高数课后习题答案 高数习题册答案 51_高数习题
高等数学(下)习题解答胡世凯四川大学数学学院大学数学(I)微积分---2复习提要1．二次曲面和方程2．多元函数的定义，连续，可微，偏导存在，偏导连续之间的关系 3．隐函数的偏导数（一阶及二阶）4．方向导数、梯度和散度的定义及计算公式 5．多元微分学的几何应用6．多元函数的极值（包括条件极值）7．函数的奇偶性，积分区域对称性与二重积分计算的关系，二重积分的几何意义，三重积分（利用柱面坐标和球面坐标）的计算8．两类曲线积分计算、格林公式、曲线积分与路径无关的条件,利用高斯公式计算曲面积分 9．正项级数、交错级数的敛散性、绝对收敛、条件收敛 10．函数展开成幂级数（间接法），傅立叶级数的收敛定理11．一阶微分方程计算、二阶常系数线性方程的解与特征方程的关系向量及其运算一、填空题：1．设a={3,2,1}, b={2,43,k}.若a^b, 则k-263; 若a//b, 则k322. 已知三点坐标A(3,1,2), B(1,-1,1),C(2,0,k).若A,B,C共线，则k32.3．已知|a|=2, |b|=3,夹角áa,b?=p3, 则|2a-b4. a=2i-j+3k,b=i+3j-k,则|2a-bbaáa,b?5. 设(a′b)× c=2，则[(a+b)′(b+c)]×(c+a. 6. 平行于矢量a={6,-7,6}的单位矢量b(67611,-11,11. 7. 设a={2,1,2}, b={4,-1,10}, c=b-la，且a^c，则l. 二、计算题：1．已知单位向量Pp0与x轴、y轴的交角为3，与z轴的夹角为钝角，又a=2j- k ,试计算：① P0× a P0′a ； ③ (P0′a)×(2P0-3a).解：单位向量Ppp0=(cos,cos,=(1,1,-,ra=(0,2,-1), 所以 ①Pr33222110×a=(2,2,-2×(0,2,-1)=1+2；②P0′r1111a=(12,12,-2′(0,2,-1)=(2-22,22)=(-11,1)； 2-122③ (Prr2(Prr0020′a)×(2P0-3a)=0′a)×P0-3(P0′a)×a=0.2. 设a,b, c均为非零向量，且a=b′c, b=c′a, c=a′b, 求|a|+|b|+|c|.解：根据已知条件，向量a，b，c两两相互垂直,且长度都为1，所以|a|+|b|+|c|=3.3. 若uuuABr=ra+5br , uuuBCr=-2ar+8rb, uuuCDr=3(ar-br), 试证：A，B，D三点在同一直线上.证明：只需证向量uuuABr,uuuADr为共线uuu.通过计算有ADr=uuuABr+uuuBCr+uuuCDr=2ra+10br=2(ra+5rb4. 设a,b为非零向量，|b|=2, áa,b?=p3, 求lim|r)a+xbr|-|ra|x?0x.解：lim|ar+xbr|-|ra|x?0x=x?0=limx=r?0x2rrra×brrrrp x?0=|a|=|b|cosáa,b?=2′3=2p3② ；urrurruuururruuururrp的夹角为,设AB=m+2n,AD=m-3n. 5. 已知设|m|=5,|n|=3,m与n6uuuruuur求以AB,AD为边的平行四边形的面积.uuuruuururrurrurrrururrAB′AD=(m+2n)′(m-3n)=-3m′n+2n′m=-5m′nuuuruuururrurrp175 |AB′AD|=5′|m′n|=5×|m|×|n|×sin=5×5×3×=622rrrrrrrrrr的夹角. 6. 若矢量a+3b垂直于7a-5b,且矢量a-4b垂直于7a-2b,求a与brrrrrrrr×7a-2b)=0,即有根据已知,(a+3b)×(7a-5b)=0,(a-4b)(r2rrr2r2ì|a|?7a+16a×b-15b=0ì?7×k+16×kcosq-15=0)(kT=ír2í2rrr2|b|???7×k-30kcosq+8=0?7a-30a×b+8b=0解：1,所以二者相减可得46×kcosq-23=0Tk=2cosq×()+16×(舍去)×cosq-15=0Tcosq=±Tq=或q=2cosq2cosq233rrrurrr已知三矢量a=(2,3,-1),b=(1,-2,3),c=(1,-2,-7),若矢量d分别与a,b垂直,7. uurrur且d×c=10,求矢量d.解：uuuruuuruuuruuur解： 求以AB,AD为边的平行四边形的面积可以看成计算AB′AD的模.ur设d=(x,y,z),根据条件有rurìa×d=0ì2x+3y-z=0ì2x+3y-z=0ìx=1rur?????bdxyzxyz×=0T-2+3=0T-2+3=0Tííííy=-1 rr?uu?x-2y-7z=10?x-2y-7z=10?z=-1dc×=10?????ur所以矢量d=(1,-1,-1).uuurruuur(2,-1,7),|AB|=34,求点B的坐标. 8. 设向量AB与a=(8,9,-12)同向,且点Auuur设点B的坐标(x,y,z),AB=(x-2,y+1,z-7),根据条件ìx-2y+1z-7(=t)==?9-12í82222 解法一： ?(x-2)+(y+1)+(z-7)=34?(2+8t-2)2+(-1+9t+1)2+(7-12t-7)2=342Tt=2所以点B的坐标为(18,17,-17).uuurruuurrAB=ta...... 解法二： 根据条件|AB|=t|a|Tt=2，rrrrrrprrr已知矢量a,b的模|ab夹角áa,b?=,求以矢量c=5a+2b和49.urrrd=a-3b为边的平行四边形对角线的长.解：rurrrurrrrrurrr求以矢量c和d为边的平行四边形对角线的矢量r1=c+d=6a-b,r2=c-d=4a+5b.rrr=15 |r1|=|6a-b|rrr|r2|=|4a+5br10.设矢量a=2i+3j+4k,b=3i-j-k,(1)求向量a的方向余弦;(2)求向量a在向量b上rrrrr的投影;(3)若||=3,c求向量c,使得三向量a,b,c所构成的平行六面体的体积最大.解：rra(1)向量a的方向余弦(cosa,cosb,cosg)==|a|uurrrrra×b(2)向量a在向量b上的投影Prjbra=|b|rrrr(3)设向量c=(x,y,z),a,b,c所构成的平行六面体的体积为xyzV=234=x+14y-11z,x2+y2+z2=9,即要求计算3-1-1V=x+14y-11z在x2+y2+z2=9条件下的条件极值.令F=x+14y-11z+l(x2+y2+z2-9),对各自变量求导并令为0,ì1ìx=??x=-2l???ì1+2lx=07?y=-?y=m?14+2ly=0? ??lTTííí?-11+2lz=0?z=11?z=222??2l?x+y+z-9=0??1?49121?2+2+2-9=0?1=?4ll4l??lr向量c=(m=m1,m14,±11)高数习题册答案 51_高数习题曲面和空间曲线一、下列方程表示什么曲面：x2y2x2y221．++z=1椭球面; 2．+-z=0椭圆抛物面;9449222223．16x+4y-z=64单叶双曲面; 4．x-y-z=0双曲抛物面 ;222222二、求过两曲面x+y+4z=1与x-y-z=0的交线，而母线平行于z 轴的柱面方程．解：母线平行于z 轴的柱面方程中没有字母z，只需由原两曲面消去z即可．所以所求柱面方程为5x2-3y2=1(双曲柱面).ìy2=6-z三、求曲线í绕z轴旋转所得的旋转面S 的方程，并求出S和锥面z=的交线xOy面?x=0上的投影.解：曲线绕z轴旋转所得的旋转面S 方程为x2+y2=6-z；它和锥面的交线xOy面上的投影为二者连立ìx2+y2=6Tx2+y2=4?消去z，即í??z=0四、求以原点为顶点且经过三坐标轴的正圆锥面方程．ìx2+y2+z2=1解法一：该正圆锥面方程可以看成是顶点在O(0,0,0),准线为空间圆L:í形成的锥面。设L?x+y+z=1xyz上任一点M1(x1,y1,z1), 过O与M1的直线方程为==(即锥面上动点M(x,y,z)满足的方程)，设x1y1z1x1=tx,y1=ty,z1=tz，代入准线方程得到ìt2(x2+y2+z2)=1í++=t(xyz)1?2222消去t得到正圆锥面方程：x+y+z=(x+y+z)ìx2+y2+z2=t2解法二：该正圆锥面方程可以看成由一组空间圆L:í形成的旋转面。消去t得到正圆锥面?x+y+z=t2222方程：x+y+z=(x+y+z)解法三：解：（这里仅求Ⅰ、Ⅶ卦限内的圆锥面，其余类推）Q圆锥的轴l与,等角，故l的方向数为1:1:1 与l垂直的平面之一令为x+y+z=1平面x+y+z=1在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，该圆的圆心111为(,,，故该圆的方程为：333ì?(x-+(y-)+(z-=()3333 í??x+y+z=1它即为要求圆锥面的准线。对锥面上任一点M(x,y,z)，过M与顶点O的母线为：XYZ== xyz令它与准线的交点为(X0,Y0,Z0)，即存在t，使X0=xt,Y0=yt,Z0=zt，将它们代入准线方程，并消去t得：xy+yz+zx=0此即为要求的圆锥面的方程。r解法四：Q圆锥的轴l与i,j,k等角，故l的方向l=(1,1,1)，正圆锥上的任意点M(x,y,z)与顶点O形成的uuuurr向量OM=(x,y,z)与l的方向l=(1,1,1)夹角相等，所以uuuurrrrcos(OM,l)=cos(i,l)=Tx2+y2+z2=(x+y+z)2Txy+yz+zx=0此即为要求的圆锥面的方程。222五、求过两曲面x2+y2+4z2=1 和x=y+z的交线，而母线平行于z 轴的柱面方程． 解：与二题重复六、求下列各平面曲线的旋转曲面方程：ììx2+4y2=1?z=1. í分别绕x轴，y轴旋转；2. í分别绕y轴，z 轴旋转.z=0???x=0222222解：1. 绕x轴旋转：x+4y+4z=1；绕y轴旋转：x+4y+z=1；2. 绕y轴旋转：x2+z2=y；绕z轴旋转：z=2.ìx=acosq?七、求螺旋线íy=asinq在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程．?z=bq?ìx=acosqìx2+y2=1?解：在xOy面上的投影曲线的直角坐标方程: íy=asinqTí;?z=0?z=0?ìx=0zìyasin=??在yOz面上的投影曲线的直角坐标方程: íy=asinqTíb;?z=bq??x=0?ìx=acosqzìx=acos??Tí在zOx面上的投影曲线的直角坐标方程: íy=0b．?z=bq??y=0?平面和空间直线一、求过点P(1,-5,1)和Q(3,2,-l)且平行于y 轴的平面方程． 解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，根据条件：ìA-5B+C+D=0ìA+C+D=0ìC=-D/2???í3A+2B-C+D=0Tí3A-C+D=0TíA=-D/2，所以平面方程为x+z=2. ?A,B,C×(0,1,0)=0?B=0?B=0()???二、求过点(1,0,1)，平面x+y-5z-1=0与2x+3y-z+2=0的交线的平面方程．解一：过直线的平面方程为：x+y-5z-1+k(2x+3y-z+2)=0，由点(1,0,1)可得k=5/3，从而平面方程：13x+18y-20z+7=0.解二：过两平面的法向量的叉积向量为：(1,1,-5)′(2,3,-1)，再由点(1,0,1)可得.ìy=3x+5ìy=4x-7和L2:í都相交的直线方程．?z=2x-3?z=5x+10x+3y-5z-9==它分别与两已知直线共面。根据 解法一：设所求直线方程为L：mnpmnpmnpìx=tìx=t??L1:íy=5+3t，L2:íy=-7+4t可得：132=0；145=0，即??z=10+5t30-123-121??z=-3+2t三、求过点P(-3,5,9)与L1:í20ìn=p?ì4m-2n+p=0ì4m-2n=-p?23TíTí í+-=+=32m7n12p032m7n12p17???m=p?92?x+3y-5z-9直线方程L的方向为：(80,17,92)，直线方程：==801792ìx=tìx=t??