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0.5乘以3.14乘以（a/2）的平方减去（1/2）乘以3.14乘以（a/4）的平方等于什么?
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0.5 x 3.14 x （a/2）^2 - （1/2）x 3.14 x （a/4）^2=0.5 x 3.14 x (a^2/4)-0.5 x 3.14 x (a^2/16)=0.5 x 3.14 x (a^2/4-a^2/16)=0.5 x 3.14 x (3a^2/16)=0.
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答：关键就是找出能产生0的数来，可以知道，5的倍数与2的倍数相乘会产生0。而2的倍数多于5的倍数，所以只需找出5的倍数有多少即可。50÷5^1=50÷5=10，有10个5^1； 50÷5^2=50÷25=2，有2个5^2； 所以有10+2=12个零关于求1×2×3×4×...×n的乘积末端有几个零，有一个公式： [n/5]+[n/5^2]+[n/5...
0.5*3.14*（a/2）^2-（1/2）*3.14*（a/4）^2=(1/2)*3.14*（a^2/4）-（1/2）*3.14*（a^2/16）=(1/2)*3.14*（a^2/4-a^2/16)=(1/2)*3.14*（3a^2/16)=9.42a^2/32
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人教八上导学案(一次函数及整式乘除与因式分解)
目录一十四章 一次函数 十 五 章 整 式的乘 除 与 因 式分解15.1 整式的乘法 15.1.1 同底数幂的乘法 15.1.2 幂的乘方 15.1..3 积的乘方 15.1.4 整式的乘法 15.2 乘法公式 15.2.1 平方差公式 15.2.2 完全平方公式 15.3 整式的除法 15.3.1 同底数幂的除法 15.3.2 整式的除法15.4 因式分解 15.4.1 提公因式法 15.4.2 公式法 第十五章 整式的乘除与因式分解复习课 第十五章形成性评价试卷 期末测试卷14.1 变量与函数 14.1.1 变量 14.1.2 函数 14.1.3 函数的图象 14.2 一次函数 14.2.1 正比例函数 14.2.2 一次函数（1） 14.2.2 一次函数（2） 14.3 用函数观点看方程（组）与不 等式 14.3.1 一次函数与一元一次方程 14.3.2 一次函数与一元一次不等式 14.3.3 一次函数与二元一次方程组 14.4 课题学习 选择方案 第一十四章 一次函数 复习课 第一十四章形成性评价试卷1第十四章14.1.1 课堂目标导航１．认识变量、常量．（重点） ２． 学会用含一个变量的代数式表示另一个 变量．并逐步感知变量间的关系．（难点） 3．通过实践与探索，让学生参与变量的发 现过程，强化数学的应用意识，学会将实际 问题抽象成数学问题。 5．通过经历对实际问题数量关系的探索， 提高数学学习的兴趣，学会合作学习，在解 决问题的过程中体会到数学的应用价值， 在 探索活动中获得成功的体验， 建立良好的自 信；一次函数变量一个极其重要的数学工具――函数， 我们将 用它来描述变化中的数量关系。 知新 1.在一个变化过程中，数值发生变化的量为 变量，数值始终不变的量为常量。 质疑 2.有人说： “常量与变量不是绝对的， 而是相 对于一个变化过程而言的” 你认为这种说法 正确吗？结合生活中的例子， 和同学交流一 下看法。 教学建议：在整个教学过程中，作为教学主 导的老师需特别注重对学生感受知识与处 理问题的能力与结果的即性评价.应引导学 生在学习中多举例，多类比，多思考，多体 味，以此激发和培养学生的学习兴趣，理解 和接受常量与变量的概念， 改变对概念下程 式化的定义，切实提高学生的学习兴趣，降 低函数学习入门的难度． 并在教学中借助信 息技术使问题的呈现更为直观、 简洁、 有效..14.1 变量与函数创意开场白本节课导入可从以下几方面进行考虑。 方式一：通过弹簧秤的演示实验导入。可安 排两位同学，一位拿弹簧秤，另一位在弹簧 秤上加钩码。在实验中引导学生观察“什么 在变，什么没有变” 。这样，在学生动手实 验时，既提高了学生的兴趣，又有助于学生 发现问题。 即如何从数学的角度来刻画这些 变化，从而引入课题。 方式二：通过小故事导入：小明几个同学约 好去龙江公园游玩，小明先来到了超市，他 挑了一根火腿肠， 标价 1.5 元， 他准备付钱， 可一想，应该给别的同学也买一些，于是他 又拿了 5 根， 他应该付多少钱呢？??进而 引入课题（常量与变量） 。像这样以一个小 故事的形式把数学问题生活化， 使抽象的概 念具体化。同时也突出了概念的形成过程课堂导学方案：过渡语：在一个变化过程中，有些量的数值 是始终不发生改变的。 而有些量数值是会按 某种规律变化的。根据这些特点，我们把它 们分别称为常量和变量。 教学点一：常量与变量 “常量” “变量” 与 的概念是本节课的重点， 同时“常量”与“变量”又是两个抽象的新 概念， 教学中必须让学生通过直观感知来接 受新的概念. 例 1：林老师骑摩托车到加油站加油，发现 每个加油器上都有三个量， 其中一个表示油 的单价（元/升）其数值是固定不变的，另课前预习方案过渡语：在我们生活的世界里，万事万物都 是在发生变化的，气温随海拔而变化，人体 细胞随年龄而变化。 汽车行驶路程随时间而 变化??从本章开始， 我们将引导大家认识2外两个量分别表示“数量”、“金额”，数值一 直在变化，在这三个量当中 是常量， 是变量． 分析：常量就是在变化过程中不变的量，变 量是指在程序的运行过程中随时可以发生 变化的量． 解答：在这三个量当中油的单价（元/升） 是常量；数量、金额是变量． 教学结论： 本题中考查的常量， 变量的定义， 是需要识记的内容． 学点训练： 1．圆周长公式 C=2πR 中，下列说法正确的 是(B) (A)π、R 是变量，2 为常量 (B)C、R 为变量，2、π 为常量 (C)R 为变量，2、π、C 为常量 (D)C 为变量，2、π、R 为常量 2．球的体积 V（cm3）和半径 R（cm）之间 的关系式是 V=例 2： 有一棵树苗，刚栽下去时树高为 2.1 米，以后每年长高 0.3 米． （1）写出树高 y（米）与年数 x（年）之间 的关系式：并指出其中的常量与变量。 （2）计算 3 年后的树苗的高度。； （3）多少年后树苗的高度将达到 5.1 米． 分析：根据刚栽下去时树苗高为 2.1 米，以 后每年长高 0.3 米易列出树高 y 与年数 x 之 间的关系式， 根据常量与变量的意义确定其 中的常量与变量。再把 x=3，y=5 分别代入 关系式，即可解答第（2） （3）小题． 解答： （1）根据题意：刚栽下去时树高为 2.1 米，以后每年长高 0.3 米；可得树高 y 与年数 x 之间的关系式是 y=0.3x+2.1；其中 年数 x （年） 与树高 y （米） 0.3 与 2.1 为常量； 为变量。（2）x=3 时，y=0.3× 3+2.1=3；故 3 年后树苗的高度为 3 米。 （3） y=5.1， 将 代入关系式中可得 x=10． 即 10 年后树苗的高度将达到 5.1 米。 教学结论：本题首先通过审清题意，发现变 量间的关系；再列出关系式，并根据两个变 量之间的关系式进一步解决问题。 学点训练 1. 小军用 50 元钱去买单价是 8 元的笔记本， 则他剩余的钱 Q?（元）与他买这种笔记本 的本数 x 之间的关系是 （ C） A．Q=8x B．Q=8x-50 C．Q=50-8x D．Q=8x+50 2. 长方形相邻两边长分别为 x、?y?，面积 为 30?，?则用含 x?的式子表示 y 是4 4 ? R3，其中常量是 和 3 3，?变量是_V 和 R _．在这个问题中，球 ?， 的半径越大，则球的体积就越__大____ 教学建议：围绕常量与变量的概念，教师教 学中应结合实际例子让学生认识到以下几 点： （1）常量与变量必须存在于同一个变化 过程中，判断一个量是常量还是变量，需要 看两个方面： 一是看它是否在同一个变化过 程中； 二是看它在这个变化过程中的取值情 况是否发生变化； （2）常量和变量是相对变 化过程而言的，有时可以相互转化；如在 S=υt 中，若 S 一定，则 υ、t 是变量，若 υ 一定，则 s、t 是变量； （3）不要误认为字母 就是变量，如 π 就是常量。 教学点二：用代数式表示两个变量的关系 用代数式表示两个变量的数量关系， 既是对 以往列代数式知识的复习， 也为后面进一步 学习用解析式表示函数关系作准备。y?30 ?，则这个问题中，30 是常量；y 和 xx 是变量． 3.三角形的底边长为 8cm，高为 x cm. （1） 写出三角形的面积 y 与高 x 之间的 函数关系式； （2）用表格表示高从 5cm 变到 10cm 时 （每次增加 1cm） y 的对应值； （3）当 x 每次增加 1cm 时， y 如何变 化？ 解： （1）y=4x.(2)略（3）当 x 每次增加 1cm 时， y 增加 4 cm23教学建议：教学中应遵照教师为主导，学生 为主体，训练为主线的教学原则。教师可引 导学生通过小组内的合作学习， 小组间的竞 争学习，来培养学生的合作意识与竞争意 识。在课堂上，教师应关注全体学生，让不 同程度的学生都能得到发展，同时，注意不 断地让学生体会到成功的喜悦， 让他们始终 在愉悦中主动地学习。（2）7.9 是常量，V，m 是变量 （3）S 和 a?是变量，2 是常量 5．一位在读大学生利用假期去一家公司打 工，报酬按每时 15 元计算．?设该生打工时 间为 t 时，应得报酬为 w 元．当堂评价方案1. 笔记本每本 a 元， 3 本笔记本共支出 y 买 元，在这个问题中：①a 是常量时，y?是变 量； 是变量时， 是常量； 是变量时， ②a y ③a y 也是变量；④a，y 可以都是常量或都是变 量，上述判断正确的有（ B ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个（1）填表 （2）用 t 表示 w； （3）指出哪些是常量，哪些是变量． 解： （1）依次为 30，75，150。 （2）w=15t （3）15 为常量；w 和 t 为变量。 6 长方形的周长为 20cm，它的长为 a cm， 宽为 b cm. （1） 上述的哪些是常量？哪些是变量？ （2）写出 a 与 b 满足的关系式； （3）试求宽 b 的值分别为 1，3.5 时，相 应的长 a 是多少？ （4）宽为多少时，长为 8cm？ 解 （1） 周长 20cm 为常量。 a cm 与宽 b cm 长 为变量。（2） a + b =10。 （3）当 b =1 时， a =9，当 b =3.5 时，a =6.5。 宽为 2cm （4） 时，长为 8cm.. 教学建议：本次课教学中应注意：（一）关 注学生的学习起点与学习心理： 学生第一次 接触“变量”这一名词，在教学时，应特别 注意引导学生体会一个过程中“变量”的特 征.从学生熟知的例子入手， 借助于多媒体的 直观演示， 让学生在熟悉与丰富的情境中完 成对概念的自我建构. （二）重视问题设置的循序性与层次性：在 为学生“建构概念”时，问题设计的层次应 “指向明确、简单易答” ，.在学生“应用概 念” 时， 问题设计的层次应体现 “背景复杂、 辨析作答”的原则。42.. 汽车离开甲站 10 千米后，以 60 千米/时 的速度匀速前进了 t 小时，则汽车离开甲站 所走的路程 s （千米）与时间 t （小时）之 间的关系式是（ A ）. （A） s ? 10 ? 60t （B） s ? 60t （C） s ? 60t ?10 （D） s ? 10 ? 60t 3. 圆的面积 S 与半径 R 的关系是 S= ? R2， 其中常量是__ ? __，变量是__S 和 R ___ 4. 