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组合变形机械设计.doc 38页
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组 合 变 形
组合变形的概念
在前面各章中分别讨论了杆件在拉伸（或压缩）、剪切、扭转和弯曲（主要是平面弯曲）四种基本变形时的内力、应力及变形计算，并建立了相应的强度条件。另外，也讨论了复杂应力状态下的应力分析及强度理论。但在实际工程中杆件的受力有时是很复杂的，如图10-1所示的一端固定另一端自由的悬臂杆，若在其自由端截面上作用有一空间任意的力系，我们总可以把空间的任意力系沿截面形心主惯性轴简化，得到向，，三坐标轴上投影，，和对，，三坐标轴的力矩，，。当这六种力（或力矩）中只有某一个作用时，杆件产生基本变形，这在前面已经讨论过了。
图10-1 杆件的复杂受力
杆件同时有二种或二种以上的基本变形的组合时，称为组合变形，例如：
若六种力只有和（或）二个作用时，杆件既产生拉（或压）变形又产生纯弯曲，简称为拉（压）纯弯曲的组合，又可称它为偏心拉（压），如图10-2（a）。
若六种力中只有和二个作用时，杆件产生两个互相垂直方向的平面弯曲（纯弯曲）的组合，如图10-2（b）。
若六种力中只有和二个作用时，杆件也产生两个互相垂直方向的平面弯曲（横力弯曲）的组合，如图10-2（c）。
若六种力中只有对和二个作用时，杆件产生弯曲和扭转的组合，如图10-2（d）。
若六种力中有，和三个作用时，杆件产生拉（压）与弯曲和扭转的组合，如图10-2（e）。
组合变形的工程实例是很多的，例如，图10-3（a）所示屋架上檩条的变形，是由檩条在，二方向的平面弯曲变形所组合的斜弯曲；图10-3（b）表示一悬臂吊车，当在横梁AB跨中的任一点处起吊重物时，梁AB中不仅有弯矩作用，而且还有轴向压力作用，从而使梁处在压缩和弯曲的组合变形情况下；图10-3（c）中所示的空心桥墩（或渡槽支墩），图10-3（d）中所示的厂房支柱，在偏心力，作用下，也都会发生压缩和弯曲的组合变形；图10-3（e）中所示的卷扬机机轴，在力P作用下，则会发生弯曲和扭转的组合变形。
几种组合变形
组合变形的实例
表10-1 杆件在四种基本变形情况下的外力、内力、应力和变形的计算公式以及强度条件
基本变形类型 拉伸(压缩) 剪
横截面内力 (轴力) (剪力) (扭矩) (弯矩) (剪力)
横截面上的应
力分布情况
(假设均布)
(线性分布)
(线性分布)
(抛物线分布)
应力计算公式
变形计算公式
危险截面上最
大应力计算公式
强度条件 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
在小变形假设和虎克定律有效的情况下可根据叠加原理来处理杆件的组合变形问题。即首先将杆件的变形分解为基本变形，然后分别考虑杆件在每一种基本变形情况下所发生的应力、应变或位移，最后再将它们叠加起来，即可得到杆件在组合变形情况下所发生的应力、应变或位移。
为了便于读者研究杆件的组合变形问题，表10-1列出了杆件在四种基本变形情况下的外力、内力、应力和变形的计算公式以及强度条件，作为前面内容的小结。
在本章中，将着重介绍工程实际中遇到较多的三种组合变形问题，即：（1）两个平面弯曲的组合；（2）拉伸或压缩与弯曲的组合（包括偏心拉伸或压缩）；（3）扭转与弯曲的组合。
两个互相垂直方向的平面弯曲的组合
第四章曾经提到，对于横截面有竖向对称轴（即形心主轴）的梁，若所有的外力都作用在包含此竖向对称轴与梁轴线的纵向对称平面内，则梁在发生弯曲变形时，其弯曲平面（即挠曲轴线所在平面）将与外力的作用平面相重合，并将梁的这种弯曲叫做平面弯曲。
图10-3（a）中的矩形截面梁（檩条），其矩形截面具有两个对称轴（也叫形心主轴）。作用在该梁上的外力（上部荷载与自重）的作用线虽通过截面的形心，但与其二形心主轴不重合。在这种情况下，我们可以将外荷载沿二形心主轴分解，在某一分荷载作用下都将产生平面弯曲，这就叫两个平面弯曲的组合。横截面上任一点处的正应力，可看做两个平面弯曲下的正应力的叠加。而杆件的变形曲线一般不会发生在外力作用平面内。通常把外力所在平面与变形曲线所在平面不重合的弯曲称为斜弯曲。
在第五章中曾指出，具有非对称截面的梁，只有当外力通过其弯曲中心，且作用在与其形心主惯性平面平行的平面内时，它才会只发生平面弯曲。例如图10-4（a）、（b）所示的“[”形和“Z”形截面檩条，作用其上的外力P虽通过截面的弯曲中心，但因为P所在的平面与形心主惯性平面间存在一夹角，故檩条发生的弯曲仍属于两个方向的平面弯曲的组合（也称为斜弯曲）。
在斜弯曲情况下的檩条
处理梁的斜弯曲问题的方法是，首先将外力分解为在梁的二形心主惯性平面内的分量，然后分别求解由每一外力分量引起
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62页56页65页48页81页61页110页72页63页98页这个题目中包含一个重要的工程和力学概念
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轴向拉伸和压缩作业（1）一、 以下哪种假设不属于材料力学的基本假设（ ） 【A】 均匀连续性假设 【B】 各向同性假设 【C】 小变形假设 【D】 线弹性假设 解：正确答案为【D】 。一门学科设置的目的主要是将实际问题当中的一些次要和微弱的影响 因素对研究结果的影响排除掉，例如钢材中的杂质的不均匀分布和空洞的存在等等，那么在 均匀连续的假设下，材料力学就认为钢材就是均匀的和连续的。 基本假设的另一个目的就是要把相关学科的研究限定在一定的范围之内，例如小变形的 假设就是将研究对象限定在受力后变形很小的材料上，例如钢材等等，这样，像橡皮筋之类 变形比较大的物体就不是材料力学的研究对象了。 线弹性是弹性体当受力的大小控制在一定范围内时表现出来的一种主要的力学性能，对 于材料力学主要研究的低碳钢等材料，一般都有明显的线弹性的阶段。材料力学主要研究材 料在这一阶段内工作时构件的力学行为，因此不需要对线弹性这一事实进行假设。但是一定 要懂得材料力学研究结果的适用范围是线弹性阶段，当受力较大的时候，材料就会进入非线 弹性的阶段，材料力学的研究结果就不再适用。 二、 杆件受力如图所示，计算 BC 段的轴力时分离体的最佳取法是（ ）【A】【B】【C】【D】 解：正确答案为【D】 ； 【A】 分离体上不能带有支座，因为支座处的支反力要影响分离体的平衡（如下图所示） ，因此必须将支座去除，用相应的支反力取而代之； 【B】 用截面法计算轴力时，不要在集中力作用点上取截面，因为此处的受力比较复杂， 在材料力学中采用“突变”的形式来处理。在这种处理方式下，这个截面上的轴力 是不确定的， 在材料力学中绘制出来的集中力作用截面附近的轴力图， 如下图所示， 此时只需要求出集中力作用截面左右两条线代表的轴力值即可，因此，应该在集中 力作用截面的左右两侧取计算截面。 ，而不要把计算截面取在集中力的作用截面上。【C】 就受力分析的目的而言，这样取分离体不算错，但是材料力学与理论力学不同，前&&&&三、者要考虑构件内力的符号，而本选项所假设的未知轴力是负的，这样求出轴力的正 负正好与拉为正压为负的规则相反，容易出错，因此不如将未知轴力假设为正的， 这样求出正的就 正的轴力，求出山负的就是负的轴力。 杆件受力如图所示，试回答如下几个问题。1、 确定整根杆件的轴力，需要分作几段来计算？（ ） 【A】1 段。 【B】2 段。 【C】3 段。 【D】任意段。 2、 计算 CD 段的轴力时，正确的隔离体是（ ）【A】【B】【C】 3、 BC 段的轴力等于（ ） 【A】 F 【B】 -F 【C】 2F 【D】 -2F 解：1.正确答案为【C】 单根杆件上作用有多个载荷时，需要选取截面的位置，其原则是所选取的截面应该能够全面地反应 整段杆件的受力情况。从一个方面讲，集中力左右截面上的轴力要发生突变，因此集中力左右应该分成 不同的段落，即取不同的截面来计算。所以本题中应以 B 和 C 截面为界，AB、BC、CD 段内各取一个截面 进行计算。从另一个方面讲，在没有外力作用的区段，轴力是一个常量（轴力图是一条水平线），因此 在这种区段内只需要取一个截面就可以求出整段所有截面上的轴力了，本题就属于这种情况，只需要分 3 段（取 3 个截面）即可；有均布载荷作用的区段，轴力服从同一个一次函数（轴力图是一条斜直线）， 因此也只需要在这一段内任意取一个截面（这个截面的位置用 x 表示），就可以确定出这个函数了。 