我的图书馆
我也不理解这篇文章为何会突然爆发出这么多赞，与此而来的是一大堆的“看不懂”和“这是数学不是物理”的回复。对于前者，请你们不用再回复了，这篇文章对你们毫无意义。对于后者，我觉得有必要强调一下电动力学是什么样的。电动力学（Electrodynamics）在一般的教学安排中，是在普通物理（General Physics）之后，作为理论物理课程的一部分的，作为理论物理，当然应该严格描述数学。实验事实和物理图像的建立是普通物理课程的内容，为此我写过一篇专栏（），虽然我承认效果并不理想。一般公认讲好普通物理是很难的。而电动力学课程在理论物理课程的框架中也是更多具有承上启下和应用的意义。电动力学需要的基础的框架在分析力学中已经描述得很清楚，而应用必然涉及到对麦克斯韦方程组在各种条件下（包括辐射）的求解——这也是大部分电动力学书籍和课程的主题。更进一步发展的要涉入量子的范畴，就远远超出了经典电动力学的范畴。于是，经典电动力学范围内有意思的部分非常有限，对大部分学生来说这是一门非常枯燥的课程。当然，以方程写法为主轴是用了一个梗，这还需要我说破实在是太没有幽默感了。这些方程形式蕴含了一些结论，比如电磁波的存在，正好可以一并介绍。而对于记号系统的介绍，是作为介绍广义相对论（）的准备，外微分内容则是我为自己写的参考。文章内容的动机差不多就是这样。至于谩骂的回复，我会直接举报。==========================电动力学的推荐书是两本：1、Griffiths《Introduction to Electrodynamics》。Griffiths的教材都很经典，这本也不例外。讲得很清楚，也很容易入手。不过国内的学生读起来可能会感觉过于简单，其实大部分内容很接近一般普物电磁学教材的难度，但是数学更严格一点。2、Jackson《Classical Electrodynamics》。恐怕对这本书的批评和赞扬是差不多多的。批评主要在于这本书过于重视数学计算，内容太多太庞杂，习题超难。据说当年霍金做完了里面全部的习题，传为一段佳话。据说会教你解各种你一辈子也遇不到的奇葩边界条件。可能以它的篇幅，如果不是做电磁场相关的领域，还是留着当字典好了。================================================一、麦克斯韦方程组（一般写法）将高斯定理、电场环路定理、安培环路定理、磁高斯定理、法拉第电磁感应定律、位移电流假设等综合在一起，麦克斯韦总结出了描述电磁场运动的麦克斯韦方程组：（高斯定律）（磁高斯定律）（法拉第电磁感应定律+电场环路定理）（安培环路定理+位移电流假设）对于给定的电荷与电流密度，我们可以确定出在各个介质表面电磁场满足的边界条件。对于给定的边界条件，数学的偏微分方程理论告诉我们麦克斯韦方程有唯一确定的解，于是我们可以得知空间中电磁场的分布。接下来的问题只是怎么解这一组偏微分方程，但这是数学的事。而电荷在电磁场中的受力由洛伦茨力给出：接下来就是牛顿第二定律的事情了。好了，电动力学讲完了。………………………………………………等等，这样是不是太短了？嗯，总得多找点内容充充篇幅，不过解方程这种事情太繁琐了，大家看教材吧。接下来我们讲讲麦克斯韦方程的种写法与狭义相对论。二、麦克斯韦方程的种写法你知道麦克斯韦方程有至少5种写法吗？0、积分写法大家初次接触到麦克斯韦方程的时候，往往见到的是一组积分方程（尤其工程的教材）：, , , .这个写法一点也不简洁，也不方便解，但却直观地体现出了高斯定律等定律。积分方程和微分方程是通过（广义的）斯托克斯定律相互转化的：对于线性介质，我们常常定义新的参量：然后改写第一个方程和第四个方程，使其中“源”的项只包含自由电荷——即除去了介质的极化电荷。这样改写的方程在工程中更方便使用，但请不要以为改写后的方程是麦克斯韦方程的基本形式！原本的麦克斯韦方程已经可以适用于任何情况，并不限于'真空'！1、波动方程写法从高中我们就知道，因为静电场的保守性，我们可以定义一个电势，使得静电场满足：而磁高斯定律意味着磁场也可以用一个矢势写成：把它代到电磁感应定律中去，我们可以一般地，把电场写成：电势和矢势不仅仅是数学上的处理，实际上，由Aharonov-Bohm实验所揭示的，电势和矢势是实际的物理存在，甚至可以说比电场和磁场更为基本。这个实验是在有矢势但无磁场的区域中，测量粒子受到的电磁场的影响。实验发现，虽然没有磁场，但矢势依然足以改变粒子的相位，使不同路径的粒子发生干涉。但尽管如此，电势和矢势依然包含一个冗余的对称性。如果假设是一个实数函数，那么做规范变换：代入定义式我们会发现新的电磁势给出完全同样的电磁场。在纯经典的范畴中，所有可以观测到的效应只与电磁场有关，这意味着经典电动力学中我们可以做一个额外的规定，取一个特定的规范。当然，因为Aharonov-Bohm效应，这在量子电动力学中不成立。但规范对称性在量子场论中起着非常本质的作用，具有特定规范对称性（由相应的规范群描述）的规范场论就给出了自然界三种基本相互作用的描述。而具有U(1)规范对称性的场论，正是量子电动力学。这个U(1)对称性实际上给出了电荷守恒，而相应的联络给出了粒子与电磁场的耦合。这里我并没有很清晰的理解，无法细说。定义（后面我们会发现，这就是光速，这里先这样形式地定义一下），一般经典电动力学常用的规范是洛伦茨规范（协变规范）：这个形式虽然现在看起来很复杂，但其实是最方便的规范，而且后面我们会看到它可以写得很简洁。另一个常见规范是库仑规范。在这电磁势的定义下，麦克斯韦方程的第二条和第三条就自然满足了，带入第一条和第四条，我们可以得到两个二阶微分方程：现在，如果我们把洛伦茨规范代进去，方程就变成了：与这两个与麦克斯韦方程等价的方程现在相互独立，而且展现出波动方程的形式！而刚刚形式定义的正是这个波的波速。麦克斯韦由此预言了电磁波的存在，几年后，赫兹在实验中发现了电磁波。1.9、记号系统为了更进一步叙述，我们需要引入新的记号系统了。前面已经看了一堆矢量运算，是不是已经烦透了呀？