∫（cosx）^4 dx
我知道可以降次用倍角公式化简，但是老师说可以通过两次分部积分再变换一下也能求出，请问该怎么求？
对于(cosx)^(2n)的不定积分，用分部积分方法更有实际意义。
光计算一个∫（cosx）^4 dx ，可能还没法掌握这个方法的本质——降阶递推。
其他答案（共3个回答）
1.∫(cos相关信息三菱gx developer安装不了先安...电脑漏洞可以修复吗 电脑系统漏洞可以修复...电脑最近几天总是出现开枪打碎玻璃的声音，...网上“一键重装系统”软件名目繁多，安装系...电脑标题栏求解答 桌面最下端的标题栏，不...电脑没有声音 打开优酷，显示声音输出设备...windows98的系统，突然启动不了，...升级windows10后照片都不见了怎么...最近电脑有点卡，没有重装系统过，用什么工...在不删除原先文件的前提下，如何把XP升级...刻录系统盘启动按F1电脑颜色变电脑连接%电脑最下面x)^4 dx =sinx（cosx)^3 -3∫sinx（cosx)^2 (-sinx)dx=sinx（cosx)^3+3∫(cosx)^2 dx-3∫(cosx)^4 dx∫(cosx)^4 dx=[sinx（cosx)^3]/4+(3/4)∫(cosx)^2 dx2.∫(cosx)^2 dx=cosxsinx-∫sinx(-sinx)dx
=cosxsinx+∫dx-∫(cosx)^2 dx∫(cosx)^2 dx=[cosxsinx]/2+x/2+c
(cos x)^2 = [1 + cos(2x)]/2thus(cos x)^4 = [1 + cos(2x)]^2 / 4= [1 + 2cos(2x) + {cos(2x)}^2] / 4= [1 + 2cos(2x) + {1 + cos(4x)}/2] / 4= [3 + 4cos(2x) + cos(4x)] / 8thus∫ cos^4(x) dx= ∫ [3 + 4cos(2x) + cos(4x)] / 8 dx= 1/8 [3x + 2sin(2x) + 1/4 sin(4x)] + C .
先用2倍角公式把cosx^4降次,然后出来个cos2x^2再用2倍角公式再降次就可以等出结果拉。具体看我附件.
令A=∫(cosx)^2 *(sinx)^4 *dx=∫(cosx)*(sinx)^4*d(sinx)=∫(cosx)*(1/5)*d[(sinx)^5]=(1...
此题极易，我离校四十余年仍能立即解出。其解法如下。采用变量代换法立即得解也。令y=lnx,则根号下为（y+1).x=e的y 次幂。dx=e的y次幂乘dy.运用你...
换元积分，令x=cost,dx=-sintdt,x从0到1，t从π/2到0,原积分∫(0,1)arcsin√(1-x*x)dx=∫(π/2,0)(arcsins...
答: 百天宝可以出远门吗，火车七个小时，汽车两个小时
答: x->0:lim(1+x)^(-1/x)=1/[x->0:lim(1+x)^(1/x)=1/ex->∞:limxsin(1/x)=1/x->0:lim[sin(...
答: 计算科学是一门什么样的学科？答：计算学科（通常也称作计算机科学与技术）作为现代技术的标志，已成为世界各国经济增长的主要动力。但如何认识这门学科，它究竟属于理科还...
答: 补课是比较错误的方式。我一直到高中毕业没补过课。爸妈也不管我，随我学什么。我打游戏和化学都挺好。现在在大学读书，很深刻地感受到教育是钱买不来的。在实验室做小型的...
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2012全品高考复习方案教师手册(理)第2单元-函数与导数-人教A版
人教A版本课件为“逐字编辑”课件，使用时欲修改课件， 请双击对应内容，即可进入可编辑状态。 在此状态下，如果有的公式双击后无法用公式编 辑器编辑，请选中此公式，点击右键、“切换域代 码”，即可进行编辑。修改后再点击右键、“切换域 代码”，即完成修改。 如有疑问欢迎致电：010-第二单元 函数与导数<b
r />第4讲 函数及其表示第5讲 第6讲 第7讲 第8讲 第9讲 第10讲 函数的单调性与最值 函数的奇偶性和周期性 二次函数 指数与指数函数 对数与对数函数 幂函数与函数的图象第11讲 第12讲 第13讲 第14讲 第15讲函数与方程 函数模型及其应用 导数及其运算 导数的应用 定积分与微积分基本定理第二单元函数与导数第二单元 │ 知识框架知识框架第二单元 │ 知识框架第二单元 │ 考纲要求 考纲要求1．函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函 数) (1)函数 ①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值 域；了解映射的概念． ②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图 象法、列表法、解析法)表示函数． ③了解简单的分段函数，并能简单应用． ④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结 合具体函数，了解函数奇偶性的含义． ⑤会运用函数图象理解和研究函数的性质．第二单元 │ 考纲要求(2)指数函数 ①了解指数函数模型的实际背景． ②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌 握幂的运算． ③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握 指数函数图象通过的特殊点． ④知道指数函数是一类重要的函数模型．第二单元 │ 考纲要求(3)对数函数 ①理解对数的概念及其运算性质，知道 用换底公式能将一般对数转化成自然对数或 常用对数；了解对数在简化运算中的作用． ②理解对数函数的概念，理解对数函数 的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． ③知道对数函数是一类重要的函数模 型． ④了解指数函数 y＝ax 与对数函数 y＝ log ax 互为反函数(a＞0 且 a≠1)．第二单元 │ 考纲要求(4)幂函数 ①了解幂函数的概念．1 1 ②结合函数 y＝x，y＝x ，y＝x ，y＝x ，y＝x2的图象，了解它们 的变化情况． 2 3(5)函数与方程 ①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断 一元二次方程根的存在性及根的个数． ②根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．第二单元 │ 考纲要求(5)函数与方程 ①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系， 判断一元二次方程根的存在性及根的个数． ②根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似 解． (6)函数模型及其应用 ①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道 直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． ②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段 函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．第二单元 │ 考纲要求2．导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ①了解导数概念的实际背景． ②理解导数的几何意义．(2)导数的运算 ①能根据导数定义求函数 y＝C(C 为常数)， ＝x， y y＝x2， 1 3 y＝x ，y＝x，y＝ x的导数． ②能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的 四则运算法则求简单函数的导数．第二单元 │ 考纲要求常见基本初等函数的导数公式： C′＝0(C 为常数)；(xn)′＝nxn － 1 ，n∈N ＋ ；(sinx)′＝cosx； (cosx)′＝－sinx； 1 (ex)′＝ex ；(ax)′＝axln a(a＞0，且 a≠1)；(ln x)′＝ x ； 1 (logax)′＝xlogae(a＞0，且 a≠1)． 常用的导数运算法则： 法则 1：[u(x)± v(x)]′＝u′(x)± v′(x)． 法则 2：[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)． ?u?x?? u′?x?v?x?－u?x?v′?x? ? ? 法则 3：? (v(x)≠0)． ?′＝ v2?x? ?v?x??第二单元 │ 考纲要求(3)导数在研究函数中的应用 ①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单 调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). ②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导 数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)； 会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过 三次)． (4)生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题． (5)定积分与微积分基本定理 ①了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定 积分的概念； ②了解微积分定理的含义．第二单元 │ 命题趋势 命题趋势纵观近几年新课标各省市的高考试卷，函数的主干知识、函 数的综合应用函数与导数以及函数与方程的重要思想方法的考查， 一直是高考的重点内容之一，在选择题、填空题、解答题中都有 函数试题，其特点是：稳中求变，变中求新、新中求活，试题设 计既有传统的套用定义、简单地使用性质的试题，也有挖掘本质， 活用性质，出现了不少创新情境、新定义的信息试题，以及与实 际密切联系的应用题，和其他知识尤其是数列、不等式、几何等 知识交汇的热点试题． 另外还具有以下特点：第二单元 │ 命题趋势1．以具体的二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等函数的 概念、性质和图象为主要考查对象，适当考查分段函数、抽象函数； 2．把函数知识与方程、不等式、解析几何等内容相结合，重点 考查学生的推理论证能力、运算求解能力和数学综合能力； 3．突出考查等价转化、函数与方程、分类讨论、数形结合、待 定系数法、配方法、构造法等数学思想方法； 4．在选择题和填空题中出现，主要以导数的运算、导数的几何意义、导数的应用为主(研究函数的单调性、极值和最值等)； 5．在解答题中出现，有时作为压轴题，主要考查导数的综合应 用，往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起，考 查学生的分类讨论，转化化归等思想．第二单元 │ 命题趋势函数是高中数学的主要内容，它把中学数学的各个分支紧密 地联系在一起，是中学数学全部内容的主线，预测2012年高考在 选择题、填空题中主要考查函数的概念、性质和图象、导数的概 念及运算，解答题主要以函数为背景，与导数、不等式、数列、 甚至解析几何等知识相整合设计试题，考查函数知识的综合应． 预测2012年高考试题对本部分内容的考查将以小题和大题的形式 出现，小题主要考查导数的概念、几何意义、导数的运算，大题 主要以函数为背景，以导数为工具，考查应用导数研究函数的单 调性、极值或最值问题，在函数、不等式、解析几何等知识网络 交汇点命题．第二单元 │ 使用建议1.编写意图 “函数”是高中数学中起连接和支撑作用的主干知识， 也是进一步学习高等数学的基础，其知识、观点、思想和方 法贯穿于高中代数的全过程， 同时也应用于几何问题的解决. 因此，在高考中函数是一个极其重要的部分，函数的复习也 是高三数学第一轮复习的重头戏. 编写中注意到以下几个问题： (1)考虑到该部分内容是第一轮初始阶段复习的知识， 因 此在选题时注重基础题为主，尽量避免选用综合性强，思维 难度大的题目； (2)函数与方程、分类讨论、数形结合、化归转化等数学 思想与方法，在本单元中均有涉及，充分体现了数学思想是 本书的精髓的理念；第二单元 │ 使用建议(3)从近几年高考看来，涉及该部分内容的新情景、新定义的信息迁移题以及实际应用问题是高考的一个热点话 题，因此适当加入了类似的题目； (4)突出了函数性质的综合应用，在第 6 讲复习完函数 的性质后，专门设置了涉及函数性质综合应用的课时作业. (5)为体现导数在研究函数中的作用，专门设置了以该 内容为主的滚动基础训练； (6)有意识地将解析几何中切线、最值问题，函数的单 调性、极值、最值问题，二次函数，方程，不等式，代数不 等式的证明等进行交汇， 特别是精选一些以导数为工具分析 和解决一些函数问题， 切线问题的典型问题， 充分体现导数 的工具性.第二单元 │ 使用建议2.教学指导 高三函数复习不是简单的知识重复，而是再认识，再提高的过 程，复习中的最大矛盾是时间短，内容多，要求高，而且高一学习 函数时是走马观花，匆匆而过，这就要求在上复习课时既要做到突 出重要点， 抓住典型， 又能在高度概括中深刻揭示知识的内在联系， 使学生在掌握规律中理解、记忆、熟练、提高，因此教师在引导学 生复习该部分时，对各层次知识点要把握准确，切忌追求难题、偏 题和怪题. 