有三张卡片，正反面分别写有6个不同的数字1，3，5和2，4，6，将这三张卡片上的数字排成三位数，共能组成
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谢谢小秘书邀请(????)王者荣耀玩猴子用什么名字？个人认为玩猴子不一定非要去用与猴子相关的名字，既然题主就是有这样的需要，我绞尽脑汁想到了几个我个人认为还不错的名字。吃我一棒放屁都暴击齐天如果感觉只有文字很单调的话可以适当添加一些符号????????????????????????ζ?????????????????ζ?????????????n?????????????⊙●○①◎Θ⊙¤I★☆♀　??-?　?????├┝┞┟┠┡┢┣┤┥┦┧┨┩┪┫┬┭┮┯┰┱┲┳┴┵┶┷┸┹┺┻??oo?¤???ぁあぃいぅうぇえぉおかがきぎくぐけげこごさざしじすずせぜそぞただちぢっつづてでとどなにぬねのはwot属于比较冷门的类型，但好制作比较精良，虽然根据游戏性的需求做了点妥协，但还是有一定的真实度的，但“黄金五九”之类的做法还是有点反胃。毕竟wot的题材和操作门槛没办法让绝大部分人适应（虽然已经很简单了），就没办法属于快餐游戏，所以wot最初的目标人群是很明确的：军迷、坦克迷、二战迷。而这群人最初开始玩wot大约是在2010年（修改），作为二战坦克迷的我也是那个时间看到宣传片就马上开始玩了，一直到现在。当然其间有一段时间对d系感到失望透顶，放弃了一年多。到现在也在这游戏上花了累计有2-3千，算比较少的，比起人家一台金59就3千多（刚出时的价），算是保守得太多了。这算是我玩得时间最长的游戏，比有三张卡片，正反面分别写有6个不同的数字1，3，5和2，4，6，将这三张卡片上的数字排成三位数，共能组成(图2)有三张卡片，正反面分别写有6个不同的数字1，3，5和2，4，6，将这三张卡片上的数字排成三位数，共能组成(图4)有三张卡片，正反面分别写有6个不同的数字1，3，5和2，4，6，将这三张卡片上的数字排成三位数，共能组成(图7)有三张卡片，正反面分别写有6个不同的数字1，3，5和2，4，6，将这三张卡片上的数字排成三位数，共能组成(图9)有三张卡片，正反面分别写有6个不同的数字1，3，5和2，4，6，将这三张卡片上的数字排成三位数，共能组成(图12)有三张卡片，正反面分别写有6个不同的数字1，3，5和2，4，6，将这三张卡片上的数字排成三位数，共能组成(图16)
有三张卡片，正反面分别写有6个不同的数字1，3，5和2，4，6，将这三张卡片上的数字排成三位数，共能组成不同的三位数的个数是（　　）
相关解决方法如下：一般都会删除存档，但是千万不要这样做，发现自己辛辛苦苦创造的世界没有，真的会受到很大的打击。之前我的存档就被朋友不小心给删了一次，当时真的眼泪都在眼眶里打转了，那段时间真的心情非常的糟糕……“我的世界防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。
这是我十九连败之后第一场胜利，自己看吧，对面齐刷刷的7级，我保存了录像回看了一遍，对面五个人没有一个打野的，而且从不顿草丛，一次配合也没有，期间我们伙死了好几次都没算人头，仅7分钟结束战斗，结束之后我防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。根据题意,先将三张卡片全排列,有A 3 3 =6种情况, 而每张卡片可以表示2个数字,即有2种情况,则三张卡片共有2×2×2=8种情况, 则可以组成不同的三位数的个数为6×8=48个; 故...致Minecraft有一种游戏，叫做Minecraft.....我忘不了第一次玩MC的时候，撸掉的第一块原木，挖到了第一块钻石，第一次被苦力怕炸死，第一次见到末影人，并且怀着好奇心去和他对视，第一次找防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。
我最后悔的是李白。。。哈哈手残个人觉得这些英雄容易买了后悔王者荣耀的英雄很多，但是新手就那么几个，虽然各种活动看上去能领的福利不少，但是能换成英雄的并不多，不是土豪的话，基本上一个月也就能搞1,2个英防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。根据题意,先将三张卡片全排列,有A33=6种情况, 而每张卡片可以表示2个数字,即有2种情况,则三张卡片共有2&2&2=8种情况, 则可以组成不同的三位数的个数为6&t...要想逼格高最重要的一点是：走别人没走过的路叔本华曾说过这样一句话：有才之人，能击中别人无法击中的目标；天才，能击中别人连看都看不到的目标。Talenthitsatargetnooneelsecanhi防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。
今天我要说的是关于本人的一个故事，一个关于《魔兽世界》JJC的故事个人认为魔兽世界PVP做的算是非常平衡了，首先天赋百花齐放，百家争鸣。部落最良心的地方就是不会出现土豪吊打潘康恼庵智榭龀鱿郑灰闶址雷ト。眯挠蜗吠峁┠谌荩氩榭丛摹先将三张卡片全排列,有A33=6种情况, 而每张卡片可以表示2个数字,即有2种情况,则三张卡片共有2&2&2=8种情况, 则可以组成不同的三位数的个数为6&8=48...分谁，adc340移速出鞋才400，荆轲出门就400，还没等跑呢，已经输了。没有位移adc350。荆轲出鞋你想跑都跑不了。现在荆轲有的出那个脱离战斗加60移速那个鞋。没法玩。不是技术不行，是先天压制。荆轲一个大半血放俩技能adc死了，除非带闪现跑。兰陵王秒adc分分钟的事，秒马克意识好能逃跑也得残。这游戏就看队友吧。前几天看队友选个周瑜和扁鹊，不想打了，挂机6分钟送了四个人头，经济辣三四千，对面橘防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。
不会啊，我媳妇有时候安慰我还会送我皮肤呢。玩游戏嘛，每个人理解不一样。有的人觉得浪费，有的人觉得划算不贵，我觉得在能接受的范围里面都是可以的。其实这里面最耗钱的是水晶和符文，其余的不算贵。不过这游戏最防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。试题答案:这三张卡片拼在一起组成一个三位数共有5×4×2=40个; 最后一位是0或2或4或6的数共有28个. 故这个三位数是偶数的概率是. 故答案为:710.首先王者荣耀是属于一个推塔游戏再到团战游戏，而不是各打各的。实事证明车队打排位上分比起单排上分容易2.5倍，车队的胜率也比单排多19%左右。今天聊一下很多玩家都会遇到的情况。如果团灭敌方之后，是集合推防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。
必须英雄联盟难啊！不要把手游的难度和端游来做比较，没有任何可别性的！那些扯什么王者荣耀难的，别逗我笑了，本人长期混迹于LOL一区白银，打王者荣耀目前没有一个赛季不在钻石以上。别说什么王者荣耀用户基数大防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。三张卡片排列P33=6,每一张卡片两面,则6*2*2*2=48,总共有48种可能,48个数,每个数出现的概率都是一样的,然后看里面有几个奇数,个位为3或5两种情况,十位和百位共有变化P...应该是我的世界好玩，添加一些mod，光影材质，动态光影，add-ons，皮肤，披风之类的。迷你世界的mod，皮肤，披风，add-ons，光影材质，动态光影都没有，而且这些有些要钱，里面的物品还要等级解防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。
玩了5年的起凡，不知道有没有人知道这个游戏。当时我还是小学的时候就比较火了（我08年6年级）。初一才开始到这个游戏。那个时候全班的男生百分之50都玩起凡。每天下课就聚在一起聊游戏。什么昨天我拿了两个m防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。上的数字不可能相同,因而排十位时有2种选择,排个位只有一种选择.故能排出3×2×1=... 不同的三位数.方法二:第一步,排百位有6种选择,第二步,排十位有4种选择,第三步,排个位...在这个困的睁不开眼得中午，你把我拉了过来，算了，说正题。支持那个游戏，说实话，我支持最开始，国外的我的世界，被网易一代理，作为一名学生党，哪有钱买啊，别说我穷，我真的掏不出来这45块钱，所以说，支持最防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。
以前玩大话最早是在05年，现在十多年了，那时候开始还买点卡，后来自己能跑200后，一直自己跑200挣点卡钱，一直也没冲过什么钱，直到他妈的有一次端午节任务，说出来是好事，但是塞翁失马焉知非福，我得了一防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。卡片选择一面;C(2,1)
3、第三张卡片选择一面;C(2,1)
4、排列三张卡片。P(3,3)(即3的排列)
根据排列组合原理,题解为:
C(2,1)×C(2,1)×C(2,1)×P(3,3)
=2×2×2×6
=4...感谢邀请，本人先说明一下，我的世界创始于2009年，迷你创建于啥时候？2015年！说minecraft抄袭垃圾迷你的，咋TM想的你！要你这么说Notch从2009年穿越到2015年抄袭迷你，再跑回去，有病啊！咋不穿越火线呢！那你这么说人家Notch咋不再穿越到2015把垃圾迷你厂家给端了呢？（当然那是不可能的了）所以！看清楚时间！看清楚历史！闲着没事玩什么穿越啊，又不是人家''都''教授（没看过，防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。
我遇到最尴尬的一件事就是差点失去了我的第一次。当时正在包夜，一个女的从我身边走过，看着她火辣的身材加上黑丝皮裙就没忍住一直盯着看，想看她做哪台机，谁知她突然转头和我对视五秒钟，然后问我看什么。我鬼使神防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。共有:6×4×2=48个不同的三位数。怎么说，第一次有想写长篇评论的冲动……也许是刚刚看完b站楚河的录播的缘故吧……昨天看楚河直播，说是双方水军一个劲的带节奏，能看出来，是想给自己和对方一个台阶下，不想事情越搞越大，伤害的都是双方。没成想防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。