2．正确答案为【B】。 【A】 这是一个常见的错误， 你可能认为在 CD 段内取计算截面时， 截面与原图中表示外力的箭头相交了， 所取的隔离体上包含了箭头线的一部分，那么隔离体上就应该加上这个外力。其实不然，根据中学的物 理大家就知道，力是有作用点的，集中力只作用在作用点这一点上，箭头线只是用来表示力的存在的， 并不是说整个箭头的范围内都有这个力的作用。用截面法取出隔离体后，某个外力是否应该画到这个隔 离体上， 要看力的作用点是否落在你取的隔离体上。 以本题为例， 右侧的那个 2F 力的作用点在 C 截面， 那么在 CD 段内取计算截面的时候，如果取截面右侧的部分为隔离体，那么这个力的作用点就不在你所 取的隔离体上，因此隔离体上就不应该有 2F 这个外力。 【C】这个选项所表示的隔离体实际上取了两个截面，一个是为了计算 CD 段轴力在 CD 内取的一个计算 截面，这就是隔离体右侧的 m-m 截面，那么左侧那个截面呢？显然取自 BC 段，既然用截面把杆件截断 了，那么这个截面上就会作用有内力，显然在这个截面上少画了一个内力。&&&&另一个方面即便是把左侧这个截面上的轴力画上去，那还要看它是否是已知的，如果这个内力你已 经求出来了，那么通过水平方向上的平衡方程是能够求出右侧截面上的未知轴力的，但是如果左侧截面 上的内力你预先还没有求出来，那么平衡方程中就会有两个未知数，解不出结果来。因此像本题所示的 单根杆件的问题，一般只用一个截面把杆件截断，取其中一部分为隔离体来列平衡方程，而不要取两个 截面。当然你说这个题目把杆件截断之后我取左侧为隔离体，而左侧有支座怎么办？那当然要把支座从 隔离体上去掉，同时用支座反力来代替，这时你得先把支座反力求出来。 3．正确答案为【B】。 【A】这个选项的问题在于没有考虑轴力的符号，轴力的正负号必须严格按照“拉为正压为负”的原则 来确定，如果你是目测的那么一定要小心，不要忘了轴力的符号；如果是取隔离体列平衡方程算的，那 么要注意，横截面上未知的（要求的那个）轴力一定按其正向（拉力）来假设，否则很容易把符号弄反。 【C】和【D】有两个共同的错误，就是在目测轴力时按照所取截面左右最靠近的外力来确定轴力，例如 BC 段中间取的计算截面的左右两侧都有一个 2F 的外力作用，因此就认为 BC 段上轴力就是 2Fo 所以，在 不熟练的情况下，一般不要通过简单的目测来确定轴力，还是得取隔离体、用平衡方程来计算。 四、 已知一杆件的轴力图如图所示，试回答以下几个问题。1. 在 0&x&2 的区段上， ） （ 【A】 有集中力作用。 【B】 有集中力偶作用。 【C】 有均布载荷作用。 【D】 没有外力作用。 2、在 x=2 的截面上轴力图发生突变，表明该截面上有集中力，则该截面中力代数和的大小为（ 其方向向（ ） 【A】20kN，左 【B】20kN，右 【C】40kN，左 【D】40kN，右 3、 以下表示杆件左端面可能情况的图中，错误的是（ ）），【A】 【B】【C】 【D】 解： 1．正确答案为【D】。 【A】集中力作用的截面上轴力图有突变，而本小题所指区段的轴力图没有发生突变，所以可以肯定没 有 中力作用。&&&&【B】轴向拉（压）变形的定义中就明确规定，杆件只能受集中力或分布力的作用，不能作用有集中力 偶。 【C】分布载荷作用区段的轴力图会是一条水平线吗？ 2．正确答案为【D】。 首先集中力作用截面上的轴力图要发生突变，而且突变的幅度等于该截面上作用的集中力的代数和， 由于本题中 x=2m 截面上的轴力由 20kN 变化到了-20kN，突变的幅度为 40kN，由此可以判断出来该截面 上集中力的合力为 40kN，当然也可能就是一个 40kN 的集中力。 至于方向的话，我们可以看下面的图。在集中力作用截面的左侧取一个计算截面时得到如下图（1) 所示的隔离体，而在集中力作用截面的右侧取一个计算截 面时得到的隔离体则如图（2）所示，要使（2）图中求出 的轴力为-40kN，那么作用在 x=2m 截面上的集中力就只能 是向右的。 就一般而言，如果轴力图从左至右画，那么杆件上方 向向左的集中力引起轴力图在集中力作用截面上向上突变，反之亦反。 3．正确答案为【A】。 从轴力图可以看出，杆件的左端面上有集中力作用，这个集中力可能是一个外部载荷，也可能是 一个支座，因为从受力和平衡的角度来看，支座的作用就是在相关的方向上提供一个反力。 选项〔A〕是一个活动铰支座，它只能提供竖向反力，而不能提供水平方向的集中力，所以这个选 项就是本题要选出的错误情况。 选项〔B〕、〔C〕和〔D〕的效果都是在左端面上作用一个集中力，所以都与本题所提供的轴力图 是一致的。 五、 求图示杆件各段的轴力。1．BC 段轴力为。 。2．以 A 截面作 x 轴的坐标原点，则 CD 段的轴力 FN = 3．下面哪种说法是正确的？ [A]B 截面上的轴力为 2F； [B]B 截面上的轴力为-2F； [C]B 截面上的轴力为 F； [D]B 截面上的轴力发生突变。 4.BC 段的轴力图为 [A]0； [B]水平线； [C]斜直线； [D]发生突变。 5．CD 段的轴力图为 [A]0； [B〕水平线； [C]斜直线； [D]发生突变。 解：在 AB、BC 和 DE 段的轴力时分别取分离体如下图所示：&&&&BC 段上没有外力作用，故 BC 段的轴力为常量 P，轴力图为一水平线；又 B 截面上有集中力作用，因此 B 截面上的轴力发生突变；BC 段上没有载荷作用，故轴力图应为一条水 平线；CD 段上有均布载荷作用，故轴力图应为一条斜直线。轴向拉伸和压缩作业（2）一、 拉（压）杆的横截面上的正应力可以用以下的公式计算的原因是（ ） F ?? N A [A]平面假设 [B]均匀连续假设 [C]各顶同性假设 [D]小变形假设 解：正确答案为【A】 。 实验表明，位于拉（压）杆表面上的点变形程度是相同的，对于杆件内部的点，材料力学只能进行 假设，假设横截面面上所有的点变形程度都是相同的，变形前位于同一个横截面上的点变形之后仍然位 于同一个横截面上，这就是所谓的拉压杆变形的平面假设。从这个假设出发可以得到一个重要的推论， 这就是横截面上所有点的受力都是相同的，这样就可以某个横截面受到的轴力除以横截面上的点数，来 得到横截面上每个点受的力。但是在几何学上，点是没有大小的，是无法计数的，因此我们改用一个能 够反映点的多少的量，即横截面面积来计算正应力，这就是下面的公式了： F ?? N A 当然，后来理论分析和计算也表明上述平面假设是成立的。 二、等直空心圆截面杆受到轴向拉伸作用，材料的受力在线弹性范围内，则（ ）。 [A]外径和内径都增大 [B]外径和内径都减小 [C]外径增大，内径减小 [D]外径减小，内径增大 解：正确答案为〔B〕 。 当杆件受到拉压作用时，轴向伸长横向就压缩，轴向缩短横向就四周膨胀，这一变形规律适用于落 在与轴线垂直的 横截面内的所有线段，包括圆截面杆的直径、方形截面杆的边长和横截面的周长，以 及横截面上任意亮点之间的距离，这两点之间的连线甚至可以跨过没有材料的空心区域。在本题中，无 论是外径还是内径都属于是横截面上的线段，都符合上述变形规律，因此在轴向被拉长的情况下，内外 径都是减小的。 二、 拉压刚度为 EA 的杆件受力如图所示，则杆件轴向的最大线应变为（ ） 。&&&&解：正确答案为【A】。 [B]问题出在分子上的 3，在用胡克定律计算变形时分子上要用轴力，而不能用杆件上作用的外力。 [C]这是一个常见的错误，很多同学会仿照对变形进行分段累加的算法来计算线应变，要注意变形有累 加意义，即一段杆件的总的变形量等于每个分段变形量的代数和；但是线应变指的是在一个很小的范围 内杆件的变形程度，可以简单地将线应变理解成是属于某个截面的。当一段杆件受力均匀时，这段杆件 各个横截面上的线应变都是相等的，你可以笼统地说这段杆件的线应变是多少，但是当两段杆件的轴力 不同时，只能说两段杆件的线应变个各是多少，而不能把两段杆件的线应变加起来。不要说是两段杆件 的线应变，即便是把两个截面不同的线应变加起来都没有任何力学意义。就像汽车在公路上行驶，在第 一段上是一个速度，在第二段上是另一个速度，显然把这两个速度加起来是没有什么意义的。 [D]当两段杆件的变形程度不同时，不能像本选项那样将两段杆件连在一起，一次性计算线应变，必须 是各算各的。 ? 为了保险起见，建议大家用 ? ? 的公式来计算线应变。从这个公式可以看出，当材料相同的时， E 线应变的变化规律与正应力的变化规律相同，正应力发生变化的截面上，线应变也将发生变化。 