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概率论复习
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考研数学概率论怎么复习
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所以我不是很建议压缩看课本的时间，不妨倒可以压缩看全书的时间。我当年是边看课本，边看姚孟臣那本讲义的（基础版），上面可以难以接受，但是概率，会把一些原理讲的很透，比如各类概率密度公式，它会给你推导一遍，感觉很清晰，不过这本书可能比较难买了，概率题目也就那么点类型，你试着找找吧。之后就是看全书，做真题了，我敢说如果你教材上的全搞懂了，全书至少80%+的题目你都是轻取，课后题比较多，不过确实是挺有价值的，上面有点比较好，有些题还很难，建议都要做，而且概率和高数有点不太一样，高数教材的习题和李永乐全书的习题（相当于考研难度）是有一定级差的概率课本的特点是
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。我是考数学一的，感觉最近几年数一的概率和数理统计部分难度有所上升请问怎么复习好？
今天下午我刚去北方图书城看了最新版的《数学考试分析》，找到了10年的每题得分率。对比如下：
09年最后两道概率论与数理统计大题得分率分别为0.466，0.541，而10年居然是0.296和0.169！所以你的感觉是非常准确的。
我觉得命题老师也许并不了解普通考生什么样的题不会做(命题老师往往来自名校。离普通考生太远)，他们出题的时候也未必是想难为大多数考生，所以你现在需要做的还是吃透基本知识点，虽然这是老生常谈。我举个例子：二维正态分布在大纲中的要求是“了解”，明显低于“掌握”和“理解”，但是10年出了大题也得会做！这可能就是现在的命题思路：绞尽脑汁在大纲中找不经常考甚至从未考过的考点命题，这就要求大家复习不能有死角。
我05年数学三142分，在考东北大学工商管理学院的一千二百多人中数学名列第一。
介绍一下最新版考研数学对应教材，注意是“对应”，考研并没有“指定”教材。《高等数...
概率统计大题两道，第一道最可能考的是二维随机变量的计算，期望方差协方差，一维随机变量的函数这三种，第二道大题11年必考矩估计、最大似然估计，因为数学一这十年来从...
如果做试卷心有余而力不足，那就放弃真题吧！
当然不是放弃考试，你现在能做的就是把基础拿来看，就是用一切办法把基础搞扎实，以前我也有过这种情况，就放弃难度，从基础...
08年12月有个金卡学员问我数学三怎么才能考到140分，她说自己当时的水平做历年真题1小时就能完成，基本都对……我听到这儿就断言她最后绝考不到140，130希望...
答: 很好 很有影响
答: 嗯，还不错啊~~我同学去年报的他们的班
答: 建议你看一下往年的考试卷
一般都是差不多的。
答: 高手不需要知道
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相关问答：123456789101112131415导读：15年概率论与数理统计期末考试――复习资料王嘉达整理，A必然事件B.A与B恰有一个发生C.不可能事件D.A与B不同时发生解答：按照题意，为离散型随机变量的概率分布，9.设随机变量X的概率密度为f(x)，1.概率论是研究随机现象统计规律性的科学，其中有3本概率书，则取到的全是概率书的概率为1/7，则随机变量X的概率密度函数是fX(x)=7.设X~N(2,3)，解答：公式DX=E（X^2）-(EX15年概率论与数理统计期末考试――复习资料
王嘉达 整理 试卷一（日） 一、选择题 1.设A、B为σ饬礁鍪录(A?B)(A?B)表示 (D) A 必然事件
A与B恰有一个发生
C.不可能事件
D. A与B不同时发生 解答： 按照题意,P为(非A+B)、(A+B)、(非A+非B)、(A+非B)四件事同时发生的概率.而(非A+非B)=非(A+B),但事件(A+B)跟非(A+B)是对立事件,不可能同时发生,所以概率为零.如果还不能理解可以用图示法.图中两个圆圈分别表示A和B事件,其中绿色部分为(A+B),剩余蓝色部分为(非A+非B),由图可知(A+B)和(非A+非B)没重叠,即不同时发生.所以P=0.
