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提能专训(十)空间图形的位置关系一、选择题1．(2013?河北承德月考)若点..提能专训(十)空间图形的位置关系一、选择题1．(2013?河北承德月考)若点P是两条异面直线l，m外的任意一点，则()A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条2014高考数学文提能专训10：空间图形的位置关系（含解题思路）相关文档专题docdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdoc
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2014届湖南高考理科数学一轮复习专题课件：四（新人教A版）.ppt55页
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1 从①②两个图中选择出该几何体的直观图；
2 求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
3 设平面PAD与平面PBC的交线为l，求二面角 A―l―B的大小. 【解析】 1 图①为该几何体的直观图;
2 依题意,平面PBC⊥平面ABCD, 平面PBC∩平面ABCD BC, 设BC的中点为O, 则PO⊥BC,PO⊥平面ABCD. 取AD的中点M,连接OM， 则OM⊥BC.如图建立空间直角坐标系Oxyz. P 0,0,2 ,A 2,1,0 , 2，1，-2 , 又平面PBC的一个法向量为m
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
3 ∵D 2,－1,0 , 0,2,0 , 2,1,-2 , 设n
x,y,z 为平面PAD的一个法向量, 则 ,取n
1,0,1 ， 则 ∴二面角A－l－B的大小为45°. 【解析】选C.结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计 算．如图，设长方体的长、宽、高分别为 m，n，k，由题意得 ， ?n＝1，
∴ a2－1 ＋ b2－1 ＝6?a2＋b2＝8， ∴ a＋b 2＝a2＋2ab＋b2＝8＋2ab≤8＋a2＋b2＝16. 即a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号. 7. 2012?福州模拟 一几何体的三视图如图所示： 1 画出它的直观图，并求其体积；
2 你能发现该几何体的哪些面互相垂直？试一一列出． 【解析】 1 几何体的直观图如图，棱锥P－ABC， 其中PC⊥平面ABC，∠ABC＝90°， △ABC斜边AC上的高为
cm， PC＝6 cm，AC＝5 cm，
2 互相垂直的面分别有：平面PAC⊥平面ABC，平面PBC⊥平面ABC， 平面PBC⊥平面PAB. 热点2
点、线、面的位置关系及空间向量在立体几何中的应用 1.本热点在高考中的地位 点、直线、平面的位置关系主要包括空间点、直线、平面之间的位置关系及线面、面面平行 垂直 的判定和性质，是解决立体几何中推理和计算问题的基础，而空间向量在立体几何中主要用于证明空间线面间的位置关系及计算空间角，它们都是高考的必考内容. 2.本热点在高考中的命题方向及命题角度 高考对本部分
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2016年高一数学当堂检测： 第2章《点、直线、平面之间的位置关系》（新人教A版必修2）
2016年高一数学当堂检测： 第2章《点、直线、平面之间的位置关系》（新人教A版必修2）
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第二章　点、直线、平面之间的位置关系2.1　空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1.1　平　面
[学习目标]
1．了解平面的概念及表示方法．
2．理解平面的公理1，公理2，公理3.
3．会用符号语言准确表述几何对象的位置关系．
[知识链接]
1．在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、重合．
2．点和直线的位置关系有点在直线上和点在直线外．
[预习导引]
1．平面的概念
(1)几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．
(2)平面的画法
水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图.
②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图.
(3)平面的表示法
图的平面可表示为平面α，平面ABCD，平面AC或平面BD.
2．点、线、面之间的关系
(1)直线在平面内的概念：
如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.
(2)一些文字语言与数学符号的对应关系：
文字语言表达 数学符号表示 文字语言表达 数学符号表示
点A在直线l上 Al 点A在直线l外 Al
点A在平面α内 Aα 点A在平面α外 Aα
直线l在平面α内 lα 直线l在平面α外 lα
直线l，m相交于点A l∩m＝A 平面α、β相交于直线l α∩β＝l
3.平面的基本性质及作用
公理 内容 图形 符号 作用
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
Al，Bl，且Aα，Bα?l?α 既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线存在唯一的平面α使A，B，Cα 一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
Pα，且Pβ?α∩β＝l，且Pl 一是判断两个平面相交的依据；二是证明点共线问题的依据；(3)证明线共点问题的依据
要点一　三种语言的转换
例1　用符号语言表示下列语句，并画出图形．
(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.
解　(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图(1)．
(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图(2)．
规律方法　(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
跟踪演练1　根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)Aα，Bα；(2)lα，m∩α＝A，Al；(3)Pl，Pα，Ql，Qα.
解　(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图(1)．
(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图(2)．
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图(3)．
要点二　点线共面问题
例2　证明：两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内．
证明　法一　
l1∩l2＝A，
l1和l2确定一个平面α.
l2∩l3＝B，B∈l2.又l2?α，
同理可证Cα.
又B∈l3，Cl3，l3?α.
∴直线l1、l2、l3在同一平面内．
法二　(重合法)
l1∩l2＝A，
l1、l2确定一个平面α.
l2∩l3＝B，
l2、l3确定一个平面β.
A∈l2，l2α，A∈α.
∵A∈l2，l2β，A∈β.
同理可证Bα，Bβ，Cα，Cβ.
∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．
平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．
规律方法　在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．
(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内．
跟踪演练2　已知直线ab，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．
证明　如图所示．由已知ab，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，A∈α，Bα，且Al，Bl，l?α.即过a，b，l有且只有一个平面．
要点三　点共线与线共点问题
例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线．
证明　MN∩EF＝Q，
Q∈直线MN，Q直线EF，
又M∈直线CD，N直线AB，
CD平面ABCD，AB平面ABCD.
M、N平面ABCD，
MN?平面ABCD.Q∈平面ABCD.
同理，可得EF平面ADD1A1.
Q∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，
Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线．
规律方法　点共线与线共点的证明方法：
(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．
(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．
跟踪演练3　如图所示，已知四面体A－BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且＝＝2.求证：直线EG，FH，AC相交于同一点．
证明　E，F分别是AB，AD的中点，
EF∥BD且EF＝BD.
GH∥BD且GH＝BD，
EF∥GH且EF>GH，
四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必相交，
设两腰EG，FH的延长线相交于一点P，
EG?平面ABC，FH平面ACD，
P∈平面ABC，P平面ACD，
又平面ABC∩平面ACD＝AC，
P∈AC，故直线EG，FH，AC相交于同一点．
1．下列命题中正确的个数是(　　)
一个平面长4米，宽2米；
2个平面重叠在一起比一个平面厚；
一个平面的面积是25平方米；
将一个平面内的一条直线延长，它就会伸出这个平面．
解析　几何中的平面是无限延展的，不可进行所有类型的度量，容易判断所有命题都不对．
2．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是(　　)
解析　画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示．
3．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作(　　)
解析　点Q(元素)在直线b(集合)上，Q∈b.又直线b(集合)在平面β(集合)内，b?β，Q∈b?β.
