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2012高一物理人教版必修二 7.8机械能守恒定律教案
2012高一物理人教版必修二 7.8机械能守恒定律教案
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学校：临清二中
学科：物理
编写人：王雪莲
审稿人：马洪学
必修二第七章第八节《机械能守恒定律》教案
《机械能守恒定律》是人教版高中物理必修二第七章《机械能》第八节的教学内容，主要学习机械能的定义、机械能守恒定律，掌握推导机械能守恒定律的方法，本节内容是本章的主要内容，占有重要地位。
二、教学目标
知识与技能
1．知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化．
2．会正确推导物体在光滑曲面上运动过程中的机械能守恒，理解机械能守恒定律的内容，知道它的含义和适用条件．
3．在具体问题中，能判定机械能是否守恒，并能列出机械能守恒的方程式。
过程与方法
学会在具体的问题中判定物体的机械能是否守恒．
2．初步学会从能量转化和守恒的观点来解释物理现象，分析问题．
情感、态度与价值观
通过能量守恒的教学，使学生树立科学观点，理解和运用自然规律，并用来解决实际问题．
的机械能，尤其是分析、判断物体所具有的重力势能．
3．应用机械能守恒定律解决具体问题．
三、教学重点难点
1．掌握机械能守恒定律的推导、建立过程，理解机械能守恒定律的内容．
2．在具体的问题中能判定机械能是否守恒，并能列出定律的数学表达式．
1．从能的转化和功能关系出发理解机械能守恒的条件．
2．能正确判断研究对象在所经历的过程中机械能是否守恒，能正确分析物体系统所具有机械能。
四、学情分析
我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。需要教师指导并借助动画给予直观的认识。
五、教学方法
探究、讲授、讨论、练习
六、课前准备
1．学生的学习准备：预习《机械能守恒定律》，并填写学案。
2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
3．教具准备：投影仪、细线、小球，带标尺的铁架台、弹簧振子。
七、课时安排：1课时
八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
教师首先提问：
思考1：动能和势能的相互转化是否存在某种定量关系，遵守什么规律呢？
思考2：机械能守恒需要什么条件？
设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。
（三）合作探究、精讲点拨。
探究一：动能和势能的相互转化
师：现在大家看这样几个例子，分析各个物体在运动过程中能量的转化情况．
(投影展示教材上的实例，包括自由下落的物体、沿光滑斜面向下运动的物体、竖直上抛的物体等等，这些物体最好是具体的实物，以增加学生学习的兴趣，减小问题的抽象性)
师：我们先来看自由落体运动的物体，自由落体运动是一种最简单的加速运动，在这个运动过程中能量的转化情况是怎样的?
生：在自由落体运动中，物体在下落的过程中速度不断增大，动能是增加的；而随着高度的减小，物体的重力势能是减少的．
师：在竖直上抛运动的过程中，能量的转化情况又是怎样的?
生：竖直上抛运动可以分成两个阶段，一个是上升过程的减速阶段，一个是下落过程的加速阶段，下落过程的加速阶段能量的变化过程和自由落体运动中能量的转化过程是一样的，动能增加，重力势能减少，因为这个阶段的运动实质上就是自由落体运动．在上升过程中，物体的动能减少，重力势能增加．
师：物体沿光滑斜面上滑，在运动过程中受到几个力，有几个力做功，做功的情况又是怎么样的?
生：在物体沿光滑的斜面上滑时，物体受到两个力的作用，其中包括物体受到的重力和斜面对它的支持力，这两个力中重力对物体做负功，支持力的方向始终和物体运动方向垂直，所以支持力不做功．
师：在竖直上抛过程中能量的转化情况是怎样的?
生：在竖直上抛过程中，先是物体的动能减少，重力势能增加，然后是重力势能减少，动能增加．
师：我们下面再看这样一个例子：
(演示：如图5．8—1，用细线、小球、带有标尺的铁架台等做实验．把一个小球用细线悬挂起来，把小球拉到一定高度的A点，然后放开，小球在摆动过程中，重力势能和动能相互转化．
我们看到，小球可以摆到跟A点等高的C点，如图5．8—1甲．如果用尺子在某一点挡住细线，小球虽然不能摆到C点，但摆到另一侧时，也能达到跟A点相同的高度，如图5．8—1乙)
师：在这个小实验中，小球的受力情况如何?各个力的做功情况如何?这个小实验说明了什么问题?
