21(π23.=.
2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分:
(1)∫∫
Ddyxσ, 其中D是由两条抛物线xy=, 所围成的闭区域; 2xy=
解 积分区域图如, 并且D={(x, y)| 0≤x≤1, xyx≤≤2}. 于是
∫∫dyxσ∫∫=102dyyxdxxx∫=10223]
32[dxyxxx556)
=.=∫dxxx.
(2)∫∫, 其中D是由圆周xDdxyσ22+y2=4及y轴所围成的右半闭区域;
解 积分区域图如, 并且D={(x, y)| .2≤y≤2, 240yx.≤≤}. 于是
∫∫∫∫∫.
..
.
=22]
21[dyyxdxxydydxyyyDσ
1564]
10132[)
212(=.=.=..∫yydyyy.
(3)∫∫, 其中D={(x, y)| |x|+|y|≤1}; +
Dyxdeσ
解 积分区域图如, 并且
D={(x, y)| .1≤x≤0, .x.1≤y≤x+1}∪{(x, y)| 0≤x≤1, x.1≤y≤.x+1}.
∫∫∫∫∫∫+.
.
+
...
++=xxyxxxyxDyxdyedxedyedxedeσ
∫∫+.
..
+
..+=][][dyeedxeexxyxxxyx∫∫.
.
.+.+.=)()(dxeedxeexx
]
21[]
21[.
.
.+.+.=xxeexxee=e.e.1.
(4)∫∫, 其中D是由直线y=2, y=x及y=2x轴所围成的闭区域. .+
Ddxyxσ)(22
解 积分区域图如, 并且D={(x, y)| 0≤y≤2, yxy≤≤
21}. 于是
∫∫∫∫∫.+=.+=.+2]
2131[)()(dyxxyxdxxyxdydxyxyyyyDσ
613)
3=.=∫dyyy.
3. 如果二重积分的被积函数f(x, y)是两个函数f∫∫
Ddxdyyxf),(1(x)及f2(y)的乘积,
即f(x, y)= f1(x).f2(y), 积分区域D={(x, y)| a≤x≤b, c≤ y≤d}, 证明这个二重积分等于两
个单积分的乘积, 即
])([])([)()(2121dyyfdxxfdxdyyfxfdcbaD∫∫∫∫.=.
证明 , dxdyyfxfdyyfxfdxdxdyyfxfdcbadcbaD∫∫∫∫∫∫.=.=.])()([)()()()(212121
而 , ∫∫=.dcdcdyyfxfdyyfxf)()()()(2121
故 . dxdyyfxfdxdyyfxfbadcD∫∫∫∫=.])()([)()(2121
由于的值是一常数, 因而可提到积分号的外面, 于是得 ∫dcdyyf)(2
])([])([)()(2121dyyfdxxfdxdyyfxfdcbaD∫∫∫∫.=.
4. 化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同
的两个二次积分), 其中积分区域D是:
∫∫=
DdyxfIσ),(
(1)由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域;
解.积分区域如图所示, 并且
D={(x, y)|xyxx2 ,40≤≤≤≤}, 或D={(x, y)| yxyy≤≤≤≤241 ,40},
所以 ∫∫=xxdyyxfdxI240),(或∫∫=yydxyxfdyI4402),(.
(2)由x轴及半圆周x2+y2=r2(y≥0)所围成的闭区域;
解.积分区域如图所示, 并且
D={(x, y)|220 ,xryrxr.≤≤≤≤.},
或D={(x, y)| 2222 ,0yrxyrry.≤≤..≤≤},
所以 ∫∫.
.
=
220),(xrrrdyyxfdxI, 或∫∫.
..
=
2222),(
0yryrrdxyxfdyI.
(3)由直线y=x, x=2及双曲线
xy1=(x&0)所围成的闭区域;
解.积分区域如图所示, 并且
D={(x, y)|xyxx≤≤≤≤1 ,21},
或D={(x, y)| 21 ,121≤≤.≤≤xyy}∪{(x, y)|2 ,21≤≤≤≤xyy},
所以 ∫∫=xxdyyxfdxI1),(21, 或∫∫∫∫+=),(),(
yydxyxfdydxyxfdyI.
(4)环形闭区域{(x, y)| 1≤x2+y2≤4}.
解 如图所示, 用直线x=.1和x=1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D1, D2,
D3, D4. 于是
∫∫∫∫∫∫∫∫+++=
4321),(),(),(),(
DDDDdyxfdyxfdyxfdyxfIσσσσ
∫∫∫∫.
..
.
..
.
.
+=
),(),(xxxxdyyxfdxdyyxfdx
∫∫∫∫..
..
.
...
++
),(),(xxxxdyyxfdxdyyxfdx
用直线y=1, 和y=.1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D1, D2, D3, D 4,
如图所示. 于是
∫∫∫∫∫∫∫∫+++=
4321),(),(),(),(
DDDDdyxfdyxfdyxfdyxfIσσσσ
∫∫∫∫.
..
..
...
+=
),(),(yyyydxyxfdydxyxfdy
∫∫∫∫.
.
.
..
.
..
++
),(),(yyyydxyxfdydxyxfdy
5. 设f(x, y)在D上连续, 其中D是由直线y=x、y=a及x=b(b&a)围成的闭区域,
证明:. ∫∫∫∫=bybaxabadxyxfdydyyxfdx),(),(
证明 积分区域如图所示, 并且积分区域可表示为
D={(x, y)|a≤x≤b, a≤y≤x}, 或D={(x, y)|a≤y≤b, y≤x≤b}.
于是 , 或. ∫∫dyxfσ),(∫∫=xabadyyxfdx),(∫∫dyxfσ),(∫∫=bybadxyxfdy),(
因此 . ∫∫∫∫=bybaxabadxyxfdydyyxfdx),(),(
6. 改换下列二次积分的积分次序:
(1); ∫∫ydxyxfdy010),(
解 由根据积分限可得积分区域D={(x, y)|0≤y≤1, 0≤x≤y}, 如图.
因为积分区域还可以表示为D={(x, y)|0≤x≤1, x≤y≤1}, 所以
. ∫∫∫∫=110010),(),(
xydyyxfdxdxyxfdy
(2); ∫∫yydxyxfdy2202),(
解 由根据积分限可得积分区域D={(x, y)|0≤y≤2, y2≤x≤2y}, 如图.
因为积分区域还可以表示为D={(x, y)|0≤x≤4, xyx≤≤
2}, 所以
∫∫yydxyxfdy2202),(∫∫=402),(xxdyyxfdx.
(3)∫∫.
..
221110),(
解 由根据积分限可得积分区域}11 ,10|),{(22yxyyyxD.≤≤..≤≤=, 如图.
因为积分区域还可以表示为}10 ,11|),{(2xyxyxD.≤≤≤≤.=, 所以
∫∫∫∫.
.
.
..
=
),(),(xyydyyxfdxdxyxfdy
(4)∫∫.
.
21222),(
解 由根据积分限可得积分区域}22 ,21|),{(2xxyxxyxD.≤≤.≤≤=, 如图.
因为积分区域还可以表示为}112 ,10|),{(2yxyyyxD.+≤≤.≤≤=, 所以
∫∫.
.
21222),(xxxdyyxfdx∫∫.+
.
=101122),(yydxyxfdy.
(5)∫∫; exdyyxfdx1ln0),(
解 由根据积分限可得积分区域D={(x, y)|1≤x≤e, 0≤y≤ln x}, 如图.
因为积分区域还可以表示为D={(x, y)|0≤y≤1, ey≤x≤ e}, 所以
∫∫exdyyxfdx1ln0),(∫∫=10),(eeydxyxfdy
(6)∫∫.
xxdyyxfdxsin2sin0),(π(其中a≥0)．
解 由根据积分限可得积分区域}sin2sin ,0|),{(xyxxyxD≤≤.≤≤=π, 如图.