4．设平面α与平面β交于直线l，Aα，Bα，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.
解析　α∩β＝l，AB∩l＝C，C∈β，CAB，AB∩β＝C.
5．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是________．
答案　1或4
解析　对于不共线四点：当三点共线时确定一个平面；当三点不共线时，可确定一个平面或四个平面．
1．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，由符号语言作出直观图时，要注意实虚线的标注．
2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想．
一、基础达标
1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述正确的个数是(　　)
A∈a，aα?A?α；A∈a，aα?A∈α；A?a，aα?A?α；A∈a，aα?A?α.
不正确，如a∩α＝A；不正确，“a∈α”表述错误；不正确，如图所示，Aa，aα，但Aα；不正确，“Aα”表述错误．
2．(2013·安徽高考)在下列命题中，不是公理的是(　　)
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
解析　A．不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B.是平面的基本性质公理；
C．是平面的基本性质公理；D.是平面的基本性质公理．
3．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是(　　)
A．Aa，Aβ，Ba，Bβ?a?β
B．Mα，Mβ，Nα，Nβ?α∩β＝MN
C．Aα，Aβ?α∩β＝A
D．A、B、Mα，A、B、Mβ，且A、B、M不共线α、β重合
解析　A∈α，Aβ，A∈α∩β.
由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.
故α∩β＝A的写法错误．
4．空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中(　　)
A．必有三点共线
B．必有三点不共线
C．至少有三点共线
D．不可能有三点共线
解析　如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图(1)中A、B、D不共线．
5．设平面α与平面β相交于l，直线aα，直线bβ，a∩b＝M，则M________l.
解析　因为a∩b＝M，aα，bβ，所以Mα，Mβ.又因为α∩β＝l，所以Ml.
6．平面α∩平面β＝l，点Mα，Nα，点Pβ，且Pl，又MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝________.答案　直线PR
解析　如图，MNγ，RMN，
又Rl，R∈β.
又Pγ，Pβ，β∩γ＝PR.
7．已知ABC在平面α外，直线AB∩α＝P，直线AC∩α＝R，直线BC∩α＝Q，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．
证明　直线AB∩α＝P，
P∈AB，P平面α.
又AB?平面ABC，P∈平面ABC.
则由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．
故P，Q，R三点共线于平面ABC与平面α的交线．
二、能力提升
8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是(　　)
A．C1，M，O三点共线
B．C1，M，O，C四点共面
C．C1，O，A，M四点共面
D．D1，D，O，M四点共面
解析　在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，
A1C∩平面C1BD＝M.
三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，
即C1，M，O三点共线，
选项A，B，C均正确，D不正确．
9．若直线l与平面α相交于点O，A，Bl，C，Dα，且ACBD，则O，C，D三点的位置关系是________．
答案　共线
解析　AC∥BD，
∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.
l∩α＝O，O∈α.
又O∈AB?β，
O∈直线CD，O，C，D三点共线．
10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．
解析　正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．
11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求证：(1)E，F，D1，C四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．
证明　(1)分别连接EF，A1B，D1C.
E，F分别是AB和AA1的中点，
EF綉A1B.又A1D1綉B1C1綉BC，
四边形A1D1CB为平行四边形．
A1B∥CD1，EF∥CD1.
∴EF与CD1确定一个平面，
E，F，D1，C四点共面．
EF綉CD1，直线D1F和CE必相交．设D1F∩CE＝P，如图．
D1F?平面AA1D1D，PD1F，
P∈平面AA1D1D.
又CE平面ABCD，PEC，
P∈平面ABCD.
P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．
又平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD，
P∈AD，CE，D1F，DA三线共点．
三、探究与创新
12.如图，直角梯形ABDC中，ABCD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．
解　很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上．由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，
E∈AC，AC平面SAC，
E∈平面SAC.
同理，可证E平面SBD.
点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线．
13．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，试画出平面AB1D1与平面ACC1A1的交线．
如图，设A1C1∩B1D1＝O1.
O1∈A1C1，A1C1平面ACC1A1，
O1∈平面ACC1A1.
又O1∈B1D1，
B1D1平面AB1D1，
O1∈平面AB1D1.
O1是平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点．
而点A显然也是平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点．
连接AO1，根据公理3知AO1是平面AB1D1与平面ACC1A1的交线．
2．1.2　空间中直线与直线之间的位置关系
[学习目标]
1．会判断空间两直线的位置关系．
2．理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角．
3．能用公理4解决一些简单的相关问题．
[知识链接]
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
[预习导引]
1．空间两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有三种．
(1)若从公共点的数目分，可以分为
只有一个公共点——相交．
没有公共点
(2)若从平面的基本性质分，可以分为
在同一平面内
不同在任何一个平面内——异面．
2．异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．
(2)异面直线的画法
3．平行公理(公理4)
文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行，这一性质叫做空间平行线的传递性．
符号表述：a∥c.
4．等角定理
空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
5．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′a，b′b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)异面直线所成的角θ的取值范围：(0°，90°]．
(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作ab.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
要点一　空间两条直线位置关系的判断
例1　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
直线AB与直线B1C的位置关系是________．
答案　平行　异面　相交　异面
解析　直线D1D与直线D1C显然相交于D1点，所以应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以都应该填“异面”．
规律方法　1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．
2．判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．
跟踪演练1　(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则(　　)
B．a、c是异面直线
C．a、c相交
D．a、c平行或相交或异面
(2)若直线a、b、c满足ab，a、c异面，则b与c(　　)
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
答案　(1)D　(2)C
解析　(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面．
(2)若ab，a、c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知ac.
要点二　公理4、等角定理的应用
例2　在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是棱AB、AD、B1C1、C1D1的中点，
求证：(1)EF綉E1F1；
(2)EA1F＝E1CF1.
证明　(1)连接BD，B1D1，
在ABD中，因为E、F分别为AB、AD的中点，
所以EF綉BD.
同理，E1F1綉B1D1.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1綉DD1，
所以四边形BB1D1D为平行四边形，
因此，BD綉B1D1，
又EF綉BD，E1F1綉B1D1，
所以EF綉E1F1.
(2)取A1B1的中点M，
连接F1M，BM，则MF1綉B1C1，
又B1C1綉BC，
所以MF1綉BC.
所以四边形BMF1C为平行四边形，
因此，BMCF1.
因为A1M＝A1B1，BE＝AB，
且A1B1綉AB，
所以A1M綉BE，
所以四边形BMA1E为平行四边形，
因此，CF1A1E，
同理可证A1FCE1.
因为EA1F与E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以EA1F＝E1CF1.
规律方法　(1)空间两条直线平行的证明：一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形，梯形中位线，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
(2)求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．
跟踪演练2　如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)若四边形EFGH是矩形，求证：ACBD.
证明　(1)在ABD中，
E，H分别是AB，AD的中点，
同理FGBD，则EHFG.
故E，F，G，H四点共面．
(2)由(1)知EHBD，同理ACGH.