生：小球在摆动过程中受重力和绳的拉力作用．拉力和速度方向总垂直，对小球不做功，只有重力对小球能做功．
实验证明，小球在摆动过程中重力势能和动能在不断转化．在摆动过程中，小球总能回到原来的高度．可见，重力势能和动能的总和不变．
师：上面几个例子都是说明动能和重力势能之间的相互转化，那么动能和另外一个势能——弹性势能之间的关系又是什么呢?我们看下面一个演示实验．
(实验演示，如图5．8—2，水平方向的弹簧振于．用弹簧振子演示动能和弹性势能的相互转化)
师：在这个小实验中，小球的受力情况如何?各个力的做功情况如何?这个小实验说明了什么?
(学生观察演示实验，思考问题，选出代表发表见解)
生1：小球在往复运动过程中，竖直方向上受重力和杆的支持力作用，水平方向上受弹力作用．重力、支持力和速度方向总垂直，对小球不做功；只有弹簧的弹力对小球能做功．
生2：实验证明，小球在往复运动过程中弹性势能和动能在不断转化．小球在往复运动过程中总能回到原来的位置，可见，弹性势能和动能的总和应该不变．
师：动能和重力势能的总和或者动能和弹性势能的总和叫做什么能量?
生：动能和重力势能和弹性势能的总和叫做机械能．
师：上述几个例子中，系统的机械能的变化情况是怎样的?
生：虽然动能不断地变化，势能也不断地变化，它们的变化应该存在一个规律，即总的机械能是不变的．
(课堂训练)
如图5．8—3所示，桌面高为A，质量为m的小球从离桌面高为H处自由落下，不计空气阻力，假设桌面处的重力势能为零，则小球落到地面前瞬间的机械能为…………………………………………(
D.mg(H—h)
解析：机械能是动能和势能的总和，因为选桌面为零势舶面，所以开始时机械能为mgH，由于小球在下落过程中只受重力，所以小球在落地之前机械能守恒，即在下落过程中任意一个位置机械能都与开始时机械能相等．
师：刚才这些例子只是半定量地了解机械能内部动能和势能的转化情况，要想精确地解决这个问题，还需要进一步的研究．我们得到动能和势能之间可以相互转化，那么在动能和势能的转化过程中，动能和势能的和是否真的保持不变?下面我们就来定量讨论这个问题．
探究二：机械能守恒定律
师：我们来看这样一个问题：
(投影课本23页图5．8—3的问题，学生自主推导结论，老师巡视指导，及时解决学生可能遇到的困难．投影学生的推导过程，和其他学生一起点评)物体沿光滑曲面滑下，只有重力对物体做功．用我们学过的动能定理以及重力的功和重力势能的关系，推导出物体在A处的机械能和B处的机械能相等．
师：这个问题应该怎样解决，结论是什么?
生：推导的结果为：Ek2 +EP2 =Ek1 + EP1，即E1= E2．
师：这个结论用文字叙述应该是什么?
生：动能和重力势能可以相互转化，而总的机械能保持不变．
师：这个结论的前提是什么?
生：这个结论的前提是在只有重力做功的物体系统内．
师：除了这样一个条件之外，在只有弹力做功的系统内，动能和弹性势能可以相互转化，而总的机械能不变．
师(得出结论)：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和弹性势能可以相互转化，总的机械能也保持不变，这就是机械能守恒定律．为了熟悉机械能守恒定律的解题步骤，我们看下面的例题．
(投影展示课本23页例题，学生尝试独立解决这个问题，在解决问题中体会用机械能守恒定律解决问题的一般步骤)
把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆，摆长为L，最大倾角为θ．小球到达最底端的速度是多大?