因为积分区域还可以表示为
}arcsin2 ,01|),{(π≤≤.≤≤.=xyyyxD
}arcsinarcsin ,10|),{(yxyyyx.≤≤≤≤∪π,
所以 ∫∫∫∫∫∫.
...
+=yyyxxdxyxfdydxyxfdydyyxfdxarcsinarcsin10arcsin201sin2sin0),(),(),(πππ.
7. 设平面薄片所占的闭区域D由直线x+y=2, y=x和x轴所围成, 它的面密度为
μ(x, y)=x2+y2, 求该薄片的质量.
解 如图, 该薄片的质量为
∫∫=dyxMσμ),(∫∫+=dyxσ)(22∫∫.+=10222)(yydxyxdy
∫.+.=10323]
372)2(
31[dyyyy34=.
8. 计算由四个平面x=0, y=0, x=1, y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6
截得的立体的体积.
解 四个平面所围成的立体如图, 所求体积为
∫∫..=dxdyyxV)326(∫∫..=(dyyxdx
∫..=10102]
2326[dxyxyy∫=.=(dxx.
9. 求由平面x=0, y=0, x+y=1所围成的柱体被平面z=0及抛物面x2+y2=6.z截得
的立体的体积.
解 立体在xOy面上的投影区域为D={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤1.x}, 所求立体的体积
为以曲面z=6.x2.y2为顶, 以区域D为底的曲顶柱体的体积, 即
∫∫..=dyxVσ)6(22∫∫...=(xdyyxdx617=.
10. 求由曲面z=x2+2y2及z=6.2x2.y2所围成的立体的体积.
解 由消去z, 得x...
..=
+=
2222262yxzyxz2+2y2=6.2x2.y2, 即x2+y2=2, 故立体在xOy面上
的投影区域为x2+y2≤2, 因为积分区域关于x及y轴均对称, 并且被积函数关于x, y都
是偶函数, 所以
∫∫+...=
DdyxyxVσ)]2()26[(2222∫∫..=
Ddyxσ)336(22
∫∫...=
(12xdyyxdxπ6)2(82032=.=∫dxx.
11. 画出积分区域, 把积分表示为极坐标形式的二次积分, 其中
积分区域D是:
∫∫
Ddxdyyxf),(
(1){(x, y)| x2+y2≤a2}(a&0);
解.积分区域D如图. 因为D={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤a}, 所以
∫∫∫∫=
DDddfdxdyyxfθρρθρθρ)sin,cos(),(
. ∫∫=πρρθρθρθ200)sin,cos(dfda
(2){(x, y)|x2+y2≤2x};
解 积分区域D如图. 因为}cos20 ,22|),{(θρπθπθρ≤≤≤≤.=D, 所以
∫∫∫∫=
DDddfdxdyyxfθρρθρθρ)sin,cos(),(
∫∫.
=22cos20)sin,cos(
ππθρρθρθρθdfd.
(3){(x, y)| a2≤x2+y2≤b2}, 其中0&a&b;
解 积分区域D如图. 因为D={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a≤ρ≤b}, 所以
∫∫∫∫=
DDddfdxdyyxfθρρθρθρ)sin,cos(),(
. ∫∫=πρρθρθρθ20)sin,cos(badfd
(4){(x, y)| 0≤y≤1.x, 0≤x≤1}.
解 积分区域D如图. 因为}
sincos10 ,20|),{(θθρπθθρ+
≤≤≤≤=D, 所以
∫∫∫∫=
DDddfdxdyyxfθρρθρθρ)sin,cos(),(
∫∫+=θθρρθρθρθπsincos1020)sin,cos(dfd.
12. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:
(1); ∫∫1010),(dyyxfdx
解 积分区域D如图所示. 因为
}csc0 ,24|),{(}sec0 ,40|),{(θρπθπθρθρπθθρ≤≤≤≤∪≤≤≤≤=D,
所以 ∫∫∫∫∫∫==
DDddfdyxfdyyxfdxθρρθρθρσ)sin,cos(),(),(1010
∫∫=40sec0)sin,cos(
πθρρθρθρθdfd∫∫+24csc0)sin,cos(
ππθρρθρθρθdfd.
(2)∫∫+xxdyyxfdx32220)(;
解 积分区域D如图所示, 并且
}sec20 ,34|),{(θρπθπθρ≤≤≤≤=D,
所示 ∫∫∫∫∫=+=+xxDDddfdyxfdyyxfdx3222220)()()(θρρρσ
∫∫=34sec20)(
ππθρρρθdfd.
(3)∫∫.
.
21110),(
解 积分区域D如图所示, 并且
}1sincos1 ,20|),{(≤≤
+
≤≤=ρθθπθθρD,
所以 ∫∫∫∫∫∫.
.
==10112)sin,cos(),(),(xxDDddfdyxfdyyxfdxθρρθρθρσ
∫∫+
=2sincos101)sin,cos(
πθθρρθρθρθdfd
(4). ∫∫2010),(xdyyxfdx
解 积分区域D如图所示, 并且
}sec tansec ,40|),{(θρθθπθθρ≤≤≤≤=D,
所以 ∫∫2010),(xdyyxfdx∫∫∫∫==ddfdyxfθρρθρθρσ)sin,cos(),(
∫∫=40sectansec)sin,cos(
πθθθρρθρθρθdfd
13. 把下列积分化为极坐标形式, 并计算积分值:
(1)∫∫.+
2202220)(
解 积分区域D如图所示. 因为}cos20 ,20|),{(θρπθθρaD≤≤≤≤=, 所以
∫∫.+
2202220)(xaxadyyxdx∫∫.=ddθρρρ2
∫∫.=20cos202πθρρρθadd∫=2044cos4πθθda443aπ=.
(2)∫∫+xadyyxdx0220;
解 积分区域D如图所示. 因为}sec0 ,40|),{(θρπθθρaD≤≤≤≤=, 所以
∫∫∫∫.=+
Dxadddyyxdxθρρρ0220
∫∫.=40sec0πθρρρθadd∫=4033sec3πθθda)]12ln(2[
63++=a.
(3)∫∫.+xxdyyxdx2212210)(;
解 积分区域D如图所示. 因为}tan sec0 ,40|),{(θθρπθθρ≤≤≤≤=D, 所以
∫∫∫∫.=+..
Dxxdddyyxdxθρρρ)(
12tansec40tansec02140.==.=∫∫∫.πθθπθθθρρρθddd.
(4)∫∫.+
220220)(yaadxyxdy.
解 积分区域D如图所示. 因为}0 ,20|),{(aD≤≤≤≤=ρπθθρ, 所以
∫∫∫∫.=+.
Dyaadddxyxdyθρρρ0028addaπρρρθπ=.=∫∫.
14. 利用极坐标计算下列各题:
(1)∫∫，其中D是由圆周x+
Dyxdeσ222+y2=4所围成的闭区域;
解 在极坐标下D={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2}, 所以
∫∫∫∫=+
DDyxddedeθρρσρ222
)1()1(
.=..==∫∫eededππρρθπρ.
(2)∫∫，其中D是由圆周x++
Ddyxσ)1ln(222+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限
内的闭区域;
解 在极坐标下}10 ,20|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD, 所以
∫∫∫∫+=++
DDdddyxθρρρσ)1ln()1ln(222
)12ln2(
41)12ln2(
212)1ln(20102.=..=+=∫∫πρρρθπdd.
(3)σdxyDarctan∫∫, 其中D是由圆周x2+y2=4, x2+y2=1及直线y=0, y=x所围成的第
一象限内的闭区域.
