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线性模型中的参数估计
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线性模型中的参数估计
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为什么说最小二乘估计量是最优的线性无偏估计量？多元线性回归最小二乘估计的正规方程组，能解出唯一的参数估
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提问人：匿名网友
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为什么说最小二乘估计量是最优的线性无偏估计量？多元线性回归最小二乘估计的正规方程组，能解出唯一的参数估计的条件是什么？
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1什么是正规方程组?分别用非矩阵形式和矩阵形式写出模型&&Yi=β0+β1X1i+β2X2i+…+βkXki+μi，&&i=1，2，…，n&&的正规方程组及其推导过程。2为什么从计量经济学模型得到的预测值不是一个确定的值?预测值的置信区间和置信度的含义是什么?在相同的置信度下如何才能缩小置信区间?请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！3设有模型Y=β0+β1X1+β2X2+μ，试在下列条件下：4假设要求你建立一个计量经济学模型来说明在学校跑道上慢跑半小时或半小时以上的人数，以便决定是否修建第二条跑道以满足所有的锻炼者。你通过整个学年收集数据，得到两个可能的解释性方程：&&(a)=125.0-15.0X1-1.0X2+1.5X3，&&=0.75&&(b)=123.0-14.0X1+5.5X2-3.7X4，&&=0.73&&其中，Y为某天慢跑者的人数，X1为该天的降雨量(单位：毫米)，X2为该天日照时间(单位：小时)，X3为该天的最高温度(单位：华氏温度)，X4为第二天需交学期论文的班级数。请回答下列问题：
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xuanyuyt的专栏
1. 基本形式
给定由$d$个属性描述的示例 $\textbf{x}&=(x_1;x_2;...,x_n)$,其中$x_i$是$x$在第$i$个属性上的取值，线性模型（linear model）试图学习一个通过属性的线性组合来进行预测的函数，即
　　　　　　　　　　$f(\textbf{x}) = \theta_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2 +...+\theta_nx_n$　　　　　 &&　(1)
这里为了计算方便，我们添加$x_0=0$, 则向量形式则为
　　　　　　　　　　$f(\textbf{x}) = \Theta^T\textbf{x} $　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)
其中$\Theta = (\theta_0;\theta_1;\theta_2;...;\theta_n)$. $\Theta$学得之后，模型就可以确定。
2. 线性回归（linear regression）
我们将要用来描述回归问题的标记如下：$m$ 代表训练集中实例的数量$n$ 代表属性特征数量$x$ 代表特征/输入变量$y$ 代表目标变量/输出变量$x^{(i)},y^{(i)}$ &代表第 $i$ 个实例
线性回归试图学得
　　　　　　　　　　$f(\textbf{x}) = \Theta^T\textbf{x}$, 使得 $f(\textbf{x}) ≈y$
均方误差是回归任务中常用的性能度量：　　　　　　　　　　$(\Theta^*) = \arg\underset{\Theta}{\min}\sum_{i=1}^{m}[f(x^{(i)}) - y^{(i)}]^2$&
求解$\Theta$有以下两种方法。
梯度下降法：(需要选择学习率$\alpha$,需要多次迭代，适用各种类型)
代价函数：$J(\Theta) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}[f(x^{(i)}) - y^{(i)}]^2 &\ +\ &\frac{\lambda}{2m}\sum_{j=1}^{n}\theta_j^2$ （后面是正则化项，防止过拟合）
梯度下降法：$\theta_j := \theta_j - \alpha\frac{\partial}{\partial{\theta_j}}J(\theta)$
　　　　repeat until convergence{
　　　　　　　　$\theta_j := \theta_j - \alpha\frac{1}{m}[(f(x^{(i)}) - y^{(i)})x_j^{(i)}] \ - \ \alpha\frac{\lambda}{m}\theta_j$
正规方程求解：(适用于特征数较少，$\textbf{x}^T\textbf{x}$必须可逆，只适用线性模型)
&$\Theta = (\textbf{x}^T\textbf{x})^{-1}\textbf{x}^Ty$
3. 逻辑回归（logistic regression）
逻辑回归即二分类问题，其输出标记$y\in[0,1]$.