说实话，关于矢量的记号，我觉得可以分为普通、文艺和二X三种：普通记号：按照规定，用粗斜体表示矢量。这种记号大家已经很熟悉了，很清晰地体现出了矢量和数字的分别，但是，做微分运算非常地不直观。而且另一个缺点是，我们用什么记号来表示矩阵和张量？二X记号：不区分所有的量——矢量、矩阵、张量通通用同一种记号，比如。如果方程很多读者又需要跳着看，或者作者再重复用几个符号，理解难度可以直线上升。下面我们来讲讲文艺记号——分量记号（我随便取的名字= =）。这个记号可以被广泛用于后续的物理、数学课程——线性代数、量子场论、广义相对论、微分几何等等……这个记号系统很灵活，又不容易引起歧义，而且做微分运算非常直观，不再需要查一大堆矢量运算公式，所以广受青睐。其中的中心思想是，我们用一个矢量的分量的一般形式，来代替这个矢量本身——对于矢量，我们直接写作（注意，这个可不是的次方！）。其中，取不同值表示矢量的不同分量。而且一般约定，英文指标取值范围是1-3，而如果我们用希腊字母做指标，取值范围则是从0到3，其中0表示时间分量——这样表明相应的矢量是四维时空中的矢量。这样一来，只要方程中指标是匹配的，我们可以将1,2,3带入指标来得到矢量的全部信息，比如意味着。接下来要写的东西其实和我在第一节中写的东西相差无几。我们知道对任何一个线性空间，都有一个对偶的线性空间——线性算符构成的线性空间，那么对于一般的矢量空间，我们也有一个空间与它对应，其中的元素我们记做，用下标表示。如果两个元素作用在一起，我们得到一个数：但这里我们讨论的主要是实空间，实数空间的对偶，显然还是实数空间，所以，我们其实可以在同一个空间中谈论两个完全不同的数学结构。而之前所说的“矢量”和“算符”其实并没有明晰的分界线，于是这里我们模糊矢量和算符的分界线，称为逆变矢量，称为协变矢量。比如一般我们约定，速度矢量是一个逆变矢量。我们称上面的求和为内积。这里对协变和逆变的区分对于非欧几里得空间是非常重要的，虽然在日常中我们可以心安理得地拿两个矢量分量相乘来做内积，但是，即使同样是欧几里得空间，极坐标系下的矢量就已经不能这么做了！为了更一致地定义内积，我们需要这样的区分。实际操作中，我们往往采用爱因斯坦求和规则——重复指标表示求和，即，这样把烦人的求和号去掉，让方程变得简洁。但注意，为了减少歧义，求和的重复指标最多只能有一对，且必须是一个指标在上，一个指标在下，这被求和掉的指标，我们称为哑指标，因为这个符号本身已经没有了任何意义——你甚至可以画一只小猫来代替它。对于任何一个空间，我们可以引入度量来衡量空间中无穷接近的两个元素的距离。（参见）一般，对于两个无穷接近的点与，我们可以把连接它们的矢量记为。那么，这两个点之间的距离是一个二次函数（注意我们已经开始使用爱因斯坦求和约定了）：（或者四维时空：）对于欧几里得空间，，对于四维时空，（或者有的书中写成：。看你喜欢了……）这里，这个有两个指标的东西，我们称为度规张量。这种有多个指标的量，我们称为张量（当然，严格的定义是要在多个线性空间与对偶空间的直积上，将张量定义为某个线性映射——这都是数学了），而矢量其实不过是一种特殊的张量。两个指标的东西，其实很像矩阵，但在这种记号中，我们可以更详细地区分出四种不同的张量：，这四个张量是不同的（甚至最后两个因为指标的位置不同也有可能不同）！一般而言，我们只将最后两种张量称为矩阵，这种写法和以往将第行第列矩阵元记为并无明显不同，只是，我们加入了更细致的分类，来处理更复杂的空间。而且这个记号更厉害的是，一个东西可以有更多指标——比如三个指标，在三维空间中这相当于一个3x3x3的正方体数阵！在这种记号系统中，矩阵与向量、矩阵与矩阵的乘法也可以简单写成：和，注意到求和的指标总是靠近放置。这样，我们也不用特意去记矩阵是怎么相乘的了。度规张量对于一个度量空间是无比重要的，它决定了一个空间的几何性质——这一点我们还是在广义相对论中再细说。有了度规张量，我们可以升降指标——其实就是在协变与逆变矢量之间建立起一一对应：如果记度规张量的逆为，即满足：（这里的delta记号已经没必要区别协变与逆变了），我们也有：于是，我们可以定义两个矢量之间的内积（点积）为：对于三维欧式空间，度规张量不过是单位张量，一个协变矢量对应的逆变矢量就是它自己，所以我们不需要区分协变和逆变，这种时候也可以简单写成，实际上表示以往记号中的。点乘虽然很简单，但叉乘就比较麻烦一点了。对于叉乘，我们需要引入三阶反对称记号（任意指标数的情况下也叫Levi-Civita记号，严格来讲，它不是张量）。这个记号是这样定义的——如果有两个指标相同，则记号为0：如果指标为123或123的对称轮换（或者说，指标间的偶数次对换），记号等于1：其他情况下，等于-1：把每个分量写出来不难发现，不区分协变和逆变的正是。（如果需要区分协变和逆变，请注意用度规适当地升降指标。）为了做与叉乘相关的运算，以下（欧式空间中的）恒等式是非常有用的：有了这个恒等式帮助我们可以轻易计算出任何矢量运算需要的公式。当然，所有这些都可以很轻易地推广到区分协变和逆变的情形（见）。另外微分算子我们往往也当做一个矢量，在这套记号中，我们写作，将它看做一个协变矢量。比如，可以写作，拉普拉斯算子。2、协变写法还记得拉格朗日力学可以作为所有经典物理的框架吗？对于经典电动力学，也是一样的。我们开始使用新的记号系统。首先，为了方便我们取自然单位制：（光速是1，且无量纲——意味着时间和空间是同一个单位，而速度请理解为相对于光速的比值），并将时间和空间并在一起成为有4个指标的矢量——四矢量。取度规为。我们如果将电磁势并在一起，写成，当做逆变的四矢量。定义协强张量：显然，这是一个反对称的二阶张量。写成矩阵的形式，我们不难看出，它就是由电场和磁场组成的矩阵：还记得拉格朗日量是个标量吧？那么由此可以凑出电磁场的拉格朗日密度，最简单的形式正比于：其中将矢量场当做自变量。我们简单计算一下就会发现，这个拉格朗日密度给出的正是无源麦克斯韦方程！前面的系数取决于单位制——对于自然单位制，前面的系数是。