解法二：根据L1:íy=5+3t，L2:íy=-7+4t可得?z=-3+2t?z=10+5t??x+3y-5过点P(-3,5,9)和L1的平面方程：0+3z-915-5-3-9=0T4x-2y+z+13=032x+3y-5z-9过点P(-3,5,9)和L2的平面方程：0+3-7-510-9=0T32x+7y-12z+169=0145ì4x-2y+z+13=0直线方程：í32x+7y-12z+169=0?x-1yz+1四、求过点M(3,-2,1)且与直线==垂直相交的直线方程．4-13x-3y+2z-1==解：设所求直线方程为L：。根据条件 mnpmnp4m-n+3p=0，4-13=0T4m-2n-6p=0，从而 n=-9p;m=-3p；2-22所求直线方程为L：五、已知直线x-3y+2z-1== -3-91x-ayz-1==在平面3x+4y-az=3a-1上，求a. -23a解：根据直线上点(a,0,1)满足平面方程或直线方向(3,-2,a)与平面法向垂直，可得a=1六、求点M(-1,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影点的坐标．ìx=-1+t?解：过点M(-1,2,0)与平面x+2y-z+1=0垂直的直线为：íy=2+2t，代入平面方程得到t=-2/3，?z=-t?所以所求点(-5/3,2/3,2/3).七、求直线L:íì2x-4y+z=0在平面4x-y+z=1上的投影直线方程．?3x-y-2z-9=0ì2x-4y+z=01211116?解：首先直线与平面的交点为：í3x-y-2z=9T(x,y,z)=(,-,)；x-y+z=1?ìx=4t?直线上另取一点，如. 过点M(0,-1,-4)与平面4x-y+z=1垂直的直线为：íy=-1-t，代入平面方程得?z=-4+t?到t=2/9，所以所求点(8/9,-11/9,-34/9).根据两点式方程有16x-y+z-x-y+z-==T==-12-330-2370--+--x+1y+3z==相交，求此直线312八、若直线过点M(-1,0,4)平行于平面3x-4y+z-10=0且与直线L: 方程．解：设所求直线方程为L：x+1yz-4==。根据条件3m-4n+p=0； mnpmn3103px+1yz-42=0T-2m-12n+9p=0，从而m=6p/11,n=29p/44，直线方程为L==2429444ìx+y-z+1=0的距离．?2x-y+z-4=0九、求点P(3,-1,2)到直线L:íìx=1?解：直线化为参数方程L:íy=-2+t，求点P(3,-1,2)到直线的距离为：?z=t?d=|(0,1,1)′(2,1,2)||(1,2,-2)|==|(0,1,1)||(0,1,1)|ìx=1-tx-2y+2z-3?==, L2:íy=-1+2t . 十、设有两直线L1:1m2?z=-1-3t?1 ．试问m 为何值时，直线L1和L2相交；2 ．当L1和L2相交时，求过L1和L2的平面方程．1m2解：1 ．直线L1和L2相交：-12-3=0Tm=7；-11-4rirjrk2．当L1和L2相交时，过L1和L2的平面方程的法方向为．172=(-25,1,9)，所求方程为：-12-3-25(x-2)+(y+2)+9(z-3)=0T-25x+y+9z+25=0.十一、已知直线L1:x=t+1,y=2t-1,z=t与L2:x=t+2,y=2t-1,z=t+1,求直线L1与L2 之间的距离．解：两直线相互平行，所以可计算点(2,-1,1)到L1的距离即可：d=|(1,2,1)′(1,0,1)||(2,0,-2)|==|(1,2,1)||(1,2,1)|ìy-z+1=0的垂线，求此平面的方程．?x=0解：设平面方程为A(x-1)+B(y+1)+C(z-1)=0．由它与平面z=0垂直，可得C=0，方程为：ìx=0?A(x-1)+B(y+1)=0；过(1,-1,1)与直线L:íy=-1+t垂直的平面方程为：?z=t?y+z+2=0, 直线L与它的交点为：(0,-3/2,-1/2),代入方程A(x-1)+B(y+1)=0得到B=-2A，所求平面的方程为：x-2y-3=0.x-1yz十三、直线L:==绕z轴旋转一周，求旋转曲面的方程．011ìx=1x-1yz?解：L:==的参数方程为L:íy=t，绕z轴旋转的旋转曲面方程：011?z=t?十二、设一平面垂直于平面z=0，并通(1,-1,1)到直线L:íìx=q??222íy=qTx+y-z=1 ?z=t??高数习题册答案 51_高数习题十四、证明：平面 6x+3y-2z+12=0通过直线证明：直线上找两点满足平面方程即可。x+3yz+3== -263x-1yzxyz+2==与L2:== 之间的距离． 0112-10rrrijkr解：与直线方向都垂直的方向为：n=011=(1,2,-2)过L1且与L2平行的平面方程为：2-10十五、求异面直线L1:x+2y-2z-1=0。所求距离为点(0,0,-2)到平面的距离，即：d=|0+0+4-1=0|=1。|(1,2,-2)|11多元函数的基本概念一、单项选择题：11xy-x21．已知f(,=，则了f(x,y)=( D ).yxx-2yx-yx-yy-xy-xA. B. C ． D． 2222xy-2xxy-2yxy-2xxy-2y2．lim(2+xy)x?2y?-122-121y+xy= ( C ).12A . e B. -23 . lim(x+yx?￥y?￥22D. ￥ 3在(0,0)处连续．A. 0 B. 3 C.4．如果定义f(0,0)=( B ), 则函数f(x,y)=A.11B. - C. 4D. -4 44二、写出下列函数的定义域，并绘出定义域的图形： 1. 2;2. z=a&0,b&0)3. z=ln(y-x)+R&r&0).三、求下列极限：y122. limx?0y?01-cos(x2+y2)(x+y)e22x2y2;x?￥y?￥4.lim.x?2y四、求下列函数的间断点：y2+2x1. z=2;y-2x解：间断点满足y2=2x，即此抛物线上的所有点都是间断点. 2. z=ln(1-x2-y2).解：间断点满足1-x2-y2=0Tx2+y2=1，即单位圆上的所有点都是间断点.ìx2y,x2+y210?33五、证明：函数f(x,y)=íx+y在(0,0)点不连续．?0,x2+y2=0 13偏导数一、单项选择题：1. f(x,y)在(x0,y0)点连续是f(x,y)在(x0,y0)点两个偏导数fx￠(x,y),fy￠(x,y)存在的(D ).A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件2 ．函数f(x,y)在(0,0)点连续的充分必要条件是(A )A. f(x,y)=f(0,0)+a, lima=0 B. f(x,y)关于x 连续, 且关于y 连续x?0y?0C. lim[limf(x,y)]=f(0,0) D. lim[limf(x,y)]=f(0,0)x?0y?0y?0x?0ìxy22xy,+10?223．二元函数f(x,y)=íx+y在点(0,0) 处 ( C )?0,x2+y2=0?A．连续，偏导数存在 B．连续，偏导数不存在C．不连续，偏导数存在 D．不连续，偏导数不存在 二、填空题：?z 1. 设z=xlny, 则?y2. 若u=,则?u?zp(0,0,)4x?2z1-x3．若z=esin, 则在点(2,处的y?x?yp三、求下列函数的偏导数：u2+v2; 1 . z=2.z3.4. u=ln14四、解答题：1. f(x,y)=ln(x+lny)，求f(1,e),f(1,e);2223. f(x,y,z)=xy+yz+zx，求fxx(0,0,1),fxz(1,0,2),fyz(0,-1,0),fzzx(2,0,1); 解：fxx(x,y,z)=2zTfxx(0,0,1)=2; fxz(x,y,z)=2xTfxz(1,0,2)=2;fyz(x,y,z)=2zTfyz(0,-1,0)=0; fzzx(x,y,z)=0Tfzzx(2,0,1)=0.?2zy; 4．z=arctan, 求?3z5. z=xlnxy，求2.15高数习题册答案 51_高数习题全微分一、选择题：1．已知(axy3-y2cosx)dx+(1+bysinx+3x2y2)dy为某函数的全微分，则a和b的值分别等于( B )A．-2和2 B. 2和-2 C．-3和3 D. 3和-3 2．考虑二元函数的下面4 条性质：① f(x,y)在点(x0,y0)处连续；② f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数相等； ③ f(x,y)在点(x0,y0)处可微；④ f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在． 若用“PTQ”表示可由性质P推出性质Q，则有( 无答案 )A．②T③T① B．③T②T① C．③T④T① D．③T①T④二、填空题：，则df(1,1,1)x+y2．设f(x,y)=arctan, 则dfx-y1. 设f(x,y,z)=xy3. 函数z=e，当x=1,y=1,Dx=0.15,Dy=0.1时的全微分为e/424. 的三、求下列函数的2 . (当x = l，y=2时); 3 .du=sin(x+y)exy(xdy+ydx)+exycos(x+y)(dx+dy)=e[ysin(x+y)+cos(x+y)]dx+e[xsin(x+y)+cos(x+y)]dyxyxy解：yz四、设f(x,y)可微，且f(x,2x)=x,f(x,2x)=x,求f(x,2x).ìx2-y2,x2+y210?xy22￠￠(0,0)1fyx￠￠(0,0). 五、设函数f(x,y)=íx+y，证明：fxy?0,x2+y2=多元复合函数的求导法则一、填空题：1．设z=u+v,而u=x+y,vx-2y3222. 设z=e,而x=sint,y=t3. 设z=arctan(xy),而y=ex,eax(y-z)4. 设u=,而y=asina2+1二、求下列函数的一阶偏导数：xy221. u=f(x-y,e);?2z?2z?2z三、求下列函数的2,,, (其中f 具有二阶连续偏导数):?x?x?y?y21．z=f(xy2,x2y);2．四、解答题：1．设f 和g 为连续可微函数，u=f(x,xy),v=g(x+xy),求?u?v×; xy?2u?2u2．设u=yf(+xg( 其中f 和g 具有二阶连续导数，求 x2+y;?x?y?2z3．设z=f(2x-y)+g(x,xy),f(t)二阶可导，g(u,v)有连续二阶偏导数，求;?x?y?z; 4．设z=f(esiny,x+y),其中f(x,y)具有二阶连续偏导数，求x22?2z15．设z=f(xy)+yj(x+y), 其中f , j 具有二阶连续导数，求;?x?y6．设函数z=f(x,y)在点(1, l)处可微，且f(1,1)=1,?f?x=2,(1,1)?f?y=3, j(x)=f(x,f(x,x)),求(1,1)d3j(x); dx?z?z2?z化简为=0(a11). 7．试用线性变换x=x+at,h=x-at 把方程2=a2五、证明题：1．设w=f(,),证明：xxy?w?w?w+y+z=0; +y=2z. 2．设z=xj(2验证 2x高数习题册答案 51_高数习题s-+t?2u?2z?2u?2z3．设u=f(x,y)有连续二阶偏导数，x=,y=,证明：2+2=2+2?t4．设z=y1?z1?zz+=. , 其中f 为可导函数，验证： 222隐函数的求导公式一、填空题：2221．已知cosx+cosy+cosz=1，其中，则ydy2．已知=arctan,则xdxx3．函数z=z(x,y)是由方程z=j(,y)所确定的函数，其中j具有连续的一阶偏导数，则z=确定的函数z=z(x,y)在点(1,0,-1)处的全微分?z?z,.?x?y二、计算由下列方程所确定的隐函数的一阶偏导数2.xz=ln. ?2z?2z三、计算由下列方程所确定的隐函数的二阶偏导数2,.?x?x?y331. z-3xyz=a;(a为常数)z2. 0.四、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数．22ìdydz?z=x+y, 求,. 1. 