三、图示立柱由横截面面积分别为 A 和 2A 的 AB 和 BC 段组成，已知材料的容重为 ? ，弹性模量为 E，则 B 截面在自重作用下的罗季位移为 ? B = 。解：C 截面的铅垂位移是由于立柱受自重作用产生压缩引起的。为此，首先需要计算立柱在自重作用下 的轴力如下图所示。 由于自重是均布载荷，因此立柱中的轴力是线性变化的（斜直线），此时 立柱的压缩变形需要采用积分的方法进行计算，但是计算结果正好就是利用轴 力图的面积，因为&&&&对本题而言， 显然，利用轴力图面积的计算方法比起积分运算来讲更为简洁，不容易出错。对于轴力均匀分布的 情况，上述算法同样成立，只是由于此时可以直接用胡克定律计算，不需要积分，因此用轴力图的面积 来计算没有太大的便宜。 四、一个铣有通槽的阶梯状轴如图所示。已知 F ? 147 ?103 N ， d ? 45mm ， D ? 50mm ， b ? 12mm ，则杆 中的最大正应力为 ? max ? （不计应力集中的影响）。解：由于阶梯轴不同区段上的横截面面积不同，因此应分段计算其横截面上的正应力： 对截面直径为 d 的实心段，有：对于开有通槽的部分，必须用有效面积来计算正应力，故：两者之间取一个较大者最为最大正应力。 五、已知 A1 ? 2 A, A2 ? A ，弹性模量为 E，受轴力作用时整根杆件的伸长量 ?l ? 变 ? max ? 。 ，最大的伸长线应解：整个杆的伸长量应为两段的伸长量之和：对于同种材料制作的杆件， 由单向应力状态下的胡克定律可知， 线应变只与横截面上的正应力有关， 由于两段杆件的轴力相同，因此细的一段上的应力比粗的一段上的应力大，所示细的一段上的线应变比 对于粗的一段大，故&&&&六、 杆件 ABCD 是用 E＝７０GPa 的铝合金制成，AC 段的横截面面积 A１＝８００mm２，CD 段的横截面 面积 A２＝５００mm２，受力如图所示。解：１）计算轴力这个题目至少有以下几个关注点：&&&&FN l 的使用要求在计算长度了的范围内其余三个量均为常数，像本题这样在整根杆件 EA ４．５m 的范围内轴力 FN 是不同的，截面的尺寸也不同时，就必须分段来计算了，必须保证在每个计算 段内，这三个量均为常数，好在变形是可以分段累加的（代数和）。 2．变形是指构件形状的改变，在这里当然就是指长度的变化；位移则是指位置的改变，二者既有联系 又有区别。变形只能针对构件来说，而不能针对截面一个点来说；位移则可以针对截面或一个点来说， 当然如果整根构件都没有变形，也可以说一个构件的位移，例如刚体的位移。 3．线应变反映了变形的程度，它既跟受力的大小有关，又跟截面的尺寸有关，因此线应变也只能放在 一个受力和截面均相同的一个区段里面来计算，像本题这样的受力和截面有变化区段是不放在一起计算 线应变的。就一般意义来讲，当构件的受力和截面尺寸可以任意变化时，线应变就只能在无穷小的范围 内来计算了。 七、一混合屋架的受力如图所示，AC 和 BC 杆用钢筋混凝土制成，AE、EG 和 GB 均用７５X８mm 等边角钢 kN 制成，已知屋架承受的均布载 q ? 20 。试求拉杆 AE 和 EG 横截面上的正应力。 m1．胡克定律 ?l ?&&&&【分析】如果将屋架承受的均布载荷改为如下图所示的形式，结果会不会发生什么变化呢？如果在下图 所示的形式的基础上，再将载荷作用的方向改为与屋面垂直，结果又如何呢？轴向拉伸和压缩作业（３）一、 试解答下列问题。 １． 对轴向受拉的圆截面杆件，若直径的相对变形为０．００１，则对应的沿圆周方向的线应变２． 一直径为 d＝10mm 的圆截面受拉杆件，直径减小 0.0025 mm，如材料的弹性模量 E＝210GPa,横 向变形因数 ，则此时外加载荷３． 对一空心圆截面钢杆，外径 D＝12Omm，内径 d＝60mm，如受拉伸加载时产生的纵向应变为 ，并且材料的横向变形因数 ，则此时的壁厚&&&&二、图示水平放置的刚性杆与 1、2 杆相连，1、2 杆的 E=210GPa，横截面面积 A1=A2=100mm2，l ? 1.2mm, F ? 25kN 。（1） 则 C 点的铅垂位移 C 点的水平位移铅垂位移若在结构上增加一相同材料的杆件 3，且 A3 ? 120mm2 ，此时 C 点的水平位移铅垂位移解： (1）首先必须分析杆系的受力，由刚性杆 AB 的静力平衡有方程：&&&&此时 3 杆虽不变形，但各杆间的变形要协调，因此变形图如图（d）所示，故 C 点的铅垂和水平位 移分别为：注意：此时虽然杆系的位置与变形前有所不同，1、2 杆已不在铅垂位置，但由于发生的是都小变形 （与原长相比），因此平衡方程仍按变形前的位置列出。在求 C 点的水平位移时，角度仍取变形前的夹 角 450。 三、 图示析架杆件 1 和 2 用 Q235 钢制成， 1=20mm， 2=15mm，? ] ? 170MPa 。 d d 试确定结构的许可载荷[F]。 [&&&&2）求 F 的最大容许值 根据①杆的强度要求可得①杆的承载力：综合考虑两根杆件的强度，结构的承载力由②杆的强度控制，也即②杆先于①杆达到强度，并使整 个结构发生破坏。 故：[F]＝[F2]=58.0kN 【分析】这个题目中包含一个重要的工程和力学概念，就是随着载荷的增加，结构中的两根杆件并不是 同时达到强度的，因为从受力分析的结果可知，两根杆件的受力与载荷 F 的关系是由平衡条件唯一确定 的，载荷是按照（1）和（2）式所建立的关系分配给两根杆件的，又由于两根杆件的横截面面积也不同， 因此两根杆件表现出来的强度是不同的，其中的任意一根杆件破坏都将导致整个结构失去承载力，所以 结构的承载力只能根据强度低（横界面上正应力大）的一根杆件来确定。千万不可按(3）和（4）式求 出两根杆件所能承受的最大轴力之后，根据相关的角度合成来得到结构的最大许可载荷。 如果载荷 F 的作用方向是任意的，那么在这种情况下，结构的许可载荷[F]又该如何计算呢，请同 学们自己考虑一下。&&&&四 、 图示结构中， 为刚性杆， 杆由 A3 钢制成， BD AC E=20OGPa， 直径 d=12mm。 已知 l ? 0.5mm ，? ? 30? ， F=5kN。试求刚性杆 D 端的铅垂位移。（2） 计算 AC 杆的变形&&&&五、一结构受力如图所示，ED 为刚性杆，杆件 1 和 2 均由两根等边角钢组成。已知材料的容许应力解：首先分析 AD 和 AB 杆的受力情况。由刚性杆 ED 的静力平衡有：&&&&六、材料为 A3 钢的拉伸试件，直径 d=10mm，工作段长度 l ? 100mm 。当试验机上载荷读数达到 F=10kN 时 ， 量 得 工 作 段 得 伸 长 ?l ? 0.0607mm ， 直 径 的 缩 小 为 ?d ? 0.0017mm 。 已 知 材 料 得 比 例 极 限 为? p ? 200MPa 。试求材料的弹性模量 E 和横向变形系数 v 。因 ? ? ? p ? 210MPa ，材料仍在线弹性范围内工作，可用胡克定律来计算材料的弹性模 E。 由题中的已知条件可得：扭转作业（１）一、&&&&解：正确答案为〔B〕。 用右手螺旋法则可以判断出该横截面上作用的扭矩是顺时针方向旋转的，因此切应力对圆心构成的 矩也应该是顺时针方向旋转的，所以选顶〔C〕和〔D〕肯定不对。 另外空心圆截面内径处的扭转切应力并不为零，它同样服从三角形的分布规律，整个空心圆截面上 切应力的分布规律仍然是圆心处为零，外圆周处达到最大，中间呈三角形的规律分布，只是由于内径以 内这块区域内没有材料，当然不可能产生切应力，但是内径到外径之间有材料的区域内切应力的分布规 律不变。 二、受力体内某点发生的变形如下图所示，虚线为变形前的位置，实线是变形后的位置，则下图正确示 切应变 的图是 。解：正确答案为〔D〕。 [A〕此图表示的该点只发生了刚体的转动，原来的方的，受力后仍然是方的，所以此图表示的切应变为 零。 [B]切应变是指直角的改变量，即受力前确定两条互相垂直的线段，受力后如果这两条线段的夹角发生 变化，那么这两条线段在直角范围内的改变量就是切应变，本选顶中原来的图形就不是两条互相垂直的 线段，因此图中所标的角度全部算作是切应变就不对了 [C]此图中的竖向线和水平线的位置都发生了变化，整个直角的变化量是 。三、实心圆轴的直径 d=100mm，长 l ? 1m ，其两端所受外力偶矩 14kN ? m ，材料的切变模量 G=80GPa。&&&&（1） （2） （3） （4） 解：四、图示传动轴，转速 n=200r/min，转向如图所示，2 轮为主动轮，输入功率 P2=60kW，1、3、4、5 为 从动轮，输出功率分别为 P ? 18kW ; P ? 12kW ; P4 ? 