从奥数到高中数学竞赛，大家有什么想问的?
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lz从小学五年级到高二一直是忠贞的数学竞赛dang，和一些进国家集训队以及国家队的师哥比较熟悉，至于昨天那个15分钟高考数学135，事实上，对于难度适中的高考数学卷子，如果不写过程只心算答案，15分钟都不用，而且至少是145 ，只是解析几何会费一些时间，压轴题如果是那种新概念题型对于学竞赛的学生根本不废时间，因为新概念很多都是从数竞中提炼的。其他题都是几秒钟做出来，如果按考试标准写过程，15分钟不太现实。
这些回帖亮了
引用3楼 @ 发表的:
问出这种问题。。。数体教？
引用4楼 @ 发表的:
兄弟盘活了这个帖子
是周啊！！！
引用10楼 @ 发表的:
是周啊！！！
最漂亮的反转哈哈哈哈哈哈
引用2楼 @ 发表的:圆周率倒数第二位是什么？
问出这种问题。。。数体教？
发自手机虎扑
为什么楼主会玩虎扑
圆周率倒数第二位是什么？
引用2楼 @ 发表的:圆周率倒数第二位是什么？
问出这种问题。。。数体教？
发自手机虎扑
引用2楼 @发表的：圆周率倒数第二位是什么？兄弟盘活了这个帖子
请问有什么办法提高数学成绩吗？
发自手机虎扑
引用1楼 @发表的：为什么楼主会玩虎扑我们班是该省前三水平的理科实验班，半个班男生玩虎扑，打球的基本都玩
引用5楼 @发表的：
请问有什么办法提高数学成绩吗？练的同时思考
楼主帖子里的每一个字都让我觉得头大，尤其是“数学”这两个字。
没什么想问的。
引用3楼 @ 发表的:
问出这种问题。。。数体教？
引用4楼 @ 发表的:
兄弟盘活了这个帖子
是周啊！！！
干过数学老师吗！
以后出国还是国内发展？
发自手机虎扑
楼主小心步行街广大高考数学吹
他们一直信奉:高考数学最后一题可是大学数学教授都不一定会做的哦！！！！！
吹牛逼都不上税，我出5000我随便在高中抽张卷子15分能靠135出来。
发自手机虎扑
引用13楼 @发表的：楼主小心步行街广大高考数学吹
他们一直信奉:高考数学最后一题可是大学数学教授都不一定会做的哦！！！！！哈哈，每个人都有不精的学术，就像我英语常年在及格线徘徊
引用12楼 @发表的：
以后出国还是国内发展？学竞赛最终研究数学的还是少数，大家都更想学金融数学，毕竟7位年薪，国内外都可以，但我不喜欢一个人在国外的感觉，我会选择在国内生活
引用10楼 @ 发表的:
是周啊！！！
最漂亮的反转哈哈哈哈哈哈
麻痹 奥林匹克高级教练 常年带高三班数学的 经过无数分数学试题冼礼并且讲解的都不敢说15分钟能135说保守45分钟左右搞定。 老吹什么吹 偶尔闪光说一分钟解开大题这个有。但是说的几条大题都一分钟秒开，呵呵 *河蟹*
发自手机虎扑
引用11楼 @发表的：干过数学老师吗！果然是虎扑…
几秒钟做出来。吹牛也要有个底线吧？
发自手机虎扑
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108人参加识货团购199.00元特级教师、优秀教师的教案、教例分析
直线与平面垂直的定义及判定
江苏省睢宁高级中学黄安成
教案例描述
1.从熟知的生活中的事物中提炼、概括出直线与平面垂直的定义和判定定理，进而结合
图形用抽象化的数学语言总结、表述出这些内容；
2.培养学生的抽象概括、思辩论证的理性精神和迅速认识事物本质的直观能力；
3.通过数学知识的形成与实际应用使学生认识到真理来源于实践，并应用于实践的这一
哲学理念；
4.培养学生的数学观念，能自觉地运用“数学地”思维方式观察世界、分析事物、解决问
题，并在此过程中提高学习数学的兴趣.
教学目标是教师预期的，在教学过程中自然实现的内容.掩盖教育意图是实现教育意图最好的途径，也
是科学加艺术的教育技艺的体现，所以笔者一向不采用在进行新课前将这些内容展示给学生的做法，而是
在教学过程中于不知不觉间实现这些目标
我们生活在三维空间中，对直线和平面是非常熟悉的，就拿学校旗坛中的旗杆来说，
它与地面的关系给我们的印象是“互相垂直”的，请大家再列举一些生活中“直线与平面垂直”
的具体事例，….
不过我们现在要用数学的眼光来观察、分析、研究这些事物，将旗杆（是许多事物的
代表）看成直线
，将地面（也是许多事物的代表）看成平面
，今天就来研究直线
垂直的有关知识.
2.进行新课
如图1，直线
代表旗杆，平面
代表地面，那么你
内的直线有什么关系？
学生利用生活经验和以前的知识完全可以判断是“互相垂直”关系.在引言部分指出将“旗杆看成直线
将地面看成平面
”，但现在面对抽象图形反过又来又将直线
看成旗杆，将平面
看成地面，意图是运用
抽象与具体的结合，引导学生平稳而迅速地完成抽象与具体之间的相互转换.在教学中，教者试图用三角板
来度量从而判断
内的直线是否垂直，学生往往会发出会意的笑声，教者说：“是的，立体几何中直线
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(北师大版)高中数学选修2―3全套教案(精华版)
（北师大版）高中数学选修 2―3 全套教案（精）陕西 省蒲城县第 三 高 级 中 学 刘 文 杰选修 2―31．1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 教学目标： 知识与技能：①理解分类加法计数原理与
分步乘法计数原理； ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题； 过程与方法：培养学生的归纳概括能力； 情感、态度与价值观：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式 教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解 授课类型：新授课 课时安排：2 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 引入课题 先看下面的问题： ①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？ ②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？ 要解决这些问题， 就要运用有关排列、 组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法. 在运用排列、 组合方法时， 经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课， 我们从具体例子出发来学习这两个原理.王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆1 分类加法计数原理 （1）提出问题 问题 1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编 出多少种不同的号码？ 问题 1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有 3 班，汽车 有 2 班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 探究：你能说说以上两个问题的特征吗？ （2）发现新知 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 法，在第 2 类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有m 种不同的方N ? m?n种不同的方法. （3）知识应用 例 1.在填写高考志愿表时， 一名高中毕业生了解到， A,B 两所大学各有一些自己感兴趣 的强项专业，具体情况如下： A 大学 B 大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又 由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以 选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种 专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理， 这名同学可能的专业选择共有 5+4=9（种）. 变式：若还有 C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同 学可能的专业选择共有多少种？ 探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第 2 类方案中有 m 2 种不同的方法， 在第 3 类方案中有 m3 种不同的方法， 那么完成这件事共有多 少种不同的方法？ 如果完成一件事情有 n 类不同方案， 在每一类中都有若干种不同方法， 那么应当如何计 数呢？ 一般归纳： 完成一件事情， 有 n 类办法， 在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法， 在第 2 类办法中有 m 2 种不同的方法??在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法.那么完成这件事共有N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn种不同的方法. 理解分类加法计数原理： 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互 独立， 各类中的各种方法也相对独立， 用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 2 分步乘法计数原理 （1）提出问题 问题 2.1：用前 6 个大写英文字母和 1―9 九个阿拉伯数字，以 A1 , A2 ,?， B1 , B2 ,? 的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 用列举法可以列出所有可能的号码：我们还可以这样来思考： 由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何 一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6×9 = 54 个不同的号码． 探究：你能说说这个问题的特征吗？ （2）发现新知 分步乘法计数原理 法，在第 2 类方案中有 种不同的方法.n 种不同的方法. 那么完成这件事共有完成一件事有两类不同方案， 在第 1 类方案中有m 种不同的方N ? m? n（3）知识应用 例 2.设某班有男生 30 名，女生 24 名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比 赛，共有多少种不同的选法？ 分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第 l 步选男生．第 2 步选女生． 解：第 1 步，从 30 名男生中选出 1 人，有 30 种不同选择； 第 2 步，从 24 名女生中选出 1 人，有 24 种不同选择． 根据分步乘法计数原理，共有 30×24 =720 种不同的选法． 探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m 2 种 不同的方法，做第 3 步有 m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事情需要 n 个步骤， 做每一步中都有若干种不同方法， 那么应当如何计 数呢？ 一般归纳： 完成一件事情，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m 2 种不 同的方法??做第 n 步有 m n 种不同的方法.那么完成这件事共有N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn种不同的方法. 理解分步乘法计数原理： 分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存， 完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事. 3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 ①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题 ②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方 法相互独立， 各类中的各种方法也相对独立， 用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成 这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干 步， 各个步骤相互依存， 完成任何其中的一步都不能完成该件事， 只有当各个步骤都完成后， 才算完成这件事，是合作完成. 3 综合应用 例 3. 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层 放 2 本不同的体育书. ①从书架上任取 1 本书，有多少种不同的取法？ ②从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书，有多少种不同的取法？ ③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 【分析】 ①要完成的事是“取一本书” ，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因 此是分类问题，应用分类计数原理. ②要完成的事是“从书架的第 1、2、3 层中各取一本书” ，由于取一层中的一本书都只 完成了这件事的一部分，只有第 1、2、3 层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应 用分步计数原理. ③要完成的事是“取 2 本不同学科的书” ，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算 机和文艺书各 1 本，再要考虑取 1 本计算机书或取 1 本文艺书都只完成了这 件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些 选法的种数之间还应运用分类计数原理. 解： (1) 从书架上任取 1 本书，有 3 类方法：第 1 类方法是从第 1 层取 1 本计算机书， 有 4 种方法； 第 2 类方法是从第 2 层取 1 本文艺书， 有 3 种方法； 第 3 类方法是从第 3 层 取 1 本体育书，有 2 种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是 N ? m1 ? m2 ? m3 =4+3+2=9;(2 ） 从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书， 可以分成 3 个步骤完成： 第 1 步从第 1 层 取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取 1 本文艺书，有 3 种方法；第 3 步 从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是 N ? m1 ? m2 ? m3 =4×3×2=24 . （3） N ? 4 ? 3 ? 4 ? 2 ? 3 ? 2 ? 26 。 例 4. 要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置， 问共有多少种不同的挂法？ 解：从 3 幅画中选出 2 幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第 1 步， 从 3 幅画中选 1 幅挂在左边墙上，有 3 种选法；第 2 步，从剩下的 2 幅画中选 1 幅挂 在右边墙上，有 2 种选法．根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是 N=3×2=6 . 6 种挂法可以表示如下：分类加法计数原理和分步乘法计数原理， 回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问 题．区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中 任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的 方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事． 练习 1．填空： ( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人 只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是＿ ; ( 2 ）从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有＿条． 2．现有高一年级的学生 3 名，高二年级的学生 5 名，高三年级的学生 4 名． ( 1 ） 从中任选 1 人参加接待外宾的活动， 有多少种不同的选法？村去 C 村， 不同 ( 2 ） 从 3 个 年级的学生中各选 1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？ 3．在例 1 中，如果数学也是 A 大学的强项专业，则 A 大学共有 6 个专业可以选择， B 大学共有 4 个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择 共有 6 + 4 = 10 （种） . 这种算法有什么问题？ 例 5.给程序模块命名，需要用 3 个字符，其中首字符要求用字母 A～G 或 U～Z , 后 两个要求用数字 1～9．问最多可以给多少个程序命名？ 分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第 1 步，选首字符；第 2 步，选中 间字符；第 3 步，选最后一个字符．而首字符又可以分为两类． 解：先计算首字符的选法．由分类加法计数原理，首字符共有 7 + 6 = 13 种选法． 再计算可能的不同程序名称．由分步乘法计数原理，最多可以有 13×9×9 = = 1053 个不同的名称，即最多可以给 1053 个程序命名．例 6. 核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分一个 RNA 分子是一个有着 数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据． 总共有 4 种不同的碱基，分别用 A,C,G,U 表示．在一个 RNA 分子中，各种碱基能够以任意 次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关．假设有一类 RNA 分子 由 100 个碱基组成，那么能有多少种不同的 RNA 分子？分析：用图 1. 1 一 2 来表示由 100 个碱基组成的长链，这时我们共有 100 个位置，每 个位置都可以从 A , C , G , U 中任选一个来占据．解：100 个碱基组成的长链共有 100 个位置，如图 1 . 1 一 2 所示．从左到右依次在每 一个位置中，从 A , C , G , U 中任选一个填人，每个位置有 4 种填充方法．根据分步乘 法计数原理，长度为 100 的所有可能的不同 RNA 分子数目有4 ? 4?? ??? ? 4 ? 4100 （个） ? ?100例 7.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易 控制的两种状态． 因此计算机内部就采用了每一位只有 O 或 1 两种数字的记数法， 即二进 制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来 表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由 8 个二进制位构成．问： (1）一个字节（ 8 位）最多可以表示多少个不同的字符？ (2）计算机汉字国标码（GB 码）包含了 6 763 个汉字，一个汉字为一个字符，要对这 些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？ 分析：由于每个字节有 8 个二进制位，每一位上的值都有 0,1 两种选择，而且不同的 顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解本题． 解：(1）用图 1.1 一 3 来表示一个字节．图 1 . 1 一 3 一个字节共有 8 位，每位上有 2 种选择．根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以 8 表示 2×2×2×2×2×2×2×2= 2 =256 个不同的字符； ( 2）由（ 1 ）知，用一个字节所能表示的不同字符不够 6 763 个，我们就考虑用 2个字节能够表示多少个字符．前一个字节有 256 种不同的表示方法，后一个字节也有 256 种表示方法．根据分步乘法计数原理，2 个字节可以表示 256×256 = 65536 个不同的字符，这已经大于汉字国标码包含的汉字个数 6 763．所以要表示这些汉字，每个 汉字至少要用 2 个字节表示． 例 8.计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试．程序员需要知道到底有 多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线） ，以便知道需要提供多少个测试数据．一般 地，一个程序模块由许多子模块组成．如图 1.1 一 4，它是一个具有许多执行路径的程序模 块．问：这个程序模块有多少条执行路径？ 另外， 为了减少测试时间， 程序员需要设法减少测试次数你能帮助程序员设计一个测试 方法，以减少测试次数吗？图 1.1 一 4 分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第 1 步是从开始执行到 A 点；第 2 步是从 A 点执行到结束． 而第 1 步可由子模块 1 或子模块 2 或子模块 3 来完成； 第 2 步可由子模块 4 或子模块 5 来完成． 因此， 分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到 两个计数原理． 解：由分类加法计数原理，子模块 1 或子模块 2 或子模块 3 中的子路径共有 18 + 45 + 28 = 91 （条） ; 子模块 4 或子模块 5 中的子路径共有 38 + 43 = 81 （条） . 又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径共有 91×81 = 7 371（条）. 在实际测试中， 程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱， 即通过只考察是否执行了正 确的子模块的方式来测试整个模块．这样，他可以先分别单独测试 5 个模块，以考察每个 子模块的工作是否正常．总共需要的测试次数为 18 + 45 + 28 + 38 + 43 =172. 再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第 1 步中的各个子模块和 第 2 步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为 3×2=6 .如果每个子模块都工作正常， 并且各个子模块之间的信息交流也正常， 那么整个程序模 块就工作正常．这样，测试整个模块的次数就变为 172 + 6=178（次）. 显然，178 与 7371 的差距是非常大的． 你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗？ 例 9.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交 通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法， 每一个汽车牌照都必须有 3 个不重复的英文字母 和 3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现，3 个数字也必须合成一组 出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？ 分析：按照新规定，牌照可以分为 2 类，即字母组合在左和字母组合在右．确定一个 牌照的字母和数字可以分 6 个步骤． 解：将汽车牌照分为 2 类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右．字母组合 在左时，分 6 个步骤确定一个牌照的字母和数字： 第 1 步，从 26 个字母中选 1 个，放在首位，有 26 种选法； 第 2 步，从剩下的 25 个字母中选 1 个，放在第 2 位，有 25 种选法； 第 3 步，从剩下的 24 个字母中选 1 个，放在第 3 位，有 24 种选法； 第 4 步，从 10 个数字中选 1 个，放在第 4 位，有 10 种选法； 第 5 步，从剩下的 9 个数字中选 1 个，放在第 5 位，有 9 种选法； 第 6 步，从剩下的 8 个字母中选 1 个，放在第 6 位，有 8 种选法． 根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有 26 ×25×24×10×9×8=11 232 000（个） . 同理，字母组合在右的牌照也有
个． 所以，共能给