又四边形EFGH是矩形，
EH⊥GH.故ACBD.
要点三　求异面直线所成的角
例3　(2014·达州高一检测)如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF＝，求异面直线AD、BC所成角的大小．
如图，取BD的中点M，连接EM、FM.
因为E、F分别是AB、CD的中点，
所以EM綉AD，FM綉BC，
则EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角．
AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，
在等腰MEF中，过点M，作MHEF于H，
在RtMHE中，EM＝1，EH＝EF＝，
则sinEMH＝，
于是EMH＝60°，则EMF＝2EMH＝120°.
所以异面直线AD、BC所成的角为EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60°.
规律方法　1.异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点．
2．求异面直线所成的角的一般步骤为：(1)作角：平移成相交直线．(2)证明：用定义证明前一步的角为所求．(3)计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围．
跟踪演练3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)AC和DD1所成的角是________；
(2)AC和D1C1所成的角是________；
(3)AC和B1D1所成的角是________；
(4)AC和A1B所成的角是________．
答案　(1)90°　(2)45°　(3)90°　(4)60°
解析　(1)根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90°.
(2)D1C1∥DC，所以ACD即为AC和D1C1所成的角，由正方体的性质得ACD＝45°.
(3)BD∥B1D1，BDAC，B1D1⊥AC，即AC和B1D1所成的角是90°.
(4)A1B∥D1C，ACD1是等边三角形，所以AC和A1B所成的角是60°.
1．(2014·临沂高一检测)若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(　　)
D．平行或异面
解析　若直线a和b共面，则由题意可知ab；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．
2．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是(　　)
A．平行或异面
B．相交或异面
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1BB1，AA1DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.
3．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线(　　)
A．有无数条
C．至多有两条
我们现在研究的平台是锥空间．如图所示，过点P作直线l′l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．
4．已知角α的两边和角β的两边分别平行且α＝80°，则β＝________.
答案　80°或100°
解析　由等角定理可知，α＝β或α＋β＝180°，
β＝100°或80°.
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成的角的余弦值为________．
解析　设棱长为1，
因为A1B1C1D1，
所以AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角．
在AED1中，
cosAED1＝＝＝.
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．
2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角为θ，且0°0)，PA平面AC，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQQD，则a的取值范围是________．
答案　[2，＋∞)
解析　因为PA平面AC，QD平面AC，
所以PAQD.又因为PQQD，PA∩PQ＝P，
所以QD平面PAQ，所以AQQD.
①当0<a<2时，由四边形ABCD是矩形且AB＝1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一点Q，都有AQD2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时AQ1D＝AQ2D＝90°，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQQD.
11.(2014·南昌高一检测)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E平面AB1F.
解　连接A1B，CD1，则A1BAB1，A1D1AB1，又A1D1∩A1B＝A1，AB1⊥面A1BCD1，
又D1E面A1BCD1，
于是D1E平面AB1FD1E⊥AF.
连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．
D1E⊥AF?DE⊥AF.
∵ABCD是正方形，E是BC的中点，
当且仅当F是CD的中点时，DEAF，
即当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F.
三、探究与创新
12．已知：α∩β＝AB，PQα于Q，POβ于O，ORα于R，求证：QRAB.
证明　如图，α∩β＝AB，POβ于O，
∵PQ⊥α于Q，PQ⊥AB.
∵PO∩PQ＝P，AB⊥平面PQO.
OR⊥α于R，PQ∥OR.∴PQ与OR确定平面PQRO.
即AB平面PQRO.
又QR?平面PQRD，QR⊥AB.
13．已知四面体ABCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值．
过点A作AO平面BCD，
连接OD，OB，OC，可知O是BCD的中心．作QPOD，如图所示．
QP⊥平面BCD.
则QCP即为CQ与平面DBC所成的角．
设四面体的棱长为a，
在正ACD中，Q是AD的中点，
QP∥AO，Q是AD的中点，
O为BCD的重心，
＝×a＝a，
即sinQCP＝＝.
CQ与平面DBC所成角的正弦值为.
2.3.2　平面与平面垂直的判定
[学习目标]
1．理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小．
2．理解两平面垂直的定义．
3．掌握两平面垂直的判定定理．
[知识链接]
1．直线与平面垂直：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直．
2．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
3．直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．
[预习导引]
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．这两个半平面叫做二面角的面．
如图(1)可记作：二面角α－l－β或P－AB－Q或P－l－Q.
如图(2)对二面角α－l－β若有：
OA?α，OBβ；
OA⊥l，OBl.
则AOB就叫做二面角α－l－β的平面角．
2．平面与平面的垂直
(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
记作：αβ.
(3)面面垂直的判定定理
文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
图形语言：如图所示
符号语言：α⊥β.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
要点一　二面角及其平面角的概念
例1　下列命题中：
两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；
二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是(　　)
解析　由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故正确；中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故不对；由定义知正确．故选B.
规律方法　(1)要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致．
(2)要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面上的角的联系与区别．
(3)可利用实物模型，作图帮助判断．
跟踪演练1　若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角(　　)
C．相等或互补
D．关系无法确定
如图所示，平面EFDG平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H－DG－F的大小不确定．
要点二　面面垂直的判定与证明
例2　如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC.
连接AC，BC，则BCAC，又PA平面ABC，BC平面ABC，
PA⊥BC，而PA∩AC＝A，
BC⊥平面PAC，
又BC平面PBC，
平面PAC面PBC.
规律方法　面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直．
跟踪演练2　(2014·成都高一检测)如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上．求证：平面AEC平面PDB.
证明　AC⊥BD，ACPD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线，AC⊥平面PDB.又AC?平面AEC，
平面AEC平面PDB.
要点三　二面角
例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值．
解　取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1OA1C1，
又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，
所以BOA1C1，
所以BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角．
因为BB1平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，所以BB1OB1.
设正方体的棱长为a，
则OB1＝a，
在RtBB1O中，tanBOB1＝＝＝，
所以二面角B－A1C1－B1的正切值为.
规律方法　1.求二面角的大小关键是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算．
2．为在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等．
跟踪演练3　已知正四棱锥(底面为正方形各侧面为全等的等腰三角形)的体积为12，底面对角线的长为2，求侧面与底面所成的二面角．
设正四棱锥为S－ABCD，
如图所示，高为h，底面边长为a，
则2a2＝(2)2，
又a2h＝12，h＝＝3.
设O为S在底面上的射影，作OECD于E，连接SE，
可知SECD，SEO为所求二面角的平面角．
tanSEO＝＝＝＝，SEO＝60°.
侧面与底面所成二面角的大小为60°.
1．已知lα，则过l与α垂直的平面(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
C．有无数个
解析　由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．
2．(2014·淮南高一检测)对于直线m，n和平面α，β，能得出αβ的一个条件是(　　)
A．mn，mα，nβ
B．mn，α∩β＝m，nα
C．mn，nβ，mα
D．mn，mα，nβ
解析　n⊥β，mn，m⊥β，又mα，由面面垂直的判定定理，α⊥β.