师：这个问题应该怎样分析?
生：和刚才举的例子一样，小球在摆动过程中受到重力和细线的拉力．细线的拉力与小球的运动方向垂直，不做功，所以整个过程中只有重力做功，机械能守恒．小球在最高点只有重力势能，没有动能，计算小球在最高点和最低点的重力势能的差值，根据机械能守恒定律就能得到它在最低点的动能，从而计算出在最低点的速度．
师：具体的解答过程是什么?
师：通过这个题目的解答，你能够得到什么启发呢?
生1：机械能守恒定律不涉及运动过程中的加速度和时间，用它来处理问题要比牛顿定律方便．
生2：用机械能守恒定律解题，必须明确初末状态机械能，要分析机械能守恒的条件．
师：下面大家总结一下用机械能守恒定律解决问题的一般步骤．
(投影学生总结的用机械能守恒定律解题的一般步骤，组织学生讨论完善这个问题，形成共同的看法)(参考解题步骤)
生：可以分为以下几步进行：
1．选取研究对象——系统或物体．
2．根据研究对象所经历的物理过程．进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒．
3．恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初末状态时的机械能．
4．根据机械能守恒定律列方程，进行求解．
师：它和动能定理解题的相同点是什么呢?
生：这两个定理都可以解决变力做功问题和运动轨迹是曲线的问题．它们都关心物体初末状态的物理量．
师：用动能定理和机械能守恒定律解题的不同点是什么?
生：机械能守恒定律需要先判断机械能是不是守恒，而应用动能定理时要求要比机械能守恒定律条件要宽松得多．应用机械能守恒定律解决问题首先要规定零势能面，而用动能定理解决问题则不需要这一步．
师：刚才同学们分析得都很好，机械能守恒定律是一个非常重要的定律，大家一定要熟练掌握它．
对机械能守恒定律条件的理解
［例1］如图所示，下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的，图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动。在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是
解析：机械能守恒的条件是：物体只受重力或弹力的作用，或者还受其它力作用，但其它力不做功，那么在动能和势能的相互转化过程中，物体的机械能守恒。依照此条件分析，ABD三项均错。
对机械能守恒定律的应用
［例2］长为L的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的1/4垂在桌边，如图
所示，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大？
解析：链条下滑时，因桌面光滑，没有摩擦力做功。整根链条总的机械能守恒，可用机械能守恒定律求解。设整根链条质量为m，则单位长度质量（质量线密度）为m／L
设桌面重力势能为零，由机械能守恒定律得
（四）反思总结，当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）
（五）发导学案、布置预习。
我们已经学习了机械能守恒定律，并借助动能定理对此进行了推导，下节课我们再应用实验来验证机械能守恒，这节课后大家可以先预习这一部分，着重分析科学家是如何设计实验，如何得出恰当的结论的。并完成本节的课后练习及课后延伸拓展作业。
设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。
九、板书设计
一、动能和势能的相互转化
二、机械能守恒定律
十、教学反思
本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。
本节课中知识的理解还是好掌握的只是学生的感性认识少，在实际的应用中不能灵活驾驭，所以这节课重要的是多展示实例，增强学生的感性认识，同时这也充分的调动了学生学习的兴趣和积极性。
学校：临清二中