22kW ; P5 ? 8kW 。 1 3（1） （2）。（3） （4）关于此传动轴的扭矩图下面的几种说法中正确是 。 [A]2、3 轮之间的扭矩图发生突变，3、4 轮之间的扭矩图是水平线 [B]2、3 轮之间的扭矩图是水平线，绝对值最大的扭矩发生在 3、4 轮之间的轴段上 [C]2、3 轮之间的扭矩图是水平线，绝对值最大的扭矩发生在 2、3 轮之间的轴段上 [D]2、3 轮之间的扭矩图是斜直线，3 轮所在截面上的扭矩图发生突变 （5）设想另外有一根传动轴，主动轮 1 的功率为 20kN·m，两个从动轮 2 和 3 的功率依次为 12kN·m 和 8kN·m,则 3 个轮子在此传动轴上最佳的布置方案是 。&&&&同理可求出其它轴段上的扭矩。 全轴的轴力图如下图所示。从扭矩图中可以看出 2、3 轮之间的扭矩图为水平线，绝对值最大的扭矩发 生在 2、3 轮之间的轴段上，大小为一 2.86 kN·m。 另外传动轴上皮带轮位置应根据其功率的大小来进行分布，例如本题第 5 问中的三个皮带轮在传动 轴上最佳的布置方案是：其特点就是将功率大的皮带轮（一般是主动轮）安排在中央，这样可以使传动轴上扭矩比较小，否 则将功率大的皮带轮安排在轴的两端，那么紧邻该轮的传动轴上就会出现较大的扭矩。 五、（1） （2）&&&&（3） （4）， 在上式中分母上的最大切应力 ? 时，有：六、&&&&虽然第 1 段比第 2 段的扭矩大，但是第 1 段比第 2 段粗，因此无法直接判断哪段杆件上的切应力更 大一些，所以只有把两段杆件内的最大切应力全部算出来，再比较。&&&&七、图示圆杆，外力矩 M A ? 7.2kN ? m, M B ? 2.99kN ? m, M C ? 4.21kN ? m 。容许应力 [? ] ? 70MPa ，单位长弯曲应力作业（1）一、纯弯曲的 T 形截面铸铁梁，如图所示，其放置方式最合理的是 。&&&&解：正确答案为〔A〕。 首先〔C〕和〔D〕的效果肯定是一样的，他们与〔A〕和〔B〕相比，[C〕和〔D〕获得的惯性矩比 [A〕和〔B〕所能获得惯性矩小，因为[C〕和[D〕的材料大量集中的中性轴的附近，这部分材料对惯性 矩的贡献较小，所以[C〕和[D〕不是最合理的。 就〔A〕和[B]来比较，由于梁受到的是正弯矩的作用，此时梁的下部受拉，上部受压，考虑到铸铁 材料抗压性能远远优于其抗拉性能，因此梁的放置方案应尽量使梁的下部产生的较小拉应力，为此就必 须中性轴的位置篇向梁的下部，那么只有[A〕能够获得这种效果。二、&&&&解：1．正确答案为[B] 首先不论材料的拉压弹性模量是否相等，梁在发生弯曲变形时，平截面假定仍然成立，即变形前位 于同一个横截面上的点，变形后仍然保持在同一个横截面上，只是该截面在变形时绕中性轴转过了一个 微小的角度，从立面图上看就是原来处于垂直位置上的截面发生了倾斜。 选项〔D〕中描述的变形情况是，截面发生折断，与平截面假设和实际情况不符。 其次就要考虑受拉和受压区的大小问题。由于材料的拉压弹性模量不同，中性轴位 置的确定就不再遵循“为截面的形，白轴”的规律，对于矩形截面就意味着中性轴就 不再位于二分之一高度的位置上，因为中性划分出了受拉区和受压区，其大小必须保 证受拉区中拉应力的合力与受压区压应力的合力相等。由于材料的 Et ? Ea ，则由? ? E? 可知，同样大小的线应变产生的拉应力要比压应力大，因此受拉区必须比受压 区小，才能使拉压应力的总和相互抵消，如左图所示。故[A〕和[C〕均不对。 2．正确答案为[C]。 参照上一个问题的解释， 不难判断中性轴肯定不在二分之一高度的位置上， 故选项 〔A〕 和选顶 〔B〕 肯定不对，由于受压区应比受拉区大，即中性轴应该偏下，故选顶[D〕也不正确。三、（1）（2）（3） （4）（5）（6） （7）&&&&解：当移动载荷作用在 A 点时，在梁的 B 截面上产生最大的负弯矩，如图（2）所示，最大负弯矩的绝 对值：四、一铸铁梁受到两个集中力 P 作用如图所示，已知横截面对中性轴的惯性矩 I z ? 1 mm4 ，铸 铁的容许拉应力 [? l ] ? 30MPa ，允许压应力 [? a ] ? 90MPa 。试求梁的容许荷载[F]之值。2）计算应力&&&&C、D 截面上应力最大，由于材料的拉压强度不同，截面上下不对称，因此两个截面均需校核，而不 能仅对弯矩绝对值最大的 D 截面进行校核。 C 截面只需校核下表面的强度，由于该截面的弯矩小、上表面的距离也短，故上表面不会起控制作 用。上式中的 106 是将弯矩的单位由 kN ? m 化为 N ? mm 时产生的，这地方要特别小心。 D 截面上下表面的应力均需校核。 上表面有最大的拉应力：上式中的 106 是将弯矩的单位由 kN ? m 化为 N ? mm 时产生的，这地方要特别小心。 下表面有最大的拉应力：五、 矩形截面简支梁跨中受到集中力作用， 测得梁的 1/4 跨、 中性轴以下 h/4 的 D 处的纵向线应变为 ? ， 已知材料的弹性模量为 E，求集中力 F 的值。&&&&弯曲应力作业（2）一、 （1） （2） 若梁的横截面为直径为 d （中面直径） 厚度为 t 的薄壁圆环， 、 则横截面上的最大切应力 ? max = （3） 。二、试回答以下问题。 （1） 矩形截面梁其截面受负弯矩作用， 该横截面上的弯曲正应力在梁高度方向上的变化规律为。（2）矩形横截面梁截面上的弯曲切应力在梁高度方向上的变化规律为。&&&&（3）（4）T 形截面梁横截面上有竖直方向的剪力作用，则横截面上弯曲切应力的分布规律为。（5）T 形截面梁横截面上有竖直向上的剪力作用，则横截面上弯曲切应力的分布规律为。&&&&解： 1．正确答案为〔B〕。 弯曲正应力沿梁高方向呈三角形分布，中性轴处为零，上下边缘达到最大，故〔C〕肯定不对；又 由于截面上作用的负弯矩，故中性轴以上部分受拉，中性轴以下部分受压。 2．正确答案为[C]。 矩形截面梁横截面上的弯曲切应力沿梁高方向呈抛物线规律分布， 中性轴处最大， 上下表面处为零， 这一点正好与弯曲正应力相反。其它大多数截面，如 T 形和工字形截面梁横截面上的最大弯曲切应力也 都发生在中性轴处。 3．正确答案为〔c〕。 薄壁圆环截面上的弯曲切应力的分布呈以下几个特点： 1）沿壁厚方向近似为均匀分布； 2）方向与周边相切； 3）横截面上的剪力为竖直方向时，竖向对称轴两侧的切应力左右对称； 4）最大值发生在中性轴处，且上下与竖向对称轴重合的部分切应力为零。 4．正确答案为[A〕。 腹板上的切应力沿高度方向呈抛物线的规律分布，中性轴处达到最大，下边缘为零，但应注意顶板 与腹板的交界处的切应力不为零。另外顶板上的有水平切应力的作用，大小呈三角形规律变化，靠近腹 板处达到最大，从到顶板的悬臂边缘衰减为零。 5．正确答案为[C〕。 首先根据横截面上剪力的方向确定顺着剪力方位上的切应力的方向，由于本题横截面上的剪力是向上的， 因此腹板上切应力的方向就是向上的，故[A〕和[B〕肯定不对。然后再来确定顶板上与剪力方向垂直方 位上的切应力。由于弯曲切应力要在横截面上形成一种切应力流，因此，切应力顺着腹板从下面流到顶 板和腹板的交界处后应该向左右两侧分开。 三、槽型截面如图所示，受到竖直向下剪力的作用，试回答下面问题。图中尺寸单位为：mm。（1）腹板上 a 点的切应力方向为 [A]竖直向上。 [B]竖直向下。 [C]水平向左。 [D]水平向右。。&&&&（2）（3）（4）解：像槽型、工字型和 T 型等薄壁截面，弯曲剪力引起的切应力主要都是沿着薄壁狭长的方向，而壁厚 方向上的切应力可以略去不计。 1．正确答案为[B〕。 A 点位于截面的腹板部分，腹板上的切应力主要是顺着腹板方向的，而顺着剪力方向上的切应力方 向与剪力的方向相同，因此是竖直向下的。 2．正确答案为[B〕。 求 a 点处的切应加寸要用到的静矩可以有多种算法，比如可以求单根腹板（140mm 高，不包括顶板 和腹板交界处的那个小的正方形区域）对中性轴的面积矩，此时计算切应力公式分母上 b 应该用 10mm。 也可以求整块顶板（宽为 200mm）对中性轴的面积矩，因为这个静矩与下面的两块腹板对中性轴的 静矩是相同的，因此此时计算切应力公式分母上 b 应该用 20mm，即两块腹板的厚度。 还可以求整块顶板（宽为 200mm）和一块腹板对中性轴的面积矩之和，这个静矩与第一种方法求得 的静矩大小相等，但符号相反，因为这种方法取静矩的面积与第一种方法取静矩的面积加起来就是整个 槽型截面的面积，而整个槽型截面对中性轴的静矩等于 O。 所以选项中只有[B〕的算法是错误的。 3．正确答案为[D〕。 