教学时，注意到如下几个问题： (1)突出《考纲》的导向性作用：引导学生研读《考纲》 ，即不 仅老师对《考纲》中对函数的考查要求要了如指掌，学生也必须十 分明确，知道自己该在哪些方面下工夫，明确自己的任务和方向， 以使自己的复习目标和复习行为与老师的要求合拍， 减少师生之间 的无谓的内耗，与高考先来次“零接触”.第二单元 │ 使用建议(2)重视教材的基础作用和示范作用：函数客观题一般直 接来源于教材，往往就是课本的原题或变式题，主观题的生 长点也是教材，在函数复习备考中重视教材中一些有典型意 义又有创新意识的题目作为函数复习过程中的范例与习题， 贯彻“源于课本，高于课本”的原则. (3)阐明知识系统，掌握内在联系：知识的整体性是切实 掌握函数知识的重要标志，函数概念、图象和性质是环环相 扣，紧密相连，互相制约的，并形成了一个有序的网络化的 知识体系，这就要求在复习过程中应在这个网络化的体系中 去讲函数的概念、性质、公式、例题，只有这样，学生对概 念、性质的理解才是深刻的、全面的，记忆才是鲜明的、牢 固的、生动的，应用起来才是灵活的、广泛的.第二单元 │ 使用建议(4)重视渗透数学的思想方法：数学思想和方法是数学知识在 更高层次上的抽象和概括，单纯的知识教学只能是学生知识的积 累，而思想和方法的教学则潜移默化于能力的提高过程中，函数这 一部分重要的数学思想方法有函数与方程思想、分类讨论思想、等 价转化思想、数形结合的思想，数学方法有配方法、换元法、待定 系数法、比较法、构造法等.数学思想方法是以具体的知识为依托 的，在复习教学中，要重视知识的形成过程，着重研究解题的思维 过程， 有意识的渗透思想方法， 使学生从更高层次去领悟， 去把握， 去反思数学知识，增强数学意识，提高数学能力. (5)重视几类特殊函数：抽象函数、分段函数理解研究起来比 较困难，但是这类问题对培养学生观察能力，有十分重要的作用， 近几年来高考无论是客观题还是主观题中都有涉猎. (6)引导学生按考试要求的三个层次进行导数复习，不能停留 在简单地复习导数的知识和应用上.第二单元 │ 使用建议3.课时安排 本单元共 12 讲，其中第 6 讲 2 个课时，其余每讲建议 1 课时完成，两个滚动基本训练各 1 个课时，一个单元能力训 练卷 1 课时完成，因此建议 16 课时完成复习任务.第4讲 │ 函数及其表示第4讲 函数及其表示第4讲 │ 知识梳理 知识梳理1．函数 (1)函数的定义：设A、B都是非空的数集，如果按照某种确 定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中 唯一确定 都有_____________的f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集 合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变 定义域 量， x的取值范围A叫做函数f(x)的________，与x的值相对应 的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数f(x)的 值域 ______，显然，{f(x)|x∈A}?B. 值域 定义域 对应关系 (2)构成函数的三要素是：________、__________、______. 解析法 列表法 图象法 (3)函数的表示方法：________、________、________.第4讲 │ 知识梳理2．映射的定义：设A、B是两个非空的集合，如果按照 某一种确定 任意一个 ___________的对应关系f，使对于集合A中的_________元素x ，在集合B中都有________元素y和它对应， 那么就称对应f： 唯一的 A→B叫做从集合A到集合B的一个映射． 特殊 映射与函数的关系：函数是______的映射． 3．分段函数 分段函数的理解：函数在它的定义域中对于自变量x的不同取 表示的式子 值，____________可以不止一个，即对应法则“f”是分几段给 出表达的，它是一个函数，不是几个函数． 并集 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的______，其值域等 并集 于各段函数的值域的______． 4．函数解析式的求法 待定系数法 换元法 配方法 求函数解析式的常用方法：___________、_______、 ______、 赋值法和函数方程法．第4讲 │ 知识梳理5．常见函数定义域的求法 全体实数 (1)整式函数的定义域为__________； 零 (2)分式函数的分母不得为____； 非负数 (3)开偶次方根的函数被开方数为________； 大于零 (4)对数函数的真数必须_______； 大于零且不等于1 (5)指数函数与对数函数的底数必须________________；π kπ＋ ，k∈Z 2 (6)三角函数中的正切函数y＝tanx，x∈R，且x≠____________；实际意义 (7)如果函数是____________确定的解析式，应依据自变量的实 际意义确定其取值范围； (8)对于抽象函数，要用整体的思想确定自变量的范围； (9)对于复合函数y＝f[g(x)]，若已知f(x)的定义域为[a，b]， a≤g(x)≤b 其复合函数f[g(x)]的定义域是不等式__________的解集．第4讲 │ 要点探究 要点探究? 探究点1 函数与映射的概念例1 已知集合A ＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，在下列A到B的四种 对应关系中，构成A到B的函数的是________．图4－1第4讲 │ 要点探究[思路]利用函数的定义中的两个条件判断对应是否为函数． (1)(3) [解析] 对于(1)，集合A中的每一个元素在B中都有唯 一的元素与之对应，因此(1)是函数；对于(2)，集合A中的元素4 在B中没有元素与之对应，因此(2)不是函数；对于(3)，集合A中 的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应，因此(3)是函数； 对于(4)，集合A中的元素3在B中有两个元素与之对应，因此(4)不 是函数． [点评] 判断一个对应关系是否是映射或函数关系，关键抓住 两个关键词“任意”、“唯一”，即x的任意性和y的唯一性，判断一 个图象是否是函数图象也是如此，如：第4讲 │ 要点探究设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出图4－2中四个 图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有图4－2 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个第4讲 │ 要点探究B [解析] 根据函数的定义逐一判断． 对于图(a)，M中属于(1,2]的元素，在N中没有元素有它对应， 不符合定义； 对于图(b)，M中任何元素，在N中都有唯一的元素和它 对应，符合定义； 对于图(c)，与M对应的一部分元素不属于N，不符合定 义； 对于图(d)，M中属于[0,2)的元素，在N中有两个元素与之对 应，不符合定义， 由上分析可知，应选B.第4讲 │ 要点探究? 探究点2 函数的定义域的求法 3x2 例 2 (1)[2010?河西模拟] 函数 f(x)＝ 2 1－x －3x )的定义域是( )A.? 1 ? ?－ ，2? ? 3 ? ? 1? ?－2， ? 3? ?＋lg(2＋5xB.? 1 ? ?－ ，1? ? 3 ? ? 1? ?－∞，－ ? 3? ?C.D.第4讲 │ 要点探究(2)[2010? 天津六校联考] 定义两种运算：ab＝ a2－b2， 2x 2 a b＝ ?a－b? ，则函数 f(x)＝ 的解析式为( ) ?x 2?－2 x2－4 ? ? ? ? ?－∞，－2?∪?2，＋∞? A．f(x)＝－ x ，x∈? ? ? ? x2－4 ? ? ? ? B．f(x)＝ x ，x∈??－∞，－2??∪??2，＋∞?? 4－x2 ? ? ? ? ?－2，0?∪?0，2? C．f(x)＝－ x ，x∈? ? ? ? 4－x2 ? ? ? ? D．f(x)＝ x ，x∈??－2，0??∪??0，2??第4讲 │ 要点探究(3)[2010?合肥模拟] 已知函数 f(2x)定义域是[1,2]，则函数 f(log2x)的定义域为________．[思路] (1)(2)是根据函数解析式求其定义域，只要根据使函数表 达式有意义的条件， 列出不等式(组)， 再求解得到自变量的取值范围； (3)由 f(2x)的定义域求得 f(x)的定义域，然后根据 f(x)的定义域求 f(log2x)的定义域(1)B (2)C (3)[4,16] (1)[解析] 要使函数解析式有意义，则 ?1－x&0， ? 1 ? ? 1 ? 解得－ &x&1，因此函数的定义域为?－3，1?； 3 ?2＋5x－3x2&0， ? ? ? 2x 4－x2 (2) 根 据 运 算 的 定 义 可 知 ， f(x) ＝ ＝ ＝ ?x? 2 ?－2 ?2－x?2－2?4－x2≥0， 4－x2 ? ，要使函数解析式有意义，则? 解得 ?|2－x|－2≠0， |2－x|－2 ?第4讲 │ 要点探究?4－x2≥0， 4－x2 ? ，要使函数解析式有意义，则? 解得 ?|2－x|－2≠0， |2－x|－2 ?－2≤x&0 或 0&x≤2，因此函数的定义域为[－2,0)∪(0,2]，故选 C. (3)∵f(2x)的定义域为[1,2]，因此函数 f(x)的定义域为[2,4]，由 2≤log2x≤4，解得 4≤x≤16，因此函数 f(log2x)的定义域为[4,16]．[点评] (1)由函数解析式求定义域， 关键是列出使函数有意义的条 件，解出各条件中自变量取值范围，并结合数轴求得它们的交集，从 而得到函数的定义域；(2) 若函数 f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 y＝f[g(x)]的定义域是不等式 a≤g(x)≤b 的解集；(3)函数的定义域应 写成区间或集合的形式．对于已知函数定义域求字母参数问题，可转 化为恒成立问题求解，如下面的变式题．第4讲 │ 要点探究(1)函数 y＝ kx2－6x＋k＋8的定义域为 R，则 k 的取值 范围是( ) A．k≥0 或 k≤－9 B．k≥1 C．－9≤k≤1 D．0＜k≤1x－4 (2)若函数 f(x)＝ 2 的定义域为 R，则实数 m 的取值 mx ＋4mx＋3 范围是________．第4讲 │ 要点探究(1)B? 3? ?0， ? (2) 4? ?[解析] (1)∵kx2－6x＋k＋8≥0 恒成立，k≤0 解得 k≥1.?k&0， ? 显然不符，∴? ?Δ＝36－4k?k＋8?≤0， ?x－4 (2)若 m＝0，f(x)＝ 的定义域为 R；若 m≠0，则方程 mx2＋ 3 3 4mx＋3＝0 无解，Δ＝16m2－12m&0，得 0&m& ，综上可知，所求的 4 ? 3? ?0， ?. 范围为 4? ?第4讲 │ 要点探究? 探究点3 函数的值域的求法) 1 例 3 (1)[2010?佛山模拟] 函数 f(x)＝x(x＞1)的值域是( A．(－∞，0)∪(0，＋∞) B．R C．(1，＋∞) D．(0,1) (2)函数 y＝4－ 3＋2x－x2的值域是________． (3)函数 y＝x＋ 1－2x的值域是________．[思路] (1)利用函数的单调性或结合函数的图象求值域；(2) 利用配方法求值域；(3)利用换元法法求值域． (1)D (2)[2,4] (3)(－∞，1] 1 [解析] (1)解法一：反比例函数 f(x)＝x在区间(1，＋∞)上是单调 减函数，因此函数的值域为(0,1)．第4讲 │ 要点探究1 解法二： 在平面直角坐标系中， 作出反比例函数 f(x)＝x的图象， 观察函数图象，当 x&1 时，函数的值域为(0,1)．(2) y＝4－ 3＋2x－x2＝4－ －?x－1?2＋4，∵0≤－(x－1)2＋ 4≤4，∴0≤ －?x－1?2＋4≤2，∴原函数的值域为[2,4]． 1－t2 1－t2 1 (3)设 t＝ 1－2x，t≥0，则 x＝ ，∴y＝ ＋t＝－ (t－1)2 2 2 2 ＋1，当 t＝1 时，ymax＝1, ∴原函数的值域为(－∞，1]．第4讲 │ 要点探究(1)已知 a 是实数，则下列函数中，定义域和值域都可能 是 R 的是( ) A．y＝x2＋a B．y＝ax2＋1 C．y＝ax2＋x＋1 D．y＝x2＋ax＋1 (2)函数 f(x)＝x＋|x－2|的值域是________．第4讲 │ 要点探究(1)C (2)[2，＋∞) [解析] (1)对任意实数 a，选项 A、D 对应 的函数都为二次函数，其值域不可能为 R；对于 B，当 a＝0 时，函 数为常函数，当 a≠0 时，函数为二次函数，值域都不可能是 R，故 选 C. (2)当 x∈(－∞，2]时，f(x)＝2；当 x∈(2，＋∞)时，f(x)＝2x －2&2，故 f(x)的值域是[2，＋∞)．第4讲 │ 要点探究? 探究点4 函数的值域的求法例 4 (1)已知 f (x)是一次函数，并且满足 3f (x＋1)－2f (x－1)＝2x ＋17，求函数 f (x)的解析式； ? 1? 1 ?x－ ?＝x2＋ 2，求函数 f (x)的解析式； (2)若 f x? x ? (3)已知 f(x)＋2f(－x)＝3x－2，求 f (x)的解析式； (4)已知 f (sinx)＝cos2x，求 f(x)的解析式． [思路] (1)已知函数的类型，利用待定系数法求解；(2)利用配凑法求 解；(3)利用解方程组法求解；(4)利用换元法求解． [解答] (1)设 f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则 3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b， 又 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17， ?a＝2， ? 