设í222dxdx?x+2y+3z=20uì?u?u?v?v?x=e+usinv,,,. 2. 设í, 求u?x?y?x?y?y=e-ucosv3 ．设u=f(x,y,z),j(x2,ey,z)=0,y=sinx, 其中f, j都具有一阶连续偏导数，且?jdu10,求. dx五、证明题：1．设z=f(x,y)是由方程F(x+xz?z?z,y+)=0所确定，证明：x+y=z-xy.?y2．设F(u,v)具有连续偏导数，证明：由方程F(cx-az,cy-bz)=0所确定的函数z=f(x,y)满足a?z?z+b=c.微分法在几何上的应用一、填空题：1．设在椭球面x2+2y2+3z2=21上，某一点的切平面过直线L:x-6y-32z-1==,则此切平面方ì3x2+2y2=12绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为 2．由曲线íz=0二、选择题：1．已知曲面z=4-x-y在点P处的切平面平行于平面2x+2y+z-1=0，则点P的坐标是(C )A. (1, -1,2) B.( -1 , 1,2) C. (l , 1 , 2 ) D. (-l, -1 , 2 )22ìx=t?22 .在曲线íy=-t的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线(A )?z=t2?A．只有一条 B．只有两条 C．至少有三条 D．不存在3．设函数f(x,y)在点(0, 0)附近有定义，且fx(0,0)=3,fy(0,0)=1,则( C )高数习题册答案 51_高数习题A．dz(0,0)=3dx+dyB．曲面z=f(x,y)在点(0,0,f (0,0)) 的法向量为｛3 , 1 , 1 }ìz=f(x,y)C．曲线í在点(0,0,f(0,0))的切向量为｛1 ,0 , 3 }y0=?ìz=f(x,y)D．曲线í在点(0,0,f(0,0))的切向量为｛3 , 0 , l }?y=0看成xoz坐标面的平面曲线z=f(x,0)在x=0初的导数为3，因而在该平面内存在切线。三、解答题：1．求曲线x=t-sint,y=1-cost,z=4sin 高数下册课后习题答案tp在点(-1,1,处的切线和法平面方程. ìx2+y2+z2-3x=02．求曲线í在点(l,1,1)处的切线及法平面方程．2x-3y+5z-4=02223．求椭圆球面上平行于平面的切平面方程．ìx+y+b=04．设直线L: í在平面S上，且平面S又与曲面z=x2+y2相切于点(1,-2,5)，求a,b的?x+ay-z-3=0值．解：曲面z=x2+y2在点(1,-2,5)的切平面为(2x,2y,-1)|(1,-2,5)×(x-1,y+2,z-5)=0，即ìx=t?2x-4y-z-5=0，为平面S的方程。又直线L：íy=-b-t在平面S上，有?z=-ab-3+(1-a)t?(2,-4,-1)×(1,-1,1-a)=0Ta=-5，2x-4y-z-5=0|(0,-b,-ab-3)Tb=-2.方向导数与梯度ìy=1-2xì5x-3y+3z-9=0?在点(1, -1, -2)处的切线与直线1．设曲线í的夹角为j ，则j的值应为152íz=-x?3x-2y+z-1=0??22( B )pppC． D． 2域内可微分，则在点(x, y)处有grad(uv)=( B ).A.gradu×gradv B. u×gradv+v×gradu C. u×gradvD D. v×graduA. 0 B．三、计算题：1．求函数u=ln(x+y)在抛物线y2=4x上点(1,2)处，沿着抛物线在该点处偏向x轴正方向的切线方向的方向导数．2．求函数u=xy2+z3-xyz在点(1,1,2)处沿方向角a=ppp,b=,g=方向的方向导数.3．设f(x,y,z)=x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z，求gradf(0,0,0)及gradf(1,1,1).解：函数的方向导数：gradf=(2x+y+3,4y+x-2,6z-6)gradf(0,0,0)=(3,-2,-6),gradf(1,1,1)=(6,3,0)r2224．设n是曲面2x+3y+z=6在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量，求函数u=P处沿r方向n的方向导数．多元函数的极值及其求法一、填空题：1．函数f(x,y)=2x+ay+4xy+2y在点(-1,l)处取得极值，则常数a2．函数z=xy在附加条件x+y=1下的3．函数z=x+4xy+9y-x-3y的极小值二、设函数f(x,y)=22222，则以下结论A．点(0,0)是f(x,y)的驻点B．点(0,0)不是f(x,y)的驻点，而是极值点 C．点(0,0)不是f(x,y)的极值点，而是可微点 D．点(0,0)不是f(x,y)的极值点，也不是驻点三、在椭圆x2+4y2=4上求一点，使它到直线2x+3y-6=0的距离最短．x2y2z2五、在第一卦限内作椭球面2+2+2=1的切平面，使得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小，abc求切点的坐标．高数习题册答案 51_高数习题高等数学(下)习题解答 胡世凯1 a 2b 2 c 2 ,即为最小值 U = × 6 x0 y0 z0 x y0 z 1 a 2b 2 c 2 令f = · + l (1 - 0 - 2 - 0 ), 设f x0 = f y0 = f z0 = f l = 0,则有 2 6 x0 y0 z0 a b c2 ì 1 a 2 b 2 c 2 -1 l 2 x0 · - 2 =0 ? 8 y0 z0 x02 a a ? 解得：x0 = , y0 = ? 1 a 2b 2c 2 -1 2l 2 y0 3 · 2=0 ? y0 b2 3 ? 6 x0 z0 ， l=3abc í 2 2 2 2 4 2l z 0 ? 1 a b c -1 a b ? 6 x y · z 2 - c2 = 0
所求点为( , , 0 0 0 ? 3 3 2 2 2 ? x0 y0 z0 ? 2 + 2 + 2 =1 b c ?a b c , z0 = , 3 3c ), 极值为 3abc 3六、抛物面 z = x 2 + y 2 被平面 x + y + z = 1 截成一个椭圆，求原点到椭圆的最长和最短距离．解：只需求 S = x 2 +y 2 +z2在条件z = x 2 + y 2 , x + y + z = 1下的最小值 ，令 F = x 2 +y 2 +z2 +l1(x 2 + y 2 - z )+l2(x + y + z - 1) ，对各变量求导并令其为 0， ì2 x+2l1 x+l2 = 0 ? ?2 y +2l1 y +l2 = 0 ? í2 z - l1 +l2 = 0 T ? 2 2 ?z = x + y ?x + y + z = 1 ? ì2 x+2l1 x+l2 = 0 ? ì 1 6 ?2 y +2l1 y +l2 = 0 ? x = y = - ± ? ? 2 4 代入 í2 z - l1 +l2 = 0 T í 5 6 ? ?z = m 2 2 ?z = x + y ? 4 2 ? ?x + y + z = 1 ?1 6 2 5 6 2 69 3 6 S = 2(- ± ) +( m ) = m 2 4 4 2 16 4 1 6 1 6 5 6 可知在点 ( - + ,- + , ) 处距离最短 2 4 2 4 4 2最小值为 S = 可知在点 ( -1 6 2 5 6 2 69 - 12 6 2(- + ) +( ) = 2 4 4 2 41 6 1 6 5 6 69 + 12 6 ,- , + ) 处距离最长 ，最小值为 S = 2 4 2 4 4 2 4七、设 z = z ( x, y ) 是由 x 2 - 6 xy + 10 y 2 - 2 yz - z 2 + 18 = 0 确定的函数，求 z = z ( x, y ) 的极值点和极值．解：将方程两边分别对 x,y 求偏导 x - 3y 2 x - 6 y - 2 yz x - 2 zz x = 0 T z x = y+z -6 x + 20 y - 2 z - 2 yz y - 2 zz y = 0 T z y = 3 x - 10 y + z y+zìx - 3y = 0 ì x = ±9 ? ? T í y = ±3 ，驻点为(9,3,3)和(-9, -3, -3). í3 x - 10 y + z = 0 ? x 2 - 6 xy + 10 y 2 - 2 yz - z 2 + 18 = 0 ? z = ±3 ? ?31高等数学(下)习题解答 胡世凯x - 3y 3 x - 10 y + z , zy = 有 y+z y+z -10( y + z ) - (3x - 10 y + z )(1 + z y ) 3( y + z ) - ( x - 3 y )(1 + z y ) ( y + z ) - ( x - 3 y) z x z xx = , z xy = , z yy = 2 2 ( y + z) ( y + z) ( y + z )2 1 1 5 1 从而对驻点(9,3,3)， A = & 0, B = , C = , B 2 - AC = & 0 ，所以函数在(9,3,3)处有极小值； 6 2 3 36 1 1 5 1 对驻点(-9, -3, -3)， A = - & 0, B = - , C = - , B 2 - AC = & 0 ，所以函数在(-9, -3, -3)处有极大 6 2 3 36根据 z x = 值.32高等数学(下)习题解答 胡世凯二重积分的概念与性质一、利用二重积分的几何意义，确定下列二重积分的值． 1． òò (4 - x 2 + y 2 )ds ，其中 D : x 2 + y 2 ￡ 4 ；D1 40 解：可以看成一个圆柱减去圆锥得到，所以积分为 4 × p × 4 - p × 4 × 2 = p . 3 3 2． òò ( a 2 - x 2 - y 2 )ds ，其中D1 解：可以看成一个球的 1/8，所以积分为 p a 3 . 6 二、比较二重积分的大小． 1． I1 = òò ln 3 ( x + y )ds , I 2 = òò ( x + y )3 ds , I3 = òò sin 3 ( x + y )ds ，D D D1 其中 D = {( x, y ) | x 3 0, y 3 0, ￡ ( x + y ) ￡ 1}. 2 3 3 解：在 D 内， ( x + y ) 3 sin ( x + y ) 3 ln 3 ( x + y ) ü I 2 3 I3 3 I1 2． òò ln( x + y )ds 与òò [ln( x + y )]2 ds , 其中 D 是矩形闭区域： 3 ￡ x ￡ 5, 0 ￡ y ￡ 1.D D解：在 D 内， x + y & e T ln 2 ( x + y ) 3 ln( x + y ) T òò ln 2 ( x + y )ds 3 òò ln( x + y )dsD D三、利用二重积分的性质估计积分的值： I =解: D 的面积为 s = (10 2) 2 = 200 ，ds . 100 + cos 2 x + cos 2 y | x|+| y |￡10òò1 1 1 ￡ ￡ 2 2 102 100 + cos x + cos y 100 200 200 T ￡I￡ T 1.96 ￡ I ￡ 2 102 100 四、设 f ( x, y ) 为连续函数，求 I = lim+r ?01 pr 2x2 + y 2 ￡ r 2òòf ( x, y )ds .解:根据积分中值定理，则至少存在一点 (x ,h ) ? D, 使 所以òòDf ( x, y )ds = f (x ,h ) s ，根据函数的连续性，I = lim+r ?01 pr 2x2 + y2 ￡ r 2òòf ( x, y )ds = lim+r ?01 f (x ,h ) × pr 2 = f (0, 0). 