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排列组合解题中的八大典型错误、24种解题技巧和三大重要模型(类型全、归纳细、绝对精品).doc 36页
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排列与组合的八大典型错误、24种解题技巧和四大模型
一、知识点归纳
二、常见题型分析
三、排列组合解题备忘录
1．分类讨论的思想
2.等价转化的思想
3.容斥原理与计数
4.模型构造思想
四、排列组合中的8大典型错误
1．没有理解两个基本原理出错
2.判断不出是排列还是组合出错
3.重复计算出错
4.遗漏计算出错
5.忽视题设条件出错
6. 未考虑特殊情况出错
7．题意的理解偏差出错
87.解题策略的选择不当出错
五、排列组合24种解题技巧
1．排序问题
相邻问题捆绑法
相离问题插空排
定序问题缩倍法（插空法）
定位问题优先法
多排问题单排法
圆排问题单排法
可重复的排列求幂法
全错位排列问题公式法
2．分组分配问题
平均分堆问题去除重复法（平均分配问题）
相同物品分配的隔板法
全员分配问题分组法
有序分配问题逐分法
3．排列组合中的解题技巧
至多至少间接法
染色问题合并单元格法
交叉问题容斥原理法
构造递推数列法
六．排列组合中的基本模型
分组模型（分堆模型）
一．知识点归纳
1．排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列
2．排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示
3．排列数公式：（）
4阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定．
5．排列数的另一个计算公式：=
6组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合
7．组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．
8．组合数公式：
9 组合数的性质1：．规定：；
10．组合数的性质2：＝+
11.“16字方针”是解决排列组合问题的基本规律，即：
分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合，。
12.“２1个技巧”是迅速解决排列组合的捷径
二．基本题型讲解
分别求出符合下列要求的不同排法的种数,
（1）6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；
（2）6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；
（3）从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；
（4）6人排成一排，甲、乙必须相邻；
（5）6人排成一排，甲、乙不相邻；
（6）6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻）.
解：（1）分排坐法与直排坐法一一对应，故排法种数为
　　（2）甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有种选法，然后其他5人选，有种选法，故排法种数为
　　（3）有两棒受限制，以第一棒的人选来分类：
①乙跑第一棒，其余棒次则不受限制，排法数为；
②乙不跑第一棒，则跑第一棒的人有种选法，第四棒除了乙和第一棒选定的人外，也有种选法，其余两棒次不受限制，故有种排法，
由分类计数原理，共有种排法
（4）将甲乙“捆绑”成“一个元”与其他4人一起作全排列共有种排法
（5）甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的4人的左、右及之间的空挡插位，共有（或用6人的排列数减去问题（2）后排列数为）
（6）三人的顺序定，实质是从6个位置中选出三个位置，然后排按规定的顺序放置这三人，其余3人在3个位置上全排列，故有排法种
　　点评：排队问题是一类典型的排列问题，常见的附加条件是定位与限位、相邻与不相邻
假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各多少种？
（1）没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品
　　解：（1）没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法，共有种
（2）恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有种
（3）至少有2件次品的抽法，按次品件数来分有二类：
第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有种
第二类从97件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有种
按分类计数原理有种
点评：此题是只选“元”而不排“序”的典型的组合问题，附加的条件是从不同种类的元素中抽取，应当注意：如果第（3）题采用先从3件次品抽取2件（以保证至少有2件是次品），再从余下的98件产品中任意抽取3件的抽法，那么所得结果是种，其结论是错误的，错在“重复”：假设3件次品是A、B、C，第一步先抽A、B第二步再抽C和其余2件正品，与第一步
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错排的递推公式及推导
