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帮忙看一下这个问题，谢谢！
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F(x)=积分上限是x下限是0，被积函数是sint / t ,问它的定义域是?
f(t)=sint / t在x=0处是第一类间断点，那它不存在原函数，但是为什么有资料书上说f(t)=sint / t 存在原函数，只是不能用初等函数表达呢？
[ 本帖最后由 gingerjane 于
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希望大家给点建议啊！
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第一个，我觉得定义域是整个实数域
第二个，阁下看的是二李的复习全书？我觉得他这个地方写错了，因为根据原函数的定义，在区间上有一个可去间断点的函数肯定是有原函数的（因为一个函数在某点的导数实质上是其导函数在该点的极限值，与其导函数在该点是否连续没有关系）。二李对此的说明也只是个跳跃间断点的例题而已。这个东西教材上给模糊掉了，但是教材上给出的那个区间I是函数的定义域。
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“在区间上有一个可去间断点的函数肯定是有原函数的”&&错了
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这个问题应该是这样的，说有第一类间断点就没原函数，这个是不准确的说法。f(t)=sint / t在x=0给它加个值为2& &那么就不存在原函数。但如果在可去间断点中，间断点无值，可以存在原函数。
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本质上又回到了老问题，第一类间断点一定没有原函数，而不是非初等函数。。
只有部分震荡间断点才可导
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同意shn521的表述，除了那个广义积分不是初等函数不知道以外，剩下的内容我感觉挺正确啊，因为t在分母上所以不等于0，sint定义实数域，两者的交集就是定义域啊，即非零实数集。
&&我查了下 间断点的前提必须是在此点的邻域有定义才可以，而此函数在点t=0出无定义，所以不是间断点。
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Powered by Discuz!法则‖，我们就可以计算初等函数的导数；例24设函数f(x)=（n→∞）lim(（1+x；（A）不存在间断点（B）存在间断点x=1（C）存；分析这是用极限定义的函数，必须先求出f(x)的解；任意给定一点x，(视为不变；鉴于指数函数分为两大类，要讨论把x给定在不同区间；－1＜x＜1时，f(x)=1+x；f(1)=1；；而x＜－1或x＞1时，恒有f(x)=0，观察
法则‖，我们就可以计算初等函数的导数。
例24设函数f(x)=（n→∞）lim(（1+x）M（1+x的2n次方）),讨论函数f(x)的间断点，其结论为
（A）不存在间断点（B）存在间断点x=1（C）存在间断点x=0（C）存在间断点x=－1
分析这是用极限定义的函数，必须先求出f(x)的解析表达式，再讨论其连续性。
任意给定一点x，(视为不变。)此时，把分母中的Dx的2n次方‖项看成是D（x平方）的n次方‖，这是自变量为n的指数函数。令n→∞求极限计算相应的函数值。
鉴于指数函数分为两大类，要讨论把x给定在不同区间所可能的影响。（潜台词：函数概念深化，就在这变与不变。哲学啊！）算得
－1＜x＜1时，f(x)=1+x；f(1)=1；f(－1)=0