2. 对于σ饬礁鏊婊淞X与Y，若E(XY)=E(X)E(Y)，则(A) A．D(XY)=D(X)D(Y)
B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)
C.X与Y独立
D.X与Y不独立 解答：D(X+Y)=COV(X+Y,X+Y) =COV(X,X)+2COV(X,Y)+COV(Y,Y) =D(X)+D(Y).
3.若A与B互为对立事件，则下式成立的是(B) A. P(AB)= 0
B. P(AB)=P(A)P(B) C. P(AB)=P(A)+P(B)
D. P(AB)=1
解答：由于A与B互为对立事件，故二者始终不同时成立。
4. 设事件A满足0<P(A)0，且P(B/A)?P(B/A)，则必有(B)成立。 A．P(A/B)?P(A/B)
B. P(A/B)?P(A/B) C.
P(AB)?P(A)P(B)
D. P(AB)?P(A)P(B) 解答： 若独立，则由P(AB)=P(A)P(B)
得P(B|A)=P(AB)/P(A)=[P(A)P(B)]/P(A)=P(B) P(B|A*)=P(A*B)/P(A*)=P(A*)P(B)/P(A*)=P(B) 故P(B|A)=P(B|A*) 若P(B|A)=P(B|A*)
则P(AB)/P(A)=P(A*B)/P(A*)=[P(B)-P(AB)]/[1-P(A)] 即P(A)P(B)-P(A)P(AB)=P(AB)-P(A)P(AB) P(AB)=P(A)P(B)
故A与B相互独立
5. 常数b=(C)时，pk?A+B b,k?1,2,...，为离散型随机变量的概率分布。 k(k?1)A．2
3 解答： 要求总和为1,因为Pk=b/k(k+1)=b/k-b/(k+1) 所以P1+P2+...=b/1-b/2+b/2-b/3+.=1 因为b/(k+1)趋近于0,所以b=1 6. 广义平稳白噪声的相关函数为R(τ)=δ(τ),则其均值和方差分别为(
)。 A．0，1
∞，0 7. 设随机变量X具有分布P{X=k}=1/5 ,k=1，2，3，4，5，则E(X)=(D) A.2
D.5 解答：E(X)=1x1/5+2x1/5…x+5x 1/5 = (1+2+…5)/5 =3 王嘉达
第1页 15年概率论与数理统计期末考试――复习资料
王嘉达 整理 8．若随机信号 X(t)是广义平稳随机信号，则下列关系(
)不成立 [A]．E[X(t)]=常数
[B]. R(t 1 ,t 2 )=R(t 2 -t 1 ) [C]. R(t 1 ,t 2 )=R(t 1 -t 2 )
[D].R(t 2 -t 1 )=常数
9.设随机变量X的概率密度为f(x)，且f(-x)=f(x),F(x)是X的分布函数，则对σ獾氖凳a，有（D） A.F(-a)=1-F(a)
F(-a)= F(a)
C. F(-a)=F(a)-1
D. F(-a)=2F(a)-1 解答：F(-a)=∫(-∞,-a)f(x)dx=∫(a,+∞)f(-t)dt=∫(a,+∞)f(t)dt=1-∫(-∞,a)f(x)dx=1-F(a)
10. 如果随机过程 X 1 (t)，X 2 (t)正交，它们分别经过线性时不变系统 H(t)后的输出为 Y 1 (t)，Y 2 (t)，则 Y 1 (t)与 Y 2 (t)之间的关系为 (
) 。 [A]. 独立
[C]. 不相关
二、填空题 1. 概率论是研究随机现象统计规律性的科学。 2. 已知P(A)=0.6,P(B)=0.3，则P(A-B)=0.3
3. 若A与B互为独立事件，则P（A+B）=1
4. 某学生的书桌上放着 7 本书，其中有 3 本概率书，现随机取 2 本书，则取到的全是概率书的概率 为1/7
设随机变量 X~U(0,10)，则 P(X>4)=0.6
设 X~N(u,б )，则随机变量 X 的概率密度函数是 fX(x)=7.