比较系数得? 解得 a＝2，b＝7， ?5a＋b＝17， ? 所以所求函数的解析式为 f(x)＝2x＋7.第4讲 │ 要点探究(2)f? 1? 1? 1 ? ?x－ ?＝x2＋ 2＝?x－ ?2＋2，用 x? x? x ? ?1 x 代换 x－x得 f (x)＝x2＋2，即为所求的函数 f (x)的解析式． (3) 以 － x 代 x 后 所 得 等 式 与 原 等 式 组 成 方 程 组 ?f?x?＋2f?－x?＝3x－2， ? 2 ? 解得 f (x)＝－3x－ . 3 ?f?－x?＋2f?x?＝－3x－2， ? (4)令 t＝sinx，t∈[－1,1]，则 cos2x＝1－sin2x＝1－t2，∴f(t) =－1 ＝t2，t∈[－1,1]，故 f(x)＝ 1－x2，x∈[－1,1]．第4讲 │ 要点探究? 探究点5例 5 已知 f分段函数?x－1，x&0， ? 2 (x)＝x －1，g(x)＝? ?2－x，x≤0. ?(1)求 f [g(2)]和 g[ f (2)]的值； (2)当 x&0 时，求 f [ g(x)]； (3)求 g[ f (x)]的表达式．[思路] 利用自变量的取值范围，分段代入解析式求解． [解答] (1)g(2)＝2－1＝1，f[g(2)]＝f(1)＝12－1＝0，f(2)＝22－1＝3， g[f(2)]＝g(3)＝3－1＝2. (2)当 x&0 时，g(x)＝x－1， f[g(x)]＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x.第4讲 │ 要点探究(3)当 x&1 或 x&－1 时，x2－1&0， ∴g[f(x)]＝g(x2－1)＝ (x2－1) －1＝x2－2. 当－1≤x≤1 时，x2－1≤0， ∴g[f(x)]＝g(x2－1)＝2－(x2－1)＝－x2＋3， ?x2－2，x&1或x&－1， ? 故 g[f(x)]＝? ?－x2＋3，－1≤x≤1. ?第4讲 │ 规律总结 规律总结1．判断一个对应是否为映射关键看是否满足“集合A中元素 的任意性，集合B中元素的唯一性”；判断是否为函数一看是否 为映射；二看A、B是否为非空数集． 2．求函数解析式常用的方法有： (1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消参法． 3．求函数定义域常有三类问题： (1)给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自 变量取值的集合； (2)实际问题：函数的定义域的求解，除要考虑解析式有意义 外，还应考虑使实际问题有意义；第4讲 │ 规律总结(3)复合函数：已知f(x)定义域求f(g(x))定义域或已知f(g(x))定 义域求f(x)定义域问题，关键抓住一条：同一对应关系符号里面 式子范围相同，即f(g(x))中g(x)相当于f(x)中的x. 4．解决分段函数问题既要紧扣“分段”这个特征，又要将各 段有机联系使之整体化、系统化，还要注意每一区间端点的取值 情况．第5讲 │函数的单调性与最值第5讲函数的单调性与最值第5讲 │知识梳理 知识梳理1．函数的单调性及性质 (1)定义：一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果对于定义 x1&x2 域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当___________ f(x1)&f(x2) f(x1)&f(x2) 时， 都有___________(_____________)， 那么就说 f(x)在区间 D 上是 增函数 减函数 _________(_________)．如果函数 y＝f(x)在某个区间上是增函数或 是减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性， 区间 D 叫做 y＝f(x)的单调区间． (2)单调性定义的等价形式：设 x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，那么(x1 f?x1?－f?x2? －x2)[f(x1)－f(x2)]&0? &0?f(x)在[a，b]是______；(x1 － 增函数 x1－x2 f?x1?－f?x2? 减函数 x2)[f(x1)－f(x2)]&0? &0?f(x)在[a，b]是______； x1－x2第5讲 │知识梳理(3)设复合函数y＝f，其中u＝g(x)．如果y＝f(u)和u＝g(x)的 增 单调性相同，那么y＝f是____函数；如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调 减 性相反，那么y＝f是____函数． (4)利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般 步骤： ①任取x1，x2∈D，且x1&x2；②作差； ③变形(通常是因式分解和配方)； ④判断符号(即判断f(x1)－f(x2)的正负)； ⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)． (5)判断方法： ①定义法：在区间I上，函数值y随x的增大而增大，则函数在区 间I上为______，函数值y随x的增大而减小，则函数区间I上为 增函数 减函数 ______；第5讲 │知识梳理②图象法：在区间I上，如果函数的图象从左向右是上升的，则 函数在区间I上为______，如果函数的图象从左向右是下降的， 增函数 则函数在区间I上为______； 减函数 ③导数法：设函数y＝f(x)在某区间I内可导，若f′(x)&0，则函数y ＝f(x)为区间I上的______，若f′(x)&0，则函数y＝f(x)为区间I上的 增函数 减函数 ______； ④运算法：在公共定义域内，增函数＋增函数＝______，减函数 增函数 ＋减函数＝______； 减函数 ⑤复合函数单调性的判断方法：“同增异减”，即若y＝f(x)和u＝ g(x)的单调性相同，则函数y＝f(g(x))是_______，若y＝f(x)和u＝ 增函数 g(x)的单调性相反，则函数y＝f(g(x))是______； 减函数第5讲 │知识梳理(6)简单性质：奇函数在其关于原点对称区间上的单调性 相同 相反 _______，偶函数在其关于原点对称区间上的单调性_______．2．函数的最值 对于函数f(x)，假定其定义域为A，则 (1)若存在x0∈A，使得对于任意x∈A，恒有f(x)≥f(x0)成立，则称 最小值 f(x0)是函数f(x)的________； (2)若存在x0∈A，使得对于任意x∈A，恒有f(x)≤f(x0)成立，则称 最大值 f(x0)是函数f(x)的_________．第5讲 │要点探究 要点探究? 探究点1 判断、证明函数的单调性 例1 [ 2010? 黄浦模拟] 已知a、b是正整数，函数f(x)＝ax＋ (x≠－b)的图象经过点(1,3)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在(－1,0]上的单调性，并用单调性定义证明 你的结论．[思路] (1)利用函数过定点以及 a，b 为正整数，求得 a，b 的值，从而得到函数 f(x)的解析式；(2)严格按照用定义证明单调 性的步骤进行．第5讲 │要点探究[解答] (1)由函数 f(x)＝ax＋ 2 3＝a＋ ，则(3－a)(b＋1)＝2. 1＋b 又 a、b 均为正整数， 故?3－a＝1， ? 3－a&0，b＋1≥2.于是，必有? ?b＋1＝2， ? ?a＝2， ? 即? ?b＝1. ?2 (x≠－b)的图象过点(1,3)知 x＋b2 所以 f(x)＝2x＋ (x≠－1)． x＋1 2 (2)结论：f(x)＝2x＋ (x≠－1)在(－1,0]上是减函数． x＋1 证明： x1， 2 是(－1,0]内的任意两个不相等的实数， x1&x2. 设 x 且第5讲 │要点探究? 2 ? 2 ? ? 则 f(x1)－f(x2)＝2x1＋ －?2x2＋x ＋1? x1＋1 ? 2 ? 2?x2－x1? ＝2(x1－x2)＋ ?x1＋1??x2＋1? x2＋x1?1＋x2? ＝2(x1－x2)? . ?x1＋1??x2＋1? 又－1&x1≤0， －1&x2≤0， 1&x2， x1－x2&0,1＋x1&0,1＋x2&0， x 故 x2＋x1(1＋x2)&0. x2＋x1?1＋x2? 于是，2(x1－x2)? &0， ?x1＋1??x2＋1? 即 f(x1)－f(x2)&0，f(x1)&f(x2)． 2 所以，函数 f(x)＝2x＋ (x≠－1)在(－1,0]上是减函数． x＋1第5讲 │要点探究[点评] 用定义证明单调性必须走程序化的步骤，其关键一步 是对 Δy 变形，变形的目的是能够判断 Δy 的符号，为此常：①多 项式分解因式或配方；②分式通分后分子、分母因式分解；③根 式分母或分子有理化；④幂、指、对数要用各自的运算法则． 判断含有参数的函数的单调性，需注意对参数进行讨论以及 确定分类讨论的依据是什么， 应根据具体的题目进行具体的分析， 比如下面的变式题．第5讲 │ 要点探究判断函数f(x)＝x＋(a≠0)在区间上的单调性，并用定 义加以证明．[解答] 当 a&0 时，函数在( a，＋∞)上是增函数，在(0， a) 上是减函数，当 a&0 时，函数在(0，＋∞)上是增函数． a?x1－x2? a a 证明：f(x2)－f(x1)＝x2＋ －x1－ ＝(x2－x1)＋ ＝(x2 x2 x1 x1x2 ?x1x2－a? ? －x1)? ? x x ?. ? 1 2 ? 当 a&0 时，若 a&x1&x2，则 x1x2&a， ?x1x2－a? ? ∴(x2－x1)? ? x x ?&0， ? 1 2 ? 即 f(x2)&f(x1)， 若 0＜x1&x2＜ a，则 0&x1x2&a，第5讲 │ 要点探究?x1x2－a? ? ? ∴(x2－x1)? &0，即 x1x2 ? ? ?f(x2)&f(x1)．所以函数在( a，＋∞)上是增函数，在(0， a)上是减函数； 当 a&0 时，∵0&x1&x2，∴x1x2&0， ?x1x2－a? ? ? 又－a&0，∴(x2－x1)? ?&0， ? x1x2 ? 即 f(x2)&f(x1)， ∴函数在(0，＋∞)上是增函数．第5讲 │要点探究? 探究点2 抽象函数与复合函数的单调性例 2 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足： (1)对于任意 x， y∈R， 都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)；(2)当 x&0 时，f(x)&0 且 f(1)＝－2. (1)求证：f(x)在 R 上是减函数； (2)求 f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．[思路] (1)对抽象函数关系式中的 x，y 正确合理的赋值后， 利用单调性的定义证明；(2)利用函数的单调性求最值． [解答] (1)证明：任取 x1&x2，由条件(1)得 f(x2)＝f[(x2－x1) ＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)，∵x2－x1&0， 由条件(2)得 f(x2－x1)&0，第5讲 │ 要点探究∴f(x2)&f(x1)，∴f(x)在 R 上单调递减． (2)在(1)中，令 x＝y＝0，得 f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0， 再令 y＝－x 得 f(x－x)＝f(x)＋f(－x)， ∴f(－x)＝－f(x)，因此 f(x)为奇函数， ∴f(x)max ＝f(－3)＝－f(3)＝－f(1＋2)＝－f(1)－f(2)＝－f(1) －f(1)－f(1)＝－3f(1)＝6，f(x)min＝f(3)＝－f(－3)＝－6.第5讲 │要点探究?ax ?x&1?， ? 例 3 (1)[2010? 湖州模拟] 若 f(x)＝?? 是R上 a? ?4－ ?x＋2?x≤1? ?? 2? ? 的单调递增函数，则实数 a 的取值范围为( ) ? ? A．(1，＋∞) B.??4，8?? C．(4,8) D．(1,8) (2)求函数 y＝log0.7(x2－3x＋2)的单调区间．[解析] 函数 f(x)在 R 上为增函数，则 y＝ax 在(1， ? a? ＋∞)上为增函数，函数 y＝?4－2?x＋2 在(－∞，1]上为增函 ? ? 数， (1) B第5讲 │要点探究?a&1， ? ?4－a&0， ? a? 2 且 a≥?4－2?＋2，因此? ? ? ? ? a? ?a≥?4－ ?＋2， ? 2? ?解得 4≤a&8.故选 B.(2)[解答] 函数 y＝log0.7(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2， ＋∞)．令 t＝x2－3x＋2，y＝log0.7t， 显然 y＝log0.7t 在(0，＋∞)上是单调递减的，而 t＝x2－3x＋2 在 (－∞，1)，(2，＋∞)上分别是单调递减和单调递增的，根据复合函 数的单调性的规则可知： ? ? 函数 y＝log0.7(x2－3x＋2)的单调递增区间为??－∞，1??， 单调递减 ? ? 区间为??2，＋∞??.