知识点梳理
探索规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键。 1.掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找出隐含的规律； 2.恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“在一次数学活动中，爱动脑筋的小华同学设计了一个几何模型：将一...”，相似的试题还有：
(1)图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为：1+2+3+…+n=_____；(2)运用第(1)题的结论，试求1+2+3+…+99的值；(3)在一次数学活动中，为了求\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{2^{5}}+…+\frac{1}{2^{n}}的值，小明设计了如图3所示的边长为1的正方形图形．请你利用这个几何图形求\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{2^{5}}+…+\frac{1}{2^{n}}的值为_____；(4)运用第(3)题的结论，试求\frac{5}{6}+\frac{11}{12}+\frac{23}{24}+\frac{47}{48}+\frac{95}{96}+\frac{191}{192}的值．
数学问题：计算\frac{1}{m}+\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{m^{3}}+…+\frac{1}{m^{n}}(其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1)．探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．探究一：计算\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+…+\frac{1}{2^{n}}．第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为\frac{1}{2}；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；…第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+…+\frac{1}{2^{n}}，最后空白部分的面积是\frac{1}{2^{n}}．根据第n次分割图可得等式：\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+…+\frac{1}{2^{n}}=1-\frac{1}{2^{n}}．探究二：计算\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+…+\frac{1}{3^{n}}．第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为\frac{2}{3}；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为\frac{2}{3}+\frac{2}{3^{2}}；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；…第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为\frac{2}{3}+\frac{2}{3^{2}}+\frac{2}{3^{3}}+…+\frac{2}{3^{n}}，最后空白部分的面积是\frac{1}{3^{n}}．根据第n次分割图可得等式：\frac{2}{3}+\frac{2}{3^{2}}+\frac{2}{3^{3}}+…+\frac{2}{3^{n}}=1-\frac{1}{3^{n}}，两边同除以2，得\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+…+\frac{1}{3^{n}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2×3^{n}}．探究三：计算\frac{1}{4}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{4^{3}}+…+\frac{1}{4^{n}}．(仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)解决问题：计算\frac{1}{m}+\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{m^{3}}+…+\frac{1}{m^{n}}．(只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)根据第n次分割图可得等式：_____，所以，\frac{1}{m}+\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{m^{3}}+…+\frac{1}{m^{n}}=_____．拓广应用：计算&\frac{5-1}{5}+\frac{5^{2}-1}{5^{2}}+\frac{5^{3}-1}{5^{3}}+…+\frac{5^{n}-1}{5^{n}}．
小明想计算出\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{2^{5}}+\frac{1}{2^{6}}+\frac{1}{2^{7}}的结果，于是设计出下列几何图形，把一个面积为2的正方形等分成两个面积为\frac{1}{2}的矩形，接着把面积为矩形等分成两个面积为\frac{1}{2^{2}}的矩形，再把面积为\frac{1}{2^{2}}的矩形等分成两个面积为\frac{1}{2^{3}}的矩形，如此进行下去，是利用图形揭示的规律计算并说出你计算时所用的数学思想：\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{2^{5}}+\frac{1}{2^{6}}+\frac{1}{2^{7}}．更多频道内容在这里查看
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冀教版_初一_数学_七年级数学上册第二章2.1《从生活中认识几何图形》（2）
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2016届中考数学复习学案：专题复习七+几何图形综合题+题型1+与三角形、四边形有关的几何综合题（人教版含答案）（四川专用）
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几何图形综合题
几何图形综合题是四川各地中考的必考题,难度较大,分值也较大,要想在中考中取得较高的分数,必须强化这类题目的训练.
题型1　与三角形、四边形有关的几何综合题
类型1　操作探究题　　　　　　　　　　
　（;南充）如图,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和D的距离分别为1,2,.△ADP沿点A旋转至△ABP′,连PP′,并延长AP与BC相交于点Q.
（1）求证:△APP′是等腰直角三角形；
（2）求∠BPQ的大小；
（3）求CQ的长.
【思路点拨】　（1）利用旋转?相等的线段、相等的角?△APP′是等腰直角三角形；（2）利用勾股定理逆定理证△BPP′是直角三角形,再利用（1）的结论,得∠BPQ的大小；（3）过点B作BM⊥AQ于M,充分利用等腰直角三角形、直角三角形的性质,特别是锐角三角函数,先求得正方形的边长和BQ的长,进而求得CQ的长度.
【解答】　（1）证明:由旋转可得:AP=AP′,∠BAP′=∠DAP.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°.
∴∠PAP′=∠PAB+∠BAP′=∠PAB+∠DAP=∠BAD=90°.
∴△APP′是等腰直角三角形.
（2）由（1）知∠PAP′=90°,AP=AP′=1,
∵P′B=PD=,PB=2,
∴P′B2=PP′2+PB2.
∴∠P′PB=90°.
∵△APP′是等腰直角三角形,
∴∠APP′=45°.
∴∠BPQ=180°-90°-45°=45°.
（3）过点B作BM⊥AQ于M.
∵∠BPQ=45°,∴△PMB为等腰直角三角形.
由已知,BP=2,∴BM=PM=2.
∴AM=AP+PM=3.
在Rt△ABM中,
∵cos∠QAB==,即=,
在Rt△ABQ中,BQ=...[来自e网通客户端]
备课综合,其他类型综合,初三,全国,2015
审核人：数学阳卫民
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在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示）．设计如图所示的几何图形．（1）请你利用这个几何图形求的值为 ．（2）
悬赏：0&答案豆
提问人：匿名网友
发布时间：
在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示）．设计如图所示的几何图形．（1）请你利用这个几何图形求的值为&&&&&&．（2）请你利用下图，再设计一个能求的值的几何图形．
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<a href="/ask/9420225.html" target="_blank" title="?已知a1,a2,…,an是n个整数,且1=a1 <a2 < … ?已知a1,a2,…,an是n个整数,且1=a1 <a2 < … <an=2016,若a1,a2,…,an中任意n-1个数的平均数仍是整数,求n的最大值.<a href="/ask/9420173.html" target="_blank" title="满足不等式2 <3√(28－√x) 满足不等式2 <3√(28－√x) <3的最大质数x=____.
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确认密码：阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）．
解：（1）根据题意，大矩形的面积为：（a+b+c）（a+b+c）=（a+b+c）2，
各小矩形部分的面积之和=a2+2ab+b2+2bc+2ac+c2，
∴等式为（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）a2+b2+c2 =（a+b+c）2-2ab-2ac-2bc
=112-2×38
（3）如图所示
（1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．
（2）根据利用（1）中所得到的结论，将a+b+c=11，ab+bc+ac=38作为整式代入即可求出．
（3）找规律，根据公式画出图形，拼成一个长方形，使它满足所给的条件．