= （个） . 辆汽车上牌照． 用两个计数原理解决计数问题时， 最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析 D 需要 分类还是需要分步．分类要做到“不重不漏” ．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分 类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到“步骤完整” D 完成了所有步骤，恰好完成 任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数 原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数． 练习（a1 ? a2 ? a3 )(b1 ? b2 ? b3 )(c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? c5 ) 展开后共有多少项？ 1．乘积2．某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后 四位数字都是。到 9 之间的一个数字，那么这个电话局不同的电话号码最多有多少个？ 3．从 5 名同学中选出正、副组长各 1 名，有多少种不同的选法？ 4．某商场有 6 个门，如果某人从其中的任意一个门进人商场，并且要求从其他的门出 去，共有多少种不同的进出商场的方式？ 巩固练习：书本第 9 页 练习 1，2，3 习题 1. 1 1，2 课外作业：第 12 页 习题 1. 1 3 , 4 , 5 例 1.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少 条？解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点 A 爬到顶点 C1 有三类方法,从局部上看每类又需两步完成, 所以, 第一类, m1 = 1×2 = 2 条 第二类, m2 = 1×2 = 2 条 第三类, m3 = 1×2 = 2 条 所以, 根据加法原理, 从顶点 A 到顶点 C1 最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条 例 2 .如图,要给地图 A、B、C、D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种,允许同一 种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解: 按地图 A、B、C、D 四个区域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 变式 1，如图,要给地图 A、B、C、D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种,允许同 一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？ 2 若颜色是 2 种，4 种，5 种又会什么样的结果呢？ 75600 有多少个正约数?有多少个奇约数? 解:由于 75600=2 ×3 ×5 ×7 (1) 75600 的 每 个 约 数 都 可 以 写 成 2l ? 3 j ? 5k ? 7 l 的 形 式 , 其 中4 3 20 ? i ? 4 , 0 ? j ? 3 , 0 ? k ? 2 , 0 ? l ?1于是,要确定 75600 的一个约数,可分四步完成,即 i, j, k , l 分别在各自的范围内任取一个 值,这样 i 有 5 种取法, j 有 4 种取法, k 有 3 种取法, l 有 2 种取法,根据分步计数原理得约数 的个数为 5×4×3×2=120 个. 巩固练习： 1.如图,从甲地到乙地有 2 条路可通,从乙地到丙地有 3 条路可通;从甲地到丁地有 4 条路 可通, 从丁地到丙地有 2 条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 2.书架上放有 3 本不同的数学书，5 本不同的语文书，6 本不同的英语书． （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？ （2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？ 3.如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为() A. 180 ② ① ③ 图一 B. 160 C. 96 ④ D. 60 ① ③ ② 图二 ④ ②王新敞奎屯 新疆① ③ ④图三若变为图二,图三呢? 5.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们 争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？ 6． （2007 年重庆卷）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空 间分成（ C ） A．5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分 课外作业：第 10 页 习题 1. 1 6 , 7 , 8 教学反思：课堂小结1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列 数、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想. 2．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并加区别 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方 法都可以完成这件事；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互 依存，只有各个步骤都完成后才算做完这件事. 3．运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点： 分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一 类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即&不重不漏&. 分步乘法计数原理： 首先确定分步标准， 其次满足： 必须并且只需连续完成这 n 个步骤， 这件事才算完成. 分配问题 把一些元素分给另一些元素来接受． 这是排列组合应用问题中难度较大的一类问题． 因 为这涉及到两类元素： 被分配元素和接受单位． 而我们所学的排列组合是对一类元素做排列 或进行组合的，于是遇到这类问题便手足无措了． 事实上，任何排列问题都可以看作面对两类元素．例如，把 10 个全排列，可以理解为 在 10 个人旁边，有序号为 1，2，??，10 的 10 把椅子，每把椅子坐一个人，那么有多少 种坐法？这样就出现了两类元素， 一类是人， 一类是椅子。 于是对眼花缭乱的常见分配问题， 可归结为以下小的“方法结构” ： ①.每个“接受单位”至多接受一个被分配元素的问题方法是 是 “接受单位”的个数。 至于谁是 “接受单位” ， 不要管它在生活中原来的意义， 只要 n ? m . 个数为 m 的一个元素就是“接受单位” ，于是，方法还可以简化为Am n，这里 n ? m .其中 m .这里的“多”只要 ?A少 多“少”. ②.被分配元素和接受单位的每个成员都有 “归宿”,并且不限制一对一的分配问题， 方法 是分组问题的计算公式乘以Ak k.1．2．1 排列 教学目标： 知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思 想，并能运用排列数公式进行计算。 过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题 情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题. 教学重点：排列、排列数的概念 教学难点：排列数公式的推导 授课类型：新授课 课时安排：2 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分， 依分类计数原理解题， 首先明确 要做的这件事是什么， 其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准， 最后在确定的标准下 进行分类.分类要注意不重复、 不遗漏， 保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完 成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤， 必须且只需连续完成这几个步骤后才 算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事.分类计数原理和分步计数原理的 地位是有区别的，分类计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再 分成几步.在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌罗嗦，教师一定要先做出表率并要求学生 严格按原理去分析问题. 只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分 类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础 分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、 组合数公式的基础， 也是解决排列、 组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合 学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性. 排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素， 或排成一排或并成一组， 并求有多少 种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题， 与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定 义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系. 教学过程： 一、复习引入：王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆1 分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种王新敞奎屯 新疆不同的方法，在第二类办法中有 m 2 种不同的方法，??，在第 n 类办法中有 m n 种不同的 方法 那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同 的方法，做第二步有 m 2 种不同的方法，??，做第 n 步有 m n 种不同的方法，那么完成这 件事有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法王新敞奎屯 新疆分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问 题,区别在于:分类加法计数原理针对的是 “分类” 问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只 属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问 题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤 ,只 有各个步骤都完成才算做完这件事 应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么； 2.是分 类完成还是分步完成,“类”间互相独立， “步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制 二、讲解新课： 1 问题： 问题 1．从甲、乙、丙 3 名同学中选取 2 名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学 参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？ 分析：这个问题就是从甲、乙、丙 3 名同学中每次选取 2 名同学，按照参加上午的活动 在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有 6 种不同的排 法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的对象叫做元素 解决这一问题可分两个步骤： 第 1 步， 确定参加上午活动的同学， 从 3 人中任选 1 人， 有 3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下 午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，在 3 名同学中选出 2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共 有 3×2=6 种，如图 1.2 一 1 所示．王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆图 1.2 一 1 把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从 3 个不同的元素 a , b ， 。 中任取 2 个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的 排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb, 共有 3×2=6 种． 问题 2．从 1,2,3,4 这 4 个数字中，每次取出 3 个排成一个三位数，共可得到多少个 不同的三位数？ 分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的数，在 4 个字母中任取 1 个，有 4 种方法；第二步确定中间的数，从余下的 3 个数中取，有 3 种方法；第三步确定右边的数， 从余下的 2 个数中取，有 2 种方法 由分步计数原理共有： 4×3×2=24 种不同的方法， 用树型图排出， 并写出所有的排列 由 此可写出所有的排法 显然，从 4 个数字中，每次取出 3 个，按“百” “十” “个”位的顺序排成一列，就得 到一个三位数． 因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数． 