3．空间四边形ABCD中，若ADBC，BDAD，那么有(　　)
A．平面ABC平面ADC
B．平面ABC平面ADB
C．平面ABC平面DBC
D．平面ADC平面DBC
解析　AD⊥BC，ADBD，BC∩BD＝B，AD⊥平面BCD.又AD?平面ADC，平面ADC平面DBC.
4.已知PA矩形ABCD所在的平面(如图所示)，图中互相垂直的平面有(　　)
解析　DA⊥AB，DAPA，AB∩PA＝A，
DA⊥平面PAB，同样BC平面PAB，
又易知AB平面PAD，DC⊥平面PAD.
平面PAD平面ABCD，平面PAD平面PAB，平面PBC平面PAB，平面PAB平面ABCD，平面PDC平面PAD，共5对．
5.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1－AB－C的大小为________．
答案　45°
解析　AB⊥BC，ABBC1，
C1BC为二面角C1－AB－C的平面角，其大小为45°.
1．证明两个平面垂直的主要途径：(1)利用面面垂直的定义；
(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
2．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．
3．下面的结论，有助于判断面面垂直：
(1)mn，mα，nβ?α⊥β；
(2)mα，nβ，mn?α⊥β；
(3)αβ，γα?γ⊥β.
　　　　　　　　　　　　　　　一、基础达标
1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，lα，mα和mγ，那么必有(　　)
A．αγ且lm
B．αγ且mβ
C．mβ且lm
D．αβ且αγ
解析　B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．
2．(2014·泸州高一检测)从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是(　　)
C．60°或120°
解析　若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.
3.如图，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是(　　)
A．平面ABC平面ABD
B．平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDE
C．平面ABD平面BDC
D．平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE
解析　由条件得ACDE，ACBE，又DE∩BE＝E，
AC⊥平面BDE，又AC面ADC，AC面ABC.平面ABC平面BDE，平面ADC平面BDE，故选B.
4.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA平面ABC，BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为(　　)
解析　PA⊥平面ABC，BA，CA平面ABC，
BA⊥PA，CAPA，因此，BAC即为二面角B－PA－C的平面角．又BAC＝90°，故选A.
5．(2014·长沙高一检测)如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为(　　)
解析　由条件得：PABC，ACBC又PA∩AC＝C，
BC⊥平面PAC，PCA为二面角P－BC－A的平面角．在RtPAC中，由PA＝AC得PCA＝45°，所以C对．
6．(2014·长沙高一检测)已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角D－BC－A的大小为________．
答案　90°
如图由题意知AB＝AC＝BD＝CD＝，BC＝AD＝2.
取BC的中点E，连接DE，AE，则AEBC，DEBC，所以DEA为所求二面角的平面角．
易得AE＝DE＝，又AD＝2，所以DEA＝90°.
7.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，ADBC，ABC＝90°，PA平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2，BC＝6.求证：平面PBD平面PAC.
证明　PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，
BD⊥PA.又tanABD＝＝，
tanBAC＝＝，ABD＝30°，BAC＝60°，
AEB＝90°，即BDAC.
又PA∩AC＝A，
BD⊥平面PAC.
BD?平面PBD，平面PBD平面PAC.
二、能力提升
8．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是(　　)
A．BC面PDF
B．DF面PAE
C．面PDF面ABC
D．面PAE面ABC
如图所示，BC∥DF，
BC∥平面PDF.A正确．
由BCPE，BCAE，
BC⊥平面PAE.
DF⊥平面PAE.B正确．
平面ABC平面PAE(BC平面PAE)．
9.如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是(　　)
B．平面PAB平面PBC
C．直线BC平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
解析　PA⊥平面ABC，
ADP是直线PD与平面ABC所成的角．
六边形ABCDEF是正六边形，
AD＝2AB，即tanADP＝＝＝1，
直线PD与平面ABC所成的角为45°，选D.
10．在边长为1的菱形ABCD中，ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝，则二面角B－AC－D的余弦值为________．
答案　60°
解析　如图所示，由二面角的定义知BOD即为二面角的平面角．
DO＝OB＝BD＝，BOD＝60°.
11.如图所示，在三棱锥A－BCD中，
AB平面BCD，BDCD.
(1)求证：平面ABD平面ACD；
(2)若AB＝2BD，求二面角A－DC－B的正弦值．
(1)证明　AB⊥平面BCD，
CD平面BCD，
AB⊥CD，又BDCD且BD∩AB＝B.
CD⊥平面ABD.又CD平面ACD.
平面ABD平面ACD.
(2)解　由(1)知ADB为二面角A－DC－B的平面角．在RtABD中，AB＝2BD，AD＝＝
BD，sin∠ADB＝＝ .即二面角A－DC－B的正弦值为 .
三、探究与创新
12.(2014·江门高一检测)已知三棱锥P－ABC中，ACB＝90°，BC＝4，AB＝20.D为AB的中点，且PDB为等边三角形，PAPC.
(1)求证：平面PAC平面ABC；
(2)求二面角D－AP－C的正弦值．
(1)证明　在RtACB中，D是斜边AB的中点，
所以BD＝DA.
因为PDB是等边三角形，
所以BD＝DP＝BP，则BD＝DA＝DP，
因此APB为直角三角形，即PABP.
又PAPC，PC∩BP＝P，所以PA平面PCB.
因为BC平面PCB，
又ACBC，PA∩AC＝A，
所以BC平面PAC，
因为BC平面ABC，
所以平面PAC平面ABC.
(2)解　由(1)知PAPB及已知PAPC，
故BPC即为二面角D－AP－C的平面角．
由(1)知BC平面PAC，则BCPC.
在RtBPC中，BC＝4，BP＝BD＝10，
所以sinBPC＝＝＝，
即二面角DAP－C的正弦值为13.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD＝60°，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA＝.
(1)证明：平面PBE平面PAB；
(2)求二面角A－BE－P的大小．
如图所示，连接BD，
由ABCD是菱形且BCD＝60°知，
BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BECD.
又ABCD，所以BEAB.
又因为PA平面ABCD，BE平面ABCD，
所以PABE.而PA∩AB＝A，
因此BE平面PAB.又BE平面PBE，
所以平面PBE平面PAB.
(2)解　由(1)知BE平面PAB，PB平面PAB，
所以PBBE.又ABBE，
所以PBA是二面角A－BE－P的平面角．
在RtPAB中，tanPBA＝＝，PBA＝60°，
故二面角A－BE－P的大小是60°.
2．3.3　直线与平面垂直的性质
2．3.4　平面与平面垂直的性质
[学习目标]
1．理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．
2．会用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题．
3．理解“平行”与“垂直”之间的相互转化．
[知识链接]
1．线面垂直的判定定理：若一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直．
2．面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
[预习导引]
1．直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
作用 线面垂直线线平行作平行线
2.平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
符号语言 a⊥β
作用 面面垂直线面垂直作面的垂线
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
要点一　直线与平面垂直的性质及应用
例1　(2014·平顶山高一检测)
如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交．
求证：EFBD1.