解 在极坐标下}21 ,40|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD, 所以
∫∫∫∫∫∫.=.=
DDDdddddxyθρρθθρρθσ)arctan(tanarctan
∫∫.=4021πρρθθdd∫∫==ππρρθθdd.
15. 选用适当的坐标计算下列各题:
(1)dxdyyxD22∫∫，其中D是由直线x=2，y=x及曲线xy=1所围成的闭区域.
解 因为积分区域可表示为}1 ,21|),{(xyxxyxD≤≤≤≤=, 所以
dxdyyxD22∫∫dyydxxxx∫∫=211221∫.=213)(dxxx49=.
(2)∫∫++
..
Ddyxyxσ222211, 其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限
内的闭区域;
解 在极坐标下}10 ,20|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD, 所以
∫∫∫∫.
+
.=
++
..
DDdddyxyxθρρρρσ)2(
.=
+
.=∫∫ππρρρρθπdd.
(3)∫∫, 其中D是由直线y=x, y=x+a, y=a, y=3a(a&0)所围成的闭区域; +
Ddyxσ)(22
解 因为积分区域可表示为D={(x, y)|a≤y≤3a, y.a≤x≤y}, 所以
∫∫+dyxσ)(22∫∫.
+=aayaydxyxdy322)(4332214)
312(adyayaayaa=+.=∫.
(4)σdyxD22+∫∫, 其中D是圆环形闭区域{(x, y)| a2≤x2+y2≤b2}.
解 在极坐标下D={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a≤ρ≤b}, 所以
σdyx22+∫∫)(
3233202abdrrdba.==∫∫πθπ.
16. 设平面薄片所占的闭区域D由螺线ρ=2θ上一段弧(
20πθ≤≤)与直线
2πθ=
所围成, 它的面密度为μ(x, y)=x2+y2. 求这薄片的质量.
解 区域如图所示. 在极坐标下}20 ,20|),{(θρπθθρ≤≤≤≤=D, 所以所求质量
∫∫∫∫.==
DdddyxM20202),(
πθρρρθσμ∫==2054404ππθθd.
17. 求由平面y=0, y=kx(k&0), z=0以及球心在原点、半径为R的上半球面所围
成的在第一卦限内的立体的体积.
解 此立体在xOy面上的投影区域D={(x, y)|0≤θ≤arctank, 0≤ρ≤R}.
∫∫..=
DdxdyyxRV222kRdRdkRarctan313arctan0022=.=∫∫ρρρθ.
18. 计算以xOy平面上圆域x2+y2=ax围成的闭区域为底, 而以曲面z=x2+y2为顶
的曲顶柱体的体积.
解 曲顶柱体在xOy面上的投影区域为D={(x, y)|x2+y2≤ax}.
在极坐标下}cos0 ,22|),{(θρπθπθρaD≤≤≤≤.=, 所以
∫∫
≤+
+=
axyxdxdyyxV22)(22πθθρρρθππθππ422coscos4adadda==.=∫∫∫..
.
1. 化三重积分为三次积分, 其中积分区域Ω分别是: ∫∫∫
Ω=dxdydzzyxfI),,(
(1)由双曲抛物面xy=z及平面x+y.1=0, z=0所围成的闭区域;
解 积分区域可表示为
Ω={(x, y, z)| 0≤z≤xy, 0≤y≤1.x, 0≤x≤1},
于是 . ∫∫∫.=xyxdzzyxfdydxI01010),,(
(2)由曲面z=x2+y2及平面z=1所围成的闭区域;
解 积分区域可表示为
}11 ,11 ,1|),,{(2222≤≤..≤≤..≤≤+=Ωxxyxzyxzyx,
于是 ∫∫∫+
.
...
=),,(
yxxxdzzyxfdydxI.
(3)由曲面z=x2+2y2及z=2.x2所围成的闭区域;
解 曲积分区域可表示为
}11 ,11 ,22|),,{(22222≤≤..≤≤...≤≤+=Ωxxyxxzyxzyx,
于是 ∫∫∫.
+
.
...
=
),,(xyxxxdzzyxfdydxI.
提示: 曲面z=x2+2y2与z=2.x2的交线在xOy面上的投影曲线为x2+y2=1.
(4)由曲面cz=xy(c&0), 12222=+
byax, z=0所围成的在第一卦限内的闭区域.
解 曲积分区域可表示为
}0 ,0 ,0|),,{(22axxaabycxyzzyx≤≤.≤≤≤≤=Ω,
于是 ∫∫∫.=cxyxaabadzzyxfdydxI000),,(
22.
提示: 区域Ω的上边界曲面为曲面cz=xy , 下边界曲面为平面z=0.
2. 设有一物体, 占有空间闭区域Ω={(x, y, z)|0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1}, 在点(x,
y, z)处的密度为ρ(x, y, z)=x+y+z, 计算该物体的质量.
解 ∫∫∫∫∫∫++==
Ω101010)(dzzyxdydxdxdydzMρ∫∫++=1010)
21(dyyxdx
∫∫+=++=(]
2121[dxxdxyyxy23)1(
21102=+=x.
3. 如果三重积分的被积函数f(x, y, z)是三个函数f∫∫∫
Ωdxdydzzyxf),,(1(x)、
f2(y)、f3(z)的乘积, 即f(x, y, z)= f1(x).f2(y).f3(z), 积分区域Ω={(x, y, z)|a≤x≤b, c≤y≤d,
l≤z≤m}, 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积, 即
. ∫∫∫∫∫∫=
Ωmldcbadzzfdyyfdxxfdxdydzzfyfxf)()()()()()(321321
证明 ∫∫∫
Ωdxdydzzfyfxf)()()(321dxdydzzfyfxfbadcml]))()()(([321∫∫∫=
dxdydzzfyfxfbadcml]))()()(([321∫∫∫=∫∫∫=mldcbadxdyyfdzzfxf)])()()()([(231
dxxfdyyfdzzfbamldc)]())()()([(123∫∫∫=∫∫∫=dcbamldxxfdyyfdzzf)())()()((123
. ∫∫∫=dcmlbadzzfdyyfdxxf)()()(321
4. 计算, 其中Ω是由曲面z=xy, 与平面y=x, x=1和z=0所围
成的闭区域.
∫∫∫
Ωdxdydzzxy32
解 积分区域可表示为
Ω={(x, y, z)| 0≤z≤xy, 0≤y≤x, 0≤x≤1},
于是 ∫∫∫dxdydzzxy32∫∫∫=xyxdzzdyyxdx030210∫∫=xxydyzyxdx004210]
4[
∫∫=xdyydxx811012==∫dxx.
5. 计算∫∫∫
Ω+++3)1(zyxdxdydz, 其中Ω为平面x=0, y=0, z=0, x+y+z=1所围成的四
面体.
解 积分区域可表示为
Ω={(x, y, z)| 0≤z≤1.x.y, 0≤y≤1.x, 0≤x≤1},
于是 ∫∫∫
Ω+++3)1(zyxdxdydz∫∫∫...
+++
=yxxdzzyxdydx(
1
∫∫..
++
=xdyyxdx10210]
81)1(21[dxxx∫+.
+
=10]
[
)
852(ln21.=.
提示: ∫∫∫
Ω+++3)1(zyxdxdydz∫∫∫...
+++
=yxxdzzyxdydx(
1
∫∫...
+++.
=xyxdyzyxdx1010210]
)1(21[∫∫..
++
=xdyyxdx10210]
81)1(21[
dxyyxx.∫.
++.
=1010]
81)1(21[dxxx∫+.
+
=10]
[
102]
16183)1ln(
21[xxx+.+= )
852(ln21.=.