考虑到电磁场和物质的相互作用，我们把拉格朗日密度写成（是电流四矢量）：于是最小作用量原理给出了麦克斯韦方程的第一和第四个：而很容易验证，另外两个方程写作：这个形式倒是很对称。值得一提，这种记号系统下，洛伦茨规范正是简单的：很简洁。3、外微分写法其实，麦克斯韦方程还可以写得更加简洁，如果借助外微分的话。首先，为了将普通积分、线积分、面积分等等各种积分的形式统一起来，我们定义一个叫做微分形式的东西。它其实就是积分号后面的所有东西。比如说，对于普通积分，是；对于第二型曲线积分，是，或者写成新的记号，是；对于第二型曲面积分，是。要将这些形式统一起来，我们先注意到它们都可以分成2部分——一个待积分的函数和一个微分符号的乘积。而这个微分符号，总和空间坐标的微分有关系，比如、、。于是，我们定义”数“为微分0-形式，现在定义基本微分1-形式为。我们很想定义第二型曲线积分后面的东西为基本微分2-形式——但你可以试试，它很难直接地在新的记号中写出，因为不是单纯的坐标微分的乘积。于是我们引入楔积，他对于两个0-形式（数）而言，不过是单纯的乘法：但对于1-形式，契积是有顺序的乘法，即：显然有。于是借助楔积，我们可以定义任意的基本微分p-形式：之所以称它们为基本，是因为我们可以将它们看做微分形式的基底，而将任意的微分形式看做是以他们为基的展开。以特定阶数的基本微分形式为基底的微分形式，我们成为p-形式。比如当我们将微分形式写作时，它是一个1-形式，以为基底，而是相应的系数。显然，一个给定维数的空间中，积分形式的阶数不会超过空间的维数。比如三维空间中，0-形式只有一个基底（只是数嘛），1-形式有3个基底——，而2-形式有3个线性无关的基底——，3-形式只有一个基底——，4-形式就不存在了，因为。这样我们可以把第二型曲面积分的积分形式写成：，其实在三维空间中展开写就是显然，对于（它其实是个张量，因为显然它是一个的线性映射）只有3个独立的变量是有用的：，它们分别对应原先记号中的。因此，我们规定张量必须是反对称张量，即满足，这样的张量正好只有3个独立的分量，既简化了问题又没有损失。于是这样一来，我们也常常省去微分形式的基底，而称反对称的协变张量称为p-形式。于是，协变矢量就是1-形式（Carroll的Spacetime and Geometry就是这么写的），二阶反对称张量就是2-形式，等等。但要注意，这些张量只是微分形式的分量，微分形式的基底还是与它们的楔积。需要注意的是，反对称张量表示的p-形式，它的基底已经不再是任意顺序的了，我们约定，作为基底的契积的指标永远是递增的，比如是一个基底，但不是，所以如不特别指明，按爱因斯坦求和约定求和微分形式时，我们总假定<img src='/DownloadImg/0/' alt='i。于是楔积的定义可以稍微推广一下，使其不止适用于基本微分形式。其实就是：但使用前需要注意的是，因为后面那些部分求和之后，很多项只是指标的顺序不同，实际上是同一个分量计算了很多次。所以，一般情况下我们把楔积写作：即对乘积的指标轮换后给予适当的符号再求和，做一个反对称化，使乘积成为一个反对称矩阵。比如。这样对于一般的微分形式和，如果它们分别是k-形式与l-形式，那么有：且对于一个微分形式，一个有用的运算是算符*，对于一个n维空间中的p-形式，算符*给出同一空间中的(n-p)-形式：（其实，因为可以演算，Levi-Civita符号乘以后是一个张量，所以我们常常也用这个叫做Levi-Civita张量的张量代替这两项。）简单计算会发现：即连续做两次算符*会得到微分形式本身，只是可能会相差一个符号。算符*的物理含义……我其实并不太理解，这个好像是在微分形式中引入某种对偶关系，但这个算符对于我们表述麦克斯韦方程是有用的。下面我们要定义微分形式的微分，即外微分运算。对于一个p-形式，我们定义它的外微分是一个(p+1)-形式：<img src='/DownloadImg/0/' alt='df=\sum_{\begin{array}{c} _{i_{p+1}} \\ _{i_1<\cdots这其实就是对张量函数求各分量的偏导数，这个定义还没有将同样基底的项合并，于是前面的也不是一个反对称张量，所以通常我们将项合并后的结果写成：这个定义最犀利的地方是，我们终于可以将牛顿-莱布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式等等等等微积分中五花八门的公式统一成一个定理：翻译成人类的语言就是：一个东西的外微分在一个区域上的积分，等于这个东西在区域边界上的积分。当积分区域是数轴上的一个区间时，这就是牛顿-莱布尼茨公式。取不同的积分区域和不同阶数的微分形式，我们就得到了所有的广义斯托克斯公式！关于外微分，还有两个性质很重要。首先，显然对于n维空间的n-形式，因为(n+1)-形式不存在，所以所有n-形式的外微分等于零。另外容易验证：这样，我们回到麦克斯韦方程。现在我们注意到电磁势的协变形式是一个四维时空中的1-形式，定义协强张量（2-形式）：<img src='/DownloadImg/0/' alt='F=dA=\sum_{\mu<\nu}\partial_\mu A_\nu dx^\mu\wedge dx^\nu+\sum_{\mu<\nu}\partial_\nu A_\mu dx^\nu\wedge dx^\mu=\sum_{\mu即和刚才的定义完全一样。于是，因为，协变形式的第二个方程正是恒等式：而第一个方程，容易验证，是：是不是特别简单？三、狭义相对论历史上，狭义相对论出现的一大动因，是为了解决麦克斯韦方程和牛顿力学的不兼容性。一方面，麦克斯韦方程组中出现了与速度有关的量——电流，这意味着变换参考系会对电磁场有影响。但这还不是最直接的动因。更直接的动因是电磁波波速的问题。由麦克斯韦方程组的波动形式我们看出，电磁波的波速为，我们现在称为光速。而麦克斯韦方程本身并没有表明这个波速是在哪个参考系之中的波速。历史上有很多人试图解释这个问题。有人提出以太参考系，就是为了解释光速是在哪个参考系的速度。