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多元微积分里偏x偏y代表什么含义?我问的是对一个函数连续两次求对x和y的导数，二阶导数
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∂²f/(∂x∂y)是二元函数f先对y求导,再对x求导的导数.∂²f/(∂y∂x)是二元函数f先对x求导,再对y求导的导数.对x求导时,把y当作常数,把f看作x的一元函数即可.对y求导类似.当两个一阶偏导数∂f/∂x,∂f/∂y都连续时,∂²f/(∂x∂y)=∂²f/(∂y∂x).即与顺序无关.几何意义很难解释,大体是反映函数的图像的某种扭曲,请查阅“椭圆点”,“双曲点”,“抛物点”,“海赛矩阵”,看看有无联系.
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当偏X时，Y看做一个常数，反之也是 这样的。比如：∫(2xy+x^2)эx=2y+2x^2
你是说偏导么？ 其实应该一样的吧， 只不过一元是平面，多元是空间 平面表示的是曲线的凸凹性，那么多元也应该是这方面的只不过一个是线的凸凹性，一个是面的凸凹性，或者是空间的凸凹性。
沿x轴方向和沿y轴方向的变化率
最后那位的回答正确，不过有一点修正：当两个2阶混合偏导数在一点都连续时，它们相等。只有1阶偏导数连续不能保证两个2阶混合偏导数相等。
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时域信号x（t)二阶导数的傅里叶变换是______。
C． （j2πf)2X（f)
D． （2πf)2x（f)
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提问人：匿名网友
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时域信号x(t)二阶导数的傅里叶变换是______。&&A．&&B．&&&C．&(j2πf)2X(f)&&D．&(2πf)2x(f)
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1在LC正弦波振荡电路中，不用通用型集成运算放大器作放大电路的原因是其上限截止频率太低，难以产生高频振荡信号。
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确认密码：插播数学3：偏微分物理理论最低基础 Blog“看那边，莱尼，那边的山和山谷美吗？”
“美，乔治。等我们有钱了我们能去那里吗？可以吗？”
乔治眯起眼睛：“你说的地方具体是哪里啊，莱尼？”
莱尼用手一指：“就是那里，乔治，那个小山谷。”偏导数多变量函数微积分是单变量函数微积分的推广。考虑一个多变量函数V(x,y,z)，自变量为x、y、z，这里它们不一定代表是坐标。另外，自变量数目可以多于或少于3个。多变量微分的核心概念是偏导数。我们考虑一点(x,y,z)的邻域，固定y和z，看看V随x的变化率。我们想象y和z不变，那函数相当于只剩一个变量x了，那么V的导数就是dVdx=limΔx→0ΔVΔx(1)其中ΔV定义为
ΔV=V(x+Δx,y,z)-V(x,y,z)(2)注意到，ΔV定义中，只有x有变化，y和z都没有变化。方程()和()定义的导数称为V对x的偏导数，记为
如果我们想强调y和z不变，也可记为
(?V?x)y,z同样地，我们可以定义函数对另外任何一个变量的偏导数，如对y的偏导数为：
?V?y=limΔy→0ΔVΔy
V对y的偏导也可记为如下简化符号：
?V?y=?yV多级导数也可定义。把?V?x看成x、y、z的函数，也可以对其求微分。函数V对x二阶偏导为：
?2V?x2=?x(?V?x)=?x,xV还可定义混合偏导。比如，?yV对x的偏导为
?2V?x?y=?x(?V?y)=?x,yV混合偏导一个有趣并且很重要的性质是混合偏导与求导顺序无关，即
?2V?x?y=?2V?y?x|练习1：求以下二元函数的一阶和二阶偏导（包括混合偏导）：F(x,y)=x2+y2、F(x,y)=sin(xy)、F(x,y)=xye(x2+y2)、F(x,y)=excosy|
|-----------|
（注：原文函数有误：x2+y2=sin(xy)、xyex2+y2）驻点和函数极值考虑一个一元函数F(y)，如图1所示。
图1. 函数F(y)的图在曲线上一些地方，y往任何方向变化，都会使函数值F增大，这些地方称为极小值点，见图2中的标记，
