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常微分方程:1 ODE解算器简介(ode**)2 微分方程转换3 刚性/非刚性问题(Stiff/Nonstiff)4 隐式微分方程(IDE) 5 微分代数方程(DAE)6 延迟微分方程(DDE)7 边值问题(BVP)偏微分方程(PDEs)Matlab解法偏微分方程:1 一般偏微分方程组(PDEs)的命令行求解2特殊偏微分方程(PDEs)的PDEtool求解3陆君安《偏微分方程的MATLAB解法先来认识下常微分方程(ODE)初值问题解算器(solver)[T,Y,TE,YE,IE] = odesolver(odefun,tspan,y0,options)sxint = deval(sol,xint)Matlab中提供了以下解算器:输入参数:odefun:微分方程的Matlab语言描述函数,必须是函数句柄或者字符串,必须写成Matlab规范格式(也就是一阶显示微分方程组),这个具体在后面讲解tspan=[t0 tf]或者[t0,t1,…tf]:微分变量的范围,两者都是根据t0和tf的值自动选择步长,只是前者返回所有计算点的微分值,而后者只返回指定的点的微分值,一定要注意对于后者tspan必须严格单调,还有就是两者数据存储时使用的内存不同(明显前者多),其它没有任何本质的区别y0=[y(0),y’(0),y’’(0)…]:微分方程初值,依次输入所有状态变量的初值,什么是状态变量在后面有介绍options:微分优化参数,是一个结构体,使用odeset可以设置具体参数,详细内容查看帮助输出参数:T:时间列向量,也就是ode**计算微分方程的值的点Y:二维数组,第i列表示第i个状态变量的值,行数与T一致在求解ODE时,我们还会用到deval()函数,deval的作用就是通过结构体solution计算t对应x值,和polyval之类的很相似!参数格式如下:sol:就是上次调用ode**函数得道的结构体解xint:需要计算的点,可以是标量或者向量,但是必须在tspan范围内该函数的好处就是如果我想知道t=t0时的y值,不需要重新使用ode计算,而直接使用上次计算的得道solution就可以[教程]微分方程转换为一阶显示微分方程组方法好,上面我们把Matlab中的常微分方程(ODE)的解算器讲解的差不多了,下面我们就具体开始介绍如何使用上面的知识吧!现实总是残酷的,要得到就必须先付出,不可能所有的ODE一拿来就可以直接使用,因此,在使用ODE解算器之前,我们需要做的第一步,也是最重要的一步,借助状态变量将微分方程组化成Matlab可接受的标准形式(一阶显示常微分方程)!如果ODEs由一个或多个高阶微分方程给出,则我们应先将其变换成一阶显式常微分方程组!下面我们以两个高阶微分方程构成的ODEs为例介绍如何将之变换成一个一阶显式常微分方程组。step1.将微分方程的最高阶变量移到等式的左边,其他移到右边,并按阶次从低到高排列,假如说两个高阶微分方程最后能够显式的表达成如下所示:我们说过现实总是残酷的,有时方程偏偏是隐式的,没法写成上面的样子,不用担心Matlab早就为我们想到了,这个留在后面的隐式微分方程数值求解中再详细讲解!step2.为每一阶微分式选择状态变量,最高阶除外从上面的变换,我们注意到,ODEs中所有因变量的最高阶次之和就是需要的状态变量的个数,最高阶的微分式(比如上面的x(m)和y(n))不需要给它一个状态变量step3.根据上面选用的状态变量,写出所有状态变量的一阶微分的表达式注意到,最高阶次的微分式的表达式直接就是step1中的微分方程好,到此为止,一阶显式常微分方程组,变化顺利结束,接下来就是Matlab编程了。请记住上面的变化很重要,Matla中所有微分方程的求解都需要上面的变换。下面通过一个实例演示ODEs的转换和求解【解】真是万幸,该ODEs已经帮我们完成了step1,我们只需要完成step2和step3了(1)选择一组状态变量(2)写出所有状态变量的一阶微分表达式(4)有了数学模型描述,则可以立即写出相应的Matlab代码了(这里我们优先选择ode45) 1.x0=[1.2;0;0;-1.];%x0(i)对应与xi的初值2.options=odeset('reltol',1e-8);%该命令的另一种写法是options=options.reltol=1e-8;3.tic4.