学科：物理
编写人：王雪莲
审稿人：马洪学
必修二第七章第8节
《 机械能守恒定律》学案
一、预习目标
1. 知道机械能的概念，能确定机械能的大小。
2. 会正确推导自由落体运动、竖直上抛的上升过程中的机械能守恒定律。
二、预习内容
2．表达式：E=EK+EP
3．注意：①机械能是
量，物体在某一时刻的机械能等于那一时刻的动能和势能之和。
②机械能是
量。没有方向，只有大小，可有正负(因势能可有正负)。
③机械能具有
，因为势能具有相对性(须确定零势能参考平面)，所以机械能也具有相对性。另外与动能相关的速度也具有相对性(应该相对于同一惯性参考系，一般是地面)。
二、机械能守恒定律
2．定律的表述：
3．适用条件：
4．物理意义：定律包含两层意思：一是机械能的几种不同形式(动能与势能)之间相互转化，其转化的条件是系统内的重力或弹簧的弹力做功。二是机械能的总量保持不变，其条件是只有系统内的重力或弹簧的弹力做功。“守恒”是一个动态概念，指在动能和势能相互转化的整个过程中的任何时刻、任何位置的机械能的总量总保持恒定不变。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
知识与技能
知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化；
理解机械能守恒定律的内容，知道它的含义和适用条件
情感、态度与价值观
通过能量守恒的教学，使学生树立科学观点，理解和运用自然规律，并用来解决实际问题。
二、学习过程
（一）、动能和势能的转化规律
动能和势能的转化规律
试分析各个物体在运动过程中能量的转化情况．
（1）自由下落的物体
（2）沿光滑斜面向下运动的物体
（3）竖直上抛的物体
思考1：动能和势能的相互转化是否存在某种定量关系，遵守什么规律呢？
我们下面再看这样一个例子：
(演示：如图5．8—1，用细线、小球、带有标尺的铁架台等做实验．把一个小球用细线悬挂起来，把小球拉到一定高度的A点，然后放开，小球在摆动过程中，重力势能和动能相互转化．
我们看到，小球可以摆到跟A点等高的C点，如图5．8—1甲．如果用尺子在某一点挡住细线，小球虽然不能摆到C点，但摆到另一侧时，也能达到跟A点相同的高度，如图5．8—1乙)
思考2：在这个小实验中，小球的受力情况如何?各个力的做功情况如何?这个小实验说明了什么问题?
实验证明，小球在摆动过程中重力势能和动能在不断转化．在摆动过程中，小球总能回到原来的高度．可见，
总和不变．
上面几个例子都是说明动能和重力势能之间的相互转化，那么动能和另外一个势能——弹性势能之间的关系又是什么呢?我们看下面一个演示实验．
(实验演示，如图5．8—2，水平方向的弹簧振于．用弹簧振子演示动能和弹性势能的相互转化)
思考3：在这个小实验中，小球的受力情况如何?各个力的做功情况如何?这个小实验说明了什么?
实验证明，小球在往复运动过程中弹性势能和动能在不断转化．小球在往复运动过程中总能回到原来的位置，可见，
总和应该不变．
动能和重力势能和弹性势能的总和叫做
总结：虽然动能不断地变化，势能也不断地变化，它们的变化应该存在一个规律，即总的机械能
例1如图5．8—3所示，桌面高为A，质量为m的小球从离桌面高为H处自由落下，不计空气阻力，假设桌面处的重力势能为零，则小球落到地面前瞬间的机械能为…………………………………………(
D.mg(H—h)
、机械能守恒定律
质量为m的物体自由下落过程中，经过高度h1的A点时速度为v1，下落至高度h2的B点处速度为v2。
可见：在只有重力做功的物体系统内，动能和重力势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。同样可以证明：在只有弹力做功的物体系统内，动能和弹性势能可以相互转化，总的机械能也保持不变
机械能守恒定律内容：
2. 数学表达式：
即E1= E2．
3.机械能守恒条件的理解
（1）从能量转化的角度看，只有系统内动能和势能相互转化，无其它形式能量之间（如内能）转化；
（2）从系统做功的角度看，只有重力或弹力做功。