图2. 极小值点在每个局域极小点往y的任何方向走，你都会高于点F(y)。每个点都处在一处洼地的底部。曲线上最低的极小值点称为最小值点。函数在某点取极小值的一个条件是函数在此点对独立变量的导数为0。这是个必要条件，但不是充分条件。满足这一条件的点为驻点：
dF(y)dy=0要判断是不是极小值点还需要看看驻点的性质，也即对函数求二阶导数。如果二阶导数大于0，
d2F(y)dy2&0
那么附近各点都高于驻点，此驻点为函数的极小值点。如果函数在驻点的二阶导数小于0，d2F(y)dy2&0
那么附近各点都低于驻点，此驻点为函数的极大值点。见图3中标注各点。
图3. 极大值点如果函数在驻点的二阶导数等于0，
d2F(y)dy2=0
函数的导数在驻点改变符号，此驻点称为函数的拐点。图4为拐点示例。
图4. 拐点高维驻点多变量函数也有极小值点、极大值点和驻点。想象一片山地，海拔高度是纬度和经度的函数，把函数记为A(x,y)，山峰和山谷分别为极大值点和极小值点。这些点还不是山区仅有的局部平坦的地方，还有两山之间的鞍点。见图5所示。
图5. 多变量函数在山峰处，你不管往哪个方向走，你都会往低处走。在山谷处正相反，你不管往哪个方向走，你都会往高处走。但是这些地方都是平的。还有些地方是平的。两山之间有些地方称为山鞍，鞍点也是平的。在鞍点你沿某个轴的任意方向，你的高度会上升，但是如果你沿垂直轴的任意方向走，你的高度又下降。沿着x轴把山切开，并使刀片通过A的一个极小值点，见图6所示。
图6. 沿x轴切割函数很明显，在极小值点A对x的导数为0，即
?A?x=0同样地，我们也可以沿y轴把山切开，于是也有
?A?y=0即在极小值点，或在驻点，函数对每个变量的一阶导数都为0。如果A的方向空间多于两个，在驻点A对所有方向xi的导数都为0：
?A?xi=0(3)以上方程有个简记法。当一点x变化一点点，函数值的改变量为
δA=∑i?A?xiδxi方程()等价于
δA=0(4)假设我们已经找到满足以上条件的一点，我们如何知道这一点是对应极小值点还是极大值点，抑或鞍点？我们需要看二阶导数。但是二阶导数有很多。比如对于二维的情况，我们有以下二阶导数：?2A?x2、?2A?y2、?2A?x?y、?2A?y?x，最后两个结果相等。这些二阶导数写在一起，组成一个矩阵，这个矩阵叫做：H=???????2A?x2?2A?y2?2A?x?y?2A?y?x??????关于矩阵的重要的量是和。海森矩阵的行列式为
DetH=?2A?x2?2A?y2-?2A?x?y?2A?y?x
TrH=?2A?x2+?2A?y2这里不具体解释矩阵、行列式和迹这些概念。你知道有这些东西还有以下规则就可以了：
如果海森矩阵的行列式和迹都是正的，那么对应的驻点为极小值点。
如果海森矩阵的行列式是正的，迹都是负的，那么对应的驻点为极大值点。
如果海森矩阵的行列式是正的，不管迹符号为何，对应的驻点为鞍点。这里只写出了两变量函数的具体规则。对于更多变量的函数，规则的形式更为复杂。下面我们具体算一下两变量函数。比如，考虑函数
F(x,y)=sinx+siny
由于cosπ2=0，显然点(π/2,π/2)是一个驻点。要知道这个点的类型，还得计算二阶导数
?2F?x2=-sinx
?2F?y2=-siny
?2F?x?y=?2F?y?x=0由于sinπ2=1，计算海森矩阵的行列式和迹，行列式和迹都大于0，所以点(π/2,π/2)是个极小值点。
练习2：考虑以下各点(π/2,-π/2)、(-π/2,π/2)、(-π/2,-π/2)，判断这些点是不是以下函数F(x,y)=sinx+siny、F(x,y)=cosx的驻点，并判断驻点的类型。
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偏微分方程理论学习总结
偏微分方程理论学习总结任 荣 珍院系：理学院 班级：19 班学号：偏微分方程理论学习总结偏微分方程这一门学科在我脑海中的印象不是很深， 本科时学的是常微分方 程，在课堂上听到老师提起过偏微分方程，因此，在研究生阶段选课时就选了这 门课，以前不了解偏微分，再选了这门课之后对偏微分也算有一定的了解，接下 来我想就我这学期学习了这门课做一个简单的总结。 下面就来介绍有关偏微分方程的发展简介： 谈到偏微分方程， 我们就会想到本科时学的常微分方程，而偏微分方程的发 展没有常微分方程的发展早，所以要谈偏微分方程就先来谈一下常微分方程。 十七世纪微积分创立之后， 常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微 分方程解决几何与理学中的新问题， 结果是在天体理学中不仅能得到并解释早已 知晓的那些事实，而且得到了新的发现(例如，海王星的发现就是在对微分方程 分析的基础上作出的)。 