[t,y]=ode45(@appollo,[0,20],x0,options);%t是时间点,y的第i列对应xi的值,t和y的行数相同5.toc6.plot(y(:,1),y(:,3))%绘制x1和x3,也就是x和y的图形7.title('Appollo卫星运动轨迹')8.xlabel('X')9.ylabel('Y')10.11.function dx=appollo(t,x)12.mu=1/82.45;13.mustar=1-14.r1=sqrt((x(1)+mu)^2+x(3)^2);15.r2=sqrt((x(1)-mustar)^2+x(3)^2);16.dx=[x(2)17.2*x(4)+x(1)-mustar*(x(1)+mu)/r1^3-mu*(x(1)-mustar)/r2^318.x(4)19.-2*x(2)+x(3)-mustar*x(3)/r1^3-mu*x(3)/r2^3];[教程]刚性/非刚性问题(Stiff/Nonstiff)的Matlab解法在工程实践中,我们经常遇到一些ODEs,其中某些解变换缓慢,另一些变化很快,且相差悬殊的微分方程,这就是所谓的刚性问题(Stiff),对于所有解的变化相当我们则称为非刚性问题(Nonstiff)。对于刚性问题一般不适合使用ode45这类函数求解。由于非刚性问题我们使用的多比较多,我们就不多说,下面主要讲解下Stiff看一个例子,考虑下面的微分方程【解】题目中已经帮我们完成了方程组转换,下面我们就直接编程了(1)编写微分方程函数1.odefun=@(t,x)[0.04*(1-x(1))-(1-x(2))*x(1)+0.0001*(1-x(2))^22.-1e4*x(1)+3000*(1-x(2))^2];3.x0=[0 1];4.tspan=[0 100];5.options=odeset('reltol',1e-6,'abstol',1e-8);(2)对于这个刚性问题,我们先使用ode45函数试试(反正我们是没有信心等待它,太慢了) 1.[t,y]=ode45(odefun,tspan,x0,options);toc2.disp(['ode45计算的点数' num2str(length(t))])(3)换用ode15s函数试试看看1.[t2,y2]=ode15s(odefun,tspan,x0,options);toc2.disp(['ode15s计算的点数' num2str(length(t2))])(4)绘图看看结果1.figure('numbertitl1
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浏览：56次（1）一阶微分方程的通解里含有一个任意常数，这个“任意常数”是指他的范围在（-∞，+∞）还是指他仅仅表示一部分或某个未确定的数呢？
（2）上一道题是这样的：（题目不写了）他解到了这一步：lny=(+/-)C1x=cx 然后得出了y=e^cx 而没有写成y=cx,c&0 这样是不是表示c的范围在（-∞，+∞），如果加上了c&0的范围就不表示任意常数从而不满足通解的定义了?
(3）图中的题：答案中貌似C&0？是否满足任意常数呢?
（1）微分方程通解中的“任意常数”并不是一定可以取遍实数的，也不要求它一定要取遍实数。例如通解是：y=√(Cx)，当x≥0时，C只能取非负实数，当x≤0时，C只能取非正实数，这个C仍然是我们所谓的“任意常数”。需要注意的是，当C取遍它可以取的数，一定是得到了微分方程的全部解，不可以少掉一个或几个解的！
（2）问题你没有描述清楚，我只讲后半段，通解：y=(e^C)x是不可以写成y=Cx(C为任意正数)的，没有这种写法的！你写通解y=Cx，人家当然认为C&0时，y=Cx也是方程的解。
（3）图片中方程的通解10^x+10^(-y)=C是正确的，不必去注明C&0的，因为当C≤0时，方程10^x+10^(-y)=C没有解，不确定任何函数，只要C的取值使10^x+10^(-y)=C确定函数，这个函数一定是原来微分方程的解就可以了。
其他答案（共1个回答）
辅导书上更多)；
（3）C的确是正数，如前所述只要任意就行。
常数的微分＝0,对dC=C′*dx=0*dx=0
这个题目和根的性质有关，请看附件
A：(x^2)*y`+x*y^2=0 —— 一阶线性非齐次微分方程；
B：y`+(tany)/(x-siny)=0 ==& dx/dy+x*coty=cosy...
解：方程两边同除以X，得到一个齐次方程
y'+y/x=2√y/x
dy/dx=u+xdu/则可以...
解脲支原体是性病,支原体是性病的一种,支原体是最小的能独立生活的原核生物。能引起人类疾病的支原体称为人类支原体。生殖器支原体感染是近年新明确的一种性接触传播...