指出下列各个过程中的变量与常量： （1）我国第一颗人造地球卫星绕地球一周 需 106 分钟，t 分钟内卫星绕地球的周数为 N，N=t ； 106（2）铁的质量 m（g）与体积 V（cm3）之 间有关系式 m=7.9V； （3）矩形的长为 2cm，它的面积为 S（m2） 与宽 a（cm）的关系式是 S=2a． （1）N 和 t 是变量，106 是常量课后作业方案时量：30 分钟 一，选择题. 1.．已知甲、乙两地相距 S 千米，某人行完 全程所用的时间 t（时）与他的速度 v（千 米/时）满足 vt=S，在这个变化过程中，下 列判断中错误的是 （A ） A．S 是变量 B．t 是变量 C．v 是变量 D．S 是常量 2. 某人要在规定的时间内加工 100 个零件， 则工作效率 ? 与时间 t 之间的关系中，下列 说法正确的是（ C ）. （A）数 100 和? ， t 都是变量 （B）数 100 和? 都是常量 （C）? 和 t 是变量 （D）数 100 和 t 都是常量 3. 市场上一种豆子每千克售 2 元， 即单价是 2 元/千克，豆子总的售价 y （元）与所售豆 子的数量 x kg 之间的关系为__y=2x__， 当售 出豆子 5kg 时，豆子总售价为_10___元；当 售出豆子 10kg 时，豆子总售价为_20_元． 4.用火柴棒按如图的方式搭一行三角形，搭 一个三角形需 3 支火柴棒， 2 个三角形需 搭 5 支火柴棒，搭 3 个三角形需 7 支火柴棒， 照这样的规律搭下去， n 个三角形需要 S 搭 支火柴棒， 那么 S 与 n 的关系可以用式子表 示为 S=2n+1（ n 为正整数）.些是变量； （2） 你能求出高 h 关于半径 r 的关系式吗？ 并说出 r、h 的变化趋势．分析： （1）在这个过程中，取值不变的量为 体积，变化的量为底面圆的半径与高。 （2） 根据圆柱的体积公式变形即可得 h 与 r 的关 系式。 解答： （1）常量为体积，变量为底面圆的半 径和高。 （2）h=V ，当 r 增大时，h 减少. ? r28. 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作 用， ?还将继续向前滑行一段距离才能停止， 这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型 号汽车的刹车性能（车速不超过 140 千米/ 时） ，对这种汽车进行测试，测得数据如下 表：回答下列问题： （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？ （2）如果刹车时车速为 60 千米/时，那么 刹车距离是多少米？ （3）该型号汽车在国道上发生过一次交通 事故，现场测得刹车距离为 40 米，?请你估 计刹车的速度，请问在事故发生时，汽车是 超速行驶还是正常行驶？ 刹车时 车速 （千 米/时） 20 40 60 80 100 120刹 车 距 1.0 离（米） 6. 等腰三角形的顶角为 y，底角为 x． （1）用含 x 的式子表示 y； （2）指出（1）中式子里的常量与变量． 分析： （1）根据三角形内角和及等腰三角形 性质即可得 x 与 y 的关系式。 （2）根据常量 与变量的意义判断。 （1）y=180－2x （2）常量 180，－2；变 量 x，y 7. 如图，把一个“瘦长”的圆柱（圆钢条）锻 压成一个“矮胖”的圆柱． （1）在这个变化过程中，考察圆柱的体积、 底面圆的半径、高，?指出哪些是常量，哪3.67.813.62130分析： （1）根据变量意义即在一个过程中取 值情况发生变化的量可确定“刹车距离”与 “刹车时的车速”是其中两个变量。 （2）根 据表格可直接回答。 （3）从表格第二排可以 看出，刹车距离的增加值依次为 2.6，4.2， 5.8， 7.4， 依此规律可求得当刹车时的速度 9 为 140 千米/时的刹车距离。 解答： “刹车距离”与“刹车时的车速” （1） 。 （2） 米。 由表中变化规律可以看出， 7.8 （3） 当车速为 140 千米/时时，刹车距离为 40.6 米。而 40&40.6，故事故发生时，汽车是正 常行驶。514.1.2 函数课堂目标导航1. 理解掌握函数的概念， 能根据所给条件写 出简单的函数关系式,能准确识别出函数关 系中的自变量和函数（重点）. 2. 经历从实际问题中得到函数关系式的过 程，发展学生的数学应用能力。 3. 会用变化的量描述事物， 用运动的观点观 察事物，分析事物（难点） 4. 引导学生探索实际问题中的数量关系， 培 养对学习的兴趣和积极参与数学活动的热 情。 在解决问题的过程中体会数学的应用价 值并感受成功的喜悦，建立自信心，感受数 学与人类生活的密切联系，激发学生学数 学、用数学的兴趣。 创意开场白： 本次课的导入可从以下几方面进行考虑。 方式一：通过学生生活情景导入新课：如公 园的摩天轮，教师可以提出问题：当你坐在 摩天轮上时，想一想，随着时间的变化，你 离开地面的高度是如何变化的？其中的变 量有哪些？这些变量有什么联系？进而提 出函数的概念。 方式二：通过学生实际操作引入新课：教师 可设计一个运算程序。如 40 升和每小时耗油量 5 升是不变的量， 叫常 量， 行驶时间 t 小时和油箱内余油量 Q 是数 值变化的量，叫变量。 知新： 2.一般地，在一个变化过程中，如果有两个 变量 x 与 y，并且对于 x?的每个确定的值， y?都有唯一确定的值与其对应，?那么我们 就说 x?是自变量， 是 x 的函数． y 如果当 x=a 时，y=b，那么 b?叫做当自变量的值为 a 时 的函数值． 质疑 根据函数的定义， 你能举出一些生活中具有 函数关系的例子吗？你又能否说出其中谁 是自变量， 谁是自变量的函数吗？与同学交 流。 教学建议： 教学中可首先列举学生熟悉的例 子， 引导学生从实例中观察分析探索变量之 间的规律，抽象出函数的概念。然后提出注 意问题，帮助学生把握概念的本质特征，再 通过生活中的函数举例进一步理解函数的 概念，最后引导学生运用概念并及时反馈， 同时在概念的形成过程中， 着意培养学生观 察分析抽象概括的能力。课堂导学方案过渡语：在一个变化过程中的两个变量，当 其中一个变量取定一个值时， 另一个变量就 有唯一确定的值与之对应， 这时的两个变量 就具有了函数关系。 教学点 1：函数的意义 理解函数概念时有两个关键点， 一是在一个 变化过程中有两个变量； 二是对于自变量的 每一个确定的值， 与之对应的函数值都是唯 一存在的。 例 1： 下列说法正确的是（ ） A、变量 x，y 满足 x+3y=1，则 y 可以是 x 的函数 B、变量 x、y 满足 y ?让学生动手操作，并进行交流，同时教师提 出问题，这里提供的运算程序中有几个变 量， 它们有何对应关系， 并引入函数的概念。课前预习方案导入语：我们生活在一个运动的世界里，行 星在宇宙中的位置随时间而变化； 气压随海 拔而变化；…...这种一个量随另一个量变化 而变化的现象大量存在。“函数”是人类总结 出来的描述上述这种变化的一种数学工具， 它可以用来描述事物变化过程中的数量关 系。现在，我们就来学习函数的相关知识。 温故 1. 汽车开始行驶时油箱内有油 40 升，如 果每小时耗油 5 升，?则油箱内余油量Ｑ升 与行驶时间 t 小时的关系是Ｑ＝40－5t． 在 这一过程中， 汽车开始行驶时油箱内的油量? x 2 ? 3 ，则 y 是 x的函数 C、变量 x，y 满足|y|=x，则 y 是 x 的函数 D、变量 x，y 满足 y2=x，则 y 是 x 的函数 分析：解答此题，首先要了解函数的几个特 点：①函数表示的是一个变化的过程，②必6须有两个变量，③对于每一个自变量的值， 另一变量有且只有一个值与之对应．是（）?x ?1 解答：解：A、有两个变量，且 y ? ， 3x 的每一个值，有且只有一个 y 值与之相对 应，符合函数的特点，故 A 正确； B、由于含自变量的代数式中，被开方数恒 为负数，因此该式子没有意义，即 y 没有唯 一的值与之对应。故 B 错误； C、在|y|=x 中，x 取大于 0 的每个值，y 都 有两个值与之对应，不符合函数的特点，故 C 错误； D、当 x 为正数时，x 的每个值，y 都有两个 值与之对应；当 x 为负数时，式子无意义， 不符合函数的特点，故 D 错误； 综上可知：A 的结论正确，故选 A． 教学结论： 准确理解函数的概念是解答此类 问题的关键． 学点训练 设 1. 在下表中， x 表示乘公共汽车的站数， 表示应付的票价（元） y1 A.x ? ? è è B x ?1 2 1 1 C.x ? ? 且x ? ?1.D.x ? ? 且x ? 1 2 2分析：根据二次根式的性质和分式的意义， 被开方数大于等于 0，分母不等于 0，就可 以求解 解：根据二次根式的性质和分式的意义可 知：2x+1≥0 即 x ? ?1 ； 2分母不等于 0，可知：x-1≠0，即 x≠1 所以自变量的取值范围是： x ? ?1 且 x≠1 2故选 D． 教学结论： 本题考查的是函数自变量取值范 围的求法． 函数自变量的范围一般从三个方 面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变 量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式 时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数 表达式是二次根式时，被开方数非负． 学点训练1. 函数根据此表，下列说法正确的是（ A ） A、y 是 x 的函数 B、y 不是 x 的函数 C、x 是 y 的函数 D、以上说法都不对 2.下列等式中，y 是 x 的函数的有（ C ） 个． （1）3x-2y=1； （2）x2+y2=1； （3）xy=1； 3 （4）y=2x ． A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 2 中，可把 y 看成 x 3.在关系式 y=2x +x+1 的函数，其中 x 是自变量。 教学建议：本节课的难点是理解函数概 念， 教学活动中应充分利用多媒体有声有色 有动感的画面，使抽象的问题形象化，直观 深刻地揭示函数概念的本质。 不仅叩开学生 的思维之门，也打开他们的心灵之窗，使他 们在欣赏享受中， 在美的熏陶中主动地轻松 愉快地获得新知。 教学点 2：自变量的取值范围 对于用代数式表示的函数关系， 自变量的取 值应使代数式本身有意义。 在研究实际问题 中的函数关系时， 自变量的取值还应使得实 际问题有意义。 例 2：函数x ?1 的自变量 x 的取值范围是 2? x（ C ） A. x ? ?1 B. x ? 2 C. x ? 2 D. x ? 22 中自变量 x 的取值范围是 x?2 x≠2.，函数 y ? 2 x ? 3 中自变量 x 的取值 3 范围是 x ? . 22. 函数 y ? 教学建议：在用代数式表示的函数关系中， 求自变量的取值范围应特别强调当式子中 有分母时分母不为 0；有根号时，被开方数 为非负数。当式子中既含有分母又有根号 时， 应引导学生联系不等式组的有关知识来 求解。 教学点 3：函数的关系式与函数值 利用函数的关系式，当已知自变量的值时， 可以求出对应的函数值，反之，已知函数值 时，也能求自变量的值。这在用函数解决实 际问题中有广泛的应用。 例 3 如图所示，由若干个个点组成正方形 图形，每条边（包括两上顶点）有 n（n＞1） 个点，每个图形总的点数是 s． （1）写出用 n 表示 s 的公式； （2）计算当 n=6 时，s 的值．72x ?1 的自变量 x 的取值范围 x ?13.函数 y ? 是（A ） A． x ? 分析：根据正方形有四条边，又每两条边的 交点处的点被计算了两次， 所以总点数等于 每条边上的点的个数乘以 4，再减 4． 