小伙苦战195分钟获胜，后台却没有战绩，找客服理论无果只好以跳楼相逼。很多玩家放弃LOL转战王者荣耀，就是因为手机游戏时间短，一把只要十几二十分钟。而今天要说了这位玩家足足玩了195分钟王者荣耀，手机防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。由体得,第一个卡片有两种选择为C21,第二个卡片为C21,第三个为C31
这三个卡不知道先后顺序,所以为A33
可以的C21*C21*C31*A33=72说《诛仙》与《七界传说》齐名，估计你会被喷出个爆款??我是看过的，这本书一开始还是不错的，后来吗，个人感觉有几个问题，1.各界的塑造不够，人物略少，整体缺乏“界”的气势，直观感觉其实都和一个门派差不多防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。
谢邀。首先说一下王者荣耀的评分系统，根据你的击杀数，被杀数，助攻数还有参团率等一系列因素给你的评分。首先这个分数在有些情况下是很不合理的。举个栗子，李元芳打野很强，抢大龙小龙很快，偷到主宰对团队的贡献防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。答:不同三位数有24个大司马――我的梦想是开一家真皮网咖，本名韩金龙，是斗鱼直播平台旗下的一名签约主播。主播的内容当然是英雄联盟。直播时间段固定在每天下午三点到晚上八点，周三固定休息。其他时间段没特殊情况一般都会播。你是李防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。
上面提到的有认识的，也有不认识的。我就挑我知道的几个人来说说吧。小时候大约在上小学的时候，被同学带进游戏厅，从此接触到了拳皇，虽然至今仍然是个拳皇菜鸟但是对于拳皇高手一直处于45°仰望的感觉。前几年一防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。问：有三张卡片，正反面分别写有6个不同的数字1，3，5和2，4，6，将这三张卡...今天是全中国和全高考生的大日子，那就是高考。对于高考想必很多人都是紧张的，尤其是家长和考生，三年来的努力都在7、8、9三日里体现了，在此小编也祝各位能够取得一个好成绩，上自己理想的大学。对于考试紧张压防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。答： 根据题意，先将三张卡片全排列，有A 3 3 =6种情况，而每张卡片可以表示2个数字，即有2种情况，则三张卡片共有2×2×2=8种情况，则可以组成不同的三位数的个数为6×8=48个；故选C． 我玩过的手游挺多，有保卫萝卜，植物大战僵尸，剑侠情缘手游等等，真正让我着迷的只有皇室战争，这是2016年现象级的全球最佳手游，2017年第二季度依然是最具吸引力手游之一，位列全球手游收入榜第二，3分钟防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。
一如果是在游戏里打架的话那肯定MC赢咯，MC就是不用MOD不用指令不开创造，仗着人多也能把迷你狗们打到喊爹吧，适合打架的MOD我看非无尽贪婪莫属，无尽套穿满后不会再受到任何伤害，剑的伤害是∞，也就是说防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。问：有三张卡片，正、反面各写有1个数字，第一张写有1和2，第二张写有3和4，...首先，其他人的回答都没抓到点子上。我手上就有一台小米5s，我来告诉你为什么这么卡！其实这是因为小米的温控降频锁核阻碍了你愉快地玩王者荣耀，目前解决的办法主要有两点∶一、想办法把手机电池的温度降到40摄防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。答：根据分析可得：（3×2）×（2×2）=6×4=24（种）答：一共可以组成24个不同的三位数．故答案为：24．《迷你世界》抄袭《Minecraft》是事实，有买《Minecraft》的版权的话，为什么《迷你世界》官方至今没把版权证明拿出来？《迷你世界》的皮肤人设极渣，还收费！艹！那么渣的皮肤也收费！《迷你世界防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。
一星期前处个王者荣耀cp，加了微信一看，还挺好看。两个人发展感情很快，每天早安晚安，后来一起玩了游戏，我惊奇的发现，这个姑娘是真能bb啊，要是说玩的不好说几句队友，很正常，她会把全部说话开开，一个劲嘲防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。问：6张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，6，从这6张卡片中随机 抽取2张，...1、一个连补刀都不用的游戏！王者相对lol来说却是简单的多，甚至站在旁边死掉的兵都会给你加钱，所以lol的玩家就觉得这是一个弱智的游戏，但是玩游戏不是为了开心吗？又不要打职业，娱乐就好！2、嫉妒心理可防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。答：从6张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，6，从这6张卡片中随机抽取2张的结果数如下（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（16）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，4）（3，5）（3，6）（4，5）（4，6）（5，6）共15种结果，每种结果等可能出现，...肯定迷你...话不多说大家都清楚吧……抄袭mc它还挺有理.一堆借口什么mc有枪吗？有什么公主床吗？不愧可以说是一款小学生玩的游戏呀??公主床这些的...mc不需要?还有minidog说，mc画质太差，全是方的，我不确定它们智商知不知道材质包和mod这个东西但是，我敢确定mc比它们迷你那不方不圆的好多了！因为一款沙盒游戏“方”，才是主要元素！它们连图标都抄袭我们籽民大大的.还有建筑....下面??是防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。
怎么样才可以一次抽到王者水晶呢？小编觉得很简单啊，想要一次就抽到王者水晶，最重要的就是要看你的RP好不好了。在王者荣耀中，王者水晶现阶段只能通过幸运夺宝来获取。王者荣耀王者水晶确实不是那么好抽，说到抽防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。问：有5张卡片，正反面各写有一个数字，第一张上面写的是0和1，其它四张上面...如果是前期对线的话能打赢他的ADC的确不多，女警，奥巴马和他有的一拼。女警超远射程可以有很好的消耗效果，而且清兵特快，一旦推进了你的塔内，在你方塔下放三角阵或者八字，一字型夹子，那你补兵都不好补，只有防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。答：根据分析可得：百位，有9种个选择（百位不能是0）；十位，有8种选择（可以选择0了）；个位，有6种选择；根据乘法原理，一共可以组成：6×8×9=432（种）；答：一共可以组成432个不同的三位数．故答案为：432．大学的时候，班级一共三十个人，能组两个队伍5vs5，各种讨论战术，各种谁都不服。现在登上游戏，满满一页好友只有两三个在游戏中加的不认识的人在线，久久不显示正在游戏中。以前去网吧，爆满的网吧里玩其他游戏的不超过十个人，剩下全都是英雄联盟的。现在去网吧，再也看不到那种盛大的场景了，感觉玩英雄联盟的人少了之后，连通宵的人都少了。最深刻的感受是，排位拍了好久好久，还是没排到人，那一刻感觉，一切都回不到从前防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。
当然是选贵的....如果是只送一个的话……荣耀水晶与王者水晶兑换的最好。芈月：大秦宣太后（用了红桃皇后代替一下....）小乔：天鹅之梦钟无艳：海滩丽影孙尚香：杀手不太冷（没找到图.....）韩信：教廷防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。问：有四张卡片，正反面都各写有1个数字．第一张上写的是0和1，其他三张上分...战局逆风不放弃逆风翻盘是一件多么痛快的事情，有过经验的玩家都应该了解，战局逆风不代表输赢，万一对面浪了呢？万一对面吵架了呢？万一对面五个人打团就460呢？万一对面五个人掉线了呢？王者荣耀即将来到了赛季防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。答：7×6×4=168（个）．故答案为：168．早在去年，新年后不再破解游戏和转载破解资源，三大妈全面转型，要发展成为集卖正版，出攻略的综合性网站。此事件起因，是因一家日本公司发给三大妈的警告信（函）引起，具体过程是三大妈破解（转载）了《三国志13防抓取，好心游戏网提供内容，请查看原文。
问：三张卡片的正反面上分别写有数字0与2，3与4，5与6，把这三张卡片拼在一...答： 40 解：利用分步计数原理可知，这三张卡片拼在一起组成一个三位数共有5×4×2=40个；
问：从分别写上数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中，任意取出不同2张，观察上...答：由题意可得：从6张卡片中任意取出不同2张，一共有C62=15种取法，则这两个数之和是3的倍数的有：（1，5），（2，4），（3，6），（1，2），（4，5），共有5种取法．则这两个数之和是3的倍数的概率为：515＝13．故选C．
问：分别写有数字1.2.3.4.5.6.7.8.9的卡片各一张，至少选出（ ）张卡片，才...答：8张
问：要有详细的结题思路答：这是一个排列组合问题，问题分解为四个步骤： 1、第一张卡片选择一面；C(2,1)（即2选1的组合） 2、第二张卡片选择一面；C(2,1) 3、第三张卡片选择一面；C(2,1) 4、排列三张卡片。P(3,3)（即3的排列） 根据排列组合原理，题解为： C(2,1)×C(2,1)×...