6. 计算, 其中Ω为球面x∫∫∫
Ωxyzdxdydz2+y2+z2=1及三个坐标面所围成的在第
一卦限内的闭区域.
解 积分区域可表示为
}10 ,10 ,10|),,{(222≤≤.≤≤..≤≤=Ωxxyyxzzyx
于是 ∫∫∫xyzdxdydz∫∫∫...=
xyxxyzdzdydx
∫∫...=
(
21xdyyxxydx∫.=1022)1(
81dxxx481=.
7. 计算, 其中Ω是由平面z=0, z=y, y=1以及抛物柱面y=x∫∫∫
Ωxzdxdydz2所围
成的闭区域.
解 积分区域可表示为
Ω={(x, y, z)| 0≤z≤y, x2≤y≤1, .1≤x≤1},
于是 ∫∫∫xzdxdydz∫∫∫.
=yxzdzdyxdx01112∫∫.
=1211221xdyyxdx
0)1(
61116=.=∫.dxxx.
8. 计算, 其中Ω是由锥面∫∫∫zdxdydz22yxRhz+=与平面z=h(R&0, h&0)所
围成的闭区域.
解 当0≤z≤h时, 过(0, 0, z)作平行于xOy面的平面, 截得立体Ω的截面为圆
Dz: 222)(zhRyx=+, 故Dz的半径为zhR, 面积为222zhRπ, 于是
=∫∫∫
Ωzdxdydz∫∫∫
zDhdxdyzdz0∫==hhRdzzhR0223224ππ.
9. 利用柱面坐标计算下列三重积分:
(1)∫∫∫, 其中Ω是由曲面
Ωzdv222yxz..=及z=x2+y2所围成的闭区域;
解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为
0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1, 222ρρ.≤≤z,
于是 ∫∫∫zdv∫∫∫.=1022022ρρπρρθzdzdd∫..=1042)2(
212ρρρρπd
πρρρρπ127)2(1053=..=∫d.
(2)∫∫∫, 其中Ω是由曲面xΩ+dvyx)(222+y2=2z及平面z=2所围成的闭区域.
解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为
0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2, 222≤≤zρ,
于是 dvyx)(22+
Ω∫∫∫dzddθρρρ.=
Ω∫∫∫2∫∫∫=ρπρρθdzdd
∫∫.=205320)
212(ρρρθπdd∫==ππθ2031638d.
10. 利用球面坐标计算下列三重积分:
(1)∫∫∫, 其中Ω是由球面xΩ++dvzyx)(=1所围成的闭区域.
解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为
0≤θ≤2π, 0≤.≤π, 0≤r≤1,
于是 ∫∫∫
Ω++dvzyx)(222∫∫∫
Ω.=θ..ddrdrsin4
∫∫∫=104020sindrrddππ..θπ54=.
(2)∫∫∫, 其中闭区域Ω由不等式xΩzdv2+y2+(z.a)2≤a2, x2+y2≤z2 所确定.
解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为
.π.πθcos20 ,40 ,20ar≤≤≤≤≤≤,
于是 ∫∫∫∫∫∫
ΩΩ.=θ...ddrdrrzdvsincos2
∫.=404)cos2(
41cossin2π....πda
4405467cossin8adaπ...ππ==∫.
11. 选用适当的坐标计算下列三重积分:
(1)∫∫∫, 其中Ω为柱面xΩxydv2+y2=1及平面z=1, z=0, x=0, y=0所围成的在第一
卦限内的闭区域;
解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为
10 ,10 ,20≤≤≤≤≤≤zρπθ,
于是 ∫∫∫
Ωxydv∫∫∫
Ω..=dzddθρρθρθρsincos
∫∫∫==cossindzddρρθθθπ.
别解: 用直角坐标计算
∫∫∫xydv∫∫∫.=1010102dzydyxdxx∫∫.=
21010xydyxdx∫.=103)
22(dxxx
81]
84[1042=.=xx.
(2)∫∫∫
Ω++dvzyx222, 其中Ω是由球面x2+y2+z2=z所围成的闭区域;
解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为
.π.πθcos0 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤r,
于是 ∫∫∫++dvzyx222∫∫∫.=.ππ..θcos022020sindrrrdd
10cos41sin2204π...ππ=.=∫d.
(3)∫∫∫, 其中Ω是由曲面4zΩ+dvyx)(222=25(x2+y2)及平面z=5所围成的闭区域;
解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为
525 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤zρρπθ,
于是 ∫∫∫
Ω+dvyx)(22∫∫∫=ρπρρθdzdd
πρρρπ8)
255(2203=.=∫d.
(4)∫∫∫, 其中闭区域Ω由不等式
Ω+dvyx)(22Azyxa≤++≤&2220, z≥0所确
定.
解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为
Ara≤≤≤≤≤≤ ,20 ,20π.πθ,
于是 ∫∫∫
Ω+dvyx)(22θ..θ...ddrdrrrsin)sinsincossin(2222222∫∫∫
Ω+=
)(
154sinaAdrrddAa.==∫∫∫π..θππ.
12. 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积:
(1)z=6.x2.y2及22yxz+=;
解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为
0≤θ≤2 π, 0≤ρ≤2, ρ≤z≤6.ρ2,
于是 ∫∫∫∫∫∫==dzdddvVθρρ∫∫∫.=
262020ρρπρρθdzdd
∫=..=(2πρρρρπd.
(2)x2+y2+z2=2az(a&0)及x2+y2=z2(含有z轴的部分);
解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为
.π.πθcos20 ,40 ,20ar≤≤≤≤≤≤,
于是 ∫∫∫∫∫∫
ΩΩ==θ..ddrdrdvVsin2
∫∫∫=.ππ..θcos2024020sinadrrdd
34033sincos382adaπ...ππ==∫.
(3)22yxz+=及z=x2+y2;
解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为
0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1, ρ2≤z≤ρ,
6)(πρρρπρρθρρπ=.===∫∫∫∫∫∫∫
ΩddzdddvV.
(4)225yxz..=及x2+y2=4z .
解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为
2ρρρπθ.≤≤≤≤≤≤z,
于是 ∫∫∫.=
ρρπρρθdzddV
)455(
32)
45(22022.=..=∫πρρρρπd.
13. 球心在原点、半径为R的球体, 在其上任意一点的密度的大小与这点
到球心的距离成正比, 求这球体的质量.
解 密度函数为222),,(zyxkzyx++=ρ.
在球面坐标下积分区域Ω可表示为
0≤θ≤2π, 0≤.≤π, 0≤r≤R,
于是 ∫∫∫
Ω++=dvzyxkMsinRkdrrkrddRπ..θππ=.=∫∫∫.
1. 化三重积分为三次积分, 其中积分区域Ω分别是: ∫∫∫
Ω=dxdydzzyxfI),,(
(1)由双曲抛物面xy=z及平面x+y.1=0, z=0所围成的闭区域;
解 积分区域可表示为
Ω={(x, y, z)| 0≤z≤xy, 0≤y≤1.x, 0≤x≤1},
于是 . ∫∫∫.=xyxdzzyxfdydxI01010),,(
(2)由曲面z=x2+y2及平面z=1所围成的闭区域;
解 积分区域可表示为
}11 ,11 ,1|),,{(2222≤≤..≤≤..≤≤+=Ωxxyxzyxzyx,
于是 ∫∫∫+
.
...
=),,(
yxxxdzzyxfdydxI.
(3)由曲面z=x2+2y2及z=2.x2所围成的闭区域;
解 曲积分区域可表示为
}11 ,11 ,22|),,{(22222≤≤..≤≤...≤≤+=Ωxxyxxzyxzyx,
于是 ∫∫∫.
+
.
...
=
),,(xyxxxdzzyxfdydxI.