而偏微分方程的研究要晚的多， 对物理学中出现的偏微分方程研究在十八世 纪中叶导致了分析学的一个新的分支――数学物理方程的建立。 J.达朗贝尔(D’Alembert)()、L.欧拉(Euler)()、D.伯努利 (Bernoulli)()、J.拉格朗日(Lagrange)()、P.拉普拉斯(Laplace) ()、S.泊松(Poisson)()、J.傅里叶(Fourier)()等人的工 作为这一学科分支奠定了基础， 它们在考察具体的数学物理问题中，所提出的思 想与方法， 竟适用于众多类型的微分方程， 成为十九世纪末偏微分方程一般理论 发展的基础。 十九世纪， 偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶拉开的， 他于 1822 年发表的《热的解析理论》是数学史上的经典文献之一。而十九世纪偏微分方程 的另一个重要发现是围绕着位势方程来进行的， 这方面的代表人物格林(G.Green) 是一位磨坊工出身、自学成才的英国数学家，位势方程也称为拉普拉斯方程：? 2V ? 2V ? 2V ?V ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 ? x ? y ? z偏微分方程是储存自然信息的载体， 自然现象的深层次性质可以通过数学手 段从方程中推导出来， 而本学期学习的偏微分方程理论的第一篇就介绍了线性椭 圆形方程， 椭圆形方程它的方法是先验估计加泛函分析手段，在线性椭圆形这一块以 6 章来详细介绍线性椭圆形方程，在这一篇中讲到了很多内容和知识点，下 面我就来介绍一些关于线性椭圆形方程的一些定理及应用 在第一章预备知识这一块主要学习了若干技巧和一些重要的不等式， 若干技 巧分单位分解定理、齐次化边界条件、振动方法等 单位分解定理：(设 ?1 , ?2 ,..., ?k 是开集组， K 是紧集，满足 K ?k kk j ?1? j ，则?? 存在函数 ? j ? C0 ； (? j ) ，使得 ? j ? 0 ， ? ? j ? 1 ，且在 K 的领域内 ? ? j ? 1)、j ?1 j ?1接下来介绍一些重要的不等式： 一、基本不等式 (1) Cauchy 不等式 对任意的 a, b ? 0 ，有a 2 b2 ab ? ? 2 2(2) 带 ? 的 Cauchy 不等式 对任意的 a, b ? 0 和 ? ? 0 ，有ab ?? a22?b2 2?(3) Jensen 不等式 设 ? : R ? R 是下凸的，则?(1 b 1 b f (t )dt ) ? ? ( f (t ))dt ? b?a a b ? a ?a对有限区间 [a, b] 及可积函数 f :[a, b] ? R 均成立 (4) Young 不等式 对任意 a, b ? 0 , 1 ? p, q ? ? ，1 1 ? ? 1 ，有 p qab ?a p bq ? p q(5) 带 ? 的 Young 不等式 对任意 a, b ? 0 和 ? ? 0 ， 1 ? p, q ? ? ，1 1 ? ? 1 ，有 p qab ?(6) Holder 不等式?app?? ? q pbqq????uvdx ? uLpv Lp，1 ? p, q ? ? ，1 1 ? ?1 p q(7)一般的 Holder 不等式u1u2 ...uk dx ? u1Lp1u2Lp2... ukLpk，1 1 ? ... ? ?1 p1 pk(7’) Minkowski 不等式 设 1 ? p, q ? ? ， f , g ? Lp (?) ，则 f ? g ? Lp (?) ，使f ?gLp ( ? )? fLp ( ? )? gLp ( ? )(8) 几何与算术平均不等式 对任意 a1 , a2 ,..., ak ? 0 ，有(a1a2 ...ak )1 k ? a1 ? a2 ? ...ak k(9) Lp 空间的内插不等式uLr? ua Lsu1? a Lt，s?r ?t，1 a 1? a ? ? r s t二、内插不等式 (1) ( Green 恒等式)?u ds ?n?记号 (2) (内插不等式)?u?udx ? ? ? ?u dx ? ? u? ??2?u ( x) ? ?u ( x) n( x) ? u xi ( x)nxi ( x) 为 u 在点 x 的外法向导数。 ?n设 2 ? p ? ? ， u 是光滑函数，在 ?? 上， u ? 