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详细讲解与三次样条插值法及其实现方法 .ppt 59页
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详细讲解与三次样条插值法及其实现方法
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华长生制作 从而推导出了三次样条S(x)在第k个小区间[xk,xk+1]上的表达式为: 它的系数都是用二阶导数与函数值表示! 对所有中间节点xk,k=1,2,…,n-1,左边小区间与右边小区间上的三次多项式的一阶导数应当连续! 确定二阶导数 三弯矩法基本方程 注意到这个基本方程只包括了n-1个方程!但却有n个二阶导数需要待定,这是一个欠定方程组,还需要根据边界条件再确定两个方程! 曲率调整样条 这种样条的边界条件是已知两端点的二阶导数值! 这样从三弯矩基本方程可以导数确定其它n-2个待定参数的方程组: 自然样条 这种样条的边界条件是:已知两端点的二阶导数值为0! 这样从三弯矩基本方程可以导数确定其它n-2个待定参数的方程组: 固支样条 这种样条的边界条件是:已知两端点的一阶导数值! 根据前面推导过程中得到的样条函数S(x)的一阶导数的表达式(2.11),得方程 固支样条 这样从三弯矩基本方程可以导数确定n个待定参数的方程组: 非扭结样条 这种样条的边界条件是:要求样条S(x)在开始的两个小区间[x0,x1],[x1,x2]上的三阶导数相同,在最后两个小区间[xn-2,xn-1],[xn-1,xn]上的三阶导数相同. 对表达式(2.9)再求一次导数得方程 非扭结样条 再由三弯矩基本方程,可得 周期样条 这种样条的边界条件是:要求样条S(x)及其导数是以区间长度xn-x0为周期的函数即 这些条件可以确定如下两个方程: 再由三弯矩基本方程,可得 周期样条 *
三次样条插值 鉴于高次插值不收敛又不稳定的特点，低次插值既具有收敛性又具有稳定性，因此低次值更具有实用价值，但是低次插值的光滑性较差，比如分段线性插值多项式在插值区间中仅具有连续性，在插值节点处有棱角，一阶导数不存在；分段三次Hermite插值多项式在插值区间中仅具有一阶导数即一阶光滑性但不具备二阶光滑性，不能满足某些实际应用比如汽车、轮船、飞机等的外形中流线形设计。样条是在二十世纪初期经常用于图样设计的一种富有弹性的细长条，多个样条互相弯曲连接后沿其边缘画出的曲线就是三次样条曲线。后来数学上对其进行了抽象，定义了m次样条函数，并成为数值逼近的重要研究分枝，进一步扩大了样条函数的应用范围。 样条函数的定义 定义4.1　设区间[a,b]上给定一个节点划分 a=x0&x1&……&xn-1&xn=b
如果存在正整数k使得[a,b]上的分段函数s(x)满足如下两条： (1)在[a,b]上有直到k-1阶连续导数。 (2)在每个小区间[xi,xi+1]上是次数不大于k的多项式。 则称分段函数s(x)是以(2.6)为节点集的k次样条函数。 三次样条插值函数的定义 并且关于这个节点集的三次样条函数s(x)满足插值条件： 则称这个三次样条函数s(x)为三次样条插值函数。 三次样条插值函数的边界条件 插值条件： 连续性条件： 一阶导数连续条件： 二阶导数连续条件： （1）因为s(x)在每个小区间上是一个次小于三次的多项式，故有四个未知系数； （2）因为s(x)有n分段，从而共有4n个未知系数！ （3）但插值条件与样条条件仅给出4n-2个条件，无法定出4n个未知系数，还差2个条件！这2个条件我们用边界条件给出！
通常我们对插值多项式在两端点的状态加以要求也就是 所谓的边界条件: 第一边界条件：由区间端点处的一阶导数给出即
第二边界条件：由区间端点处的二阶导数给出即
特殊情况为自然边界条件： 由区间端点处的二阶导数恒为0给出即
这样三次样条插值问题就分成三类！其实不止这三类! 第三类又称周期边界条件： 由区间端点处的函数值或导数值满足周期条件给出
样条函数的例子 容易验证： 是满足如下数据的第一类边界样条插值问题解： 0 1 y’ 0 0 0 0 y 3 2 1 0 x 样条函数的例子 通常有三转角法、三弯矩法、B样条基函数法。 三次样条插值函数的求法 这三种方法的基本思想是类似的，都是通过待定某些参数来确定插值函数，但肯定不是待定4n个参数。而是利用已知条件将待定参数减小到最少。
比如：待定一阶导数、待定二阶导数、采用基函数方法来确定插值函数。 三转角法:待定一阶数 为了确定三次样条插值函数的表达式 S(x)， 我们采用待定系数法来求解，我们待定什么系数呢？ 考虑到带一阶导数的分段三次Hermite插值多项式 我们采用待定一阶导数的方法即设 因为分段三次Hermite插值多项式已经至少是一阶连续可导了，为了让它成为三次样条函数只需确定节点处的一阶导数使这些节点处的二阶导数连续即可！ 由于在内部节点处二阶导数连续条件： 整理化简后得： 称为三转角法基本方程组 以上推导还没有考虑边界条件！针对不同类型的三次样条问题，就可以导出不同的方程组
正在加载中，请稍后...导数知识点总结（一） 函数与导数 第一、 求函数定义域题忽视细节函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，考生想要在考场上准确求出定义域，就要根据函数解析式把各种
& & & 导数知识点总结（一）
　　函数与导数