而x＜－1或x＞1时，恒有f(x)=0，观察得x→1时，limf(x)=2；应选（B）。
理解4运用定理（2），D极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。‖则
“函数在点x0可导”等价于“左，右导数存在且相等”。
讨论分段函数在定义分界点x0处的可导性，先看准，写下中心点函数值f（x0），然后分别在x0两人阕蟮际业际
例25（1）h趋于0+时，lim(f(h)－f(0）)/h存在不等价于函数在0点可导，因为它只是右导数。
（2）h趋于0时，lim(f(2h)－f（h））/h存在不等价于函数在0点可导，因为分子中的函数量不是相对于中心点函数值的量。
请对比:如果f（x）函数在0点可导，则h→0时，
lim(f(2h)－f（h））/h=lim(f(2h)－f(0）+f(0）－f（h））/h
=2lim(f(2h)－f(0）)/2h－lim(f（h）－f(0))/h
=2f′(0)－f′(0)=f′(0)
（画外音：我把上述恒等变形技术称为D添零项获得增量‖。考试中心认为你一定会这个小技术。
（2）中的不等价，要点在于，即便（2）中的极限存在，f（x）在0点也可能不可导。你可以作上述恒等变形，但是，你无法排除“不存在－不存在=存在”）
例26若函数f（x）满足条件f（1+x）=af（x），且f′(0)=b，数a≠0，b≠0则
（A）f（x）在x=1不可导。（B）f′(1)=a（C）f′(1)=b（D）f′(1)=ab
分析将f′(0)=b还原为定义lim(f(0+h)－f（0））/h=b,
要算f′(1)，考查lim(f(1+h)－f（1））/h；如何向f′(0)的定义式转化？！只能在已知恒等式上下功夫。 显然f(1+h)=af（h）；而f（1）=f（1+0）=af（0）
lim(f(1+h)－f（1））/h=lima(f(h)－f（0））/h=ab应选（D）。
*理解5两个无穷小的商求极限，就可以看成是两个无穷小的比较。于是，
连续函数f（x）在点x0可导的充分必要条件是，x→x0时，函数增量Δy是与Δx同阶，或较Δx高阶的无穷小。
考研的小题目中，经常在原点讨论可导性，且往往设函数在原点的值为零。我称这为D双特殊情形‖。这时，要讨论的增量商简化为f（x）/x，联想一下高低阶无穷小知识，可以说，D双特殊情形‖下函数在原点可导，
等价于x趋于0时，函数是与自变量x同阶或比x高阶的无穷小。如果函数结构简单，你一眼就能得出结论。
例27设函数f（x）在点x=0的某邻域内有定义，且恒满足Of(x)O≤x平方，则点x=0必是f(x)的
（A）间断点。（B）连续而不可导点。（C）可导点，且f′(0)=0（D）可导点，且f′(0)≠0
分析本题中实际上有夹逼关系0≤Of(x)O≤x平方，在x=0的某邻域内成立。这就表明f（0）=0，且Of(x)/xO≤OxO，由夹逼定理得，f′(0)=0，应选（C）。
例28设有分段函数f(x)：x＞0时，f(x)=(1－cosx)M√x；x≤0时，f(x)=x平方g(x)
其中，g(x)为有界函数。则f(x)在点x=0
（A）不存在极限。（B）存在极限，但不连续。（C）连续但不可导。（D）可导。
分析由定义得中心点函数值f（0）=0；本题在D双特殊情形‖下讨论。
x＞0时，显然f(x)是比x高阶的无穷小。右导数为0（潜台词：1－cosx是平方级无穷小。）
x≤0时，f(x)/x=xg(x)，用夹逼法可判定左导数为0；应选（D）。
*理解6运用定理（3），若f（x）函数在点x0可导，即有已知极限Δx→0，lim（Δy／Δx）=f′(x0) 于是Δy／Δx=f′(x0)+α(x)（无穷小）；即Δy=f′(x0)Δx+α(x)Δx
由此即可证明，函数在点x0可导，则一定在x0连续。
D如果分母是无穷小，商的极限存在，则分子也必定是无穷小。”