但是随着一系列MM实验（这个实验现在任何一个物理系的实验室都有条件做了——它甚至是学生实验训练的一部分了），光速并不属于特定的参考系。洛伦茨提出洛伦茨变换，来解释不同参考系中光速不变的问题。但是他并没有将洛伦茨变换中的时间和位置当做物理真实的时间和位置。爱因斯坦首先提出了这些参量的物理真实，并将其规范在一个更统一的框架中。这个被称为狭义相对论的理论随后被一系列实验所验证。前面我们已经将时间和空间并在一起进行处理，但没有说明这样做的理由。现在我们从光速不变出发，考虑到时空中的两个事件：和，如果它们之间由一个光信号相联系，则显然有路程=速度x时间：如果在另一个参考系，它们的坐标是和，那么由于光速不变，必须有：这必须对任意参考系都成立，这暗示着，我们可以对任何两个事件之间定义时空间隔：它是一个不随参考系变化而变化的不变量，这样才能保证之前两个等式总是可以成立的。而对于无穷小间隔，这意味着：这个无穷小间隔不随参考系而变，也满足三角不等式，虽然可正可负是个麻烦，但我们依然将它当做是一种距离。而它的度规正是。有了这个度规，我们将时间和空间正式合并在一起，成为一个配备了度规的4维度量空间——闵可夫斯基空间，它是一个伪欧几里得空间。保证距离不变的坐标系变换，显得尤其重要。因为这样的变换后，时空的性质不会有人们可以观测到的改变，这正是伽利略等效原理的体现。数学中我们可以用一个矩阵来表示坐标变换，这样一来对于空间中的任意矢量，变换后的矢量是。我们将保证度规不变的变换所组成的集合，称为庞加莱群。简单地说，庞加莱群的任一元素可以由几种基本的变换“生成”，它们是：1、沿时间/空间平移；2、在任意两个轴构成的平面上旋转（或者boost）。第一种无非是重新选定坐标原点所在的时间和位置，没什么特别的。第二种中，相对坐标平面的旋转也是三维情况下就很常见的，也没什么可说的。但剩下一种在时间和坐标平面的“旋转”（boost），就很有意思了。这里考虑最简单的，比如tx平面的'旋转'。保证度规不变的变换方程，和普通的旋转类似但又有点不同，可以用双曲函数（而不是三角函数）表示：其中是“旋转”的角度。观察其中一个参考系的坐标原点，即取，再将两式相除，有：但我们知道：代入后我们得到了世人通称为洛伦茨变换的坐标变换：更一般情况下洛伦茨变换的变换矩阵，也可以轻易写出来。这样一来，我们将麦克斯韦写成协变形式的意义就很明显了——这样写出的方程，我们可以将洛伦茨变换乘在方程中，直接得到方程在新的坐标系中的形式，并且新的形式会和原来的完全一样。换句话说，如果方程中每一个矢量、张量都是四维时空中的矢量、张量，那么它自然地满足洛伦茨不变性。遗憾的是，通常我们定义的速度不再是四维时空中的矢量——因为时间不再是常量，它是一个矢量的两个分量的比值，也就不会再满足线性关系了。但是，我们记得四维时空还是有一个不变量可用：。如果0' eeimg='1'>，这个间隔更类似于时间的流逝，我们可以定义本征时：，然后用本征时来除一个矢量，我们自然地能够得到其他矢量。于是我们定义了各种四矢量：四速度：四加速度：四动量：而在狭义相对论中，自由粒子的运动方程依然和牛顿第二定律形式类似：值得一提的是，四矢量的“长度”——自身与自身的内积也都是不变量，这与三维空间的情形是一样的。对于四速度而言，，对于四动量而言，。狭义相对论的动力学、对称性、能量、动量，都可以通过拉格朗日力学或哈密顿力学来分析，请参考：这里不再赘述了。只是有一个结论值得一提，很容易发现四动量的时间分量就是能量（除以光速），而给出的正是相对论的能量与动量之间的关系。
TA的最新馆藏[转]&
喜欢该文的人也喜欢适用课程:&电动力学(),电动力学(),电动力学(),电动力学()【访问量：620322】
§1.5 电磁场的能量和动量
§1.5.1 电磁场的能量和能流
电磁场是一种物质，它具有内部运动。电磁场的运动和其他物质运动形式相比有它特殊性的一面，但同时也有普遍性的一面，即电磁场运动和其他物质运动形式之间能够互相转化。这种普遍性的反映是各种运动形式有共同的运动量度——能量。我们对一种新的运动形态的认识是通过它和已知的运动形态的能量守恒定律来得到的。下面我们将通过电磁场和带电物体相互作用过程中，电磁场的能量和带电体运动的机械能互相转化来求出电磁场的能量表达式。
1. 场和电荷系统能量守恒定律的一般形式& 现在我们先一般地考虑怎样描述场的运动能量问题。以天线辐射电磁波的过程为例，在这过程中，电磁能量随着电磁波的运动不断地从天线传向远方。在空间各点上，都可以接收到电磁波的能量，但是同一接收器在不同点上的接收功率是不同的，它与离天线的距离有关，而且也和方向有关。由此可见，能量是按一定方式分布于场内的，而且由于场在运动着，场能量不是固定的分布于空间中，而是随着场的运动而在空间中传播。因此，我们需要引入两个物理量来描述电磁场的能量：
（1）场的能量密度w，它是场内单位体积的能量，是空间位置x和时间t的函数，
w = w (x , t)；
（2）场的能流密度S,它描述能量在场内的传播。S在数值上等于单位时间垂直流过单位横截面的能量，其方向代表能量传输方向。
场和电荷相互作用时，能量就在场和电荷之间转移。例如在接收电磁波的过程中，电磁场作用于接收天线的自由电荷上，引起天线上的电流，电磁波的一部分能量即转化为接收系统上的电磁能量。由此，场和电荷之间，场的一区域与另一区域之间，都可能发生能量转移。在转移过程中总能量是守恒的。
考虑空间某区域V，其界面为S。设V内有电荷电流分布ρ和J 。能量守恒定律要求单位时间通过界面S流入V内的能量等于场对V内电荷作功的功率与V内电磁场能量增加率之和。
以f表示场对电荷作用力密度，υ表示电荷运动速度，则场对电荷系统所作的功率为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
V内场的能量增加率为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