4.只有重力或弹力做功与只受重力或弹力作用的含义不同。
(1)只受重力或弹力；
(2)除重力或弹力外，还受其它力，但其它力不做功或其它力所做功代数和为零（摆球）。
5.守恒定律的多种表达方式
当系统满足机械能守恒的条件以后，常见的守恒表达式有以下几种：
，即初状态的动能和势能之和等于末状态的动能和势能之和。
，即动能（或势能）的增加量等于势能（或动能）的减少量。
，即A物体机械能的增加量等于B物体机械能的减少量。
例2、下列实例（均不计空气阻力）中的运动物体，机械能守恒的应是（
A．被起重机吊起的货物正在匀速上升
B．物体做自由落体运动
C．物体沿粗糙斜面匀速下滑
D．物体做平抛运动
例3.关于物体的机械能是否守恒的叙述，下列说法中正确的是
A．做匀速直线运动的物体，机械能一定守恒
B．做匀变速直线运动的物体，机械能一定守恒
C．外力对物体所做的功等于0时，机械能一定守恒
D．物体若只有重力做功，机械能一定守恒
机械能守恒定律解题的一般步骤
1.根据题意选取研究对象（物体或系统）
2.明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒。
3.恰当地选取零势能面，确定研究对象在过程中的始态或末态的机械能。
4.根据机械能守恒定律的不同表达式列方程，并求解结果。
例4.以10m/s的初速度从10m高的塔上水平抛出一颗石子，不计空气阻力,求石子落地时速度的大小．
（三）反思总结
(四)当堂检测
1.下列说法正确的是：（
A、物体机械能守恒时，一定只受重力和弹力的作用。
B、物体处于平衡状态时机械能一定守恒。
C、在重力势能和动能的相互转化过程中，若物体除受重力外，还受到其他力作用时，物体的机械能也可能守恒。
D、物体的动能和重力势能之和增大，必定有重力以外的其他力对物体做功。
2.从离地高为Hｍ的阳台上以速度v竖直向上抛出质量为ｍ的物体，它上升hｍ后又返回下落，最后落在地面上，则下列说法中正确的是（不计空气阻力，以地面为参考面）（
A．物体在最高点时机械能为mg（H＋h）
B．物体落地时的机械能为mg（H＋h）＋mv2
C．物体落地时的机械能为mgH＋mv2
D．物体在落回过程中，经过阳台时的机械能为mgH＋mv2
3.质量均为ｍ的甲、乙、丙三个小球，在离地面高为h处以相同的动能在竖直平面内分别做平抛、竖直下抛、沿光滑斜面下滑，则（
A．三者到达地面时的速率相同
B．三者到达地面时的动能相同
C．三者到达地面时的机械能相同
D．以上说法都不正确
4.一个人把重物加速上举到某一高度，下列说法正确的是（
A．物体所受的合外力对它所做的功等于物体机械能的增量
B．物体所受合外力对它所做的功等于物体的动能的增量
C．人对物体所做的功和重力对物体所做的功的代数和等于物体机械能的增量
D．克服重力所做的功等于物体的重力势能的增量
5.把一个小球用细绳悬挂起来，就成为一个摆（如图），摆长为l，最大偏角为θ，小球运动到最低位置时的速度是多大？
课后练习与提高
1．下列说法中，正确的是(
A．机械能守恒时，物体一定不受阻力。
B．机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用。
C．物体处于平衡状态时，机械能必守恒。
D．物体所受的外力不等于零，其机械能也可以守恒。
2．如图所示，距地面h高处以初速度Vo沿水平方向抛出一个物体，不计空气阻力，物体在下落过程中，下列说法正确的是(
A．物体在c点比a点具有的机械能大。
B．物体在a点比c点具有的动能大。
C．物体在a、b、c三点具有的动能一样大。
D．物体在a、b、c三点具有的机械能相等。
3．从离地面h高处以初速v0，分别向水平方向、竖直向上、竖直向下抛出a，b，c三个质量相同的小球，则它们(
A．落地时的动能相同
B．落地时的动能大小是Ekc＞Eka＞Ekb
C．落地时重力势能的减少量相同D．在运动过程中任一位置上的机械能都相同。
4．自由落下的小球，从接触竖直放要的弹簧开始到弹簧被压缩到最大形变的过程中，下列说法中正确的是(
A．小球的动能逐渐减小。