第5讲 │ 要点探究函数 f(x)(x∈R)的图象如图 5－1 所示，则函数 g(x)＝ f(logax)(0&a&1)的单调减区间是( )A.? 1? ?0， ? 2? ??1 ? ? ，＋∞? B．(－∞，0)∪ 2 ? ?[思路] 利用函数图象得到 f(x)的单调性，并结合判断复合 函数单调性规则求解． C [解析] 函数 y＝logax(0&a&1)在定义域内为减函数，而函数 ? ?1 ? 1? ?0， ?为增函数，在 ? ，＋∞?上是减函数，故 g(x) f(x)在 和2 2? ? ? ?C．[ a，1] D．[ a， a＋1]图5－11 （0. ） 在 2 上为减函数，由1 0&logax& ，得 a&x&1，因此函数 g(x) 2 ＝f(logax)(0&a&1)在[ a，1]上为减函数．第5讲 │要点探究? 探究点3 与单调性有关的参数问题例 4 设函数 f(x)＝ax2＋bx＋1(a、b∈R)． (1)若 f(－1)＝0，且对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立，求实数 a、b 的值； (2)在(1)的条件下，当 x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx 是单调函 数，求实数 k 的取值范围． [解答] (1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，即 b＝a＋1. 又对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立， ∴Δ＝b2－4a≤0 恒成立， 即(a－1)2≤0 恒成立，∴ a＝1，b＝2. (2)由(1)可知 f(x)＝x2＋2x＋1， ∴g(x)＝x2＋(2－k)x＋1.第5讲 │要点探究∵ g(x)在 x∈[－2,2]时是单调函数， ? ?k－2 ? k－2? ? ? ? ? ∴[－2,2]??－∞， 或[－2,2]?? ，＋∞?. 2 ? ? ? ? 2 ? k－2 k－2 ∴2≤ 或 ≤－2， 2 2 即实数 k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)． [点评] 已知函数的单调性求函数解析式中参数的取值范围的 基本方法有两个： (1)根据函数单调性的特点，若是一次函数要注意考查一次项 的系数，若是二次函数要注意考查其对称轴及开口方向等． (2)利用导数方法．第5讲 │要点探究? 探究点4 利用函数单调性求最值1 1 例 5 已知 f(x)＝a－x(x&0)． (1) 求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (2)若函数 f(x)的定义域和值域都是[m，n]，则称 f(x)是正方 ?1 ? 形函数． 试问， 是否存在实数 a， f(x)在?2，2?上为正方形函数， 使 ? ? 若存在，求 a 的值，若不存在，说明理由．第5讲 │要点探究[解答] (1)证明：令 x2&x1&0，则 x2－x1&0，x1x2&0，又 f(x2) ?1 1 ? ?1 1 ? 1 1 x2－x1 －f(x1)＝?a－x ?－?a－x ?＝ － ＝ &0，即 f(x2)&f(x1)，故 x1 x2 x1x2 ? ? 2? 1? 函数 f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ?1 ? (2)设存在 a，使 f(x)在?2，2?为正方形函数，又 f(x)在(0， ? ? 1 ?1 ?a－2＝2， 2 ＋∞)上是增函数，因此? 解得 a＝ ，因此存在 5 1 1 ? － ＝2， ?a 2 ?1 ? 2 a＝ ，使 f(x)在?2，2?为正方形函数． 5 ? ?第5讲 │规律总结1．求函数的单调区间，讨论函数的单调性时要注意以下两 点： (1)必须在定义域内进行，即函数的单调区间是定义域的子 集； (2)常转化为熟悉函数的单调性，因此，掌握并熟记一次函 数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、 三角函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程． 2．单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此，定 义中的 x1，x2 具有任意性，不能用特殊值代替．第5讲 │规律总结3．已知函数单调性求参数范围的问题，解法是根据单调性 的概念得到恒成立的不等式，还要注意定义域的限制，并挖掘 题目的隐含条件． 4．利用函数的单调性求函数的值域或最值时一定要注意函 数的定义域．除函数的单调性外，求函数最值的方法还有：不 等式法，三角代换法，配方法，导数法，数形结合法等，需多 总结各种题型与方法的相互搭配．第6讲 │函数的奇偶性和周期性第6讲 函数的奇偶性和周期性第6讲 │ 知识梳理 知识梳理1．函数的奇偶性 (1)函数奇偶性的定义 f(－x)＝ － f(x) 如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有_____________，则 称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有 __________，则称f(x)为偶函数． f(－x)＝f(x) 如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性；如果函 奇函数 数同时具有上述两条性质，则f(x)既是________，又是 ________． 偶函数第6讲 │ 知识梳理(2)利用定义判断函数奇偶性的步骤 ①首先确定______________，并判断其定义域是否关于 函数的定义域 _____对称； 原点 f(x) f(－x) ②确定______与_____的关系； ③作出相应结论：若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x) 是偶函数；若 f(－x) ＝－ f(x)或f(－x) ＋ f(x) ＝0，则f(x)是 奇函数第6讲 │ 知识梳理(3)函数奇偶性的简单性质 y轴 原点 ①奇函数的图象关于_____对称；偶函数的图象关于_____对 称； ②在定义域的公共部分内，两个奇函数之积(商)为________； 偶函数 偶函数 两个偶函数之积(商)也是________；一奇一偶函数之积(商) 奇函数 为________(注：取商时应使分母不为0)； ③奇(偶)函数有关定义的等价形式： f(－x)＝-f(x) f(－x) + f(x) ＝0( ) (f(x) ≠0)； ④若函数y＝ f(x)是奇函数且0是定义域内的值，则f(0)＝__； 0 若函数f(x)是偶函数，则有f(|x|)＝ f(x) ．第6讲 │ 知识梳理(4)一些重要类型的奇偶函数 偶 ①函数f(x) ＝ax＋a－x(a&0且a≠1)为____函数，函数f(x) ＝ ax－a－x(a&0且a≠1)为____函数； 奇 ②函数f(x) ＝loga 1－x (a&0，且a≠1)为奇函数；1＋x③ f(x) ＝loga(x＋ x2＋1 )(a&0，且a≠1)为奇函数第6讲 │ 知识梳理2．周期性 (1)定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域 f(x＋T)＝f(x) 内的任意x，都有____________，则称f(x)为周期函数，其中 T称为f(x)的周期．若T中存在一个最小的正数，则称它为f(x) 最小正周期 的____________． ? ? ? T? ? ? ＝f ? T? ； (2)性质：①f(x＋T)＝ f(x)常常写作f ?x＋ ? ?x- 2 ? 2? ? ? ? ② f(x)的周期为T，则函数f(wx)(w≠0)也是周期函数，且周T |w| 期为____．第6讲 │ 要点探究 要点探究? 探究点12判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性：2 (1)y＝x － 2； x(2)y＝ x2－1＋ 1－x2；(3)y＝(x－1)1－x ； 1＋xlg1－x2? (4)y＝ |x－2|－2第6讲 │ 要点探究[思路] 从定义域入手，在定义域关于原点对称的情况 下，判断 f(x)与 f(－x)的关系. [解答] (1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于 2 2 ? ? 2 ?－x?2－ 原点对称，又 f(－x)＝? ? ? ＝x － 2＝f(x)，∴函数 y ? ?－x?2 x ? ? 2 2 ＝x － 2是偶函数； x ?x2－1≥0， ? (2)由? 得 x＝± 1，∴函数的定义域为{1， ?1－x2≥0， ?－1}，关于原点对称，又 y＝ x2－1＋ 1－x2＝0， ∴f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，∴函数 y＝ x2－1＋ 1－x2 既是奇函数又是偶函数；第6讲 │ 要点探究1－x (3)由 ≥0，得－1&x≤1，∴函数的定义域为(－1， 1＋x 1－x 1]，不关于原点对称，∴函数 y＝(x－1) 既不是奇函 1＋x 数又不是偶函数； ?1－x2&0 ? (4)由? ，得－1&x&0 或 0&x&1，∴函数的 ?|x－2|－2≠0 ? 定义域为(－1， 0)∪(0， 关于原点对称， 1)， 又|x－2|＝2－x， ? ? ?2? 2 2 ?1－?－x? ? lg?1－x ? lg?1－x ? lg? ? ? ? ∴y＝ ＝－ ， ∴ f( － x) ＝ ＝ x x |x－2|－2 lg?1－x2? lg?1－x2? ＝－f(x)，∴函数 y＝ 为奇函数. x |x－2|－2第6讲 │ 要点探究[点评]判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大， 解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的定义域不关于原 点对称，则函数不具有奇偶性；若定义域关于原点对称，再判 断f(－x)与f(x)的关系；若定义域关于原点对称，且函数的解析 式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程(要 保证定义域不变)．第6讲 │ 要点探究?ln? x＋1－ x??x&0?， ? 例2 (1)判断函数 f(x)＝?0 ?x＝0?， ? ?ln? 1－x＋ －x??x&0?的奇偶性．(2)[2010? 保定模拟] 已知函数y＝f(x)是定义在R上的不恒 为零的函数，且对于任意x1，x2∈R，都有f(x1?2)＝x1f(x2)＋ x x2f(x1)，则对函数f(x)，下列判断正确的是( ) A． f(x)为奇函数 B． f(x)为偶函数 C． f(x)为非奇非偶函数 D． f(x)既是奇函数又是偶函数第6讲 │ 要点探究[思路] (1)分段函数的奇偶性，要将x在每一段的情况都要 验证，然后在整个定义域内得出f(－x)与f(x)的关系． (2)对x1，x2合理赋值，利用函数的性质和已知条件，判断 f(x)与f(－x)的关系．(1)[解答] 需要分三种情况讨论： ①设 x&0，∴－x&0， ∴f(－x)＝ln( 1＋x＋ x)＝ln ＝－ln( x＋1－ x)＝－f(x)； ②设 x&0，∴－x&0， 1 ∴f(－x)＝ln( －x＋1－ －x)＝ln 1－x＋ －x ＝－ln( 1－x＋ －x)＝－f(x)； 1 x＋1－ x第6讲 │ 要点探究③当 x＝0 时，f(x)＝0，也满足 f(－x)＝－f(x)； 由①、②、③知，对 x∈R 有 f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． (2)A [解析] 令 x1＝x2＝0，得 f(0)＝0，令 x1＝x2 ＝1，得 f(1)＝0，令 x1＝x2＝－1，得 f(－1)＝0， 令 x1＝x，x2＝－1，得 f(－x)＝－f(x)＋0，因此 f(x) ＝－f(－x)，所以 f(x)是奇函数．第6讲 │ 要点探究? 探究点2 函数奇偶性的性质及其应用例3 [2010? 广州模拟] 已知f(x)是R上的奇函数，且当x&0时， f(x)＝x2－x－1，求f(x)的解析式．[解答] 设 x&0，则－x&0，∴f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝ x2＋x－1，又函数 f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＋1； 当 x＝0 时，由 f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0， ?x2－x－1???x&0???， ? ? ? ? ? ∴f ??x??＝?0??x＝0??， ? ? ? 2 ?－x －x＋1??x&0??.第6讲 │ 要点探究[2010? 江苏卷] 设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函 数，则实数a＝______. [思路] 利用奇偶函数的性质，得到参数a满足的方程． －1 [解析] 本题考查函数的基本性质中的奇偶性，该 知识点在高考考纲中为B级要求． 设g(x)＝ex＋ae－x，x∈R，由题意分析g(x)应为奇函数(奇函 数×奇函数＝偶函数)， ∵x∈R，∴g(0)＝0，则1＋a＝0，所以a＝－1.第6讲 │ 要点探究? 探究点3 函数的周期性例 4 (1)[2010? 山大附中月考] 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函 1 数，并且 f(x＋2)＝－ .