通过界面S的流入V内的能量为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（为避免混淆，面元改写为dσ，式中的负号是由于我们规定界面的法现向外所致）。能量守恒的积分形式是
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&（1.5---1）
相应的微分形式为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（1.5---2）
若V包括整个空间，则通过无限远界面的能量应为零。这时（1.5---1）式左边的面积分为零，因而
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&（1.5---3）
此式表示场对电荷所作的功率等于场的总能量减小率，因此场和电荷的总能量守恒。
2. 电磁场能量密度和能流密度表示式& 现在我们根据场和电荷相互作用的规律——麦克斯韦方程组和洛仑兹力公式来求出电磁场的能量密度和能流密度的具体表示式。由洛仑兹力公式得
&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&（1.5---4）
把此式与（1.5---2）式比较，为了求得S和w，需要用麦氏方程把J ? E全部用场量表出。由麦氏方程（1.3---10）第二式，
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（1.5---5）
用矢量分析公式（附录I.21式）及麦氏方程得
&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（1.5---6）
代入（1.5---5）式得
&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&（1.5---7）
和（1.5---2）式比较得到能流密度S和能量密度变化率?w/?t的表示式
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（1.5---8）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（1.5---9）
能流密度S也称为坡印亭(Poynting)矢量，是电磁波传播问题的一个重要物理量。
现在我们讨论真空中电荷分布情形。这情况下相互作用的物质是电磁场和自由电荷，能量在两者之间转移。在真空中，
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（1.5---10）
&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
w是真空中的电磁场能量密度。
3. 电磁能量的传输& 在电磁波情形中，能量在场中传播的实质，一般是容易理解的。但是在恒定电流或低频交流电情况下，由于通常只需要解电路方程，不必直接研究电磁场量，人们往往忽视能量在场中传播的实质。事实上在这情形下电磁能量也是在场中传输的。在电路中，物理系统的能量包括导线内部电子运动的动能和导线周围空间的电磁场能量。我们先看电子运动的能量。导线内的电流密度为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ，
式中Σ号表示对单位体积内自由电子求和，n为单位体积自由电子数，-υ为电子运动平均漂移速度。一般金属导体内有n ~ 1023/cm3,对于1A/mm2电流密度来说，J=106A/m2,电子电荷e ~ 1.6×10-19C，把这些数值代入上式得-υ~ 6×10-5m/s。由此可见，导体内自由电子平均漂移速度是很小的，相应的动能也很小。而且，在恒定情况下，整个回路（包括负载电阻上），电流I都有相同的值，因此，电子运动的能量并不是供给负载上消耗的能量。在负载上以及在导线上消耗的功率完全是在场中传输的。导线上的电流和周围空间或介质内的电磁场互相制约，使电磁能量在导线附近的电磁场中沿一定方向传输。在传输过程中，一部分能量进入导线内部变为焦耳热损耗；在负载电阻上，电磁能量从场中流入电阻内，供给负载所消耗的能量。下面举一例说明恒定情况下的电磁能量传输问题。
例&& 同轴传输线内导线半径为a，外导线半径为b，两导线间为真空（图1-17）。导线载有电流I，两导线间的电压为U。
（1）忽略导线的电阻，计算介质中的能流S和传输功率；
（2）计及内导线的有限电导率，计算通过内导线表面进入导线内能流，证明它等于导线的损耗功率。
解&& （1）以距对称轴为r的半径作一圆周（a & r & b），应用安培环路定律，由对称性得2πrBθ =μ0I，因而
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
导线表面上一般带有电荷，设内导线单位长度的电荷（电荷线密度）为τ，应用高斯定理，由对称性可得2πrEr = τ/ε0，因而
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
能流密度为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
式中ez为沿导线轴向单位矢量。
两导线间的电压为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
把S对两导线间圆环状截面积分得传输功率
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
UI即为通常在电路问题中的传输功率表示式，这功率是在场中传输的。
（2）设内导线的电导率为σ，由欧姆(Ohm)定律，在导线内部有
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
由于电场切向分量是连续的，因此在紧贴内导线表面的介质内，电场除有径向分量Er外，还有切向分量Ez，