答：2的5次方首先是你自己把自己玩累了，我就是把它当游戏玩，本来就是娱乐，当自己过于执着一段代码，而不是娱乐，交友，怎么都会累。我就是仅仅当做娱乐，每天两小时，刷刷世界，打打战场等等。其次魔兽是退步好多，但是我敢说仍然没有比它更牛逼的同类型游戏。最后实话实说，对于魔兽可以抱怨，可以a，那是你的权利，但是也不用说什么大限已到，游戏和现实一样，有人会走，有人会来，有人出卖你，有人陪伴你。最后哈哈，玩魔兽，真的很快乐，虽然我是个只玩两年的新人加菜鸡。一般都会删除存档，但是千万不要这样做，发现自己辛辛苦苦创造的世界没有，真的会受到很大的打击。之前我的存档就被朋友不小心给删了一次，当时真的眼泪都在眼眶里打转了，那段时间真的心情非常的糟糕……“我的世界”这一款游戏能够锻炼创造力，尤其是在创造模式中。它还能锻炼想象力，投身在一个自由的环境中，任自己的想象力在这个世界畅游这款游戏它有两种模式，一种就是我刚刚说的创造模式，还有一种就是生存模式。我个人是比较喜欢玩生存模式的，它更加的刺激，白天找材料，晚上就要躲起来。生存模式刚出来的时候是没有任何材料的，不像创造模式无限的材料，在生存模式也不能飞行。有许多的东西都是要合成的，所以需要一定的知识，其实我觉为您准备的好内容:
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京ICP备号-1 京公网安备02号在excel中如何将次数出现最多的数字按照出现次数多少进行排序_百度知道
在excel中如何将次数出现最多的数字按照出现次数多少进行排序
如果数据在A列，B列统计出现次数，再根据B列进行排序B1输入=countif(A:A,A1)下拉公式填充选择A B两列，菜单--数据--排序，设置主关键字为B列即可
采纳率：40%
辅助列，然后对选择这两个数据区域，对B列进行大到小或小到大排序:A$10,A1),然后下拉完成B1到B10,在B1输入=countif(A$1，例如数据在A1到A10
能不能解释再详细些，我试一下，可是没出现理想的结果啊
上图吧图片中的计数是用前面的公式计算的结果，然后所有全选数据，点排序，自定义排序，然后按计数进行排序，我图片是用老师进行的，不对，请按计数排序就是你想要求的结果。
如果每个出现次数的数字是唯一的话公式：=VLOOKUP(LARGE(COUNTIF($B$1:$B$7,$B$1:$B$7),ROW(A1)),IF({1,0},COUNTIF($B$1:$B$7,$B$1:$B$7),$B$1:$B$7),2,) 按CTRL+SHIFT+ENTER结束编辑，下拉公式填充。B1：B7为原始数据区域
在辅助列中统计次数，然后按次数进行排序比如你数据在A列，在b1输入=countif(a:a,b1)下拉，然后按B列进行从大到小排序
你好首先非常感谢你的帮助，但是我在B1输那个公式，没出现数据是什么原因啊
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单项选择题用2、4、5、7这四个不同数字可以组成24个互不相同的四位数，将它们从小到大排列，那么7254是第(
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习题精选精讲“解排列、组合应用问题”的思维方法 考点 1 考查两个原理直接应用 例1 （03 年天津）某城市的中心广场建造一个花圃，分为 6 个部分（如图）。 现要种植 4 种不同色的花，每部分种一种且相邻部分不能种同样色的花，不同的 种植方法有 解析：求解排列组合问题材时，一是观察取出的元素是否有顺序，从面确定 是排列问题还是组合问题材；二是仔细审题，弄清怎样去完成这一件事，从而确 定是分类计数还是分步计数原理。 解：按区域种植，选择相邻区域较多的先种，可分六步完成： 第一步从 4 种花中任先 1 种给 1 号区域种花，有 4 种方法； 第二步从余下的 3 种花中任先一种给 2 号区域种，有 3 种方法； 第三步从余下的 2 种花中任先 1 种种给 3 号区域种有 2 种方法； 第四步给 4 号区域种花， 由于 4 号区域与 2 号区域不相邻， 故这两个区域可分 为同色与不同色两类： 若 4 号区域 2 号区域种同色花， 4 号区域有 1 种种法，第五步给 5 号区域有 则 2 种种法；第六步给 6 号区域有 1 种种法； 若 4 号区域与 2 号区域种不同色花， 4 号区域有 1 种种法，面 5 号区域的种 则 法又可分为两类：若 5 号区域与 2 号区域种同色花，则 5 号区域有 1 种种法，6 号区域有 2 种种法； 5 号区域与 2 号区域种不同色花， 5 号区域有 1 种种法， 若 则 6 号区域有 1 种种法。 由分步计数原理得不同的种植方法共有 4 ? 3 ? 2 ? ?1? 2 ?1 ? 1? ?1? 2 ? 1?1??=120（种） 考点 2 考查特殊元素优先考虑问题 例 2 （04 天津）从 1，2，3，5，7，中任取 2 个数字，从 0，2，4，6，8 中 任取 2 个数字，组成没有重担数字的四位数，其中通报被 5 整除的四位数共有 个。用数字作答） 解析： 对于含有特殊元素的排列组合问题， 一般应优先安排特殊位置上的特殊 元素，再安排其他位置上的其他元素。 解：合条件四位数的个位必须是 0、5，但 0 不能排在首位，故 0 是其中的特 殊元素，应优先安排，按照 0 排在首位，0 排在十位、百位和不含 0 为标准分为 三类： 1 ① 0 排在个位能被 0 整除的四位数有 A11 ? ?C4C42 ?A33 ? 144个 1 1 1 ② 0 排在十位、百位，但 5 必须排在个位有 A2 A11 ?C4C3 ?A22 =48 个 1 ③ 不含 0，但 5 必须排在个位有 A11 ? ?C3C42 ?A33 ? 108个 由分类计数原理得所求四位数共有 300 个。 考点 3 考查相邻排列计算问题 例 2（海春）有 n?n ? N ? ? 件不同的产品排成一排，若其中 A、B 两件不同的产品 排在一起的排法有 48 种，则 n ? 解析：对于含有某几个元素相邻的排列问题可先将相邻元素“捆绑”起来视为 一个大元素， 与其他元素一起进行了全排列， 然后瑞对相邻元素内部进行全排列，1 1习题精选精讲这就是处理相邻排列问题的“捆绑”方法。 ? 解： 将 A、B 两件产品看作一个大元素，与其他产品排列有 Ann?11 种排法；对 于上述的每种排法，A、B 两件产品之间又有 A22 种排法，由分步计数原理得满足 ? 条件的不同排法有 Ann?11 A22 =48 种，故 n ? 5 考点 4 考查互不相邻排列计算问题 例 4 （04 辽）有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 个 就座，规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法 的种数是（ ） (A) 234 (B) 346 (C)350 (D) 363 解析： 对于前排中某个元素互不不相邻的排列问题， 可先将其它元素排成一排， 然后将不相邻的元素插入这些排好的元素之间及两端的空隙中，这就是解决互不 相邻问题最为奏效的插空法。 解：先将前排中间的 5 号、6 号、7 号座位和待安排 2 人的取出，再将剩下的 18 座位排成一列， 然后妆待安排 2 人的座位插入这 18 座位之间及两端的空隙中， 2 使这 2 人的座位互不相邻，有 A19 种方法； 但在前排的 4 号与 8 号座位、前排的 11 号与后排的 1 号座位之间可以同时插 入待安排 2 人的座位满足条件，有 2A22 种方法。 由分类计数原理得到不同排法的种数有 2 2 A19 ? 2 A2 ? 342? 4 ? 346（种），选（B）。 考点 5 考查排列组合混合计算问题 例 5 （04 陕）将 4 名教师分配到 3 种中学任教，每所中学到少 1 名教师，则 不同的分配方案共有（ ）种 （A）12 （B） 24 （C）36 （D）48 解析：对于排列组合混合问题，可运用先分组（堆）后排列的策略求解，无次 序分组问题常有“均匀分组、部分均匀分组、非均匀分组”等三种类型。计数时 常有下面结论：对于其中的“均匀分组”和“部分均匀分组”问题，只需按“非 均匀分组”列式后，再除以均匀组数的全排列数。 解：可分两步完成：第一步将 4 名教师部分均匀分为三组（1、1、2）有2 1 1 C 4 C 2 C1 2 A2种方法；第二步将这三组教师分配到 3 所中学任教有 A33 种方法。由分步计数原理 得不同的分配方案共有 C42 A33 =36 种。应选（B）。 考点 6 考查定序排列计算问题 例 6 （96 全国）由数字 0、1、2、3、4、5、组成没有重复数字的六位数，其 中个位数字小于十位数字的共有（ ）个 （A） 210 （Ｂ）300 （C）464 （D）600 解析： 对于部分元素定序排列问题， 可先把定序元素与其它元素一同进行全排 列，然后根据定序排列在整体排列中出现的概率，即用定序排列数去均分总排列 数获解。2 2习题精选精讲1 解：若不考虑附加条件，组成的六位数有 A5 A55 个。在这些六位数中，只有个位 数字小于和个位数字大于十位数字这两种情况，而这两种情况在整体排列中出现1 的概率均为 ，故所求六位数为 A5 A55 =300 个，应选（B）。1 21 2考点 7 考查等价转化计算问题 例 7 （04 湖南）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直 角三角形的个数为（ ）个 （Ａ）56 （B）52 （C）48 （D）40 解析：几何图形问题是高考的常考点。求解时，一要熟悉几何图形性质及点、 线、面位置关系；二要按同一标准分类，避免重复、遗漏；三若直接求解困难或 头绪繁多时，可从其反而去考虑，将其转化为简单的问题去解决。 解：从正方体的 8 个顶点中任取 3 个顶点可构成 C83 个三角形，其中非直角三 角形的有两类：①上底面的每个顶点所在的侧面对角线与下底面相应的对角线构 成 1 个正三角形，上底面的 4 个顶点共 4 个非直角三角形；②下底面的 4 个顶点 所在的侧面对角线与上底面相应的结角线共构成 4 个非直角三角形。故所求直角 三角形共有 C83 ? 4 ? 4 ? 48 个，选（C）。 例 8 （97 全国）四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，在其中取 4 个不共面的 点，不同的取法共有（ ）种 （A） 150 （Ｂ）147 （C）144 （D）141 4 解：从 10 个点中任取 4 个噗有 C10 =210 种取法，应剔除下面三类共面点： （1） 从四面体的每个面上的 6 个点中任取 4 个点必共面有 4C64 =60 种取法； （2） 四面体的每条棱上 3 个点与对棱中点共面有 6 种取法； （3） 6 个中点连线有 3 对平行线段共面， 故从这 6 个点中取 4 个共面中取 4 个共 面点有 3 种取法。 故符合条件取法共 210-60-6-3=141 种。选（D）. 考点 8 考查二项展开式指定项求法 例91 ? ? ? 3 (04 湖北) 已知 ? x 2 ? x 3 ? 的展开式中各项系数的和是 128,则展 ? ? ? ? n开式中 x 5 的系数是 . 解析:求二项展开式的指定项或其系数,常运用其通项公式,将其转化为方程问 题去求解. 解:取 x ? 1 得 2 n ? 128 ? n ? 7Tr ?1 ? 3? ? C ?x2 ? ? ? ? ?r 7 7?r 63?11r ? ?1 ? r 3 ? 6 ?x ? ? ? C7 x ? ? r令x63?11r 6? x5得 r ? 3.故展开式中 x 5 的系数为 C75 ? 35 . 考点 9 考查二项展开式系数和求法 例10 (04 天津)若 ?1 ? 2x?2004 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2004 x 2004 ( x ? R) ,则 ?a0 ? a1 ? ? ?a0 ? a2 ? ? ?a0 ? a3 ? ? ? ? ?a0 ? a2004 ? ? .3 3习题精选精讲解析：直接展开由各项系数求解将误入歧途。二项式定理既是公式，又可 视为方程式或恒等式，故可用多项式恒等理论和赋值法去求解。 解：取 x ? 0, x ? 1 得 a0 ? 1 ； a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a2004 ? 1 故原式= 2003 0 ? (a0 ? a1 ? ? ? a2004 ) ? 2004 a 考点 10 考查三项展开式指定项求法 5 例 11 （92 全）在 ?x 3 ? 3x ? 2? 的展开式中 x 的系数为（ ） （A）160 （B）240 （C）360 D800 解析：求三顶展开式指定顶时，常通过恒等变形，将其转化为熟悉的两项式， 然后分两步运用二项式定理展开求解。 5 4 5 5 1 解： ?x 2 ? 3x ? 2? ? ?x 2 ? ?3x ? 2?? = C50 ?x 2 ? ? C5 ?x 2 ? ?3x ? 2? ? ? ? C55 ?3x ? 2?5 展开式中 x 项的系数只能是在 C55 (3x ? 2) 5 中，再次展开 C55 (3x ? 2) 5 可得 x 项 为 C54 .3x.24 ? 240x 故 x 项的系数为 240，应选 B。 此题亦可将其恒等变形为 (1 ? x) 5 (2 ? x) 5 ，再把它们分别展开，运用多顶式乘法 集项法求解。 考点 11 考查二项式定理与近似估值问题 例 12 （04 湖南）农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。03 年某地 区农民人均收入为 3150 元（其中工资源共享性收入为 1800 元，其它收入为 1350 元），预计该地区自 04 年起的 5 年内，农民的工资源共享性收入将以每年的年 增长率增长，其它性收入每年增加 160 元。根据以上数据，08 年该地区人均收入 介于（ ） （A）4200 元~4400 元 （B）4400 元~4460 元 （C）4460 元~4800 元 （D）4800 元~5000 元 解析： 在处理与二项式高次幂有关的近似估值问题时， 可运用二项式定理将其 展开，经简略计算去解决估值问题。1 1800 1 ? 0.06) 5 ? 1800 1 ? C5 ? 0.06 ? C52 ? 0.062 ( (解：08 年农民工次性人均收入为 ? 18001 ? 0.3 ? 0.036) (?