B．小球的重力势能逐渐减小。
C．系统的机械能逐渐减小。
D。系统的机械能保持不变。
5．如图所示，从高H的平台上，以初速度vO抛出一个质量为m的小球，当它落到抛出点下方h处时的动能为(
A．1/2mv02+mgH
B．1/2mv02+mgh
C．mgH-mgh
D．1/2mv02+mg（H-h）
6．长1的线的一端系住质量为m的小球，另一端固定，使小球在竖直平面内以绳的固定点为圆心恰能做完整的圆周运动，下列说法正确的是(
A．小球、地球组成的系统机械能守恒。
B．小球做匀速圆周运动。
C．小球对绳拉力的最大值与最小值相差6mg。
D．以最低点为参考平面，小球机械能的最小值为2mgl。
7．有一斜轨道AB与同材料的l／4圆周轨道BC圆滑相接，数据如图所示，D点在C点的正上方，距地面高度为3R，现让一个小滑块从D点自由下落，沿轨道刚好能滑动到A点，则它再从A点沿轨道自由滑下，能上升到的距地面最大高度是（不计空气阻力）A．小球对轨道底端的压力是相同的。
B．小球对轨道底端的压力是不同的，半径大的压力大。
C．通过最低点的速度不同，半径大的速度大。
D．通过最低点时向心加速度是相同的。
9．质量为O．5kg的物体作自由落体运动，下落ls后，物体的动能为_________J，重力势能减少_________J，在此过程中，物体的机械能__________(填：守恒或不守恒)。
10．一根全长为1、粗细均匀的铁链，对称地挂在轻小光滑的定滑轮上，如图所示，受到轻微的扰动后，铁链开始滑动，当铁链脱离滑轮瞬间铁链速度大小为多少？
机械能守恒定律 参考答案
课后练习与提高
一、选择题
1.D;2.BD;3.BD;4.D;5.A;
三、计算题
8.设经历的时间为,则有:,所以,,则竖直位移,落到斜面时动能=14J
9.(1)由机械能守恒定律得:,则
(3)因为机械能守恒,所以最大高度不变
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请问关于费尔马定理的有趣故事是什么?
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费尔马是一个十分活跃的业余数学家,喜欢和别人通信讨论数学问题.他差不多和同时代的数学家都通过信,受到人们的敬重.
费尔马经常提出一些难题,寄给熟人,请他们解答,然后再把这些解答与自己的解答对照.他提出的猜想,有被否定掉的；但是他证明过的定理,却从没有被推翻过.其中,不少成了后来书上的重要定理.费尔马在数论上作过杰出贡献.例如,他发现并证明了一个很重要的基本定理：
若P为素数,正整数a不能被P整除,那么a -1这个数,一定能够被P整除.
这个定理叫做费尔马定理或者费尔马小定理.1640年,当费尔马证完这个定理后,兴奋地写信告诉他的朋友说：“我浸浴在阳光中!这个定理按其在数论和近世代数中的重要性来说,的确是值得称道的.
比如我们要考察5-1这个数能不能被7整除,根据费尔马小定理,由于
7-15-1=5-1,所以知道它一定能被7整除.事实也正是这样.
因为这个数小,所以可以写出来判断.如果是问1981-1能不能被101整除,就不好算出来看了,但是根据
所以可以保险这个数能被101整除.1621年,20岁的费尔马,在巴黎买了一本丢番都的《算术学》的法文译本.不知他在什么时候,在书中关于不
2 2 2定方程x+y=z的全部正整数解的这一页上,用拉丁文写了这么一段话：
“任何一个数的立方,不能分解为两个数的立方之和；任何一个数的四次方,不能分解成两个数的四次方之和；一般来说,任何次幂,除平方以外,不可能分解成其他两个同次幂之和.我想出了这个断语的绝妙证明,是书上这空白太窄了,不容我把证明写出来.”
在自己的书上空白处写心得,是一些人的读书习惯,通常叫作“页端笔记”.费尔马的这段页端笔记,用数学的语言来表达就是：形如
x+y=z的方程,当n大于2时,不可能有正整数解.
费尔马虽然在数学上有很多重大成就,但是他生前几乎没有出版过什么数学著作.他的著作大都是在他死后,由他的儿子,把他的手搞和与别人往来的书信整理出版的.