可以分三个步骤来 解决这个问题： 第 1 步，确定百位上的数字，在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种 方法；王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆第 2 步， 确定十位上的数字， 当百位上的数字确定后， 十位上的数字只能从余下的 3 个 数字中去取，有 3 种方法； 第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下 的 2 个数字中去取，有 2 种方法． 根据分步乘法计数原理，从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3 个数 字，按“百” “十” “个”位的顺序排成一列，共有 4×3×2=24 种不同的排法， 因而共可得到 24 个不同的三位数，如图 1. 2 一 2 所示．由此可写出所有的三位数： 123，124, 132, 134, 142, 143， 213，214, 231, 234, 241, 243， 312，314, 321, 324, 341, 342， 412，413, 421, 423, 431, 432 。 同样，问题 2 可以归结为： 从 4 个不同的元素 a, b, c，d 中任取 3 个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少 种不同的排列方法？ 所有不同排列是 abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb. 共有 4×3×2=24 种. 树形图如下ab ｄｃ ａ ｂ ｄｄ ａ ｂ ｃｂ ｃ ｄ ａ ｃ2．排列的概念： 从 n 个不同元素中，任取 m （ m ? n ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定 ．． 的顺序 排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 ．．． ．．．． 说明： （1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 3．排列数的定义： 从 n 个不同元素中，任取 m （ m ? n ）个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆出 m 元素的排列数，用符号 An 表示m王新敞奎屯新疆注意区别排列和排列数的不同： “一个排列”是指：从 n 个不同元素中，任取 m 个元素按照一定的顺序 排成一列，不是数； “排列数”是指从 n 个不同元素中，任取 m （ m ? n ） ．．．．． 个元素的所有排列的个数，是一个数 所以符号 An 只表示排列数，而不表示具体的排列王新敞奎屯 新疆m王新敞奎屯新疆4．排列数公式及其推导： 由 An 的意义：假定有排好顺序的 2 个空位，从 n 个元素 a1 , a2, ? an 中任取 2 个元素去 填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这 样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数 An ．由分步计数原理完成上 述填空共有 n(n ? 1) 种填法，∴ An = n(n ? 1)2 3王新敞奎屯 新疆22由此，求 An 可以按依次填 3 个空位来考虑，∴ An = n(n ? 1)(n ? 2) ，3求 An 以按依次填 m 个空位来考虑 An ? n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1) ，mm排列数公式：m An ? n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1)（ m, n ? N , m ? n ） 说明： （1）公式特征：第一个因数是 n ，后面每一个因数比它前面一个 少 1，最后一个因数是 n ? m ? 1 ，共有 m 个因数； （2）全排列：当 n ? m 时即 n 个不同元素全部取出的一个排列王新敞奎屯 新疆?全排列数： An ? n(n ? 1)(n ? 2)? 2 ?1 ? n ! （叫做 n 的阶乘）n王新敞奎屯新疆另外，我们规定 0! =1 . 例 1．用计算器计算： (1） A10 ； (2） A18 ; (3） A18 ? A13 .4 5 18 13解：用计算器可得：由（ 2 ) ( 3 ）我们看到， A18 ? A18 ? A13 ．那么，这个结果有没有一般性呢？即5 18 13m An ?n An n! ? . n?m An ? m (n ? m)!排列数的另一个计算公式：m An ? n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1)?An n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1)(n ? m)?3 ? 2 ?1 n! = nn . ? ?m (n ? m)(n ? m ? 1)?3 ? 2 ?1 (n ? m)! An ? m即m An =n! (n ? m)!王新敞奎屯新疆例 2．解方程：3 Ax ? 2 Ax ?1 ? 6 Ax ．3 2 2解：由排列数公式得： 3x( x ? 1)( x ? 2) ? 2( x ? 1) x ? 6 x( x ?1) ， ∵ x ? 3 ，∴ 3( x ? 1)( x ? 2) ? 2( x ? 1) ? 6( x ? 1) ，即 3x ? 17 x ? 10 ? 0 ，2解得 x ? 5 或 x ?2 ? ，∵ x ? 3 ，且 x ? N ，∴原方程的解为 x ? 5 ． 3x x?2例 3．解不等式： A9 ? 6 A9 解：原不等式即．9! 9! ， ? 6? (9 ? x)! (11 ? x)!也就是1 6 2 ，化简得： x ? 21x ? 104 ? 0 ， ? (9 ? x)! (11 ? x) ? (10 ? x) ? (9 ? x)!?解得 x ? 8 或 x ? 13 ，又∵ 2 ? x ? 9 ，且 x ? N ， 所以，原不等式的解集为 ?2,3, 4,5, 6, 7? ． 例 4．求证： （1） An ? An ? An ? m ； （2）n m n?m(2n)! ? 1? 3 ? 5? (2n ? 1) ． 2n ? n !王新敞奎屯 新疆证明： （1） An ? An ? m ?mn?mn! (n ? m)! ? n ! ? Ann ，∴原式成立 (n ? m)!（2）(2n)! 2n ? (2n ? 1) ? (2n ? 2)? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 2n ? n ! 2n ? n !? 2n n ? (n ? 1)? 2 ?1? (2n ? 1)(2n ? 3)?3 ?1 2n ? n !?n !?1? 3? (2n ? 3)(2n ? 1) ? 1? 3 ? 5?(2n ? 1) ? 右边 n!王新敞奎屯 新疆∴原式成立说明： （1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数 An 中， m, n ? N 且 m ? n 这m?些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围； （2）公式 An ? n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1) 常用来求值，特别是 m, n 均为已知时，公m式 An =mn! ，常用来证明或化简 (n ? m)!王新敞奎屯新疆例 5．化简：⑴1 2 3 n ?1 ；⑵ 1?1!? 2 ? 2!? 3 ? 3!? ? ? n ? n! ? ? ??? 2! 3! 4! n!1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? 1? 2! 2! 3! 3! 4! (n ? 1)! n ! n!王新敞奎屯新疆⑴解：原式 ? 1!?⑵提示：由 ? n ? 1? ! ? ? n ? 1? n ! ? n ? n !? n ! ，得 n ? n ! ? ? n ? 1? !? n ! ， 原式 ? ? n ? 1? !? 1 说明：王新敞奎屯 新疆n ?1 1 1 ? ? ． n! (n ? 1)! n !例 7．(课本例 2)．某年全国足球甲级（A 组）联赛共有 14 个队参加，每队要与其余各 队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？ 解： 任意两队间进行 1 次主场比赛与 1 次客场比赛， 对应于从 14 个元素中任取 2 个元 素的一个排列．因此，比赛的总场次是 A14 =14×13=182. 例 8．(课本例 3)．(1）从 5 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有 多少种不同的送法？ (2）从 5 种不同的书中买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？ 解：(1）从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学，对应于从 5 个不同元素中任取 3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是2A53 =5×4×3=60.(2）由于有 5 种不同的书，送给每个同学的 1 本书都有 5 种不同的选购方法，因此送 给 3 名同学每人各 1 本书的不同方法种数是 5×5×5=125. 例 8 中两个问题的区别在于： ( 1 ）是从 5 本不同的书中选出 3 本分送 3 名同学， 各人得到的书不同，属于求排列数问题；而（ 2 ）中，由于不同的人得到的书可能相同， 因此不符合使用排列数公式的条件，只能用分步乘法计数原理进行计算． 例 9．(课本例 4)．用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分 析：在本问题的。到 9 这 10 个数字中，因为。不能排在百位上，而其他数可以排在任意 位置上，因此。是一个特殊的元素．一般的，我们可以从特殊元素的排列位置人手来考虑问 题 解法 1 ：由于在没有重复数字的三位数中，百位上 的数字不能是 O，因此可以分两步完成排列．第 1 步，排 百位上的数字，可以从 1 到 9 这九个数字中任选 1 个， 有 A9 种选法；第 2 步，排十位和个位上的数字，可以从 余下的 9 个数字中任选 2 个，有 A9 种选法（图 1.2 一2 15) ．根据分步乘法计数原理，所求的三位数有1 A9 ? A92 =9×9×8=648（个） .解法 2 ：如图 1.2 一 6 所示，符合条件的三位数可分成 3 类．每一位数字都不是位 数有 A 母个，个位数字是 O 的三位数有揭个，十位数字是 0 的三位数有揭个．根据分类 加法计数原理，符合条件的三位数有3 A9 ? A92 ? A92 =648 个．解法 3 ：从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字的排列数为 A10 ，其中 O 在百位上的 排列数是 A9 ， 它们的差就是用这 10 个数字组成的没有重复数字的三位数的个数， 即所求的 三位数的个数是3 2 A10 - A9 =10×9×8-9×8=648. 23对于例 9 这类计数问题，可用适当的方法将问题分解，而且思考的角度不同，就可以 有不同的解题方法．解法 1 根据百位数字不能是。的要求，分步完成选 3 个数组成没有重 复数字的三位数这件事， 依据的是分步乘法计数原理； 解法 2 以 O 是否出现以及出现的位 置为标准，分类完成这件事情，依据的是分类加法计数原理；解法 3 是一种逆向思考方法： 先求出从 10 个不同数字中选 3 个不重复数字的排列数， 然后从中减去百位是。 的排列数 （即 不是三位数的个数） ，就得到没有重复数字的三位数的个数．从上述问题的解答过程可以看 到，引进排列的概念，以及推导求排列数的公式，可以更加简便、快捷地求解“从 n 个不同 元素中取出 m (m≤n）个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题． 1.1 节中的例 9 是否也是这类计数问题？你能用排列的知识解决它吗？ 四、课堂练习： 1．若 x ?3 ( A) An3 7n! ，则 x ? 3!（ ）( B) Ann ? 3(C ) A3n3 ( D) An ?32．与 A10 ? A7 不等的是 （ ）9 ( A) A10 5 3( B) 81A88(C ) 10 A9910 ( D) A103．若 Am ? 2 Am ，则 m 的值为 （ ）( A) 5( B) 3(C ) 6( D) 74．计算：5 2 A9 ? 3 A96 ? 6 9!? A10；(m ? 1)! ? A ? (m ? n)!n ?1 m ?1．5．若 2 ?(m ? 1)! ? 42 ，则 m 的解集是 m ?1 Am ?1m．6． （1）已知 A10 ? 10 ? 9 ??? 5 ，那么 m ? （2）已知 9! ? 362880 ，那么 A9 =7；；（3）已知 An ? 56 ，那么 n ?2； ．（4）已知 An ? 7 An ? 4 ，那么 n ?2 27．一个火车站有 8 股岔道，停放 4 列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔 道只能停放 1 列火车）？ 8．一部纪录影片在 4 个单位轮映，每一单位放映 1 场，有多少种轮映次序？ 答案：1. B 2. B 3. A 4. 1,1 5.?2,3, 4,5, 6?王新敞奎屯 新疆6. (1) 6 (2) ) 8 (4) 5 7.