证明　如图所示，
连接AB1、B1D1、B1C、BD，
DD1⊥平面ABCD，
AC平面ABCD，
又ACBD，DD1∩BD＝D，
AC⊥平面BDD1B1，
又BD1平面BDD1B1，
同理可证BD1B1C，又AC∩B1C＝C，
BD1⊥平面AB1C.
A1DB1C，EF⊥B1C.
又EF⊥AC，AC∩B1C＝C，
EF⊥平面AB1C，EF∥BD1.
规律方法　证明线线平行常有如下方法：
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；
(2)利用三线平行公理：变两线同时平行于第三条直线；
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
跟踪演练1　如图，已知平面α∩平面β＝l，EAα，垂足为A，EBβ，垂足为B，直线aβ，aAB.求证：al.
证明　因为EAα，α∩β＝l，
即lα，所以lEA.
又EA∩EB＝E，
所以l平面EAB.
因为EBβ，aβ，
又aAB，EB∩AB＝B，
所以a平面EAB.因此，al.
要点二　平面与平面垂直的性质及应用
例2　已知：α、β、γ是三个不同平面，l为直线，αγ，βγ，α∩β＝l.求证：lγ.
证明　法一　设α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ内任取一点P，过P在γ内作直线ma，nb，如图．
α⊥γ，βγ，m⊥α，nβ，
又α∩β＝l，
m⊥l，nl，又m∩n＝P，l⊥γ.
法二　如图，α∩γ＝a，
β∩γ＝b，在α内作ma，
在β内作nb.
∵α⊥γ，βγ，m⊥γ，nγ，m∥n.
又n?β，mβ，m∥β，
又α∩β＝l，mα，m∥l，l⊥γ.
规律方法　1.证明或判定线面垂直的常用方法有：
(1)线面垂直的判定定理；
(2)面面垂直的性质定理；
(3)若ab，aα则bα；(a，b为直线，α为平面)．
(4)若aα，αβ则aβ；(a为直线，α，β为平面)．
2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．
跟踪演练2　(2014·东莞高一检测)如图，四棱锥V－ABCD的底面是矩形，侧面VAB底面ABCD，又VB平面VAD.
求证：平面VBC平面VAC.
证明　面VAB面ABCD，且BCAB，面VAB∩面ABCD＝AB，BC平面ABCD.
BC⊥面VAB，VA平面VAB，BC⊥VA，
又VB面VAD，VB⊥VA，
又VB∩BC＝B，VA⊥面VBC，VA?面VAC.
平面VBC平面VAC.
要点三　线线、线面、面面垂直的综合应用
例3　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD；
(2)求证：ADPB.
证明　(1)在菱形ABCD中，
G为AD的中点，DAB＝60°，
又平面PAD平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
BG⊥平面PAD.
连接PG，如图，
PAD为正三角形，
G为AD的中点，
由(1)知BGAD，PG∩BG＝G，
AD⊥平面PGB，
PB?平面PGB，AD⊥PB.
规律方法　证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理．证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．
跟踪演练3　如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，ABC＝BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC底面ABCD.
PA与BD是否相互垂直？请证明你的结论．
解　PA与BD相互垂直．证明过程如下：
如图，取BC的中点O，连接PO、AO.
又侧面PBC底面ABCD，
PO⊥底面ABCD，又BD平面ABCD.
在直角梯形ABCD中，
易证ABO ≌△BCD，
BAO＝CBD，CBD＋ABD＝90°，
BAO＋ABD＝90°，
又PO∩AO＝O，
BD⊥平面PAO，BD⊥PA，
即PA与BD相互垂直．
1．下列说法正确的是(　　)
A．垂直于同一条直线的两直线平行
B．垂直于同一条直线的两直线垂直
C．垂直于同一个平面的两直线平行
D．垂直于同一条直线的一条直线和平面平行
解析　由线面垂直的性质定理知C正确．
2．平面α平面β，aα，则有(　　)
B．aβ或aβ
C．a与β相交
解析　由已知易得：aβ或aβ.
3．设α－l－β是直二面角，直线aα，直线bβ，a，b与l都不垂直，那么(　　)
A．a与b可能垂直，但不可能平行
B．a与b可能垂直，也可能平行
C．a与b不可能垂直，但可能平行
D．a与b不可能垂直，也不可能平行
当a，b都与l平行时，
则ab，所以A、D错，
如图，若ab过a上一点P在α内作a′l，
因为αβ，所以a′β，
又bβ，a′⊥b，b⊥α，
而lα，b⊥l，与b和l不垂直矛盾，所以B错．
4．(2014·安康高一检测)已知a、b为直线，α、β为平面．在下列四个命题中，正确的命题是________．
若aα，bα，则ab；若aα，bα，则ab；若aα，aβ，则αβ；若αb，βb，则αβ.
解析　由“垂直于同一平面的两直线平行”知真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知真；易知假．
5.如图在三棱锥P－ABC内，侧面PAC底面ABC，且PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.
解析　侧面PAC底面ABC，交线为AC，PAC＝90°(即PAAC)，PA⊥平面ABC，
PA⊥AB，PB＝＝＝.
1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、基础达标
1．下列命题中错误的是(　　)
A．如果平面α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α平面γ，平面β平面γ，α∩β＝l，那么l平面γ
D．如果平面α平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析　由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误．
2．在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EFA1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是(　　)
B．EF平面A1B1C1D1
C．相交但不垂直
D．相交且垂直
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF面A1ABB1，EFA1B1，EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正确．
3．(2014·昆明高一检测)如图所示，三棱锥P－ABC中，平面ABC平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(　　)
A．PD平面ABC
B．PD平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD平面ABC
解析　PA＝PB，AD＝DB，PD⊥AB.又平面ABC平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，
PD⊥平面ABC.
4．(2014·淄博高一检测)如图，在四边形ABCD中，ADBC，AD＝AB，BCD＝45°，BAD＝90°，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是(　　)
A．平面ABD平面ABC
B．平面ADC平面BDC
C．平面ABC平面BDC
D．平面ADC平面ABC
如图，在平面图形中CDBD，折起后仍然满足CDBD，由于平面ABD平面BCD，故CD平面ABD，CDAB.又ABAD，故AB平面ADC，又AB平面ABC，所以平面ADC平面ABC.
5．(2013·广东高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)
A．若αβ，mα，nβ，则mn
B．若αβ，mα，nβ，则mn
C．若mn，mα，nβ，则αβ
D．若mα，mn，nβ，则αβ
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1平面ABCD，BC1平面BCC1B1，BC平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A错误．
平面A1B1C1D1平面ABCD，B1D1平面A1B1C1D1，
AC平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B错误．
ABA1D1，AB平面ABCD，A1D1平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1平面ABCD，故C错误．故选D.