提示: 曲面z=x2+2y2与z=2.x2的交线在xOy面上的投影曲线为x2+y2=1.
(4)由曲面cz=xy(c&0), 12222=+
byax, z=0所围成的在第一卦限内的闭区域.
解 曲积分区域可表示为
}0 ,0 ,0|),,{(22axxaabycxyzzyx≤≤.≤≤≤≤=Ω,
于是 ∫∫∫.=cxyxaabadzzyxfdydxI000),,(
22.
提示: 区域Ω的上边界曲面为曲面cz=xy , 下边界曲面为平面z=0.
2. 设有一物体, 占有空间闭区域Ω={(x, y, z)|0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1}, 在点(x,
y, z)处的密度为ρ(x, y, z)=x+y+z, 计算该物体的质量.
解 ∫∫∫∫∫∫++==
Ω101010)(dzzyxdydxdxdydzMρ∫∫++=1010)
21(dyyxdx
∫∫+=++=(]
2121[dxxdxyyxy23)1(
21102=+=x.
3. 如果三重积分的被积函数f(x, y, z)是三个函数f∫∫∫
Ωdxdydzzyxf),,(1(x)、
f2(y)、f3(z)的乘积, 即f(x, y, z)= f1(x).f2(y).f3(z), 积分区域Ω={(x, y, z)|a≤x≤b, c≤y≤d,
l≤z≤m}, 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积, 即
. ∫∫∫∫∫∫=
Ωmldcbadzzfdyyfdxxfdxdydzzfyfxf)()()()()()(321321
证明 ∫∫∫
Ωdxdydzzfyfxf)()()(321dxdydzzfyfxfbadcml]))()()(([321∫∫∫=
dxdydzzfyfxfbadcml]))()()(([321∫∫∫=∫∫∫=mldcbadxdyyfdzzfxf)])()()()([(231
dxxfdyyfdzzfbamldc)]())()()([(123∫∫∫=∫∫∫=dcbamldxxfdyyfdzzf)())()()((123
. ∫∫∫=dcmlbadzzfdyyfdxxf)()()(321
4. 计算, 其中Ω是由曲面z=xy, 与平面y=x, x=1和z=0所围
成的闭区域.
∫∫∫
Ωdxdydzzxy32
解 积分区域可表示为
Ω={(x, y, z)| 0≤z≤xy, 0≤y≤x, 0≤x≤1},
于是 ∫∫∫dxdydzzxy32∫∫∫=xyxdzzdyyxdx030210∫∫=xxydyzyxdx004210]
4[
∫∫=xdyydxx811012==∫dxx.
5. 计算∫∫∫
Ω+++3)1(zyxdxdydz, 其中Ω为平面x=0, y=0, z=0, x+y+z=1所围成的四
面体.
解 积分区域可表示为
Ω={(x, y, z)| 0≤z≤1.x.y, 0≤y≤1.x, 0≤x≤1},
于是 ∫∫∫
Ω+++3)1(zyxdxdydz∫∫∫...
+++
=yxxdzzyxdydx(
1
∫∫..
++
=xdyyxdx10210]
81)1(21[dxxx∫+.
+
=10]
[
)
852(ln21.=.
提示: ∫∫∫
Ω+++3)1(zyxdxdydz∫∫∫...
+++
=yxxdzzyxdydx(
1
∫∫...
+++.
=xyxdyzyxdx1010210]
)1(21[∫∫..
++
=xdyyxdx10210]
81)1(21[
dxyyxx.∫.
++.
=1010]
81)1(21[dxxx∫+.
+
=10]
[
102]
16183)1ln(
21[xxx+.+= )
852(ln21.=.
6. 计算, 其中Ω为球面x∫∫∫
Ωxyzdxdydz2+y2+z2=1及三个坐标面所围成的在第
一卦限内的闭区域.
解 积分区域可表示为
}10 ,10 ,10|),,{(222≤≤.≤≤..≤≤=Ωxxyyxzzyx
于是 ∫∫∫xyzdxdydz∫∫∫...=
xyxxyzdzdydx
∫∫...=
(
21xdyyxxydx∫.=1022)1(
81dxxx481=.
7. 计算, 其中Ω是由平面z=0, z=y, y=1以及抛物柱面y=x∫∫∫
Ωxzdxdydz2所围
成的闭区域.
解 积分区域可表示为
Ω={(x, y, z)| 0≤z≤y, x2≤y≤1, .1≤x≤1},
于是 ∫∫∫xzdxdydz∫∫∫.
=yxzdzdyxdx01112∫∫.
=1211221xdyyxdx
0)1(
61116=.=∫.dxxx.
8. 计算, 其中Ω是由锥面∫∫∫zdxdydz22yxRhz+=与平面z=h(R&0, h&0)所
围成的闭区域.
解 当0≤z≤h时, 过(0, 0, z)作平行于xOy面的平面, 截得立体Ω的截面为圆
Dz: 222)(zhRyx=+, 故Dz的半径为zhR, 面积为222zhRπ, 于是
=∫∫∫
Ωzdxdydz∫∫∫
zDhdxdyzdz0∫==hhRdzzhR0223224ππ.
9. 利用柱面坐标计算下列三重积分:
(1)∫∫∫, 其中Ω是由曲面
Ωzdv222yxz..=及z=x2+y2所围成的闭区域;
解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为
0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1, 222ρρ.≤≤z,
于是 ∫∫∫zdv∫∫∫.=1022022ρρπρρθzdzdd∫..=1042)2(
212ρρρρπd
πρρρρπ127)2(1053=..=∫d.
(2)∫∫∫, 其中Ω是由曲面xΩ+dvyx)(222+y2=2z及平面z=2所围成的闭区域.
解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为
0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2, 222≤≤zρ,
于是 dvyx)(22+
Ω∫∫∫dzddθρρρ.=
Ω∫∫∫2∫∫∫=ρπρρθdzdd
∫∫.=205320)
212(ρρρθπdd∫==ππθ2031638d.
10. 利用球面坐标计算下列三重积分:
(1)∫∫∫, 其中Ω是由球面xΩ++dvzyx)(=1所围成的闭区域.
解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为
0≤θ≤2π, 0≤.≤π, 0≤r≤1,
于是 ∫∫∫
Ω++dvzyx)(222∫∫∫
Ω.=θ..ddrdrsin4
∫∫∫=104020sindrrddππ..θπ54=.
(2)∫∫∫, 其中闭区域Ω由不等式xΩzdv2+y2+(z.a)2≤a2, x2+y2≤z2 所确定.
解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为
.π.πθcos20 ,40 ,20ar≤≤≤≤≤≤,
于是 ∫∫∫∫∫∫
ΩΩ.=θ...ddrdrrzdvsincos2
∫.=404)cos2(
41cossin2π....πda
4405467cossin8adaπ...ππ==∫.
11. 选用适当的坐标计算下列三重积分:
(1)∫∫∫, 其中Ω为柱面xΩxydv2+y2=1及平面z=1, z=0, x=0, y=0所围成的在第一
卦限内的闭区域;
解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为
10 ,10 ,20≤≤≤≤≤≤zρπθ,
于是 ∫∫∫
Ωxydv∫∫∫
Ω..=dzddθρρθρθρsincos
∫∫∫==cossindzddρρθθθπ.
别解: 用直角坐标计算
∫∫∫xydv∫∫∫.=1010102dzydyxdxx∫∫.=
21010xydyxdx∫.=103)
22(dxxx
81]
84[1042=.=xx.
(2)∫∫∫
Ω++dvzyx222, 其中Ω是由球面x2+y2+z2=z所围成的闭区域;
解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为
.π.πθcos0 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤r,
于是 ∫∫∫++dvzyx222∫∫∫.=.ππ..θcos022020sindrrrdd
10cos41sin2204π...ππ=.=∫d.