2 pr33高等数学(下)习题解答 胡世凯二重积分的计算(1) 一、计算下列二重积分: 1. òò ( x + y ) sgn( x - y )dxdy ，其中 D = {( x, y ) | 0 ￡ x ￡ 1, 0 ￡ y ￡ 1}.D解： òò ( x + y) sgn( x - y)dxdy = òò ( x + y )( x - y)dxdy - òò ( x + y )( x - y )dxdyD D1 2 D2= òò ( x - y )dxdy - òò ( x - y )dxdy = ò dxò ( x - y )dy - ò dx ò ( x 2 - y 2 )dy2 2 2 2 2 D1 D2 0 0 0 x 1 2 2 1 3 1 1 3 2 ò0 x dx + ò0 ( 3 x - x + 3)dx = 3 3 2. òò ( x + y )dxdy ，其中 D = {( x, y ) |由y = x 2 , y = 4 x 2 , y = 1所围}.1x11=D解： òò ( x + y )dxdy = ò dx ò 2 ( x + y )dy = ò (3x 3 +D -1 x -114 x211 15 4 x )dx = 15ò x 4 dx = 3 0 23.òò | y - xD D 1 12| dxdy ，其中 D = {( x, y ) | 0 ￡ x ￡ 1, 0 ￡ y ￡ 1}.解： òò | y - x 2 | dxdy = òò ( y - x 2 )dxdy - òò ( y - x 2 )dxdyD2 D1= ò dx ò 2 ( y - x2 )dy - ò dx ò ( y - x2 )dy0 x 0 01x23 1 1 1 1 1 3 = ò ( x4 - x2 + )dx + ò x4 dx = + = 0 2 2 2 0 5 10 1014． òò eD1 - y2 2dxdy ，其中 D是由x=1,y = 0, y = x所围成的面积. dxdy = ò e1 1 - y2 2 0解： òò eD1 - y2 2dy ò 2 dx = ò (1 - y 2 )ey 0111 - y2 2dy = ......二、更换下列积分次序． 1. I= ò dx ò0 1 2 x- x2 0 x2f ( x, y )dy + ò dx ò1 8 8 2 x22- x0f ( x, y )dy =ò dy ò012- y1+ 1- y 2f ( x, y )dy2. I= ò dx ò01xf ( x, y )dy + ò dx ò f ( x, y )dy =2a 2 ax 2 ax - x 2 03. a & 0, I = ò dx òf ( x, y )dy = f ( x, y )dy + ò dy ò0 a 2a a + a 2 - y 2 y2ò4. I = ò dy ò0 4a0dy ò 1a - a2 - y 2 y22af ( x, y )dy + ò dy ò 1a 2 2- 4- x 2 0 02a82ay2f ( x, y )dy4 y - y2- 4- y sin x x - sin 2f ( x, y )dx =ò ò1 00-2dx ò4 - x20f ( x, y )dy + ò dx ò0 -1f ( x, y )dy f ( x, y )dx5. I = ò dx ò0pf ( x, y )dy =dy òp - arcsin yarcsin yf ( x, y )dx + ò dy òp-2arcsin y34高等数学(下)习题解答 胡世凯三、设 f(x,y)在[a,b]上连续, 证明： [ò f ( x)dx ]2 ￡ (b - a )ò f 2 ( x)dx.a abb证明：令 F (t ) = (t - a ) ò f 2 ( x )dx - [ ò f ( x )dx]2 , F (a) = 0,a attF ￠(t ) = ò f ( x )dx + (t - a ) f (t ) - 2 f (t ) ò f ( x)dx2 2 a att= ò f 2 ( x)dx - 2ò f (t ) f ( x )dx + ò f 2 (t )dx = ò [ f (t ) - f (t )]2 dx 3 0a a a atttt所以函数 F(t)为单调不减函数，故结论成立。35高数习题册答案 51_高数习题二重积分的计算(2)一、化下列二次积分为极坐标形式的二次积分． 1．1dx1f(x,y)dy二、利用极坐标计算下列二重积分．1．òò，其中D={(x,y)|p2￡x2+y2￡4p2}.2．I=òòx2+y2dxdy，其中D={(x,y)|x2+y2￡1,x+y31}.3．I=òò+2)dxdy，其中D={(x,y)|x2+y2￡1,x30,y30}.三、求由平面z=x-y,z=0与柱面四、设闭区域D:x2+y2￡y,x30,f(x,y)为D上连续函数f(x,y)=-8pòòf(u,v)dudv, 求f(x,y).D36且，五、求I=òòx[1+yf(x2+y2)]dxdy, 其中D是由y=x3,y=1,x=-1所围成的，f是连续函数．D37二重积分的应用一、求由球面x2+y2+z2=4a2和柱面x2+y2=2ax所围的且在柱面内部部分的体积．二、求由曲面z=和曲面z=x2+y2所围成的立体的三、求球面x2+y2+z2=25被平面z=3所分成的上半部分曲面的面积．五、设有一半径为R的空球，另有一半径为r 的变球与空球相割，如果变球的球心在空球的表面上，问r 等于多少时，含在空球内变球的表面积最大？并求出最大表面积的值．2222ì?x+y+z=R解：变球与空球相交线为í2，它在xoy面投影为： 222??x+y+(z-R)=r38六、求坐标轴与2x+y=6所围成三角形均匀薄片的重心．p围成一平面薄片D，面密度r(r,q)=r2，求它的质量． x2y2八、求均匀椭圆2+2￡1关于直线y=mx的转动惯量，并求使转动惯量最小的m值．ab转动惯量等于转动质量与其至转动中心距离的平方的积；刚体的转动惯量是由质量、质量分布、转轴位置三个因素决定的。如果你知道什么是惯性，就能理解什么是转动惯量。 惯性：保持原来匀速直线运动状态或者静止状态的性质，惯性（质量）越大越难改变（容易保持）转动惯量：保持原来匀速圆周运动状态或者静止状态的能力。举个例子：呼啦圈转动时不难停下，但大型机床上的带动轮转起来后你能轻易使它停下吗？转动惯量的单位为千克米2,符号为kg.m2。七、由螺线r=q与直线q=39九、求面密度为常数r的均质半圆环薄片：￡x￡z=0对位于z轴上点M0(0,0,a) (a & 0)处单位质量的质点的引力F .40高数习题册答案 51_高数习题三重积分的概念及其计算一、设W1为：x2+y2+z2￡R2,z30;W2为：x2+y2+z2￡R2,x30,y30,z30，则( C )A. C.二、计算I=2W是由z=0,y+z=1及y=x所围成的立体 其中ydxdydz,òòòòòòxdxdydz=4òòòxdxdydzW1W2B. D.òòòydxdydz=4òòòydxdydzW1W2òòòzdxdydz=4òòòzdxdydzW1W2òòòxyzdxdydz=4òòòxyzdxdydzW1W2三、计算I=òòòycos(x+z)dxdydz,其中W是由y=z=0,y=0,x+z=p所围成的立体． 2四、计算I=òòòxydxdydz,其中W是由z=xy,x+y=1及z=0所围成的立体．五、计算I=òòòxz20,0,1其中W是由x=z=z=-y及x=所围成的立体． dxdydz,2(1+y)六、计算I=òòòe|z|dxdydz,其中W是由x2+y2+z2￡1所围成的立体．七、计算I=òòòxdxdydz,其中W是由z=xy,x+y+z=1及z=0所围成的立体．利用柱面、球面坐标计算三重积分一、计算I=,其中W是由z=x2+y2,z=所围成的立体．二、计算I=òòòxzdxdydz,其中W是由z=z=12-x2-y2所围成的立体．ìy2=2z三、设Ω为曲线í绕z轴旋转一周形成曲面与平面z=4所围成的区域，求?x=0I=òòò(x2+y2+z)dv。四、òòò(x+z)dxdydz，其中Ω是由曲面z=及z=所围成的所围立体.22322五、计算I=òòòsin(x+y+z)dxdydz，其中Ω是由曲面z=及W六、计算I=òòò+W)dxdydz，其中Ω是由曲面z2=x2+y2, 222x+y+z222七、计算I=，其中Ω是由曲面x2+y2+z2￡2z所围成的所围立体.八、将I=òòòf(x,y,z)dxdydz表示成柱面坐标系和球面坐标系的累次积分，其中Ω是由W2z=x2+y2,z=2,z=1所围成的所围立体. 在球面坐标系下,三重积分的应用一、一物体由圆锥和与圆锥共底的半球拼成，圆锥的高等于球的半径a，物体上任一点处的密度等于该点到圆锥顶点的平方，二、设有一半径为R的球体，P0是此球表面上的一定点，球体上任一点的密度与该点到P0三、设球在动点P(x,y,z)处的密度与该点到球心距离成正比，求质量为m的非均匀球体2222高数习题册答案 51_高数习题z=h(h&0)为界面，在原点处有一质量为m的质点，求圆柱筒对原点的引力．xvu1x五、证明òòòf(t)dtdudv=ò(x-t)2f(t)dt.00020vuvvv思路：从改变积分次序入手．Qòduòf(t)dt=òdtòf(t)du=ò(v-t)f(t)dt,tò[ò(òf(t)dt)du]dv=òdvò(v-t)f(t)dt=òdtòxvuxvxxt1x(v-t)f(t)dv=ò(x-t)2f(t)dt.20六、设f(x)在[0,1]上连续，试证:òòòx11yx11f(x)f(y)f(z)dxdydz=[òf(x)dx]3.60对弧长的曲线积分一、求曲线x=etcost,y=etsint,z=et以t = 0到任意点间那段弧的质量，设它各点的密度与二、计算下列曲线积分：1．,L:x=a(t-sint),y=a(1-cost) (0￡t￡2p)2.(x+y)ds,L:顶点为O(0,0),A(1,0),B(0,1)的三角形边界；3.òL,L:由曲线r=a,q=0,q=p所围成的区域的边界； 44. ò(x+y+z)ds,L:直线AB:A(1,1,0),B(1,0,0)及螺线BC:x=cost,y=sint,z=t(0￡t￡2p)组Ly=0所围成的第一象限部分的ìx+y+z=a四、求I=ò,其中L满足í.x-y=0L2五、求?òxds,其中L是由直线x=0,y=x及曲线2-y=x所围成的第一象限部分的闭路.对坐标的曲线积分一、设一质点处于弹性力场中，弹力方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，比例x2y2系数为k，若质点沿椭圆2+2=1从点(a,0)移到点(0,b)(第一象限内), 求弹力所做的功．二、求曲线积分I=ò(x2+2xy)dx+(y2-2xy)dy, L是一段抛物线y=x2(-1￡x￡1)沿x增加L方向．2三、计算I=+xeydy，其中L为曲线y=上从点O(0,0)到点(1,1)的一段弧．四、求I=(x2+y2)dx+(x2-y2)dy, L是曲线y=1-|1-x|点O(0,0)到点(2,0)部分．?五、求I=ò?xdy-ydx，其中A(-1,0), B(0,1), C(1,0), ?AB为x2+y2=1的上半圆弧段，BCABC为y=1-x2上的弧段．六、求?òxdy，其中L是由直线xy+=1和坐标轴构成的三角形闭路，沿逆时针方向．L 七、求I=ò(y2-z2)dx+2yzdy-x2dz，其中L为曲线x=t,y=t2,z=t3上由t1=0到t2=1的一Lurx2y2问将单位质量的质点M从坐标原点沿直线移到曲线2+2=1八、已知平面力场F={y,x}，abur在第一象限的部分上，终点为何点时，F做功最大？高数习题册答案 51_高数习题格林公式及其应用一、利用曲线积分计算由旋轮线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0￡t￡2p)与x轴所围区域的面二、利用格林公式计算下列曲线积分： 1.?òL(x+y)2dx+(x2-y2)dy，其中L是顶点为点A(1,1),B(3,3),C(3,5)的三角形的边界，沿逆32x-1x时针方向；222解：?(+)+(-)dy=-2òòydxdy=-2òdxòxydxxyòLD1ydy=-12222222．?