b 点位于截面的腹顶板部分，顶板上的切应力主要是顺着顶板方向的，顶板上的切应力与剪力方向 垂直，因此顶板上切应力的方向就要根据“应力流”的概念来确定了，由于腹板上的切应力向下流，由 此可知顶板上的切应力就必须从中间向两侧流，因此 b 点切应力的方向应该是水平向右的。 4．正确答案为[A〕。 求 b 点处的切应力时要用到的静矩也可以有多种算法，比如可以求单根腹板（150mm 高，包括顶板 和腹板交界处的那个小的正方形区域）对中性轴的面积矩。 也可以求顶板上从，轴到 b 点之间的面积（宽为 90mm）对中性轴的静矩，因为这块面积与第一种算 法中用到的面加起来就是右半个槽型截面，由于槽型截面是左右对称的，所以半个槽型截面对中性轴的 静矩为 0，因此这种算法得到的静矩与第一种方法得到的静矩大小相等，只是符号相反。 还可以求顶板（宽为 190mm，不包括点以右的部分）和左腹板对中性轴的面积矩之和，这个静矩与 第一种方法求得的静矩大小相等，但符号相反，因为这种方法取静矩的面积与第一种方法取静矩的面积 加起来就是整个槽型截面的面积，而整个槽型截面对中性轴的静矩等于 0。 所以选项中只有〔A〕的算法是错误的。&&&&四、图示矩形截面悬臂梁是用三块木板胶合而成的，在自由端作用有集中力 F，已知材料为红松，其弯 曲容许正应力 [? ] ? 10MPa ，容许切应力 [? ] ? 1.1MPa ；胶合缝的容许切应力 [?1 ] ? 0.35MPa ，试求该梁的 容许载荷[F]。注意：上式中的 106 是将弯矩的单位由 kN ? m 化为 N ? mm 时产生的，这地方要特别小心。注意：上式中的 106 是将弯矩的单位由 kN ? m 化为 N ? mm 时产生的，这地方要特别小心。梁弯曲时的位移作业（1）&&&&一、解：正确答案为〔D〕。 由梁的挠曲线近似微分方程 EIv?? ? ?M ( x) 可知： 1）弯矩的正负决定了挠曲函数的凹凸方向，在图示坐标系下，正弯矩区段的挠曲函数应该是向下 凸的，负弯矩区段的挠曲函数应该是向上凸的； 2）在弯矩为零的区段，挠曲函数为直线，即此梁段不发生弯曲变形；相反，在弯矩不为零的区段， 挠曲函数必定为曲线； 3）挠曲函数在弯矩为零的截面处出现反弯点。 对照上述规律： [A]和〔B〕：此梁同时有正负弯矩区，故其挠曲函数不应该是同一种凹凸方向，又由于梁上有弯矩 为零的截面，故挠曲函数还应该存在反弯点； [C]：此梁的挠曲线不应该存在直线段，因为对应区段的弯距并不为零。 二、 已知梁的抗弯刚度为 EI， 受力后的挠曲线函数为 y ? x4 ? 4 x3 ? 3x2 ? 4 ， 则该梁的弯矩方程 M(x)= 作用在梁上的均布载荷的集度为 q= 。 。三、&&&&（1）（2）&&&&四、利用积分法计算图示梁的挠曲线函数。（1） （2）对所有梁段的挠曲线微分方程积分后，总共产生 （3） （4）（5）个积分常数，因此需要寻找位移条件。 。解：本题所示的梁可以看成是悬臂梁 ABC 与外伸梁 CDEG 组成的，只是这里的外伸梁的其中一个铰支座 架在了悬臂梁的自由端。 用积分法求梁的挠曲线时要分成 AB、BC、CD、DE 和 EG 五段，分五段来写弯矩方程，当然也得分五 段来设挠曲函数。 求解每段挠曲线的微分方程时都要积分两次，因此总共得到 l0 个积分常数，因此就必须寻找 l0 个 位移条件来确定这 10 个积分常数。其中 B 和 D 两个截面处梁都是连续的，因此在这两个截面处都有位 移连续条件：C 截面有一个中间铰，此处只有挠度相等的连续条件，转角并不相等，即：E 截面有一个半铰，此处的梁是连续的，而没有断开，但是由于梁与支座相连，所以左右梁段的挠 曲函数到这个截面都必须为 O，但是转角并不为 O，而只是相等，因此此处的位移条件应该有三个：五、&&&&解：在已知的弯曲变形计算公式中只有计算悬臂梁自由端位移的公式，而没有计算悬臂梁中间截面的公 式，因此必须通过等效变换将原来的问题变成已有公式所适用的图式。为此只有 将 CB 段切掉，使 C 截面变成自由端，这样才能运用已有公式。但是在切掉 CB 段 的同时，必须注意要将原来作用在 CB 段上的载荷简化到切口 C 截面上，如下图所 示。 简化到切口 C 截面上的载荷其实也就是在切断之前 C 截面上的内力。 完成上述变换后，原来需要在 ACB 梁上来计算的 C 截面的挠度就可以改到在左图所示的悬臂梁上来 求 C 截面的挠度了。因此有：注意：计算 C 截面的各项变形时，计算长度应为 l / 2 。 六、&&&&截面的几何性质作业（1）一、解： 有两种解法， 一种是采用如下图所示的方法， 将扇形 OBC 沿 OC 边截下， 并将其补到 OAD 处，将该处缺少的一快扇形补全，这样得到图形仍然是一 个半圆形。由于在原来位置上扇形对 x 轴的惯性矩与在新的位置上扇形对 x 轴的惯性矩相等，故有：&&&&二、梯形截面，尺寸如图所示，单位为 mm。（1） （2） （3） （4）（5）&&&&三、试回答下面的问题。 （1）（2）（3） （4） 解：1．正确答案为[D〕。 当 x 或 y 轴当中有一根轴为截面的对称轴时， I xy ? 0 [A]截面有对称轴时，形心一定落在对称轴上，而且截面对此对称轴的静矩为零，但不能笼统地说 截面的静矩为零，因为截面对其它轴的静矩不为零。 [B]从极惯性矩的定义式可知，极惯性矩是指面积与到矩心距离的平方的乘积，其值恒为正，不可 能为零。 [C]从惯性矩的定义式可知，J 赓性矩是指面积与到取矩的轴的距离平方的乘积，其值恒为正，不可 能为零。 2．正确答案为[A〕。 过形心的轴都是形心轴，形心轴不见得是主轴，所以对两根互相垂直的形心轴的 J 赓性积不见得为 零，所以〔A〕是错误的。 [B]惯性积涉及到两根轴，这两根轴中只要有一根是对称轴，那么截面对包含这根对称轴在内两根 互相垂直的对称轴的惯性积一定为零，因此，本选项是正确的。&&&&[C]什么是主轴？主轴就是指惯性积为零的两根轴，因此，截面对两根互相垂直的主轴的惯性积一 定为零，故本选顶是正确的。 [D]正方形的任意一根形心轴都是主轴，因此，正方形截面对任意两根互相垂直形心轴的惯性积一 定为零，故本选项是正确的。 3．正确。 由平移公式可知，在一组平行的轴系中，截面对形心轴的惯性矩是最小的，因此不管是哪个方向， 截面都是对该方向上的形心轴的惯性矩是最小的，因此接下来只需要对过形心的不同方向轴的惯性矩进 行比较即可；由于过同一点的不同方向的坐标轴中，截面对主轴的主矩一个是其中的极小值，另一个是 极大值，由此可以肯定，较小的形心主矩是所有惯性矩中的最小值，但同时要注意较大的形心主矩并不 是所有惯性矩中的最大值。 4．错误。 分析见第 3 题。 四、注意：在计算半圆的惯性矩时，且不可直接将半圆对直径边的，惯性矩直接通过平移公式，计算对 z 轴惯性矩，而应首先求出半圆对过自身形心的轴的惯性矩，然后再向 z 轴平移。&&&&简单的超静定问题作业（1）一、（1） （2） （3） 何方程为 （4） 。 ，那么几解：该结构是一个一次超静定的结构，求解超静定结构的关键在于正确的列写平衡方程和几何方程，然 后将几何方程转换为补充方程。根据超静定的成因不同，列平衡方程和几何方程的思路和方法也不同， 要注意掌握其中的规律。 对于有刚性构件的结构，一般都是取刚性构件为隔离体，对刚性构件列平衡方程，因此有：对于有刚性构件的结构，几何方程应根据“变形协调”的思路去思考，即寻找由刚性构件确定出来 的变形规律。就本题而言，由对称性可知，结构受力后刚性梁将向下平动，因此可以得出几何方程为：当然有的同学会说，我能否把当成几何方程来列呢，虽然说这个条件也是结构变形和位移必须满足的条件，但是由于你已经利用了对称性，将此问题确定为一次超静定的结构，其实就已经利用 了：所以，此时再将当做几何方程来列，就没有用了。&&&&最后，如何三根杆件不仅材料和横截面面积相同，长度也相同，那么可以根据他们的变形量相等， 推论出他们轴力也相等，但由于此结构中③和其他两根杆件的长度不同，所以变形相同的情况下，车由 力并不相等，而因为：二、（1） （2） （3）三、图示超静定结构， （1）（2）两杆的拉压刚度均为 EA，AB 轴的直径为 d，材料切变模量为 G。 、&&&&（1）若○、○杆的变形量为 ?l ，AB 轴上 B 截面的扭转角为 ? ，则解此超静定结构所需要的几何方程 1 2 为 （2） （3） 解：这是一个一次超静定的问题。 可以将两根杆件与圆轴的连接处解开， 圆轴受到外力矩作用后发生扭转变形， 端面 B 发生如图 （2） 所示的转动，同时两根杆件受拉，发生伸长的变形。由图 （2）所示的变形可以列出几何方程： 。