解： （1）根据题意，正方形顶点处的四个点 被重复计算， 所以总点数 s=4n-4=4（n-1） ， 故公式为 s=4（n-1） ； （2）当 n=6 时，s=4× （6-1）=20． 教学结论：先观察图形并建立函数关系式， 再利用函数关系式求值。 本题解题关键在于 用正方形每边上有 n 个点计算点的总数时， 顶点处的点被重复计算了一次． 学点训练 1.x=-1 时，函数 y= A、2 B、-2x ? 1 中， 自变量 x 的取值范围 3x ? 44 B． x ? 1 3 4 4 C． x ? 且x ? ?1 D． x ? 3 3 2 4. 已知函数 y ? x ? x ? 2, 当 x=2 时，函数值为 0 。 5.. 如图，在靠墙（墙长为 18m）的地方围 建一个矩形的养鸡场，另三边用竹篱笆围 成，如果竹篱笆总长为 35m，设鸡场与墙垂 直的一边长为 x m）鸡场的面积为 （cm2） （ ， y , 求 y 与 x 的函数关系式， 并求自变量的取值 范围。4 的值为（ B ） x ?1 1 1 C. ? D. 2 2解：易知鸡场的另一边为 35 ? 2x ,依题意得y ? x(35 ? x) ? ? x 2 ? 35x ，?35 ? 2 x ? 18 由? ?35 ? 2 x ? 0 7 35 知自变量的取值范围是 ? x ? 2 2 6.在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的 周长相等的边框，制成一面镜子。镜子的长 与宽的比是 2： 已知镜面玻璃的价格是每 1。 平方米 120 元，边框的价格是每米 30 元， 另外制作这面镜子还需加工费 45 元。设制 作这面镜子的总费用是 y 元， 镜子的宽度是 x 米。 （1）求 y 与 x 之间的关系式。 （2） 如果这面镜子的宽为 0.5 米，则制作这 面镜子共花了多少钱？ 解答： （1）依题意：2.地壳的厚度约为 8 到 40km，在地表以下 不太深的地方， 温度可按 y=3.5x+t 计算， 其 中 x 是深度，t 是地球表面温度，y 是所达 深度的温度． （1）在这个变化过程中，哪个量是自变量， 哪个量是自变量的函数？ （2） 如果地表温度为 2℃， 计算当 x 为 5km 时地壳的温度． （1）解：自变量是地表以下的深度 x，所达 深度的温度 y 是自变量的函数； （2）解：当 t=2，x=5 时， y=3.5× 5+2=19.5； 所以此时地壳的温度是 19.5℃． 教学建议： 本组练习的关键是建立函数关系 式，教学中应引导学生多观察、交流.当堂评价方案1. 下列是关于变量 x 和 y 的四个关系式： ①y=x；②y2=x；③2x2=y；④y2=2x．其中 y 是 x 的函数有（B） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 2. 长方形的周长为 24cm， 其中一边为 x （其 中 x&0） ，面积为 y cm2，则这样的长方形中 y 与 x 的关系可以写为（ C ） A、 y ? x2y ? 2 ? x ? 2 x ? ? 30 ? x ? 2 x ? 120 ? 45? 240x 2 ? 180x ? 45 2 （2）把 x=0.5 代入 y ? 240x ? 180x ? 45得 y=195 元。 故制作这面镜子共花了 195 元 教学建议：本课难点为函数的概念，应本着 以观察为起点，以问题为主线，以培养能力 为核心的宗旨；遵照教师为主导，学生为主 体，训练为主线的教学原则；注意遵循特殊 到一般，具体到抽象，由浅入深，由易到难 的认识规律开展教学。C、 y ? ?12 ? x ? ? xB、 y ? ?12 ? x ?2D、 y ? 2?12 ? x ?8课后作业方案时量：30 分钟 1. 下列变量间的关系不是函数关系的是 （ C ） A 长方形的宽一定，其长与面积 B、正方形的周长与面积 C、等腰三角形的底边长与面积 D、圆的周长与半径 测得一弹簧的长 2. 弹簧挂上物体后会伸长， 度 y（cm）与所挂的物体的重量 x（kg）间 有下面的关系： 下列说法不正确的是（ B ）自变量的范围应能使正方形的边长是正数， 即满足不等式组 ??5 ? x ? 0 解得：0≤x＜5． ?x ? 0故自变量的取值范围是 0≤x＜5．6.已知水池中有 800 立方米的水，每小时抽 50 立方米． （1）写出剩余水的体积 Q 立方米与时间 t （时）之间的函数关系式． （2）写出自变量 t 的取值范围． （3）10 小时后，池中还有多少水？ （4） 几小时后， 池中还有 100 立方米的水？分析： （1）根据函数的概念和所给的已知条件即可 列出关系式，Q=800-50t； （2）结合实际即可得出 时间 t 的取值范围； （3） （1） 根据 中的函数关系式，A、x 与 y 都是变量，且 x 是自变量，y 是 x 的函数。 B、弹簧不挂重物时的长度为 0cm C、物体质量每增加 1kg，弹簧长度 y 增加 0.5cm D、所挂物体质量为 7kg 时，弹簧长度为 13.5cm 3. （湛江）根据如图所示程序计算函数值， 若输入的 x 的值为将 t=10 带入即可得出池中的水； （4）结合已知，可知 Q=100，带入函数关系式中 即可得出时间 t．：解： （1）由已知条件知，每小时抽 50 立方米水则 t 小时后抽水 50t 立方米而水池中总共有 800 立 方米的水那么经过 t 时后，剩余的水为 800-50t 故剩余水的体积 Q 立方米与时间 t（时）之间的函 数关系式为：Q=800-50t； （2）由于 t 为时间变量，所以 t≥0 又∵当 t=16 时 将水池的水全部抽完了故自变量 t 的取值范围为： 0≤t≤16； （3）根据（1）式，当 t=10 时，Q=3005 ，则输出的函数值为 22 5。故 10 小时后，池中还剩 300 立方米水； （4）当 Q=100 时，根据（1）式解得 t=14 故 14 小时后，池中还有 100 立方米的水．4.（2010?攀枝花）在函数 y ?x?2 中，自 3x变量 x 的取值范围是 x≥-2，且 x≠0． 5.一个正方形的边长为 5cm，它的边长减少 写出 xcm 后得到的新正方形的周长为 ycm， 并指出自变量的取值范围． y 与 x 的关系式，分析： 一个正方形的边长为 5cm， 它的边长减少 xcm 后得到的新正方形的边长为 5-x， 周长为 y=4 5-x） （ ， 自变量的范围应能使正方形的边长是正数，即满足 不等式组 ?7.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长 度 y（cm）与所挂物体的质量 x（kg）有如 下关系： （1）请写出弹簧总长 y（cm）与所挂物体 质量 x（kg）之间的函数关系式． （2） 当挂重 10 千克时弹簧的总长是多少？分析： （1） 由上表可知 12.5-12=0.5， 13-12.5=0.5， 13.5-13=0.5，14-13.5=0.5，14.5-14=0.5， 15-14.5=0.5，0.5 为常量，12 也为常量．故可求出 弹簧总长 y（cm）与所挂重物 x（K）之间的函数 关系式． （2）令 x=10 时，求出 y 的值即可． 解： （1）由表可知：常量为 0.5，12， 所以，弹簧总长 y（cm）与所挂重物 x（K）之间 的函数关系式为 y=0.5x+12， （2）当 x=10kg 时，代入 y=0.5x+12， 解得 y=17cm，即弹簧总长为 17cm． 9?5 ? x ? 0 ?x ? 0解：∵原正方形边长为 5，减少 xcm 后边长为 5-x， 故周长 y 与边长 x 的函数关系式为 y=20-4x，14.1.3 函数的图象课堂目标导航1. 学会用图表描述变量的变化规律，会准 确地画出函数图象（重点） 2. 能结合函数图象，体会出函数的变化情 况. 3. 学会函数不同表示方法的转化，会由函 数图象提取信息。 （难点） 4. 渗透数形结合思想， 体会到数学来源于生 活，又应用于生活．培养学生的团结协作精 神、 探索精神和合作交流的能力,通过细心画 图，培养严谨细致的学习作风． 创意开场白： 本次课的导入可从以下几方面进行考虑。 方式一： 通过生活中常见的函数图象引入新 课。如可以展示心电图、气温变化曲线图、 上证指数走势图或者彩票出号走势图等， 并 回顾函数的定义从而导入新课。 这样可以让 学生感受到函数知识渗透到生活中的方方 面面，并能初步感受函数图象的特点。 方式二：通过复习导入新课，如前面所学过 的正方形的面积与边长、 速度一定的汽车行 驶的路程与时间，可以提出问题，这些函数 的表示还可以有其它的方法吗？进而激发 学生的探求欲望.这样能让学生初步认识到 同一个函数存在不同的表示方法， 它们是可 以互相转化的。 函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐 标，那么坐标平面内由这些点组成的图形， 就是这个函数的图象。 用描点法画函数图象的一般步骤是： （1）.列表（用表格给出一些自变量的值及 其对应的函数值） （2）.描点：（在直角坐标系中，以自变量 的值为横坐标，相应的函数的值为纵坐标， 描出表格中数值对应的各点） （3）.连线（按照横坐标由小到大的顺序把 描出的各点用平滑曲线连接起来）。 3.函数的三种表示方法：列表法、解析式法 和图象法。 质疑 函数有三种表示方法， 结合教材中的例子比 较这三种方法， 看它们各有什么特点？与同 学进行交流。 教学建议：函数的图象是学好全章的关 键，是全章中的重点内容之一.现实生活中 有很多变量之间存在函数关系， 其中很多是 通过函数图象加以表现的。 我们教师应充分 利用这一点， 引导学生挖掘现实生活中的相 关素材， 体会数学与现实的密切联系及其应 用价值，从而激发学生的数学学习兴趣。课堂导学方案过渡语：生活中很多变量之间的函数关系， 是通过函数图象加以表现的，因而，掌握好 如何画函数的图象，怎样解读函数图象信 息，是学好本章的关键。 教学点 1：读函数图象获取信息 在观察实际问题的图象时， 先从两坐标轴表 示的实际意义得到点的坐标的实际意义． 然 后观察图形，分析两变量的相互关系，给合 题意寻找对应的现实情境． 例 1： 如图反映的过程是：小强从家去菜地 浇水，又去玉米地除草，然后回家．如果菜 地和玉米地的距离为 a 千米，小强在玉米地 除草比在菜地浇水多用的时间为 b 分钟， 则 的值分别为（ ） a，b A、1.1，8 B、0.9，3 C、1.1，12 D、0.9，8 分析：首先弄清横、总坐标所表示的意义 然后根据各个特殊点来分段分析整个函数10课前预习方案导入语：我们在前面学习了函数意义，并掌 握了函数关系式的确立． 但有些函数问题很 难用函数关系式表示出来， 然而可以通过图 来直观反映． 例如用心电图表示心脏生物电 流与时间的关系． 即使对于能列式表示的函 数关系， 如果也能画图表示则会使函数关系 更清晰． 我们这节课就来解决如何画函数图 象的问题及解读函数图象信息． 温故 1. 一般地， 在一个变化过程中， 如果有两个 变量 x 与 y，并且对于 x?的每个确定的值， y?都有唯一确定的值与其对应，?那么我们 就说 x?是自变量，y 是 x 的函数． 知新： 2.一般地，对于一个函数，如果把自变量与图象．解答：此函数大致可分以下几个阶段： ①0-15 分种，小强从家走到菜地； ②15-25 分钟，小强在菜地浇水； ③25-37 分钟，小强从菜地走到玉米地； ④37-55 分钟，小强在玉米地除草； ⑤55-80 分钟，小强从玉米地回到家； 综合上面的分析得：由③的过程知， a=2-1.1=0.9 千米； 由②、④的过程知 b=（55-37）-（25-15） =8 分钟； 故选 D． 教学结论： 本题主要考查了函数图象的读图 能力和函数与实际问题结合的应用． 要能根 据函数图象分析得出所需要的信息， 结合实 际意义得到正确的结论． 学点训练 1. 