òxydx-xydy，其中L是x+y=R沿逆时针方向；L223解：?xydxxydyxydxdydr-=-4=-4sinqcosqqòòòòòdr=0LD2pR3.òL(x2+2xy-y2)dx+(x2-2xy+y2)dy，其中L是从点A(0,-1)沿直线y=1-x到点M(l,0)，再从点M沿圆周x2+y2=1依逆时针到点B(0,l);4.ò[f(y)eLx其中f(y)有连续的一阶导数，L是连接点A(0, y1), B(0, -my]dx+[f￠(y)ex-m]dy，y2)的任何路径，且L与直线AB所围成区域的面积为定值S , L总是位于直线段AB的左方． 解：-ydx+xdy,其中L为曲线|x|+|y|=1沿逆时针方向．L22四、设曲线积分òxy2dx+yj(x)dy与路径无关，其中j(x)具有连续导数，且j(0)=0, 求j(x)，三、求?òLòL[f(y)ex-my]dx+[f￠(y)ex-m]dyy2y1=òòmdxdy+òD[f￠(y)-m]dy=mS+f(y2)-f(y1)-m(y2-y1)并求积分(1,1)xy2dx+yj(x)dy的值．五、求ò(y+2xy)dx+(x2+2xy+y2)dy,其中L是x2+y2=2x的上半圆周由点A(4,0)到点LB(0,0)的弧段．L六、求?ò|y|dx+|x|dy，其中L是以点A(1,0), B(0,1), C(-1,0)为顶点的三角形的正向边界曲线．解：?ò|y|dx+|x|dy=?òLABOydx+xdy+?òOBCydx-xdy=-2DOBCòòdxdy=-1七、证明：(3x2+6xy2)dx+(6x2y-4y3)dy在xOy面上是某一函数u(x, y)的全微分，并求出一八、计算抛物线(x+y)2=ax (a&0)与 x 轴所围成的面积．x1+y2f(xy)九、设f(x)在(-￥,+￥)有连续导数，求òdx+2[y2f(xy)-1]dy,其中L是从点A(3,Lyy2)到点B(1,2)的直线段.对面积的曲面积分一、计算下列曲面积分： （1）222222(x+y)ds,S:x+y+z=R； òòS解：取球面坐标，dS=R2sinjdjdq，x2+y2=R2sinjòò(xS2+y)ds=R24ò2p0dqòsin2jdj=p2R4p（2）òòxyzds,S:x+y+z=1在第一卦限部分；S（3）2222(x+y)ds,S:由z=x+y和z=1所转成立体的表面； òòS2（4）òò(xyS+yz+zx)ds,S:锥面z=x2+y2被柱面x2+y2=2ax(a&0)所截下的那块曲面；（5）òò3zds,S:抛物面z=2-(xS2+y2)在xoy面上方的部分；（6）òòxyds,S:曲面z=xS2+y2(0￡z￡1)在第一卦限部分；解：上半球壳x+y+z=a(z30)的质量，此壳的面密度r=z. 求三、求均匀曲面z=a2-x2-y2的重心坐标.一、把对坐标的曲面积分òòP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy化为对面积的曲面积分：S（1）S为平面3x+2y+23z=6在第一卦限部分的上侧；高数习题册答案 51_高数习题（2）S为球面x2+y2+z2=a2的内侧.二、计算òòf(x)dydz+g(y)dzdx+h(z)dxdy，其中f(x),g(y),h(z)为连续函数，S为直角平行六面体S0￡x￡a,0￡y￡b,0￡z￡c的表面外侧.解：曲面积分在0￡x￡a,0￡y￡b,z=0(下侧)，0￡x￡a,0￡y￡b,z=c(上侧)位、为Dxyòòh(c)dxdy-òòh(0)dxdy=ab[h(c)-h(0)]；类似可以计算其他面，结果为Dxybc[f(a)-f(0)]+ca[g(b)-g(0)]+ab[h(c)-h(0)]三、计算òòxyzdxdy，其中S为柱面xS2+z2=R2在x30,y30两卦限内被平面y=0及y=h所截下部分的外侧.解：S1为半柱面的下底：x2+z2=R2,y=0,x30；S2为半柱面的上底：x2+z2=R2,y=h,x30；S3为半柱面的底：y:0?h,z:-R?R,x=0，四、求22()()()y-zdydz+z-xdzdx+x-ydxdy，其中S为曲面z=x+y及平面z=h(h&0)所òòòS围成的空间区域的整个边界曲面的外侧. 解：根据高斯公式òòò(y-z)dydz+(z-x)dzdx+(x-y)dxdy=òòòSW0dxdydz=0五、求òò(f(x,y,z)+x)dydz+(2f(x,y,z)+y)+(f(x,y,z)+z)dxdy，其中f(x,y,z)为连续函数，SS为平面x-y+z=1在第四卦限部分的上例.一、利用高斯公式计算曲面积分： （1）xydydz+yzdzdx+zxdxdy,S由x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所转成四面体的外侧表面；S解：根据高斯公式x2y2z2（2）(x-y+z)dydz+(y-z+x)dzdx+(z-x+y)dxdy,S:2+2+2=1的外侧；abcS解：根据高斯公式òòò(x-y+z)dydz+(y-z+x)dzdx+(z-x+y)dxdy=3òòòSWdxdydz=4pabc（3）xyS2dydz+yz2dzdx+zx2dxdy,S:球面x2+y2+z2=z的外侧；解：根据高斯公式（4）22222zdxdy,S:x+y+z=a外侧. S解：根据高斯公式 (关于z为奇函数)òòòzdxdy=2òòòS2Wzdxdydz=0二、求向径r={x,y,z}通过圆锥体z=1-vx2+y2(0￡z￡1)全表面外侧的通量.ruur解：所求通量为 òòòrgdS=3òòòdxdydz=pSW三、求òòxdydz+ydzdx+zS333dxdy,S:x2+y2+z2=a2的上半球面外侧.解：设S1为x2+y2=a2,z=0(下侧)，则四、求22122f[(a+x)(a+y)]dydz-f[(a+x)(a+y)]dzdx+ òòa+ya+xS2z3[(x+y)z+]dxdy,S为球面x2+y2+z2=1的下半部分的上侧，常数a&1,f可导.3解：设S1为x2+y2=a2,z=0(下侧)，则五、求I=2z232(zx+ye)dydz+xydzdx+(sinx+yz)dxdy,S:下半球面 òòSz=-R2-x2-y2的上侧.解：设S1为x2+y2=R2,z=0(下侧)，则2六、计算òò(2x+z)dydz+zdxdy，其中S为有向曲面z=xS+y2(0￡z￡1)，其法向量与z轴正向的夹角为锐角.vvvvvvvv1vv(1)A=yzi+xzj+xyk (2)A=×r，其中r=xi+yj+zk.ìx2+y2=1其中G:í，从z一、利用斯托克斯公式计算曲线积分：(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz，x-y+z=2?G二、求向量场Azyixzjyxk的旋度高数习题册答案 51_高数习题一、用比较审敛法或极限敛法判别下列级数的收敛性：￥￥1+n1p； （2）.a； （3）. （1）?(&0)sin??nn22n=1￥￥￥2nn!n2n-11.?n； （22.）?(； （33.）（1）￥￥￥ln(n+2)1n+1nn+1（4）4.?(a&0)； （5）5.(-1)； （6）6.(1). -??n-1n3ln(n+1)n1n1(a+￥三、若limnun存在，证明：级数n?+￥2?u￥n收敛.61b3n四、证明：lim=0.n?+￥n五、下列级数是交错级数还是一般的变号级数？讨论它们的敛散性，并对收敛级数说明是绝对收敛还是条件收敛：￥cosnx1n-1（1）?； （2）(-1)； ?2￥（3）?(-1)n=1￥n-12+(-1).(-1)n=1￥n-162一、求下列幂级数的收敛半径和收敛区间：￥￥1n2n-12n-21n2.x（1）1.?nx； （2）?n（a＞0，b＞0）； （3）3.(x-1). n?nab+n=1￥（1）?nx￥n-1； （2）1x2n-1； ?￥￥.（3）?nx2n=1n-1n2,并求级数?n.n=15￥(3) 易求出幂级数的收敛半径为1 ,端点x=1，x=-1发散6364一、将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间（1）(1+x)ln(1+x)； （22.）arcsinx； （3.）1.1+x.3二、将函数f(x)=展开成(x+4)的幂级数. 2￥(-1)-1x2n-1的和函数展开成(x-1)的幂级数. ×三、将级数?n-1四、将函数f(x)=cosx展开成(x+的幂级数.65高数习题册答案 51_高数习题学院 专业 姓名 学号 函数展开成幂级数一、利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值： （1）ln3 （误差不超过0.0001）（2）cos2 （误差不超过0.0001）o二、求ò0.51的近似值，误差不超过0.一、设f(x,y)具有一阶连续偏导数，且满足f(x,x)=x，fx￠(x,x)=x-x， 计算 fy￠(x,x2).232242x+x3￠(x,x)=3x Tfy￠(x,x)=解：两边对x求导，有fx￠(x,x)+2xfy22222二、计算曲面积分，其中积分曲面S为z=-x-y的上侧. 解：设S1为x2+y21,z=0的下侧.则22I=S+S1òò(x3-x)dydz+(y3-2y)dzdx+(z3+2)dxdy333-òò(x-x)dydz+(y-2y)dzdx+(z+2)dxdyS1WDW=òòò(3x2+3y2-3+3z2)dxdydz+òò2dxdy=3òòò(x2+y2+z2)dxdydz-3p+2p2pp17=3òdqòsinjdjòr4dr-p=p0005y三、计算òòarctands，其中D由直线y=0及圆周xDx2+y2=4,x2+y2=1，y=x所围成的在第一象限内的闭区域 .p2y324解：òòarctands=òqdqòrdr=p01x64D一、填空题：,-p&x￡0ì-12为周期的傅立叶级数在（1）设f(x)=íx=p处收敛于 p/2，则以2p2?1+x,0&x&p,-1&x￡0ì2（2）设f(x)是以2为周期的函数，其表达式为f(x)=í3，则f(x)的傅立叶级数在,0&x￡1?xx=1处收敛于二、将下列函数f(x)开成傅里叶级数： ìbx（1.）f(x)=í?ax-p&x&00￡x&p(a&b&0)；ìex（22.）f(x)=í?1-p￡x&00￡x￡p；x（3）f(x)=sin(arcsinp解: 显然f(x)=sin(arcsin（-p￡x￡p）；xx=在整个数轴上连续,由收敛定理知,其傅立叶级数处处收敛于f(x)，又ppf(x)是奇函数,故由上面的讨论知,其傅立叶级数是正弦级数.2p1p+12 其中 bn=òf(x)sinnxdx=2òxsinnxdx=(-1)n-p0ppnp 所求傅立叶级数为:xx2￥(-1)n+1sinnxf(x)=sin(arcsin)==? x?[-p,p).pppn=1n高数习题册答案 51_高数习题一、将f(x)=2x2(0￡x￡p)分别展开成正弦级数和余弦级数.二、设f(x)=cosp，(-p￡x￡p)将其展开成傅里叶级数. 2三、函数f(x)的周期为2p.证明：（1）如果f(x-p)=-f(x)，则f(x)的傅立叶系数a0=0,a2k=0,b2k=0(k=1,2,L)； （2）如果f(x-p)=-f(x)，则f(x)的傅立叶系数a2k+1=0,b2k+1=0(k=0,1,2,L).学院 专业 姓名 学号 周期为2l的周期函数的傅立叶级数一、将周期为6的周期函数f(x)=íì2x+1?1-3￡x&0展开成傅里叶级数.0￡x￡3二、将函数f(x)=x，（0￡x￡2）展开为正弦级数和余弦级数. 解: 显然f(x)=x2满足收敛定理中的条件,且l=2 (I) 现将f(x)展开成正弦级数,为此,先将f(x)延拓成奇函数,22l88npnpbn=òf(x)sinxdx=òx2sinxdx=(-1)n+1+[(-1)n-1], n=1,2,L 3002np(np)8￥(-1)n+12[(-1)n-1]np在[0,2]内, f(x)连续 T f(x)=?