(3)∫∫∫, 其中Ω是由曲面4zΩ+dvyx)(222=25(x2+y2)及平面z=5所围成的闭区域;
解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为
525 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤zρρπθ,
于是 ∫∫∫
Ω+dvyx)(22∫∫∫=ρπρρθdzdd
πρρρπ8)
255(2203=.=∫d.
(4)∫∫∫, 其中闭区域Ω由不等式
Ω+dvyx)(22Azyxa≤++≤&2220, z≥0所确
定.
解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为
Ara≤≤≤≤≤≤ ,20 ,20π.πθ,
于是 ∫∫∫
Ω+dvyx)(22θ..θ...ddrdrrrsin)sinsincossin(2222222∫∫∫
Ω+=
)(
154sinaAdrrddAa.==∫∫∫π..θππ.
12. 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积:
(1)z=6.x2.y2及22yxz+=;
解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为
0≤θ≤2 π, 0≤ρ≤2, ρ≤z≤6.ρ2,
于是 ∫∫∫∫∫∫==dzdddvVθρρ∫∫∫.=
262020ρρπρρθdzdd
∫=..=(2πρρρρπd.
(2)x2+y2+z2=2az(a&0)及x2+y2=z2(含有z轴的部分);
解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为
.π.πθcos20 ,40 ,20ar≤≤≤≤≤≤,
于是 ∫∫∫∫∫∫
ΩΩ==θ..ddrdrdvVsin2
∫∫∫=.ππ..θcos2024020sinadrrdd
34033sincos382adaπ...ππ==∫.
(3)22yxz+=及z=x2+y2;
解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为
0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1, ρ2≤z≤ρ,
6)(πρρρπρρθρρπ=.===∫∫∫∫∫∫∫
ΩddzdddvV.
(4)225yxz..=及x2+y2=4z .
解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为
2ρρρπθ.≤≤≤≤≤≤z,
于是 ∫∫∫.=
ρρπρρθdzddV
)455(
32)
45(22022.=..=∫πρρρρπd.
13. 球心在原点、半径为R的球体, 在其上任意一点的密度的大小与这点
到球心的距离成正比, 求这球体的质量.
解 密度函数为222),,(zyxkzyx++=ρ.
在球面坐标下积分区域Ω可表示为
0≤θ≤2π, 0≤.≤π, 0≤r≤R,
于是 ∫∫∫
Ω++=dvzyxkMsinRkdrrkrddRπ..θππ=.=∫∫∫.
1. 求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax内部的那部分面积.
解 位于柱面内的部分球面有两块, 其面积是相同的.
由曲面方程z=222yxa..得
222yxaxxz..
.=
.
., 222yxayyz..
.=
.
.,
于是 dxdyyzxzAaxyx∫∫
≤+
.
.+
.
.+=
2222)()(12dxdyyxaaaxyx∫∫
≤+..
=
222222
∫∫.
=20cos02214πθρρρθadada)2(2)sin(4220.=.=∫πθθπadaaa.
2. 求锥面z=22yx+被柱面z2=2x所割下的部分的曲面的面积.
解 由z=22yx+和z2=2x两式消z得x2+y2=2x, 于是所求曲面在xOy面上的
投影区域D为x2+y2≤2x.
由曲面方程22yx+得
22yxxxz+
=
.
., 22yxyyz+
=
.
.,
于是 dxdyyzxzAyx∫∫
≤+.
.
.+
.
.+=
1)1(
2222)()(1π221)1(22==∫∫
≤+.
dxdyyx.
3. 求底面半径相同的两个直交柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2所围立体的表面积.
解 设A1为曲面22xRz.=相应于区域D: x2+y2≤R2上的面积. 则所求表面
积为A=4A1.
dxdyyzxzAD∫∫.
.+
.
.+=22)()(14dxdyxRxD∫∫+
.
.+=22220)(14
dxdyxRRD∫∫.
=
2RdxRdyxRdxRRRRRxRxR==
.
=∫∫∫.
.
.
.
.
..
.
4. 设薄片所占的闭区域D如下, 求均匀薄片的质心:
(1)D由pxy2=, x=x0, y=0所围成;
解 令密度为μ=1.
因为区域D可表示为pxyxx20 ,00≤≤≤≤, 所以
pxdxpxdydxdxdyAxxpxD====∫∫∫∫∫,
0xdxpxxAxdydxAxdxdyAxxxpxD====∫∫∫∫∫,
ypxdxAydydxAydxdyAyxxpxD====∫∫∫∫∫,
所求质心为)
83 ,53(00yx
(2)D是半椭圆形闭区域}0 ,1 |),{(2222≥≤+
解 令密度为μ=1. 因为闭区域D对称于y轴, 所以0=x.
abdxdyADπ21==∫∫(椭圆的面积),
π34)(
bdxxaabAydydxAydxdyAyaaaaxaDab=..===∫∫∫∫∫..
.,
所求质心为)
34 ,0(πb.
(3)D是介于两个圆r=acosθ, r=bcosθ(0&a&b)之间的闭区域.
解 令密度为μ=1. 由对称性可知0=y.
)(
4)
2()
2(2222ababdxdyAD.=.==∫∫πππ(两圆面积的差),
)(2cos212220coscosbaabbadrrrdAxdxdyAxbaD+
++=..==∫∫∫∫
πθθθθ,
所求质心是)0 ,
)(2(
22baabba+
++.
5. 设平面薄片所占的闭区域D由抛物线y=x2及直线y=x所围成, 它在点(x, y)
处的面密度μ(x, y)=x2y, 求该薄片的质心.
351)(
21),(=.===∫∫∫∫∫dxxxydyxdxdxdyyxMxxDμ
4835)(
2111),(=.===∫∫∫∫∫dxxxMydyxdxMdxdyyxxMxxxDμ,
5435)(
3111),(=.===∫∫∫∫∫dxxxMdyyxdxMdxdyyxyMyxxDμ,
质心坐标为)
(.
6. 设有一等腰直角三角形薄片, 腰长为a, 各点处的面密度等于该点到直
角顶点的距离的平方, 求这薄片的质心.
解 建立坐标系, 使薄片在第一象限, 且直角边在坐标轴上. 薄片上点(x, y)
处的函数为μ=x2+y2. 由对称性可知yx=.
4022061)(),(adyyxdxdxdyyxMxaaD=+==∫∫∫∫.μ,
adyyxxdxMdxdyyxxMyxxaaD52)(1),(10220=+===∫∫∫∫.μ,
薄片的质心坐标为)
52 ,52(aa.
7. 利用三重积分计算下列由曲面所围成立体的质心(设密度ρ=1):
(1)z2=x2+y2, z=1;
解 由对称性可知, 重心在z轴上, 故0==yx.
π31==∫∫∫
ΩdvV(圆锥的体积),
===∫∫∫∫∫∫
ΩπθrzdzrdrdVzdvVz,
所求立体的质心为)
43
(2)222yxAz..=, 222yxaz..=(A&a&0), z=0;
解 由对称性可知, 重心在z轴上, 故0==yx.
)(
aAaAdvV.=.==∫∫∫
Ωπππ(两个半球体体积的差),
)(8)(3cossin1cossinaAaAdrrddVddrdrVzA.
.===∫∫∫∫∫∫
Ωππ...θθ...,
所求立体的质心为)
)(8)(3 ,0 ,0(3344aAaA.
..
(3)z=x2+y2, x+y=a, x=0, y=0, z=0.
解 ∫∫∫.+=axayxdzdydxV00022∫∫.+=axadyyxdx0022)(
∫.+.=adxxaxax032])(
31)([461a=,
∫∫∫
Ω=xdvVx1aaadzdyxdxVaxayx022===∫∫∫.+,
∫∫∫
Ω=zdvVz1∫∫∫.+=axayxzdzdydxVa=,
所以立体的重心为)
307,52,52(2aaa.