当 2≤x≤3 时，f(x)＝x，则 f(105.5) f?x? ＝__________. (2)[2010? 南昌模拟] 定义在 R 上的函数 f(x)不是常数函数， 满足 f(x－1)＝f(x＋1)，f(1＋x)＝f(1－x)，则函数 f(x)( ) A．是奇函数也是周期函数 B．是偶函数也是周期函数 C．是奇函数但不是周期函数 D．是偶函数但不是周期函数第6讲 │ 要点探究[思路](1)利用已知条件，求得函数的周期，通过函数的周期性和 奇偶性，将自变量的值转化为在[2,3]内，再计算．(2)利用已知条件所 给的式子，通过变形，并结合奇偶函数与周期函数定义判断． 1 (1)2.5 (2)B [解析] (1)由 f(x＋2)＝－ ，得 f(x＋4) f?（x）? 1 ＝－ f?（x）＋2? 1 ＝－ ＝f(x)，因此函数 f(x)是以 4 为周期的函数，又 f(105.5) 1 － f?（x）? ＝f(4× 27－2.5)＝f(－2.5)，又函数 f(x)是偶函数，因此 f(－2.5) ＝f(2.5)＝2.5. (2)由 f(x－1)＝f(x＋1)， f(x＋2)＝f(x)， 知 所以 f(x)是以 2 为周期的 周期函数，且用 x－1 代替 f(1＋x)＝f(1－x)中的 x，得 f(x)＝f(2－x) ＝f(－x)，∴f(x)是偶函数．故 f(x)是偶函数也是周期函数．第6讲 │ 要点探究?探究点4函数性质的综合应用例 5 已知函数 f(x)为偶函数，且关于直线 x＝1 对称，当 x ∈[1,2]时，f(x)＝2－x. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)求 x∈[－1,1]时，函数 f(x)的表达式； (3)求 x∈[2k－1,2k＋1]，k∈Z 时，函数 f(x)的表达式； 1 (4)解不等式 f(x)& . 2第6讲 │ 要点探究[思路] (1)利用函数周期性的定义证明；(2)要求某一区间上的函 数解析式，一般把 x 设在该区间上，然后利用奇偶性或周期性，转化 到已知的区间上，利用已知的解析式求未知的解析式；(3)解决周期函 数的有关问题，一般转化为解决一个周期内的有关问题，然后推广到 整个定义域范围内．第6讲 │ 要点探究[解答] (1)∵函数 f(x)关于直线 x＝1 对称， ∴f(x)＝f(2－x)， 又 f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)， ∴f(－x)＝f(2－x)，用 x 代替－x，得 f(x)＝f(2＋x)， ∴函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数． (2)若 x∈[－1,0]，则 x＋2∈[1,2]，∴f(x＋2)＝2－(x＋2)＝－x，又 f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)＝－x，又令 x∈(0,1]，－x∈[－1,0)，∴f(－x)＝x， ?x，0＜x≤1， ? 又 f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x，∴f(x)＝? ? ?－x，－1≤x≤0.第6讲 │ 要点探究(3)令 x∈[2k－1,2k＋1]，k∈Z，则 x－2k∈[－1,1]，k∈Z， ?x－2k，2k＜x≤2k＋1， ? ∴f(x－2k)＝? k∈Z，又 f(x)＝f(x－2k)， ?－x＋2k，2k－1≤x≤2k， ??x－2k，2k＜x≤2k＋1， ? 因此 f(x)＝? ?－x＋2k，2k－1≤x≤2k， ?k∈Z.?1? 1 ? ?＝ ， ?2? 2(4)当 x∈[－1,1]时，f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(|x|)，∵f ∴不等式可化为 f(|x|)&f?1? ? ?， ?2?1 1 1 ∵f(x)在[0,1]为增函数，∴|x|& ，解得－ &x& ， 2 2 2 ? ? ? 1 1 ?x?2k－ &x&2k＋ ，k∈Z? . ∴原不等式的解集为 2 2 ? ? ?第6讲 │ 要点探究[点评]周期函数的研究方法是先研究周期函数在一个周期 上的性质，再将它拓展到整个定义域上，这样，可简化对函数 的研究．第6讲 │ 规律总结 规律总结1．判定函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对 称，然后再严格按照奇偶性的定义经过化简、整理，再将f(－x)与 f(x)比较，得出结论．其中，分段函数的奇偶性应分段证明f(－x)与 f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时才能判断其 奇偶性． 2．利用函数的奇偶性、周期性把研究整个定义域内具有的性 质问题转化到只研究部分(一半)区间上的问题，是简化问题的一种 途径． 3．函数的奇偶性常与函数的其他性质及不等式结合出题，运 用函数的奇偶性就是运用函数图象的对称性． 4．要善于发现函数特征，图象特征，运用数形结合，定向转 化，分类讨论的思想，整体代换的手段，从而简化解决问题的程序， 既快又准．第7讲 │ 二次函数第7讲 二次函数第7讲 │ 知识梳理 知识梳理1．二次函数的解析式的三种形式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) (1)一般式：________________________； f(x) ＝a(x－m)2＋n(a≠0) (2)顶点式：________________________； f(x) ＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) (3)两根式：____________________________.第7讲 │ 知识梳理2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方法的步骤 f(x)? ? 2 b ? b ?2 b2 a?x ＋ax?＋c a?x＋2a? －4a＋c ? ? ＝___________＝______________ ? ?2? b ?2 4ac－b ＝ a?x＋2a? ＋ 4a ? ?二次函数f(x) ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，2 ? b 4ac－b ? b ? ? － ， x＝－ ? 2a 4a ? 对称轴方程为________，顶点坐标是______________；当a＞0 2a ? ?时，开口向上，当a＜0时，开口向下．第7讲 │ 知识梳理3．二次函数的单调性及最值? b? 递减 (1)当 a＞0 时，函数在?－∞，－2a?上______， ? ? ? ? b b ?－ ，＋∞?上______，并且当 x＝－ 时， 递增 在 2a 2a ? ? 2 ? b ? 4ac－b ?x＋ ?2＋ a 2a? 4a ? f(x)min＝_________________. ? b? 递增 (2)当 a＜0 时，函数在?－∞，－2a?上______， ? ? 4ac－b2 ? ? b b ?－ ，＋∞?上______，当 x＝－ 时，f(x)max＝_________. 递减 在 2a 4a 2a ? ?第7讲 │ 知识梳理4．根与系数的关系 二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当 Δ＝b2－4ac＞0 时，图象与 x 轴有两个交点 M1(x1,0)、M2(x2,0)，这里的 x1，x2 是方程 f(x)＝0b ? ?x1＋x2＝－a， ? ?x1?2＝c x a 的两根，则根与系数的关系是____________． ? Δ 弦长|M1M2| ＝______＝ . |x1－x2| |a|第7讲 │ 知识梳理5．二次函数在闭区间上的最值 若 a＞0，二次函数 f(x)在闭区间[p，q]上的最大值为 M，最小值 为 N. 1 令 x0＝ (p＋q)， 2 b f(p) f(q) ①若－ ＜p，则 M＝______，N＝______； 2a b f(p) f(q) ②若－ ＞q，则 M＝______，N＝______； 2a b ③若 p≤－ ≤x0，则 2a ④若 x0＜－ b ≤q，则 2a? b? f ?－2a? f(q) M＝______，N＝________； ? ?? b? ?－ ? f 2a f(p) ? ? M＝______，N＝________.第7讲 │ 知识梳理6．一元二次不等式的解集与二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根的关 系 (1)若 a&0，方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不等的实根 x1，x2(x1&x2)， {x|x&x1 或 x&x2} 则不等式 ax2＋bx＋c&0 的解集为_______________； {x|x1&x&x2} 不等式 ax2＋bx＋c&0 的解集为__________． (2)若 a&0，方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个相等的实根 x0，则不等式 ax2＋bx＋c&0 的解集为____． ? (3)若 a&0，方程 ax2＋bx＋c＝0 无实根，则不等式 ax2＋bx＋c&0 的解集为____；不等式 ax2＋bx＋c&0 的解集为____． R ?第7讲 │ 要点探究要点探究? 探究点1 求二次函数的解析式例 1 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的 最大值为8，试确定此二次函数的解析式．第7讲 │ 要点探究[思路] 已知函数类型，利用待定系数法求解． 解法一：用一般式求解 ?4a＋2b＋c＝－1， ? ?a－b＋c＝－1， 2 设 f(x)＝ax ＋bx＋c(a≠0)，由题意可得? ?4ac－b2 ? 4a ＝8， ? ?a＝－4， ? 解得?b＝4， ?c＝7， ? ∴f(x)＝－4x2＋4x＋7.第7讲 │ 要点探究解法二：用顶点式求解 2－1 1 设 f(x)＝a(x－h) ＋k，∵f(2)＝f(－1)＝－1，∴h＝ ＝ ， 2 2 ? 1?2 9a 又 f(x)的最大值为 8，因此 f(x)＝ a?x－2? ＋8，∴f(2)＝ ＋8＝－1， 4 ? ? 解得 a＝－4，∴f(x)＝－4x2＋4x＋7.2解法三：用两根式求解 ∵f(2)＝f(－1)＝－1，∴2，－1 是方程 f(x)＋1＝0 的两根， 因此设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即 f(x)＝ax2－ax－2a－1， 4a?－2a－1?－a2 ∵f(x)的最大值为 8，∴ ＝8，解得 a＝－4， 4a ∴f(x)＝－4x2＋4x＋7.第7讲 │ 要点探究[点评] 二次函数的解析式有三种形式，分别为一般式， 顶点式及两根式，一般情况下，若给出抛物线过某三个点， 则选用一般式；若给出对称轴或顶点坐标，则选用顶点式； 当给出抛物线与x轴的两交点坐标，一般选用两根式．学会 根据题目的条件正确选择函数的解析式，从而简化运算， 如：第7讲 │ 要点探究(1)已知函数f(x)＝2x2＋bx＋c，当－3&x&2时，f(x)&0， 当x&－3或x&2时，f(x)&0，则b＝___，c＝____. 2 -12 (2)二次函数f(x)，对任意的x都有f(x) ≥f(1)＝－2恒成立，且f(0)＝ 1，则f(x)＝___________. 3x2－6x＋1 (3)已知f(x)是二次函数，且满足f(x＋1)－2f(x－1)＝x2－2x＋17， －x2－4x－28 则f(x) ＝______________.第7讲 │ 要点探究[解析] (1)由题意可知，－3,2 是函数 f(x)的两个零点， ∴f(x)＝2x2＋bx＋c＝2(x＋3)(x－2)＝2x2＋2x－12，∴b＝2，c＝－12. (2)由题意可知，f(x)在 x＝1 处有最小值－2，因此设 f(x)＝a(x－1)2－2， 又 f(0)＝a－2＝1，得 a＝3，∴f(x)＝3(x－1)2－2＝3x2－6x＋1. (3)设 f(x)＝ax2＋bx＋c， 则 f(x＋1)－2f(x－1)＝[ax2＋(2a＋b)x＋(a＋b＋c)]－2[ ax2＋(－2a＋b)x ＋(a－b＋c)]＝－ax2＋(6a－b)x＋(－a＋3b－c)， 又 f(x＋1)－2f(x－1)＝x2－2x＋17，?－a＝1， ?a＝－1， ? ? ∴?6a－b＝－2， 解得?b＝－4， ∴f(x)＝－x2－4x－28. ?－a＋3b－c＝17， ?c＝－28， ? ?第7讲 │ 要点探究? 探究点2 二次函数在闭区间上的最值例 2 试求二次函数f(x)＝x2＋2ax＋3在区间[1,2]上的最小值．[解答] f(x)＝x2＋2ax＋3＝(x＋a)2＋3－a2. 当－a&1，即a&－1时，函数在区间[1,2]上为增函数，故此时最小值 为f(1)＝2a＋4； 当1≤－a≤2，即－2≤a≤－1时，函数的最小值为f(－a)＝－a2＋3； 当－a&2，即a&－2时，函数在区间[1,2]上为减函数，此时最小值为 f(2)＝4a＋7. 综上可知，当a&－2时，最小值为4a＋7；当－2≤a≤－1时，最小值为 －a2＋3；当a&－1时，最小值为2a＋4.第7讲 │ 要点探究已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1上有最大 值2，求a的值．