{x +}sinpn=1nn3p22(II) 现将f(x)展开成余弦级数,为此,先将f(x)延拓成偶函数,利用(6)求其系数an(n=0,1,2,L) 2np2lnp2cosf(x)cosxdx=xxdx òò002282当n=0时, a0=òxdx=,032np16当n10时, an=òx2cosxdx=(-1)n22，n=1,2,…02np由f(x)在[0,2]上连续,所以f(x)的傅立叶级数收敛余f(x).2an=416￥(-1)nnpf(x)=+2?2cosx3pn=1n21n+1n的敛散性. 一、判断级数?n1()n+n=1￥证: 由于1nn+ limn=lim=n?￥(n+1)nn?￥(1+1)nn所以级数发散. 二、求级数￥limen?￥lnn[lim(1+n?￥12n2n2=lnn10=limen=1n?￥)]?(n+1)(x-1)n=0￥n=0￥n收敛域及和函数.n解: 令t=x-1,先计算s=?(n+1)tn，显然s=?(n+1)tn=0￥n=0￥n的收敛区域为(-1,1). 所求和函数为s=?(n+1)t=?(tn+1)￠=(?tn+1)￠=(n=0n=0￥t1)￠=,x?(-1,1) 21-t(2-x)三、将f(x)=xarctanx-ln+x2有开成麦克劳林级数.解: Qf￠(x)=arctanx，而arctgx可按下面方法展开成x的幂级数.1=1-x+x2-x3+L+(-1)nxn+L,&x?(-1,1) 1+x1246n2n=-x+x-x+L+-x+L,&x?(-1,1) 1(1)21+xQx2n+1arctgx=ò?(-1)tdt=?(-1)òtdt=?(-1)002n1+n=0n=0n=0111 =x-x3+x5-L+(-1)nx2n+1+L,&x?(-1,1)352n+1x￥n2n￥nx2n￥nf(x)=xarctanx-ln+x =2=òarctanxdxx1214161x-x+x-L+(-1)nx2n+2+L )(2n+2)￥1四、将f(x)=2+|x|(-1￡x￡1)展开成付里叶级数并由此求?2的和.n=1n解: 显然f(x)=2+|x|(-1￡x￡1)是偶函数,且l=1,故 bn=0 n=1,2,L,下面来求an (n=0,1,2,L) a0=12lf(x)dx=2ò0(2+x)dx=5 ò04ì,n=2k-1,n=1,2,L 12lnp2[(-1)n-1]?--(2k1)pan=òf(x)cosxdx=2ò(2+x)cosnpxdx==í00n2p2?0,n=2k?又f(x)在(-1,1]上处处连续,故其傅立叶级数处处收敛于f(x)=2+|x|.54￥cos(2k-1)pxf(x)=2+|x|=-2? , x?(-1,1] 22pk=1(2k-1)￥￥1p21取x=0代入，?=。 设=s，那么 ?228k=1(2k-1)n=1n￥￥￥p2p2s=?2=?+?=?2+=s+Ts= 224k=1k8486n=1nk=1(2k)k=1(2k-1)一、指出下列方程中那些是微分方程：2(1)y￠￠-3y￠+2y=x( ? )； (2)y-3y+2=x( )；(3)y￠=x+y+y2cosx( ? )； (4)y2+1=3x+2xy+sinx( ). 二、指出下列微分方程的阶数，同时指出它是线性的，还是非线性的：(1)x(y￠)-2yy￠+x=1；非线性)； (2)xy￠￠-xy￠+y=；非线性)；22dy(3)=dx-y2-x2(1阶；非线性)； (4)(7x+3y)dx+(x+y)dy=0 (1阶；非线性).三、指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解.如果是解，是通解，还是特解？请选出相应的选项. (1).xy￠=2y,y=5x( A D )；(A)是解；(B)不是解；(C)是通解；(D)是特解. (2)y￠￠+wy=0,y=3sinwx-4coswx( B )；(A)是解；(B)不是解；(C)是通解；(D)是特解. (3)y￠￠-2y￠+y=0,y=x2ex( B )；(A)是解；(B)不是解；(C)是通解；(D)是特解. (4)y￠=3xy,y=Ce( C ).(A)是解；(B)不是解；(C)是通解；(D)是特解. 四、求下列可分离变量的微分方程的解：(1)(xy+x)dx+(y-xy)dy=0；xy解：当x2-110时,方程可变为2dx=2dy，两边积分，得x-1y+111ln(x2-1)=ln(y2+1)+C1 即为方程的通解。222可以验证x-1=0或x=1,-1满足方程. 综上所述, 方程的通解为y+1=C(x-1)(2)y￠=e5x-2y,y(0)=0； 解：方程可变为222232x2212y15x12e=e+C1Ty=ln(e5x+C)25253123y(0)=0TC=Ty=ln(e5x+5255x(1+y2)(3)y￠= ；2y(1+x)e2ydy=e5xdxT解：方程可变为11yx2dy=dxTln(1+y)=ln(1+x2)+C1T1+y2=C(1+x2) 221+y1+x221-y2(4)y￠=； 21-x解：方程可变为=Tarcsiny=arcsinx+CTy=sin(arcsinx+C)(5)(ex+y-ex)dx+(ex+y+ey)dy=0； 解：方程可变为高数习题册答案 51_高数习题学院 专业 姓名 学号 基本概念与可分离变量的微分方程eydyexdxyxyx=-Tln(e-1)+ln(e-1)=CT(e-1)(e-1)=C yxe-1e+1p(6)y￠=tanx-y=a,y(=0；2(7)(y+1)2dy+x2=0； dx11(y+1)3=-x3+C1T(y+1)3+x3=C 33解：方程可变为(y+1)2dy=-x2dxT(8)y￠sinx=ylny；解：方程可变为dydx=Tlnlny=ln|cotx-cscx|+C1Ty=Cecotx-cscx ylnysinx附加题:设函数u(x,y)有连续二阶偏导数，证明：在变换x=x-y，?2u?2u?2u?2u1h=x-y下方程：2+4+32=0可变为方程=0?x?x?y?y?x?h3证明:?u?u?x?u?h?u?u?u?u?x?u?h?u1?u=+=+,=+=--?x?x?x?h?x?x?h?y?x?y?h?y?x3?h?u??u??u?u?u?u?u?u?u?u=[+[]=+++=+2+?x2?x?x?x?h?x2?x?h?h?x?h2?x2?h?x?h2?2u??u??u?2u?x?2u?h?2u?x?2u?h=[+[=+++?x?y?y?x?y?h?x2?y?x?h?y?h?x?y?h2?y=-?u4?u1?u--?x23?x?h3?h222222222222?2u??u1??u?2u?x?2u?h1?u?x?2u?h=-[-[=-[2+-[+?y2?y?x3?y?h?x?y?x?h?y3?h?x?y?h2?y=?u2?u1?u++?x23?x?h9?h2222?2u?2u?2u0=2+4+32?x?x?y?y1?2u1?2u?2u?2u?2u?2u4?2u?2u2?2u=+2++4[---+3[2++] 22222?x?x?h?h?x3?x?h3?h?x3?x?h9?h?2u可变为方程=0?x?h一、求下列齐次微分方程的解： (1)xy￠-y-y2-x2=0；dyyy解：原方程可化为=+令u=，即y=ux，代入方程，得dxxxdudxu+x=u+，化简=dxx积分，得ln(u+=lnx+C1Ty+=C，得通解为=Cx2(2)x2y￠=x2+xy+y2；dyy?y?y解：原方程可化为=1++?÷，令u=，即y=ux，代入方程，得dxxèx?xdududxu+x=1+u+u2，化简 = 2dx1+uxy积分，得 arctanu=lnx+CTarctan=lnx+C，得通解为xy=xtan(lnx+C)y(3)(xy￠-y)cos2+x=0；xdy1yy解：原方程可化为=-+，令u=，即y=ux，代入方程，得xdxxcos2xdu1dx2u+x=-+u，化简 cosudu=- 2dxcosux11y2y积分，得通解 u+sin2u=-lnx+C1T2+sin+4lnx=C24xxyy(4)y￠=ex+,y(1)=0；xy-dydudx-uuu解： =e+uTu+x=e+uTedu=Tex+lnx=Cdxdxxe+ln1=CTC=1Tey2-2xy-x2(5)y￠=2,y(1)=1；y+2xy-x2222解： dy=u-2u-1Tu+xdu=u-2u-1Tu+2u-1du=-dx22322-yx+lnx=1dxu+2u-1dxu+2u-1u+u+u+1x12udx-2du=Tu+1=Cx(u2+1)Tx+y=C(x2+y2) u+1u+1x111T2=2CTC=1Tx+y=x2+y2T(x-2+(y-2=222T[(6)(1+2e)dx+2e(1-xyxyx)dy=0； ydx2(u-1)euduu+2eu1+2eudy===Ty=-Tdu=-uuu=x/y1+2eududy1+2eu+2ey 解：Ty(u+2e)=CTx+2ye=Cuxyxyy￠=ln. yxu=Y-Xdud(lny)dYdu=lny-lnxT=Y-XT=u-1T=dXdXdXu-1 解： d(lnx)(7)XCx+1Tu-1=CeTlny-lnx-1=CxTy=xe一、求下列一阶线性微分方程的解：x(1)xy￠+y=e,y(1)=e；1ex解：由于xy￠+y=e为一阶线性非齐次方程，且P(x)=,Q(x)=，代入（4），得其通解为xxdx?exò1?-ò11xex+Cxxy=?ò edx+C÷e=(e+C)=xxxè?x(2)y￠+ycosx=e-sinx； 解： y=?e-sinxeòcosxdx??e-òcosxdx=x+Ce-sinxdx+C()÷èò?(3)(x2+1)y￠+2xy=4x2；x2xdx-òdx?4x2òx2?1?43?+1x+1edxCexC解： y=?ò2+=+÷?3÷ 2?x+1÷x1+è?è?(4)(x-2)y￠=y+2(x-2)3； 1-??òx12òx-2解： y=?ò2(x-2)edx+C÷e-2=(x-2)(x2-4x+C)è?ysinx(5)y￠+=,y(p)=1；xx1?sinxòx?-ò11xy=?òedx+C÷e=(-cosx+C)xxè?解：y(p)=1TC=p-1Ty=(6)1(-cosx+p-1)xdr+5r=4； dq?4eò5dqdq+C?e-ò5dq=e-5q4e5qdq+C=e-5q?4e5q+C?=4+Ce-5q r=?÷?5÷5òèò?è?2-3x2y=1,y(1)=0； (7)y￠+3x22?ò2-3xdx?-ò2-3xdx-2-2-2?1-2?y=?òexdx+C÷ex=òx-3e-xdx+Cex+3lnx=x3ex?ex+C÷?÷è2? è?解：113x-2-1y(1)=0TC=Ty=x1-e-2e22(8)xy￠+y=x+3x+2.()()()解：1dx-ò?x2+3x+2ò1?1xxy=?òedx+Ce=÷òxxè?(2(xò+3x+2)dx+C=)123Cx+x+2+ 32x一、利用全微分计算下列各题：(1)求解(5x4+3xy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2)dy=0； 解：令P=5x4+3xy2-y3,Q=3x2y-3xy2+y2，由于?Q?P=，故方程为全微分方程,所以 ?x?yu(x,y)=òP(x,0)dx+òQ(x,y)dy=xyòx05xdx+ò(3x2y-3xy2+y2)dy4y3221xy-xy3+y3+C 23dyx-y2(2)求微分方程的通解； =3dx2xy+2y=x5+?Q?P=,故方程为全微分方程, ?x?y(y2-x)dx+(2xy+2y3)dy=0Td(2xy2)+dy4-dx2=0T2xy2+y4-x2=C (3)eydx+(xey-2y)dy=0；?Q?Py=解：由于,edx+(xey-2y)dy=0Td(xey-y2)=0Txey-y2=C ?x?y(4)(x+y)(dx-dy)=dx+dy.dyx+y-1解：微分方程变形为: (x+y-1)dx-(x+y+1)dy=0T=,dxx+y+1微分方程变形为:(y2-x)dx+(2xy+2y3)dy=0.