0 ，则(? ? uxi dx)2 p ? C (? u dx)1 r ( ? ? uxi x j dx)2 sr i ?1 ? ? i , j ?1 ?npns其中 C 是仅依赖于 p 的常数，且 三、 Sobolev 不等式2 1 1 ? ? p r s设 u ?W0 p (Rn ) : Rn ? R ，则对 1 ? P ? n ，有(? n uR p?Ldx)1 p ? C ? ( ? n uxi dx)1 p?npi ?1R其中 C 仅依赖于 p 及 n 这些重要的不等式在以后的文章写作中也会用到， 而且这是偏微分方程中最基本 的知识。 偏微分方程理论与其他数学分支如泛函分析、函数论、拓扑学、代数、复分 析的紧密联系， 偏微分方程理论广泛应用数学这些领域中的基本概念、基础思想 和基本方法， 并且它本身也给这些学科分支的研究问题的范围与方向以影响，极 值原理及其应用就是这种相互影响的经典范例， 下面就来介绍一下弱极值原理及 解的上下界估计、强极值原理、弱解的极值原理、极值原理等等 弱极值原理: 假设 u : ? ? R 是 C 2 (?) C 0 (?) 函数，满足微分不等式Lu ? ?aij uxi x j ? bu i xi ? cu ? 0in? in? ，则其中 aij 满足椭圆性假设条件， bi 及 c 有界，且 c( x) ? 0sup u ? max(0,sup u )? ??特别地，若 c ? 0 ，则有 sup u ? sup u? ??解的上下界模的估计：假设 u 是方程? ??aij uxi x j ? biuxi ? cu ? f ? in? ? ? u ? ? ? on?? ? ? ?的解，其中 aij 满足椭圆形假设条件， bi 及 c 有界，且在 ? 内 c( x) ? 0 ，则存在仅 依赖于 ? 及系数 aij ， bi ， c 的常数 C ，使得sup u ? sup ? ? C sup f? ?? ?弱极值原理断言， 在一定条件下函数 u 一定在 ? 的边界取得它的最大值或最 小值，但并不排除 u 在 ? 内也能取得最大(小)值，下面所讲的强极值原理说明， 在一定条件下，若 u 不恒为常数，则 u 一定不能再内部达到最大值，下面就介绍 强极值原理。 强极值原理：若函数 u ? C 2 (?) C 0 (?) 在 ? 内满足 Lu ? 0 ，且在一个内点处 达到非负的最大值， c( x) ? 0 ，则 u 为常数。 接下来介绍弱解的极值原理，并由此获得问题? ??(aij uxi ) x j ? bi uxi ? cu ? f ? ( fi ) xi ? in? ? ? u ? 0 ? on?? ? ? ?弱解的存在性，这里我们采用 DeGiorgi 迭代法。 为了更精确地叙述弱极值原理，我们需要引进上、下解的概念 定义 1：u ? H 1 (?) 称为方程 a(u, v) ? T , v 的弱下解(弱上解、弱解)，如果对? 任意 ? ? C0 (?) ， ? ? 0 ，有a(u,?) ? (?, ?) T ,? ? ( f ,?)0 ? ( f i , Di?)0其中a(u, ? ) ? ? [aij u xi u x j ? (bi u xi ? cu )v]dx?事实上式a(u,?) ? (?, ?) T ,? ? ( f ,?)0 ? ( f i , Di?)01 对于任意 ? ? H0 (?) ， ? ? ? ? ? max(? ,0) 也成立弱解的极值原理：设 L 的系数满足式 aij ? L? (?) 与式 ? biiLn? cLn 2? ? ，且在 ? 内几乎处处成立，如果 u ? H 1 (?) 是方程 a(u, v) ? T , v 的弱下解，则对于任 意 p ? n ，我们有ess sup u ? sup u ? ? C ( f? ?? Lnp n? p? fi (?))?n Lp ( ? )1 1 ? p其中 C 仅依赖于 n ， p ， ? ， ? ， ? 以及 bi ， c ，但与 ? 的下界无关。上面介绍的是一些关于线性椭圆形的不等式极值原理及应用， 下面我们来介 绍有关线性椭圆形中有关解的估计、存在性及连续性 梯度的边界估计： 定理 1.1 假设 u 满足? ?? aij u xi x j ? bi u xi ? cu ? f (in?) ? u ? 0(on??) ? ?其中系数 aij ， bi ， c 有界， f 也有界， c ? 0 ，且 aij 满足椭圆性假设条件， ? 满足 外球条件，则存在仅依赖于 aij ， bi ， c ， f 及 ? 的常数 C ，使得sup ?u ? C??解的梯度在 ? 