这里我们使用简单的 Sigmoid 函数将连续输出映射为0/1输出：
　　　　　　　　　　$f(\textbf{x}) = \frac{1}{1+e^{\textbf{-}\Theta^T\textbf{x}}}$
类似于线性回归梯度下降法求解方式一样：
代价函数：$J(\Theta) = -\frac{1}{m}[y^{(i)}\log f(x^{(i)})+(1-y^{(i)})\log (1-f(x^{(i)})] \ + \ \frac{\lambda}{2m}\sum_{j=1}^{n}\theta_j^2$&（后面是正则化项）
梯度下降法：$\theta_j := \theta_j - \alpha\frac{\partial}{\partial{\theta_j}}J(\theta)$
　　　　repeat until convergence{
　　　　　　　　$\theta_j := \theta_j - \alpha\frac{1}{m}[(f(x^{(i)}) - y^{(i)})x_j^{(i)}] \ - \ \alpha\frac{\lambda}{m}\theta_j$
4. 多分类学习（multiclass classification）
一种解决这种问题的途径是采用一对多（One-vs-All）方法。在一对多方法中，我们将多分类问题转化成二元分类问题。为了实现这样的转变，我们将多个类中的一个类标记为正向类（y=1）,其他所有类标记为负向类，这个模型记作$f^{(1)}(\textbf{x})$。接着，类似地我们选择第二个类作为正向类（y=2），再将其他类标记为负向类，将这个模型记作$f^{(2)}(\textbf{x})$,以此类推。最后，我们需要预测时，将所有分类器都运行一遍，然后对每个输入变量，选择最高的可能性的输出变量。
5. 特征缩放（feature scaling）
在我们面对多特征问题时，我们要保证这些特征都具有相似的尺度，这将帮助梯度下降算法更快的收敛。
解决的方法是尝试将所有的特征的尺度都尽量缩放到-1到1之间。最简单的方法是令：
　　　　　　　　　　$x_n = \frac{x_n-\mu_n}{s_n}$
其中$\mu_n$是平均值，$s_n$是标准差（或用max-min代替也行）。
这里为了计算方便，我们添加$\theta_0$, 则有：
排名：千里之外以下试题来自：
问答题简答题什么是正规方程组。
正规方程组是根据最小二乘原理得到的关于参数估计值的线性代数方程组。
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1.问答题 a图呈无规律变化；b图中当X增加时，随机误差项的方差也随之增大；c图中随机误差项的方差与X的变化无关；d图中当X增加时，随机......2.问答题
直接置换法、对数（函数）变换法和级数展开法。
（1）增大样本容量n；（2）提高模型的拟合优度，减少残差平方和；（3）提高样本观测值的分散度。
4.问答题 最小二乘法的基本原理是当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得模型能最好地拟合样本数据。最大或......5.问答题 随机误差项主要包括下列因素的影响：（1）代表未知的影响因素；（2）代表残缺数据；（3）代表众多细小影响......线性模型分析方法:适用于动物科学和动物医学 王继华,李旭东 自然
（货号:3）
开&&&&&&本：B5开页&&&&&&数：字&&&&&&数：300.000千字I&&S&&B&&N：3售&&&&&&价：76.00元
原书售价：98.00元品&&&&&&相：运&&&&&&费：北京市西城区
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书名:线性模型分析方法:适用于动物科学和动物医学
定价：98.00
作者:王继华，李旭东
出版社：科学
出版日期：
ISBN：3
字数：300000
页码：
版次：31
装帧：平装
开本：B5
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内容提要
《线性模型分析方法——适用于动物科学和动物医学》通过大量实例详细介绍线性模型的建立方法和统计分析的基本原理、方法与常见问题，包括回归分析模型及其应用、方差&协方差分析模型及其应用、多元线性模型及其应用、线性混合模型及其应用、线性混合模型参数估计方法等，统计分析方法包括*小二乘（LS）法、*小范数二次无偏估计（MINQUE）、**似然(ML)法和约束**似然（REML）法.《线性模型分析方法——适用于动物科学和动物医学》介绍的线性模型分析方法和技术，只需要理工科大学本科的数学基础.《线性模型分析方法——适用于动物科学和动物医学》给出的算法规律性很强，便于理解、使用和记忆.《线性模型分析方法——适用于动物科学和动物医学》还对线性模型建立和分析中常见的问题及注意事项做了详细介绍.
目录
目录第1章引论11.1动物科学中的线性数学模型11.2数学模型化是现代研究方法的核心41.3线性模型学习方法4参考文献5第2章线性模型基础知识62.1概述62.2线性模型的种类72.2.1线性回归模型72.2.2方差分析模型112.2.3协方差分析模型152.2.4固定效应模型与随机效应模型172.2.5混合效应模型192.3固定因子与随机因子222.3.1固定因子与随机因子的概念232.3.2固定因子与随机因子的辨识232.4真模型、选模型与等价模型252.4.1真模型与选模型252.4.2等价模型272.4.3随机误差与模型残差的区别272.5线性模型实例292.5.1机理分析模型与试验模拟模型292.5.2线性模型建模实例302.6线性模型的技术含量——交叉设计实例402.6.1平衡数据402.6.2不平衡数据43参考文献45第3章*小二乘法463.1线性模型的基本假定463.1.1一元线性模型