[思路] f(x)配方后，得对称轴 x＝a 是变动的，要区分对称轴 x＝a 在区间 [0,1]内和外，确定 f(x)的最大值，从而建立方程解出 a. [解答] f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1， ∵0≤x≤1， ∴①当 0≤a≤1 时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1， 1± 5 2 ∴a －a＋1＝2，解得 a＝ . 2 1± 5 ∵0≤a≤1，∴a＝ 舍去； 2 ②当 a&1 时，f(x)max＝f(1)＝a＝2＞1 成立； 1 ③当 a&0 时，∵x＝ &0，∴f(x)max＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2， 2a ∴a＝－1＜0 成立． 综上可得 a＝－1 或 a＝2.第7讲 │ 要点探究?探究点3二次函数的综合应用例 3 已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1(a为实常数)． (1)若a＝1，作函数f(x)的图象； (2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式． [思路] 利用分类讨论思路，将函数转化为分段函数求解．第7讲 │ 要点探究?x2＋x＋1，x&0， ? 2 时，f(x)＝x －|x|＋1＝? 2 ?x －x＋1，x≥0. ?[解答] (1)当 a＝1 函数图象如下图所示：第7讲 │ 要点探究(2)当 x∈[1,2]时，f(x)＝ax2－x＋2a－1.若 a＝0，则 f(x)＝－x－1 在区间 [1,2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3； ? 1? 1 1 ?x－ ?2＋2a－ －1，f(x)图象的对称轴是直线 x＝ . 若 a≠0，则 f(x)＝a 2a? 4a 2a ? 当 a&0 时，f(x)在区间[1,2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3； 1 1 当 0& &1，即 a& 时，f(x)在区间[1,2]上是增函数，g(a)＝f(1)＝3a－2； 2a 2 ?1? 1 1 1 1 当 1≤ ≤2，即 ≤a≤ 时，g(a)＝f?2a?＝2a－ －1； 2a 4 2 4a ? ? 1 1 当 &2，即 0&a& 时，f(x)在区间[1,2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3， 2a 4 ?6a－3，a&1， ? 4 ? 1 1 1 综上可得 g(a)＝?2a－4a－1，4≤a≤2， ? ?3a－2，a&1. ? 2第7讲 │ 要点探究设函数f(x)＝x2＋|2x－a|(x∈R，a为实数)． (1)若f(x)为偶函数，求实数a的值； (2)设a&2，求函数f(x)的最小值． [思路] (1)利用函数奇偶性的定义得到a满足的关系式； (2)利用分段函数的最值的求解方法解决．第7讲 │ 要点探究[解答] (1)由已知 f(－x)＝f(x)， 即|2x－a|＝|2x＋a|，解得 a＝0. ?x2＋2x－a，x≥1a， ? 2 (2) f(x)＝? ?x2－2x＋a，x&1a， ? 2 1 1 当 x≥ a 时，f(x)＝x2＋2x－a＝(x＋1)2－(a＋1)，由 a&2，x≥ a，得 x&1， 2 2 ?a? a2 1 从而 x&－1，故 f(x)在 x≥ a 时单调递增，f(x)的最小值为 f?2?＝ ； 2 ? ? 4 1 a 2 2 当 x& a 时，f(x)＝x －2x＋a＝(x－1) ＋(a－1)，故当 1&x& 时，f(x)单 2 2 调递增，当 x&1 时，f(x)单调递减，此时 f(x)的最小值为 f(1)＝a－1； ?(a－2)?2 a2 由 －(a－1)＝ &0，知 f(x)的最小值为 a－1. 4 4第7讲 │ 规律总结 规律总结1．对二次函数的三种表示形式，要善于运用题目隐含条 件，恰当选择不同形式，简化运算． 2．二次函数、一元二次不等式和一元二次方程(统称三个 二次)是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，运用函 数方程的思想方法将它们进行转化，是准确迅速解决此类问题 的关键． 3．二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能 在区间的端点或顶点处取得，对于“轴变区间定”和“轴定区间 变”两种情形，要借助二次函数的图象特征(开口方向、对称轴 与该区间的位置关系)，抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结 合函数的单调性进行分类讨论和求解．第8讲 │ 指数与指数函数第8讲 指数与指数函数第8讲 │ 知识梳理 知识梳理1．指数幂 (1)指数幂的推广 ①零指数幂：a0＝__(a≠0)． 1 1 －n ②负指数幂：a ＝___(a≠0，n∈N*)． an- 1 -第 1 页 共 1 页- 1 -第 1 页 共 1 页m n am ③分数指数幂：a n ＝______(a＞0，m、n∈N*，且 n＞1)．- 1 -第 1 页 共 1 页1am a n ＝ m＝______(a＞0，m、n∈N*，n＞1)．－m1nan第8讲 │ 知识梳理④0 的正指数幂是 0,0 的负指数幂无意义． (2)根式及性质 ?n ? a?，n为奇数?， ? ? n n ?± a?，n为偶数? ② x ＝a(n∈N，n＞1)?x＝______________.?a?，n为奇数?， ? ? ?|a|?，n为偶数? ? an＝____________.②na ③( a)n＝____.n第8讲 │ 知识梳理(3)有理指数幂的运算性质 ①aras＝______(a＞0，r、s∈Q)． ar＋s ②(ar)s＝______(a＞0，r、s∈Q)． ars ③(ab)r＝______(a＞0，b＞0，r∈Q)． arbr第8讲 │ 知识梳理2．指数函数指数函数定义式 y＝ax(0＜a＜1) y＝ax(a＞1)定义域值域(－∞，＋∞)(0，＋∞)图象过定点(0,1) 性质 减函数 x≥0时，0&y≤1； x＜0时，y＞1 增函数 x≥0时，0&y≤1； x＜0时，0＜y＜1第8讲 │ 要点探究 要点探究? 探究点1 指数幂的化简与求值－例1 化简：(1)(0.027)10(2－ 3) 1；－? 1 ?－ －?－6? 2＋2560.75－|－3|－1＋(－5.55)0－ 3 ? ?1a3－8a3b (2)2413 4b3＋2 ab＋a3? 3 b? 3 ? ?? a. ÷ 2 1－2 a? ?第8讲 │ 要点探究[思路] (1)将负指数化为正指数． (2)题目中的式子既有分数指数幂又有根式，把它们统一成 分数指数幂，以便于用法则运算，如果不符合法则应创设条件 去求．[解答] (1)(0.027) 10(2－ 3)－1 10 ＝[(0.3) ] 3－(－1) (6 ) ＋(4 )4－3－1＋1－ 2－ 3 ? 3 ?－ 10（?2＋ 3）? 1 1 3 ＝?10? －36＋4 － ＋1－ 3 4－3 ? ? 10 1 ＝ － ＋29－20－10 3＝12－10 3； 3 33－ －2 －1 －2 －? 1? － － ?－6? 2 ＋2560.75 －|－3| － 1 ＋(－5.55)0 － 3 ? ?1 314第8讲 │ 要点探究a3－2b3 1 (2)原式＝ 2 ?3 a 1 1 2÷ 1 a3＋2a3b3＋4b3 a31 a3?a－8b? 11 a3?a－8b?11a3＝ 2 ?1 a 1?3 2 3 a3＋2 ab＋4b3 a3－2b3 a?（a－8b?） ＝ ＝a. a－8b1第8讲 │ 要点探究[点评] 分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式 的关系，因此，根式的运算可以转化为分数指数幂的运 算．对指数幂的运算：①要熟练掌握根式与分数指数幂的 转换关系；②要熟练掌握指数幂的运算法则和乘法公式； ③运算程序化，即先把根式化为分数指数幂并尽量化简， 再应用指数幂的运算法则和乘法公式．第8讲 │ 要点探究计算：(1)39 a ? a－3÷ 233 a－7? a13；6 6 3 3 3 (2)( 32? 3＋ 243? 2)( 4－ 6＋ 9)．第8讲 │ 要点探究[解答] (1)原式＝（a2? 2 )3÷ a （a 3 ? 3 )2＝(a )3÷ )2＝a÷ a (a a＝1；1 1 2? 1 ? 2 1 1 1 1 2 3 (2)原式＝（26?2＋36?2)?23－23?3＋33?＝32?2（23＋33)（23－ 3 2 2 5 1 59－31－713 13121??23?3＋33)＝32?2[ (23) ＋(33)3]＝5 6. 3 211211131第8讲 │ 要点探究?探究点2指数函数的图象与应用?1? ＋ y＝?3? |x 1|. ? ?例2 已知函数(1)作出图象； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出当 x 取什么值时 y 有最值，并写出值域； ?1? ＋ (4)若关于 x 的方程?3? |x 1|＝m 有正根，求 m 的取值范围． ? ?第8讲 │ 要点探究??1?x＋1，x≥－1， ?1? x＋1 ?? ? [解答] (1)方法一：由函数解析式可得 y＝?3? ＝??3? ? ? ?3x＋1，x&－1， ?? ? ? ? ? ? ? ?其图象由两部分组成： 一部分是由指数函数?1?x? y＝?3? ?x≥0?向左平移 ? ? ?1 个单位而得；另一部分是由 y＝3x?x&0?向左平移一个单位而得．如图 ? ?第8讲 │ 要点探究?1?? ? ?1?x? ?x ? 方法二： 函数 y＝?3??? ??为偶函数， 关于 y 轴对称， 做出 y＝?3? ?x≥0?? ? ? ? ? ?1?? ? 的图象，当 x&0 时，将图象关于 y 轴的对称图象得到 y＝?3????x???的图 ? ? ?1?? ? ?1?? ? ? ??x?的图象向左平移 1 个单位， 象， y＝ 3 ?? ?? 将 即可知 y＝?3????x＋1???的图象． ? ? ? ?(2)由图象可知函数的递增区间为 ??－∞，－1?? ， 递减区间为 ? ? ?－1，＋∞?. ? ? ?1?0 (3)当 x＝－1 时，ymax＝?3? ＝1，值域为(0,1]． ? ? ? 1? 1 (4)由图象，令 x＝0，得 y＝ ，则 m 的取值范围是?0，3?. 3 ? ???第8讲 │ 要点探究?探究点3指数函数的性质－10x－10 x 例3 已知 f(x)＝10x＋10－x. (1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)求证：f(x)是定义域内的增函数； (3)求 f(x)的值域．[思路] 利用定义法判断函数的奇偶性和单调性，并结合 单调性求函数的值域．第8讲 │ 要点探究[解答] (1)函数的定义域是 R，关于原点对称，又 f(－x)＝ 10－x－10x 10x－10－x ＝－ －x ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数； － 10 x＋10x 10 ＋10x 10x－10－x 102x－1 2 (2)证明：f(x)＝ x ＝ 2x ＝1－ 2x ， 10 ＋10－x 10 ＋1 10 ＋1 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? 令 x2&x1 ，则 f(x2)－f(x1)＝ ?1－102x2＋1? － ?1－102x1＋1? ＝ ? ? ? ? ? 102x2－102x1 2× ，∵函数 y＝10x 为增函数，x2&x1， 2x2 2x1 ?（10 ＋1）（??10 ＋1）? ∴102x2&102x1，∴102x2－102x1&0，又∵102x1＋1&0,102x2＋1&0， 102x2－102x1 ∴2× &0，故当 x2&x1 时，f(x2)－f(x1)&0， （?102x2＋1）（??102x1＋1）? 即 f(x2)&f(x1)，∴函数 f(x)为 R 上的增函数；第8讲 │ 要点探究10x－10 x 2 (3)f(x)＝ x ，∵102x&0，∴102x＋1&1， －x ＝1－ 2x 10 ＋10 10 ＋1 1 2 2 ∴0& 2x &1，∴0& 2x &2，∴－2&－ 2x &0，∴－1&1 10 ＋1 10 ＋1 10 ＋1 2 － 2x &1，即函数的值域为(－1,1)． 10 ＋1－第8讲 │ 要点探究?探究点4指数函数的性质的综合应用?1? f(x)＝?3?x， x∈[－1,1]， 函数 ? ?例 4[2010? 潍坊模拟]已知函数g???x???＝f2(x)－2a f(x)＋3 的最小值为 h???a???. (1)求 h???a???； (2)是否存在实数 m， 同时满足以下条件： n ①m&n&3； ②当 h???a???的 ? ? ? 2 2? 定义域为??n，m??时，值域为??n ，m ??.若存在，求出 m，n 的值；若不存 在，说明理由．第8讲 │ 要点探究[解答] (1)因为?1 ? t∈?3，3?，则 ? ? ?1?x ?1 ? ?1?x x∈ －1，1 ，所以?3? ∈?3，3?.设?3? ＝t， ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? g??x??＝φ??t??＝t2－2at＋3＝??t－a??2＋3－a2.?1? 28 2a 1 ? ? 当 a& 时，h?a?＝φ?3?＝ － ； 3 9 3 ? ? 1 当 ≤a≤3 时，h??a??＝φ??a??＝3－a2； 3 当 a&3 时，h??a??