? 2405 又 08 年农民其它人均收入为
? 5 =2150故 08 年农民人均总收入约为 55（元）。故选 B 考点 12 考查二项式定理应用 例 13 （91 三南）已知函数 f ( x) ?f (n) ? n n ?12x ?1 证明：对于任意不小于 3 的自然数 n， 2x ?1解析： 若直接运用二项式定理或数学归纳法去证明困难都大， 故应另辟解题蹊 径，将其转化为熟悉命题：再证明就容易了。 1 证明： 2n ? (1 ? 1) n ? 1 ? Cn ? Cn2 ? ?? Cnn?1 ? Cnn ? 2n ? 1 ? n ? 3 ， 展开至少有 4 项，故原命题获证。4 4习题精选精讲历年高考排列组合和二项式定理的试题以客观题的形式出现，多为课本例 题、习题迁移的改编题，难度不大，重点考查运用排列组合知识、二项式定理去 解决问题的能力和逻辑划分、化归转化等思想方法。为此，只要我们熟悉两个原 理，把握住二项式定理及其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程 问题去解决，就可顺利获解。 解决排列组合问题常见策略 常用方法： 一. 合理选择主元 例 1. 公共汽车上有 3 个座位，现在上来 5 名乘客，每人坐 1 个座位，有几种不 同的坐法？ 例 2. 公共汽车上有 5 个座位，现在上来 3 名乘客，每人坐 1 个座位，有几种不 同的坐法？ 分析：例 1 中将 5 名乘客看作 5 个元素，3 个空位看作 3 个位置，则问题变为从 5 个不同的元素中任选 3 个元素放在 3 个位置上，共有 种不同坐法。例 2 中再 把乘客看作元素问题就变得比较复杂， 5 个空位看作元素， 将 而将乘客看作位置， 则例 2 变成了例 1，所以在解决排列组合问题时，合理选择主元，就是选择合适 解题方法的突破口。 二. “至少”型组合问题用隔板法 对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用 n 个隔板插 在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成 n＋1 份。 例 5. 4 名学生分 6 本相同的书，每人至少 1 本，有多少种不同分法？ 解：将 6 本书分成 4 份，先把书排成一排，插入 3 个隔板，6 本书中间有 5 个空 隙，则分法有： （种） 三. 注意合理分类 元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列组合数公式，则要根据元 素（或位置）的特殊性进行合理分类，求出各类排列组合数。再用分类计数原理 求出总数。 例 6. 求用 0，1，2，3，4，5 六个数字组成的比 2015 大的无重复数字的四位数 的个数。 解：比 2015 大的四位数可分成以下三类： 第一类：3×××，4×××，5×××，共有： 第二类：21××，23××，24××，25××，共有： 第三类：203×，204×，205×，共有： ∴比 2015 大的四位数共有 237 个。 四. 特殊元素（位置）用优先法5（个）； （个）；（个）5习题精选精讲把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特 殊元素（位置）优先安排的方法。 例 1. 6 人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？ 分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排 的方法。 解法 1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端 之间的任一位置上，有 种站法；第二步再让其余的 5 人站在其他 5 个位置上， 有 种站法，故站法共有： ＝480（种） 解法 2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的 5 个人中 任选两人站在左右两端，有 种；第二步再让剩余的 4 个人（含甲）站在中间 4 个位置，有 种，故站法共有： （种） 五. 分排问题用直排法 对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一 排的方法求解。 例 5. 9 个人坐成三排，第一排 2 人，第二排 3 人，第三排 4 人，则不同的坐法 共有多少种？ 解：9 个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来 处理，不同的坐标共有 种。 六. 复杂问题用排除法 对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考 虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此 法时要注意做到不重不漏。 例 6. 四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点，取其中 4 个不共面的点，则不同的 取法共有（ ） A. 150 种 B. 147 种 C. 144 种 D. 141 种 解：从 10 个点中任取 4 个点有 种取法，其中 4 点共面的情况有三类。第一类， 取出的 4 个点位于四面体的同一个面内，有 种；第二类，取任一条棱上的 3 个点及该棱对棱的中点，这 4 点共面，有 6 种；第三类，由中位线构成的平行四 边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的 4 个点共面，有 3 种。 以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有： （种）。 七. 多元问题用分类法 按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算， 最后计算总数。 例 7. 已知直线 中的 a，b，c 是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2， 3}中的 3 个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的 条数。66习题精选精讲解：设倾斜角为 ，由 为锐角，得 ，即 a，b 异号。 （1） c＝0， b 各有 3 种取法， 若 a， 排除 2 个重复 （ ， ， ） ， 故有：3×3－2＝7（条）。 （2）若 ，a 有 3 种取法，b 有 3 种取法，而同时 c 还有 4 种取法，且其中任 意两条直线均不相同，故这样的直线有：3×3×4＝36（条）。 从而符合要求的直线共有：7＋36＝43（条） 八. 排列、组合综合问题用先选后排的策略 处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。 例 8. 将 4 名教师分派到 3 所中学任教，每所中学至少 1 名教师，则不同的分派 方案共有多少种？ 解：可分两步进行：第一步先将 4 名教师分为三组（1，1，2），（2，1，1）， （1，2，1），共有： （种），第二步将这三组教师分派到 3 种中学任教有 种方法。由分步计数原理得不同的分派方案共有： （种）。因此共有 36 种方案。 九．顺序问题用“除法” 对于几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素同其余元素一同进行 排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。 例：7 个节目，甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现，有多少种排法？ 分析： 个节目的全排列为 A77,甲、 丙之间的顺序已定。 7 乙、 所以有 A77MA33=840 种。 答案：840 种。 十．特征分析 研究有约束条件的排数问题，需紧扣题中所提供的数字特征，结构特征，进 行推理，分析求解。 例：由 1，2，3，4，5，6 这六个数可组成多少个无重复且是 6 的倍数的五 位数？ 分析：6 的倍数既是 2 的倍数，又是 3 的倍数。是 2 的倍数，个位上为 2、4 或 6； 是 3 的倍数必须满足各个数字上的数字之和是 3 的倍数的特征。把这 6 个数分组 （3）、（6）、（1，5）、（2，4），每组的数字和都是 3 的倍数，因此可分成 两类讨论。第一类：由 1、2、4、5、6 作数码，首先从 2、4、6 中任选一个作为 个位数字，有 A31 种，然后其余 4 个数字在其它数字上全排列有 A44,所以，N1=A31A44 个，第二类：由 1、2、3、4、5 作数码，依上法有 N2=A21A44 个。故 N=N1+N2=120 个。 答案：120 个。十一、对应7 7习题精选精讲有些时候，一个事件与一个结果之间存在一一对应的关系。 例： 100 名选手之间进行单循环淘汰赛 在 （即一场比赛后， 失败者退出比赛） ， 最后产生一名冠军，需举行多少场比赛？ 分析：要产生一名冠军，需要淘汰 99 名选手。要淘汰掉一名选手，必须举 行一场比赛；反之，每场比赛恰淘汰一名选手。两者之间一一对应。故要淘汰 99 名选手，应举行 99 场比赛，从而产生一名冠军。 十二、用比例法 有些排列应用题，可以根据每个元素出现机会占整个问题的比例，从而求得 问题的结果。 例：从 6 个运动员中选出 4 个参加 4×100 米接力赛。如果甲、乙都不能跑第 一棒，那么共有多少种不同的参赛方案？ 分析：若不受条件限制，则参赛方案有 A64=360 种，但其中限制甲、乙两人不 能跑第一棒，即跑第一棒的只能是其他的人，而这 4 人在第一棒中出现的可能性 为 4/6 故所求参赛方案有 4M6? A64=240 种。 答案：240 种。 十三、“树图”表示法 对某些分步进行的问题，可依次对每步可能出现的情况用“树”状图形表示 出来。 例：四人各写出一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺 卡，则四张贺卡的不同分配方式有（ ）种。 A.6 B.9 C.11 D.32 分析： 将四张贺卡分别记为 A,B,C,D。 由题意， 某人 （不妨设为 A 卡的供卡人） 取卡有 3 种情况。因此将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其它人依次 取卡分步进行。为避免重复或遗漏现象，可用树状图表示。 JA→D→C JA→D→B JA→B→C B→C→D→A C→D→A→B D→C→A→B KD→A→C KD→B→A KC→B→A 所以共有 9 种不同的分配方式。 又或：分析：设 4 人为甲、乙、丙、丁，则甲送出的卡片可以且只可以由其 他三人中的一人收到，故有 3 种分配方式。以乙收到为例，其他人收到卡片的情 况可分为两类：第一类，甲收到乙送出的卡片，这时丙、丁只有互送卡片 1 种分 配方式；第二类，甲收到的不是乙送出的卡片，这时，甲收到卡片的方式有 2 种 （分别是丙或丁送出的），对每一种情况，丙、丁收到卡片的方式只有 1 种。因 此，根据分步计数原理，不同的分配方式有：3×（1＋2）＝9（种）。 注意：解题的关键在第 2 个人和第 3 个人的拿法，只要给他们规定一个拿卡的顺 序，依次进行，则根据分步计数原理即可求得。 例４. 把６棵不同的蔬菜，分别捆成３捆，在下列情况下，分别有多少分捆的8 8习题精选精讲⑴方法？ 每捆２棵；⑵2 2一捆 3 棵，一捆 2 棵，一捆 1 棵. ⑵解：⑴c ?c ?c p6 4 3 322? 15c ?c ?c6 3321 1? 60例５. 把 6 棵不同的菜，分别种在 3 块不同的土地上，在下列情况下，分别有 多少种植方法？ ⑴ 每块地上种 2 棵； ⑵ 甲地 3 棵，乙地 2 棵，丙地 1 棵； ⑶ 一块地上 3 棵，一块地上 2 棵，一块地上 1 棵. 2 2 2 解：⑴ c 6?c 4?c 2 ? 90 ⑵ ⑶c ?c ?c ? 60 c ?c ?c ?p ? 3603 2 1 6 3 13213 3631变式：如果是 7 棵不同的菜，种到 3 块土地上，一块地上 3 棵，一块地上 2 棵，还有一块地上 2 棵呢？ 答案为c 7?c 4?p p2 2322 2典型易错题： 例 1 某天有六节不同的课，若第一节排数学，或第六节排体育，问共有多少 种不同的排法？ 5 5 错解 数学排第一节的排法有 A 5 种，体育排第六节的排法也有 A 5 种，根据加 法原理，第一节排数学或排体育的排法共有 A 5 ＋ A 5 ＝2 A 5 ＝240 种5 5 5剖析 在数学排第一节的排法中，存在着体育排第六节的排法，在排体育第六节 的排法中，存在着数学排第一节的排法，它重复计算了数学排第一节，同时体育 4 5 5 4 排第六节的排法，即多算 A 4 种。正确结果是： A 5 ＋ A 5 － A 4 ＝216 种 例 2 从 4 名男生 3 名女生中选 3 人成立科技小组，问当选者中至少有一名男 生和一名女生的选法有几种？ 1 1 错解 先选一名男生，有 C 4 种选法，再选一名女生，有 C 3 种选法，最后从余下 的 5 名学生中选一名有 C 5 种选法，故共有选法 C 4 C 3 C 5 ＝60 种1 1 1 1剖析 上述解法中，每一种选法都符合要求，但是否有重复计算呢？