设 X~N(2,3)，则数学期望 E(X) =7 解答：公式DX=E（X^2）-(EX)^2
其中DX=3,EX=2
广义平稳随机信号的相关函数为 R(τ)，则其功率谱表达式为
广义各态历经信号的均值、方差和相关函数仅需要
个样本就可以测量 10. 对随机过程 X(t)，如果Cx (t1，t2 ) =0，则我们称 X(t 1 )和 X(t 2 )是
11. 对随机过程X(t)，如果fx(x1,x2,t1,t2)=fx(x1，t2)fx(x2，t2)，则称随机过程在t1和t2时刻的状态是
12. 匹配滤波器是以输出信噪比为准则的最佳线性滤波器。 13. 希尔伯特变换器的相频特性为
14. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从正态分布。 【补充】窄带正态噪声的包络服从瑞利分布，而相位则服从均匀分布。 15. 随机数参数点估计的评价标准是无偏性、有效性和一致性。
212√2πσ???(x?u)22σ2 王嘉达
第2页 15年概率论与数理统计期末考试――复习资料
王嘉达 整理 三、计算题 1. 寝室中有 4 人，求：(1) 至少有 2 人的生日同在 12 月У母怕省(2) 至少有两人的生日在同一月的 概率（10’） 。
2. 设随机变量 X 服从区间（0,1）上的均匀分布，在 X=x（0<x1) 。(10’)
3. 随机过程X(t)=Asin(ω 0 t)+Bcos(ω 0 t)， 其中ω为常数， A和B是两个互相独立的随机变量， 且E[A]=E[B]=0,E[A]=E[B]=б ，求 X(t)的数学期望、自相关函数和功率谱。(15’)
4. 已知系统的结构如图题 4 所示，输入随机信号 X(t)的功率谱为 S X (ω)，求输出信号 Y(t)的功率谱 S Y (ω)。(15’)
第3页 15年概率论与数理统计期末考试――复习资料
王嘉达 整理 试卷二（日） 一、 填空题 1. 概率论是研究随机现象统计规律性的科学。 2. 如果随机变量X与Y相互独立，则X与Y必定
(相关/不相关)。 3. 均值各态历经随机信号
(一定/不一定)是广义平稳信号。 4. 广义各态历经信号的均值、方差和相关函数仅需要
个样本就可以测量。 5. 设P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A B)=0.2，则P(AB)?
6. 设A，B相互独立且都不发生的概率为0.16 ，又A发生而B不发生的概率与B发生而A不发生的概率相等，则P(A)=
7. 10件产品中有3件次品，不放回地从中抽取2件，一次抽一件，已知第一次取到的是正品，则第二次取到次品的概率为
x??5?F(x)??1?e??08. 设随机变量X的分布函数为x?0x?0，则X的概率密度f(x)＝
9. 袋中有5个黑球，3个白球，从袋中θ4个球恰有3个白球的概率
10. 设随机变量X~B(1，0.8)（二项分布），则X的分布函数为
?c?1?x?3f(x)??2??0otherwise 则常数c=
11. 设随机变量X的概率密度为 12. 如果P(A)=1/2，P(B)=1/3，且A、B相互独立，则P(AB)=
13. 设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X?2Y的方差为
14. 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则 15. 设随机变量X~U(0,10)，则P(X>4)=
二、 选择题 1.设A、B为σ饬礁鍪录(A?B)(A?B)表示 (D) A 必然事件
A与B恰有一个发生
C.不可能事件
D. A与B不同时发生 解答： 按照题意,P为(非A+B)、(A+B)、(非A+非B)、(A+非B)四件事同时发生的概率.而(非A+非B)=非(A+B),但事件(A+B)跟非(A+B)是对立事件,不可能同时发生,所以概率为零.如果还不能理解可以用图示法.图中两个圆圈分别表示A和B事件,其中绿色部分为(A+B),剩余蓝色部分为(非A+非B),由图可知(A+B)和(非A+非B)没重叠,即不同时发生.所以P=0.