　　第一、求函数定义域题忽视细节函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，考生想要在考场上准确求出定义域，就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。
　　在求一般函数定义域时，要注意以下几点：分母不为0;偶次被开放式非负;真数大于0以及0的0次幂无意义。函数的定义域是非空的数集，在解答函数定义域类的题时千万别忘了这一点。复合函数要注意外层函数的定义域由内层函数的值域决定。
　　第二、带绝对值的函数单调性判断错误带绝对值的函数实质上就是分段函数，判断分段函数的单调性有两种方法：第一，在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，然后对各个段上的单调区间进行整合;第二，画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质能够进行直观的判断。函数题离不开函数图象，而函数图象反应了函数的所有性质，考生在解答函数题时，要第一时间在脑海中画出函数图象，从图象上分析问题，解决问题。
　　对于函数不同的单调递增(减)区间，千万记住，不要使用并集，指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。
　　第三、求函数奇偶性的常见错误求函数奇偶性类的题最常见的错误有求错函数定义域或忽视函数定义域，对函数具有奇偶性的前提条件不清，对分段函数奇偶性判断方法不当等等。判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶的函数。在定义域区间关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断。
　　在用定义进行判断时，要注意自变量在定义域区间内的任意性。
　　第四、抽象函数推理不严谨很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同&特征&而设计的，在解答此类问题时，考生可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数。多用特殊赋值法，通过特殊赋可以找到函数的不变性质，这往往是问题的突破口。
　　抽象函数性质的证明属于代数推理，和几何推理证明一样，考生在作答时要注意推理的严谨性。每一步都要有充分的条件，别漏掉条件，更不能臆造条件，推理过程层次分明，还要注意书写规范。
　　第五、函数零点定理使用不当若函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)&&
　　第六、混淆两类切线曲线上一点处的切线是指以该点为切点的曲线的切线，这样的切线只有一条;曲线的过一个点的切线是指过这个点的曲线的所有切线，这个点如果在曲线上当然包括曲线在该点处的切线，曲线的过一个点的切线可能不止一条。
　　因此，考生在求解曲线的切线问题时，首先要区分是什么类型的切线。
　　第七、混淆导数与单调性的关系一个函数在某个区间上是增函数的这类题型，如果考生认为函数的导函数在此区间上恒大于0，很容易就会出错。
　　解答函数的单调性与其导函数的关系时一定要注意，一个函数的导函数在某个区间上单调递增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为零。
　　第八、导数与极值关系不清考生在使用导数求函数极值类问题时，容易出现的错误就是求出使导函数等于0的点，却没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点，往往就会出错，出错原因就是考生对导数与极值关系没搞清楚。可导函数在一个点处的导函数值为零只是这个函数在此点处取到极值的必要条件，小编在此提醒广大考生，在使用导数求函数极值时，一定要对极值点进行仔细检查。
& & & 导数知识点总结（二）
　　考试要求：
　　（1）了解导数概念的某些实际背景． （2）理解导数的几何意义．
　　（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n&N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．
　　（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．
　　（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．
　　&14. 导 数 知识要点
　　1. 导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数y?f(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量?x，则函数值y也引起相应的增量?y?f(x0??x)?f(x0)；比值?yf(x0??x)?f(x0)
　　称为函数y?f(x)在点x0到x0??x之间的平均变化率；如果极限?
　　f(x0??x)?f(x0)?y
　　存在，则称函数y?f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做?lim
　　?x?0?x?x?0?xlim
　　y?f(x)在x0处的导数，记作f'(x0)或y'|x?x0，即f'(x0)=lim
　　f(x0??x)?f(x0)?y
　　. ?lim
　　?x?0?x?x?0?x
　　注：①?x是增量，我们也称为&改变量&，因为?x可正，可负，但不为零.