经济类的考生可以这样来体验D可导一定连续‖。考数学一，二的同学则应将此结论作为一个练习题。
把导数定义中的极限算式记得用得滚瓜烂熟，你就既不会感到它抽象，也不会感到有多难。考研的题目设计都很有水平，如果戎乜几拍睿饽恐械暮峁雇ǔ６急冉霞虻ァ
不要怕定义。就当是游戏吧。要玩好游戏，你总得先把游戏规则熟记于心。
考研数学讲座（8）求导熟练过大关
函数在一点x0可导，其导数值也就是函数图形在点（x0，f（x0））处的切线斜率。从这个意义出发，我们有时把函数可导说成是D函数光滑‖。
1典型的不可导
可导一定连续。函数的间断点自然是不可导点。这是平凡的。我们感兴趣的是函数连续而不可导的点。 最简单也最实用的反例是绝对值函数y=OxO。这是一个分段函数。还原成分段形式后，在点x=0两侧分别用定义计算，易算得右导数为1，左导数是－1
进一步的反例是y=OsinxO在点x=0和y=OlnxO在点x=1连续而不可导。
从图形变化上去看一个连续函数取绝对值，那是件非常有趣的事情。
连续函数在相邻的两个零点之间不变号。如果恒正，每一个正数的绝对值就是自已。在这两个零点间的函数图形不变。如果恒负，每一个负数的绝对值都是它的相反数。这两个零点间的函数图形由x轴下面对称地反射到了x轴上方。
y=sinx在原点的左侧邻近为负，右侧邻近为正。它的图形在原点右侧段不变，将左侧段对称地反射到上半平面，就是y=OsinxO的图形。反射使得图形在原点处形成一个尖角，不光滑了。
这是否是一个普遍规律？不是！比如y=x立方与y=|x立方|在x=0点都可导。
函数y=x立方的图形叫D立方抛物线‖。在点x=0，函数导数为0，图形有水平的切线横穿而过。（潜台词：真有特色啊，突破了我们原有的切线印念。）要是取绝对值，图形的原点左侧段对称地反射到上半平面，但水平的切线保持不变。新函数仍然光滑。这里的关键在于，函数值为0，导数值也为0，x=0是立方函数的重零点。
综合上述,在f(x)恒为正或恒为负的区间上，曲线y=|f(x)|和曲线y=f(x)的光滑性是一致的。只有在f(x)的零点处，才可能出现曲线y=f(x)光滑而曲线y=|f(x)|不光滑的状况。
数学三的考上有过这样的4分选择题。
例31f(x)在点x=a可导，则|f(x)|在x=a不可导若函数的充分必要条件是
（A）f(a)=0且f′(a)=0（B）f(a)=0且f′(a)≠0
（C）f(a)&0且f′(a)&0（D）f(a)&0且f′(a)＜0
分析如果没有思路，首先联想y=x与y=|x|即可排除（A）；
俗语说，连续函数“一点大于0，则一段大于0”；相应绝对值就是自己。（C）（D）显然都错；只有选（B）。 （画外音：如果用代数语言，f(x)可导，f(a)=0，而f′(a)≠0，则点a是f(x)的单零点。这道题该算擦边题。）
2．讨论深化
我在讲座（2）中举例，D连续A+不连续B=？‖
如果，D连续A+不连续B=连续C‖则D连续C－连续A=不连续B‖
这与定理矛盾。所以有结论：连续函数与不连续函数的和一定不连续。
推理的关键在于，逆运算减法可行。
自然类似有：可导A+（连续）不可导B=不可导C。比如y=x+OsinxO在点x=0不可导。
例32函数f（x）=OsinxO+OcosxO的不可导点是（？）
分析函数为D和‖结构。无论是OsinxO的不可导点或OcosxO的不可导点，都是f的不可导点。即 x=kπ与x=kπ+π/2，k=0，±1，±2，…
更深化的问题是：可导A×(连续)不可导B，是可导还是不可导？比如y=xOxO在点0可导吗？ 与D和‖的情形相比，积的逆运算不一定可行。当且仅当A≠0时，才有C/A=B所以
结论1，若f（x）在点x0可导，且f（x0）≠0，g（x）在点x0连续不可导，则积函数y=f（x）g（x）在点x0一定不可导。
结论2（*例33）已知函数f(x)在点x=a可导，函数g(x)在点x=a连续而不可导，试证明
积函数F（x）=f（x）g（x）在点x=a可导的充分必要条件是f(a)=0.