为此我 们不妨设 4 名男生为 A1，A2，A3，A4，3 名女生为 B1，B2，B3，把上面选法中含有 一名男生的选法分为 4 类。在含有男生 A1 的一类的选法有：A1，B1，A2，即先选 A1，再选 B1，最后选 A2；在含有男生 A2 的一类中有 A2， B1，A1，即先选 A2，再选 B1，最后选 A1。显然这两种选法被重复计算了。因此上述解法是错误的。错误的 原因在于没有将符合要求的选法进行正确分类，分类要不重不漏。 正解 以男生人数分类， 则符合条件的有且仅有两类， 一类是男生一名女生两名，9 9习题精选精讲有 C 4C 3 种选法， 另一类是男生两名女生一名， C 4C 3 。 有 故共有 C 4C 3 ＋ C 4C 3 ＝1 2 2 1 1 2 2 130 种 例 3 n 个不同的球放入 n－1 个不同的盒子， 假设每个盒子都有足够大的容量， 问每个盒子中至少有一个球的放法共有多少种？ n ?1 错解 先在每盒子中放入一球共有 A n 种放法，再将剩下的一球放入，有 n－1 种放法。由乘法原理，共有放法（n－1） A n ＝（n－1）n！种. 剖析 将这 n 个球和 n－1 个盒子均依次编号，设先在每盒中放入一球时，有一 种放法是第 I 号盒子恰好放入第 I 号球，其中 I＝1，2，…，n－1，然后再考虑 剩下的第 n 号球的放法，假设第 n 号球恰好放入第 1 号盒，这样，除 1 号盒中放 有第一号与第 n 号两个球外，其余各盒均只放有一个与盒子同号的球，若先在每 盒中放入一球时，第 n 号球恰好放入第 1 号盒，，而其余各盒所放的球均与盒子 同号，这样，再将剩下的 1 号球放入盒中时，必有一种放法是恰好放入 1 号盒， 这时，出现与前一次完全相同的结果，但在上面的解法中被当成两种不同的放法 来计算，故重复。 2 正确的解法是：先从 n 个球中任取 2 个组成一组，共有 C n 种方法；然后把 这 2 个球当作 1 份，另外 n－2 个球每个球算 1 份，共有 n－1 份，把这 n－1 份 n ?1 分放在 n－1 个盒子中，且使每盒中恰有 1 份，共有 A n ?1 种放法，由乘法原理， 符合题意的放法种数为 C n2 n ?1An ?1 n ?1＝n ?1 n！ 2例 4、将 4 个不同的球放入 4 个不同的盆子内 （1） 共有几种放法？ （2） 恰有一个盆子未放球，共几种放法？ （3） 恰有一个盆子内有 2 球，共几种放法？ （4） 恰有两个盆子内未放球，共有几种放法？ 解题思路分析： （1）把球作为研究对象，事件指所有球都放完。因每一只球都有四种放法， 故由分步计数原理，共有 44=256（种）； （2） 问题即为 个球放入三个盆子， “4 每个盆子内都要放球， 共有几种放法？” 2 第一步是把 4 只球分成 2，1，1 三组，共有 C4 种放法； 第二步把 3 组球放入三个盆子中去（作全排列），有 A43 种； 由分步计数原理，共有 N=C42A43（种） 评注：第二步应是 A43，而不是 A33，因还要选从四个盆子中选三个盆子，然后 作全排。 （3）仔细审题，认清问题的本质。“恰有一盆子内入 2 个球”即另三个盆子 放 2 球， 也即另外 3 个盆子恰有一个空盆， 因此， “恰有一个盆子放 2 球” “恰 与 有一个盆子不放球”是等价的。 （4）先取走两个不放球的盆子，有 C42 种取法；其次将 4 球分两类放入所剩 210 10习题精选精讲盆；第一类均匀放入，有 C4 C2 种放法；第二步按 3，1 分组放入，有 C43C11A22 种放 法。故有 N=C42(C42C22+C43C11A22)=84（种）。 例 5、用 0，1，2，3，4 五个数字组成各位数字不重复的五位数，若按由小到 大排列，试问：（1）42130 是第几个数？（2）第 60 个数是什么？ 解题思路分析： （1） 要知道 42130 是第几个数， 只要知道比它小的有几个数， 就基本解决了。根据数的大小比较的原则，比 42130 小的数可以分成如下几类： 1□□□□，2□□□□，3□□□□型的； 40□□□，41□□□型的； 420□□型的； 4200□型的。 各类的数分别有 C31A44，C21A33，C11A22，C11A11 个，所以比 42130 小的数有 C31A44+C21A33+C11A22+C11A11=87 个，42130 是第 88 个。 （2）万位 1 的数，即 1□□□□型的数，有 A44=24 个； 万位为 2 的，同样有 A44=24 个； 万位为 3 的也有 24 个， 所以第 60 个数是万位为 3 的这一类数中的第 12 个数，再具体分类： 30□□□型的有 A33=6 个； 31□□□型的有 A33=6 个 所以，第 12 个数是 31□□□型的数中最大的一个即为 31420。 评注： 此类题型称为字典式排列问题， 解题的关键在于根据题意正确地进行分类， 分类的关键是采用类似查字典的方法，从高位向低位，一位一位地考察各位上所 取数字的可能性。 区域涂色问题 1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本22方法。 例1、 用 5 种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂③ 一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？ ④ ② ①1111习题精选精讲分析：先给①号区域涂色有 5 种方法，再给②号涂色有 4 种方法，接着给③ 号涂色方法有 3 种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有 4 种涂法，根据分步 计数原理，不同的涂色方法有 5 ? 4 ? 3 ? 4 ? 240 2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。 例 2、（2003 江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的 6 个区域，且相邻两 个区域不能同色。 分析：依题意只能选用 4 种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有 A44 ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有 ④⑥4 A4 ；⑤①②③2 （3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有 A44 ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有 A44 ； （5）②与④同色、③与⑥同色，则有 A44 ；所以根据加法原理得涂色方法总数为 5 A44 =120 例 3、（2003 年全国高考题）如图所示，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图 着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着方 法共有多少种？ 分析：依题意至少要用 3 种颜色 1) 当先用三种颜色时，区域 2 与 4 必须同色， 23121 4512习题精选精讲2) 区域 3 与 5 必须同色，故有 A43 种； 3) 当用四种颜色时，若区域 2 与 4 同色， 4) 则区域 3 与 5 不同色，有 A44 种；若区域 3 与 5 同色，则区域 2 与 4 不同色，有 A44 种，故用四种颜色时共有 2 A44 种。由加法原理可知满足 题意的着色方法共有 A43 +2 A44 =24+2 ? 24=72 3、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色 方法总数。 例 4 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区 域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共3 4 2 1有多少种不同的涂色方法？ 分析：可把问题分为三类： （1） 四格涂不同的颜色，方法种数为 A54 ； （2） 有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的1 颜色，涂法种数为 2C5 A42 ；5) 两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为 A52 ，因此，所求的1 涂法种数为 A52 ? 2C5 A42 ? A52 ? 2604、根据相间区使用颜色的种类分类例 5 如图， 6 个扇形区域 A、B、C、D、E、F，现给这 6 个区域着色，要求C D E F13B A13习题精选精讲同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有 4 种 不同的颜色可 A1 解（1）当相间区域 A、C、E 着同一种颜色时， 有 4 种着色方法，此时，B、D、F 各有 3 种着色方法， 此时，B、D、F 各有 3 种着色方法故有 4 ? 3 ? 3 ? 3 ? 108 种方法。（2）当相间区域 A、C、E 着色两不同的颜色时，有 C32 A42 种着色 方法，此时 B、D、F 有 3 ? 2 ? 2 种着色方法，故共有 C32 A42 ? 3? 2 ? 2 ? 432 种着色 方法。 （3）当相间区域 A、C、E 着三种不同的颜色时有 A43 种着色方法，此时3 B、D、F 各有 2 种着色方法。此时共有 A4 ? 2 ? 2 ? 2 ? 192 种方法。故总计有108+432+192=732 种方法。 说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。 如：如图，把一个圆分成 n(n ? 2) 个扇形，每个扇形用红、白、蓝、A1 A2 黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种染色方法？⑤ ⑤ A3 An ⑤ 解：设分成 n 个扇形时染色方法为 an 种 A4 ⑤ A ? ⑤ 3 ⑤ （1） 当 n=2 时 A1 、 A2 有 A42 =12 种，即 a2 =12（2） 当分成 n 个扇形，如图， A1 与 A2 不同色， A2 与 A3 不同色， ? ，An?1与 An 不同色， 共有 4 ? 3n?1 种染色方法， 但由于 An 与 A1 邻， 所以应排除 An 与 A1 同色的情形； An 与 A1 同色时，可把 An 、 A1 看成一个扇形，与前 n ? 2 个扇形加14 14习题精选精讲在一起为 n ? 1 个扇形，此时有 an ?1 种染色法，故有如下递推关系：an ? 4 ? 3n?1 ? an?1 ?an ? ?an?1 ? 4 ? 3n?1 ? ?(?an?2 ? 4 ? 3n?2 ) ? 4 ? 3n?1? an?2 ? 4 ? 3n?2 ? 4 ? 3n?1 ? ?an?3 ? 4 ? 3n?3 ? 4 ? 3n?2 ? 4 ? 3n?1? ? ? 4 ? [3n?1 ? 3n?2 ? ? ? (?1)n ? 3] ? (?1)n ? 3 ? 3n二、 点的涂色问题 方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否 同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。 例 6、将一个四棱锥 S ? ABCD 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端 点异色，如果只有 5 种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？ 解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。 1 若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点 S，再从余下的四种颜色1 中任选两种涂 A、B、C、D 四点，此时只能 A 与 C、B 与 D 分别同色，故有 C5 A42 ? 60种方法。 2 若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点 S，再从余下 的四种颜色中任选两种染 A 与 B，由于 A、B 颜色可以交换，故有 A42 种染法；再 从余下的两种颜色中任选一种染 D 或 C，而 D 与 C，而 D 与 C 中另一个只需染与1 1 1 其相对顶点同色即可，故有 C5 A42C2C2 ? 240 种方法。3 若恰用五种颜色染色，有 A55 ? 120 种染色法综上所知，满足题意的染色方法1515习题精选精讲数为 60+240+120=420 种。 解法二：设想染色按 S―A―B―C―D 的顺序进行，对 S、A、B 染色，有5 ? 4 ? 3 ? 60 种染色方法。由于 C 点的颜色可能与 A 同色或不同色，这影响到 D 点颜色的选 取方法数，故分类讨论： C 与 A 同色时（此时 C 对颜色的选取方法唯一），D 应与 A（C）、S 不同 色，有 3 种选择；C 与 A 不同色时，C 有 2 种选择的颜色，D 也有 2 种颜色可供选 择，从而对 C、D 染色有 1? 