＝φ??3??＝12－6a，?28 2a? 1? ? 9 － 3 ?a&3?， ? ? ? ? ? 综上：h??a??＝? 2?1 ? ?3－a ?3≤a≤3?， ? ? ? ?12－6a?a&3?.第8讲 │ 要点探究n，m???， (2) 因为 m&n&3， a∈ 所以 h???a???＝12－6a.因为 h???a???的? ? ? 2 2? 定 义 域 为 ??n，m?? ， 值 域 为 ??n ，m ?? ， 且 h ???a??? 为 减 函 数 ，所 以? ? ??12－6m＝n2， ? ? ?12－6n＝m2， ?? ? ? ?? ? 两 式 相 减 得 6 ??m－n?? ＝ ??m－n?? ??m＋n?? ， 因 为m&n，所以 m－n≠0，得 m＋n＝6，但这与“m&n&3”矛盾，故 满足条件的实数 m，n 不存在．第8讲 │规律总结 规律总结1．利用分数指数幂进行根式的运算，其顺序是先把根 式转化为分数指数幂，再根据分数指数幂运算性质进行 计算． 2．指数函数型的解题方法及一般规律 (1)指数函数的底数a&0且a≠1，这是隐含条件． (2)指数函数y＝ax的单调性与底数a与1的大小有关，当 底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．第8讲 │规律总结(3)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当 底数相同、指数不同时，构造同一指数函数，然后比较 大小；当指数相同、底数不同时，构造两个指数函数， 利用图象比较大小；如果底数和指数都不同，利用中间 变量0或1比较大小． (4)解简单的指数不等式时，当底数含参数，且底数 与1的大小不确定时，注意分类讨论．第9讲 │ 对数与对数函数第9讲 对数与对数函数第9讲 │ 知识梳理 知识梳理1．对数的概念 logaN(a&0，a≠1，N&0) (1)如果 ab＝N，那么 b＝______________________； (2)以____为底的对数叫常用对数，N 的常用对数简记为 10 lgN ____；以___为底的对数叫自然对数，N 的自然对数简记为 e lnN ____．第9讲 │ 知识梳理2．积、商、幂、方根的对数(M、N 都是正数，a＞0，a≠1) 的运算性质logaM＋logaN (1)loga(M? N)＝________________；M logaM－logaN (2)loga N ＝________________；nlogaM (3)logaMn＝_________(n∈R)；(4)loga n1 nlogaM M＝________(n∈R)．第9讲 │ 知识梳理3．对数的换底公式及对数恒等式 (1)恒等式：logaab＝____，loga1＝____，alogaN＝____； b 0 N (2)换底公式： logaN＝ b≠1)． logbN 1 ， logab＝ (a＞0， a≠1， b＞0， logba logba第9讲 │ 知识梳理4．对数函数的图象和性质对数函数定义式 定义域 值域 y＝logax(0&a&1) y＝logax(a&1)图象过定点(1,0)减函数 性质 x≥1时，y≤1； 0＜x＜1时，y＞0 增函数 x≥1时，y≥0； 0＜x＜1时，y＜0y＝logax与y＝ax的图象关于y＝x对称第9讲 │ 知识梳理5.指数函数与对数函数的关系反函数 它们的 对数函数 y＝logax 与指数函数 y＝ax 互为________，直线y＝x 图象关于__________对称．第9讲 │ 要点探究 要点探究? 探究点1 对数式的化简与求值3 7 1 － ＋log212－ log242－1＝____. 2 48 2?1?x 时，f(x)＝?2? ； ? ?例1 (1)计算：log2(2)[2009? 辽宁卷] 已知函数 f(x)满足：x≥4 1 当 x＜4 时，f(x)＝f(x＋1)．则 f(2＋log23)为____． 24(3)已知 log189＝a,18b＝5， 试用含有 a， 的式子表示 log3645 ba＋b 2－a 的值为______．第9讲 │ 要点探究[思路] (1)熟练运用对数运算性质和法则进行运算； (2)因f(x)是分段函数，故先判断自变量的范围，再选择合适的 解析式，同时注意对数恒等式的运用；(3)当指数的取值范围扩 充到有理数后，对数运算就是指数运算的逆运算．因此，当一 个题目中同时出现指数式与对数式时，一般要把问题转化，即 统一到一种表达式．7 [ 解 析 ] (1) 原 式 ＝ log2 ＋ log212 － log2 42 － log22 ＝ 48 3 7× 12 1 3 － log2 ＝log2 ＝log22 2＝－ . 2 48× 42× 2 2 2第9讲 │ 要点探究(2)∵3＜2＋log23＜4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)， 且 3＋log23＞4， ∴f(2＋log23)＝f(3＋log23) ?1? ＋ 1 ?1?log23 1 ?1?log11 ? ? ＝?2?3 log23＝ × 2? ＝ × 2? 3 8 ? ? 8 ? ? 2 ? ? 1 1 1 ＝ ×＝ . 8 3 24 (3)由 18b＝5，得 b＝log185，又 log189＝a， ∴log189＋log185＝log1845＝a＋b. a＋b a＋b a＋b log1845 ∴log3645＝ ＝ ＝ ＝ . log1836 1＋log182 2－log189 2－a第9讲 │ 要点探究[点评]熟练运用对数式的运算公式和对数的性质是解 决本题的基础和前提．运用对数的运算法则时，要注意取 值范围，同时不要将积、商、幂的对数与对数的积、商、 幂混淆． 涉及对数之积的形式无法直接使用对数的运算性质， 可先因式分解再使用．如第9讲 │ 要点探究计算：[ 解 答 ] (1) 原 式 ＝ lg 2 (2lg 2 ＋ lg5) ＋ （?lg 2）?2－2lg 2＋1＝lg 2(lg2＋lg5)＋|lg 2－1|＝lg 2＋(1 －lg 2)＝1. 34 (2) 原 式 ＝ log3?3 ? 1 ? ? ?10－3－2?＝－ . ? －1?? 5? ? 4 ? log 4 ?3(1)2(lg 2) ＋lg 2? lg5＋ ?（lg 2）? －lg2＋1； 4 2 ? 1 ? ? ? 27 ?3 3? －log 72 7 ?. (2)log3 ? 5?42log210－? ?3 log 3 ? ?223? log 10 ? 3?2 ? ? 2? ? 5 ?2 2 －?32?3－log77 ?) log ? ? ? ?＝第9讲 │ 要点探究?探究点2 例2对数函数的图象与性质1－mx ?? a&0，a≠1??? 已知 f(x)＝loga 1－x ?[2010?南京模拟]是奇函数． (1)求 m(m＜0)的值； (2)判断函数 f(x)在(0,1)上的单调性； (3)求使 f(x)&0 的 x 的取值范围．第9讲 │ 要点探究[思路] (1)利用函数奇偶性的定义，列出m所满足的方 程；(2)严格按照用定义证明函数单调性的步骤进行；(3)利 用函数的单调性，脱掉符号“f”求解．1＋mx [解答] (1)∵f(x)是奇函数，∴f －x ＋f(x)＝loga ＋ 1＋x 1－mx 1－m2x2 loga ＝loga 2 ＝0 对定义域内的任意 x 恒成立，∴ 1－x 1－x 1－m2x2 2 2 2 2 ＝1，∴(m －1)x ＝0，即 m －1＝0，∴m＝1(舍去)或 m 1－x ＝－1，∴m＝－1.? ? ? ? ? ?第9讲 │ 要点探究(2)设 0&x1&x2&1，则 x1＋x2&0,1－x1&0,1－x2&0，又(1＋x1)(1＋ （?1＋x1??）（1＋x2?） x2)－(1－x1)(1－x2)＝2(x1＋x2)&0，∴ &1， （?1－x1?）（?1－x2?） 1＋x2 1－x1 ∴f(x2)－f(x1)＝loga －loga 1－x2 1＋x1 ?（1＋x1?）（?1＋x2?） ＝loga . （?1－x1?）（?1－x2?） ?（1＋x1?）（?1＋x2?） ∴当 a&1 时，loga &0， ?（1－x1?）（?1－x2?） ∴f(x2)&f(x1)，∴函数在(0,1)上为增函数； （?1＋x1?）（?1＋x2?） 当 0&a&1 时，loga &0， （?1－x1?）（?1－x2?） ∴f(x2)&f(x1)，∴函数在(0,1)上为减函数．第9讲 │ 要点探究1＋x 1＋x (3)当 a&1 时， loga 由 &0＝loga1， 得 &1， 解得 0&x&1， 1－x 1－x 1＋x 1＋x 当 0&a&1 时，由 loga &0＝loga1，得 0& &1，解得 1－x 1－x －1&x&0. 综上，当 a&1 时，x 的取值范围是{x|0&x&1}，当 0&a&1 时， x 的取值范围是{x|&x&0}．第9讲 │ 要点探究已知函数 f(x)＝－log2(x2－ax－a)在(－∞，1－ 3) 上是增函数，求实数 a 的取值范围．[解答] 令 g(x)＝x2－ax－a， 要使 f(x)在??－∞，1－ 3?? ?a ? ≥1－ 3， 上是增函数，需?2 ?g???1－ 3???≥0， ? 解得 2－2 3≤a≤2.??第9讲 │ 要点探究?探究点3与指数函数、对数函数有关的大小比较1 例3 [2010?全国卷Ⅰ] 设 a＝log32，b＝ln2，c＝5－2， 则 ( ) A．a&b&c B．b&c&a C．c&a&b D．c&b&a[思路] 利用中间变量比较大小．第9讲 │ 要点探究1 1 ， b ＝ ln2 ＝ ，而 log23 log2e 1 1 1 1 1 1 － 1&log2e&log23，所以 a&b，c＝5 2＝ & ＝ ＝ & ，所以 5 4 2 log24 log23 c&a，综上 c&a&b. 1 1 1 方法二：a＝log32＝ ，b＝ln2＝ ，1&log2e&log23&2， log23 log2e 2 1 1 1 1 1 1 & & &1，c＝5－ ＝ & ＝ ，∴c&a&b. log23 log2e 2 5 4 2 C [ 解 析 ] 方 法 一 ： a ＝ log32 ＝第9讲 │ 要点探究若 x∈(e 1,1)， a＝lnx， b＝2lnx， c＝ln3x， 则( A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a－－)C [解析] 由 x∈(e 1,1)得， －1＜lnx＜0， a－b＝－lnx＞0， a＞b，a－c＝lnx(1－ln2x)＜0，a＜c，因此有 b＜a＜c.第9讲 │ 要点探究? 探究点4 指数函数的性质的综合应用1 例4 已知函数 f(x)＝2x－2|x|. (1)若 f(x)＝2，求 x 的值； (2)若 2tf(2t)＋mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立，求实数 m 的取值范围． 1 x [解析] 由[解答] (1)当 x≥0 时，f(x)＝2 － x＝2， 2 (?2x?)2－1 即 ＝2，即(2x)2－2?x－1＝0， 2 x 2 解得 2x＝1＋ 2或 2x＝1－ 2(舍去)， x＝log2(1＋ 2)． 1 当 x&0 时，f(x)＝2x－ x＝2， 2 即 2x－2x＝2，无解． 故 x＝log2(1＋ 2)．－第9讲 │ 要点探究(2)∵2tf(2t)＋mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立， f(t)在区间[1,2] 而 －2tf?2t? 上恒为正数，故 m≥ 对于 t∈[1,2]恒成立． f?t? ? 1? t? 2t －2 2 －22t? f?2t? ? ? 令 y＝－2t? ＝ ＝－(22t＋1)， f?t? 1 2t － t 2 函数 y＝(22t＋1)，在 R 上为减函数， 当 t＝1 时，ymax＝－22－1＝－5. ∴m≥ymax＝－5， 故 m 的取值范围为 m≥－5.第9讲 │规律总结 规律总结1．应重视指数式与对数式的互化关系，它体现了 数学的转化思想，也往往是解决“指数、对数”问题的关 键． 2．指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数， 可以从概念、图象、性质几方面了解它们间的联系与区 别． 3．对数函数的真数和底数应满足的条件是求解有 关对数问题时必须予以特别重视的，另外对数函数问题 尽量化同底，以方便运算和运用性质．第9讲 │规律总结4．对数函数的性质主要是单调性，对数函数y＝ logax单调性与底数a与1的大小有关，当底数a与1的大小 关系不确定时应注意分类讨论． 5．利用对数函数的概念、图象、性质讨论一些复 合函数的相应问题是常考题型，应注意数形结合、分类 讨论、化归转化等数学思想方法的灵活运用．第10讲 │ 幂函数与函数的图象第10讲幂函数与函数的图象第10讲 │知识梳理 知识梳理1．幂函数 y＝xα (1)幂函数定义：一般地，形如______(α∈R)的函数称为幂 函数，其中α为常数． 几种常见幂函数的图象： 1 ① y＝x；② y＝x ；③ y＝x2； 2 ④ y＝x－1；⑤ y＝x3.图10－1第10讲 │知识梳理(2)幂函数性质 (0，＋∞) ①所有的幂函数在__________都有定义，并且图象都过点 (1,1) ______； 原点 ②α&0时，幂函数的图象通过______，并且在区间[0， ＋∞)上是________．特别地，当α&1时，幂函数的图象______ 增函数 ；当0&α&1时，幂函数的图象______； 上凸 下凸 减函数 ③α&0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是__________． 