上的估计： 定理 1.2 假设 u 是问题? ?? aij u xi x j ? bi u xi ? cu ? f (in?) ? u ? 0(on??) ? ?的解，其中 aij 满足椭圆假设条件， aij ， bi 与 c 有有界的导数，且 c ? 0 ，则存在仅 依赖于 ? (出现在椭圆假设条件中)及 aij ， bi ， c 的 W 1,? 模的常数 C ，使得sup ?u ? sup ?u ? C (sup u ? sup f ? sup ?f )? ?? ? ? ?解的梯度在 ? 上的估计有时是无用的，因为难以估计 sup ?u ，在这种情况??下，我们考虑函数W ' ( x ) ? ? 2 ( x ) ?u ( x ) ? ? u 2 ( x )2其中 ? ( x) 是一光滑的截割函数，在 ?? 附近它恒为 0，我们可以选择 ? ，使它在 某严格内域 ?' ? ? 上恒等于 1，并且利用前述估计，得到借助 sup u ， sup f 及? ?sup ?f 表示的 sup ?u 的界。? ?一旦有了 ?u 的界，利用同样的方法可得到高阶导数的界。例如，我们可以 利用极值原理于 W ? u xi x j u xi x j ? ? ?u'' 2，? 待定以得到 u 的二阶导数的界，利用W ''' ? ? 2u xi x j u xi x j ? ? ?u2以得到局部的二阶导数估计。W 1,2 估计：记c? ( x) ? max(c( x),0) c? ( x) ? ? min(c( x),0) ? c? ( x) ? c( x)定理 2.1：设 u 是问题? ??(aij u xi ) x j ? bi u xi ? cu ? f +(f i ) xi (in?) ? u ? 0(on??) ? ?的光滑解， aij 满足椭圆性假设条件，且 aij ， bi ， c 有界，若 f , fi ? L2 (?) ，则存 在仅依赖于 ? 及系数的常数 C1 与 C2 ，使得??( ?u ? c ?u 2 )dx ? C1 ? ( f 2 ? ? fi 2 )dx ? C2 ? u 2 dx2 ? i ?1 ?n若 ? ? min c( x) 充分大，则存在 C3 ，使得u W 1,2 ( ?) ? C3 ? ( f 2 ? ? fi 2 )dx2 ? i ?1 n注意，这个估计不要求 aij 或 f i 的任何光滑性。W 2,2 估计：现在对系数及 f i 增加一些光滑性的假设来推导 u 的二阶导数的 L2 估计。 关于 ?? 的假设： (1)对每点 x0 ??? ,存在一个在 x0 切于 ?? 的平面 T ,使得在 x0 的某个小领域内, ?? 在局部坐标系 ( y1 ,..., yn ) 下可表示为yn ? ?( y1,..., yn?1 )我们假设 yn 轴指向在 x0 点的外法向量矢量。(2) ? : Rn?1 ? R 是 C 2 函数,且? 2? ( x0 ) ? 0, l ? k . ?yk ?yl(3)存在不依赖于 x0 的 K ,使得对任意 x0 ??? , l ? 1, 2,..., n ? 1 ,有? 2? ( x0 ) ?K ?yl2Poisson 方程的 W 2,2 估计：因为下面的证明稍微复杂点，我们首先论述一个特殊情况 定理 2.2：设 u 是问题??u ? f (in?) ? ? u ? 0(on??)的光滑解，其中 ?? 满足上述条件(1)~(3),则存在仅依赖于 ? 的常数 C ，使得u? 2 ,2 ( ? )?C f我们接下来将用同样的方法去推导? ??(aij u xi ) x j ? bi u xi ? cu ? f +(f i ) xi (in?) ? u ? 0(on??) ? ?解的 W 2,2 估计 引理 2.1：设 A ? (aij ) 及 B ? (bij ) 是两个实对称的 n ? n 矩阵，假定 A 正定，且 其 最小特征值不小于 ? (? ? 0) ，则aij bik akl bjl ? ?i ?k bik bik ? ? 2bik bik定理 2.3：设 u 是式? ??(aij u xi ) x j ? bi u xi ? cu ? f +(f i ) xi (in?) ? u ? 0(on??) ? ?的光滑解，?? 满足(1)~(3), aij 满足椭圆性假设条件， 且 aij 在 ? 上有有界的梯度，bi 及 c 有界， f ? ( fi ) xi ? f ? L2 (?) ，则存在仅依赖于系数及 ? 的常数 C1 ， C2 ，使得u? 2,2 ( ? )? C1 fL2 ( ? )? C2 uL2 ( ? )如果 ? ? min c( x) 充分大，则存在 C3 ，使得u散度形式方程解的 L? 