3 ? 2 ? 2 ? 7 种染色方法。 由乘法原理，总的染色方法是 60 ? 7 ? 420 解法三：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，对这五个区域用 5 种 颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？ 解答略。A D S B C三、 线段涂色问题 对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，主要方法有： 1) 根据共用了多少颜色分类讨论 2) 根据相对线段是否同色分类讨论。例 7、用红、S、蓝、白四种颜色涂矩形 ABCD 的四条边，每条边只涂一 种颜色 ，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？1616习题精选精讲解法一：（1）使用四颜色共有 A44 种 （2）使用三种颜色涂色，则必须将1 1 一组对边染成同色，故有 C4C2 A32 种，（3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有 A42 种1 1 方法数为 A44 ? C4C2 A32 ? A42 ? 84 种因此，所求的染色解法二： 涂色按 AB－BC－CD－DA 的顺序进行， AB、 涂色有 4 ? 3 ? 12 种 对 BC 涂色方法。 由于 CD 的颜色可能与 AB 同色或不同色， 这影响到 DA 颜色的选取方法数， 故分类讨论： 当 CD 与 AB 同色时，这时 CD 对颜色的选取方法唯一，则 DA 有 3 种颜色可供选择 CD 与 AB 不同色时，CD 有两种可供选择的颜色，DA 也有 两种可供选择的颜色，从而对 CD、DA 涂色有 1? 3 ? 2 ? 2 ? 7 种涂色方法。 由乘法原理，总的涂色方法数为 12 ? 7 ? 84 种 例 8、用六种颜色给正四面体 A ? BCD 的每条棱染色，要求每条棱只染一 种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？ 解：（1）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三组 间的颜色不同， 故有 A63 种方法。（2）若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二组对棱的组内对 棱涂同色，但组与组之间不同色，故有 C63 A64 种方法。（3）若恰用五种颜色涂色，1 则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故有 C3 A65 种方法。1717习题精选精讲（4）若恰用六种颜色涂色，则有 A66 种不同的方法。3 1 5 综上，满足题意的总的染色方法数为 A6 ? C32 A64 ? C3 A6 ? A66 ? 4080种。四、 面涂色问题 例 9、 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色， 将一个正方体的 6 个面涂色， 每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？ 显然，至少需要 3 三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原 理 分类、乘法原理分步进行讨论 解：根据共用多少种不同的颜色分类讨论 （1）用了六种颜色，确定某种颜色所涂面为下底面，则上底颜色可有 5 种选 择，在上、下底已涂好后，再确定其余 4 种颜色中的某一种所涂面为左侧面， 则其余 3 个面有 3！种涂色方案，根据乘法原理 n1 ? 5 ? 3!? 30 （2）共用五种颜色，选定五种颜色有 C65 ? 6 种方法，必有两面同色（必为相 对面），确定为上、下底面，其颜色可有 5 种选择，再确定一种颜色为左侧P面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有 3 种选择（前后面可通过翻转交 换）n2 ? C ? 5 ? 3 ? 905 6D C A B(3)共用四种颜色,仿上分析可得 n3 ? C64C42 ? 903 色, n4 ? C6 ? 20(4)共用三种颜例 10、四棱锥 P ? ABCD ，用 4 种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相1818习题精选精讲邻不同色，有多少种涂法？ 解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，1 2 5 4 3如右图，区域 1、2、3、4 相当于四个侧面，区域 5 相当于底面； 根据共用颜色多少分类：（1） 最少要用 3 种颜色，即 1 与 3 同色、2 与 4 同色，此时有 A43 种； （2） 当用 4 种颜色时，1 与 3 同色、2 与 4 两组中只能有一组同色，此时1 有 C2 A44 ；3 1 故满足题意总的涂色方法总方法交总数为 A4 ? C2 A44 ? 72解排列组合应用题的 21 种策略 排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵 活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决 排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素 参与排列. 例 1. A, B, C , D, E 五人并排站成一排，如果 A, B 必须相邻且 B 在 A 的右边，那么不同 的排法种数有（ ） A、60 种 B、48 种 C、36 种 D、24 种 解析： A, B 视为一人， B 固定在 A 的右边， 把 且 则本题相当于 4 人的全排列，A44 ? 24 种，答案： D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素 全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 （ ） A、1440 种 B、3600 种 C、4820 种 D、4800 种 5 解析：除甲乙外，其余 5 个排列数为 A5 种，再用甲乙去插 6 个空位有 A62 种，不同 的排法种数是 A55 A62 ? 3600 种，选 B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩 小倍数的方法. 例 3. A, B, C , D, E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在 A 的右边（ A, B 可以不相邻）19 19习题精选精讲那么不同的排法种数是（ ） A、24 种 B、60 种 C、90 种 D、120 种 解析： B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是 5 个元素 全排列数的一半，即 A55 ? 60 种，选 B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入， 第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例 4.将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数， 则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种 解析：先把 1 填入方格中，符合条件的有 3 种方法，第二步把被填入方格的对应 数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填 法，共有 3×3×1=9 种填法，选 B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组 法. 例 5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选 出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ） A、1260 种 B、2025 种 C、2520 种 D、5040 种 解析：先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务，再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项 2 1 1 任务， 第三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务， 不同的选法共有 C10C8C7 ? 2520 种，选 C . （2）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 4 人，则不 同的分配方案有（ ）4 A、 C12C84C44 种 4 B、 3C12C84C44 种 4 C、 C12C84 A33 种1 2D、4 4 C12C84C4 种 3 A3答案： A . 6.全员分配问题分组法: 例 6.（1）4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同 的保送方案有多少种？ 解析：把四名学生分成 3 组有 C42 种方法，再把三组学生分配到三所学校有 A33 种， 故共有 C42 A33 ? 36 种方法. 说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. （2）5 本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 （ ） A、480 种 B、240 种 C、120 种 D、96 种 答案： B . 7.名额分配问题隔板法: 例 7：10 个三好学生名额分到 7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同 分配方案？20 20习题精选精讲解析：10 个名额分到 7 个班级，就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆，每堆至少一个，可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板，每一种插法 对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为 C96 ? 84 种. 8.限制条件的分配问题分类法: 例 8.某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部 经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案 A84 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有 3 种方法，然后安排其余学生有 A83 方法，所以共有 3A83 ；③若乙参加而甲不参加同 理也有 3A83 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有 7 种方法，然后再安排其余 8 人到另外两个城市有 A82 种，共有 7A82 方法.所以共有不同的派遣方法总数为 4 3 3 2 A8 ? 3A8 ? 3A8 ? 7 A8 ? 4088 种. 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几 类情况分别计数，最后总计. 例 9（1）由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字 小于十位数字的共有（ ） A、210 种 B、300 种 C、464 种 D、600 种 解析：按题意，个位数字只可能是 0，1，2，3，4 共 5 种情况，分别有 A55 个， 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 A4 A3 A3 , A3 A3 A3 , A2 A3 A3 , A3 A3 个，合并总计 300 个,选 B . （2）从 1，2，3…，100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被 7 整除， 这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？ 解析：被取的两个数中至少有一个能被 7 整除时，他们的乘积就能被 7 整除，将 这 100 个数组成的集合视为全集 I,能被 7 整除的数的集合记做 A ? ?7,14, 21,?98? 共 有 14 个元素,不能被 7 整除的数组成的集合记做 A ? ?1, 2,3, 4,? ,100? 共有 86 个元素；2 由此可知，从 A 中任取 2 个元素的取法有 C14 ，从 A 中任取一个，又从 A 中任取一 2 1 1 1 1 个共有 C14C86 ，两种情形共符合要求的取法有 C14 ? C14C86 ? 