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2013高一数学课件：《函数的最大值、最小值》（新人教A版必修1）
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2013高一数学课件：《函数的最大值、最小值》（新人教A版
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高中数学必修一：1.3.1.2函数的最大值、最小值.ppt 13页
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* 函数的最大值、最小值
观察下列两个函数的图象：
图1 o x0 x M y 思考1:这两个函数图象有何共同特征？ 思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M， 则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小 关系如何？ y x o x0 图2 M 函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？ 一、函数最大值的定义 函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对任意的
； （2）存在
。 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值。记作f(x)max= M 图1 y o x0 x m 观察下列两个函数的图象：
x y o x0 图2 m 思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图 象上最低点的纵坐标叫什么名称？ 思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数
的最小值？
函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足： （1）对任意是
； （2）存在
。 那么，我们就称N是函数y=f(x)的最小值。 记作f(x)min= N 一、函数最小值的定义 二、 对函数最值的理解 1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在
。并不是满足所有满足
的函数都有最大值。如函数
,虽然对定义域上的任意自变量都有
，但不存在自变量使得函数值等于1. 2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函数值是函数在整个定义域上的最大的值或者是最小的值。 例1.已知函数
，求这个函数的最大值和最小值。 【分析】这个函数在区间[2,6]上，显然解析式的分母是正值且随着自变量的增大而增大，因此函数值随着自变量的增大而减少，也就是说这个函数在区间[2，6]上是减函数，因此这个函数在定义的两个端点上取得最值。 【解题过程分析】函数在定义域上是减函数必需进行证明，然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点。因此解题过程分为两个部分，证明函数在[2，6]上是减函数，求这个函数的最大值和最小值。 例2 画出函数y=2x2-5x+5的图象，并结合图象写出函数 在下列区间上的最大值与最小值. (1) [-2,1] (2) [3,6] (3) [1,3]
解:根据题意画出如下函数图象 (1)最大值为f(-2)=23,最小值为f(1)=2; (2)最大值为f(6)=47,最小值为f(3)=8; (3)最大值为f(3)=8,最小值为f(5/4)=15/8. 1.求函数
在区间[-1,3]的最大值和最小值。
【提示】证明函数在区间[-1,3]上是增函数。 【答案】最大值是9，最小值是-3. 2.求函数
在区间[-1,3]上的最大值和最小值。 【提示】根据二次函数的性质，函数在区间[-1,0]上是减函数，在区间(0,3]上是增函数，最小值一定在x=0时取得，最大值就是区间的两个端点的函数值中最大的。 【答案】最大值9，最小值0. 对基本的函数如一次函数、二次函数、反比例函数等，今后可以不加证明地使用他们的单调性求函数最值 3.求函数
在区间[0,2]上的最大值和最小值。 【提示】当k=0时，函数是常数函数；当k≠0时函数是一次函数，再根据k&0,k&0时函数的单调性进行解答。 【答案】k=0时，函数的最大值和最小值都是2； k&0时，函数的最小值是2，最大值是2k+2; k&0时，函数的最小值是2k+2,最大值是2. 4.求函数
在区间[0,4]上的最小值。 【提示】二次函数的对称轴x=a是函数单调区间的分界点。根据二次函数的对称轴和区间[0,4]的关系，分a&0,0
，a&4,结合函数的单调性解决。画出不同情况下函数的图象，有利于理清解题的思路。 【答案】 1.函数的最值是函数的基本性质之一，函数的最值是函数在其定义域上的整体性质。 2.具有单调性的函数在其取得最值的点的左右附近的单调性恰好相反，这是函数的单调性和最值的关系。 3.根据函数的单调性确定函数最值时，如果是一般的函数要证明这个函数的单调性，若是基本的函数可以直接使用函数的单调性。 4.含有字母系数的函数，在求其最值时要注意分情况解决，画出函数的图象有利于问题的解决。
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＞＞＞已知，求函数，的最大值与最小值。-高一数学-魔方格
已知，求函数，的最大值与最小值。
题型：解答题难度：中档来源：0119
解：∵，∴，又，∴，即，令，则问题转化为求函数的最值，∵，∴当时，，所以，所求函数的最大值是22，最小值是-3。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知，求函数，的最大值与最小值。-高一数学-魔方格”主要考查你对&&二次函数的性质及应用，对数函数的图象与性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数的性质及应用对数函数的图象与性质
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。对数函数的图形：
对数函数的图象与性质：
对数函数与指数函数的对比：
&(1)对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y=x对称．&(2)它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a&l时，它们是增函数；当O&a&l时，它们是减函数．&(3)指数函数与对数函数的联系与区别： 对数函数单调性的讨论：
解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键：一是看底数是否大于l，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性，但应注意中间变量的取值范围；三要注意其定义域（这是一个隐形陷阱），也就是要坚持“定义域优先”的原则．