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
因此，能流S除有沿z轴传输的分量Sz外，还有沿径向进入导线内的分量-Sr，
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& -
流进长度为Δl的导线内部的功率为
&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&
式中R为该段导线的电阻，I2R正是该段导线内的损耗功率。在有损耗的同轴线芯线附近能流如图1-17（b）所示。
1.5.2 电磁场的动量
物质都是在运动着，而又通过相互作用，使得运动形式发生转化。关于物质运动形式的转化，有两条基本的守恒定律——能量守恒定律和动量能量守恒定律。
电磁场和带电物质之间有相互作用。场对带电粒子施以作用力，粒子受力后，它的动量发生变化，同时电磁场本身的状态也发生相应的改变。事实上，当电磁波入射于物体上时，物体内的带电粒子受到电磁场的作用，使整个物体受到一定的总力。物体受力后，它的动量会发生变化，同时电磁波也被反射或吸收而改变了它的空间运动状态。在这相互作用过程中，入射电磁场的动量转移到物体上，同时电磁场的动量亦发生相应的改变。因此，电磁场也和其它物体一样具有动量。辐射压力是电磁场带有动量的实验证据。下面我们从电磁场与带电物质的相互作用规律导出电磁场动量密度表示式。
1. 电磁场的动量密度和动量流密度& 考虑空间某一区域，其内有一定电荷分布。区域内的场和电荷之间由于相互作用而发生动量转移。另一方面，区域内的场和区域外的场也通过界面发生动量转移。由于动量守恒，单位时间从区域外通过界面S传入区域V内的动量应等于V内电荷的动量变化率加上V内电磁场的动量变化率。由于麦克斯韦方程组是电磁场的基本动力学方程，由麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式应该可以导出电磁场和电荷体系的动量守恒定律。
电荷受电磁场的作用力由落伦兹力公式表示。以f表示作用力密度，由第一章(1.3---11)式，
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（1.5---11）
电荷系统受力作用后，它的动量发生变化。由动量守恒定律，电磁场的动量也应该5应地改变。(1.5---11)式左边等于电荷系统的动量密度变化率，因而右边应该可以化为含有电磁场动量密度变化率和表示场内动量转移的一些量。为此，我们用麦克斯韦方程组把(1.5---11)式右边完全用场量表出。由真空中的方程
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
可以把方程（1.5---11）化为
&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&（1.5---12）
利用另外两个麦氏方程
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&
可以把（1.5---12）式写成对E和B对称的形式
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （1.5---13）
由于f等于电荷系统的动量密度改变率，因此，若把(1.5---13)式解释为动量守恒定律，则右边最后一项撤去负号后应该代表电磁场的动量密度改变率。因此电磁场的动量密度为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（1.5---14）
(1.5---13)式方括号部分应该表示电磁场内部的动量转移。为证明这点，我们先把方括号部分变为一个张量的散度。为此，由矢量公式
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
注意：&&& 用任意矢量a点乘上式两边，则
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
式中是单位张量，对任一矢量υ都有
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&& =
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
因此，（1.5---13）式方括号部分可以化为一个张量的散度,
&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&（1.5---15）
由（1.5---13）—（1.5---15）式得
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（1.5---16）
把此式对区域V积分得
&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&（1.5---17）
右边是对区域边界的面积分。(1.5---17)式左边是V内电荷系统和电磁场的总动量变化率，因此右边表示由V外通过界面S流进V内的动量流.因此张量称为电磁场的动量流张量，或称为电磁场应力张量。
若区域V为全空间，则面积分趋于零，因此
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
此式表示电磁场和电荷的总动量变化率等于零，这就是动量守恒定律。（1.5---16）式是动量守恒定律的微分形式。
电磁场的动量密度和能流密度S之间由一般关系式
&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（1.5---18）
对于平面电磁波，有
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