费尔马死后,有人翻阅他的那本丢番都的书,发现了那段写在书眉上的话.1670年,他的儿子出版了费尔马里的这一部分页端笔记,大家才知道这一问题.后来,人们就把这一论断,称为费尔马大定理或者费尔马问题.
哥德巴赫猜想
哥德巴赫本来是普鲁士派往俄罗斯的一位公使.后来,他成了一名数学家.
哥德巴赫和费尔马一样,很喜欢和别人通信讨论数学问题.不过,他在数学上的成就和声望,远远不如费尔马,有的人甚至认为他不是数学家.其实,有资料说,他是彼得堡科学院院士.
哥德巴赫与另一名彼得堡科学院院士、著名数学家欧拉经常通信.他们有15年以上的通信历史,经常讨论的是数学问题.
日,哥德巴赫写信告诉欧拉,说他想冒险发表一个猜想：
“大于5的任何数是三个素数的和.”这里要顺便交待一句,有一个时期,人们把1看成是特殊的素数；后来,才像今天这样,把1与素数严格区别开来.同年6月30日,欧拉在给哥德巴赫的回信中说,他认为：“每一个偶数都是两个素数之和,虽然我还不能证明它,但我确信这个论断是完全正确的.”
这次通信的内容传播出来后,当时数学界把他们两人通信中谈到的问题,叫做哥德巴赫问题.后来,它被归纳为：
命题A：每一个大于或者等于6的偶数,都可以表示为两个奇素数的和；
命题B：每一个大于或者等于9个奇数,都可以表示为三个奇素数的和.
这就是今天我们所说的哥德巴赫猜想,实际上,应该是哥德奇巴赫——欧拉猜想.比如
50=19+31,51=7+13+31
52=23+29,53=3+19+31
当然,表示方法可能是很多的.比如
50=3+47=7+43=13+37=19+31
很明显,如果命题A成立,那么,命题B也就成立.因为假设N是大于或者等于9的奇数,那么,N-3就是大于或者等于6的偶数.命题A成立,就是存在着奇素数P与P,使得N-3=P+P,这就是N=3+P+P,就像前面的
1 250与53的关系一样.但反过来,如果证明了命题B成立,并不能保证命题A就一定成立.
19世纪的很多大数学家,都研究过哥德巴赫猜想,但是进展不大.
1900年,希尔伯特在巴黎国际数学家会议上,提出了23个研究题目,这就是有名的希尔伯特问题,可以说这是23个大难题.哥德巴赫猜想命题A,与另外两个有关的问题一起,被概括为希尔伯特第八问题.
到了1912年,在第五届国际数学会议上,著名的数论大师兰道发言说,哥德巴赫问题即使改成较弱的命题C,也是现代数学家所力不能及的.
命题C意思是：不管是不超过3个,还是不超过30个,只要你想证明存在着一个这样的正数c,而能“使每一个大于或等于2的整数,都可以表示为不超过c个素数之和”.
过了9年,到了1921年,著名数论大师哈代在哥本哈根召开的国际数学会上说：哥德巴赫猜想的困难程度,可以与任何没有解决的数学问题相比拟.哈代也认为是极其困难的,但是不像兰道说得那样绝对.
1930年,苏联25岁的数学家西涅日耳曼,用他创造的“正密率法”,证明了兰道说的那个现代数学家力不能及的命题C,还估算了这个数c不会超过S,并算出S≤800000,人们称S为西涅日耳曼常数.
西涅日耳曼的成就震惊了世界.这是哥德赫猜想研究史上的一个重大突破.可惜他只活了33岁.
1930年以后,包括兰道在内的很多数学家,竟相缩小S的估值,到1937年,得到S≤67.
在1937年,哥德巴赫猜想的研究,又取得了新的成就.苏联著名的数学家伊·维诺拉多夫,应用英国数学家哈代与李脱伍特创造的“圆法”,和他自己创造的“三角和法”证明了：
充分大的奇数,都可以表示为三个奇素数之和.
伊·维诺格拉多夫基本上解决了命题B,通常称为“三素数定理”.
坚固无比的堡垒哥德巴赫猜想,正在被人们逐个攻破.