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求助这个微分方程怎么解？
A*du/dt = B*du/dx+f(u,t)
没有微分方程的基础，本来想用matlab的pdepe
但是，发现求解有问题，看到help上说pdepe只能解抛物型或者椭圆型的一维偏微分方程
不懂啥叫抛物型或者椭圆型，好像我这个方程不属于。
现在需要求解这个方程，数值解、解析解都可以指点一下怎么做或者用什么软件的什么函数
多谢多谢！
很漂亮的formulation。在这基础上再做数值处理可以很容易形成实用的解决方案。楼主只要给出f（u,t）的具体形式，A和B的数值，x=0 初值等其他条件就可以具体定解了。x=0 的初值条件 可以确定 psi函数。
感谢您这么详细的回答，
f(u,t) = k1*exp(-k2*t)*u
因为没有PDE的基础，还是看不太懂。
这里特征线是什么含义？
c1,c2,psi函数都是什么，要是说起来太复杂，有没有推荐的资料了解一下求解这类偏微分方程的基本思想。
偏微分方程完全没接触过，微分方程包括laplace变换的基础有一点儿
楼主无妨看看下面的PDE的书，它的第二章就提及一阶PDE的求解理论跟过程了。（不过理论性比较强）
看了一下您推荐的书，感觉比较吃力
用mathematica试着解了一下，结果感觉不对。
还想请教一下：
上面说的这个方程
du/dt = -B*du/dx-f(u,t);
f(u,t) = k1*exp(-k2*t)*u;
k1,k2也是常数
初值条件为：u(0,x)=0;
边界条件是这个系统在x=0处的输入，例如设为：u(t,0)=Step(t);
这个方程和条件本身合理么？
解出来的解的大概形式是什么样
我用mathematica解出来的阶跃响应是这个式子：
Exp^(-((Exp^(k2 x) k1)/k2)) UnitStep
感觉不对劲，所以怀疑是不是我微分方程列错了
请问楼主，是询问你开始提到的方程么？
这次楼主看看这个链接：/view/fa0d0c63af1ffc4ffe47ac38.html
我得承认那本书理论性过强，毕竟是数学系学习的偏微分方程用书。
好的，谢谢！
基本概念能理解了，不好意思，再请教一点
du/dt = -B*du/dx-f(u,t);
特征线我用想x(t,C)=Bt+C
代换得到u（t）的方程
方程求得的通解有两个系数，
对应我两个边界条件，
一个是u(0,x)=0
一个是u(t,0)=1（t&0）
这里面u(t,0)=1（t&0）这个边界条件在求解u（t）这个方程的时候应该怎么给呢？
可否把通解写出来看看？
可以的话，楼主无妨把你求得的通解跟定解条件给我看看？
我们在二楼formulation的基础上，进一步给出显示的解析解
对不起，k2应改为k2^(-1)
不好意思，有点儿事儿，一直没上网，感谢您的耐心回复
我用mathematica求解的结果如下：
这个通解看起来非常诡异，
确实有可能我原来的方程有问题
但是用mathematica数值解的结果是下图：
其中，好像用阶跃函数不连续，mathematica出错
所以我用了一个时间常数很小的指数函数g（x）代替
这个波形看起来比较合理，但响应时间也和原来文献中不太一样……
非常感谢您这么详细的回复，
但是我对您的推导有一点疑问
从（520）积分到（521），积分内部的u是t的函数，
为什么可以直接当成常数处理，提到积分号的外面？
的确如楼主所言，这是不能提出来的。在通解表达式中，未知函数出现在积分项里面，是个第二类Fredholm积分方程。一般情形下没法求显式解的。
正如19和20楼所指出，原解有点问题。所以从新做。2楼的特征线还是对的，但第二个首次积分好像有点问题。所幸在4楼给出的f(u,t)可以解析做出。请二位从新审阅
我个人认为第二个首次积分没问题，就是刚好f(u,t)的表达式是G(u)H(t)的形式，所以才能找到显式解，否则只能是一个积分方程了。
非常感谢！
看这个推导太有帮助了
我把结果和之前我用mathmatica数值求解的结果页是完全吻合的。
还行再给看看
还有我不知道怎么给您金币，在回帖里没有找到给金币的选项。
这里少说一句话
就是原始方程是一个二元的，
因为其中u2只有对t的导数，所以我想直接代换，
现在看应该是我代换里有错误
非常抱歉，开始问题描述的有问题
我没意识到！
楼主悬赏的30金币已在5#全部支出，当然就没有给金币的选项了。希望給几楼，给多少；我可以代劳。
显然还没有完全解决，现在问题变了 ：）。
给21楼，30金币，谢谢！
抱歉，是我对微分方程理解有问题造成的，但是您给出的求解过程确实对我帮助很大，谢谢！
现在这个方程我解出数值解了
比我搞错那个方程响应要慢大概一倍……
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微分方程求通解
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微分方程求通解
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