估计：? 2,2 ( ? )? C3 fL2 ( ? )引理 2.2 设 G : R ? R 是一致 Lipsctz 连续的(即存在 K ? 0 ，使得对任意s, t ? R ，有 G(s) ? G(t ) ? K s ? t )，且 G (0) ? 0 ，假定 u ?W01,2 (?) ，则(1) G(u) ?W01,2 (?) (2)若 G ' 仅有有限多个间断点，则在 ? 内几乎处处有., [G(u)]xi ? G' (u)uxi ， i ? 1 , . .n定理 3.1(全局 L? 估计)设 u 是问题? ??(aij u xi ) x j ? ( fi ) xi (in?) ? u ? 0(on??) ? ?的解(弱解或光滑解)，若 aij 满足椭圆性假设条件，且对某 p ? n ， fi ? Lp (?)(i ? 1,..., n) ，则存在仅依赖于 p ， n 与 ? 的常数 C ，使得uL?? C ? fii ?1nLp ( ? )mes(?)1 n?1/ p下解的局部 L? 估计： 定义 2 v 称为方程 ?(aij uxi ) x j ? 0 in? 的下解，若?(aij vxi ) x j ? 0in?引理 3.1 若 u 是方程 ?(aij uxi ) x j ? 0 in? 的解， ? 是凸的，则v ? ? (u )是方程?(aij uxi ) x j ? 0 in?的下解。 定理 3.2 设 v 是方程 ?(aij uxi ) x j ? 0 in? 的非负下解(或弱下解)，系数 aij 满足 椭圆性假设条件，任选 x0 ?? 及 R ? 0 ，使得 B( x0 , R) ? ? ，则存在仅依赖于 n ，? 及 ? 的 C ，使得B ( x0 , R /2)max v ? C[1 Rn?B ( x0 , R )v 2 dx]1 2 ? C1 v Rn 2L2 ( B ( x0 , R ))即 v 在较小球内的 L? 模由它在较大球内的 L2 模来估计? 引理 3.2 设 v 是方程 ?(aij uxi )x j ? 0 in? 的非负下解，则对任一 ? ? C0 (?) ，0 ? ? ? 1， p ? 2有( ? (? v p 2 )2 dx)2 2 ? C ? ?? v p dx? ?2??其中 C 不依赖于 ? 与 p 。 引理 3.3 设 v 是方程 ?(aij uxi ) x j ? 0 in? 的非负下解，则有(?B ( x0 , Rk ?1 )vpk ?1dx)1 pk ?1C1 pk 4k ? R2 pkpk(?B ( x0 , Rk )v pk dx)1 pk推 论 设 u 是方程 ?(aij uxi ) x j ? 0 in? 的解，则B ( x0 , R /2)max u ? C[1 Rn?B ( x0 , R )u 2 dx]1 2解的 Lp 估计(1) ? 算子的 L 估计p定义 3 (1)称?( x) ??1 1 x?0 n(n ? 2)?n x n?2为 Laplace 方程的基本解. 其中 ?n 是 R n 内单位球的面积 (2)设 f 是有界可积的，则u ( x) ? ? n ?( x ? y ) f ( y )dy ? ? ? fR称为 f 的 Newton 位势? 定理 4.1 设 u ? C0 (Rn ) ，则对任意 1 ? p ? ? ，存在常数 C ( p ) ，使得对任意1 ? i, j ? n ，有uxi x j常数仅依赖于 n 及 p 。? 换句话说，若 u ? C0 ( Rn ) 是Lp ( Rn )? C ( p) ?uLp ( Rn )?u ? f inR n的解，则i , j ?1?unxi x jLp ( Rn )? C ( p) fLp ( Rn )(2)整体 W 2, p 估计 本节我们将研究? ??aij u xi x j ? bi u xi ? cu ? f (in?) ? u ? 0(on??) ? ?的解，对系数作如下的假设： (1) aij ， bi ， c 在 ? 内有界(不妨设 ? aiji, j L? ( ?)? ? biiL? ( ?)? cL? ( ?)? ? )；(2) aij 满足椭圆性假设条件； (3)函数 aij 在 ? 上连续。 引理 4.1 假设系数 aij ， bi 及 c 满足假设(1)~(3)(以中心在原点的某个球代替? )，选 1 ? p ? ? ，则存在仅依赖于系数的界， aij 的连续模， n ，? ， ? 及 p 的常数 R0 ? 0 ， C1 , C2 ? 