由于令t=x+y+1, 方程变形为dyx+y-1dt21=T=2-T(1+)dt=2dxdxx+y+1dxtt-1 Tt+ln|t-1|=2x+CTy-x+1+ln|x+y|=C高数习题册答案 51_高数习题一、求下列微分方程的通解： (1) y(4)=xex+2xx解：连续积分，得y=xe-4e+1411x+C1x3+C2x2+C3x+C4 1262(2)y￠￠=y￠+x；解：令p=y￠，则p￠=y￠￠，则 p￠-p=x （一阶线性方程） 通解： p=ex(òxe-xdx+C=ex(-xe-x-e-x+C1)=-x-1+C1ex12x-x+C1ex+C2 2)又p=y￠，所以通解 y=-(3)y￠￠=1+y￠2;2解：令p=y￠，则p￠=y￠￠，则 p￠=1+pTdp=dxTp=tan(x+C1)1+p2又p=y￠，所以通解 y=-ln|cos(x+C1)|+C2 (4)yy￠￠+y￠2=0； 解：令p=y￠，则y￠￠=pdp，则 dydpdpdpdy+p2=0Ty+p=0或p=0T=-或p=0dydypy1Typ=C1或p=0Tydy=C1dx或y=C3Ty2=C1x+C22(5)1+y￠2=2yy￠￠； yp解：令p=y￠，则y￠￠=pdp，则dy1+p2=2ypdp2pdpdyT=Tp2=C1y-12dy1+pydyT=T=±dxT=±xC1+C1C2dx2(6)2xy￠y￠￠-y￠=1.解：令p=y￠，则p￠=y￠￠，则2xpp￠=1+pT22pdpdx=Tp=1+p2x(7)y￠￠+y￠2=1,y|x=0=y￠|x=0=0； Ty=±=解：令p=y￠，则y￠￠=pdp，则dy根据-2dy2dydpdp22p+p=1T+2p2=2或p2=eò[ò2eòdy+C1]=C1e-2y+1Ty￠=dydyy|x=0=y￠|x=0=0,C1=-1,y￠=Tln(ey=±x+C2根据y|x=0=0,C2=0,ln(ey=±xTy=lnchx(8)y￠￠=3,y|x=0=1,y￠|x=0=2.3dpdp12解：令p=y￠，则y￠=p，则p=pdp=Tp=2y2+2C1Ty￠=根据dydy231114y|x=0=1,y￠|x=0=2,C1=0Ty￠=2T4y4=2x+C2Ty=(x+C2)4 24根据y|x=0=1,C2=1,y=x+1)4.12(1)y￠￠-3y￠+2y=0；解: 特征方程为 r2-3r+2=0 则r1=1,r2=2,从而通解为 y=c1ex+c2e2x2(2)y￠￠+ay=0；解:特征方程为r2+a2=0 则r1,2=±ai, 从而通解为 y=c1cosax+c2sinax (3)y￠￠+6y￠+13y=0；解:特征方程为r+6r+13=0Tr=-3±2i,从而通解为2y=e-3x(c1cos2x+c2sin2x)(4)y(4)-16y=0；解: 特征方程为 r4-16=0Tr=±2,±2i,从而通解为y=c1e2x+c2e-2x+c3cos2x+c4sin2x(5)4y￠￠+4y￠+y=0,y|x=0=2,y￠|x=0=0；11x-x12解: 特征方程为 4r-4r+1=0Tr=±,从而通解为 y=c1e+c2e2,221x21-x2根据初始条件有c1=c2=1，所以y=e+e(6)y￠￠+4y￠+29y=0,y|x=0=0,y￠|x=0=15.解:特征方程为r+4r+29=0Tr=-2±5i,从而通解为2y=e-2x(c1cos5x+c2sin5x)根据初始条件有c1=0,c2=3，所以y=3e-2xsin5x(1) y￠￠+3y￠+2y=(x2+1)e2x；-x-2x解：特征方程为 r2+3r+2=0Tr=-1,-2，则齐次方程的通解为y=c1e+c2e设特解为y·=(ax2+bx+c)e2x,代入方程，比较系数得12ax2+(14a+12b)x+2a+7b+12c=x2+1 a=12711(x+x+e2x 1267212711(x+x+)e2x 126721711,b=,c= 1272864故 特解 y=·所以通解为：y=c1e-x+c2e-2x+(2)y￠￠+3y￠+2y=(x+3)e-2x；解：特征方程为 r2+3r+2=0Tr=-1,-2，则齐次方程的通解为y=c1e-x+c2e-2x·-2x设特解为y=x(ax+b)e代入方程，比较系数得-2ax+2a-b=x+3Ta=-1,b=-4 2故 特解 y=-·11x(x+8)e-2x 所以通解为：y=c1e-x+c2e-2x-x(x+8)e-2x 221x5(3)25y￠￠-10y￠+y=(3x2+x)e；解：特征方程为 25r2-10r+1=0Tr1,2=1x51，则齐次方程的通解为 5设特解为y=x(ax+bx+c)e·22代入方程，比较系数得 50(6ax2+3bx+c)=(3x2+x) a=1x13故 特解 y=x(3x+2)e5300·1x13所以通解为：y=c1e+c2xe+x(3x+2)e5300(4)y￠￠-2y￠+5y=3x2ex(cos2x+sin2x)；1x51x511,b=,c=0 100150解：特征方程：r2-2r+5=0，则r1,2=1±2i，从而通解为y=ex(c1cos2x+c2sin2x) 使用常数变异法，设y=c1(x)excos2x+c2(x)exsin2x￠(x)y1+c2￠(x)y2=0ìc1í￠￠￠￠c(x)yc(x)yf(x)+=122?1￠(x)cos2x+c2￠(x)sin2x=0ì?c1í￠(x)(cos2x-sin2x)+c2￠(x)(sin2x+cos2x)=3x2(cos2x+sin2x)??c1￠(x)=-3x2sin2x(cos2x+sin2x)ì?c1í2￠??c2(x)=3xcos2x(cos2x+sin2x)323232ì￠()cos4sin4cxxxxxx=--??1222í333?c￠(x)=x2cos4x+x2sin4x+x22?222?12112cos4sin4cos4sin4xxxdx=xx+xx-ò483211122xsin4xdx=-xcos4x+xsin4x+cos4xò4832ìcx=xx-xx-x+xx+xx-x-x+c1()sin4sin4sin4cos4cos4cos4??所以方程的í?c(x)=3x2sin4x+3xsin4x-3sin4x-3x2cos4x+3xcos4x+3cos4x+1x3+c22??解:3113y=c1excos2x+c2exsin2x+(x2-)ex(sin2x+cos2x)+(x2-xex(sin2x-cos2x)8828(5)y￠￠+4y+3sin3x=0,y|x=p=y￠|x=p=1；解：特征方程：r+4=0，则r1,2=±2i，从而通解为y=c1cos2x+c2sin2x.·从而特解设为y=Acos3x+Bsin3x，代入方程比较系数，得A=0,B=23 5从而特解为y=·33sin3x, 所以通解为：y=c1cos2x+c2sin2x+sin3x. 55773,所求解为：y=cos2x+sin2x+sin3x 555根据y|x=p=y￠|x=p=1,c1=1,c2=(6)y￠￠-6y￠+5y=4x+1,y|x=0=1,y￠|x=0=1；解：特征方程为 r2-6r+5=0 则r1=1,r2=5，则齐次方程的通解为y=c1ex+c2e5x 设特解为y·=ax+b,代入方程，比较系数得 -6a+5ax+5b=4x+1Ta=4291,b= 故 特解 y·=(20x+29) 52525所以通解为：y=c1ex+c2e5x+1(20x+29) 25高数习题册答案 51_高数习题学院 专业 姓名 学号 二阶常系数非齐次线性微分方程根据初始条件， c1=-191x95x1,c2=，所求解: y=-e+e+(20x+29) 3x(7)y￠￠-6y￠+9y=(2x+1)e,y|x=0=y￠|x=0=1；3x3x解：特征方程为 r2-6r+9=0 则r1=3,r2=3，则齐次方程的通解为y=c1e+c2xe设特解为y·=x2e3x(ax+b),代入方程，比较系数得e3x(6ax+2b)=e3x(2x+1)Ta=故 特解 y·=x2e3x(11,b= 3211x+ 3211x+) 3211x+ 323x3x23x所以通解为： y=c1e+c2xe+xe(3x3x23x根据初始条件，c1=1,c2=-2，所求解: y=e-2xe+xe((8)y￠￠+4y=cos2x,y|x=0=y￠|x=0=0. 解：特征方程：r+4=0，则r1,2=±2i又l+wi＝2i是特征方程的根，k=1，从而通解为y=c1cos2x+c2sin2x·从而特解设为y=x(Acos2x+Bsin2x)，代入方程比较系数，得A=0,B=21 4故 特解 y·=1xsin2x 41xsin2x 4所以通解为：y=c1cos2x+c2sin2x+根据初始条件，c1=c2=0所求解: y=1xsin2x 4一、一曲线在任一点的斜率等于2y+x+1，且通过点(1，0)，试求. xìx=X+h2y+x+1，则 解：y￠=， 令íxy=Y+k?1ìkh2++1=0ìk=-dYX+2Y+2k+h+1dYY?=TíTí=1+2 2TdXX+hdXX?h=0?h0=?dudXYY=，积分，得u=CX-1，由 u= 代入，得代回，得 令u=1+uXXX132通解为： y+=Cx-x，通过点(1，0)有C=，此曲线的方程式2231y=x2-x-22二、有一直径为2R＝1.8m，高为H＝2.45m的圆柱形水槽.柱轴竖直放着柱底有一直径为2R＝6cm的小圆孔，问在多长时间内可使全槽中的水经小圆孔全部流尽？(液体多容器中流出的速度等于，其中g=10m/s2为重力加速度，h为流孔上方水平面的高度.)解: 由水力学知, 水从孔口流出的流速为由于V=pR2h=0.81ph,从而dV= dt0.81pdh=,h|t=0=2.45?h=?t?0.27pè三、求曲线的方程，此曲线上任一点(x，y)处之切线垂直于此点与原点的连线.解：设曲线的方程为y=f(x),根据题意有2x y解方程：ydy=-xdxTy2=-x2+CTx2+y2=Cy￠=-四、汽艇以(1/0.36)m/s的速度在静水上运动.停止了发动机，经过20秒钟，艇的速度减至(1/0.6)m/s，问发动机停止2min后艇的速度(假定水的阻力与艇速成正比).dv1=-kv, 初始条件为vt=0= dt0.36k-dvk对方程分离变量,然后积分 : =-dtTv=Cemvmkt1- m利用初始条件, 得. v=e0.36k11- 20k13emT=-ln (1/0.6)m/s: =0.60.36m20513ln)t1 (201 6ln35从而. v=e. 经过2min秒钟，艇的速度减至 v=e5=0.12960.360.36解: 根据牛顿第二定律列方程m数一期末模拟试题(一)ì?-x+1,-p&x￡0，则f(x)的傅氏级数在(-p,p)内的和 20&x￡p??x,(4)f(x)=íì-x+1,-p&x&0?S(x)=f(x)=íx2,0&x&p .??1/2,x=0(5)二阶线性方程y￠￠-2y￠+10y=0的通解y= 二、选择题：(每小题3分，共15分)￥an+1(1)设lim=2，则幂级数?anx2n+1的收敛半径为( n?￥an=1ny=ex(c1cos3x+c2sin3x)(A)2； (2)直线l:(B)1；；(D)x-1y-1z==与平面p:x-y+2z+3=0位置关系为( D ). 123(A)l平行于p； (B)l垂直于p； (C)l在p内； (D)l与p斜交. (3)f(x,y)在(x0,y0)偏导数存在为f(x,y)在(x0,y0)处连续的( B )条件.(A)充分； (B)无关； (4)级数(A)(C)(C)必要； (D)充要.?n=1￥n=1￥￥un及?vn都发散，则( C ).n=1n￥?(un=1+vn)必发散； (B)?unvn必发散；n=1￥n2n2+vn)必发散.￥?(|u|+|v|)必发散； (D)?(unn=1(5)D={(x,y)|-a￡x￡a，x￡y￡a}，D1={(x,y)|0￡x￡a，x￡y￡a}则òòD(xy+cosx×siny)dxdy=( A ).(A)2(C)4òòD1cosx×sinydxdy； (B)2òòxydxdy；D1òòD1(xy+cosxsiny)dxdy； (D)0.