巩固练习：书本 20 页１，２，３,4,5,6 课外作业：第 27 页 习题 1.2 A 组 1 , 2 , 3,4,5 教学反思： 排列的特征：一个是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列” ,“一定顺序”就是与 位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。根据排列的定义，两个排列相 同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同. 了解排列数的意义，掌 握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。 对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑” ，一个是“反过 来剔” ．前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选 出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方 法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。 补充例题 例 1． （1）有 5 本不同的书，从中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同 的送法？ （2） 有 5 种不同的书， 要买 3 本送给 3 名同学， 每人各 1 本， 共有多少种不同的送法？ 解： （1）从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学，对应于从 5 个元素中任取 3 个元素 的一个排列，因此不同送法的种数是： A5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 60 ，所以，共有 60 种不同的送法3王新敞奎屯 新疆（2）由于有 5 种不同的书，送给每个同学的 1 本书都有 5 种不同的选购方法，因此送给 3 名同学，每人各 1 本书的不同方法种数是： 5 ? 5 ? 5 ? 125 ，所以，共有 125 种不同的送 法 说明：本题两小题的区别在于：第（1）小题是从 5 本不同的书中选出 3 本分送给 3 位同学， 各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第（2）小题中，给每人的书均可以从 5 种不同王新敞奎屯 新疆的书中任选 1 种，各人得到那种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算 例 2．某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任 意挂 1 面、 2 面或 3 面， 并且不同的顺序表示不同的信号， 一共可以表示多少种不同的信号？王新敞奎屯 新疆解：分 3 类：第一类用 1 面旗表示的信号有 A3 种； 第二类用 2 面旗表示的信号有 A3 种； 第三类用 3 面旗表示的信号有 A3 种， 由分类计数原理，所求的信号种数是： A3 ? A3 ? A3 ? 3 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ?1 ? 15 ，1 2 3123答：一共可以表示 15 种不同的信号 例 3．将 4 位司机、 4 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有 一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？ 分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把 4 位司机分配到四辆不同班次的公共汽车王新敞奎屯 新疆上，即从 4 个不同元素中取出 4 个元素排成一列，有 A4 种方法； 第二步：把 4 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有 A4 种方法， 利用分步计数原理即得分配方案的种数王新敞奎屯 新疆44解：由分步计数原理，分配方案共有 N ? A4 ? A4 ? 576 （种）4 4答：共有 576 种不同的分配方案 例 4．用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解法 1：用分步计数原理：王新敞奎屯 新疆所求的三位数的个数是： A9 ? A9 ? 9 ? 9 ? 8 ? 6481 2王新敞奎屯新疆解法 2：符合条件的三位数可以分成三类：每一位 是 0 的三位数有 A9 个， 个位数字是 0 的 数有 A9 个，十位数字是 0 的三位数有 个， 由分类计数原理，符合条件的三位数的个数是： A9 ? A9 ? A9 ? 648 ．3 2 2数字都不 三 位32A92解法 3：从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字的排列数为 A10 ，其中以 0 为排头的排列 数为 A9 ，因此符合条件的三位数的个数是 A10 ? A9 ? 648 - A9 ．23 232说明：解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法 直接法：通过对问题进行 恰当的分类和分步，直接计算符合条件的排列数如解法 1，2；间接法：对于有限制条件的 排列应用题，可先不考虑限制条件，把所有情况的种数求出来，然后再减去不符合限制条件 的情况种数如解法 3．对于有限制条件的排列应用题，要恰当地确定分类与分步的标准，防 止重复与遗漏王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆例 5． （1）7 位同学站成一排，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作：7 个元素的全排列 A7 ＝5040． （2）7 位同学站成两排（前 3 后 4） ，共有多少种不同的排法？ 解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040． （3）7 位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作：余下的 6 个元素的全排列―― A6 =720． （4）7 位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ 解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有 A2 种； 第二步 余下的 5 名同学进行全排列有 A5 种，所以，共有 A2 ? A5 =240 种排列方法5 6 7225王新敞奎屯新疆（5）7 位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ 解法 1（直接法） ：第一步从（除去甲、乙）其余的 5 位同学中选 2 位同学站在排头和排 尾有 A5 种方法；第二步从余下的 5 位同学中选 5 位进行排列（全排列）有 A5 种方法，所以 一共有 A5 A5 ＝2400 种排列方法2 5王新敞奎屯 新疆25解法 2： （排除法）若甲站在排头有 A6 种方法；若乙站在排尾有 A6 种方法；若甲站在 排头且乙站在排尾则有 A5 种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有 A7 － 2 A6 ＋ A5 =2400 种． 说明：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法” ，对某些特殊元素可 以优先考虑 例 6.从 10 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定 不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？王新敞奎屯 新疆665765解法一： （从特殊位置考虑） A9 A9 ? 136080 ；1 5解法二： （从特殊元素考虑）若选： 5 ? A9 ；若不选： A9 ，5 6则共有 5 ? A9 ? A9 ? 136080 种；5 6解法三： （间接法） A10 ? A9 ? 1360806 5王新敞奎屯新疆例 7． 7 位同学站成一排， （1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ 解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的 5 个元素（同学）一起 进行全排列有 A6 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A2 种方法．所以这样的 排法一共有 A6 ? A2 ? 1440 种6 2王新敞奎屯 新疆62（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ 解：方法同上，一共有 A5 A3 ＝720 种5 3王新敞奎屯 新疆（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ 解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，因为丙 不能站在排头和排尾， 所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾， 有 A5 种 方法；将剩下的 4 个元素进行全排列有 A4 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排 列有 A2 种方法．所以这样的排法一共有 A5 A4 A2 ＝960 种方法22 2442王新敞奎屯新疆解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，若丙站 在排头或排尾有 2 A5 种方法， 所以，丙不能站在排头和排尾的排法有 ( A6 ? 2 A5 ) ? A2 ? 960 种方法6 5 2王新敞奎屯 新疆5解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，因为丙 不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有 A4 种方法，再将其余的 5 个元 素进行全排列共有 A5 种方法，最后将甲、乙两同学“松绑” ，所以，这样的排法一共有5 1 2 A5 A4 A2 ＝960 种方法． 51（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起 解：将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起王新敞奎屯 新疆看成一个元素，时一共有 2 个元素，∴一共有排法种数： A3 A4 A2 ? 288 （种）3 4 2说明：对于相邻问题，常用“捆绑法” （先捆后松） ． 例 8．7 位同学站成一排， （1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ 解法一： （排除法） A7 ? A6 ? A2 ? 3600 ；7 6 2解法二： （插空法）先将其余五个同学排好有 A5 种方法，此时他们留下六个位置（就称 为“空”吧） ，再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有 A6 种方法，所以一共有5 2 A5 A6 ? 3600 种方法． 25（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ 解：先将其余四个同学排好有 A4 种方法，此时他们留下五个“空” ，再将甲、乙和丙三 个同学分别插入这五个“空”有 A5 种方法，所以一共有 A4 A5 ＝1440 种． 说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑） ．3443例 9．5 男 5 女排成一排，按下列要求各有多少种排法： （1）男女相间； （2）女生按指定 顺序排列王新敞奎屯 新疆解： （1）先将男生排好，有 A5 种排法；再将 5 名女生插在男生之间的 6 个“空挡” （包 括两端）中，有 2 A5 种排法5王新敞奎屯 新疆5故本题的排法有 N ? 2 A5 ? A5 ? 28800 （种） ；5 5（2）方法 1： N ?10 A10 5 ? A10 ? 30240 ； 5 A5方法 2：设想有 10 个位置，先将男生排在其中的任意 5 个位置上，有 A10 种排法；余下 的 5 个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法 故本题的结论为 N ? A10 ?1 ? 30240 （种）5王新敞奎屯 新疆52007 年高考题 1． （2007 年天津卷）如图，用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂 色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用 3 种颜色且相邻的两个格 子颜色不同，则不同的涂色方法共有 390 种（用数字作答） ．2． （2007 年江苏卷）某校开设 9 门课程供学生选修，其中 A, B, C 三门由于上课时间相同， 至多选一门，学校规定每位同学选修 4 门，共有 75 种不同选修方案。 （用数值作答） 3． （2007 年北京卷）记者要为 5 名志愿都和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ Ｂ ） Ａ．1440 种 Ｂ．960 种 Ｃ．720 种 Ｄ．