四 、图示为一两端固定的阶梯关圆轴，AC 段的极惯性矩为 I p1 ，CB 段的极惯性矩为 I p 2 。若在 C 截面作 用一集中力偶 M，试求 B 截面的反力偶矩 M B 。解：这是一个超静定结构，从归类来讲属于由多余支座引起的超静定，因此一般是解除多余的约束，例 如解除 B 截面的支座，并以其反力矩 M B 来代替，如下图所示： 其实，这个问题的解法与一个阶梯状的拉压两端固定的 情况是类似的，只不过内力由轴力变成扭矩，变形由伸缩量 变成了扭转角。按照由多余支座引起的超静定问题的解法可 知，这个间题的几何方程为被解除约束的支座截面的变形为 零，即：接下来的任务是要利用扭转胡克定律，将上述几何方程转换成补充方程，也即要求出上式中阶梯状 圆轴在外力偶和反力矩的共同作用下 B 截面的转角：&&&&五、图示钢杆 CD 和 EF 的长度和横截面面积分别相同。结构示受力时，刚性杆 AB 位于水平位置。已知F ? 73 ?103 N ，每根钢杆的横截面面积 A ? 1351mm2 ，试求两杆的轴力和横截面上的正应力。解：该问题属于一次超静定问题。六 、两端固定的阶梯关钢杆，粗细两段的横截面面积分别为 A1 ? 600mm2 ， A2 ? 300mm2 ， F1 ? 43kN ，F2 ? 21kN ，材料的弹性模量 E=210GPa。试求 AD、DC 和 CB 段轴力 FN 1 、 FN 2 和 FN 3 。 （要求：解除右端的固定支座，并以支座反力 FB 为基本未知数。）&&&&应力状态和强度理论作业（1）一、对于一点的应力状态，有＿。 [A]最大正应力作用面上的切应力为零 [B]最大切应力作用面上的正应力为零 [C]两个斜截面上切应力大小相等、符号相反，则这两个斜截面互相垂直 [D]两个互相垂直的斜截面上的正应力之和为定值 解：正确答案为【A】 最大正应力肯定是主应力，而主应力就是指作用在主平面上的正应力，主平面就是切应力为零的斜 截面，所以最大正应力作用面上的切应力一定为零。 〔B〕在三向应力圆中，由第一和第三主应力构成的、最大的那个应力圆圆周的最高点代表的就是最 大切应力作用截面，由于应力圆在水平方向上的位置可以是任意的，所以一般情况下这个最大切应力作 用截面上的正应力（横坐标）不会为零的，除非大圆的圆心正好于坐标原点 重合。 [C]根据切应力互等定理， 两个互相垂直的斜截面上的切应力大小相等， 符号相反，但是反过来说并不成立，如下图所示，位于虚线与应力圆圆周上 下两个交点处的截面上，切应力大小相等，符号相反，但是 a.b 代表的两个 斜截面并不垂直。 [D]两个互相垂直的斜截面上的正应力之和为定值的关系非常有用， 但是 这个特殊关系的成立是有条件的，那就是这两个斜截面必须位于同一个应力 圆的圆周上，因为此时这两个互相垂直的斜截面正好位于这个应力圆的某一 根直径的两个端点上，其正应力之和正好是该应力圆圆心坐标的两倍，所以 是定值。但是，两个互相垂直的斜截面不在同一个应力圆的圆周上，例如下 图中的主单元体，那么就没有正应力之和为定值关系，例如：&&&&因为第一主平面和第二主平面在一个应力圆的圆周上，而第三主平面则在另外的一个应力圆的圆周 上，所以就没有正应力之和为定值关系了。 二 、受力体内一点的应力状态如图所示，应力单位为 MPa。（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 解：利用公式法求斜截面上的应力时要注意各个应力分量和斜截面的符号。? x 是指起始截面，即 ? ? 0? 截面上的切应力，在图示应力状态中，一般也就是将单元体的右侧面作为起始南，因此本题中的 ? x 是负的。另外，倾角 ? 是相对于起始面定义的，图中标出的 600 是相对于水 平截面的，因此这个 600 不是斜截面 ab 的倾角，斜截面 ab 可以看成是从初始面铅垂面开始顺时针旋转 300 得到的，所以斜截面 ab 的倾角是-300。主应力由专门的计算公式，另外由应力圆也可知，主应力等于圆心的横坐标±应力圆半径。另外要 注意，主应力一定要给三个，其下标 l、2 和 3 要按照代数值的大小来排列，代数值最大的主应力应命 名为第一主应力。 三 、关于广义胡克定律，回答以下问题。&&&&（1）图示任意的平面应力状态， ? 3 ? 0 ，已知第一和第二主应力方向上的线应变为 ? 1 和 ? 2 ，材料的弹性模量为 E，横向变形因数为 v ，则有 。（2）（3）解：[A]这是一个常见的错误，某一个方向上的正应力为零就误认为这个方向上的线应变也为零，其实 不然。根据横向变形效应可知，一个方向的正应力不仅在这个方向上引起线应变，同时还在与这个方向 垂直的方向上产生变形。 [B]这是最没有道理的一个答案，肯定是老师为了揍够四个选顶编造出来的，你想把两个互相垂直 方向的线应变加起来是什么东西！ [C]这是一个有点意思的选顶，因为从形式上看，该算法包含了类似于横向变形效应的概念。但是 要知道横向变形效应的计算模式是一个单向应力状态的模式，即如下图所示，在水平方向上的&&&&但是如果不是单向应力，例如像本题中的平面应力状态，就只能说从变形的机理上仍然存在横向变 形效应，但是上述算法已不成立。 2．正确答案为[D〕。 这是广义胡克定律中非常核心的概念之一，就是某一个方向上的线应变一定与两个互相垂直方向的 正应力有关（如果是三向应力状态就与三个互相垂直方向的正应力有关），一个是顺着计算线应变方向 上的正应力，比如本题就是 300 方向的正应力，另一个就是与计算线应变垂直方向上的正应力，比如本 题就是一 600 方向的正应力。 [A]计算的只是 ? 作用方向（水平方向）上的线应变。 [B]这是一个横向变形效应，计算是 900 方向上的线应变。 [C]这个选项虽然考虑到用计算线应变方向上的正应力了，但是还漏掉了一顶。 3．正确答案〔B〕和〔D〕。四 、（1） （2） （3） （4） （5）像本题中的平面应力状态这样，如果只有一个方向有正应力，而另一个方向的正应力为零，那么第 一和第三主应力肯定是一正一负，而第二主应力肯定为零。&&&&五、在图示 28a 号工字钢梁的中性层上 K 点处，与轴线成 450 方向贴有应变片，令测得 ? 45? ? ?2.1?10?4 。由于 K 点位于梁的中性层上，弯曲正应力为零，帮 K 点的应力状态为纯剪应力状态，如下图所示：（1）代入（1）式，从中可以解出梁所承受的载荷 F。&&&&六 、 今测得图示钢拉杆 C 点处与水平线夹角为 300 方向的线应变 ? ?30? ? 848 ?10?6 。 已知 E ? 200 ?103 MPa ，注意：这个题目最容易出现的问题是将 ? ?30? 直接与横截面的正应力 ? 建立胡克定律关系。另外，与 600 方向垂直的方向是-300，而不是-600 。还有，600 和-300 方向上的正应力与横截面上 ? 和 ? 的关系不是 ? / 2 ?? 。应力状态和强度理论作业（2）一 、关于强度理论，回答下面问题。 （1）低碳钢构件内一点的应力状态如图所示，已知 ? ? ? ，则用第三强度理论校核该点强度时的强度条 件为 。（2）低碳钢构件内一点的应力状态如图所示，已知 ? ? ? ，则用第三强度理论校核该点强度时的强度条 件为 。&&&&解：1．正确答案为〔E〕。 由于该单元体上同时有正应力和切应力作用，因此不能通过分别校核正应力和切应力强度的方法来 校核该点的强度，所以[A〕、〔B〕和〔D〕肯定不对。 又由于该单元体左右两个侧面上役有应力，所以该点肯定不是三向应力状态，故可以直接用作用在 单元体上的正应力和切应力来计算相当应力，即：2．正确答案为[C〕。 由于该单元体上同时有正应力和切应力作用，因此不能通过分别校核正应力和切应力强度的方法来 校核该点的强度，所以[A]、〔B〕和〔D〕肯定不对。又由于该点是一个三向应力状态，所以不可直接 用作用在单元体上的正应力和切应力来计算相当应力，即：&&&&二 、根据要求回答问题： （1）从轴向拉伸或受正弯矩作用的梁的下表面取出一点的应力状态如下图所示，则 。 [A]该应力状态的应力圆关于 ? 轴左右对称，且第一主应力等于 O [B〕该应力状态的应力圆关于 ? 轴左右对称，且第一主应力等于 ? [C〕该应力状态的应力圆与 ? 轴相切，且第一主应力等于 0 [D〕该应力状态的应力圆与 ? 轴相切，且第一主应力等于 ? （2）从轴向压缩或受正弯矩作用的梁的上表面取出一点的应力状态如下图所示，则 。 [A]该应力状态的应力圆关于 ? 轴左右对称，且第一主应力等于 O [B〕该应力状态的应力圆关于 ? 轴左右对称，且第一主应力等于 ? [C〕该应力状态的应力圆与 ? 