式中n为传播方向单位矢量，代入（1.5---14）式得一定频率的电磁波的平均动量密度
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&（1.5---19）
由于对电磁波有S=cwn，w为能量密度,因此
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（1.5---20）
这关系在量子化后的电磁场也是成立的。量子化后的电磁场由光子组成，每个光子的能量为?ω,其中? = h/2π ， h为普朗克常数，ω为角频率。由(1.5---20)式，每个光子带有动量
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
下面我们说明动量流密度张量的意义。如图5-16，设ABC为一面元ΔS，这面元的三个分量分别等于三角形OBC，OCA和OAB的面积。OABC是一个体积元ΔV。通过界面OBC单位面积流入体内的动量三个分量写为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& T11 , T12 , T13 ;
通过界面OAC单位面积流入体内的动量三个分量写为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& T21 , T22 , T23 ;
通过界面OAB单位面积流入体内的动量三个分量写为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& T31 , T32 , T33 。
当体积ΔV→ 0时，通过这三个面流入体内的动量等于从面元ABC流出的动量。因此，通过ABC面流出的动量各分量为
&&&&&&&&&&&&&&&&&& Δp1 = ΔS1T11 +ΔS2T21 + ΔS3T31 ,
&&&&&&&&&&&&&&&&&& Δp2 = ΔS1T12 +ΔS2T22 + ΔS3T32 ,
&&&&&&&&&&&&&&&&&& Δp3 = ΔS1T13 +ΔS2T23 + ΔS3T33 ,
或写为矢量式
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（1.5---21）
这就是通过面元ΔS流出的动量。因此，通过闭合曲面流出的总动量为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（1.5---22）
张量的分量Tij的意义是通过垂直于i轴的单位面积流过的动量j分量。
例1& 求平面电磁波的动量流密度张量。
解&& 平面电磁波E , B , k是三个正交的矢量，我们就用这三个分量来分解的各分量。由（1.5---15）式和E ? B = 0，得
&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&（1.5---23）
平面电磁波有ε0E2 = B2 / μ0，因而
&&&&&&&&&&&&&&&& &= 0 ，&&& &= &= 0
因而只有沿kk的分量。用k ? E = k ? B = 0,可求得
&&&&&&&&&&&&&&& &=
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&（1.5---24）
式中ek为波矢k方向的单位矢量，g为动量密度[见（1.5---20）式]。若选k方向为z轴，则只有T33分量，T33 = cg 。
表示式（1.5---24）中的第二个ek表示电磁波动量沿波矢方向，第一个ek表示只有对垂直于波矢的面才有动量通过，在侧面上是没有动量转移的。电磁波带动量密度g，传播速度c，因此每秒垂直流过单位截面的动量数值为cg。
2. 辐射压力& 由于电磁波具有动量，它入射物体上时会对物体施加一定的压力。由电磁波动量密度（1.5---20）式和动量守恒定律可以算出辐射压强。
例2& 平面电磁波入射与理想导体表面上而被全部反射，设入射角为θ，求导体表面上所受的辐射压强。
解&& 把入射波动量分解为垂直与表面的分量和与表面相切的分量。电磁波被反射后，动量的切向分量不变，而法向分量变号。由于电磁波速度为c，由（1.5---20）式，每秒通过单位截面的平面波的动量为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
其中为入射波平均能量密度。上式的法向分量为cosθ。由于这部分动量实际上入射于导体表面1 / cosθ的面积上，因此，每秒入射与导体表面单位面积的动量法向分量为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
在反射过程中，电磁波动量变化率为上式的二倍，即2cos2θ。由动量守恒定律，导体面所受的辐射压强为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（1.5---25）
在导体内部，总电场为入射波电场Ei加上反射波电场Er ,
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
上式最后一项是干涉项，它表现为导体上表面外强弱相间的能量分布。对空间各点平均后此项贡献为零。因此在导体表面附近总平均能量密度等于入射波能量密度加上反射波能量密度。在全部反射情形中即等于能量密度的二倍。因此由（1.5---25）式
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（1.5---26）
若电磁从各方向入射，对θ平均后得
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（1.5---27）
不难看出，在表面完全吸收电磁波的情况，上式仍然是成立的。（1.5---27）式是黑体辐射对界面所施加压强的公式。