480 种 4． （2007 年广东卷）图３是某汽车维修公司的维修点分布图，公司在年初分配给Ａ、Ｂ、 Ｃ、Ｄ四个维修点的某种配件各５０件，在使用前发现需将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的这 批配件分别调整为４０、４５、５４、６１件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么完 成上述调整，最少的调动件次（ｎ个配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为ｎ） 为 （Ａ）１５ （Ｂ）１６ （Ｃ）１７ （Ｄ）１８ 答案：B；5． （2007 年全国卷 I）从班委会 5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 36 种． （用数字作答） 6． （2007 年全国卷Ⅱ）从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活 动，每人一天，要求星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法 共有（ B ） A．40 种 B．60 种 C．100 种 D．120 种 7. （2007 年陕西卷）安排 3 名支教老师去 6 所学校任教，每校至多 2 人，则不同的分配方 案共有 210 种.（用数字作答） 8． （2007 年四川卷）用数字 0，1，2，3，4，5 可以组成没有重复数字，并且比 20000 大的 五位偶数共有（ ） （A）288 个 （B）240 个 （C）144 个 （D）126 个 解析：选 B．对个位是 0 和个位不是 0 两类情形分类计数；对每一类情形按“个位－最高位 －中间三位”分步计数：①个位是 0 并且比 20000 大的五位偶数有 1? 4 ? A4 ? 96 个；②个3位不是 0 并且比 20000 大的五位偶数有 2 ? 3 ? A4 ? 144 个；故共有 96 ? 144 ? 240 个．本3题考查两个基本原理，是典型的源于教材的题目． 9． （2007 年重庆卷）某校要求每位学生从 7 门课程中选修 4 门，其中甲乙两门课程不能都 选，则不同的选课方案有____25_____种.（以数字作答） 10． （2007 年宁夏卷）某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个 工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 240 种． （用数字作答）， 2， ?， 6) ， 11． （2007 年辽宁卷）将数字 1，2，3，4，5，6 拼成一列，记第 i 个数为 ai (i ? 1若 a1 ? 1 ，a3 ? 3 ，a5 ? 5 ，a1 ? a3 ? a5 ，则不同的排列方法有 种（用数字作答） ．解析：分两步： （1）先排 a1 , a3 , a5 ， a1 =2，有 2 种； a1 =3 有 2 种； a1 =4 有 1 种，共 有 5 种； （2）再排 a 2 , a 4 , a6 ，共有 A3 ? 6 种，故不同的排列方法种数为 5×6=30，填 30．31．2．2 组合 教学目标： 知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与 区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。m 过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数 ? n 与组合数 Cn 之间的联系，掌握组合数公 m式，能运用组合数公式进行计算。 情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。 教学重点：组合的概念和组合数公式 教学难点：组合的概念和组合数公式 授课类型：新授课 课时安排：2 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素， 或排成一排或并成一组， 并求有多少 种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题， 与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定 义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系. 指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的 真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通. 能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别. 学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合 问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意 要求的元素来， 选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队， 即第一步仅从组合的角度考虑， 第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题. 排列、 组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景， 解题思路通常是依据具 体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、 知识经验、 具体情景的出发， 正确领会问题的实质， 抽象出“按部就班”的处理问题的过程. 据笔者观察， 有些同学之所以学习中感到抽象， 不知如何思考， 并不是因为数学知识跟不上， 而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是 有悖于常理或常规的做法） .要解决这个问题， 需要师生一道在分析问题时要根据实际情况， 怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之， 学生的逻辑思维能力将会大大提高. 教学过程： 一、复习引入：王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆1 分类加法计数原理：做一件事情， 完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种王新敞奎屯 新疆不同的方法，在第二类办法中有 m 2 种不同的方法，??，在第 n 类办法中有 m n 种不同的 方法 那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同 的方法，做第二步有 m 2 种不同的方法，??，做第 n 步有 m n 种不同的方法，那么完成这 件事有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法王新敞奎屯 新疆3．排列的概念：从 n 个不同元素中，任取 m （ m ? n ）个元素（这里的被取元素各不 相同）按照一定的顺序 排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 ．．．．． ．．．．王新敞奎屯 新疆4．排列数的定义：从 n 个不同元素中，任取 m （ m ? n ）个元素的所有排列的个数叫 做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数，用符号 An 表示mm王新敞奎屯新疆5．排列数公式： An ? n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1) （ m, n ? N , m ? n ） 6 阶乘： n ! 表示正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘 规定 0! ? 1．王新敞奎屯 新疆?王新敞奎屯新疆7．排列数的另一个计算公式： An =mn! (n ? m)!王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆8.提出问题： 示例 1：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动，其中 1 名同学参加 上午的活动，1 名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 示例 2：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：示例 1 中不但要求选出 2 名同学，而且还要按照一定的顺序“排列” ，而示例 2 只要求选出 2 名同学，是与顺序无关的 引出课题：组合 ． ．．王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆二、讲解新课： 1 组合的概念：一般地，从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n ? 个元素并成一组，叫做从 n 个不王新敞奎屯 新疆同元素中取出 m 个元素的一个组合 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”――无序性；⑶相同组合：元素相同 例 1．判断下列问题是组合还是排列 （1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有 多少种不同的飞机票价？ （2）高中部 11 个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？ （3）从全班 23 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不 同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？ （4）10 个人互相通信一次，共写了多少封信？ （5）10 个人互通电话一次，共多少个电话？ 问题： （1）1、2、3 和 3、1、2 是相同的组合吗？ （2）什么样的两个组合就叫相同的组合王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆2． 组合数的概念： 从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n ? 个元素的所有组合的个数， 叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的组合数 ．用符号 C n 表示． ．．． 3．组合数公式的推导：m（1）从 4 个不同元素 a, b, c, d 中取出 3 个元素的组合数 C 4 是多少呢？ 启发：由于排列是先组合再排列 ，而从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 A4 可以 ．．．．．．．．． 求得，故我们可以考察一下 C 4 和 A4 的关系，如下： 组 合 abc ? abd ? acd ? bcd ?abc, abd, acd, bcd, bac, bad, cad, cbd,3 3 33排列 cab, acb, bca, cba dab, adb, bda, dba dac, adc, cda, dca dbc, bdc, cdb, dcb由此可知,每一个组合都对应着 6 个不同的排列，因此，求从 4 个不同元素中取出 3 个 元素的排列数 A4 ，可以分如下两步：① 考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合，共有3 3 C4 个；② 对每一个组合的 3 个不同元素进行全排列，各有 A3 种方法．由分步计数原理得：3A3 4 ＝3 ? C ? A ，所以， C 43 43 33 A4 ． 3 A3m（2） 推广： 一般地， 求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 An ， 可以分如下两步： ① 先求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 C n ； ② 求每一个组合中 m 个元素全排列数 Am ，根据分步计数原理得： An ＝ C n ? Am ．m m m m m（3）组合数的公式：Cnm ?Anm n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1) ? m Am m!或 C n?mn! (n, m ? N ? , 且m ? n) m!(n ? m)!0王新敞奎屯新疆规定: C n ? 1 . 三、讲解范例： 例 2．用计算器计算 C 10 ． 解：由计算器可得7例 3．计算： （1） C 7 ； （2） C10 ； （1）解： C7 ?4477 ? 6? 5? 4 ＝35； 4!10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ＝120． 7! 10! 10 ? 9 ? 8 7 解法 2： C10 ＝120． ? ? 7!3! 3! m ? 1 m?1 例 4．求证： C m ?C n ． n? n?m7 （2）解法 1： C10 ?证明：∵ C n ?mn! m!(n ? m)! m ?1 n! ? n ? m (m ? 1)!(n ? m ? 1)!m ?1 ?C n?m＝m ?1 n?m ?1 n! ? (m ? 1)! (n ? m)(n ? m ? 1)! n! m !(n ? m)!＝∴ C n?mm ? 1 m?1 ?C n n?mx ?1 2 x ?3王新敞奎屯 新疆例 5．设 x ? N ? , 求 C 2 x ?3 ? C x ?1 的值2x ? 3 ? x ? 1 解：由题意可得： ? ? ?x ? 1 ? 2x ? 3，解得 2 ? x ? 4 ，∵ x ? N? ，∴ x ? 2 或 x ? 3或 x ? 4 ，当 x ? 2 时原式值为 7；当 x ? 3 时原式值为 7；当 x ? 4 时原式值为 11． ∴所求值为 4 或 7 或 11． 例 6． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按 照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是 11 人．问： (l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？ (2)如果在选出 11 名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式 做这件事情？ 分析：对于（1)，根据题意，17 名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个 从 17 个不同元素中选出 11 个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其 余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题． 解： (1） 由于上场学员没有角色差异， 所以可以形成的学员上场方案有 C ｝ 手＝ 12 376 （种） . (2）教练员可以分两步完成这件事情： 第 1 步，从 17 名学员中选出 n 人组成上场小组，共有 C 17 种选法； 第 2 步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有 C 11 种选法．1 11所以教练员做这件事情的方法数有11 1 C 17 ?C 11 =136136（种）.例 7． （1）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条？ (2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？ 解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从 10 个不同的元素 中取出 2 个元素的组合数，即线段共有C2 10?10 ? 9 ? 45 （条）. 1? 2(2） 由于有向线段的两个端点中一个是起点、 另一个是终点， 以平面内 10 个点中每 2 个 点为端点的有向线段的条数，就是从 10 个不同元素中取出 2 个元素的排列数，即有向线段 共有2 A 10 ? 10 ? 9 ? 90 （条）.例 8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 . (1）有多少种不同的抽法？ (2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？ 解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从 100 件产品中取出 3 件的组合数，所以共有C3 100?100 ? 99 ? 98 = 161700 （种）. 1? 2 ? 31(2）从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有 C 2 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格 品的抽法有 C 98 种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有1 2 C2 ?C 98 =9506(种). 2(3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有 1 件次品和有 2 件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中 1 件是次品的抽法有 C 2 ?C 98 种，因此根据分1 2类加法计数原理，抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法有1 2 2 1 C2 ?C 98 + C 2 ?C 98 =9 604 （种） .解法 2 抽出的 3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数， 也就是从 100 件中抽出 3 件的抽法种数减去 3 件中都是合格品的抽法的种数，即3 3 C 100 ?C 98 =161 700-152 096 = 9 604 （种）.说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。 变式：按下列条件，从 12 人中选出 5 人，有多少种不同选法？ （1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多 2 人当选； （6）甲、乙、丙三人至少 1 人当选； 例 9． （1）6 本不同的书分给甲、乙、丙 3 同学，每人各得 2 本，有多少种不同的分法？解： C 6 ? C 4 ? C 2 ? 90 ．2 2 2（2）从 5 个男生和 4 个女生中选出 4 名学生参加一次会议，要求至少有 2 名男生和 1 名女生参加，有多少种选法？ 解：问题可以分成 2 类： 第一类 2 名男生和 2 名女生参加，有 C5 C4 ? 60 中选法；2 2第二类 3 名男生和 1 名女生参加，有 C5 C4 ? 40 中选法3 1王新敞奎屯新疆依据分类计数原理，共有 100 种选法2 1 1王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆错解： C5 C4C6 ? 240 种选法 引导学生用直接法检验，可知重复的很多王新敞奎屯新疆例 10．4 名男生和 6 名女生组成至少有 1 个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方 法共有多少种？C 4 ? C6 ， 解法一： （直接法） 小组构成有三种情形： 3 男， 2 男 1 女， 1 男 2 女， 分别有 C 4 ，32 1 1 2 C4 ? C6 ，所以，一共有 C 4 + C 4 ? C6 + C 4 ? C6 ＝100 种方法．32 1 1 2解法二： （间接法） C10 ? C 6 ? 1003 3王新敞奎屯新疆组合数的性质 1： C n ? C nmn?m．一般地，从 n 个不同元素中取出 m 个元素后，剩下 n ? m 个元素．因为从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的每一个组合，与剩下的 n ? m 个元素的每一个组合一一对应 ，所以从 n ．．．． 个不同元素中取出 m 个元素的组合数， 等于从这 n 个元素中取出 n ? m 个元素的组合数， 即：m n?m Cn ? Cn ．在这里，主要体现： “取法”与“剩法”是“一一对应”的思想王新敞奎屯 新疆n?m 证明：∵ C n ?n! n! ? (n ? m)![n ? (n ? m)]! m! (n ? m)!王新敞奎屯 新疆m 又 Cn ?m n?m n! ，∴ C n ? C n m!(n ? m)!0说明：①规定： C n ? 1 ； ②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标； ③此性质作用：当 m ? 例如 C 2002 ＝ C 2002x y ? 20011n m n?m 时，计算 C n 可变为计算 C n ，能够使运算简化. 2＝ C ；④ Cn ? Cn ? x ? y 或 x ? y ? n ．2．组合数的性质 2： C n ?1 ＝ C n + C nmmm ?1．m一般地，从 a1 , a 2 ,? , a n ?1 这 n+1 个不同元素中取出 m 个元素的组合数是 C n ?1 ，这些 组合可以分为两类：一类含有元素 a1 ，一类不含有 a1 ．含有 a1 的组合是从 a 2 , a3 ,? , a n ?1 这 n 个元素 中取 出 m ?1 个元素 与 a1 组成的，共有 C nm ?1个；不 含有 a1 的组合是从m a 2 , a3 ,? , a n ?1 这 n 个元素中取出 m 个元素组成的，共有 C n 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想， “含与不含其元素” 的分类思想． n!(n ? m ? 1) ? n! m n! n! m m ?1 证明： C n ? Cn ? ? ? m! (n ? m)! (m ? 1)![n ? (m ? 1)]! m!(n ? m ? 1)!?m mm (n ? m ? 1 ? m)n! (n ? 1)! ? Cn ? ?1 m! (n ? m ? 1)! m! (n ? m ? 1)!∴ C n ?1 ＝ C n + C nm ?1．说明：①公式特征：下标相同而上标差 1 的两个组合数之和，等于下标比原下标多 1 而上标 与大的相同的一个组合数； ②此性质的作用：恒等变形，简化运算 例 11．一个口袋内装有大小不同的 7 个白球和 1 个黑球， （1）从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？ （2）从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种取法？ （3）从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？王新敞奎屯 新疆解： （1） C8 ? 56 ,或 C 8 ? C 7 ? C 7 ， ； （2） C 7 ? 21 ； （3） C 7 ? 35 ．3 3 2 3 2 3例 12． （1）计算： C7 ? C7 ? C8 ? C9 ；3 4 5 6（2）求证： C m ? 2 ＝ C m + 2C m + C m ． 解： （1）原式 ? C8 ? C8 ? C9 ? C9 ? C9 ? C10 ? C10 ? 210 ；4 5 6 5 6 6 4nnn ?1n?2证明： （2）右边 ? (Cm ? Cm ) ? (Cm ? Cm ) ? Cm?1 ? Cm?1 ? Cm? 2 ? 左边n n nn ?1n ?1n?2n ?1王新敞奎屯新疆例 13．解方程： （1） C13 ? C131 3 Ax ?3 ． 10 解： （1）由原方程得 x ? 1 ? 2x ? 3 或 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 13 ，∴ x ? 4 或 x ? 5 ，x ?1 2 x ?3； （2）解方程： C x ? 2 ? C x ? 2 ?x ?2x ?3?1 ? x ? 1 ? 13 ? ? 又由 ?1 ? 2 x ? 3 ? 13 得 2 ? x ? 8 且 x ? N ，∴原方程的解为 x ? 4 或 x ? 5 ?x ? N ? ?多.王新敞奎屯新疆上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把 x ? 4 和 x ? 5 代入检验,这样运算量小得?2 （2）原方程可化为 Cxx? 3 ?( x ? 3)! ( x ? 3)! 1 3 1 3 5 ， ? Ax ?3 ，即 Cx Ax ?3 ，∴ ?3 ? 5!( x ? 2)! 10 ? x! 10 10∴1 1 ， ? 120( x ? 2)! 10 ? x( x ? 1) ? ( x ? 2)!2∴ x ? x ? 12 ? 0 ，解得 x ? 4 或 x ? ?3 ， 经检验： x ? 4 是原方程的解n p p王新敞奎屯 新疆例 14．证明： C m ? C n ? C m ? C m ? p 。 证明：原式左端可看成一个班有 m 个同学，从中选出 n 个同学组成兴趣小组，在选出 的 n 个同学中， p 个同学参加数学兴趣小组，余下的 n ? p 个同学参加物理兴趣小组的选法 数。 原式右端可看成直接在 m 个同学中选出 p 个同学参加数学兴趣小组， 在余下的 m ? p 个 同学中选出 n ? p 个同学参加物理兴趣小组的选法数。显然，两种选法是一致的，故左边= 右边，等式成立。 例 15．证明： C n C m ? C n C m0 m 1 m ?1 m 0 m ? … ?C n Cm ? Cm 。 ? n （其中 n ? m ）n? p证明：设某班有 n 个男同学、 m 个女同学，从中选出 m 个同学组成兴趣小组，可分为 m ? 1 类：男同学 0 个，1 个，?， m 个，则女同学分别为 m 个， m ? 1 个，?，0 个，共 有选法数为 C n C m ? C n C m0 m 1 1 m ?1 m 0 m ? ? ?C n C m 。又由组合定义知选法数为 C m ? n ，故等式成立。 3 n n ?1例 16．证明： C n ? 2C n ? 3C n ? … ? nCn ? n 22 1 2 3 n 1 1。1 2 1 3 1 n证明：左边= C n ? 2C n ? 3C n ? ? ? nCn = C1 C n ? C 2 C n ? C3 C n ? ? ?C n C n ， 其中 C i C n 可表示先在 n 个元素里选 i 个，再从 i 个元素里选一个的组合数。设某班有 n 个同 学，选出若干人（至少 1 人）组成兴趣小组，并指定一人为组长。把这种选法按取到的人数 ? ，n ） ，则选法总数即为原式左边。现换一种选法，先选组长，有 n 种选 ， 2， i 分类（ i ? 1 法，再决定剩下的 n ? 1 人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有 2 选法总数为 n2n ?11 in?1种，所以种。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。1 2 2 2 3 2 n n?2例 17．证明： C n ? 2 C n ? 3 C n ? … ? n C n ? n(n ? 1)22 i 1 1 i。证明：由于 i C n ? Ci Ci C n 可表示先在 n 个元素里选 i 个，再从 i 个元素里选两个（可 重复）的组合数，所以原式左端可看成在例 3 指定一人为组长基础上，再指定一人为副组长 （可兼职）的组合数。对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况。若组 长 和 副 组 长 是 同 一 个 人 ， 则 有 n2n ?1种选法；若组长和副组长不是同一个人，则有n(n ? 