证明先证充分性，设f(a)=0则F(a)=0
令h→0,F′(a)=lim(F(a+h)－F（a））/h=limf(a+h)g（a+h）/h
=(lim(f(a+h)－f（a）)/h)limg（a+h）
=f′(a)g（a）
再用反证法证必要性。设函数F(x)在点x=a可导而f(a)≠0.，则由连续函数的性质可知函数f（x）在点x=a的某邻域内恒不为零。逆运算除法可行。由结论1知矛盾。
例34设函数f（x）可导，F（x）=f（x）（1+OsinxO），则f（0）=0是F(x)在x=0处可导的
（A）充分必要条件。（B）充分而非必要条件。
（C）必要而非充分条件。（D）既非充分又非必要条件。（选（A））
分析1+OsinxO是可导函数+连续不可导函数类型，在0点仍然连续但不可导。由上例结论知应选（A） 例35函数y=（x平方－x－2）Ox立方－xO的不可导点的个数是
（A）3（B）2（C）1（D）0
分析函数y具D积‖结构。y=f（x）g（x），可导函数f（x）=x平方－x－2只有两个零点x=C1，x=2，而连续函数g（x）=Ox立方－xO有不可导点x=0，x=1，x=C1；（即x3－x的三个零点。）其中有两个不是f（x）的零点。积函数在这两点不可导。（选（B））。
实际上，x=C1是积函数的而重零点。
3．函数求导（以下所涉及的函数都是可导函数）
函数求导越熟练，高等数学的感觉越好。只要回忆一下，小时候，九九表你背了用了多少年？！初中时，有理数运算算了多少年？！中学里，代数式运算你又算了多少年？！而学习微积分，你花了多少时间作求导计算？！自己就明白问题之所在了。
求函数的导数，第一设问是，我对什么类型的函数求导？
对初等函数求导，要点是学会熟练地对初等函数作结构分析。应该设问（步步设问）：
“是对复合结构求导还是对四则运算结构求导？”
对含有多个变量（有参变量）的表达式求导，要始终提醒自己：D是对表达式中的哪一个变元求导？” 对分段函数求导，各段分别求导；定义分界点用定义求导
对幂指型函数求导，视y=f（x）为恒等式，先取对数再求导，最后解出y′
还有隐函数的求导法则；参数式所表述的函数求导；求乘积函数高阶导数的Leibnitz（莱布尼兹）公式。没办法。这是首先必须要苦力干活的。没有捷径可循。
考研数学讲座（9）“基本推理”先记熟
在考研试题中，条件“f（x）连续，x趋于0时，lim(f（x）/x)=1”出现的频率相当高。我们能由这个已知条件得到哪些信息呢？
无论是《高数》，《线代》或《概率》部分，都还可以找到类似问题。预先把其间的逻辑推理或计算程序练熟，在头脑里形成一个个小集成块。既是深化基本概念的手段，也是应对考试的方法。
1条件“f（x）连续，x趋于0时，lim(f（x）/x)=1”推理――→
信息（1），自变量x，当然是x趋于0时的无穷小。分母是无穷小，商的极限为1（存在），则分子也必定是无穷小。即x趋于0时，limf（x）=0
（潜台词：由极限存在的充分必要条件（3），f（x）/x=1+α（无穷小），即，f（x）=x（1+α）） 信息（2），已知f连续，故f（0）=limf（x）=0
信息（3），（潜台词：这是“双特殊情形”啊！）已知极限表明函数f（x）与自变量是等价无穷小。f（x）在原点可导，且导数值f′(0)=1
信息（4），(“符号体念，近朱者赤。”)商的极限为正数1，在0点的一个适当小的去心邻域内，商的符号恒正。分子与分母同号。即f（x）与x同号，左负右正。
最后一条没有进一步的结论，但这是体验极限符号的思维素养。
对比：如果把条件中的分母换成“x”，则后两条信息就不同了。
信息（3）*，函数是比自变量高价的无穷小。f（x）在原点可导，且导数值为0
信息（4）*，商的极限为正数1，在点0的一个适当小的去心邻域内，商的符号恒正。分子与分母同号。x的平方恒正，f（x）恒正。f（0）是函数的极小值。
再对比：若考题把条件中的分子换成f（x）－x，怎么办？
那你把分子整体看成一个函数，写成F（x）=f（x）－x，先对F写出结论，再写还原讨论f（x）。 比如信息（3）得，F（x）在原点可导，故f（x）=F（x）+x也在原点可导。??。
有了高速路，找到匝道就上去了。
例36已知x→1时，lim(x2+bx+c)M(x－1)=3，求常数b，c的值。
分析平移到点x=1用基本推理。记f（x）=x2+bx+c，f连续，由已知极限得
x→1时，limf（x）=0=f（1），实际计算f（1）得方程1+b+c=0
再由已知极限与极限定义得f′(1)=3，实际求导即2+b=3；联解之，b=1c=－2 2