由动量流密度张量可以较简单地得出以上结果。设Ei垂直入射面，在完全反射情形中Ei有Er = -Ei ，因而界面上总电场强度E = 0，总磁场为B = 2Bicosθ，B与界面相切。设n为指向导体内的法线，有n ? E = n ? B = 0，因而
&&&&&&&&&&&&&&&
因而导体面受到压强
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
与（1.5---25）式相符。
在一般光波和无线电波情形中，辐射压强是不大的。例如太阳辐射在地球表面上的能流密度为1.35×103 W?m-2，算出辐射压强仅为 ~10-6 Pa。但是近年制成的激光器能产生聚集的强光，可以在小面积上产生巨大的辐射压力。在天文领域，光压起这重要作用。光压在星体内部可以和万有引力相抗衡，从而对星体构造和发展起着重要作用。在微观领域，电磁场的动量也表现得很明显。带有动量?k的光子与电子碰撞时服从能量和动量守恒定律，正如其他离子相互碰撞情形一样。
课下作业：
1、& 场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式和微分形式，电磁场能量密度和能流密度表达式。
2、& 场和电荷系统的动量守恒定律的积分形式和微分形式，动量密度和动量流密度表达式。
上一讲习题解答：
第6讲& 课下作业：第35-36页，第7，8，9，11，12，13题。
7．有一内外半径分别为和的空心介质球，介质的介电常数为ε使介质内均匀带静止自由点荷求：
（1） 空间各点的电场
（2） 极化体电荷和极化面电荷分布
解：（1）在内取同心球面，以（）为半径
在内取同心球面，
& 在取同心球：
方向：为正，均为圆心射线方向，为负，均为汇聚圆心方向
&&&& ∴或处是真空& ∴
& ∴& &&&&&（）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
即，介质的总极化电荷为零。
& 8. 内外半径分别为和的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有稳恒均匀自由电流，导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。
&&& 解：∵
&&&&&&& 又∵是稳恒 &∴
&&&&&&&&& ∴内：，
&&&&&&& &&
&&&&&&&&&& &&∴
&&&&&&& ：
&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&& ∴
导体外和空心部分&&
9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度的倍。
&&&&&&&&&& &得证。&&&
11、平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为l1和l2，电容率为和，今在两板接上电动势为E的电池，求&& &(1) 电容器两板上的自由电荷面密度；&&& (2) 介质分界面上的自由电荷面密度。&&& (3) 若介质是漏电的，电导率分别为和，当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？
解：1. 在相同介质中电场是均匀的，并且都有相同指向，则
&&&& （介质界面上）
又根据 ， （n从介质1指向介质2）
在上极板的交界面上，
即：&& （上极板处）
两绝缘介质界面处：
在下极板的交界面上，
即：&& （下极板处）
&&&&&& 2. 若有漏电，并有稳定电流时，
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& & 电流稳定流动，电荷不积累。
又根据 ， （n从介质1指向介质2）
在上极板的交界面上，
即：&& （上极板处）
两导电介质界面处：
在下极板的交界面上，
即：&& （下极板处）
12、证明& (1) 当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 其中和分别为两种介质的介电常数，和分别力界面两侧电场线与法线的夹角。& (2) 当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线曲折满足&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 其中和分别为两种介质的电导率。
证明：(1)∵
&&&&&&&& ∴
&&&&&&&& ∵& ∴
&&&&&&&& ∴
&&&&&&&& ∴
&&&&& (2) ∵
&&&&&&&& ∴
&&&&&&&&& &∴
&&&&&&& 又∵（稳恒电流）
&&&&&&&&& ∴
&&&&&&& ∴& 得证。
13、用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界而上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。
解：导体内&∴&
∴绝缘介质与导体分界面导体外电场总是垂直于导体表面
&&&&&&&&& ∵导体内，恒定电流时有
&&&&&&&&& ∴
补充题6：直接给出介质电极化强度P的定义，并推导公式&& 。
补充题7：直接给出介质磁化强度M的定义，并推导公式&& &
补充题8：直接给出介质中麦可斯韦方程组的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义，并给出反映介质性质的介质方程。
补充题9：根据介质中麦可斯韦方程组，推导出介质界面上E、D、B、H的边值关系。
补充题10：无穷大平行板电容器内有两层介质，极板上面电荷密度为，求电场和束缚电荷分布。
补充题11：根据介质中的麦可斯韦方程组，证明均匀介质内部的体磁化电流密度JM总是等于体自由电荷电流密度Jf的倍。&