A+B 王嘉达
第4页 15年概率论与数理统计期末考试――复习资料
王嘉达 整理 2. 对于σ饬礁鏊婊淞X与Y，若E(XY)=E(X)E(Y)，则(A) A．D(XY)=D(X)D(Y)
B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)
C.X与Y独立
D.X与Y不独立 解答：D(X+Y)=COV(X+Y,X+Y)=COV(X,X)+2COV(X,Y)+COV(Y,Y)=D(X)+D(Y). 3.若A与B互为对立事件，则下式成立的是(B) A. P(AB)= 0
B. P(AB)=P(A)P(B) C. P(AB)=P(A)+P(B)
D. P(AB)=1
解答：由于A与B互为对立事件，故二者始终不同时成立。
4. 设事件A满足0<P(A)0，且P(B/A)?P(B/A)，则必有(B)成立。 A．P(A/B)?P(A/B)
B. P(A/B)?P(A/B) C.
P(AB)?P(A)P(B)
D. P(AB)?P(A)P(B) 解答： 若独立，则由P(AB)=P(A)P(B)
得P(B|A)=P(AB)/P(A)=[P(A)P(B)]/P(A)=P(B) P(B|A*)=P(A*B)/P(A*)=P(A*)P(B)/P(A*)=P(B)
故P(B|A)=P(B|A*) 若P(B|A)=P(B|A*)
则P(AB)/P(A)=P(A*B)/P(A*)=[P(B)-P(AB)]/[1-P(A)] 即P(A)P(B)-P(A)P(AB)=P(AB)-P(A)P(AB)
P(AB)=P(A)P(B)
故A与B相互独立
5. 一盒有m(>2)个白球，n个红球，随机从盒中取球，每次取1个，取后不放回，连续取三次，则三次均取到白球的概率为(
)。 333CmAmCmm(m?1)(m?2)3333ACCCm?nA．m?n
6. 常数b=(C)时，pk?b,k?1,2,...，为离散型随机变量的概率分布。 k(k?1)A．2
3 解答： 要求总和为1,因为Pk=b/k(k+1)=b/k-b/(k+1) 所以P1+P2+...=b/1-b/2+b/2-b/3+.=1 因为b/(k+1)趋近于0,所以b=1 7. 如果随机变量X~N(0,1)，Y=aX+b~N(2,9)，则a，b应取下面的值 A．a=2，b=3
B. a=2，b=2
C. a=3，b=2
D. a=3，b=3
8. 设随机变量X与Y独立同分布，记U=X+Y，V=X-Y，则随机变量U与V必然(
C.相关系数不为零
D.相关系数为零
9. 广义平稳白噪声的相关函数为R(τ)=δ(τ),则其均值和方差分别为()。 A．0，1
10. 设随机变量X具有分布P{X=k}=1/5 ,k=1，2，3，4，5，则E(X)=(D) A.2
D.5 解答：E(X)=1x1/5+2x1/5…x+5x 1/5 = (1+2+…5)/5 =3
第5页 15年概率论与数理统计期末考试――复习资料
王嘉达 整理 三、简答题（15+10+15） 1. 3个不同的球，随机投入编号为1,2,3,4的盒中，X表示有球盒的最小号码，求X的分布律，均值和方差。 X=4：P(X=4)=1/43
3球全在4号盒.