2．程序化的经典题目
在考研试卷上有一个出现概率很高的大分值题，其基本模式为：
“求（分段）函数f(x)的导函数，并讨论导函数的连续性。”
这个题目涵盖了连续与可导概念及求极限与求导计算。考查内容相当全面。求解过程可以程序化。即用公式及法则求分段函数各段的导数；用定义算得分界点或特殊定义点的导数。写出导函数的分段式。再讨论连续性。
例37设a为实常数，定义函数f(x)如下 x＞0时f(x)=xasin(1/x2),x?0时，f(x)=0 回答下列问题，并简单说明理由。
（1）在什么情况下，f(x)不是连续函数。（2）在什么情况下，f(x)连续但在点x=0不可微？
（3）在什么情况下，f(x)有连续的导函数f′(x)？
*（4）在什么情况下，f(x)可微但f′(x)在原点邻近无界？
*（5）在什么情况下，f(x)可微，f′(x)在原点邻近有界，但f′(x)不连续？
分析x?0时，f(x)恒为零，故f(x)在0点左连续，且左导数为0；讨论的关键在于：
sin（1/x），cos（1/x）都是震荡因子。当x→0+时，必须再乘以一个无穷小因子才有极限零存在。 （潜台词：有界变量?无穷小量=无穷小量）
解（1）a?0时，f(x)不是连续函数，它在点x=0处有第二类间断（振荡间断）。
（2）0&a?1时，f(x)连续但在x=0处不可导。实际上
x→0+时，lim(f（x）/x)=limx（a－1）22sin（1/x）不存在 2
这又表明，仅当a&1时，f(x)在0点的右导数为0，从而f′(0)=0；反之则右导数不存在。
于是，a&1时，f(x)是可导函数。且f′(x)有分段表达式：
x?0时，f′(x)=0；x＞0时，f′(x)=ax（a－1）sin（1/x）－2x2（a－3）cos（1/x） 2
（3）仅当a&3时，f′(x)的两项在0点的右极限都存在，且都为0；f′(x)连续。
（潜台词：存在+不存在=不存在；1＜a?3时，f′(x)不连续。有振荡间断点0。）
*（4）观察f′(x)的结构，当1＜a?3时，它之所以会在原点邻近无界，显然是因为其后项存在有负幂因子。即1＜a＜3时，f′(x)在原点邻近无界。
（5）最后，自然有a=3时，f′(x)在原点邻近有界，但f′(x)不连续。
分析法，综合法，反证法。这都是欧氏几何的方法。公元前400年就有了。老老实实地写，实实在在地看，实实在在地说，水到渠成有结论。这是微积分自家的方法――“构造法”。
再看一例来体念“实实在在”的“构造法”。
例38已知函数f（x）在x?a时连续，且当x→+∞时f（x）有极限A，试证明此函数有界。 分析（1）用综合法走一步：本题即证，Of（x）O?C
（2）想用分析法走一步，有困难。我们只学过，闭区间上连续的函数一定有界。（？！）
（3）（试探）随便选一个充分大的数b，函数在a与b组成的闭区间上有界。那无穷的尾巴上怎么估计函数的绝对值呢？
（4）需要从数值上体念已知极限：
x→+∞时函数有极限A，即x→+∞时函数的绝对值无限靠近数A的绝对值。
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高中数学：1.2《函数的概念和性质》课件（湘教版必修1）
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几何解释: 几何解释: M B C A m a b 证 由零点定理, 推论
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值
之间的任何值. 例1 证 由零点定理, 例2 证 由零点定理, 例5
设f(x)在(a, b)内连续，x1,x2,……xn是(a, b)内任意值， 证明存在一点ξ∈(a, b)使 证：设 ∵f(x)在(a, b)内连续，
∴f(x)在[x i , x j ]上连续。 x1,x2……xn∈[xi , xj] 由最值定理： f(x)在[xi ,xj ]上达到最大M=f(ξ1)，
最小值m=f(ξ2)， 即 据介值定理推论: 至少存在 使 小结 四个定理 最值定理;有界性定理;零点定理;介值定理. 注意　1．闭区间； 2．连续函数． 这两点不满足, 上述定理不一定成立． 解题思路 1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理; 2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理; 思考题 下述命题是否正确？ 思考题解答 不正确. 例函数 * * * * 【数学】１．２《函数的概念和性质》精品课件（湘教版必修1）