错排递推公式：f(n)=(n-1)*(f(n-2)+f(n-1));颜书先生《“装错信封问题”的数学模型与求解》一文（见《数学通报》 2000 年第 6 期&p.35 ），给出了该经典问题的一个模型和求解公式：编号为 1 ， 2 ，……， n 的 n&个元素排成一列，若每个元素所处位置的序号都与它的编号不同，则称这个排列为 n&个不同元素的一个错排。记 n 个不同元素的错排总数为 f(n) ，则f(n) = n![1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^n*1/n!]（ 1 ）本文从另一角度对这个问题进行一点讨论。1. 一个简单的递推公式n 个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成：第一步，“错排” 1 号元素（将 1 号元素排在第 2 至第 n 个位置之一），有 n - 1&种方法。第二步，“错排”其余 n - 1 个元素，按如下顺序进行。视第一步的结果，若 1&号元素落在第 k 个位置，第二步就先把 k 号元素“错排”好， k&号元素的不同排法将导致两类不同的情况发生：（ 1 ） k 号元素排在第 1&个位置，留下的 n - 2 个元素在与它们的编号集相等的位置集上“错排”，有 f(n -2)&种方法；（ 2 ） k 号元素不排第 1 个位置，这时可将第 1 个位置“看成”第 k&个位置，于是形成（包括 k 号元素在内的） n - 1 个元素的“错排”，有 f(n - 1)&种方法。据加法原理，完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1) 种方法。根据乘法原理， n 个不同元素的错排种数f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n>2) 。 （ 2 ）
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错排公式是什么
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递推的方法推导错排公式　　当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示,那么M(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推. 　　第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法; 　　第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况.1,把它放到位置n,那么,对于剩下的n-2个元素,就有M(n-2)种方法;2,不把它放到位置n,这时,对于这n-2个元素,有M(n-1)种方法; 　　综上得到 　　M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)] 　　特殊地,M(1)=0,M(2)=1 　　下面通过这个递推关系推导通项公式: 　　为方便起见,设M(k)=k!N(k), (k=1,2,…,n) 　　则N(1)=0,N(2)=1/2 　　n>=3时,n!N(n)=(n-1)(n-1)!N(n-1)+(n-1)!N(n-2) 　　即 nN(n)=(n-1)N(n-1)+N(n-2) 　　于是有N(n)-N(n-1)=-[N(n-1)-N(n-2)]/n=(-1/n)[-1/(n-1)][-1/(n-2)]…(-1/3)[N(2)-N(1)]=(-1)^n/n! 　　因此 　　N(n-1)-N(n-2)=(-1)^(n-1)/(n-1)! 　　N(2)-N(1)=(-1)^2/2! 　　相加,可得 　　N(n)=(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n! 　　因此 　　M(n)=n![(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!] 　　可以得到 　　错排公式为M(n)=n!(1/2!-1/3!+…..+(-1)^n/n!)
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其他类似问题
扫描下载二维码错排问题&就是一种递推式，不过它比较著名且常用，所以要熟记！
n各有序的元素应有n！种不同的排列。如若一个排列式的所有的元素都不在原来的位置上，则称这个排列为错排。任给一个n，求出1,2,……,n的错排个数Dn共有多少个。
递归关系式为：D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2))
D(1)=0,D(2)=1
错排公式为&f(n) = n![1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^n*1/n!]&
其中,n!=1*2*3*.....*n,
特别地,有0!=0,1!=1.
n 个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成：&
第一步，“错排” 1 号元素（将 1 号元素排在第 2 至第 n 个位置之一），有 n - 1 种方法。&
第二步，“错排”其余 n - 1 个元素，按如下顺序进行。视第一步的结果，若1号元素落在第 k 个位置，第二步就先把 k 号元素“错排”好， k 号元素的不同排法将导致两类不同的情况发生：
1、 k 号元素排在第1个位置，留下的 n - 2 个元素在与它们的编号集相等的位置集上“错排”，有 f(n -2) 种方法；
2、 k 号元素不排第 1 个位置，这时可将第 1 个位置“看成”第 k 个位置(也就是说本来准备放到k位置为元素，可以放到1位置中),于是形成（包括 k 号元素在内的） n - 1 个元素的“错排”，有 f(n - 1) 种方法。据加法原理，完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1) 种方法。&
根据乘法原理， n 个不同元素的错排种数&
f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n&2) 。&
代码段如下:
D[1] = 0;D[2] = 1;
for(i = 3; i &= i ++)
D[i] = (i - 1) * (D[i - 1] + D[i - 2]);
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参考博客2链接
参考博客3链接考新郎
错排公式问题描述:
n封信放入n个信封，要求全部放错，共有多少种放法，记n个元素的错排总数为f(n)
F(n) = ( n -1 ) * ( f(n - 1) + f(n - 2))
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