1)2 n ?2 种选法。∴共有 n2 n ?1 + n(n ? 1)2 n ?2 ? n(n ? 1)2 n ? 2 种选法。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。 例 18．第 17 届世界杯足球赛于 2002 年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有 32 支球队 有幸参加，他们先分成 8 个小组循环赛，决出 16 强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、 二名晋级 16 强） ， 这支球队按确定的程序进行淘汰赛， 最后决出冠亚军， 此外还要决出第三、 四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？2 答案是： 8C 4 ? 8 ? 4 ? 2 ? 2 ? 64 ，这题如果作为习题课应如何分析王新敞奎屯 新疆解：可分为如下几类比赛： ⑴小组循环赛：每组有 6 场，8 个小组共有 48 场； ⑵八分之一淘汰赛：8 个小组的第一、二名组成 16 强，根据抽签规则，每两个队比赛 一场，可以决出 8 强，共有 8 场； ⑶四分之一淘汰赛：根据抽签规则，8 强中每两个队比赛一场，可以决出 4 强，共有 4 场； ⑷半决赛：根据抽签规则，4 强中每两个队比赛一场，可以决出 2 强，共有 2 场； ⑸决赛：2 强比赛 1 场确定冠亚军，4 强中的另两队比赛 1 场决出第三、四名 共有 2 场.2 综上，共有 8C 4 ? 8 ? 4 ? 2 ? 2 ? 64 场王新敞奎屯 新疆四、课堂练习： 1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题： （1）从 4 个风景点中选出 2 个安排游览，有多少种不同的方法？ （2）从 4 个风景点中选出 2 个，并确定这 2 个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？ 2． 7 名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（ ） C ．7 A ． 42 B ． 21 D．6 3．如果把两条异面直线看作“一对” ，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ） C ． 30 对 A ． 15 对 B ． 25 对 D ． 20 对 4．设全集 U ? ?a, b, c, d ? ，集合 A 、 B 是 U 的子集，若 A 有 3 个元素， B 有 2 个元素，且A ? B ? ?a? ，求集合 A 、 B ，则本题的解的个数为 （ ）C ．7 A ． 42 B ． 21 D ．3 5．从 6 位候选人中选出 2 人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法 6．从 6 位同学中选出 2 人去参加座谈会，有 种不同的选法王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆7．圆上有 10 个点： （1）过每 2 个点画一条弦，一共可画 条弦； （2）过每 3 个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形 8． （1）凸五边形有 条对角线； （2）凸 n 五边形有 条对角线 9．计算： （1） C15 ； （2） C6 ? C8 ．3 3 4王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆10． A, B, C, D, E 5 个足球队进行单循环比赛， （1）共需比赛多少场？（2）若各队的得分 互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？ 11．空间有 10 个点，其中任何 4 点不共面， （1）过每 3 个点作一个平面，一共可作多少个平面？（2）以每 4 个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？ 12．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？ 13．写出从 a, b, c, d , e 这 5 个元素中每次取出 4 个的所有不同的组合 答案：1. （1）组合, （2）排列 7. （1）45 （2） 120 9. ⑴455；3王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆2. B 3. A 4. D5. 30 6. 158. （1）5（2） n(n ? 3) / 2 10. ⑴10； ⑵20⑵2 7王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆11. ⑴ C10 ? 120 ；1 2 3⑵ C10 ? 21044 4王新敞奎屯新疆12. C4 ? C4 ? C4 ? C4 ? 2 ? 1 ? 15 名称内容 分类原理王新敞奎屯新疆分步原理定义相同点 不同点13. a, b, c, d ；a, b, c, e ；a, b, d , e ；a, c, d , e ；b, c, d , e王新敞奎屯新疆五、小结 ：组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确 定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理 学生探究过程： （完成如下表格）王新敞奎屯 新疆名 称 定义排列组合种数 符号计算 公式关系 性质，六、课后作业：王新敞奎屯新疆七、板书设计（略）王新敞奎屯新疆八、教学反思： 排列组合问题联系实际生动有趣， 题型多样新颖且贴近生活， 解法灵活独到但不易掌握， 许多学生面对较难问题时一筹莫展、无计可施，尤其当从正面入手情况复杂、不易解决时， 可考虑换位思考将其等价转化，使问题变得简单、明朗。 教科书在研究组合数的两个性质① C n ? C nm n?m，② C n ?1 ? C n ? C nm mm ?1时，给出了组合数定义的解释证明， 即构造一个组合问题的模型， 把等式两边看成同一个组合问题的两种计 算方法，由组合个数相等证出要证明的组合等式。这种构造法证明构思精巧，把枯燥的公式 还原为有趣的实例，能极大地激发学习兴趣。本文试给几例以说明。教学反思： 1 注意区别“恰好”与“至少” 从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种 2 特殊元素（或位置）优先安排 将 5 列车停在 5 条不同的轨道上，其中 a 列车不停在第一轨道上，b 列车不停在第二轨 道上，那么不同的停放方法有种 3“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空” 七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种 4、混合问题，先“组”后“排” 对某种产品的 6 件不同的正品和 4 件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为 止，若所有次品恰好在第 5 次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？ 5、分清排列、组合、等分的算法区别 (1)今有 10 件不同奖品,从中选 6 件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法? (2) 今有 10 件不同奖品, 从中选 6 件分给三人,其中 1 人一件 1 人二件 1 人三件, 有多 少种分法? (3) 今有 10 件不同奖品, 从中选 6 件分成三份,每份 2 件, 有多少种分法? 6、分类组合,隔板处理 从 6 个学校中选出 30 名学生参加数学竞赛,每校至少有 1 人,这样有几种选法?1．3．1 二项式定理教学目标： 知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题 情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的 结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。 教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型：新授课 课时安排：3 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 二项式定理是初中乘法公式的推广， 是排列组合知识的具体运用， 是学习概率的重要基 础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定 理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等． 通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识， 同时在求展开式、 其通项、 证恒等式、 近似计算等方面形成技能或技巧； 进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用； 重视学生 正确情感、态度和世界观的培养和形成． 二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特 殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点． 二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用 组合数的性质 2、需要用到不太熟悉的数学归纳法． 在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动 的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以 使他们能在再创造的氛围中学习． 教学过程： 一、复习引入：王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆⑴ (a ? b) ? a ? 2ab ? b ? C2 a ? C2 ab ? C2 b ；2 2 2 0 2 1 2 2⑵ (a ? b) ? a ? 3a b ? 3ab ? b ? C3 a ? C3 a b ? C3 ab ? C3 b3 3 2 2 3 0 3 1 2 2 23 3王新敞奎屯 新疆⑶ (a ? b) ? (a ? b)(a ? b)(a ? b)(a ? b) 的各项都是 4 次式，4即展开式应有下面形式的各项： a ， a b ， a b ， ab ， b ， 展开式各项的系数： 上面 4 个括号中， 每个都不取 b 的情况有 1 种， 即 C4 种， a 的系数是 C4 ； 恰有 1 个取 b 的情况有 C4 种， a b 的系数是 C4 ，恰有 2 个取 b 的情况有 C4 种， a b 的系1432 2340403122 2数是 C4 ，恰有 3 个取 b 的情况有 C4 种， ab 的系数是 C4 ，有 4 都取 b 的情况有 C4 种， b 的系数是 C4 ， ∴ (a ? b) ? C4 a ? C4 a b ? C4 a b ? C4 a b ? C4 b ．4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 42333444二、讲解新课： 二项式定理： (a ? b) ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cn an 0 n 1 n r n ?r n n b r ? ? ? Cn b (n ? N ? )⑴ ( a ? b) 的展开式的各项都是 n 次式，即展开式应有下面形式的各项：na n ， a nb ，?， a n?r br ，?， b n ，⑵展开式各项的系数： 每个都不取 b 的情况有 1 种，即 Cn 种， a 的系数是 Cn ； 恰有 1个取 b 的情况有 C n 种， a b 的系数是 C n ，??， 恰有 r 个取 b 的情况有 Cn 种， an r 1 0n0n1n?rbr 的系数是 Cnr ，??，n有 n 都取 b 的情况有 Cn 种， b 的系数是 Cn ， ∴ (a ? b) ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cn an 0 n 1 n r n ?r n n b r ? ? ? Cn b (n ? N ? ) ，n这个公式所表示的定理叫二项式定理， 右边的多项式叫 ( a ? b) 的二项展开式， ⑶它有 n ? 1n项，各项的系数 Cn (r ? 0,1,? n) 叫二项式系数，r⑷ Cn arn?rr n?r r a b ． b r 叫二项展开式的通项，用 Tr ?1 表示，即通项 Tr ?1 ? Cn n 1 r r n王新敞奎屯 新疆⑸二项式定理中，设 a ? 1, b ? x ，则 (1 ? x) ? 1 ? Cn x ? ? ? Cn x ? ? ? x 三、讲解范例： 例 1．展开 (1 ? ) ．41 1 3 解一： (1 ? )4 ? 1 ? C4 ( ) ? C4 ( ) 2 ? C4 ( )3 ? ( ) 4 ? 1 ?1 x1 x1 x1 x1 x1 x4 6 4 1 ? ? ? ． x x 2 x3 x 41 3 1 2 3 解二： (1 ? )4 ? ( )4 ( x ? 1)4 ? ( ) 4 ? x 4 ? C4 x ? C4 x ? C4 x ? 1? ? ? x x x1114 6 4 1 ? 1? ? 2 ? 3 ? 4 ． x x x x例 2．展开 (2 x ?1 6 ) ． x解： (2 x ?1 6 1 ) ? 3 (2 x ? 1)6 x x1 1 2 3 2 1 [(2 x)6 ? C6 (2 x)5 ? C6 (2 x)4 ? C6 (2 x