三、解答题：(每小题9分，共36分)(1)已知f(x,y)有连续偏导数，f(2,2)=3，fx￠(2,2)=-1，fy￠(2,2)=4， 函数z=z(x,y)是由方程f(x+z-1,yz)=x2-y+3确定的隐函数，求?z?x.x=1y=1f(x+z-1,yz)=x2-y+3Tf1(x+z-1,yz)(1+zx)+yf2(x+z-1,yz)zx=2x解：f(2,2)=3Tx+z-1=2,yz=2,x-y+3=3Tx=1,y=1,z=22Tf1(2,2)(1+zx)+f2(2,2)zx=2Tzx=1222(2)求由球面x+y+z=2az(a&0)和锥面z=所围成的立体体积.I=òL(exsin2y-2y-x)dx+(cos2y+exsin2y)dy. ￡z￡1)，其法向量与z轴正(4)?为有向曲面z=向夹角为锐角，计算曲面积分òò(3x+z)dydz+zdxdy.(1)求(,)2224722(2)求连接点A(0,1)和B(1,0)的一条(向上)凸曲线，对其上任意一点P(x,y)，曲线弧段AP与线段AP之间3五、证明题(每小题8分，共16分) (1)设正项数列{an}单调减少，且?￥(-1)an发散，求证?(n￥1n)收敛. a+1(2)设函数z=f(u)，且u=u(x,y)满足u=y+xj(u)，其中f,j可导，证明：?z?z-j(u)=0.高数习题册答案 51_高数习题数一期末模拟试题(二)一、填空题：(每小题3分，共15分)?2u(1)设u=esin(x+y)，则在点(0，π)处的值为 1 .?x?y-x1111(2)交换二次积分的积分次序，dyòò1-yf(x,y)dx = òdxòf(x,y)dy .1-x(3)曲面积分I=222zds= . (Σ是球面x+y+z=4，在Z≥0的部分.) 8pòò?ìx2+1-p￡x￡0(4)已知函数f(x)=í 则它的傅里叶级数在区间(—p，p)内的和函数S(x)=0&x￡p?2xì-x+1,-p&x&0?f(x)=í2x,0&x&p .??1/2,x=0(5)曲线y=x2绕y轴旋转一周， 则旋转曲面的方程为 y=x2+z2 . 二、选择题：(每小题3分，共15分)?(-1)n(1)幂级数???1+2nn=1è￥?n÷÷x的收敛半径为R，则R=( A ). ?1(A)1； (B)2； (C)3； (D).2ìx=t?2(2)在曲线íy=-t的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线( B )?z=t3?(A)只有1条； (B)只有两条； (C)至少有三条； (D)不存在.(3)由方程xyz+x2+y2+z2=2所确定的函数z=z(x,y)在点(1，0，-1)处的全微分dz= B .11dx+dy； (B)dz=dx-dy； 2211(C)dz=dx+dy； (D)dz=dx+dy.22(4)函数z=x2+y2 在(1,2)处从(1,2)点到(2,2+方向的方向导数为4(A){2,4}； (B)8+； (C)1+； (D)p.322(5)求微分方程xy'+xy=y 满足 yx=1=1的特解y=(A)dz=-2x22x22x2x(A)y=； (B)y=； (C)y=； (D)y=.1+x21-x21-x21+x2三、计算题：(每小题8分，共24分)?2z(1)设函数z=z(x,y)由方程z-x+yz=1所确定，求?x?y3(0,0)的值.解(2)求由和在z￡0的部分所围成的立体体积.(3)求微分方程y''-4y'+4y=e的通解.解：特征方程为 r-4r+4=0 则r1=r2=2，则齐次方程的通解为y=c1e·x·x设特解为y=ae,代入方程，比较系数得 a=1,故 特解 y=e22xx+c2xe2x所以通解为：y=c1e2+c2xe2+e四、解答题：(每小题8分，共16分) (1)设曲线积分xxx(1,1)22ò(xydx+yj(x)dy的值.òLx2y2dx+yj(x)dy与路径无关，其中j(x)具有一阶连续的导数，且j(0)=1，计算：22(2)S为有向曲面z=x+y (0￡z￡1)，?的方向为外侧，计算曲面积分òòxdydz+ydxdz+dxdy.?解：补充S1: z=1(方向,上侧),利用高斯公式:òò?=?+?1òò-òò=2òòòdxdydz-?1Vx2+y2￡1òòdxdy=2òdqòrdrò2dz-p=0r2p11五、应用题：(每小题8分，共16分)x2y2z2(1)在第一卦限内作椭圆面2+2+2=1的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，abc求此切平面的切点， 并求此最小体积.(2)某曲线经过原点， 且在点(x,y)处的切线斜率等于2x+y， 求此曲线的方程. 解： y￠=2x+y,y(0)=0y￠-y=2xTy=Cex-2x-2Ty=2(ex-x-1)六、证明题：(每小题7分，共14分) (1)设an&0￥(n=1,2,3,L)且级数?an收敛，n=1￥求证：级数lpn(-1)(narctan)a绝对收敛(0&l&为常数). ?2nn2n=1证明：首先证明?an=1￥2n收敛. (?ak=1n2k￡?ak)k=12n(2)设函数u(x,y)=j(x+y)+j(x-y)+x+yòx-yy(t)dt，其中：函数j(t),y(t)都具有二阶连续导数，?2u?2u求证：2-2=0xy数二期末模拟试题(二)一、选择题：(每小题3分，共15分)(1)方程y2+z2-4x+8=0，表示( D ).(A)单叶双曲面； (B)双叶双曲面； (C)锥面； (D)旋转抛物面. (2)设F(x-y,y-z,z-x)=0，则(A)?z= ( A ) ?x(C)F1-F3F2-F3(B)F2-F1F2-F3F1+F3F2-F3(D)F1-F3F2+F3(3) 函数z=ln(x+向导数为(A)(4)y)在抛物线y2=4x上点(1,2)处,沿着此抛物线在该点偏向x轴正向的切方向的方(B)33x-y2ò1 0dxò 1edy=( A )111-11(e-1) (B) (e-1) (C) (e+1) (D) (e-1+1) 2222(5)若 y1 和 y2 是二阶齐次线性方程 y￠￠+p(x)y￠+q(x)y=0的两个特解，则(A)y = C1 y1 + C2 y2 _________ B __________.(A)是该方程的通解； (B)是该方程的解； (C)是该方程的特解； (D)不一定是方程的解. 二、填空题(每小题3分，共15分)uuuur212(1) 已知有向线段P1P2的长度为6, 方向余弦为-,,P1点的坐标为(-3,2,5),则P2点的坐标为333(-7，4,9)(2)曲面z-ez+2xy=3在点(-1,2,0)处的切平面方程为x+y-1(3)点 M (-3，4，-5)到 YOZ 平面的距离为___3_____.ì-p,-p&x&0f(x)=(4)设，且以2p为周期，f(x)的付氏级数在x =0处收敛于 í23x+1,0￡x￡p?(2x+1)n(5)级数?的收敛区间是[-1,0)nn=1￥三、计算题：(每小题8分，共24分)1.设函数Q(x，y)在xoy平面上具有一阶连续偏导数,积分曲线任意t,恒有(1, t)(t, 1)ò2xydx+Q(x,y)dy与路径无关,并且对Lò(0,0)2xydx+Q(x,y)dy=ò(0,0)2xydx+Q(x,y)dy,求Q(x,y)．解:根据积分曲线与路径无关, Qx(x,y)=2xTQ(x,y)=x2+C(y) (1, t) t2由于(1, t)ò(0,0) (t, 1)2xydx+[x+C(y)]dy=ò[1+C(y)]dy010(t, 1)ò根据(0,0)2xydx+[x2+C(y)]dy=òC(y)dy+2òxdx(0,0)tò(0,0)2xydx+[x2+C(y)]dy=ò2xydx+[x2+C(y)]dy高数习题册答案 51_高数习题t1ò[1+C(y)]dy=òC(y)dy+2òxdxT1+C(t)=2tTC(x)=2x-1t所以 Q(x,y)=x2+2x-1 (2)求曲面积分:I=òòyzdzdx+(z+1)dxdy,其中S是面xS2+y2+z2=4外侧在z30的部分（3）求微分方程y￠￠+5y￠+6y=2e的通解．解：特征方程为 r2+5r+6=0 则r1=-2,r2=-3，则齐次方程的通解为y=c1e-2x+c2e-3x 设特解为y·=ae-x,代入方程，比较系数得 a=1 所以通解为：y=c1ex+c2e5xy=c1e-2x+c2e-3x+e-x四、应用题：(每小题10分，共30分)(1)在xoy平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0及的距离的平方和为最小.的面积.y￠￠)等于此曲线在该23/2￠[1+(y)](3)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率(曲率K=96五、证明题：(每小题8分，共16分)ìu=x-2y（1）证明：变换可把方程í=+3vxy?简化为?2z=0．?u?v?2z?2z?2z6+-=0?x2?x?y?y2￥1(2)设Sn表示正项级数?an的前n项之和,试证:[1]若?an收敛,则?发散;[2]若?收敛,则SSn=1n=1n=1n=1nn?a￥n发散.97数二期末模拟试题(二)rrrrrrrr(1)设|a|=3,|b|=4,且a^b,则|(a+b)′(a-b)|=______24_______.. (2)一边长为a正方形薄板垂直没入水中，其中一边与水面(比重为1)齐平，则板一侧所受压力为____1_________ (3)u=xy2一、填空题：(每小题3分，共15分)在点M0(1,-1)处从M0指向M1(4,4)的方向导数为￥xn+1x(4)幂级数?的和函数为___xe________.n=0n!(5)求全微分(3y+e)dx+(3x-cosy)dy=d____(3xy+e-siny)______. 二、选择题：(每小题3分，共15分)(1)由曲线y=lnx与x=e及y=0所围成平面图形的面积是( D ).(A)xx23； (B)； (C)1； (D)e. 32(2)设I=(A)(C)ò40402-1dxòx+2x2f(x,y)dy, 交换积分次序得I=( C ).1-20òòdyòy-22f(x,y)dx；(B)òdyò10f(x,y)dx+òdyò1414y-2y-2f(x,y)dx； f(x,y)dx.dyòf(x,y)dx；(D)òdyò-1f(x,y)dx+òdyòìxy,(x,y)1(0,0)?22(3)二元函数íx+y在点(0,0)处( C ).?(x,y)=(0,0)?0,(A)连续，偏导存在； (B)连续，偏导不存在；(C)不连续，偏导存在； (D)不连续，偏导不存在. (4)若数项级数?an=1￥n收敛于S, 则?(an=1￥n+an+1-an+2)收敛于 ( B ).(A)S+a1； ()S+a2； (C)S+a1+a2； (D)S+a2-a1. (5)微分方程cos2x×y￠+y=tanx的通解是( A ).(A)y=tany-1+Ce-tanx； (B)y=tany-1-Ce-tanx； (C)y=-tany+1+Ce-tanx； (D)y=tany-1+Cetanx. 三、计算题：(每题7分，共28分) (1)求limx?0,y?0； =￥(x+1)(2)求幂级数?的收敛区间； nn×298(3)求二阶非齐次方程y￠￠+2y￠+3y=3x+5的通解；设特解为y=ax+b,代入方程，比较系数得 3ax+2a+3b=3x+5Ta=b=1 故 特解 y=x+1(4)判定直线l:··x-1y+2z==与平面p:x+4y-z-1=0的位置关系，若相交则求出交点与夹角. y(1)求曲面z=xf(的所有切平面均通过的那一点，写出公共交点坐标.(2)求一平面薄片所占的区域由不等式x2+y2￡R2与x2+y2￡2Rx所确定，其上每一点的面密度为22，试求该薄片的质量.(3)在第一象限有曲线过点(4,1)，由线上任一点P(x,y)向x轴，y轴作垂线，垂足分别为Q及R，又曲线在点P处的切线交x轴于T，若使长方形OQPR和三角形PQT有相同的面积，99六、证明题：(每题9分，共18分) (1)设偶函数f(x)的二阶导数f￠￠(x)在x=0的某邻域内连续，且f(0)=1,f￠￠(0)=2.试证明级数1[f(-1]绝对收敛. ?n￥函数,f￠(0)=0) (2)设函数f(u,v)可微，证明：由方程f(cx-az,cy-bz)=0所确定的函数z=z(x,y)满足a?z?z+b=c(a,b,c为常数). 100
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