1295 种. （3）从 1，2，3，…，100 这 100 个数中任取两个数，使其和能被 4 整除的取法 （不计顺序）有多少种？ 解析：将 I ? ?1, 2,3?,100? 分成四个不相交的子集，能被 4 整除的数集A ? ?4,8,12,?100? ；能被 4 除余 1 的数集 B ? ?1,5,9,?97? ，能被 4 除余 2 的数集 C ? ?2,6,?,98? ，能被 4 除余 3 的数集 D ? ?3,7,11,?99? ，易见这四个集合中每一个有25 个元素；从 A 中任取两个数符合要；从 B, D 中各取一个数也符合要求；从 C 中 任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有 2 1 1 2 C25 ? C25C25 ? C25 种. 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素 个数公式 n( A ? B) ? n( A) ? n( B) ? n( A ? B) . 例 10.从 6 名运动员中选出 4 人参加 4×100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不21 21习题精选精讲跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？ 解析：设全集=｛6 人中任取 4 人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B= ｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有： 4 3 3 2 n( I ) ? n( A) ? n( B) ? n( A ? B) ? A6 ? A5 ? A5 ? A4 ? 252 种. 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素； 再排其它的元素。 例 11.1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的 排法有多少种？ 1 解析：老师在中间三个位置上选一个有 A3 种，4 名同学在其余 4 个位置上有 A44 种 1 方法；所以共有 A3 A44 ? 72 种。. 12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。 例 12.（1）6 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不同的排法种数 是（ ） A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种 解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排， 共 A66 ? 720 种，选 C . （2） 个不同的元素排成前后两排， 8 每排 4 个元素， 其中某 2 个元素要排在前排， 某 1 个元素排在后排，有多少种不同排法？ 解析：看成一排，某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个，有 A42 种，某 1 个元 1 素排在后半段的四个位置中选一个有 A4 种， 其余 5 个元素任排 5 个位置上有 A55 种， 1 故共有 A4 A42 A55 ? 5760 种排法. 13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: 例 13.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台， 其中至少要甲型和乙 型电视机 各一台，则不同的取法共有 （ ） A、140 种 B、80 种 C、70 种 D、35 种 解析 1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号 3 的电视机，故不同的取法共有 C93 ? C4 ? C53 ? 70 种,选. C 解析 2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型 1 台乙型 2 台；甲 1 1 型 2 台乙型 1 台；故不同的取法有 C52C4 ? C5C42 ? 70 台,选 C . 14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素， 再安排到一定的 位置上，可用先取后排法. 例 14.（1）四个不同球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的 放法有多少种？ 解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有 C42 种，再排：在四个 3 盒中每次排 3 个有 A43 种，故共有 C42 A4 ? 144 种. （2）9 名乒乓球运动员，其中男 5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有多 少种不同的分组方法？ 解析：先取男女运动员各 2 名，有 C52C42 种，这四名运动员混和双打练习有 A22 中排22 22习题精选精讲法，故共有 C52C42 A22 ? 120 种. 15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中 减去不符合条件数，即为所求. 例 15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ） A、70 种 B、64 种 C、58 种 D、52 种 解析：正方体 8 个顶点从中每次取四点，理论上可构成 C84 四面体，但 6 个表面和 6 个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有 C84 ?12 ? 58 个. （2）四面体的顶点和各棱中点共 10 点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法 共有（ ） A、150 种 B、147 种 C、144 种 D、141 种 4 解析：10 个点中任取 4 个点共有 C10 种，其中四点共面的有三种情况：①在四面 体的四个面上，每面内四点共面的情况为 C64 ，四个面共有 4C64 个；②过空间四边 形各边中点的平行四边形共 3 个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共 6 个.所 4 以四点不共面的情况的种数是 C10 ? 4C64 ? 3 ? 6 ? 141 种. 16.圆排问题单排法:把 n 个不同元素放在圆周 n 个无编号位置上的排列， （例 顺序 如按顺时钟） 不同的排法才算不同的排列， 而顺序相同 （即旋转一下就可以重合） 的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下 列 n 个普通排列： a1 , a2 , a3 ?, a2 , a3 , a4 ,?, an ,?; an , a1,?, an?1 在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重 合，故认为相同， n 个元素的圆排列数有n! 种.因此可将某个元素固定展成单排， n其它的 n ? 1 元素全排列. 例 16.5 对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？ 解析：首先可让 5 位姐姐站成一圈，属圆排列有 A44 种，然后在让插入其间，每位 均可插入其姐姐的左边和右边，有 2 种方式，故不同的安排方式 24 ? 25 ? 768 种不 同站法. 说明：从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有1 m An 种不同排法. m17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象， 元素不 受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地 n 个不同元素排在 m 个不同位置 的排列数有 m n 种方法. 例 17.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法？ 解析： 完成此事共分 6 步， 第一步； 将第一名实习生分配到车间有 7 种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有 7 种不同方案，依次类推，由分步计数 原理知共有 76 种不同方案. 18.复杂排列组合问题构造模型法: 例 18.马路上有编号为 1，2，3…，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关 掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少23 23习题精选精讲种？ 解析：把此问题当作一个排对模型，在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯 3 C5 种方法,所以满足条件的关灯方案有 10 种. 说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队 模型，装盒模型可使问题容易解决. 19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法: 例 19.设有编号为 1，2，3，4，5 的五个球和编号为 1，2，3，4，5 的盒子现将 这 5 个球投入 5 个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子 号码相同，问有多少种不同的方法？ 解析：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C52 种，还剩下 3 个球与 3 个盒子序号不 能对应，利用枚举法分析，如果剩下 3，4，5 号球与 3，4，5 号盒子时，3 号球 不能装入 3 号盒子，当 3 号球装入 4 号盒子时，4，5 号球只有 1 种装法，3 号球 装入 5 号盒子时，4，5 号球也只有 1 种装法，所以剩下三球只有 2 种装法，因此 总共装法数为 2C52 ? 20 种. 20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法: 例 20.（1）30030 能被多少个不同偶数整除？ 解析：先把 30030 分解成质因数的形式：×5×7×11×13；依题意偶 因数 2 必取，3，5，7，11，13 这 5 个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因 数为 0 1 2 3 4 5 C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? 32 个. （2）正方体 8 个顶点可连成多少队异面直线？ 解析：因为四面体中仅有 3 对异面直线，可将问题分解成正方体的 8 个顶点可构 成多少个不同的四面体，从正方体 8 个顶点中任取四个顶点构成的四面体有 C84 ?12 ? 58 个，所以 8 个顶点可连成的异面直线有 3×58=174 对. 21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法， 它可以 将复杂的问题转化为简单问题处理. 例 21.（1）圆周上有 10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？ 解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四 边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的 10 个 4 点可以确定多少个不同的四边形，显然有 C10 个，所以圆周上有 10 点，以这些点 4 为端点的弦相交于圆内的交点有 C10 个. （2）某城市的街区有 12 个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从 A 到 B 的最 短路径有多少种？2424习题精选精讲BA解析： 可将图中矩形的一边叫一小段， A 到 B 最短路线必须走 7 小段， 从 其中： 向东 4 段，向北 3 段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过 4 段的走法，便能确定路径，因此不同走法有 C74 种. 排列、组合问题及对策 1、特殊优先法 对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊入手。 先满足特殊元素或特殊位置，再去满足其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先 法。 例：1 名老师和 4 名学生排成一排，若老师不排在两端，则共有多少种不同的 排法？ 