的概念463.1.2一元线性模型的基本假定473.1.3线性模型的常见形式及其关系493.2线性模型参数的可估性503.2.1线性模型的误差平方和503.2.2模型参数的可估性503.2.3观测数据的结构平衡性513.3模型参数的*小二乘估计523.3.1估计原则523.3.2模型参数的*小二乘估计方法533.3.3*小二乘估计的优良性质543.3.4多因子的*小二乘正规方程553.3.5*小二乘估计量的剩余误差方差及其估计563.3.6*小二乘参数估计量的统计特征573.4关联矩阵列不满秩的处理573.4.1正规方程系数矩阵不满秩的例子583.4.2正规方程系数矩阵不满秩的处理603.4.3实际例子的处理623.5多因子模型系数矩阵列不满秩的参数估计633.6假设检验673.6.1假设检验的原理683.6.2假设检验的类型693.6.3假设检验的方法693.6.4假设检验的简约方法——子模型法693.6.5假设检验：关联矩阵和检验条件矩阵都满秩703.6.6假设检验：一般情况723.6.7假设检验的两类错误733.6.8统计检验的效力753.7置信区间753.7.1单个样本平均数的置信区间753.7.2多个平均数的线性组合的置信区间763.7.3正态向量总体平均数的检验773.7.4正态向量总体平均数的置信区间783.8多重比较80参考文献83第4章线性回归模型及其应用844.1线性回归模型的基本假定844.1.1回归分析模型的基本概念844.1.2线性回归模型的基本假设854.1.3线性回归模型的模型诊断864.2线性回归分析原理与方法874.2.1线性回归分析概述874.2.2线性回归方程的显著性检验894.2.3回归系数的显著性检验914.2.4依变量的预测934.2.5广义回归模型954.2.6线性回归分析方法要点964.3回归分析实例964.3.1模型参数估计964.3.2舍入误差与算法994.3.3回归系数可靠性检验模型的决定系数模型参数的置信区间1034.4线性回归模型的同一性检验一般原理比较不同回归模型的实例1054.5回归模型的建立全部自变量的可能组合逐步搜索选择变量简单向前搜索选择变量向后剔除法1084.6线性回归模型的使用技术数据缺失与子模型分析方法数据规模与模型中有效参数的个数多重共线性定量预测的准确性回归模型建模策略1134.7回归模型在动物营养与饲料研究中的应用用抛物线模型估计动物营养需要量动物营养需要量估计实例用斜率比法或平行线法估计养分的生物学效率影响生物学效率评估结果的因素动态饲料数据库及饲料配方的可靠性1194.8分段回归模型在动物营养与饲料研究中的应用动物营养剂量反应规律用折线回归模型估计动物营养需要量多折点回归模型分段回归模型127参考文献129第5章方差与协方差分析模型及其应用1325.1单向分类的方差分析模型1325.2双向分类无互作效应的方差分析模型双向分类模型广义*小二乘解解的特性可估函数*小二乘均数可估函数的方差1405.3方差分析模型的假设检验方差分析假设检验子模型分析方法1425.4有互作效应的方差分析模型1435.5数据缺失数据缺失的原因缺失整组数据观测效应的关联性1485.6协方差分析模型协方差分析模型及分析要点动物饲养试验实例更复杂的协方差分析模型156参考文献158第6章一般线性模型及其扩展应用1596.1一般线性模型与一元线性模型的关系模型参数的估计关联矩阵列不满秩时的参数估计1616.2误差结构矩阵之逆的简化计算1646.3一般线性模型的统计推断预估问题参数的统计检验设计矩阵列不满秩时的参数检验1656.4多元线性模型多元线性模型概述多元线性模型的参数估计多元线性模型的假设检验多元线性模型的预估及其精度1706.5多元线性模型分析示例建立数学模型估计模型参数和协方差矩阵模型的预测预测值的误差限假设检验多元线性模型假设检验的非典型情况176参考文献178第7章线性混合模型及其在动物科学中的应用1797.1一般线性混合模型及其参数估计1797.2**似然(ML)估计数据分布由密度函数到似然函数未知参数的**似然估计线性固定模型参数的**似然估计线性固定模型参数ML估计量的假设检验1857.3线性混合模型参数的**似然估计**似然估计的方法原理**似然法的计算方法——EM算法**似然法计算实例1897.4随机效应间有相关的情况随机效应间有相关时的迭代算法随机效应相关矩阵分析1917.5模型参数估计量的统计检验模型参数估计的质量G和R已知G和R未知1947.6动物饲养试验分析实例1957.7固定效应估计与显著性检验实例2007.8随机效应的BLUP与显著性检验示例206参考文献211第8章线性混合模型的参数估计及应用2138.1方差分量估计的概念与意义为什么估计方差分量方差分量的概念方差分量分析方法2158.2MINQUE法MINQUE法的数学原理通过混合模型方程组求MINQUEMINQUE计算实例方差分量的统计检验与区间估计2218.3约束**似然法约束**似然法的要点方差分量REML估计的计算REML估计方程的导出REML法计算实例随机变量间有相关时的REML2298.4ML和REML估计量的可靠性检验ML和REML方差估计量的可靠性检验固定效应和随机效应估计量的显著性检验ML和REML估计量的置信区间2338.5线性混合模型参数估计方法的应用问题负的方差分量估计值方差参数的精确性固定效应与随机效应标准误差的偏差ML和REML的比较MINQUE，I&MINQUE和ML，REML比较236参考文献237第9章多元线性混合模型2399.1两个依变量时方差协方差组分的REML2399.2多性状动物模型2419.3扩展的Canonical转换只含一个随机效应时的数据转换含多个随机效应时的数据转换2469.4方法示例直接多元分析通过转换作间接多元分析2499.5多性状动物模型的REML2519.6REML方法总结252参考文献253
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