某天小明骑自行车上学，途中因自行车 发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑 行，按时赶到了学校．如图描述了他上学的 情景，下列说法中错误的是（ A ）地理解图象。 也可以通过组织学生对图象中 所含信息进行交流， 提高学生读图能力并激 发学生学习的积极性。 教学点 2：函数的三种表示方法 函数的三种表示方法分别为：列表法、解析 式法和图象法， 这些表示法之间可以互相转 化。 例 2： 已知等腰三角形周长为 24cm，若底 边长为 y（cm） ，一腰长为 x（cm） ， （1）写出 y 与 x 的函数关系式 （2）求自变量 x 的取值范围 （3）画出这个函数的图象 分析： （1）根据三角形周长公式可写出 y 与 x 的函数关系式， （2）用三角形三边关系 表示出 x 的取值范围， （3）根据函数关系式 即可画出函数图象． 解： （1） ：∵等腰三角形的周长为 24cm， 若底边长为 ycm，一腰长为 xcm． ∴2x+y=24，∴y=24-2x，4 ? ? 2 x ?2 2 x ?2 x ? y ， ? 即 4 ? 2 x ?2 ? 2 x ? 24 解得： 6 ? x ? 12（2） 依题意有 ? （3）∵函数关系式为 y=24-2x ） （6＜x＜12） ， 故图象如下：yO12xA、修车时间为 15 分钟 B、学校离家的距离为 2000 米 C、到达学校时共用时间 20 分钟 D、自行车发生故障时离家距离为 1000 米 2. 如图是某工程队在“村村通”工程中， 修筑 的公路长度 y（米）与时间 x（天）之间的 关系图象．根据图象提供的信息，可知该公 路的长度是 504 米．教学结论：根据函数关系式画函数图象时， 应注意体现自变量的取值范围。 学点训练 1.观察下表：则 y 与 x 的关系式为 y=x3+1.2.. 若△ABC 中∠A=60° ，∠B 的度数为 x，∠C 的度数为 y，试写出 y 与 x 之间的函数 关系式，并画出图象．解：∵△ABC 中∠A=60° ，∠B 的度数为 x，∠C 的度数为 y， ∴∠A+x+y=180° ， ∴y=120-x（0＜x＜120） ，图象如下：教学建议：观察实际问题函数的图象时，应 先指导学生从两坐标轴表示的实际意义得 到点的坐标的实际意义， 这有助于学生更好11教学建议：函数的表示方法可以互相转化， 但学生在将表格中的函数关系或解析式表 示的函数关系转化为函数图象时， 往往易忽 略自变量的取值范围， 教学中应针对这一情 况组织好学生进行讨论。的平面直角坐标系中， 画出符合他们行驶的 路程 S（千米）与行驶时间 t（时）之间的 函数图象．如图所示当堂评价方案根 1. 如图是广州市某一天内的气温变化图， 据图，下列说法中错误的是（ D ） A、这一天中最高气温是 24℃ B、这一天中最高气温与最低气温的差为 16℃ C、这一天中 2 时至 14 时之间的气温在逐 渐升高 D、这一天中只有 14 时至 24 时之间的气温 在逐渐降低乙两个工程队完成某项工程， 假设甲、 5. 甲、 乙两个工程队的工作效率是一定的， 工程总 量为单位 1． 甲队单独做了 10 天后， 乙队加 入合作完成剩下的全部工程， 工程进度如图 所示． （1）甲队单独完成这项工程，需 40 天． （2） 求乙队单独完成这项工程所需的天数． （3）求出图中 x 的值．2. 小明外出散步，从家走了 20 分钟后到达 了一个离家 900 米的报亭，看了 10 分钟的 报纸然后用了 15 分钟返回到家．则下列图 象能表示小明离家距离与时间关系的是 （ D ） A、 B、解：（1）由图可知，甲队单独干 10 天完成工程的 ：1 1 ，则甲队单独成这项工程，需 1÷ ×10=40 天； 4 4（2）甲乙两队合伙干了 16-10=6 天，完成工程的1 1 1 ? ? ，两队合伙每天完成工程的 2 4 4C、 D、1 1 ? 2 4 ? 1 16 ? 10 24，因为甲队甲队单独完成这项工程需40 天， 故其每天完成工程的1 ， 乙队每天完成工 403. 如图图象反应的过程是： 小明从家跑到体 育馆， 在那里锻炼了－阵后又走到新华书店 去买书，然后散步走回家，其中 t 表示时间 （分钟）S 表示小明离家的距离（千米）， 那么小明在体育馆锻炼和在新华书店买书 共用去的时间是 50 分钟．1 1 1 ，故乙队单独完成这项工程 ? ? 24 40 60 1 =60（天） 所需的天数为 1÷ 60 1 1? 4 ? 10 ? 28 （天） （3） 1 1 ? 60 40程的 即图中 x 的值是 28．4 星期天，小明与小刚骑自行车去距家 50 千米的某地旅游， 匀速行驶 1.5 小时的时候， 其中一辆自行车出故障， 因此二人在自行车 修理点修车，用了半个小时，然后以原速继 续前行，行驶 1 小时到达目的地．请在右面教学建议： 函数的图象是学好全章的关键， 是全章中的重点内容之一.教学中应结合生 活情境加强对函数的图象的理解。 在此基础 上加深学生对函数概念的理解。 在画函数图 象时应充分让学生通过动手操作，课堂交 流，自主归纳从而更好地理解列表法、解析 式法与图象法三种函数表示方法的联系。12课后作业方案时量：30 分钟 1. 下列图形不能体现 y 是 x 的函数关系的是 （ C ）x+70，z=2× 解：∵y=30× （nx2） （5+x）ABCD12+70=430； （1）当 x=12 时，y=30× （2）∵y=z， x+70=2× 即 30× （x-2） （5+x） ， 解得：x=15．2. （2010?绍兴）一辆汽车和一辆摩托车分 别从 A，B 两地去同一城市，它们离 A 地的 路程随时间变化的图象如图所示， 则下列结 论错误的是（ C ）甲 5. 宁安市与哈尔滨市两地相距 360 千米． 车在宁安市，乙车在哈尔滨市，两车同时出 发， 相向而行， A 地相遇． 在 为节约费用 （两 车相遇并换货后， 均需按原路返回出发地） ， 两车换货后，甲车立即按原路返回宁安 市．设每车在行驶过程中速度保持不变，两 车间的距离 y（千米）与时间 x（小时）的 函数关系如图所示．根据所提供的信息，回 答下列问题：A、摩托车比汽车晚到 1h B、A，B 两地的路程为 20km C、摩托车的速度为 45km/h D、汽车的速度为 60km/h 3. （?鄂尔多斯） 如图 1， 在直角梯形 ABCD， ∠B=90° ，DC∥AB，动点 P 从 B 点出发， 由 B－－C－－D－－A 沿边运动，设点 P 运动的路程为 x，△ABP 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数的图象如图 2，则△ABC 的 面积为 16（1）求甲、乙两车的速度； （2）说明从两车开始出发到 5 小时这段时 间乙车的运动状态．分析： （1）第一段函数图象表示，2 小时后，两车 走完 360 千米，相遇．第二段函数图象表示，甲 2 小时走了 200 千米．应先求出甲乙速度之和，易得 甲速度，减去甲速度即为乙速度； （2）乙车只在前 2 小时以每小时 100 千米的速度 运动． 解： （1） 由题意知： 甲乙速度之和为：360 ? 180 24. 已知 x 为实数．y、z 与 x 的关系如表格 所示：根据上述表格中的数字变化规律，解 答下列问题： （1）当 x 为何值时，y=430？ （2）当 x 为何值时，y=z？分析： 由图片中的信息可得出： x 为 n 当 （n≥3） 时， （n-2） y 应该表示为 30× n+70，z 就应该表述为 2× （5+n） ；那么由此可得出（1） （2）中所求的值．千米/时，200 ? 100 千米/时，180＞100 换货 5?3后只有甲车运动，∴甲车的速度为 100 千米/时， 乙车的速度 180-100=80 千米/时； （2）乙车以 80 千米/时的速度从哈市出发 2 个小 时到达 A 地，又在 A 地停留 3 小时1314.2 一次函数14.1.2 正比例函数课堂目标导航1、 理解正比例函数的概念并能够判断两个 变量是否构成正比例函数关系。（重点） 2、 能够画出正比例函数的图像并能说出其 图像的特征；（难点） 3、 能根据正比例函数图象上的点的坐标求 出正比例函数的解析式。（重点） 4.通过正比例函数概念引入，使学生进一步 认识数学是由于人们需要面产生的， 与现实 世界密切相关， 同时渗透热爱自然和生活的 教育。 创意开场白： 本次课的导入可从以下几方面进行考虑。 方式一：利用故事导入新课：一九九六年， 鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上 标志环．４个月零１周后人们在 2．56 万千 米外的澳大利亚发现了它． 并提出问题燕鸥 的飞行路程与时间之间有什么样的数量关 系？从而导入新课。 方式二：情景展示导入新课：如可展示美国 “卡特里娜”台风在美国登陆时的图片并给 出相关介绍： “卡特里娜”飓风给美国造成 了重大的经济损失，预告台风动向，和台风 赛跑成了科学工作者的重要使命， 进而导入 课题： 今天我们就来研究一下。 “卡特里娜” 飓风登陆时， 路程 Y （公里） 与时速 （X） 的 关系? .这样的导入方式从重大灾难入手，可 激发学生学习知识，保护人类的使命感. 知新： 3.一般地， 形如 y=kx(k 是常数,k ? 0)的函数， 叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数。 4.一般地，正比例函数 y=kx(k 是常数,k ? 0) 的图象是一条经过原点的直线，当 k&0 时， 图象过一、三象限，y 随 x 的增大而增大， 当 k&0 时，图象过二、四象限，y 随 x 的增 大而减小。 质疑 5.你认为画正比例函数的图象时，怎样画最 简单呢？试一试，并与同学交流。 教学建议： 本节课是函数学习中遇到的第一 个具体函数， 教学中不仅要引导学生学习正 比例函数的概念， 同时应借助正比例函数的 学习使学生了解函数学习的基本程序和策 略，即在明确某一具体函数概念之后，接下 来就要研究两个变量之间的变化规律.课堂导学方案过渡语：本次课，我们将从一些具体的实例 来认识正比例函数， 并借助它的图象来认识 正比例函数两个变量之间的变化规律。 教学点 1：正比例函数的表达式 一般地， 对于形如 y=kx(k 是常数,k ? 0)的函 数，我们把 y 叫做 x 的正比例函数. 例 1： 已知 y-1 与 x 成正比例，且 x=2 时， y=5， 写出 y 与 x 之间的函数关系式； x=-1 当 时，求 y 的值；当 y=0 时，求 x 的值． 分析： 根据 y-1 与 x 成正比例列式为 y-1=kx， 把 x=2 ， y=5 代 入 上 式 得 k=2 ， 可 得 到 y=2x+1，再把 x=-1，代入求得 y=2× （-1） +1=-1；把 y=0 代入求得 x． 解：∵y-1 与 x 成正比例， ∴可设 y-1=kx， 把 x=2，y=5 代入上式得 k=2， ∴y-1=2x， y=2x+1 为所求的函数关系式． 即 ∴当 x=-1 时，y=2× （-1）+1=-1；课前预习方案导入语：前面我们开始学习了函数，函 数问题在我们日常生活中随处可见， 今天我 们将具体研究其中的一种，正比例函数. 温故 1. 每桶一品泉饮用水的售价为 5 元， 购进 x 桶，应付 y 元。这里的 y 与 x 之间的关系式 是 y=5x ； 2、 一本课外书每天读 50 页， 天读了 y 页。 x 这里的 y 与 x 之间的关系 y=50x ；14当 y=0 时，即 0=2x+1，解得 x= ?1 ． 2教学结论： 本题主要考查用待定系数法求正 比例函数的解析式， 解题的关键是掌握好正 比例函数的定义。当 y-1 与 x 成正比例时， 则可将解析式设为 y-1=kx 学点训练 1.已知自变量为 x 的函数 y=mx+2-m 是正比 例函数，则 m=2，该函数的解析式为 y=2x． 