6．(2014·琼海高一检测)在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，BC＝CD＝，ABAD，沿BD将ABD折起，使得AC＝1，则二面角A－BD－C的平面角的正弦值为________．
解析　在平面四边形ABCD中，
取BD的中点E，由条件知A、E、C共线，
且为BD的垂直平分线，
又在ABD中，ABAD，AB＝AD＝1，
BD＝，AE＝BD＝；
在CBD中，BC＝DC＝，
CE＝，沿BD折叠后，
AEC为二面角A－BD－C的平面角，
又AC＝1，在AEC中，AE2＋AC2＝CE2，
EAC＝90°，sin∠AEC＝＝＝.
7．(2014·威海高一检测)如图三棱锥P－ABC中，已知ABC是等腰直角三角形，ABC＝90°，PAC是直角三角形，PAC＝90°，ACP＝30°，平面PAC平面ABC.求证：平面PAB平面PBC.
证明　平面PAC平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，PAAC，
PA⊥平面ABC.
又BC平面ABC，
又AB⊥BC，AB∩PA＝A，
BC⊥平面PAB.
又BC平面PBC，
平面PAB平面PBC.
二、能力提升
8.如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，BAC＝90°，BC1AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在(　　)
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．ABC内部
解析　连接AC1，BAC＝90°，即ACAB，又ACBC1，AB∩BC1＝B，所以AC平面ABC1.又AC平面ABC，于是平面ABC1平面ABC，且AB为交线，因此，点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上，故选A.
9.如图，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：
①SG⊥平面EFG；SE⊥平面EFG；GF⊥SE；EF⊥平面SEG.其中成立的有(　　)
解析　由SGGE，SGGF，得SG平面EFG，排除C、D；若SE平面EFG，则SGSE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A，故选B.
10．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD平面DCEF，则线段MN的长等于________．
解析　取CD的中点G，连接MG，NG.
因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MGCD，MG＝2，NG＝.
因为平面ABCD平面DCEF，
所以MG平面DCEF，可得MGNG，
所以MN＝＝.
11．(2013·北京高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，ABCD，ABAD，CD＝2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：
(1)PA底面ABCD；
(2)BE平面PAD；
(3)平面BEF平面PCD.
证明　(1)因为平面PAD底面ABCD，
且PA垂直于这两个平面的交线AD，
所以PA底面ABCD.
(2)因为ABCD，CD＝2AB，
E为CD的中点，
所以ABDE，且AB＝DE.
所以四边形ABED为平行四边形．
又因为BE平面PAD，
AD平面PAD，
所以BE平面PAD.
(3)因为ABAD，而且四边形ABED为平行四边形，
所以BECD，ADCD.
由(1)知PA底面ABCD，
所以CD平面PAD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
又因为CDBE，EF∩BE＝E，
所以CD平面BEF.
所以平面BEF平面PCD.
三、探究与创新
12．如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角．
求证：(1)AB平面BCD；
(2)平面ACD平面ABD.
证明　(1)在ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝a，
AB2＋BD2＝AD2，
ABD＝90°，ABBD.
又平面ABD平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，AB平面ABD，
AB⊥平面BCD.
(2)折叠前四边形ABCD是平行四边形，
∵AB⊥平面BCD，CD平面BCD.
∵AB∩BD＝B，
CD⊥平面ABD.
又CD?平面ACD，
平面ACD平面ABD.
13.已知BCD中，BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB平面BCD，ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)．
(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF平面ABC；
(2)当λ为何值时，平面BEF平面ACD?
(1)证明　AB⊥平面BCD，
∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，
CD⊥平面ABC.
又＝＝λ(0<λ<1)，
不论λ为何值，恒有EFCD，
EF⊥平面ABC.
又EF平面BEF.
不论λ为何值恒有平面BEF平面ABC.
(2)解　由(1)知，EFBE，
又平面BEF平面ACD，
BE⊥平面ACD，BE⊥AC.
∵BC＝CD＝1，BCD＝90°，
ADB＝60°，AB平面BCD，
AB＝tan 60°＝.
AC＝ ＝ ，
由AB2＝AE·AC得AE＝，
故当λ＝时，
平面BEF平面ACD.
1．线线关系
空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种．
两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况．
(1)证明线线平行的方法
线线平行的定义；
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；
线面平行的性质定理：aα，aβ，α∩β＝ba∥b；
线面垂直的性质定理：aα，bα?a∥b；
面面平行的性质定理：αβ，α∩γ＝a，β∩γ＝ba∥b.
(2)证明线线垂直的方法
线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；
线面垂直的性质：aα，bα?a⊥b；
线面垂直的性质：aα，bα?a⊥b.
2．线面关系
直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种．
(1)证明直线与平面平行的方法
线面平行的定义；
判定定理：aα，bα，ab?a∥α；
平面与平面平行的性质：αβ，aα?a∥β.
(2)证明直线与平面垂直的方法
线面垂直的定义；
判定定理1：l⊥α；
判定定理2：ab，aα?b⊥α；
面面平行的性质定理：αβ，aα?a⊥β；
面面垂直的性质定理：αβ，α∩β＝l，aα，al?a⊥β.
3．面面关系
两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种．
(1)证明面面平行的方法
面面平行的定义；
面面平行的判定定理：aβ，bβ，aα，bα，
a∩b＝Aα∥β；
线面垂直的性质定理：aα，aβ?α∥β；
公理4的推广：αγ，βγ?α∥β.
(2)证明面面垂直的方法
面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；
面面垂直的判定定理：aβ，aα?α⊥β.
4．证明空间线面平行或垂直需注意的三点
(1)由已知想性质，由求证想判定．
(2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．
(3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．
5．“升降维”思想
用降维的方法把空间问题转化为平面或直线问题，可以使问题得到解决．用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以从已知探索未知，是“学会学习”的重要方法．
平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程．
题型一　空间中的平行关系
在本章中，空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．如下图所示是平行关系相互转化的示意图．
例1　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB平面ABCD，MAPB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
当点F是PB的中点时，平面AFC平面PMD，证明如下：如图连接AC和BD交于点O，连接FO，那么PF＝PB.
四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点．OF∥PD.又OF平面PMD，PD平面PMD，OF∥平面PMD.又MA綉PB，PF綉MA.四边形AFPM是平行四边形．AF∥PM.又AF平面PMD，PM平面PMD.AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF平面AFC，OF平面AFC.平面AFC平面PMD.
跟踪演练1　(2013·辽宁高考)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．
(1)求证：BC平面PAC；
(2)设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG平面PBC.
由AB是圆O的直径，得ACBC，由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.
(2)连接OG并延长交AC于点M，
连接QM，QO，由G为AOC的重心，得M为AC中点．
由Q为PA中点，得QMPC，
又O为AB中点，得OMBC.