0 ,使得若 0 ? R ? R0 ，且 u ?W02, p ( B( R)) 是方程? ??aij u xi x j ? bi u xi ? cu ? f (in?) ? u ? 0(on??) ? ?在 ? ? B( R) 内的解，在 ?B( R) 附近 u ? 0 ，则i , j ?1?unxi x jLp ( B ( R ))? C1 fLp ( B ( R ))? C2 u W 1, p ( B ( R ))引理 4.2 在引理 4.1 的假设下，存在常数 R0 ? 0 ， C1 , C2 ? 0 ，使得如果0 ? R ? R0 ，u ?W02, p (B(R)? ) 是 ?在 ?B(R)?? ??aij u xi x j ? bi u xi ? cu ? f (in?) 在 ? ? B( R)? 内的解， u ? 0(on??) ? ??xn ? 0? 附近 u ? 0 ，在 ?xn ? 0? 上 u ? 0 ，则i , j ?1?unxi x jLp ( B ( R )? )? C1 fLp ( B ( R )? )? C2 u W 1, p ( B ( R )? )引理 4.3 设 1 ? p ? ? ，对每个 ? ? 0 ，存在 C (? ) (仅依赖于 ? ， p ， ? )，使 得对任意 u ?W 2, p (?) ，有uW 1, p ( ? )?? uW 2, p ( ? )? C (? ) uLp ( ? )定理 4.2 设 u 是 ?? ??aij u xi x j ? bi u xi ? cu ? f (in?) 在具光滑边界的有界域 ? 内的 u ? 0(on??) ? ?光滑解，系数满足条件(1),(2),(3)，令 1 ? p ? ? ,则存在仅依赖于系数的界， aij 的 连续模， ? , n ， ? ， ? 及 p 的常数 C1 , C2 ，使得u?W 2, p ( ? )? C1 fLp ( ? )? C2 uLp ( ? )若 min c( x) ? ? , ? 充分大，我们可取 C2 ? 0 (3)局部 W 2, p 估计 引理 4.4 存在仅依赖于 n 及 p 的常数 C 使得?i ?1nuxiL ( B ( R ))p? ? ? uxi x ji , j ?1nL ( B ( R ))p?C?uLp ( B ( R ))对所有 ? ? 0 及 u ?W 2, p ( B( R)) 成立，其中 C 不依赖于 ? 及 R . 引理 4.5 设 ? (r ) 是定义在 0 ? r ? R0 上的非负有界函数，若对任意 0 ? r ? R0 , 有? (r ) ? ? ( ) ?则1 8r 2C r2? (r ) ?2C r2L 定理 4.3 设 u 是方程 ?aijuxi x j ? bu i xi ? cu ? f (in?) 的光滑解(或强解)， 的系数满足上面的条件 (1),(2),(3), 则对每个域 ?' ?? ? , 存在仅依赖于系数的界 , aij 的 连续模， n ， ? ， ? ， p 与 dist (?' , ??) 的常数 C1 ， C2 ，使得uSchauder 估计：W 2, p ( ?' )? C1 fLp ( ? )? C2 uLp ( ? )(1) Newton 位势的 C 2,? 估计 命题 1:(1) 若 f 是 ? 内有界可积函数，则 ?( x) ? C1 ( Rn ) ，且?x ( x) ? ? ?x ( x ? y) f ( y)dyi?ii ? 1 , . .n .； , x??(2) 若 f ( x) 在 ? 内有界且是局部 Holder 连续的(指数为 ? ，0 ? ? ? 1 ), 则 ?( x) ? C 2 (?) ，且? x x ( x) ?i j?0??xi x j( x ? y )[ f ( y ) ? f ( x)]dy ? f ( x) ? ? xi ( x ? y )n j ( y )ds ， x ? ???0其中 ?0 是任一包含 ? 的光滑区域，在 ?0 \ ? 内作零延拓，n ? (n1 ,..., nn ) 是 ??0 上 的单位外法向量。 (3) 在(2)的条件下， ? ( x) 满足 ?? ( x) ? f ( x) ， x ? ? 引理 5.1 设 B1 ? B( x0 , R) ， B2 ? B( x0 , 2R) 是两个同心球，假设对某 0 ? ? ? 1 ，f ? C? ( B2 ) ，且 ? 是 f 在 B2 内的 Newton 位势，则 ? ? C 2,? ( B1 ) ，且sup ?xi x j ? R? [?xi x j ]? , B1 ? C(sup f ? R? [ f ]? , B2 )B1 B2引理 5.2 对某 x0 ??xn ? 