函数的概念与性质 1、函数的连续性 2、函数的间断点 3、 闭区间上连续函数的性质 1.概念 一、函数的连续性 曲线不断 曲线断开 函数f(x)随x的改变而逐渐改变
有突变现象 2.连续的定义 P50 注：1) 函数 f(x) 在 x0 连续的等价写法(满足定义1的条件): 2) 若 y = f (x) 在 x0 处不连续，则称 y = f(x)在 x0 处间断。 3) 极限与连续的关系: 极限
连续函数必有极限, 有极限不一定是连续函数. 例如 例1 证 3.单侧连续 定理 例2 解 右连续但不左连续 , 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 基本初等函数在其定义域上连续,初等函数在其定义区间上连续. 例3 证 例4.
设 在x=0处连续，求常数a与b应满足的关系。 二、函数的间断点 1.跳跃间断点 例4 解 2.可去间断点 例5 解 如例5中, 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 注意
可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,
则可使其变为连续点. 3.第二类间断点 例6 解 例7 解 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点. 狄利克雷函数 在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点. ★ ★ 仅在x=0处连续, 在定义域 R内其余各点处处间断.
但其绝对值处处连续. 例8
研究下列函数在x=0的连续性，若是间断的，指出间断点类型。 （a为任意实数） 解：1) x=0为第一类间断点。 不存在，∴x=0为第二类间断点。 4） ∴当a=0时f4(x)在x=0处连续。 a≠0时
x=0为f(x)的可去间断点。 2) 3） 小结 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 3.间断点的分类与判别; 2.区间上的连续函数; 第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型. 间断点 (见下图) 可去型 第一类间断点 o y x 跳跃型 无穷型 振荡型 第二类间断点 o y x o y x o y x 思考题 思考题解答 且 1、一类；一类；二类。 2、 但反之不成立. 例 但 §1.3.3
闭区间上连续函数的性质 最大值和最小值定理 介值定理 一、最大值和最小值定理
定义: 例如, 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. 注意:1.若区间是开区间,
定理不一定成立;
2.若区间内有间断点,
定理不一定成立. 推论(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 证 证： ∴取 当|x|>X时, | f (x)-A|<1 又||f (x)|-|A||<| f (x)-A|<1, 即:
| f (x)|0, ?x ? X, 都有| f (x)|<M0 取M=max{|A|+1, M0}, 例1 设
f (x) 在(-∞, +∞)上连续，且
存在, 证明 f (x) 在(-∞, +∞)上有界。 有渐近线 二、介值定理 定义: * * * * 定义1
设函数在内有定义,如果当自变量的增量趋向于零时,对应的函数的增量也趋向于零,即
或 ,那末就称函数在点x0连续,x0称为的连续点.
2、若在连续，则、在是否连续？又若、在连续，在是否连续？
指出在是第__类间断点；在是第__类间断点；在是第__类间断点 .
故、在都连续.
定理2(零点定理)
设函数在闭区间
上连续，且与异号(即),那末至少有一点，使.
定理3(介值定理)
设函数在闭区间
上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
那末，对于与之间的任意一个数，在开区间内至少有一点 ，使得 .
例4在上连续，,试证明：对任意正数, 至少有一点,使
如果在上有定义，在内连续，且，那么在内必有零点.
但在内无零点.
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