轴相切，且第一主应力等于 0 [D〕该应力状态的应力圆与 ? 轴相切，且第一主应力等于 ? （3）从扭转或梁的中性层处取出一点的应力状态如下图所示，则 。 [A]该应力状态的应力圆关于 ? 轴左右对称，且第一主应力等于 O [B〕该应力状态的应力圆关于 ? 轴左右对称，且第一主应力等于 ? [C〕该应力状态的应力圆与 ? 轴相切，且第一主应力等于 0 [D〕该应力状态的应力圆与 ? 轴相切，且第一主应力等于 ? （4）当梁横截面上弯矩和剪力均不为零时，从上下表面和中性层以外的部位处取出一点的应力状态如 下图所示，则 。解：本题列举的是发生拉压、扭转和弯曲几种基本变形的构件内取出的应力状态，这些应力状态虽然简 单，但非常有代表性，而且也很常用，因此大家对与这些应力状态对应的应力圆的位置以及主应力的大 小应该有一个比较明确的认识。 1．正确答案为：D。 相应的应力圆如图（1）所示，特点是与 ? 轴相切，整个应力圆全部在 ? 轴的右侧，这就表明这个单元体 的所有斜截面上都不会出现压应力，而只有拉应力存在。且一个主应力不为零，两个主应力为零，故为 单向应力状态。&&&&2．正确答案为：C。 相应的应力圆如图（2）所示，特点是与 ? 轴相切，整个应力圆全部在 ? 轴的左侧，这就表明这个单 元体的所有斜截面上都不会出现拉应力， 而只有压应力存在。 由于一个主应力不为零， 两个主应力为零， 故也是单向应力状态。 3．正确答案为：B。 相应的应力圆如图（3）所示，特点是应力圆关于 ? 轴左右对称，两个主应力不为零，一个主应力为 零，故为平面应力状态。由于这个单元体上下左右四个面上只有切应力、没有正应力，因此这种应力状 态又称为纯“剪应力状态”，但是要注意“纯剪应力状态”只是反映了单元体上作用的应力的特点，它 不是除单向、平面和空间（三向）应力状态之外的第四种应力状态。 4．正确答案为：C。 这个应力状态非常常见，除了发生横力弯曲的梁中取出一点的应力状态之外，发生拉（压）扭组合 和弯矩组合变形的构件中取出一点的应力状态也是这样的，其特点是四个面上只在一对面（一个方向） 上作用有正应力， 而在另一对面 （另一个方向） 上没有正应力作用。 与这种应力状态对应的应力圆与 ? 轴 是相割的，如图（4）所示，应力圆同时分布在 ? 轴的左右两侧，这就表明这种单元体的不同斜截面上作 用的正应力有的是拉应力，有的是压应力。 三 、一简支钢梁受力如图所示，已知材料的许用应力为 [? ] ? 170MPa 。试用第四强度理论校核集中力 作用截面上 a 点的强度。&&&&组合变形作业（1）一 、解：正确答案为〔c〕。 [A]和[B]y 轴和 z 轴是矩形截面的主轴，当矩形截面梁发生斜弯曲时，中性轴与主轴是不重合的， [D]根据外力 F 的方位可以判断出来该矩形截面受到的弯矩的力偶矢是与外力厂垂直的，因此，不 难判断中性轴不会与外力 F 的作用线重合，因为中性轴是梁发生弯曲变形时，截面将饶其转动的轴。二 、&&&&三 、试回答如下问题。 （1）（2）圆截面梁受弯如图所示，梁横截面的直径为 d，点 a 到 y 轴和 z 轴的距离分别为 a y 和 a z ，则 a 点 的弯曲正应力为 。（3）圆截面梁受弯如图所示，在下面计算横截面上最大的弯曲正应力方法中，错误的是。（4）边长为 2a 的正方形受弯如图所示，则下面计算横截面上最大正应力方法中错误的是。&&&&解：1．正确答案为〔A〕。 [B]应力计算公式下面的惯性矩或截面弯曲系数都应该是对中性轴的，用右手螺旋法则不难判断出 M y 作 用时 y 轴是中性轴，所以分母下面要用 Wy ， M z 作用时 z 轴是中性轴，分母下面要用 Wz 。 [C] M y 和 M z 是两个互相垂直的力偶矢，把它们加起来是什么东西呢？ [D]M 是作用在这个截面上的总弯矩，其方向与 y 轴或者 z 轴均不重合，我们从来没有研究过任意方向弯 矩作用下弯曲正应力的计算， 我们只研究过力偶作用在纵向对称平面内时弯曲正应力的计算方法， 因此， 我们遇到本题中任意方向上的作用弯矩时，我们首先将其分解到两个主轴方向上去，这样我们就可以利 用以前学过的知识来计算了。 切记：矩形截面不能用总弯矩来计算正应力，而要采用分解、组合和叠加的方法来计算。 2.正确答案为[A]3.正确答案为[A]4.正确答案为[E]&&&&四 、结构受力如图所示，AB 为矩形截面梁，试回答下面问题。（1）（2）（3）（4）某矩形截面受到偏心压力的作用，如图所示。为了使横截面上的中性轴与横截面的周边相切，则 压力作用点的偏心矩 e= 。&&&&解：1.正确答案为[C] 在集中力 F 的作用下，BC 杆受压，同时 BC 杆又反过来施加在 AB 梁一个向右的水平分力，这样就下，最大拉压应力分别产生于矩形截面下边缘和上边缘，而轴向拉力产生的是均匀分布的应力，因此叠 加后使下边缘的拉应力进一步增大，而压应力被抵消一部分，所以危险点位于危险截面下边缘，而且该 点的应力为拉应力。 3.正确答案为〔D〕。 本题中的梁在外力材口偏心拉力的作用下产生的弯曲都是平面弯曲，平面弯曲与拉压变形叠加后只 是使横截面上的中性轴由单纯平面弯曲时与主轴重合的位置上向一侧平移，因此本题横截面上的中性轴 应该是不过横截面的形心，但与主轴平行。 4.此问与前面的问题无关。 要使横截面上的中性轴与截面的周边相切，也就是要使横截面周边处的正应力为零。设作用在横截 面上的偏心压力为 F，则横截面上的内力为：五 、由木材制成的矩形截面悬壁梁，已知 F1 ? 1.8 ?103 N ， F2 ? 0.9 ?103 N ， b ? 61mm ， h ? 186mm ，E ? 1?104 MPa ， l ? 1?103 mm 。试求横截面上的最大正应力及其作用点的位置，并求梁的最大挠度。&&&&组合变形作业（2）&&&&一 、（1） （2） （3）（4）解： 在竖向外力 F1 的作用下， 立柱发生偏心压缩， 此时每个截面的受力都相同； 在侧向外力 F2 的作用下， 立柱的根部截面受力最大，因此在 F1 和 F2 的共同作用下，根部截面是危险截面。 立柱根部截面上的内力为：二 、d 。 。&&&&（1） （2） （3）（4）&&&&由于危险截面上的危险点是平面应力状态，如图所示，正应力由弯矩产生，切应力由扭矩产生，所 以如果用第三强度理论校核，那么其相当应力为：以上我们用相当弯矩的形式表示了第三强度理论的相当应力，但要特别注意当横截面上有轴力作用 时，除非你能证明轴力引起的正应力相对于弯矩引起的正应力来讲，小到可以略去不计，否则就要用横 截面上应力的形式来表示第三强度理论的相当应力，即：再一个要注意的地方就是用相当弯矩来计算相当应力时，分母下面的 W 是圆截面的弯曲截面系数， 即：三 、（1） （2） （3） （4）&&&&2）将水平外力的轴线位置，附加力矩使梁发生扭转，两轮之间轴段上的扭矩可以用作用在轮 1 或轮 2 上的水平外力来计算，从两个轮子上计算得到的扭矩应该是一样的。四 、关于弯曲中心的概念回答以下问题。 （1）&&&&（2）（3）解：对这类问题的回答要包含以下两方面的内容： 1．构件肯定发生了弯曲，只是要判断出是平面弯曲还是斜弯曲，判断的原则是外力的作用线是否 平行于（不必与形心主轴重合）横截面的形心主轴，如果平行于（不必与形心主轴重合）形心主轴，那 么就发生平面弯曲，如果与主轴斜交那么就要发生斜弯曲了。显然，要完成上述判断就必须能够确定各 种常见的几何图形形心主轴的位置，特别要注意圆和正多边形的特殊情况。 2．构件在发生弯曲的同时是否还发生了扭转，判断的原则是外力的作用线是否通过了横截面的弯 曲中心，如果通过弯曲中心，那么构件就不发生扭转，反之亦反。显然，要完成第二项判断就必须知道 各种常见几何图形的弯曲中心在什么位置，特别要注意大多数开口薄壁构件，其横截面的弯曲中心与形 心不在同一个点上。 1．正确答案为：D。 力的作用线与形心主轴斜交， 故发生斜弯曲， 同时力的作用线通过的是形心， 而役有通过弯曲中心， 因此该梁发生斜弯曲＋扭转。T 形截面的弯曲中心在翼缘中心线与腹板中心线的交点处。 2．正确答案为：A。 力的作用线与形心主轴平行，故发生平面弯曲，同时力的作用线通过了横截面的弯曲中心，因此该 梁只发生平面。 3．正确答案为：C。 力的作用线与形心主轴平行，故发生平面弯曲，同时力的作用线通过的是形心，而没有通过弯曲中 心，因此该梁发生平面弯曲＋扭转。 常见的横截面如工字形、槽形、Z 字形、圆形、开口薄壁圆环等等，要知道它们的弯曲中心的位置 五 、水轮发电机组的卡环的尺寸如图所示。已知轴向荷载 F ?