2.已知 y-3 与 x 成正比例，且 x=2 时，y=7． （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）计算 x=4 时，y 的值； （3）计算 y=4 时，x 的值．解： （1）∵y-3 与 x 成正比例， ∴设 y-3=kx，又∵x=2 时，y=7， ∴7-3=2k，即 k=2．∴y-3=2x，即 y=2x+3． 故 y 与 x 之间的函数关系式 y=2x+3． （2）当 x=4 时，y=2×4+3=11．故 y 的值为 11．值。 （3）利用正比例函数的性质在 y=kx 中， 当 k&0 时，y 随 x 增大而增大。当 k&0 时， y 随 x 增大而减小。解答： （1） ?故正比例函数的解析式为 y ? ?12 x （2）其图象为：y y=-12x? a ? 3 ? 0, ? ，故 a ? ?3 ? 2 ? a ? 3? ? 0 ?x1 （3）当 y=4 时，4=2x+3，则 x= ． 2 1 故 x 的值为 ． 2教学建议： 正比例函数的概念是本次课重点 之一，教学中可提供正反两反面的事物，让 学生通过观察、分析、比较、概括从而掌握 正比例函数解析表达式的基本结构。 课堂训 练中重点关注学生能否根据定义辨别正比 例函数， 能否由两个变量满足正比例函数关 系挖掘其中的隐含条件， 能否用待定系数法 确定正比例函数关系式。 教学点 2：正比例函数的图象与性质 结合正比例函数的图象， 可以直观的看出正 比例函数中两个变量的变化规律。 这种数形 结合的思想是初中数学的一种重要思想。 例 2：已知函数 y ? ( a ? 3) x ? 2( a ? 3) x2（3）由 y ? ?12 x 图象知，y 随 x 增大而减 小， 而在点 A( x1 , y1 ) ，B( x2 , y2 ) 中 x1 ? x2 ， 故有 y1 ? y2 教学结论： 本题首先根据正比例函数的定义 来确定未知系数 a 的值，再借助正比例函数 的性质判断 y1 , y2 的大小。解题的关键是根 据正比例函数的图象认识变量之间的变化 规律。 学点训练 （1.） 已知函数 y=kx 的函数值随 x 的增大而 增大，则函数的图像经过（ B ） A．第一、二象限 B． 第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 2. 对于函数 y＝k x（k 是常数，k≠0）的 图象，下列说法不正确的是（ C ） A．是一条直线 B．过点（2是关于 x 的正比例函数 （！ ）求正比例函数的解析式 （2）画出它的图象 （3）若它的图象有两点 A( x1 , y1 ) ，1 ，k） kC．经过一、三象限或二、四象限 D．y 随着 x 增大而增大 教学建议： 由于初中阶段所见到的函数 都是以解析式定义的， 变量之间的关系也随 着关系式的复杂而变得复杂起来， 因此变量 之间的变化规律也越来越难以通过观察掌 握了，但是借助于函数图像，使得两个变量 之间的变化规律一目了然。 教师在教学中应15B( x2 , y2 ) 当 x1 ? x2 时，试比较 y1 , y2 的大小. 分析： （1）根据正比例函数的定义知当此函 数为正比例函数时，应满足的条件是a ? 3 ? 0, 且2 ? a ? 3? ? 0 故可先求得 a 的关注学生能否结合函数图象来观察变量的 变化规律。并在教学过程中引入反思环节， 给与学生反思的机会。解：依题意 AB 的长为 3，故 A 的坐标为 A ?? 2，? 3? ，设直线 l 的解析式为 y=kx， y 故－2k=－3，解得 k=1.5 l 故直线 l 的解析式为y ? 1.5 x当堂评价方案1.下列函数中， 是 x 的正比例函数的是 y （B） A、 y=2x－1 B、 y=B O x2. 如果点 P（ ?1 ，3）在过原点的一条直线 上，那么这条直线的解析式为 y ? ?3x 3. 若点（3，n）在函数 y=－2x 的图象上， 则 n=－6． 4.如果y=(m-1) x m的值为 ( B ) A.12? m 2x C、 y=2x2 D、 y=－2x+1 3A9.汽车由天津驶往相距 120 千米的北京， Ｓ （千米）表示汽车离开天津的距离，?t（小 时）表示汽车行驶的时间．如图所示是正比例函数,那么B.-1 C.1或-1D.2或 ? 25. 正比例函数 y=（m－2）xm 的图象的经过 第二、四象限，y 随着 x 的增大而减小 6.写出下列各题中 x 与 y 的关系式，并判断 y 是否是 x 的正比例函数？ （1）电报收费标准是每个字 0.1 元，电报 费 y（元）与字数 x（个）之间的函数关系； （2）地面气温是 28℃，如果每升高 1km， 气温下降 5℃，则气温 x（?℃）?与高度 y （km）的关系； （3）圆面积 y（cm2）与半径 x（cm）的关 系． ①y=0.1x，y 是 x 的正比例函数； ②y=28－5x，y 不是 x 的正比例函数； ③y= ? x2，y 不是 x 的正比例函数． 7. 已知 y 与 2 x ? 1 成正比例， x ? ?1 时， 且１．汽车用几小时可到达北京？速度是多 少？ ２．汽车行驶１小时，离开天津有多远？ ３．当汽车距北京 20 千米时，汽车出发了 多长时间？ 解： （1）从图上可以看出 4 个小时可到达． （2）由图象可知：Ｓ与 t 是正比例关系， 设 S=kt， t=4 时 S=120 即 120=k×4 k=30 当 ∴S=30t． 当 t=1 时 S=30×1=30（千米） ． 故行驶１小时离开天津约为 30 千米． 当 S=100 时 100=30t 故 t=y ? 2 ，解答下列问题：（1）求 y 与 x 的函数解析式； （1）设 y ? k?2x ? 1? ，则有 2 ? k?- 2 ? 1? 解得： k ? ?2 故 y 与 x 的函数解析式为 （2）当 y ? 10 时，求 x 的值；10 （小时） ． 3即当汽车距北京 20 千米时汽车出发了约10 个小时． 3教学建议： 通过图象探索正比例函数的性质 时，画图可在计算机上进行，一方面可降低 画函数图像的难度， 另一方面能提高了学生 的学习兴趣； 教学中应注重让学生感悟数形 结合思想同时通过概念辨析、例题探究、变 式训练、交流与总结培养学生分析、对比、 归纳等能力.y ? ?2?2 x ? 1? 即 y ? ?4 x ? 2 ．得 x ? ?3 ．（2）把 y ? 10 代入 y ? ?4 x ? 2 8 如图，B 的坐标为（ ?2 ，0） ，AB 垂直 x 轴于点 B，交直线 l 于点 A，如果△ABO 的 面积为 3，求直线 l 的解析式．16课后作业方案时量：30 分钟 1.若 y=x+2－3b 是正比例函数，则 b 的值是 （D）2 2 3 C. ? D. 3 3 2 2．关于函数 y ? ?2 x ，下列判断正确的是A、0 B. ? （ C ） （A）图象必过点（ ?1 ， ?2 ） ． （B）图象经过第一、三象限． （C）y 随 x 的增大而减小 （D）无论 x 为何值，总有 y ? 0． 3.已知正比例函数 y=（3k－1）x，若 y 随 x 的增大而增大， k 的取值范围是 则 （ D ）8. 已知 y 与 x+2 成正比例，且当 x=1 时， y=-6． （1）求 y 与 x 的函数关系式． （2）若点（a，2）在此函数图象上，求 a 的值． 分析：用待定系数法求出函数的关系式，再 把点（a，2）代入即可求得 a 的值． 解： （1）∵y 与 x+2 成正比例 ∴可设 y=k（x+2） ，把当 x=1 时，y=-6．代 入得-6=k（1+2） ． 解得：k=-2． 故 y 与 x 的函数关系式为 y=-2x-4． （2）把点（a，2）代入得：2=-2a-4， 解得：a=-3 9. 如图， B、 分别在两条直线 y ? 2 x 和 点 Cy ? kx 上，点 A、D 是 x 轴上两点，已知四边形 ABCD 是正方形，求 k 值．y y = 2x y = kx B C1 1 A、 k＜0 B、k＞0 C、k＜ D、k＞ 3 34.若函数 y=（a+3）x+a －9 是正比例函数， 则 a= 3，图象过一，三象限． 5．已知 y 与 x 成正比例，且 x=2 时 y=－6， 则 y=9 时 x=___－3_____． 6.已知正比例函数 y=（m-1） x5-m2 的图 象在第二、四象限，则 m 的值为-2，函数的 解析式为 y=-3x． 7、当 k 为何值时， y ? k ? 2k x22OADx??分析：由点 B 在 y ? 2 x 的图象上，可设 B（a,2a） ，再由 ABCD 是正方形可得 OD=3a,CD=2a,从而得 C （3a,2a） 代入 y ? kx 即可求得 k 解：依题意，设 B 点坐标为（a,2a）,则有 则点 C 的坐标为 C（3a,2a） 把点 C （3a,2a）代入 y ? kx 得， 2a=3ak，则有 k= 故 k 值为k 2 ?3是正比例函数． 分析：根据正比例函数的系数≠0，且自变量 的次数为 1 解答． ：解：根据题意得：k2-3=1，k2=4． 2．当 k=-2 时，k2+2k=0，y 不是正比 ∴k=± 例函数； k2 当 k=2 时， +2k=8， y=8x 是正比例函数， 即2 k ∴当 k=2 时，函数 y ? k ? 2k x??2?3是正2 3比例函数．2 31714.2.2 一次函数（第一课时）课堂目标导航1.理解一次函数的概念，知道一次函数 与正比例函数的关系， 能正确识别一次函数 并能根据一次函数概念解决一些问题； （重 点）. 2.能用两点法画一次函数的图象，并能 通过一次函数的图象理解一次函数的性质。 掌握一次函数图象位置与常量 k、 的关系。 b （难点） 3.通过对不同背景下函数模型 （关系式） 的比较，抽象出一次函数概念，经历知识的 归纳和探究的过程， 并在探究过程中感受合 作交流的必要性，同时提高观察、抽象、概 括的能力和语言表达能力。 4. 体验函数与人类生活的密切联系 增 ， 强对函数学习的求知欲，②体验数学充满着 探索性和创造性，从而培养学生对学习数学 的兴趣。 创意开场白： 本次课的导入可从以下几方面进行考虑。 方式一：问题情景导入：小明暑期第一次去 北京，汽车驶上 A 地的高速公路后，小明观 察里程碑，发现汽车的平均速度是 95 千米/ 时，已知 A 地直达北京的高速公路里程为 570 千米，小明想知道汽车从 A 地驶出后， 距离北京的路程和汽车在高速公路上行驶 的时间有什么关系，以便根据时间估计自己 和北京的距离。教师引导学生列出函数关系 式，并观察指出函数关系式的特点，在此基 础上引出一次函数的概念。 方式二：复习旧知识导入，学生已经掌握了 正比例函数的概念。 教师课前可以复习这一 概念，同时提出新问题，比如（1）一种计 算成年人标准体重 G（单位：千克）的方法 是， 以厘米为单位量出身高值 h 减常数 105， 所得的差是 G 的值； （2） 有人发现， 20～ 在 25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数 c 与温度 t(单 位：℃)有关，即 c 的值约是 t 的 7 倍与 35 的差等，比较其表达式与正比例函数的区 别，进而引出一次函数概念。 1. 一般地，形如 y=kx(k 是常数,k ? 0)的函 数， 叫做正比例函数， 其中 k 叫做比例系数。 2.，正比例函数 y=kx(k 是常数,k ? 0)的图象 是一条经过原点的直线，当 k&0 时，图象过 一、三象限，y 随 x 的增大而增大，当 k&0 时，图象过二、四象限，y 随 x 的增大而减 小。 知新： 3.一般地，形如 y=kx+b(k、b 是常数,k ? 0) 的函数，叫做一次函数，当 b=0 时，它就成 了正比例函数， 即正比例函数是一种特殊的 一次函数。 4. 一次函数 y=kx+b(k、b 是常数,k ? 0)的图 象是一条直线， 它的图象的位置由 k 和 b 决 定。 ①当 k＞0，b＞0，函数 y=kx+b 的图象经过 第一、二、三象限； ②当 k＞0，b＜0，函数 y=kx+b 的图象经过 第一、三、四象限； ③当 k＜0，b＞0 时，函数 y=kx+b 的图象经 过第一、二、四象限； ④当 k＜0，b＜0 时，函数 y=kx+b 的图象经 过第二、三、四象． 质疑 3.想一想，一次函数 y=kx+b 与 y=kx 的图象 有什么关系？你能总结在一次函数 y=kx+b 中常量 k、b 对函数图象位置分别有怎样的 的影响吗？与同学交流。 教学建议： 教学中注意引导学生比较一次函 数与正比例函数的函数关系式， 尝试让学生 概括出一次函数的特征。 对于一次函数的图 象，应关注学生能否看出当 k&0 和当 k&0 时的区别。 并引导学生与正比例函数图象作 比较后共同归纳出一次函数的性质。课前预习方案导入语： 你还记得什么样的函数是正比例函 数吗？今天，我们将学习另一种函数，它不 同于正比例函数， 但又与正比例函数有非常 紧密的联系。这就是一次函数。 温故课堂导学方案过渡语：在一次函数中，两个变量的对应关 系可用怎样的式子来表示？一次函数的图 象又有怎样的特征呢？现在我们开始研究。 教学点 1：一次函数的意义 一次函数是指用自变量的一次代数式表示18的函数关系，它一般表示为 y=kx+b(k、b 是 常数,k ? 0) 例 1： 已知函数 y ? ? k ? 2 ? xk 2 ?3? b ?1 是C、 D、一次函数，求 k 和 b 的取值范围． 分析： 若两个变量 x 和 y 间的关系式可以表 示成 y=kx+b（k，b 为常数，k≠0）的形式， 则称 y 是 x 的一次函数 （其中 x 为自变量） ， 因而函数 y ? ? k ? 2 ? xk 2 ?3? b ? 1 是一次函数的条件是 k2-3=1，且 k-2≠0． 解：根据题意得：k2-3=1， 且 k-2≠0，∴k= ?2 ． 故 y ? ? k ? 2? xk 2 ?3? b ?1 是 一 次 函 数 时k= ?2 ，b 是任意的常数． 教学结论：本题主要考查了一次函数的定 义，一次函数 y=kx+b 的定义条件是：k、b 为常数，k≠0，应注意这里自变量次数为 1． 学点训练 1. 下列函数（1）y=3πx； （2）y=8x-6； （3）y?1 1 ； （4）y= （5）y=5x2-4x+1 ? 8x ； x 2中，是一次函数的有（ B ） A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个 2 2 2. 已知 y=（m -1）x +（m-1）x+m 中，y 是 x 的一次函数．试求 m ?22 的值。 m解：依题意有 ??m 2 ? 1 ? 0?m ? 1 ? 0 2 m ? ?1 故 m 2 ? =1+2=3 m，解得分析：根据“两数相乘，同号得正，异号得 负”判断出 m、 的符号， n 再根据一次函数的 性质进行判断． 解答：在选项 B 与 D 中，由正比例函数图 象知 mn＞0，故 m，n 同号，若同为正时 y=mx+n 过一、二、三象限，若同为负时过 二、三、四象限；而 B，D 中图象均不过第 三象限，故 B 与 D 都不正确。 在选项 C 中，由正比例函数图象知 mn＜0， m，n 异号，则 y=mx+n 过一、三、四象限 或一、二、四象限．故 C 错误。综上可知本 题答案选 A。 教学结论：一次函数 y=kx+b 的图象有四种 情况： ①当 k＞0，b＞0，函数 y=kx+b 的图象经过 第一、二、三象限； ②当 k＞0，b＜0，函数 y=kx+b 的图象经过 第一、三、四象限； ③当 k＜0，b＞0 时，函数 y=kx+b 的图象经 过第一、二、四象限； ④当 k＜0，b＜0 时，函数 y=kx+b 的图象经 过第二、三、四象． 学点训练 1. 一次函数 y=kx+b，y 随 x 的增大而减小， 且 kb＞0，则在直角坐标系内它的大致图象 是（ C ） A、 B、教学建议： 教师教学中应关注学生能否根据 一次函数的定义， 指出解析式中字母常数应 满足的条件。 教学点 2：一次函数的图象与性质 利用图象研究函数问题中两个变量的变化 规律，是一种重要的数学方法，对于一次函 数的图象往往考查一次函数图象的位置与 常数 k、b 的关系为主。 例 2：下列图形中，表示一次函数 y=mx+n 与正比例函数 y=mnx（m，n 为常数，且 mn≠0）的图象的是（ ）C、D、2.下列函数图象不可能是一次函数 y=ax（a-2）图象的是（ B ）A、 A、 B、B、19C、D、6. 一次函数的图象过点（1，2），且函数 值 y 随着自变量 x 的增大而减小， 写出一个 符合这个条件的一次函数的表达式：y=－3. 若一次函数 y=2（1-k）x+1 k-1 的图象 2x+4（答案不唯一）． 7.已知一次函数 y=（2a－1）x+6a－10． （1）若要使其图象过原点，则 a 取不过第一象限，求 k 的取值范围.5 ； 31 k-1 的图 2 ?2 ?1 ? k ? ? 0 ? 象不过第一象限时，有 ? 1 ? k ?1 ? 0 ?2 解这个不等组得： 1 ? k ? 2解：当一次函数 y=2（1-k）x+ 教学建议： 本组训练中应重点关注学生能否 根据一次函数图象的位置发现函数关系式 中的所有隐含条件。（2）若要使图象过一，三，四象限，则 a 应取1 5 ＜a＜ ，y 随 x 的增大而增大； 2 3 11 32（3）若要使图象与 y 轴交于（0，12），则 a 应取8. 已知 a ? 1 ? ?b ? 2? ? 0 ， 则函数 y= ?b ? 3?x 函数？当 x= ??a? 1 ? 2ab ? b 2 是什么当堂评价方案1. 一次函数 y=－3x－2 中的常数项是 （C） A、－3 B、3 C、－2 D、2 （C） 2 已知一次函数 y=2x－3 的大致图象为1 时，函数值 y 是多少？ 2易求得 a=－1，b=2． 代入得函数解析式为 y=5x+9， － 所以函数 y=（b+3）x a+1－2ab+b2 是一次A、B、1 时， 2 13 1 y=5× ? ）+9= （ ． 2 2函数，当 x= ? 9.已知函数 y=－2x+3． （1）画出这个函数的图象； y （2） 写出这个函数的图象与 x 轴， 轴的交 点的坐标； （3）求此函数的图象与坐标轴围成的三角 形的面积．（1）画图略C、D、3.如图所示，函数 y=mx+m 的图象可能是 （ D ）A、 B、（2） 函数 y=－2x+3 与坐标轴的两个交点的 坐标（0，3）（ ，C、 D、3 ，0） 2（3）此函数的图象与坐标轴围成的三角形 的面积=1 3 9 × 3× = ． 2 2 4当 函数 y 4.已知一次函数 y=2x+1， x=0 时， 的值是 1 5.已知 2x－3y=1，若把 y 看成 x 的函数，则 可表示为 y=2 1 x- ． 3 3教学建议：教师在课堂中应引导学生观察、 比较、自学、思考并展开讨论，使学生作为 学习主体参与知识发生、发展的全过程，体 验揭示规律，发现真理的乐趣，从而产生巨 大的内驱力，提高课堂教学效率，充分发挥 教师主导作用和学生的主体作用。20课后作业方案时量：30 分钟 1. 下列函数关系式：①y=－x；②y=2x+11；2 ③y=x +x+1；④ y=象限，求 m 的取值范围；分析： （1）若函数的图象经过原点，则当 x=0 时， y=0，代入解析式，可得 m 的值， （2）若函数的图象经过第一、三、四象限，根据 一次函数图象的性质，可得 m+1＞0，m-1＜0，解 可得答案， 解： （1）若函数 y=（m+1）x+m-1 的图象经过原 点， 则当 x=0 时，y=0， 将其代入解析式，可得 0=m-1， 即 m=1， （2）若函数的图象经过第一、三、四象限， 则 m+1＞0，m-1＜0， 解可得-1＜m＜1，1 ．其中一次函数的个 x数是（ B ） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 2. 函数 y= ? m ? 2 ? xn ?1? n 是一次函数， m，n 应满足的条件是（ C ） A、m≠2 且 n=0 B、m=2 且 n=2 C、m≠2 且 n=2 D、m=2 且 n=0 3.下面函数图象不经过第三象限的为（ C ） (A) y=3x+2 (B) y=3x－2 (C) y=－3x+2 (D) y=－3x－2 4.关于 x 的一次函数 y=kx+k2+1 的图象可能 正确的是（ C ）9 在数学活动课上，小明同学设计了一个计 算程序， （1）当输入 x=2 时，输出的 y=10； （2）当输入 x=8 时，输出的 y=25； （3）请在直角坐标系中，把小明同学设计 的计算程序用函数图象表示出来．A、B、C、D、分析： （1）自变量 x =2 在 0 ?5.在直线 y=1 1 x+ 上且到 x 轴或 y 轴距离 2 2x ? 4 范围内，故 将 x =2 代入 y=5x 求值。 x=8 在 4 ? x ? 12 范 （2） 5 围内，故将 x=8 代入 y ? x ? 15 求值。 （3）分 4别取 x=0,x=4,x=12 计算对应的函数值，再描点连 线即可。 解（1）把 x=2 代入 y=5x，得 y=10；为 1 的点有 3 个． 6.已知 m 是整数，且一次函数 y=（m+4） x+m+2 的图象不过第二象限，则 m=－3 或 －2m 7.y= ? m ? 3? x2（2）把 x=8 代入 y=5 x+15，得 y=25； 4?8? m ? 1 是一次函数， m 求（3）先画出 y=5x（0≤x≤4）的图象，再画 出 y=的值 分析：根据一次函数定义，自变量的次数为 1 次，系数不为 0 解答。 解：由一次函数的定义可知：m2－8=1， 解得：m=± 3， 又 m－3≠0， ∴m≠3，故 m=－3． 8. 已知函数 y=（m+1）x+m-1 （1）若这个函数的图象经过原点，求 m 的 值； （2）若这个函数的图象经过第一、三、四5 x+15（4＜x≤12）的图象． 42114.2.2 一次函数（第二课时）课堂目标导航1、了解待定系数法的思维方式与特点，明 确两个条件确定一个一次函数. 2、会根据所给信息用待定系数法求一次函 数解析式，发展解决问题的能力。 （重点） 3.结合图象理解互相平行的两条直线的函 数解析式的关系， 并能利用这种关系解决实 际问题。 （难点） 4.经历待定系数法应用过程， 提高研究数学 问题的技能． 创意开场白： 本次课的导入可从以下几方面进行考虑。 方式一：通过复习导入新课：引导学生回顾 一次函数关系式 y＝kx＋b(k≠0)， 强调知道 了 k 与 b 的值，函数解析式就确定了，同时 提出问题，那么有怎样的条件才能求出 k 和 b 呢？进而引入新课。 方式二：问题情景导入新课：在平面几何的 学习中， 学生已经知道两点能够确定一条直 线，教师可以提出问题。在坐标平面内任意 给出两点，过这两点的直线是唯一确定的， 那么这条直线的函数关系式能否求得呢？ 同时， 引导不生回顾求正比例函数解析式的 方法，进而导入新课。 的？与同学交流。 教学建议：学生在求正比例函数解析式时， 已经接触过待定系数法， 教师应引导学生通 过比较归纳出用待定系数法求函数解析式 的思维方式与特点， 并总结出用待定系数法 求函数解析式的一般步骤。课堂导学方案过渡语：表示函数的三种方法：图象法、列 表法和解析式法是可以互相转化的， 在把图 象或表格转化为解析式时， 最常用的方法是 待定系数法。 教学点 1：用待定系数法求一次函数解析式 用待定系数法求函数解析式是初中数学中 确定函数关系式最常用，也是最重要的方 法。 例 1： 已知一次函数 y= 图象过 点 A（0，3）B（2，4） ．题目中的矩形部分 是一段因墨水污染而无法辨认的文字． （1）根据现有的信息，你能否求出题中的 一次函数的解析式？