0? ，设B1? ? B( x0 , R)?xn ? 0? ， B2? ? B(x0 ,2R) ?xn ? 0? ，? ? 假设对某 0 ? ? ? 1 ，f ? C? ( B2 且 ? 是 f 在 B2 内的 Newton 位势， 则 ? ? C 2,? ( B1? ) )，且sup ? xi x j ? R? [? xi x j ]? , B? ? C (sup f ? R? [ f ]? , B? )? B1 1 ? B2 2(2)整体 C 2,? 估计2 2 引理 5.3 设 f ? C0 ( Rn ) ，且 u ? C0 ( Rn ) 是?u ? fn inR2,? 的解，若 B ? B( x0 , R) 是任一包含 u 的支集的球，则 u ? C0 (Rn ) ，且? sup u ? CR 2 sup f ? Rn ( B ) Rn ( B ) ? ? sup ?u ? CR sup f ? Rn ( B ) Rn ( B ) ? ? sup u ? R? [u ] ? C ( sup f ? R? [ f ] ) xi x j xi x j ? ? ? Rn ( B ) ? Rn ( B )现在考虑一般的椭圆型方程 Dirichlet 问题? ??aij u xi x j ? bi u xi ? cu ? f (in?) ? u ? 0(on??) ? ?对系数作如下假设： (1) aij ， bi ， c ? C? (?) ，对某 0 ? ? ? 1 ； (2) aij 满足椭圆性假设条件 (3) f ? C? (?) 定理 5.1(整体 Schauder 估计) 设 u ? C 2,? (?) 是边值问题? ??aij u xi x j ? bi u xi ? cu ? f (in?) ? u ? 0(on??) ? ?的解，其中系数满足(1)与(2)， f ? C? (?) ， ?? 是光滑的(例如 ?? 属于 C 2,? )，则 存在仅依赖于系数的 C ? 模， ? ， n ， ? 及 ? 的常数 C1 ， C2 ，使得uC 2,? ( ? )? C1 fC? ( ? )? C2 sup u?如果在 ? 内 c ? 0 ，则我们可取 C2 ? 0 。 (3)内部的 C 2,? 估计 设 x, y ?? ，记d x ? dist ( x, ??)对 0 ? ? ? 1 ，定义 (1) u? C? ( ? )dy ? d i s ( t ,? y ?) dx y ? m i n d (x d , y )? ? sup u ? sup d xy? x , y??x? yu ( x) ? u ( y ) x? y?(2) u? C1,? ( ? )? u?n ? u xi ( x) ? u xi ( y ) 1+? ? sup d x u x ( x) ? sup d xy ? ? ? ? C (?) i x , y?? x? y i ?1 ? x?? x ? y ?? ? ? ?(3) u? C 2,? ( ? )? u xi x j ( x) ? u xi x j ( y ) 2 ?? ? u C1,? ( ? ) ? ? ? sup d x2 u xi x j ( x) ? sup d xy ? x , y?? x? y i , j ?1 ? x?? x ? y ?? n? ? ? ?定理 5.2 (内部 Schauder 估计) 设 u ? C2? (?) 是方程?aijuxi x j ? bu i xi ? cu ? f (in?)在 ? 内的解，且椭圆型算子的系数满足(1)，(2)， f ? C? ，则存在仅依赖于系数 的 C ? 模， n ， ? 及 ? 的常数 C1 ， C2 ，使得u? C 2,? ( ? )? C1 fC? ( ?)? C2 sup u?以上是第一篇所讲到的内容。 第二篇也讲到了一些极值原理及应用， 但是讲的是有关线性抛物型方程的极 值原理及应用， 在这里不仅提到了极值原理， 还提到了初边值问题解的惟一性和 比较定理， 在线性抛物型这一块还了解到第一初边值解的存在性、收敛性以及第 二初边值解的存在性、 渐近性等等一系列的问题在常微分中没有接触到的在偏微 分方程理论中接触到了， 偏微分方程理论也是一门值得广大学者研究的学科，在 今后的学习中也应该好好学习偏微分方程。 最后， 谢谢老师给我们讲解这门学科， 让我们对偏微分方程有了很深的了解， 也对此产生了一些兴趣。
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