N ，卡环材料的容许剪应力[? ] ? 80MPa ，容许挤压应力 [? ] ? 150MPa 。试对卡环进行强度校核。&&&&解：求解本题目的关键在于看懂卡环的构造和工作原理，卡环的内侧卡在轴的凹槽（高度为 40mm）中， 外侧架在推力头上，当轴收到向向下的拉力州乍用时，卡环将轴牢牢地卡死在推力头上。 卡环的受力分挤压和剪切两个方面，其上表面（左图中灰色无阴影部分）受 到轴的凹槽以上部分 （高度 40mm 以上部分） 的挤压， 挤压面的形状是一个圆环，故： 卡环卡在轴的凹槽中的部分（上图中灰色无阴影部分）在 F 力的作用下有向下移动的趋势，而卡环 被推力头向上托住的部分（上图中绿色部分）则固定不动，因此在上图中卡环灰色和绿色部分交界处的 圆柱面受到剪切作用，故：六 、图示螺栓连接，已知 d=80mm，t=10mm，d=19mm，螺栓的容许切应力 [? ] ? 132MPa ，容许挤压应力[? C ] ? 300MPa ，容许拉应力 [? ] ? 170MPa 。&&&&解：1）螺栓的抗剪强度 由于力 F 的作用线通过了螺栓群的几何中心，故每根螺栓所承担的力相同。 又由于这是一个“搭接”的接头，因此每个螺栓只有一个剪切面，因此每个螺栓承受的剪力为：注意：如果是一个“夹接”的接头，那么每个螺栓这又少两个剪切面，每个剪切面的剪力就只有上述值 的一半。注意： 如果是一个 “夹接” 的接头， 那么就会又多个挤压面， 作用在每个挤压面的面积和挤压力都不同。七 、两矩形截面木杆，用两块钢板连接如图示。截面宽度（垂直于纸面）b=2O2mm，沿木杆顺纹方向承 受轴向拉力 F=69x103N，木材顺纹容许挤压应力 [? C ] ? 20MPa ，顺纹容许剪应力 [? ] ? 1.1MPa 。&&&&八 、受拉构件形状如图所示，己知截面的尺寸为 40mmX10mm，通过轴线的拉力 F=12kN，现拉杆开有切 口，如不计应力集中的影响，试求横截面上的最大正应力。解：外力 F 对于未切口的部分属于轴向载荷，这些部分产生的变形就是简单轴向拉伸，但是对于切口部 分，由于横截面的中性轴上移，使得外力刀寸切口截面成为偏心拉力。 此时切口横截面上的内力为：九 、矩形截面立柱受力如图所示，测得 K 点处沿 450 方向的线应变为 ? ?45? ，材料的弹性模量为 E，横向 变形系数为 v，试求拉力 F&&&&解： 此立柱受到的是偏心拉伸的作用， 点所在横截面上的内力 K （此立柱其余横截面的受力都一样） 为：十、&&&&压杆稳定作业（１）一、 〔A〕理想中心压杆失稳是指在临界力作用下压杆不能保持直线平衡状态 〔B〕理想中心压杆失稳是指在临界力作用下压杆不能保持稳定的、唯一的直线平衡状态 〔C〕理想中心压杆在大于或等于临界力的轴向压力作用下将失去稳定性 〔D〕理想中心压杆有无数多个欧拉临界力&&&&解：正确答案为〔B〕。 [A〕 在临界力作用下压杆仍能保持直线平衡状态， 只是失稳时直线平衡状态不再是压杆唯一的平衡状态， 此时压杆还可以在微弯的曲线状态下保持平衡。 [C]从实际的工程角度来看，压杆两端受到的轴向压力逐渐接近临界力时，压杆在横向干扰力、初始偏 心或初曲率的作用下，无法保持在直线状态下保持平衡，压杆处于压弯组合变形状态下，随着弯曲变形 的不断加大， 将很快失去承载力， 所以从实际的工程角度来看， 压杆所能承受的压力不可能超过临界力， 就像杆件受拉达到强度极限时就被拉断了，此时再讨论超过强度极限的拉力是没有任何意义的。 [D〕从理论上讲能够使压杆失稳的特殊压力值力是一些孤立的和不连续的，当压杆两端施加的压力等于 这些特殊的压力值时都将使压杆处于失稳状态，但是欧拉临界力定义的就是这些特殊压力值中最小的一 个，大于欧拉临界力的其它特殊压力值没有实际意义，而且在这些特殊值作用下材料一般都已经超过了 屈服极限。 二 、（１）（２）解：两端为球形铰支时，压杆失稳时截面将绕着横截面上较弱的形心主轴转动，因此横截面上较弱的那 根形心主轴就是横截面上的中性轴。 所谓的“较弱的轴”就是指惯性矩较小的形心主轴，简称为弱轴。 1．正确答案为〔A〕和〔D〕。 [A]由于正多边形（包括正方形）对其任意一根形心轴惯性矩都相等，所以正多边形过形心所有轴的强 弱程度都相同，因此正多边形横截面的压杆失稳时其任意一根形心轴都可能成为中性轴。 [B]和〔C〕y 轴和 z 轴为这两种横截面的形心主轴，但是这两种横截面上的 y 轴是弱轴，所以横截面上 的中性轴为 y 轴。 [E]和〔F〕压杆失稳时横截面上的中性轴一定是横截面上的形心主轴，而这两个横截面上的 y 轴和 z 轴 都不是形心主轴，因此这两个选顶都不对： 2．正确答案为〔A〕、〔B〕和〔C〕。 这个问题的答案与上一个问题正好相反，因为压杆失稳时横截面将绕弱轴转动，特别要注意挠曲平 面此时与弱轴是垂直的，那么正好挠曲平面将横截面上的强轴包含在内。如图所示，矩形截面上 z 轴为&&&&中性轴，失稳时横截面将绕该轴转动，此时压杆的轴线（图中黑色的虚线）变成了曲线 （蓝色的虚线），显然挠曲平面将横截面上的强轴是包含在内。 当然要注意正多边形截面比较特殊，由于所有形心轴的强弱程度相同，所以任意一 根形心轴都可能成为中性轴，也都可能包含在挠曲平面内，所以〔A〕选顶也是对的。 对于〔E〕和〔F〕来讲，由于 y 轴和 z 轴不是横界面的形心主轴，因此这两根轴即不是 横界面上最强的轴，也不是最弱的轴，因此这两个选项都不对。三 、（1）（2）解：由于各压杆的材料、长度及弯曲刚度均相同，所以压杆临界力的大小就取决于约束条件了，约束越 强，临界力越大，反之亦反。 由于〔A〕、〔B〕和〔D〕的下端均为最强的约束固定端，因此临界力最大的压杆肯定从它们三个 之间选出，这三根杆上端的约束条件相比，〔B〕为自由端，故临界力最大的压杆将从〔A〕和〔D〕中 选出，[A]和[D]相比，前者是弹簧支撑，允许杆端有一定的水平位移，而后者是铰支座，不允许杆端发 生水平位移，因此〔D〕的约束是最强的，所以[D〕的临界力最大。 [B]和〔C〕的上端都是自由端，所以临界力最小的压杆肯定从[B〕和[C〕中选出，由于[B〕的下端 是最强大的固定端，而后者的下端连着一段水平杆件，虽然角点处有一个固定铰支座，它不允许杆端发 生任何线位移， 但由于水平杆件可以发生一定的弯曲变形， 因此， [C]的下端截面能够发生一定的转动， 因此其其约束强度肯定比固定端弱，相当于一种弹性约束，所以[C〕的临界力最小。 四 、试回答以下几个问题。 （1）（2）关于柔度 ? ，正确的说法是。&&&&（3）（1） 正确答案为[B]（2） 正确答案为[B]（3） 正确答案为[B]五 、图示连杆材料为 Q235 钢，E=206GPa， ? p ? 200MPa ，在 xy 平面内，长度因素 ? z ? 1 ；在 xz 平面 内 ? y ? 0.8 。试求此连杆的临界力。&&&&能量法（作业一）一、图示杆件的拉压风度为 EA，则杆内积聚的应变能 V? ? 。&&&&解：正确答案为〔B〕。 [A]这个选项采用的算法是对载荷进行分组叠加，但是由于应变能与外力之间不是线性关系，而是平方 的关系，所以切记应变能不能对外力进行分组叠加。 [C]和 〔D〕 这两个选项都包含了一个平移外部载荷的过程， 这是不允许的， 因为将载荷沿作用方向平移， 虽然不会改变平衡状态，但是会改变构件的内力、变形和内部积聚的应变能。 二、如图所示的悬壁梁在 1 和 2 两个截面受到集中力 F 的作用，设 1 和 2 两个横截面的挠度分别为 w1 和w2 ，杆件内的应变能为 V? ，则?V? = ?F。解：当结构上有两个载荷同名，而这个载荷又为与所求广义位移相对应的广义力时，本应将这两个同名 的广义力区分为不同名广义力。但是如果没有区分，而直接对这个同名的广义力求偏导，那么其结果完 全不同。三、 图示结构受到均布载荷作用。 杆内的应变能为 V? BC = BC 结构内总的应变能为 V? = 。。 杆内的应变能为 V? AB = AB。解：BC 杆的轴力：&&&&四、刚架受力如图所示，略去拉压和剪切应变能，试求 A 截面的竖向线位移 w 和角位移 ? 。（为方便起 见，将 w 和 ? 放在一起，一次求出。）解：与 A 截面的竖向位移对应的广义力就是该截面上作用的竖向集中力 F，由于该集中力与 F 截面上的 水平外力同名，所以应将两个外力区分开来，不妨将作用在 A 截面上的外力设为 FA 。 为了计算 A 截面的角位移，在 A 截面上添加一个虚拟力矩 M 0 。求各段的弯矩方程及其对广义力的 偏导数： BC 段：将弯矩方程及其广义力的偏导数代入积分表达式之前，最好先恢复同名载荷的名称，并将添加的虚拟广 义力恢复为 0，这样就简化积分运算了。&&&&这道题最大的看点有两个，一个区分同名广义力 F．另一个是添加虚拟广义力 M0 这道题最容易出的错也是两个，一个是没有对同名载荷 F 进行区分，第二个就是没有注意两段杆件 的弯曲刚度不同。 五、图示刚架，所有梁段的弯曲刚度均为 EI，略去拉压和剪切应变能。试求 C 铰左右两个截面的相对转 角? 。解：两个截面的相对扭转角也是一种广义位移，与这种广义位移相对的广义力是作用在这两个截面上大 小相等、 方向相反的一对力偶 M 0 ， 如下图所示。 由于这上一个对称的问题， 和 B 支座的竖向反力相等， A 故：&&&&求出结果为负值，说明两截面转动的方向相反。 这道题最大的看点有两个，一个如何为两个截面角相对线位移或角位移添加虚拟广义力，另一个就 是根据平衡求得的反力中所包含的广义力不用区分。 最容易出的问题： 1．不知道与相对线位移或相对角位移相对应的是一对集中力或一对集中力偶． 2．不会分析上述刚架的内力，不会求弯矩方程． 3．没有注意到两段杆件的长度不同，积分限应该是不一样的。