若能，写出求解过程， 若不能说明理由； （2）根据关系式画出函数图象； （3） 过点 B 能不能画出一直线 BC 将△ABO （O 为坐标原点） 分成面积相等的两部分？ 如能，可以画出几条，并写出这样的直线所 对应的函数关系式，若不能，说明理由． 分析：1）利用待定系数法即可求得一次函 数的解析式； （2）根据两点确定一条直线，即可作出函 数的图象； （3）△ABO 的面积可以求出，根据 BC 将 △ABO（O 为坐标原点）分成面积比为 1： 2 的两部分即可求得直线 BC 与 x 轴的交点 坐标， 利用待定系数法即可求得函数的解析 式． 解： （1）设函数的解析式是 y=kx+b课前预习方案导入语：我们知道，过原点的直线对应的函 数是正比例函数， 当已知这条直线上除原点 外的另一点时， 我们可以求出这个正比例函 数的解析式，那么，坐标平面内任意一条直 线的函数关系式如何确定呢？这就是我们 今天的学习内容。 温故 1.过原点和点 P（1，3）的直线的解析式是 y=3x, 它是正比例函数。 2.一次函数 y=4x+3 过点 （1.m） （n, ?1 ） 和点 , 则 m+n=6 知新： 3.一次函数 y=kx+b 可以看作由直线 y=kx 向 上或向下平移 b 个单位长度而得到 。（当 b&0 时，向上平移，当 b&0 时，向下平移）。 4.在求一次函数解析式时，可先设出函数解 析式，再根据条件确定解析式中的未知系 数， 从而具体写出这个式子。 象这样的方法， 叫做待定系数法。 质疑 3.想一想，用待定系数法求一个一次函数解 析式时， 一般需要几个已知条件呢？用待定 法求一次函数解析式的一般步骤是怎样1 ? ? b?3 ?k ? 根据题意得： ? 解得： ? 2 ? 2k ? b ? 4 ?b ? 3 ? 1 则函数的解析式是：y= x+3 2 1 （3）S△ABO= ?OA×4=2×OA=6 2若直线 BC 存在，则与 x 轴的交点一定是22OA 的中点，则坐标是（3 ，0） 2向上或向下平移 b 个单位长度而得到 。故 当直线 y=k1x+b1（k1≠0） y=k2x+b2（k2≠0） 与 平行时，有 k1=k2，且 b1≠b2. 例 2：阅读下面的材料：在平面几何中，我 们学过两条直线平行的定义． 下面就两个一 次函数的图象所确定的两条直线， 给出它们 平行的定义：设一次函数 y=k1x+b1（k1≠0） 的图象为直线 l1， 一次函数 y=k2x+b2 2≠0） （k 的图象为直线 l2，若 k1=k2，且 b1≠b2，我们 就称直线 l1 与直线 l2 互相平行． 解答下面的 问题： （1） 求过点 P （1， 且与已知直线 y=-2x-1 4） 平行的直线 l 的函数表达式，并画出直线 l 的图象； （2）若直线 l 交 y 轴于点 A,交 x 轴于点 B， 求△OAB 的面积。 分析： （1）直线 l 与已知直线 y=-2x-1 平行， 因而直线的一次项系数是-2，根据待定系数 法就可以求出函数解析式． 解答： （1）设直线 l 的函数表达式为 ： y=kx+b， ∵直线 l 与直线 y=-2x-1 平行，∴k=-2， ∵直线 l 过点（1，4） ， ∴-2+b=4，∴b=6． ∴直线 l 的函数表达式为 y=-2x+6．作图略. （2）∵直线 l 分别与 y 轴、x 轴交于点 A、 B，∴点 A、B 的坐标分别为（0，6）（3， 、 0） ．∴OA=6，OB=3，故△OAB 的面积为 6 教学结论： 本题在考查用待定系数法求函数 的解析式时， 要求学生理解并掌握好两条直 线平行的条件. 学点训练 1. 将函数 y=-6x 的图象 l1 向上平移 5 个单位 得直线 l2，则直线 l2 与坐标轴围成的三角形 面积为设直线 BC 的解析式 y=kx+b?3 ?b ? ?12 ? k ?b ? 0 根据题意得：? 2 解得：? ? k ?8 ? 2k ? b ? 4 ?则直线的解析式是 y=8x-12． 教学结论：用待定系数法确定函数的解析 式，是常用的一种解题方法．此题第（3） 问有一定的综合性， 解题关键是结合题意确 定直线与 x 轴交点的坐标． 学点训练 1. 已知 y 是 x 的一次函数， 下表给出了部分 对应值，则 m 的值是 ?7 。2. 如图， A、 C 的坐标分别为 点 B、 （3， 、 3） （2，1）（5，1） 、 ，将△ABC 先向下平移 4 个单位，得△A1B1C1；再将△A1B1C1 沿 y 轴翻折 180° ，得△A2B2C2； （1）画出△A1B1C1 和△A2B2C2； （2）求直线 A2A 的解析式．（1）画图略 解：设直线 A2A 的解析式为 y=kx+b 把点 A 的坐标（3，3）和 A2 的坐标（-3， -1 ） 代 入 上 式 得 ??3k ? b ? 3 解得： ? ?3k ? b ? ?12 ? 2 ?k ? 3 故直线 A2A 的解析式为 y= x+1． ? 3 ?b ? 1 ?教学建议： 用待定系数法求函数解析式是本 次课的重点。 教学中应关注学生对这一方法 的理解。 教师教学中要注意指导学生思考这 种作法的出发点是什么？确定一次函数的 解析式需要几个条件， 从而使学生对这一方 法的理解更透彻。 教学点 2：平行直线的解析式的关系 由于一次函数 y=kx+b 可以看作由直线 y=kx25 ． 122. 已知函数 y=（2m+1）x+m-1 的图象经过 原点，将此函数图象向下平移 3 个单位．23（1）求平移后的函数解析式； （2）请在如图所示的坐标系中画出平移后 的函数图象， 并指出此时函数 y 随着 x 的增 大而增大. 解： （1）∵y=（2m+1）x+m-1 的图象经过 原点，∴m=1 ∴y=3x． 又∵函数 y=3x 的图象向下平移 3 个单位， ∴y=3x-3．即平移后的函数解析式是： y=3x-3 （2）作图略。 教学建议： 上面的问题将确定直线解析式与 图形变换中的平移联系起来， 教学中应引导 学生观察函数的图象并自主归纳结论。 学生 练习中应注意关注学生的思维过程。 对于有 学生能找到直线平移后的两个对应点， 再转 化为利用两点确定直线的解析式， 教师应给 与充分肯定。（1） 一次函数 y=kx+b， x=－4 时 y 的值 当 9，当 x=2 时 y 的值为－3， 是 ∴??9 ? ?4k ? b ， ?- 3 ? 2k ? b解之得：k=－2 b=1． ∴y=－2x+1； （2）略 7.已知一次函数 y ? kx ? 4 ，当 x ? 2 时，y ? ?3（1）求一次函数的解析式； （2）将该函数的图象向上平移 6 个单位， 求平移后的图象与 x 轴交点的坐标.解： （1） x 将当堂评价方案1. 若把一次函数 y=2x－3,向上平移 3 个单 位长度，得到图象解析式是( A ) (A) y=2x (B) y=2x－6 （C） y=5x－3 （D）y=－x－3 右表中列出了部 2. 已知 y 是 x 的一次函数， 分对应值，则 m 等于（ B ）? 2 ， y ? ?3 代入 y ? kx ? 4 得： 1 ? 3 ? 2k ? 4 ∴ k ? 2 1 ∴一次函数的解析式为 y ? x ? 4 2 1 （2）将 y ? x ? 4 的图象向上平移 6 个单位得 2 1 y ? x ? 2 ，当 y ? 0 时， x ? ?4 2 ∴平移后的图象与 x 轴交点的坐标为 (?4,0) .8. 如图，正方形 ABCD 的边长是 4，将此正 方形置于平面直角坐标系 xOy 中，使 AB 落 在 x 轴的正半轴上，C、D 落在第一象限， 经过点 C 的直线 y ?4 8 x ? 交 x 轴于点 E． 3 3y D CA、－1B、0C、1 2D、求四边形 AECD 的面积；3.若一次函数 y=bx+2 的图象经过点 A(－1， 1） ，则 b=___1_______． 4. 如图，该直线是某个一次函数的图象，? 则此函数的解析式为__y=2x+2______．OAEBx解：在 y ?4 8 x ? 中，当 y=0 时，x=2. 3 3当 y=4 时，x=5，故 E（2，0）又 C（5，4） 所以四边形 AECD 的面积为 5.某一次函数的图象经过点（ ?1 ，3） ，且函 数 y 随 x 的增大而减小，请你写出一个符合 条件的函数解析式 y ? ?2 x ? 1 （答案不唯 一） ． 6. 已知一次函数 y=kx+b，当 x=－4 时 y 的 值是 9，当 x=2 时 y 的值为－3． （1）求这个函数的解析式； （2） 在直角坐标系内画出这个函数的图象．1 ?5 ? 1? ? 4 =10 平方单位。 2教学建议： 本次课的解题方法学生相对容易 接受，教学中应注意以学生为中心，尽量为 学生创造更多的操作、思考和交流的机会. 并鼓励学生在探索规律的过程中从多个角 度考虑，24课后作业方案时量：30 分钟 1. 若直线 y ? 3 x ? b 与两坐标轴围成的三 角形的面积为 6，则 b 的值为（ D （A）6． （C） ?3 ． （B） ?6 ． （D） ?6 ． ）1 点 y ? ? x ? 3 与 y 轴相交于点 Q， Q 与点 2P 关于 x 轴对称， 求这个一次函数的解析式． 分析：由 y ? ?1 x ? 3 可先求得点 Q 的坐 22. 无论 m 取何值，函数 y ? mx ? 2 ? m ? 2 ? 的图象经过的一个确定的点的坐标为（D） （A） （0，2） ． （B） （1，3） ． （C） ?2 ， ?4 ） （D） （ ． （2，4） 3. 一次函数 y ? ?标， 根据对称性可求得点 P 的坐标， 从而可 用待定系数法求得过点 P 及（ ?2 ，5）的直 线解析式。 解：易知 Q（0，3） ，故 P（0，―3） ，故有?5 ? ?2k ? b ? -3 ? b ? ，故 k=―4 解析式为 y ? ?4 x ?3b=―3，则所求1 x ? 1 的图象与 x 轴的交 3点坐标是___（3，0） ，_______，与 y 轴的 交点坐标是__（0，1）___________． 4. 如果点 3） 8） （ （x， 在连结点 （0， 和点 ?4 ， 0） 的线段上， 那么 x 的值为__―2.5______． 5.将直线 y=2x－3 向右平移 3 个单位，再向 上平移 1 个单位， 则平移后的直线的解析式 为 y=2x－8． 6. 已知一次函数 y=kx+b 中自变量 x 的取值 范围是－2≤x≤6，相应函数值的取值范围 是 － 11 ≤ y ≤ 9 ， 则 此 函 数 的 解 析 式 为 . 5 5 y ? x?6或 y ? ? x ? 4 2 2 7 （2010?密云县）已知一次函数 y=kx－3 的图象经过点 M（－2，1），求此图象与 x、 y 轴的交点坐标． 分析：将点 M（－2，1）代入函数解析式， 可求得 k 的值。取 y=0，x=0 代入所求函数 关系式中，可求得此图象与 x、y 轴的交点 坐标． 解：∵一次函数 y=kx－3 的图象经过点 M （－2，1） ， ∴－2k－3=1．解得：k=－2． ∴此一次函数的解析式为 y=－2x－3． 当 y=0，可得 x= ?9.如图，已知直线 y=x+3 的图象与 x、y 轴 交于 A、B 两点．直线 l 经过原点，与线段 AB 交于点 C，把△AOB 的面积分为 2：1 的两部分．求直线 l 的解析式．分析：本题需分两种情况解答： （1）是当△ AOC 的面积为△BOC 面积的 2 倍； （2）是 当△BOC 的面积为△AOC 的面积的 2 倍。 对其中每一种情况， 均可利用其中的一个三 角形的面积求得对应的点 C 的坐标。 再求得 直线 l 的解析式。 解：由直线 y=x+3 的解析式可求得 A（－3，O） 、B（0，3） ， 当直线 X 把△ABO 的面积分为 S△AOC：S△ BOC=2：1 时，作 CF⊥OA 于 F，CE⊥OB3 ． 29 ，则 S△AOC=3， 2 1 1 ∴ AO?CF=3，即 ×3×CF=3 2 2于 E，则 S△AOB= ∴CF=2 同理，解得 CE=1．