因为QM∩MO＝M，QM平面QMO，MO平面QMO，BC∩PC＝C，BC平面PBC，PC平面PBC，
所以平面QMO平面PBC.
因为QG平面QMO，所以QG平面PBC.
题型二　空间中的垂直关系
空间垂直关系的判定方法：
(1)判定线线垂直的方法：
计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；
线面垂直的性质(若aα，bα，则ab)．
(2)判定线面垂直的方法：
线面垂直定义(一般不易验证任意性)；
线面垂直的判定定理(ab，ac，bα，cα，b∩c＝Ma⊥α)；
平行线垂直平面的传递性质(ab，bα?a⊥α)；
面面垂直的性质(αβ，α∩β＝l，aβ，al?a⊥α)；
面面平行的性质(aα，αβ?a⊥β)；
面面垂直的性质(α∩β＝l，αγ，βγ?l⊥γ)．
(3)面面垂直的判定方法：
根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；
面面垂直的判定定理(aβ，aα?α⊥β)．
例2　(2014·九江高一检测)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点．
求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；
(2)直线A1F平面ADE.
证明　(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1平面ABC.
又AD平面ABC，所以CC1AD.
又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，
CC1∩DE＝E，
所以AD平面BCC1B1.
又AD平面ADE，
所以平面ADE平面BCC1B1.
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，
所以A1FB1C1.
因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，
所以CC1A1F.
又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，
所以A1F平面BCC1B1.
由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.
又AD平面ADE，A1F平面ADE，
所以A1F平面ADE.
跟踪演练2　(2014·黄石高一检测)如图，A，B，C，D为空间四点．在ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边ADB以AB为轴转动．
(1)当平面ADB平面ABC时，求CD；
(2)当ADB转动时，是否总有ABCD？证明你的结论．
解　(1)取AB的中点E，连接DE，CE，因为ADB是等边三角形，所以DEAB.当平面ADB平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE平面ABC，可知DECE，由已知可得DE＝，EC＝1，在RtDEC中，CD＝＝2.
(2)当ADB以AB为轴转动时，总有ABCD.
证明如下：当D在平面ABC内时，
因为AC＝BC，AD＝BD，
所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即ABCD.
②当D不在平面ABC内时，由(1)知ABDE.
又因AC＝BC，所以ABCE.又DE，CE为相交直线，
所以AB平面CDE，由CD平面CDE，得ABCD.
综上所述，总有ABCD.
题型三　空间角的计算
空间中的角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角(简称线线角、线面角、面面角)．
用直接法：求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算．
(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)．
(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)．
(3)二面角的平面角的作法常有三种：定义法；垂线法；垂面法．
例3　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC＝1，PC＝2，PD＝CD＝2.
(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；
(2)证明平面PDC平面ABCD；
(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．(1)解　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且ADBC.故PAD为异面直线PA与BC所成的角．
又因为ADPD，在RtPDA中，tanPAD＝＝2，
所以异面直线PA与BC所成角的正切值为2.
(2)证明　由于底面ABCD是矩形，故ADCD.
又因为ADPD，CD∩PD＝D，所以AD平面PDC.
而AD平面ABCD，所以平面PDC平面ABCD.
(3)解　在平面PDC内，过点P作PECD交直线CD于点E，连接EB.
由于平面PDC平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE平面ABCD.由此得PBE为直线PB与平面ABCD所成的角．
在PDC中，由于PD＝CD＝2，PC＝2，可得PCD＝30°.
在RtPEC中，PE＝PCsin 30°＝.
由ADBC，AD平面PDC，得BC平面PDC，因此BCPC.
在RtPCB中，PB＝＝.
在RtPEB中，sinPBE＝＝.
所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.
跟踪演练3　
如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的度数；
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．
解　(1)A′C′∥AC，
AO与A′C′所成的角就是OAC.
∵AB⊥平面BC′，OC平面BC′，OC⊥AB，
又OCBO，AB∩BO＝B.OC⊥平面ABO.
又OA平面ABO，OC⊥OA.
在RtAOC中，OC＝，AC＝，sinOAC＝＝，
OAC＝30°.
即AO与A′C′所成角的度数为30°.
如图，作OEBC于E，连接AE.
平面BC′平面ABCD，
OE⊥平面ABCD，
OAE为OA与平面ABCD所成的角．在RtOAE中，OE＝，
tan∠OAE＝＝.
(3)OC⊥OA，OCOB，OA∩OB＝O，
OC⊥平面AOB.
又OC?平面AOC，
平面AOB平面AOC.
即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.
题型四　等价转化思想
通过添加辅助线或面，将空间几何问题转化为平面几何问题，这是一种降维转化思想．
线线、线面、面面的位置关系可以相互转化，使它们建立联系，揭示本质．
点面距、线面距、面面距、点线距之间也可相互转化．例如求点面距时，可沿平行线平移，找到一个合适的点求点面距离，这就体现了“点面距→线面距→点面距”的转化思想．
例4　(2014·衡水高一检测)如图所示，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2，沿对角线BD将ABD折起，使点A移至点P，P在平面BCD内的射影为O，且O在DC上．
(1)求证：PDPC；
(2)求二面角P－DB－C的平面角的余弦值．
(1)证明　P在平面BCD内的射影为O，
则PO平面BCD，
BC?平面BCD，PO⊥BC.
∵BC⊥CD，CD∩PO＝O，BC⊥平面PCD.
DP?平面PCD，BC⊥DP.
又DP⊥PB，PB∩BC＝B，DP⊥平面PBC.
而PC平面PBC，PD⊥PC.
(2)解　PBD在平面BCD内的射影为OBD，
且SPBD＝×6×2＝6，
SOBD＝SCBD－SBOC＝6－×2×OC.
在RtDPC中，
PC2＝DC2－DP2＝24.
设OC＝x，则OD＝6－x，
PC2－OC2＝DP2－DO2，
即24－x2＝12－(6－x)2.解得x＝4.
S△BOD＝6－4＝2.
过点P作PQDB，连接OQ，则DB平面OPQ，
OQP即为二面角P－DB－C的平面角，
cos∠OQP＝＝＝.
所以二面角P－DB－C的平面角的余弦值为.
跟踪演练4　如图所示，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD＝G.
(1)求证：平面B1EF平面BDD1B1；
(2)求点D1到平面B1EF的距离．
(1)证明　连接AC.
正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是正方形，
又ACDD1，且BD∩DD1＝D，故AC平面BDD1B1，E，F分别为棱AB，BC的中点，故EFAC，EF⊥平面BDD1B1，
又EF?平面B1EF，
平面B1EF平面BDD1B1.
(2)解　由(1)平面B1EF平面BDD1B1且交线为B1G，
所以作D1HB1G于H，则D1H平面B1EF，
即D1H为D1到平面B1EF的距离．
B1D1∥BD，D1B1H＝B1GB，
sin∠D1B1H＝sinB1GB＝＝.