在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地 逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x 轴正半轴．第10讲 │知识梳理2．函数图象 列表描点法 以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即____________ 图象变换法 和____________． 描点法： 定义域 (1)作函数图象的步骤：①确定函数的________；②化简函数 单调性、奇偶性、周期性 的解析式；③讨论函数的性质，即________________________； ④描点连线，画出函数的图象． 变换法： (2)几种图象变换：平移变换、对称变换和翻折变换、伸缩变 换等等；第10讲 │知识梳理x轴方向平移 |a|第10讲 │知识梳理关于y轴第10讲 │知识梳理原点直线x＝a第10讲 │知识梳理③翻折变换： Ⅰ.函数y＝|f(x)|的图象可以将函数y＝f(x)的图象的x轴下方部分 x轴 沿________翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留 y＝f(x)的x轴上方部分 ____________________即可得到；图10－2第10讲 │知识梳理Ⅱ.函数y＝f(|x|)的图象可以将函数y＝f(x)的图象右边沿y轴翻 折到y轴左边替代原y轴左边部分，并保留 y＝f(x)在y轴右边部分 _____________________即可得到．图10－3第10讲 │知识梳理纵坐标伸长(a&1)或压缩(0&a&1)为原来的a倍第10讲 │知识梳理(3)识图：图象的分布范围、变化趋势、对称性、周期性等 等． 3．函数图象的应用 (1)利用函数图象，研究函数的几何性质，如单调性、周期 性、奇偶性、最值、零点、值域及定义域、对称性等； (2)利用函数图象、数形结合的思想方法解题，将代数问题 转化为平面解析几何问题处理．第10讲 │要点探究 要点探究? 探究点1 集合的概念? ? ? ?2 例 1 已知 f (x)＝ m ＋2m??xm (1) f (x)是幂函数； (2)f (x)是正比例函数； (3)f (x)是反比例函数．2－2m－1，当 m 取何值时，[思路] 利用各类函数的定义，确定 x 的指数的取值． [解答] (1)由 m2＋2m＝1，解得 m＝－1± 2. (2)由 m2－2m－1＝1，得 m＝1± 3. (3)由 m2－2m－1＝－1，m＝0 或 m＝2，又当 m＝0 时，m2＋2m＝ 0，不符合题意，舍去，故 m＝2.第10讲 │要点探究? 探究点二 幂函数的图象与性质2－2m－3(m例 2 已知幂函数 f(x)＝xmm∈N*)的图象关于 y 轴对称，且在m(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1) 3 &(3－2a) 3 的 a 的取值范围．[思路] 利用幂函数的奇偶性和单调性确定m的值，再由幂函 数的单调性确定a的取值范围．[解答] ∵函数 f(x)在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m ＜3.∵m∈N*，∴m＝1 或 2.又函数 f(x)的图象关于 y 轴对称，∴m2－2m －3 是偶数，而 22－2× 2－3＝－3 为奇数，12－2× 1－3＝－4 为偶数，∴m ＝1.又函数 g(x)＝x3在 R 上为增函数，∴(a＋1)3&(3－2a)3等价于 a＋1&3 2 －2a，解得 a& . 31 1 1第10讲 │要点探究[点评] 本题集幂函数概念、图象及单调性、奇偶性于一 体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质． 由幂函数的定义求参数的取值范围时，要注意检验求得的参数 是否符合题意，如：第10讲 │要点探究(1)函数 f(x)＝(m2－m－1)xm －2m－3 是幂函数，且当 x∈(0， ＋∞)时是减函数，则 m＝________. (2)幂函数 y＝xα，当 α 取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图 象是一族美丽的曲线(如图 10－4)．设点 A(1,0)，B(0,1)，连接 AB，线 段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y＝xα， y＝xβ 的图象三等分， 即有 BM ＝MN＝NA.那么 αβ＝__________.2图10－4第10讲 │要点探究(1)2 (2)1? ?[解析](1)因为函数 f??x??是幂函数，所以 m2－m? ???? ? －1＝1， m＝－1 或 m＝2.当 m＝－1 时， 得 函数 f??x??＝1， 不符合要求；当 m＝2 时，函数 f??x??＝x－3，它在??0，＋∞??上是减函数．故 m＝2.α(2)∵函数 y＝x?1 2? 经过点?3，3?， ? ? ? ??2 1? 2 ?1?α ? ? β 12 ∴ ＝?3? ，∴α＝log ，∵函数 y＝x 经过点?3，3?， ? ? 3 ? ? 3 ? ? 31 ?2?β 1 ? ? 21 12 21 12 ∴ ＝?3? ，∴β＝log ，∴αβ＝log ? log ＝log ? ＝1. 3 ? ? 3 3 3 3 2 3 3 3 3 log1 33第10讲 │要点探究? 探究点3 幂函数的图象与性质例 3 作出下列函数的大致图象： (1)y＝log2|x|； 2－x (3)y＝ ； x＋1 (2)y＝|log2(x－1)|； (4)y＝2＋ 3－x.[思路] 根据各函数解析式的结构特征，分析其图象是由哪类 初等函数经过何种变换而得．第10讲 │要点探究第10讲 │要点探究第10讲 │要点探究[点评] (1)利用描点法作函数图象的步骤是：列表、描点、 连线，若对函数图象的形状比较熟悉，可不必列表，直接描点、 连线；(2)利用图象变换作函数图象，关键是找出基本初等函数， 将函数的解析式分解为只有单个变换的函数链，然后依次进行 单一变换，最终得到所要的函数图象．第10讲 │要点探究已知图象变换：①关于 y 轴对称；②关于 x 轴对称；③ 1 1 右移 1 个单位；④左移 1 个单位；⑤右移 个单位；⑥左移 个单 2 2 位；⑦横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变；⑧横坐标缩短为 原来的一半，纵坐标不变．由 y＝ex 的图象经过上述某些变换可 得 y＝e1－2x 的图象，这些变换可以依次是_____________(请填上 变换的序号)．[思路] 先确定图象变换的种类，然后确定图象变换的顺 序．第10讲 │要点探究①⑧⑤或①③⑧或④⑧①或④①⑧等(填一组即可)[解析] 方法一： 函数 y＝ex 的图象关于 y 轴对称得到函数 y＝e－ 的图象，然后横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变得 y＝e－2x 的图 ? 1? 1－2x 1 ? 象，最后向右移 个单位得函数 y＝e－2?x－2?＝e 的图象； ? 2 ? ? 方法二： 函数 y＝ex 的图象关于 y 轴对称得到函数 y＝e－x 的图象，x然后右移为 1 个单位得函数 y＝e－(x－1)＝e1－x 的函数图象， 最后横坐标 缩短为原来的一半，纵坐标不变得到 y＝e1－2x 的图象；第10讲 │要点探究方法三： 函数 y＝ex 的图象向左平移 1 个单位得 y＝ex＋1 的图象， 最后关于 y 轴对称得函数 y＝e1＋2(－x)＝e1－2x 的图象； 然后关于 y 轴对称得函数 y＝e－x＋1 的图象，最后横坐标缩短为原来 的一半，纵坐标不变得函数 y＝e－2x＋1.然后横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变得函数 y＝e1＋2x 的图象，方法四： 函数 y＝ex 的图象向左平移 1 个单位得 y＝ex＋1 的图象，[点评] 将函数f(x)经过多种图象变换得到g(x)的图象，可能有 多种不同的顺序，但不管按哪种顺序进行变换，都必须遵循“只 能对函数关系式中的x、y进行变换”的原则，否则容易出错．第10讲 │要点探究? 探究点4 函数图象的识别与应用例 4 如图10－5所示，一质点P(x，y)在xOy平面上沿曲线运 动，速度大小不变，其在x轴上的投影点Q(x,0)的运动速度V＝ V(t)的图象大致为( )图10－5图10－6第10讲 │要点探究[思路] 从已知图形中封闭曲线入手，研究投影点Q(x,0)的速度 的变化规律． B [解析] 由图可知，当质点P(x，y)在两个封闭曲线上运动 时，投影点Q(x,0)的速度先由正到0、到负数，到负数，再到0， 到正，故A错误，质点P(x，y)在开始时沿直线运动，最后阶段， 由于点往上运动，因此速度越来越小，故投影点Q(x,0)的速度为 常数，因此C是错误的，故选B.第10讲 │要点探究(1)有四个函数：①y＝x? sinx；②y＝x? cosx；③y＝ x? |cosx|；④y＝x?x的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照 2 从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )图10－7 A．④①②③ B．①④③② C．①④②③ D．③④②①第10讲 │要点探究(2)如图10－8，动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线 BD1上，过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交 于M，N.设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )图10－8图10－8第10讲 │要点探究(1)C (2)B [解析] (1)函数 xsinx 是偶函数，因此其图象只能是第一个，函数 y＝xcosx 与 y＝x|cosx|都为奇函数，但当 x&0 时，y＝x|cosx|≥0 恒成立，故其图象只能是第四个，函数 y＝x?x 不 2具有奇偶性，因此其图象只能是第二个，故选 C. 3 (2)设正方体的棱长为 a，当 0&x& a 时，M，N 分别在面 A1B 2 和面 B1C 内， M 作 MM1⊥面 AC 于 M1， N 作 NN1⊥面 AC 于 过 过 OB PB N1， 1N1 交 BD 于 O， MN＝ M1N1， Rt△BPO 中， ＝ M 则 在 DB BD1， 6 2 6 即 OB＝ x，在 Rt△BM1N1 中，M1N1＝2OB＝ x，只有图象 B 3 3 符合，故选 B.第10讲 │规律总结 规律总结1．幂函数y＝xa的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现的 第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；在 (0,1)上，幂函数中指数愈大，函数图象愈靠近x轴，在(1，＋∞)上，幂 函数中指数越大，函数图象越远离x轴；幂函数的单调性、奇偶性由指 数决定． 2．作图 作图的常用方法有描点法和变换法，对前者，要注意对函数性质 的研究；对后者，要熟悉常见函数及图象的变换法则，在解决函数图象 的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x、y变换”的原则，写 出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．第10讲 │规律总结3．识图 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范 围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单 调性、奇偶性、周期性等，注意图象与函数解析式中参数的 关系． 4．用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提 供了“形”的直观性，它是探求解题路径，获得问题结果的 重要工具，要重视数形结合思想的应用．第11讲 │ 函数与方程第11讲函数与方程第11讲 │知识梳理 知识梳理函数值等于零 1．一般地，如果函数y＝f(x)在实数a处的_______________， f(a)＝0 即________，则a叫做这个函数y＝f(x)的零点． 2．方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有 零点 交点 ______?函数y＝f(x)有______． 3．①如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一 f(a)? f(b)＜0 条曲线；②并且满足___________．那么，函数y＝f(x)在区间(a， f(c)＝0 b)内有零点，即至少存在一个c∈(a，b)，使________．满足上面 条件①、②后，在(a，b)内存在的c不一定只有一个．第11讲 │知识梳理4．对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)? f(b)＜0的函数y＝f(x)， 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两 一分为二 个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的方法叫做二分 零点 法．第11讲 │知识梳理5．二次函数的零点：