∴C（－1，2） ， ∴直线 X 的解析式为 y=－2x； 如图（2）当直线 X 把△ABO 的面积分为 S △AOC：S△BOC=1：2 时，同理求得 C（－2， 1） ，∴直线 x 的解析式为 y=―∴一次函数的图象与 x 轴的交点坐标为 （?3 ，0） ．当 x=0，可得 y=－3． 2∴一次函数的图象与 y 轴的交点坐标为 （0，－3） 8. 一次函数 y ? kx ? b 的图象过点（ ?2 ， 5） 并且与 y 轴相交于点 P，直线 ，1 x 22514.3 用函数观点看方程（组）与不等式14.3.1 课堂目标导航1、理解一次函数与一元一次方程的关系， 会根据一次函数的图象解决一元一次方程 的求解问题。 （重点） 2、 学习用函数的观点看待方程的方法，初 步感受用全面的观点处理局部问题的思想。 （难点） 3、经历方程与函数关系问题的探究过程， 学习用联系的观点看待教学问题的辩证思 想。 创意开场白： 本次课的导入可从以下几方面进行考虑。 方式一： 通过问题导入新课： 看两个问题 （1） 解方程：-2x+10=0,（2）当自变量 x 为何值 时， y=-2x+10 的函数值为 0.通过两个问题的 比较使学生对一次函数与一元一次方程的 关系产生一个感性的认识。 方式二：生活情景导入：小明有一本书，共 80 页， 如果小明每天看完 4 页， 则剩下的部 分y （页） 与看书的时间 x(天)有怎样的函数 关系？你能用图象表示出来吗？小明看完 这本书要多少时间？它在图象上是怎样反 映出来的？一次函数与一元一次方程4. 画出函数 y= -2x+10，怎样利用此函数的 图 象 解 一元 一 次方 程 -2x+10=6? 与同 学交 流。 教学建议： 教学中可以从解具体的一元一次 方程与当自变量 x 为何值时一次函数的值 为 0 这两个问题入手，通过观察、探究，发 现这两个问题实际上是同一个问题，进而得 到解方程 kx+b=0 与求自变量 x 为何值时， 一次函数 y=kx+b 的值为 0 的关系。并注重 引导学生通过观察函数图象使他们明确这 个问题在函数图象上的反映。 课堂导学方案 过渡语：先让我们来认识一组美丽的图案， 看一看这些图形是如何设计出来的。 教学点 1：一次函数与一元一次方程 解方程 kx+b=0 与求自变量 x 为何值时，一 次函数 y=kx+b 的值为 0 是同一个问题的两 种不同的说法。也就是求 y=kx+b 与 x 轴交 点的横坐标。 例 1：关于 x 的一元一次方程 m(x+2)-5=9m 的解是一次函数 y=-2x+4 的图像与 x 轴交点 的横坐标，求 m 的值。 分析：y=-2x+4 的图像与 x 轴交点的横坐标 也就是求方程-2x+4=0 的解。通过解方程求 得 x 的值， 再代入 m(x+2)-5=9m 即可求得 m 的值。 解答： 由已知可知， y=0,则有-2x+4=0 解 另 得 x=2; 把 x=2 代入方程 m(x+2)-5=9m 中， 即 m(2+2)-5=9m 解关于 m 的一元一次方程得 m= ?1 即 m 的值为 ?1 . 教学结论：从数的角度看: 求一元一次方 程 ax+b=0 (a 非 0)的解与求当 x 为何值时， 一次函数 y=ax+b 的函数值为 0 等价。从形 的角度看：求一元一次方程 ax+b=0 (a 非 0) 的解与确定直线 y=ax+b 的图像与 x 轴交点 的横坐标等价。 学点训练 1. 方程 x ? 3 ? 0 的解也是直线 y ? (4k ? 1) x ? 15 与 x 轴的交点的横坐标， 则 k 的值为（ C ） A， ?1 B.0 C .1 D. ?1 2.已知直线 AB∥x 轴， 且点 A 的坐标是 （-1， 1）则直线 y=x+3 与直线 AB 的交点是 D ） ， （ A． （2，1） B． ?2 ， ?1 ） （ C． （2， ?1 ） D． ?2 ，1） （ 教学建议： 对于简单的一元一次方程和一次 函数问题，学生人人都能参与，但考虑到学26课前预习方案导入语： 前面我们学习了一次函数， 实际上， 一次函数是两个变量之间符合一定关系的 一种互相对应，互相依存，它与我们七年级 学过的一元一次方程，一元一次不等式，二 元一次方程组有着必然的联系，这节课开 始， 我们就从学习用函数的观点去看待方程 开始，并充分利用函数图象的直观性，形象 地看待方程的求解问题， 这是我们学习数学 的一种很好的思想方法。 温故 1.直线 y=-2x+10 中， x 轴的交点坐标是 与 （5， 0） 2.方程式-2x+10=0 的解是 x=5. 知新： 3. 任 何 一 元 一 次 方 程 都 可 以 转 化 为 ax+b=0(a、b 为常数，且 a ? 0)的形式，所 以解一元一次方程可以转化为： 当某个一次 函数的值为 0 时，求相应的自变量的值。从 图象上看， 这相当于已知直线 y=ax+b， 确定 它与 x 轴交点的横坐标的值。 质疑生的认知水平， 学生很难自发发现它们之间 的联系， 教师作为学习活动的组织者和引导 者，应及时提出这一问题，引导学生思考。 教学点 2：一次函数与一元一次方程的实际 应用 一次函数与一元一次方程联系紧密， 在解决 实际问题时， 借助函数解析式建立适当的方 程解决问题是一种重要的解题思想。 例 2：我国西南五省市的部分地区发生严重 旱灾，为鼓励节约用水，某市自来水公司采 取分段收费标准， 右图反映的是每月收取水 费 y（元）与用水量 x（吨）之间的函数关 系． （1）小明家五月份用水 8 吨，应交水费 元； （2）按上述分段收费标准，小明家三、四 月份分别交水费 26 元和 18 元， 问四月份比 三月份节约用水多少吨？∴四月份比三月份节约用水：12-9=3（吨） ． 教学结论： 本题考查了一次函数的实际应用 和读图的基本能力． 解题的关键是能根据函 数图象得到函数类型，并根据函数图象上点 的实际意义求解。 学点训练 1. 鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换 算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对 应数值： （注：“鞋码”是表示鞋子大小的一 种号码）（1） 设鞋长为 x， 试判断点 （x， “鞋码”为 y， y）在你学过的哪种函数的图象上； （2）求 x、y 之间的函数关系式； （3）如果某人穿 44 号“鞋码”的鞋，那么他 的鞋长是多少？ 解答： （1）y 是 x 的一次函数。 （2）设 y=kx+b， 由题意得 ??16 ? b ? 22 ?k ? 2 解得 ? ?19k ? b ? 28 ?b ? ?10分析： （1）直接根据图象先求得 10 吨以内 每吨水应缴 20÷ 10=2 元，再求小明家的水 费； （2）关键是求出三月份用水量，根据图象 可先求得用水量在 10 吨以上时，应交水费 与用水量的函数关系式， 3 月份交水费 26 而 元＞20 元，故用水量超过 10 吨,将 y=26 代 入函数关系式可求得三月份的用水量； 四月 份交水费 18 元＜20 元，故水费按照每吨 2 元计算，四月份用水量易求得．做差即可求 出节约的水量． 解答： （1）根据图象可知，10 吨以内每吨水 应缴 20÷ 10=2 元 所以 8× 2=16（元） ． （2）由图可得 10 吨内每吨 2 元，当 y=18 时，知 x＜10，∴x=18× =9，即四月份用 水量为 9 吨。 当 x≥10 时，可设 y 与 x 的关系为：y=kx+b 由图可知， x=10 时， 当 y=20， x=20 时 y=50， 可解得 k=3，b=-10 ∴y 与 x 之间的函数关系式为：y=3x-10， ∴当 y=26 时，知 x＞10，有 26=3x-10，解 得 x=12，∴y=2x-10． （3）当 y=44 时，x=27． 答：此人的鞋长为 27cm． 2.某农户种植一种经济作物， 总用水量 y （米 3 ）与种植时间 x（天）之间的函数关系式如 图所示． （1）第 20 天的总用水量为多少米 3； （2）当 x≥20 时，求 y 与 x 之间的函数关系 式； （3）种植时间为多少天时，总用水量达到 7000 米 3．1 2解： （1）第 20 天的总用水量为 1000 米 3 当 x≥20 时，设 y=kx+b ∵函数图象经过点（20，1000）（30，4000） ，?20k ? b ? 1000 ?k ? 300 解得： ? ? ?30k ? b ? 4000 ?b ? 500027∴y 与 x 之间的函数关系式为： y=300x-5000 （3）当 y=7000 时 有 00 解得 x=40 答： 种植时间为 40 天时， 总用水量达到 7000 3 米 教学建议： 教师在教学中应关注学生对分段 函数的理解情况。 重点关注学生能否根据自 变量的取值范围选择正确的函数关系式来 解决问题。 当堂评价方案 1. 一次函数 y=3x+9 的图象经过 ? （ 则方程 3x+9=1 的解为 x= ?6.直线 y=2x－4 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，则△ABO 的面积是 4． 7.某种优质蚊香一盘长 105cm（如图），小 海点燃后观察发现每小时缩短 10cm． （1）求蚊香点燃后的长度 y（cm）与点燃 时间 t（h）之间的函数关系式. （2）求该盘蚊香可以使用多少小时8 1） ， ， 3解： （1）∵蚊香一盘长 105cm，点燃后观察 发现每小时缩短 10cm． ∴函数关系式为 y=105－10t （2）蚊香燃尽时，即 y=0．由（1）得 105 －10t=0，即 t=10.5， 所以该盘蚊香可使用 10.5h． 8.已知直线 l 与直线 y=2x+1 交点的横坐标为 2，与直线 y=x－8 交点的纵坐标为－7，求 直线 l 的解析式 解：设直线 l 的解析式为 y=kx+b． ∵直线 l 与直线 y=2x+1 交点的横坐标为 2， 2+1=5． 即 y=2× 与直线 y=x－8 交点的纵坐标为－7，即－ 7=x－8， 解得 x=1； 把 x=2 时 y=5； y=－7 时 x=1． 代入解析式得 ? ， ?- 7 ? k ? b8 32.如图，直线 y=kx+b 分别交 x 轴和 y 轴于 点 A、B，则关于 x 的方程 kx+b=0 的解为 x=－2．3.直线 y=3x+6 与 x 轴的交点的横坐标 x 的 值是方程 2x+a=0 的解，则 a 的值是 4 4. 如图，已知直线 y=ax+b，则方程 ax+b=1 的解为 x= 4．?5 ? 2k ? b5.如图，一次函数 y=-x+5 的图象上有点 P， 作 PA⊥x 轴，PB⊥y 轴；垂足为 B，若点 P 的纵坐标为 3，则矩形 OAPB 的面积为 6.解得 ? ． ?b ? ?19 故直线 l 的解析式为：y=12x－19． 教学建议：教学中应采用由特殊到一般、从 具体到抽象的教学策略． 利用类比归纳的思 想，由浅入深，让学生自主探究，分析、整 理一元一次方程与一次函数的关系． 并通过 逐步深入的课堂练习， 师生互动、 讲练结合， 从而使学生落实知识点，并发展学生分析， 解决问题的能力。? k ? 1228课后作业方案时量：30 分钟 1. （2010?梧州） 直线 y=2x+b 与 x 轴的交点 坐标是（2，0），则关于 x 的方程是 2x+b=0 的解是 x= 2． 2. 一元一次方程 3x－1=5 的解就是一次函 数 y=3x－6 与 x 轴的交点横坐标 3.某市出租车公司规定：出租车收费与行驶 路程关系如图所示． 如果小明姥姥乘出租车 去小明家花了 22 元，那么小明姥姥乘车路 程有 13 千米．解得 k=9，b=－20 即 h=9d－20； 196=9d－20， （2） h=196 时， 当 解得 d=24cm 6. 教室里放有一台饮水机（如图） ，饮水机 上有两个放水管． 课间同学们依次到饮水机 前用茶杯接水． 假设接水过程中水不发生泼 洒，每个同学所接的水量都是相等的．两个 放水管同时打开时