D1B1H中，D1B1＝4，sinD1B1H＝，
转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为
一、选择题
1．设a、b为两条直线，α、β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是(　　)
A．若a、b与α所成的角相等，则ab
B．若aα，bβ，αβ，则ab
C．若aα，bβ，ab，则aβ
D．若aα，bβ，αβ，则ab
解析　A中a、b可以平行、相交或异面；B中a、b可以平行或异面；C中的α、β可以平行或相交．
2．(2014·杭州高一检测)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC与直线BC1所成的角为(　　)
解析　连接A1C1，A1B，则ACA1C1，因为A1BC1是正三角形，所以A1C1B＝60°，即直线AC与直线BC1所成的角为60°.
3．(2013·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面(　　)
A．若mα，nα，则mn
B．若mα，mβ，则αβ
C．若mn，mα，则nα
D．若mα，αβ，则mβ
解析　A项，当mα，nα时，m，n可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；
B项，当mα，mβ时，α，β可能平行也可能相交，故错误；
C项，当mn，mα时，nα，故正确；
D项，当mα，αβ时，m可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，故错误．故选C.
4．(2014·浏阳高一检测)设a，b，c是空间的三条直线，给出以下三个命题：
若ab，bc，则ac；若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面；若ab，bc，则ac.其中正确命题的个数是(　　)
解析　借助正方体中的线线关系易知全错；由公理4知正确．
5．(2013·广东高考)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　)
A．若lα，lβ，则αβ
B．若lα，lβ，则αβ
C．若lα，lβ，则αβ
D．若αβ，lα，则lβ
解析　选项A，若lα，lβ，则α和β可能平行也可能相交，故错误；
选项B，若lα，lβ，则αβ，故正确；
选项C，若lα，lβ，则αβ，故错误；
选项D，若αβ，lα，则l与β的位置关系有三种可能：lβ，lβ，lβ，故错误．故选B.
6.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是(　　)
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC平面ABB1A1
C．AE，B1C1为异面直线，且AEB1C1
D．A1C1平面AB1E
解析　由已知AC＝AB，E为BC中点，故AEBC，
又BC∥B1C1，AE⊥B1C1，C正确．
7．(2013·课标全国)已知m，n为异面直线，m平面α，
n平面β.直线l满足lm，ln，lα，lβ，则(　　)
A．αβ且lα
B．αβ且lβ
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
解析　根据所给的已知条件作图，如图所示．
由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D.
8.如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是(　　)
A．BD平面CB1D1
C．AC1平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
解析　AD∥BC，
BCB1为异面直线AD和B1C所成的角．
B1CB＝45°，
AD和CB1所成的角为45°.9．如图，已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为(　　)
解析　由圆M的面积为4π得MA＝2，OM2＝42－22＝12OM＝2，在RtONM中，OMN＝30°，ON＝OM＝，MN＝＝，S圆N＝13π.故选D.
10．(2013·山东高考)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　)
如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，
设O为ABC的中心，由题意知：PO平面ABC，连接OA，则PAO即为PA与平面ABC所成的角．
在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝，
则S＝×()2＝，
VABC－A1B1C1＝S×PO＝，PO＝.
又AO＝×＝1，
tan∠PAO＝＝，
二、填空题
11．设平面α平面β，A、Cα，B、Dβ，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.
解析　由面面平行的性质得ACBD，＝，解得SD＝9.
12.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则C1MN等于________．
答案　90°
解析　B1C1⊥平面A1ABB1，
MN平面A1ABB1，
B1C1⊥MN，又B1MN为直角．
B1M⊥MN而B1M∩B1C1＝B1.
MN⊥平面MB1C1又MC1平面MB1C1
MN⊥MC1，C1MN＝90°.
13．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是________．
答案　90°
解析　如图取BC的中点D，连接AD、B1D，因为ABC－A1B1C1是正三棱柱，所以易得B1D是B1A在平面BCC1B1内的射影，又易得B1DBM，所以B1ABM.
14．下列四个命题：
若ab，aα，则bα；若aα，bα，则ab；若aα，则a平行于α内所有的直线；若aα，ab，bα，则bα.
其中正确命题的序号是________．
解析　中b可能在α内；a与b可能异面；a可能与α内的直线异面．
三、解答题
15.如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．
(1)求证：ACB1C；
(2)求证：AC1平面CDB1.
证明　(1)C1C⊥平面ABC，
∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，AC2＋BC2＝AB2，
又BC∩C1C＝C，
AC⊥平面BCC1B1，
而B1C平面BCC1B1，
(2)连接BC1交B1C于O点，连接OD.如图，O，D分别为BC1，AB的中点，OD∥AC1.又OD平面CDB1，AC1平面CDB1.AC1∥平面CDB1.
16.(2013·课标全国)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．
(1)证明：BC1平面A1CD；
(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥C－A1DE的体积．
(1)证明　连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．
又D是AB中点，连接DF，则BC1DF.
因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.
(2)解　因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD.
由已知AC＝CB，D为AB的中点，
又AA1∩AB＝A，于是CD平面ABB1A1.
由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2得
ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3，
故A1D2＋DE2＝A1E2，即DEA1D.
所以V三棱锥C－A1DE＝××××＝1.
17．在三棱锥S－ABC中，SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E，又SA＝AB，SB＝BC.
(1)求证：BD平面SAC；
(2)求二面角E－BD－C的大小．
如图，DE⊥SC，且E为SC的中点，
又SB＝BC，BE⊥SC.又DE∩BE＝E，
根据直线与平面垂直的判定定理知SC平面BDE，BD平面BDE
又SA平面ABC，BD平面ABC，SA⊥BD.又SA∩SC＝S.
BD⊥平面SAC.
(2)解　由(1)知EDC为二面角E－BD－C的平面角，
又SAC∽△DEC，
在RtSAB中，SAB＝90°，
设SA＝AB＝1，
由SABC，ABBC，AB∩SA＝A，
BC⊥面SAB，SB平面SAB
在RtSBC中，SB＝BC＝，SBC＝90°，则SC＝2.
在RtSAC中，SAC＝90°，SA＝1，SC＝2.
cos∠ASC＝＝.
ASC＝60°，即二面角E－BD－C的大小为60°.
18．如图(1)，在RtABC中，C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图(2)．
(1)求证：DE平面A1CB；
(2)求证：A1FBE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由．
(1)证明　D，E分别为AC，AB的中点，
又DE?平面A1CB，BC平面A1CB，
DE∥平面A1CB.
(2)证明　由已知得ACBC且DEBC，
∴DE⊥A1D，DECD，A1D∩CD＝D，
DE⊥平面A1DC.
而A1F平面A1DC，
又A1F⊥CD，DE∩CD＝D，
A1F⊥平面BCDE，BE平面BCDE，
(3)解　线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.
理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.
又DE∥BC，
∴平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知，DE平面A1DC，A1C平面A1DC，
又P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
A1C⊥DP，DE∩DP＝D，
A1C⊥平面DEP.
从而A1C平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C平面DEQ.
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