这里要注意,命题B所说的是每一个大于或者等于9的奇数,都可以表示为三个奇数之和.数学家在证明这个命题时,往往把9放大到很大很大,比方说放大到十万,人们只要证明每一个大于十万的奇数,都可以表示为三个奇素数之和,就算基本上证明了命题B.对于剩下的那一部分从九到十万的有限个奇数,是否每个都可以表为三个奇素数之和,可以暂时不管,留待以后去检验.所以叫做“基本上”证明了命题B.
实际上,维诺格拉多夫未检验的有限个奇数,是9到10的400万次方之间的奇数,即1后面跟400万个0那么多个数中的奇数.如果真要去逐个检验每个是否能表为三个奇素数的和的话,那时还没有电子计算机,就算用现在最快的电子计算机,从他那时算到现在也算不完.再说也没有那么大的素数表供他使用.前面已经介绍过,现在最好的素数表才编到五千万.可见凡是大于10的400万次的奇数都能表为三个奇素数之和,这点被证明了,这就更不简单了.因为前面的那些奇数到底还是有限个,而这里证明了的是无穷多个!
维诺格拉多夫的工作,相当于证明了西涅日耳曼常数S≤4.
命题B基本上被解决了,于是有些不太了解数论情况的人,曾经认为只差一步就到命题A了,谁知这一步的腿迈出了40多年,还没有着地哩!
有人核对过从6到3300万的任何偶数,都能表为两个奇素数之和.这种核对工作是一直有人在作的.
有的人核对,是想找到一个不能表为两个奇素数之和的偶数,即找到一个反例,一举否定哥德巴赫猜想.这样,哥德巴赫猜想便宣告解决.
有的人核对,是想得到一些统计数字,摸清一些规律,为证明哥德巴赫猜想作准备.
当然,也有人可同时兼有上述两种意图.
这里要注意,无论是从6算到3300万也好,还是从6算到3300亿也好,都是有限个数.由这些有限个数统计出的任何数据,除非是反例,都是不能用来当作证明的依据.
在命题A的研究过程中,人们引入了“殆素数”的概念.
什么叫殆素数?我们知道,除1以外的任何一个正整数,一定能表示成若干个素数的乘积,这其中的每一个素数,都叫做这个正整数的一个素因子.每一个正整数,相同的素因子要重复计算,它有多少个素因子,是一个确定的数.如果这个正整数本身就是素数,就说它只有一个素因子.以25到30这六个数为例：
有2个素因子
有2个素因子
27=3×3×3
有3个素因子
28=2×2×7
有3个素因子
有1个素因子
30=2×3×5
有3个素因子
殆素数就是素因子 （包括相同的和不同的）的个数不超过某一个固定常数的自然数.例如25到30的六个数中,25、26、29三个数,是素因子不超过2的殆素数,其余三个不是.要是说素因子不超过3的数是殆素数,那这六个数就是殆素数.
应用殆素数的概念,可以提出一个新命题 D,通过对这个命题的研究,来接近命题A.
命题D：每一个充分大的偶数,都是素因子的个数不超过m与n的两个殆素数之和.
这个命题简记为“m+n”.
注意,这里的“3+4”或者“1+2”等是数学命题的代号,与3+4=7或者1+2=3毫无任何关系.就像有的电影院把座位13排8号简写作“13-8”,与13-8=5没有任何关系一样.
例如,“1+2”就是每个充分大的偶数,都可以表示成素因子的个数不超过1个（即素数）,与素因子的个数不超过2个的两个数的和.比如100=23+7×11,434=31+13×31,168=79+89等都是合乎要求的.如果能证明,凡是比某一个正整数大的任何偶数都能像这样,表示成一个素数加以两个素数相乘,或者表示成一个素数加上一个素数,就算证明了“1+2”.
如果能证明“1+1”,就基本上证明了命题A,也就是基本上解决了哥德巴赫猜想.等到那时,哥德巴赫猜想就该叫哥德巴赫定理了.——人们已经为此奋斗了将近240年.
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