利用对数函数的图象解题：
涉及对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象人手，通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图象，特别地，要注意底数a&l与O&a&l的两种不同情况，底数对函数值大小的影响：
1.在同一坐标系中分别作出函数的图象，如图所示，可以看出：当a&l时，底数越大，图象越靠近x轴，同理，当O&a&l时，底数越小，函数图象越靠近x轴．利用这一规律，我们可以解决真数相同、对数不等时判断底数大小的问题．&
2.类似地，在同一坐标系中分别作出的图象，如图所示，它们的图象在第一象限的规律是：直线x=l把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数的底数都是由右向左逐渐减小，比如分别对应函数，则必有 &&&&
发现相似题
与“已知，求函数，的最大值与最小值。-高一数学-魔方格”考查相似的试题有：
271824447828270348282563626713437586您所在位置： &
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人教版高中数学1.3.1 第2课时函数的最大值、最小值.ppt 52页
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人教版高中数学1.3.1 第2课时函数的最大值、最小值人教版高中数学1.3.1 第2课时函数的最大值、最小值
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二次函数在区间上的最值
【典型例题】 1.已知函数f(x)=x2-2ax+2，x∈［-1,1］，求函数f(x)的最小值. 2.设函数f(x)=x2-2x+2,x∈［t,t+1］,t∈R，求函数f(x)的最小值. 【解析】1.f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的图象开口向上，且对称轴为直线x=a. 当a≥1时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间［-1，1］上是减函数，最小值为f(1)=3-2a; 当-1&a&1时，函数图象如图(2)所示，函数f(x)在区间［-1,1］上是先减后增，最小值为f(a)=2-a2; 当a≤-1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间［-1，1］上是增函数，最小值为f(-1)=3+2a. 2.f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈［t,t+1］,t∈R，对称轴为直线x=1. 当t+1&1，即t&0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间［t,t+1］上为减函数，所以最小值为f(t+1)=t2+1; 当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，最小值为f(1)=1; 当t&1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间［t,t+1］上为增函数，所以最小值为f(t)=t2-2t+2. 【拓展提升】求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a&0)在区间［m,n］上 的最值的类型 (1)若对称轴x=
在区间［m,n］内，则最小值为f(
)，最大 值为f(m),f(n)中较大者(或区间端点m,n中与x=
距离较远的 一个对应的函数值为最大值). (2)若对称轴x=
&m,则f(x)在区间［m,n］上是增函数，最大 值为f(n),最小值为f(m). (3)若对称轴x=
&n,则f(x)在区间［m,n］上是减函数，最大 值为f(m),最小值为f(n).
* 第2课时 函数的最大值、最小值 函数的最大值和最小值 1.最大值 对于定义域为I的函数f(x)，条件： f(x)≤M f(x0)=M 结论：M是定义域为I的函数f(x)的最大值. 几何意义：函数y=f(x)图象上最___点的_______. 思考：函数f(x)=-x2≤1总成立吗？f(x)的最大值是1吗? 提示:f(x)=-x2≤1总成立，但是不存在x0使f(x0)=1，所以 f(x)的最大值不是1，而是0.
高 纵坐标 2.最小值 对于定义域为I的函数f(x)，条件：
结论：M是函数f(x)在I上的最小值. 几何意义：函数y=f(x)图象上最___点的_______. f(x)≥M f(x0)=M 低 纵坐标 判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)=x的最小值是-∞.(
) (2)函数f(x)=-x2在［1,3］上的最小值是-1.(
) (3)函数f(x)=2x在区间［－1,3)上的最小值是-2，无最大值.(
) 提示：(1)错误. 函数f(x)=x在(－∞,+∞)上无最大值和最小值. (2)错误. 当x=3时函数f(x)=-x2在［1,3］上取得最小值-9. (3)正确.由于函数f(x)=2x在区间［－1,3)上是增函数，故当x=-1时函数取得最小值-2，函数无最大值. 答案：(1)×
(3)√ 【知识点拨】 1.最大值、最小值定义的理解 (1)最大(小)值定义中具备的两个条件 ①对于定义域内全部元素,都有f(x)≤M (f(x)≥M)成立; ②M首先是一个函数值,它是值域的一个元素,如f(x)=-x2的最大值是0,有f(0)=0,注意定义中“存在”一词的理解. (2)两条件缺一不可,若只有前者, M不是最大(小)值,如f(x)=-x2≤1总成立,但1不是最大值,更不能只有后者,那样就丢掉了最大值的核心了. 2.求最大值、最小值时的三个关注点 (1)利用图象写出最值时要写最高(低)点的纵坐标,而不是横坐标. (2)单调性法求最值勿忘求定义域. (3)单调性法求最值,尤其是闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误,求解时一定要注意. 3.辨析函数的最值和值域 (1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域. (2)函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在. (3)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素.例如，函数f(x)=-x2对任意的x∈R，都有f(x)≤1,但是f(x)的最大值不是1，因为1不在f(x)的值域内.
图象法求函数最值(值域)
【典型例题】 1.函数y=f(x)，x∈［－4,7］的图象如图，则其最大值、最小值为(
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