8. 设球体占有闭区域Ω={(x, y, z)|x2+y2+z2≤2Rz}, 它在内部各点的密度的大
小等于该点到坐标原点的距离的平方, 试求这球体的质心.
解 球体密度为ρ=x2+y2+z2. 由对称性可知质心在z轴上, 即0==yx.
在球面坐标下Ω可表示为: .π.πθcos20 ,20 ,20Rr≤≤≤≤≤≤, 于是
∫∫∫∫∫∫.==
Ωππ...θρ2020cos2022sinRdrrrdddvM
∫=2055cossin5322π...πdR51532Rπ=,
∫∫∫∫∫∫
Ω==ππ....θρ2020cos205cossin11RdrrddMzdvMz
RrRdRMcossin===∫
ππ...ππ,
故球体的质心为)
45 ,0 ,0(R.
9. 设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域D如下, 求指定的转动惯量:
(1)}1 |),{(2222≤+=
byaxyxD, 求Iy;
解 积分区域D可表示为
22 ,xaabyxaabaxa.≤≤..≤≤.,
于是 ∫∫∫∫∫.
.
...
.===aaxaabxaabaaDydxxaxabdydxxdxdyxIba341π=.
提示: sin2
sin atdtataxdxxaxaaππ==.∫∫.
.
(2)D由抛物线xy292=与直线x=2所围成, 求Ix和Iy;
解 积分区域可表示为
2/32/3 ,20xyxx≤≤.≤≤,
32/32/32202====∫∫∫∫∫.dxxdyydxdxdyyIDxxx,
/32/32022====∫∫∫∫∫.dxxdydxxdxdyxIDxxy.
(3)D为矩形闭区域{(x, y)|0≤x≤a, 0≤y≤b}, 求Ix和Iy.
abbadyydxdxdyyIDbax=.===∫∫∫∫,
babadydxxdxdyxIDbay=.===∫∫∫∫.
10. 已知均匀矩形板(面密度为常量μ)的长和宽分别为b和h, 计算此矩形
板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.
解 取形心为原点, 取两旋转轴为坐标轴, 建立坐标系.
bhdyydxdxdyyIhhDbbxμμμ===∫∫∫∫..
,
hbdydxxdxdyxIhhDbbyμμμ===∫∫∫∫..
.
11. 一均匀物体(密度ρ为常量)占有的闭区域Ω由曲面z=x2+y2和平面z=0,
|x|=a, |y|=a所围成,
(1)求物体的体积;
解 由对称可知
∫∫∫+=ayxadzdydxV000224
)
3(4)(4adxaaxdyyxdxaaa=+=+=∫∫∫.
(2)求物体的质心;
解 由对称性知0==yx.
∫∫∫∫∫∫
Ω+==aayxzdzdydxVzdvMz0002241ρ
∫∫++=aadyyyxxdxV(2
)
532(2adxaxaaxVa=++=∫.
(3)求物体关于z轴的转动惯量.
解 ∫∫∫∫∫∫
Ω++=+=aayxzdzyxdydxdvyxI)(4)(ρρ
∫∫++=aadyyyxxdx(4ρaaρρ==.
12. 求半径为a、高为h的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动
惯量(设密度ρ=1).
解 建立坐标系, 使圆柱体的底面在xOy面上, z轴通过圆柱体的轴心. 用柱
面坐标计算.
∫∫∫∫∫∫=+=dzdrdrdvyxIzθρ322)(hadzdrrdahπθπ==∫∫∫.
13. 设面密度为常量μ的匀质半圆环形薄片占有闭区域
}0 ,|)0 , ,{(2221≥≤+≤=xRyxRyxD, 求它对位于z轴上点M0(0, 0, a)(a&0)处单位
质量的质点的引力F .
解 引力F=(Fx, Fy, Fz ), 由对称性, Fy=0, 而
∫∫++
=
DxdayxxGFσμ2/3222)(
∫∫.
.
+
=222/322221)(
cosππρρρρθθμRRdadG
][ln12222aRRaRRRaRRaRG+
+
+
.
++
++
=μ,
∫∫++
.=
DzayxdGaF2/3222)(
σμ∫∫.+
.=222/32221)(
ππρρρθμRRaddGa
]11[221222aRaRGa+
.
+
=μπ.
14. 设均匀柱体密度为ρ, 占有闭区域Ω={(x, y, z)|x2+y2≤R2, 0≤z≤h}, 求它对
于位于点M0(0, 0, a)(a&h)处单位质量的质点的引力.
解 由柱体的对称性可知, 沿x轴与y轴方向的分力互相抵消, 故Fx=Fy=0,
∫∫∫
Ω.++
.=dvzayxzaGFz2/3222])([
ρ
∫∫∫
≤+.++
.=
])([
)(
RyxhzayxdxdydzzaGρ
∫∫∫.+
.=πθρ])([
)(RhzarrdrddzzaG
∫.+
.
.
.=hdzzaRzazaG022]
)(
11)[(2ρπ
])([22222aRhaRhG+..++=ρπ.
1. 选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论:
(1)设有空间闭区域
Ω1={(x, y, z)|x2+y2+z2≤R2, z≥0},
Ω2={(x, y, z)|x2+y2+z2≤R2, x≥0, y≥0, z≥0},
则有________.
(A); (B); xdvxdv214ΩΩ∫∫∫∫∫∫=ydvydv214ΩΩ∫∫∫∫∫∫=
(C); (D). zdvzdv214ΩΩ∫∫∫∫∫∫=xyzdvxyzdv214ΩΩ∫∫∫∫∫∫=
提示: f(x, y, z)=x是关于x的奇函数, 它在关于yOz平面对称的区域Ω1上的三重积分为零,
而在Ω2上的三重积分不为零, 所以(A)是错的. 类似地, (B)和(D)也是错的.
f(x, y, z)=z是关于x和y的偶函数, 它关于yOz平面和zOx面都对称的区域Ω1上的三重积
分可以化为Ω1在第一卦部分Ω2上的三重积分的四倍.
(2)设有平面闭区域D={(x, y)|.a≤x≤a, x≤y≤a}, D1={(x, y)|0≤x≤a, x≤y≤a}, 则
dxdyyxxyD)sincos(+∫∫=________.
(A); (B); (C); (D)0. ydxdyxDsincos21∫∫xydxdyD12∫∫ydxdyxDsincos41∫∫
2. 计算下列二重积分:
(1), 其中D是顶点分别为(0, 0), (1, 0), (1, 2)和(0, 1)的梯形闭区域; σydxDsin)1(+∫∫
解 积分区域可表示为D={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤x+1}, 于是
∫∫∫∫∫+.+=+=++cos(1)[1(sin)1(sin)1(dxxxydydxxydxxDσ
2sin22cos1sin1cos23..++=.
(2), 其中D={(x, y)|0≤y≤sin x, 0≤x≤π}; σdyxD)(22.∫∫
解 ∫∫∫∫∫.=.=.ππσ032sin022022)sin31sin()()(dxxxxdyyxdxdyxxD
(3)σdyxRD222..∫∫, 其中D是圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域;
解 在极坐标下积分区域D可表示为
θρπθπcos0 ,22R≤≤≤≤.,
于是 θρρρσddRdyxRDD22222.=..∫∫∫∫
∫∫∫..
..=.=22cos02322cos02222])(
31[
ππθθππθρρρρθdRdRdrR
(
91)sin1(
32|)sin|1(
3RdRdR.=.=.=∫∫.
πθθθθπππ.