　　②以知函数y?f(x)定义域为A，y?f'(x)的定义域为B，则A与B关系为A?B. 2. 函数y?f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：
　　⑴函数y?f(x)在点x0处连续是y?f(x)在点x0处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果y?f(x)在点x0处可导，那么y?f(x)点x0处连续. 事实上，令x?x0??x，则x?x0相当于?x?0.
　　于是limf(x)?limf(x0??x)?lim[f(x?x0)?f(x0)?f(x0)]
　　f(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)
　　??x?f(x0)]?lim?lim?limf(x0)?f'(x0)?0?f(x0)?f(x0).
　　?x?0?x?0?x?0?x?0?x?x⑵如果y?f(x)点x0处连续，那么y?f(x)在点x0处可导，是不成立的. ?lim[
　　例：f(x)?|x|在点x0?0处连续，但在点x0?0处不可导，因为?y?y?y
　　不存在. ?1；当?x＜0时，??1，故lim
　　?x?0?x?x?x
　　?y|?x|
　　，当?x＞0时，?
　　注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
　　②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：
　　函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y?f(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线y?f(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为________ 4. 求导数的四则运算法则：
　　(u?v)'?u'?v'?y?f1(x)?f2(x)?...?fn(x)?y'?f1'(x)?f2'(x)?...?fn'(x)
　　(uv)'?vu'?v'u?(cv)'?c'v?cv'?cv'（c为常数）
　　vu'?v'u?u?
　　(v?0) ???2vv??
　　注：①u,v必须是可导函数.
　　②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、
　　积、商不一定不可导.
　　例如：设f(x)?2sinx?，g(x)?cosx?，则f(x),g(x)在x?0处均不可导，但它们和
　　f(x)?g(x)?
　　sinx?cosx在x?0处均可导.
　　5. 复合函数的求导法则：fx'(?(x))?f'(u)?'(x)或y'x?y'u?u'x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性：
　　⑴函数单调性的判定方法：设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f'(x)＞0，则y?f(x)为增函数；如果f'(x)＜0，则y?f(x)为减函数. ⑵常数的判定方法；
　　如果函数y?f(x)在区间I内恒有f'(x)=0，则y?f(x)为常数.
　　注：①f(x)?0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y?2x3在(??,??)上并不是都有f(x)?0，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样f(x)?0是f（x）递减的充分非必要条件. ②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）
　　在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理）
　　当函数f(x)在点x0处连续时，
　　①如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x0)是极小值.
　　也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f'(x)=0. 此外，函数不
　　可导的点也可能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.
　　注①： 若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f'(x)=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数y?f(x)?x3，x?0使f'(x)=0，但x?0不是极值点.
　　②例如：函数y?f(x)?|x|，在点x?0处不可导，但点x?0是函数的极小值点.
　　8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.
　　注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：
　　I.C'?0（C为常数） (sinx)?cosx (arcsinx)?
　　(xn)'?nxn?1（n?R） (cosx)'??sinx (arccosx)'??
　　II. (lnx)'?
　　1'11
　　(logax)'?logae (arctanx)?2 xxx?1
　　(ex)'?ex (ax)'?axlna (arccotx)'??
　　III. 求导的常见方法： ①常用结论：(ln|x|)'?
　　②形如y?(x?a1)(x?a2)...(x?an)或y?求代数和形式.
　　(x?a1)(x?a2)...(x?an)
　　两边同取自然对数，可转化
　　(x?b1)(x?b2)...(x?bn)
　　③无理函数或形如y?xx这类函数，如y?xx取自然对数之后可变形为lny?xlnx，对两边
　　y'1
　　求导可得?lnx?x??y'?ylnx?y?y'?xxlnx?xx.
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