X=3：P(X=3)=7/4
表示第1,2号是空的,第3只至少有一只球。先算1,2号是空的,减去1,2,3号是空的情况 X=2：P(X=2)=19/4一号盒空二号盒至少一球：先算1号盒子是空的,减去1,2号盒是空的情况：
X=1：P(X=1)=37/4 E（X)=（37+2×19+3×7+4）/64 =1+9/16
2 33 34 1/4 3P(X) 37/4 19/4 7/4 2. 设随机变量X与Y相互独立，D(X)=4D(Y)，U=2X+3Y，V=2X-3Y，求ρXY 。
3. 给定随机过程X(t)=Acost-Bsint，Y(t)=Bcost+Asint，其中随机变量A，B独立，均值都为零，方差都为5，试证明X(t)与Y(t)各自平稳且联合平稳。
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概率论 总复习?Ch1随机事件及其概率 ?Ch2,Ch4一维随机变量?Ch3,Ch4二维随机变量?Ch5大数律与中心极限定理随机事件及其概率一.随机事件 1.样本点、样本空间、随机事件 2. 事件的关系，运算，运算规律 并、交、差 包含，互斥（不兼容），对立（互补，互逆） 对偶律二.概率定义1.公理化定义 三条公理：非负性、规范性、可列可加性 2.概率性质（前7条）三.古典概型A中所包含的样本点数 P( A) ? ?中所包含的样本点总数排列、组合 几何概型：A的度量 P( A) ? ?的度量P( AB) P , P( B) ? 0 四.条件概率： ( A | B) ? P( B)乘法公式：P( AB) ? P( B) ? P( A | B) ? P( A) ? P( B | A)全概率公式：P( B) ? ? P( Ai B) ? ? P( Ai ) ? P( B | Ai )i ?1 i ?1 n n贝叶斯公式：P( Ai B) ? P( Ai | B) ? P( B)P( Ai ) ? P( B | Ai )? P( A ) ? P( B | A )k ?1 k kn五.独立性A与B相互独立 ? P( A | B) ? P( A)? P( AB) ? P( A) ? P( B)( A, B), ( A, B ), ( A, B), ( A, B )四对中只要有一对两个 事件独立， 则其余三对中两事件也 相互独立。? P( AB) ? P( A) P( B) ? P( AC) ? P( A) P(C ) A、B、C相互独立? ? ? ? P( BC) ? P( B) P(C ) ? P( ABC) ? P( A) P( B) P(C ) ?一维随机变量X一.分布函数 1.定义F ( x) ? P( X ? x)，x ? R2. 性质 1 0 ? F ( x) ? 1 （）（2）单调不减（3） lim F ( x ) ? 0, lim F ( x ) ? 1x ? ?? x ? ??（4）F ( x)右连续（5）任意a ? b, 有 P ( a ? X ? b) ? P ( X ? b) ? P ( X ? a )? F (b) ? F (a)二.X是离散型1.分布律X Px1 p1… …xk pk… …（ ）pi ? 0, i ? 1,2,? 1（2） pi ?1 ?2.常见分布分布 (1) 0-1分布分布律 X 0 P 11E(X) D(X)ppp npp(1 ? p) np(1 ? p)(2) 二项分布 P( X ? k ) ? Cnk ? pk ? (1 ? p)n?k ,X ~ B(n, p) k ? 0,1,2,?, n(3) 泊松分布 P( X ? k ) ? ? e ?? , k! X ~ P (? ) k ? 0,1,2,?(4) 几何分布 (5) 超几何分 布?k??P( X ? k ) ? (1 ? p)k ?1 ? p,m n CM CN?m ?M P( X ? m) ? n CN3.数学期望，方差的性质E(X) D(X)(1)(2) (3) (4)E(C)=CE(CX)=CE(X) E(X±Y)=E(X)±E(Y) E(XY)=E(X)E(Y)，(X与Y 独立)D(C)=0D(CX)=C2D(X) D(X±Y)=D(X)+D(Y) ，(X 与Y独立)E ( X ) ? ? xi piiE( X ) ? ??? xf ( x)dx ??D( X ) ? E ( X ? E ( X )) 2 =E(X2)-[E(X)]2三.X是连续型1.概率密度函数 f (x) : F ( x) ? P( X ? x) ? ? f (t )dt?? x性质：1) f ( x) ? 0; ((2) ? f ( x)dx ? 1;?? ??(3)?x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 , 有： P( x1 ? X ? x2 ) ? F ( x2 ) ? F ( x1 ) ??x2x1f ( x)dx(4)对于f ( x)的连续点，都有 ( x) ? F ?( x)。 f2.常见分布分布(1) 均匀分布概率密度函数? 1 , x ? ( a, b) ? f ( x) ? ? b
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