分析：（解法 1、特殊元素法）老师在中间 3 个位置上任选 1 个的选法有 A41 种，然后剩余的四名学生在余下的四个位置上，排法有 A44 种。由分步记数原 理，所以共有 A31A44=72 种。 （解法 2、特殊位置法）先安排两端站两名学生共有 A42 种方法，其余位置安 排有 A33 种。所以共有排法数为 A42A33=72 种。 答案：72 种。 2、总体淘汰法 对于含否定词的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去。 比如上面的例题中，1 名老师和 4 名学生共 5 人，其排列方法为 A55 种，把老 师排在队伍两端的情况 A21A44 减去。所以方法数为 A55-A21 A44=72 种。 答案：72 种。 相邻问题用“捆绑法” 对于某些元素要求相邻的问题，可先将相邻的元素捆绑并看作一个元素并与 其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行排列。 例：3 个女生与 5 个男生排在一起，女生必须在一起，可以有多少种不同的方 法？ 分析：因为 3 个女生必须排在一起，所以可以把她们看作一个整体，连同 5 个男生共 6 个元素，排成一排有 A66 种不同的排法，同时每种排法中，女生之 间又有 A33 种不同的排法，利用分步记数原理，可得有 A66A33 种不同的排法。 答案：A66A33 3、问题用“插空法” 对于几个元素不相邻的排列问题，先将没有限制条件的元素排好，然后再将25 25习题精选精讲不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙插入即可。 例：7 人排成一排照相，若要求甲、乙、丙三人不相邻，有多少种不同的排 法？ 分析：先将其余 4 人站好，有 A44 种排法，再于 4 人之间及两端 5 个“空隙”中选 3 个位置将甲、乙、丙插入，有 A53 种方法。由分步记数原理，这样共有 A44A53 种 不同的排法。 答案：A44A53 2、 顺序问题用“除法” 对于几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素同其余元素一同进行 排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。 例：7 个节目，甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现，有多少种排法？ 分析： 个节目的全排列为 A77,甲、 丙之间的顺序已定。 7 乙、 所以有 A77MA33=840 种。 答案：840 种。 3、 分排问题用“直排法” 把 n 个元素排成几排的问题，若没有其它特殊要求，可采用统一排成一排的 方法来处理。 例：15 人排成两排，前排 7 人，后排 8 人，共有多少种不同的方法？ 分析：前排 7 人有 A157 种方法，后排 8 人有 A88 种方法，所以有 A157A88=A1515 种 不同方法。其实就相当于将 15 个人排成一排。 答案：A1515 种 4、 穷举法 当题目中的附加条件增多，结果数目不大，解决它的方法又不一般，采用穷 举法有时能取得意想不到的效果。 例：三边长均为整数，最长边为 8 的三角形有多少个？ 分析：另两边用字母 x、y 表示，且不妨设 1≤x≤y≤8，x+y≥9 当 y=8 时，x=1,2,…8, 有 8 个。 当 y=7 时，x=2,3…7 有 6 个。 当 y=6 时，x=3,4,5,6,有 4 个 当 y=5 时，x=4,5,有 2 个。 所以，所求的三角形的个数为 8+6+4+2=20。 答案：20 个。 5、 特征分析 研究有约束条件的排数问题，需紧扣题中所提供的数字特征，结构特征，进 行推理，分析求解。 例：由 1，2，3，4，5，6 这六个数可组成多少个无重复且是 6 的倍数的五 位数？ 分析：6 的倍数既是 2 的倍数，又是 3 的倍数。是 2 的倍数，个位上为 2、4 或 6； 是 3 的倍数必须满足各个数字上的数字之和是 3 的倍数的特征。把这 6 个数分组26 26习题精选精讲（3）、（6）、（1，5）、（2，4），每组的数字和都是 3 的倍数，因此可分成 两类讨论。第一类：由 1、2、4、5、6 作数码，首先从 2、4、6 中任选一个作为 个位数字，有 A31 种，然后其余 4 个数字在其它数字上全排列有 A44,所以，N1=A31A44 个，第二类：由 1、2、3、4、5 作数码，依上法有 N2=A21A44 个。故 N=N1+N2=120 个。 答案：120 个。 6、 对应 有些时候，一个事件与一个结果之间存在一一对应的关系。 例： 100 名选手之间进行单循环淘汰赛 在 （即一场比赛后， 失败者退出比赛） ， 最后产生一名冠军，需举行多少场比赛？ 分析：要产生一名冠军，需要淘汰 99 名选手。要淘汰掉一名选手，必须举 行一场比赛；反之，每场比赛恰淘汰一名选手。两者之间一一对应。故要淘汰 99 名选手，应举行 99 场比赛，从而产生一名冠军。 答案：99 场。 10、消序 某些条件，使得元素位置确定。 例：有 3 个男生，3 个女生，排成一列，高矮互不相等。要求从前到后，女 生从高到矮排列，有多少种不同的排法？ 分析：先从 6 个位置中选 3 个位置排男生，有 A63 种不同排法。余下 3 个位置 排女生，因要求“从高到低”所以女生的排法只有一种。故有 A63=120 种。 答案：120 种。 11 进住法 解决允许重复排列问题要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不 能重复。把不能重复的元素看成“一封信”，能重复的元素看成“信箱”。在利 用乘法原理直接求解的方法称为进住法。 例：5 名运动员争夺 3 个项目的冠军（没有并列），所以可能的结果有多少 种？ 分析：因为同一运动员可以同时夺得几项冠军，故运动员可以重复排列，将 5 名 运动员看作五个信箱，3 项冠军看成 3 封信，每封信可以投进五个信箱，有 5 种 投递方法。由乘法原理知有 53 种。 答案：53 种 12、探索 对情况复杂，不易发现规律的问题，要仔细分析，探索其中规律，再予以解 决。 例：从 1 到 100 的自然数中，每次取出两个数，使它们的很大于 100，则弥补台 的取法有多少种？ 分析：此题数字较多，情况不一样。需要分析摸索其规律。为方便，我们称 两个加数中较小的为被加数。因 1+100&100，1 为被加数的只有一种。 2+99&100， 2+100&100， 为被加数的有两种。 2 同理， 为被加数的有 3 种…… 3 49 为被加数的有 49 种。50 为被加数的有 50 种。但 51 为被加数的只有 4927 27习题精选精讲种……99 为被加数的只有一种。故不同的取法有（1+2+3+……50）+ （49+48+……1）=2500 种。 答案：2500 种。） 13、“树图”表示法 对某些分步进行的问题，可依次对每步可能出现的情况用“树”状图形表示 出来。 例：四人各写出一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺 卡，则四张贺卡的不同分配方式有（ ）种。 A.6 B.9 C.11 D.32 分析： 将四张贺卡分别记为 A,B,C,D。 由题意， 某人 （不妨设为 A 卡的供卡人） 取卡有 3 种情况。因此将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其它人依次 取卡分步进行。为避免重复或遗漏现象，可用树状图表示。 JA→D→C JA→D→B JA→B→C B→C→D→A C→D→A→B D→C→A→B KD→A→C KD→B→A KC→B→A 所以共有 9 种不同的分配方式。 答案：B 。 14、用比例法 有些排列应用题，可以根据每个元素出现机会占整个问题的比例，从而求得 问题的结果。 例：A、B、C、D、E 五人站成一排，如果 B 必须站在 A 的右边（A、B 可以不 相邻），不同的排法有多少种？ 分析：若没有限制条件，则 5 人的全排列有 A55=120 种，而 A 在 B 右边与 B 在 A 右边各占一半，所以 B 在 A 右边的排列法有 1M2A55=60 种。 答案：60 种。 例：从 6 个运动员中选出 4 个参加 4×100 米接力赛。如果甲、乙都不能跑第 一棒，那么共有多少种不同的参赛方案？ 分析：若不受条件限制，则参赛方案有 A64=360 种，但其中限制甲、乙两人不 能跑第一棒，即跑第一棒的只能是其他的人，而这 4 人在第一棒中出现的可能性 为 4/6 故所求参赛方案有 4M6? A64=240 种。 答案：240 种。 以上介绍了排列应用题的几种常见求解策略。这些策略不是彼此孤立的，而 是相互依存。有时解决某一问题是要综合运用几种求解策略。 在处理具体问题时，应能合理分类与准确分步。首先要弄清楚：要完成的是 一件什么事，完成这件事有几类方法，每类方法中，又有几个步骤。这样才会不 重复、不遗漏地解决问题。 二、 组合问题常见类型及策略28 28习题精选精讲1、在解组合应用题时，常会遇到“至少”、“最多”、“含”等词，要仔 细审题，理解其含义。 2、分组、分配问题：分组和分配是有区别的。分组问题中只要组与组之间， 元素个数相同，是不可分的。而分配问题中即使元素个数相同，但因元素不同， 仍然是可区分的。对于这类问题，必须遵循先分组后排列，若平均分成 m 组，则 分法=分法Mm! 3、指标问题采用“隔板法”，每种隔板对应一种分法。 例 1：从 12 人中选出 5 人去参加一项活动。按下列要求，有多少中不同的选法。 （1）A、B、C 三人必须入选。 （2）A、B、C 三人不能入选。 （3）A、B、C 三人只有一人入选。 （4）A、B、C 三人至少 1 人入选。 （5）A、B、C 三人至多二人入选。 分析（1）：须从其余 9 人中任选 2 人，所有 C92=36 种。 （2）：须从其余 9 人中任选 5 人，所以有 C95=126 种。 （3）：从三人中任选一人，有 C31 种结果，再从其余 9 人中人选 4 人，有 C94 种选法，由分步记数原理，共有 C31C94=378 种。 （4）：（直接法）可分三类： ② 三人中只选一人，从其余 9 人中任选 4 人。有 C31C94=378 种。 ③ 三人中选二人，从其余 9 人中任选 3 人。有 C32C93=252 种。 ④ 三人都选，从其余９人中任选２人。有 C33C92=36 种。 由分类记数原理，共有 378+252+36=666 种不同选法。 （间接法）：从 12 人中任选５人，再减去 A、B、C 三人都不入选的情况。 共有 C125-C95=666 种选法。 （５）（直接法） ① 三人都不入选，有 C95=126 种选法。 ② 三人中选１人，其余９人中选４人，有 C31C94=378 种选法。 ③ 三人中选２人，其余９人中选３人，有 C32C93=84 种选法。 由分类记数原理，共有 16+378+84=756 种选法。 （间接法）：先从 12 人中任选５人，再减去 A、B、C 三人都入选的情 况。即 C125-C92=756 中选法。 例２：有 10 人，按照下列要求分组，求不同的分法种数。 ⑴分成两组，一组６人，一组４人。 ⑵分为甲、乙两组，一组６人，一组４人。 ⑶分成甲、乙两组，每组５人。 ⑷两组，每组５人。 分析：⑴从１０人中选６人作为一组，其余４人自为一组，有 C106=210 种。 ⑵从１０人中选６人作为一组，其余４人自为一组，再分别作为甲乙 组，共有 C106A22＝420 种。29 29习题精选精讲⑶先从１０人中选５人作为甲组，剩下５人自为乙组，共有 C105=252 种方法。 ⑷从１０人中选５人作为一组，剩下５人为另一组，由于两组人数相 同，组与组之间没有顺序，所以，每种方法都重复了 A22 次，故有 C105MA22=126 中 方法。 例３：有１０个三好学生名额，分配给高三年纪６个班，每班至少一个名额。有 多少种不同的分配方案？ 分析：６个班分这些名额，用５个隔板，将１０个名额排成一排， О О О О О О О О О О 名额之间有９个空，将５个隔板插入９个空，每种插法对应一种分配方案。因此 有 C95=126 种方案。 答案：126 种分配方案。 例 4：如图，从 5×6 方格中的顶点 A 到 顶点 B 的最短线路有多少条？ 分析： A 到的最短路线均需走 11 步， 从 （一步 即为一个单位），即横向走 6 步，纵向 走5 步，因此要确定一种走法，只需确定这 11 步 中哪 6 步是横向走即可， 故不同 6 的走法为 C11 =462 种。 答案：462 种。 排列组合应用题的类型及解题策略 一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 二．处理排列组合应用题的规律 （1） 两种思路：直接法，间接法。 （2） 两种途径：元素分析法，位置分析法。 解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。 特殊优先法: 对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题， 我们可以从这 些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这 种解法叫做特殊优先法。 例 1．（06 上