(4), 其中D={(x, y)|xσdyxyD)963(2+.+∫∫2+y2≤R2}.
解 因为积分区域D关于x轴、y轴对称, 所以
. 063==∫∫∫∫σσydxdDD
. 2999RddDDπσσ==∫∫∫∫
因为 σσσdyxdxdyDDD)(
212222+==∫∫∫∫∫∫,
所以 σπσdyxRdyxyDD)(
219)963(2222++=+.+∫∫∫∫
RRddRRππρρρθππ+=.+=∫∫.
3. 交换下列二次积分的次序:
(1)∫∫.
..
)4(21440),(
解 积分区域为
)}4(
214 ,40|),{(.≤≤..≤≤=yxyyyxD,
并且D又可表示为
D={(x, y)|.2≤x≤0, 2x+4≤y≤.x2+4},
所以 ∫∫∫∫+.
+.
.
..
=402),(),(xxyydyyxfdxdxyxfdy.
(2); ∫∫∫∫.+yydxyxfdydxyxfdy),(),(
解 积分区域为
D={(x, y)|0≤y≤1, 0≤x≤2y}∪{(x, y)|1≤y≤3, 0≤x≤3.y},
并且D又可表示为
}321 ,20|),{(xyxxyxD.≤≤≤≤=,
所以 ∫∫∫∫∫∫..=+xxyydyyxfdxdxyxfdydxyxfdy0),(),(),(.
(3)∫∫.+21110),(xxdyyxfdx.
解 积分区域为
}11 ,10|),{(2xyxxyxD.+≤≤≤≤=,
并且D又可表示为
}20 ,21|),{(}0 ,10|),{(22yyxyyxyxyyxD.≤≤≤≤∪≤≤≤≤=,
所以 ∫∫∫∫∫∫..++=
10),(),(),(yyyxxdxyxfdydxyxfdydyyxfdx.
. ∫∫∫...=axamyxamadxxfexadxxfedy0)(
0)(
0)()()(
证明 积分区域为
D={(x, y)|0≤y≤a, 0≤x≤y},
并且D又可表示为
D={(x, y)|0≤x≤a, x≤y≤a},
所以 . ∫∫∫∫∫....==axamaxxamayxamadxxfexadyxfedxdxxfedy0)()(
00)(
0)()()()(
5. 把积分表为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D={(x, y)|xdxdyyxfD),(∫∫2≤y≤1,
.1≤x≤1}.
解 在极坐标下积分区域可表示为D=D1+D2+D3,
其中 θθρπθsectan0 ,40 :1≤≤≤≤D,
θρπθπcsc0 ,434
:2≤≤≤≤D,
θθρπθπsectan0 ,43 :3≤≤≤≤D,
所以 ∫∫∫∫=θθπρρθρθρθsectan040)sin,cos(),(dfddxdyyxfD
∫∫+θππρρθρθρθcsc0434)sin,cos(dfd
∫∫+θθππρρθρθρθsectan043)sin,cos(dfd.
6. 把积分化为三次积分, 其中积分区域Ω是由曲面z=xdxdydzzyxf),,(
Ω∫∫∫2+y2, y=x2
及平面y=1, z=0所围成的闭区域.
解 积分区域可表示为
Ω: 0≤z≤x2+y2, x2≤y≤1, .1≤x≤1,
所以 . ∫∫∫∫∫∫+
.
Ω=
2220111),,(),,(yxxdzzyxfdydxdxdydzzyxf
7. 计算下列三重积分:
(1), 其中Ω是两个球xdxdydzz2Ω∫∫∫2+y2+z2≤R2和x2+y2+z2≤2Rz(R&0)的公共部分;
解 两球面的公共部分在xOy面上的投影222)
23(Ryx≤+,
在柱面坐标下积分区域可表示为
,20 :ρρρπθ.≤≤..≤≤≤≤ΩRRzRRR,
所以 ∫∫∫∫∫∫.
..
Ω=
ρρπρρθRRRRdzzdddxdydzz
8059])()[(
312RdRRRRπρρρρπ=....=∫.
(2)dvzyxzyxz1)1ln(
222222+++
+++
Ω∫∫∫, 其中Ω是由球面x2+y2+z2=1所围成的闭区域;
解 因为积分区域Ω关于xOy面对称, 而被积函数为关于z的奇函数,
所以 01)1ln(
222222=
+++
+++
Ω∫∫∫dvzyxzyxz.
(3), 其中Ω是由xOy面上曲线ydvzy)(22+
Ω∫∫∫2=2x绕x轴旋转而成的曲面与平面x=5所
围成的闭区域.
解 曲线y2=2x绕x轴旋转而成的曲面的方程为y2+z2=2x. 由曲面y2+z2=2x和平面x=5所围
成的闭区域Ω在yOz面上的投影区域为
222)10( :≤+zyDyz,
在柱面坐标下此区域又可表示为
521 ,100 ,20 :2≤≤≤≤≤≤xDyzρρπθ,
所以 ∫∫∫∫∫∫.=+
Ω)(ρπρρρθdxdddvzy
πρρρπ3250)
215(210023=.=∫d.
8. 求平面1=++
czbyax
被三坐标面所割出的有限部分的面积.
解 平面的方程可写为ybcxaccz..=, 所割部分在xOy面上的投影区域为
}0 ,0 ,1|),{(≥≥≤+=yxbyaxyxD,
于是 dxdybcacdxdyyzxzADD2222221)()(1++=
.
.+
.
.+=∫∫∫∫
bcacabdxdybcacD++=++=∫∫.
9. 在均匀的半径为R的半圆形薄片的直径上, 要接上一个一边与直径等长的同样材料
的均匀矩形薄片, 为了使整个均匀薄片的质心恰好落在圆心上, 问接上去的均匀矩形薄片
另一边的长度应是多少？
解 设所求矩形另一边的长度为H, 建立坐标系, 使半圆的直径在x轴上, 圆心在原点.
不妨设密度为ρ=1g/cm3.
由对称性及已知条件可知0==yx, 即
, 0=∫∫ydxdyD
从而 022=∫∫.
..
xRHRRydydx,
即 0])[(
21223=..∫.
RRdxHxR,
亦即 031223=..RHRR,
从而 RH32=.
因此, 接上去的均匀矩形薄片另一边的长度为R32.
10. 求曲抛物线y=x2及直线y=1所围成的均匀薄片(面密度为常数μ)对于直线y=.1的转
动惯量.
解 抛物线y=x2及直线y=1所围成区域可表示为
D={(x, y)|.1≤x ≤1, x2≤y≤1},
所求转动惯量为
μμμμ(8[
31)1()1(=+.=+=+=∫∫∫∫∫..dxxdyydxdxdyyIxD.
11. 设在xOy面上有一质量为M的匀质半圆形薄片, 占有平面闭域D={(x, y)|x2+y2≤R2,
y≥0}, 过圆心O垂直于薄片的直线上有一质量为m的质点P, OP=a. 求半圆形薄片对质点P
的引力.
解 设P点的坐标为(0, 0, a). 薄片的面密度为22221RMRMππμ==.
设所求引力为F=(Fx, Fy, Fz).
由于薄片关于y轴对称, 所以引力在x轴上的分量Fx=0, 而
∫∫∫∫+
=
++
=RDydadGmdayxymGF02/2)(
sin)(
ρρθρθμσμπ
∫∫∫+
=
+
=RRdaGmdadGm02/20)(
2)(
sinρρρμρρρθθμπ
)(ln422222RaRaRaRRGmM+
.++=
π,
∫∫∫∫+
.=
++
.=RDzdadGamdayxamGF02/2)()(
ρρρθμσμπ
)1(2)(RaaRGmMdaGamR+
..=
+
.=∫ρρρμπ.